Seminář z matematiky II – jaro 2023 – 10. písemka
Dokažte nebo vyvraťte každé z následujících tvrzení.
1. (2 body) Existuje uspořádaná množina (L, ≤) taková, že každá její podmnožina
má horní závoru a přitom právě dvě její podmnožiny nemají supremum.
2. (2 body) Existuje uspořádaná množina (L, ≤) taková, že právě čtyři její podmnožiny
nemají supremum.
3. (2 body) Jsou-li A a B neprázdné podmnožiny uspořádané množiny (L, ≤) takové,
že sup A = sup B, potom sup A není supremem množiny A \ B.
4. (2 body) Jsou-li A a B podmnožiny uspořádané množiny (L, ≤) takové, že existuje
sup A a platí
(∀ a ∈ A)(∃ b ∈ B)(a ≤ b) ∧ (∀ b ∈ B)(∃ a ∈ A)(b ≤ a),
potom existuje i sup B.
5. (2 body) Existuje uspořádaná množina (L, ≤), v níž mají supremum právě její
lineárně uspořádané podmnožiny a jedna podmnožina, která lineárně uspořádaná
není.