Seminář z matematiky II – jaro 2023 – 2. písemka
Všechna svoje tvrzení zdůvodněte.
1. (5 bodů) Buď V vektorový prostor, v1, . . . , vn ∈ V vektory a ϕ: V → V lineární
zobrazení. Přímo z definice lineární nezávislosti dokažte, že jsou-li vektory
v1 − ϕ(v1), . . . , vn − ϕ(vn) lineárně nezávislé, tak i vektory v1, . . . , vn jsou lineárně
nezávislé. Ukažte, že opačná implikace obecně neplatí.
2. (5 bodů) Buď V vektorový prostor nad R, v1, . . . , vn jeho báze a v ∈ V vektor.
Dokažte, že vektory v1−v, . . . , vn−v jsou lineárně závislé právě tehdy, když existují
a1, . . . , an ∈ R splňující a1 + · · · + an = 1 a a1v1 + · · · + anvn = v.
3. Prémiový příklad (3 body) Buď V vektorový prostor nad tělesem K a v1, . . . , vn
jeho báze, přičemž n ≥ 1. V případech K = R a K = Z2 rozhodněte, pro které
permutace π množiny {1, . . . , n} je v1 + vπ(1), . . . , vn + vπ(n) báze prostoru V .