Seminář z matematiky II – jaro 2023 – 7. písemka
1. (5 bodů) Přímo z axiomatické definice skalárního součinu na reálném vektorovém
prostoru V dokažte následující tvrzení:
Pro libovolné vektory u, v ∈ V platí u, v = 0 právě tehdy, když
∀a ∈ R: u ≤ u + av .
2. (5 bodů) Přímo z axiomatické definice skalárního součinu na reálném vektorovém
prostoru V dokažte následující tvrzení:
Nechť v ∈ V je vektor, U je podprostor prostoru V a u1, . . . , um je konečná ortonormální
báze podprostoru U. Jestliže pro všechny vektory w ∈ V splňující
∀u ∈ U : u, w = 0 platí i v, w = 0, potom vektor v patří do podprostoru U.