ony z gravimetrie Úvodní problém - nakreslete graf znázorňující tíhový účinek koule podle vzorce pro vertikální složku. hloubka středu koule poloměr koule diferenční hustota h = 500 m R= 150m o = 500 kg/m3 ony z gravimetrie Pro gravitační zrychlení g obecně platí: kM g = Vzdálenost j e ale: d = sx2 +h2 2 i 2x1/2 vzdálenost d = (li+x ) těleso ve tvaru koule o hustoti p okolní horninové prostředí má hustotu p: diferenční hustota a = Pi - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Gravitační zrychlení tedy je dáno: KM g = 2 , j: x + n Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení r * g =gsina X gz 2 i 2\l/2 vzdálenost d = (li+x) těleso ve tvaru koule o hustoti p okolní horninové prostředí má hustotu p: diferenční hustota a = p, - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Gravitační zrychlení tedy je dáno: Podle zadání nás ale zajímá pouze vertikální složka gravitačního zrychlení r * g=gsma Současně ale vidíme, že siná si můžeme vyjádřit jako ■■ • l - ^ sin ör = — d v i Vag/* Zra \ f /vzdálenost d = (h +x ) ^f ^ ____—— těleso ve tvaru koule o hustou p> d = vx2 +h2 1 okolní horni diferenční h nové prostředí má hustotu p2 ustota a = p! - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Tedy: kM h er — er Qin /y — KMh * + « Vx2+/z2 V(*2+Ä2 ľ • X N. V i Vag/* Zra \ /vzdálenost d = (h2+x2)12 ^f ^ ____—— těleso ve tvaru koule o hustou p! 1 okolní horninové prostředí má hustotu p2 diferenční hustota a = p> - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Hmotnost M je v našem případě nutno chápat nikoli jako celou hmotnost koule, ale jako diferenční hmotnost (oč je hmotnost odlišná od hmotnosti okolního prostředí o stejném objemu). M tedy závisí na objemu a na diferenční hustotě a: M = -7TR3.(T 3 a V vzdálenost d = (Ir+x2)1 těleso ve tvaru koule o hustou p okolní horninové prostředí má hustotu p diferenční hustota a = p, - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Hmotnost M je v našem případě tedy: Vertikální složka g je po dosazení: ■n gz = 6,67.10 .7068583471.500 235,737259 m.s -2 • v i Vag/* Zra \ /vzdálenost d = (h2+x2)12 ^f ^ ____—— těleso ve tvaru koule o hustou pj 1 okolní horninové prostředí má hustotu p2 diferenční hustota a = pj - p2 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 1. Úlohy z gravimetrie Po dosazení za x (vzdálenost na profilu od bodu 0) můžeme doplnit tabulku hodnot vertikální složky gravitačního zrychlení v jednotlivých bodech profilu: x [m] Vz [m/s2] x [m] Vz [m/s2] -2500 1,42252 . 10-8 200 1,50949 . ÍO"6 -2250 1,92522 . 10-8 400 8,97951 . ÍO"7 -2000 2,69057 . 10-8 600 4,94804 . ÍO"7 -1750 3,91016 . 10-8 800 2,80765 . ÍO"7 -1500 5,96373 . 10-8 1000 1,6868 . ÍO"7 -1250 9,66076 . 10-8 1250 9,66076 . ÍO"8 -1000 1,6868 . 10-7 1500 5,96373 . ÍO"8 -800 2,80765 . ÍO-7 1750 3,91016 . ÍO"8 -600 4,94804 . ÍO"7 2000 2,69057 . ÍO"8 -400 8,97951 . ÍO"7 2250 1,92522 . ÍO"8 -200 1,50949 . ÍO"6 2500 1,42252 . ÍO"8 0 1,8859 . ÍO"6 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim ony z gravimetrie ohy z gravimetrie Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému: Úloha 1.1: Vypočti poloměr kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch j e 2,1 *10~7 m/s2. hloubka středu koule h = 500 m diferenční hustota ony z gravimetrie Úloha 1.1: Vypočti poloměr kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10~7m/s2. hloubka středu koule 500 m diferenční hustota 500 ks/m3 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Dosadíme do vzorce pro hmotnost M: M = gzV(x2 +h2)3 = 2,lxlQ-7V(10QQ2 +5QQ2) Kh M = 8,8xl09kg 6,67xl0_11.500 Nyní známe hmotnost i diferenční hustotu, hledáme poloměr. o Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Nyní známe hmotnost i diferenční hustotu, hledáme poloměr. ohy z gravimetrie Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi poloměrem a tíhovým účinkem: Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? ony z gravimetrie Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti - hloubka, staničení i konstanta k se nemění. ony z gravimetrie Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární. ony z gravimetrie Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Úloha 1.2: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se poloměr hmotné koule dvakrát? Změna poloměru se projeví (při neměnné diferenční hustotě) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie ohy z gravimetrie Úloha 1.3: Vypočti diferenční hustotu kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti lOOOm od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 * 10-7 m/s2. hloubka středu koule poloměr R=180m ony z gravimetrie Úloha 1.3: Vypočti diferenční hustotu kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti 1000m od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 * 10'7 m/s2. Opět hledáme hmotnost M: M = _ gzyl(x2+h2] _ 2,lxl0-7V(10002+500^ = 858xl()9kg Kh 6,67x10 .500 Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Nyní známe hmotnost i poloměr, hledáme diferenční hustotu. ohy z gravimetrie Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi diferenční hustotou a tíhovým účinkem: Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz, zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? ony z gravimetrie Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti - hloubka, staničení i konstanta k se nemění. ony z gravimetrie Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti - hloubka, staničení i konstanta k se nemění. Tíhový účinek je přímo úměrný hmotnosti, závislost je lineární, ony z gravimetrie Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti. Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Úloha 1.4: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz? zvětší-li se diferenční hustota hmotné koule dvakrát? Změna diferenční hustoty se projeví (při neměnném poloměru) změnou hmotnosti. ony z gravimetrie ohy z gravimetrie Úloha 1.5: Vypočti hloubku kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti Om od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10~6m/s2. diferenční hustota poloměr R=180m ony z gravimetrie Úloha 1.5: Vypočti hloubku kulového tělesa, jehož tíhový účinek gz ve vzdálenosti Om od průmětu středu tělesa na povrch je 2,1 *10~6m/s2. ony z gravimetrie Snadno si ze zjednodušeného vzorce vyjádříme h: ony z gravimetrie ohy z gravimetrie Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi hloubkou a tíhovým účinkem: Úloha 1.6: Kolikrát se zvětší tíhový účinek v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? ony z gravimetrie Úloha 1.6: Kolikrát se zvětší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Vyjdeme ze zjednodušeného vzorce pro x=0: kM kM kM Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Tíhový účinek je nepřímo úměrný hloubce ony z gravimetrie Úloha 1.6: Kolikrát se zmenší tíhový účinek gz v místě nad středem hmotné koule, zvětší-li se hloubka hmotné koule dvakrát? Hloubka se zvětšila dvakrát, tj. platí: Tíhový účinek se zmenšil čtyřikrát Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007 ony z gravimetrie Řešení úloh: verze 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 verze 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1 164 m 8krát 82 kg/m3 2krát 591m 4krát 11 228 m 8krát 220 kg/m3 2krát 427 m 4krát 2 206 m 8krát 163 kg/m3 2krát 430 m 4krát 12 292 m 8krát 461 kg/m3 2krát 295 m 4krát 3 218m 8krát 193 kg/m3 2krát 396 m 4krát 13 309 m 8krát 545 kg/m3 2krát 272 m 4krát 4 254 m 8krát 304 kg/m3 2krát 315m 4krát 14 359 m 8krát 859 kg/m3 2krát 216 m 4krát 5 264 m 8krát 341 kg/m3 2krát 298 m 4krát 15 373 m 8krát 964 kg/m3 2krát 204 m 4krát 6 167 m 8krát 87 kg/m3 2krát 557 m 4krát 16 241m 8krát 260 kg/m3 2krát 382 m 4krát 7 214 m 8krát 182 kg/m3 2krát 385 m 4krát 17 309 m 8krát 546 kg/m3 2krát 264 m 4krát 8 227 m 8krát 215 kg/m3 2krát 354 m 4krát 18 327 m 8krát 645 kg/m3 2krát 243 m 4krát 9 264 m 8krát 340 kg/m3 2krát 282 m 4krát 19 380 m 8krát 1017 kg/m3 2krát 193 m 4krát 10 274 m 8krát 381 kg/m3 2krát 266 m 4krát 20 395 m 8krát 1141 kg/m3 2krát 183 m 4krát Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007