Obsah
1 Explicitní rovnice prvního řádu 1
1.1 Separovatelné rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Rovnice typu x′ = f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Rovnice autonomní x′ = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Rovnice se separovanými proměnnými x′ = f(t)g(x) . . . . . . . . . . 3
1.1.4 Rovnice typu x′ = f(at + bx + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Homogenní rovnice x′ = f
x
t
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.6 Rovnice typu x′ = f
at + bx + c
αt + βx + γ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Exaktní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Integrační faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Lineární homogenní rovnice x′ = a(t)x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Lineární nehomogenní rovnice x′ = a(t)x + b(t) . . . . . . . . . . . . . 10
Duhamelův princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Metoda variace konstanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Užití integračního faktoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Bernoulliova rovnice x′ = a(t)x + b(t)xr, r ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Implicitní rovnice prvního řádu 17
2.1 Rovnice rozřešené vzhledem k t nebo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Implicitní autonomní rovnice x = f(x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Rovnice tvaru t = f(x, x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Rovnice tvaru x = f(t, x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Clairautova rovnice x = tx′ + g(x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Lagrangeova rovnice x = tf(x′) + g(x′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Rovnice tvaru Pn(x′) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Lineární rovnice vyššího řádu a lineární systémy 25
3.1 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Lineární rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 Partikulární řešení nehomogenní rovnice – variace konstant . . . . . . 33
3.2.2 Eulerova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
ii OBSAH
3.3 Snížení řádu lineární homogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Nalezení druhé složky fundamentálního systému rovnice druhého řádu 38
3.4 Systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4.1 Homogenní systémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Další explicitně řešitelné rovnice 45
4.1 Rovnice s polynomiální pravou stranou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Riccatiho rovnice x′ = p(t)x2 + q(t)x + r(t) . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2 Abelova rovnice prvního druhu x′ = a(t)x3 + b(t)x2 + c(t)x + d(t) . . 47
4.2 Rovnice vyššího řádu, u nichž lze řád snížit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Autonomní rovnice druhého řádu x′′ = f(x) . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2 Rovnice typu F(t, x(k), x(k+1), . . . , x(n)) = 0, k ∈ {1, . . . , n − 1} . . . . 53
4.2.3 Autonomní rovnice typu F x, x′, x′′, . . . , x(n) = 0 . . . . . . . . . . 53
4.2.4 Rovnice homogenní v x, x′, x′′, . . . , x(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Ekvidimensionální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5 Některé klasické elementární úlohy 57
5.1 Traktrisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Ciolkovského rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Archimédova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Von Bertalanffyho model růstu a scholastické causae . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Romeo a Julie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.7 Ekonomický růst (Solowův-Swanův neoklasický model) . . . . . . . . . . . . . 70
Řešení základní rovnice s Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí . . 73
Technologický pokrok v modelu ekonomického růstu . . . . . . . . . . 75
5.8 Udržitelný rybolov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času . . . . . . . . . . . . 77
Rybolov s konstantním úsilím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Optimalizace udržitelného rybolovu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.9 Řetězovka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.10 „Psí křivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.11 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
OBSAH iii
Následující text má sloužit jako pomůcka k první části cvičení z předmětu M5858 Spojité
deterministické modely I. Je věnován explicitním (elementárním) metodám řešení obyčejných
diferenciálních rovnic; někdy se také mluví o integraci diferenciálních rovnic nebo o řešení
diferenciálních rovnic v kvadraturách. Jedná se o klasickou problematiku, která byla již mnohokrát
zpracována. Při kompilaci textu jsem zejména vykrádal následující knihy a skripta.
1. E. Kamke: Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen. Band I, Gewöhliche
Differentialgleichungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1951.
Ruský překlad: З. Kamke: Spravoqnik po obyknovennym differencialьnym
uravneni m. Nauka, Moskva 1965.
Důkladná příručka všech rovnic řešitelných elementárními metodami.
2. J. Kaucký: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Nakladatelství
ČSAV, Praha 1952.
Popis základních metod integrace obyčejných diferenciálních rovnic.
3. R. Rychnovský: Obyčejné diferenciální rovnice a jejich řešení. SNTL, Praha 1963.
Základní explicitní metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic doplněné jednoduchými
metodami přibližnými.
4. J. Nagy: Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. SNTL, Praha
1978.
Metody výpočtu řešení obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu a popis metod výpočtu
řešení lineárních diferenciálních rovnic n-tého řádu.
5. J. Nagy: Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. SNTL, Praha 1980.
Metody výpočtu řešení soustavy lineárních rovnic prvního řádu s konstantními koeficienty.
Doplněno o analýzu chování trajektorií autonomních systémů v okolí rovnovážných
bodů.
6. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Skripta PřF MU, Brno 1998,
96 stran (druhé přepracované vydání).
Popis základních elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic.
7. M. Ráb: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic II. Skripta PřF UJEP v Brně,
SPN Praha 1989, 61 stran.
Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty.
8. R. Plch: Příklady z matematické analýzy. Diferenciální rovnice. Skripta PřF MU, Brno
1995, 29 stran.
Sbírka úloh z elementárních metod řešení explicitních i implicitních obyčejných diferenciálních
rovnic. Je doplněna stručným popisem potřebných metod.
Tato verze textu není zdaleka definitivní. Text bude (doufám) v průběhu semestru doplňován
a upravován. Budu vděčný za všechny připomínky k němu a za upozornění na chyby,
překlepy, nedůslednosti, nejasnosti . . .
Zdeněk Pospíšil
září 2017
Kapitola 1
Explicitní rovnice prvního řádu
1.1 Separovatelné rovnice
1.1.1 Rovnice typu x′
= f(t)
Jedná se v podstatě o rovnost, jíž je definována primitivní funkce k dané funkci f. Obecné
řešení této rovnice tedy je
x(t) = f(t)dt
a partikulární řešení splňující počáteční podmínku
x(0) = x0 (1.1)
je dáno určitým integrálem
x(t) = x0 +
t
t0
f(τ)dτ;
samozřejmě za předpokladu, že příslušná primitivní funkce nebo určitý integrál existují.
Příklad: Řešení rovnice
x′
=
1
√
t(1 + t)
je dáno integrálem
x(t) =
dt
√
t(1 + t)
=
2sds
s(1 + s2)
= 2
ds
1 + s2
= 2 arctg s + C = 2 arctg
√
t + C,
kde C je integrační konstanta; při výpočtu jsme použili substituci s =
√
t.
Příklady na užití rovnice tohoto typu je nalezení rovnice křivky traktrisa (tractrix) 5.1
nebo Ciolkovského rovnice 5.2.
1.1.2 Rovnice autonomní x′
= g(x)
Na pravé straně autonomní rovnice není explicitně přítomná nezávisle proměnná t. Derivaci
vyjádříme jako podíl diferenciálů a rovnici přepíšeme do tvaru
dx
dt
= g(x),
1
2 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
který formálně upravíme na tvar
dx
g(x)
= dt;
na levé straně je diferenciál funkce
1
g(x)
, na pravé diferenciál nezávisle proměnné. Z rovnosti
diferenciálů funkcí plyne rovnost příslušných primitivních funkcí
dx
g(x)
= dt.
Touto rovností je implicitně zapsáno řešení dané diferenciální rovnice.
Při hledání řešení autonomní rovnice s počáteční podmínkou (1.1) takovou, že g(x0) = 0,
nahradíme neurčité integrály určitými. Na levé straně integrujeme v mezích od x0 do x a na
pravé v mezích od t0 do t; přitom musíme přeznačit integrační proměnné. Řešení počáteční
úlohy je tedy imlicitně dáno rovností
x
x0
dξ
g(ξ)
=
t
t0
dτ
a poněvadž integrál na pravé straně lze snadno vyjádřit, zapíšeme řešení počáteční úlohy
v implicitním tvaru
x
x0
dξ
g(ξ)
= t − t0. (1.2)
Příklad: Řešme počáteční úlohu
x′
= x − x3
, x(0) = 1
2.
V tomto případě je t0 = 0, x0 = 1
2, g(x) = x − x3. Na pravé straně rovnosti (1.2) je nyní t a
na její levé straně je
x
1
2
dx
ξ − ξ3
=
x
1
2
1
ξ
−
1
2(ξ + 1)
−
1
2(ξ − 1)
dξ =
1
2
ln
ξ2
|ξ2 − 1|
x
ξ= 1
2
=
1
2
ln
x2
1 − x2
+ ln 3 ,
neboť x(t)2 − 1 = 1
4 − 1 < 0 pro t = 0 a tedy v okolí 0 je |x(t)2 − 1| = 1 − x(t)2. Řešení úlohy
je proto implicitně dáno rovností
1
2
ln
x2
1 − x2
+ ln 3 = t,
po úpravě
2t − ln 3 = ln
x2
1 − x2
.
Odtud vyjádříme
x2
1 − x2
= 1
3e2t, takže řešení úlohy můžeme napsat v explicitním tvaru
x(t) =
1
√
1 + 3e−2t
.
1.1. SEPAROVATELNÉ ROVNICE 3
1.1.3 Rovnice se separovanými proměnnými x′
= f(t)g(x)
Tuto rovnici můžeme pomocí diferenciálů zapsat ve tvaru
dx
dt
= f(t)g(x).
Za předpokladu g(x) = 0 můžeme rovnici formálně přepsat na tvar
dx
g(x)
= f(t)dt
a po integraci obou stran dostaneme
dx
g(x)
= f(t)dt. (1.3)
Touto rovností je implicitně zadáno nějaké řešení dané rovnice.
Rovností g(x) = 0 je implicitně zadáno konstantní řešení. Poznamenejme, že toto konstantní
řešení může, ale nemusí, být zahrnuto v řešení (1.3) pro nějakou volbu integrační
konstanty. Pokud je konstantní řešení zahrnuto ve formuli (1.3), pak je rovností (1.3) implicitně
zadáno obecné řešení dané rovnice.
Rovností
x
x0
dξ
g(ξ)
=
t
t0
f(τ)dτ
je implicitně zadáno partikulární řešení dané rovnice, které splňuje počáteční podmínku (1.1)
takovou, že g(x0) = 0. Pokud g(x0) = 0, pak řešením dané rovnice s počáteční podmínkou
(1.1) je konstantní funkce x(t) ≡ x0.
Povšimněme si, že rovnice typu 1.1.1 bez hledané funkce na pravé straně je zvláštním
případem rovnice se separovanými proměnnými a s g(x) ≡ 1; rovnice autonomní 1.1.2 je
speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými a s f(t) ≡ 1.
Příklad na užití rovnice se separovanými proměnnými je uveden v 5.10.
1.1.4 Rovnice typu x′
= f(at + bx + c)
Pokud b = 0, jedná se o rovnici tvaru 1.1.1.
Nechť b = 0. Zavedeme novou neznámou funkci u = u(t) rovností
u = at + bt + c.
Pak je x(t) =
1
b
(u(t) − at − c) a tedy x′ =
1
b
(u′ − a). To znamená, že daná rovnice se
transformuje na tvar
1
b
(u′
− a) = f(u),
po úpravě
u′
= bf(u) + a,
což je rovnice autonomní 1.1.2.
4 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
1.1.5 Homogenní rovnice x′
= f
x
t
Zavedeme funkci u = u(t) =
x(t)
t
. Pak x(t) = tu(t), x′ = u + tu′. Dosazením do původní
rovnice dostaneme
u′
=
f(u) − u
t
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
Příkladem na užití homogenní rovnice je Archimédova úloha 5.3.
1.1.6 Rovnice typu x′
= f
at + bx + c
αt + βx + γ
1. c = γ = 0. Pak f
at + bx
αt + βx
= f
a + bx
t
α + β x
t
a daná rovnice je homogenní.
2. c2 + γ2 = 0,
α
a
=
β
b
= k.
Zavedeme funkci u = u(t) = at + bx. Pak u′ = a + bx′ a tedy x′ =
u′ − a
b
. Dosazením
do původní rovnice dostaneme
u′
= a + bf
u + c
ku + γ
,
což je rovnice se separovanými proměnnými pro neznámou funkci u.
3. c2 + γ2 = 0, aβ = bα.
Nechť m a n jsou řešením soustavy lineárních algebraických rovnic
am + bn = −c
αm + βn = −γ .
Zavedeme funkce u = u(t) = t − m
v = v(t) = x − n.
Pak dt = du, dx = dv,
at+bx+c = a(u+m)+b(v +n)+c = au+bv +(am+bn)+c = au+bv,
αt+βx+γ = α(u+m)+β(v+n)+γ = αu+βv+(αm+bn)+γ = αu+βv
Daná rovnice přejde na tvar
dv
du
= f
au + bv
αu + βv
,
což je rovnice typu 1. pro neznámou funkci v = v(u).
1.2 Exaktní rovnice
Exaktní diferenciální rovnice v explicitním tvaru je
y′
= −
f(x, y)
g(x, y)
. (1.4)
1.2. EXAKTNÍ ROVNICE 5
Funkce f a g přitom splňují podmínku
∂f(x, y)
∂y
=
∂g(x, y)
∂x
. (1.5)
Obvyklejší implicitní tvar exaktní rovnice je
f(x, y) + g(x, y)y′
= 0.
Jeho výhodou je skutečnost, že není třeba předpokládat nenulovost funkce g.
Rovnici (1.4) lze také přepsat pomocí diferenciálů
dy
dx
= −
f(x, y)
g(x, y)
a pak formálně upravit
na tvar
f(x, y)dx + g(x, y)dy = 0. (1.6)
Za podmínky (1.5) je výraz na levé straně totálním diferenciálem nějaké funkce F dvou proměnných
(sr. např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno
1999, kap. 4), pro kterou platí dF(x, y) = 0. Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně
zadáno rovností F(x, y) = C, kde C je reálná konstanta.
Příklad: x(x2 + y2 − a2) + y(x2 + y2 + a2)y′ = 0
V tomto případě je f(x, y) = x(x2 + y2 − a2), g(x, y) = y(x2 + y2 + a2). Platí
∂f
∂y
= 2xy,
∂g
∂x
= 2xy,
takže podmínka (1.5) je splněna. Diferenciální tvar dané rovnice je
x(x2
+ y2
− a2
)dx + y(x2
+ y2
+ a2
)dy = 0.
Pro kmenovou funkci F = F(x, y) diferenciálu na levé straně platí
∂F
∂x
= x(x2
+ y2
− a2
),
∂F
∂y
= y(x2
+ y2
+ a2
).
Z první rovnosti vyjádříme
F(x, y) = x(x2
+ y2
− a2
)dx = 1
4 x4 + 1
2x2(y2 − a2) + ϕ(y)
a dosadíme do druhé rovnosti
x2
y + ϕ′
(y) = y(x2
+ y2
+ a2
).
Tím dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici
dϕ
dy
= y3
+ a2
y
pro dosud neznámou funkci ϕ. Řešení této rovnice je podle 1.1.1 dáno integrálem
ϕ(y) = (y3
+ a2
y)dy = 1
4y4 + 1
2 a2y2 + const.
6 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Celkem dostáváme
F(x, y) = 1
4x4 + 1
2 x2(y2 −a2)+ 1
4y4 + 1
2a2y2 +const = 1
4(x4 +2x2y2 +y4)+ 1
2a2(y2 −x2)+const.
Obecné řešení dané rovnice je tedy implicitně dáno rovností
x2
+ y2 2
+ 2a2
y2
− x2
= C,
kde C je libovolná konstanta.
Ještě si povšimněme, že rovnici
dx
dt
= ϕ(t)ψ(x) se separovanými proměnnými (sr. 1.1.3)
můžeme přepsat do tvaru
ϕ(t)dt −
1
ψ(x)
dx = 0.
Přitom platí
∂
∂x
ϕ(t) = 0 =
∂
∂t
1
ψ(x)
,
takže se jedná o rovnici exaktní. Rovnice se separovanými proměnnými je tedy zvláštním
případem rovnice exaktní.
1.2.1 Integrační faktor
Pokud funkce f a g v rovnici (1.6) nesplňují podmínky (1.5), tj. pokud rovnice tvaru (1.6)
není exatní, lze z ní někdy rovnici exktní učinit tím, že ji vynásobíme nějakou vhodnou funkcí
P = P(x, y). Pokud taková funkce existuje, nazýváme ji integrační faktor.
Rovnice (1.6) vynásobená funkcí P má tvar
fP + gPy′
= 0
a aby tato rovnice byla exaktní, musí platit
∂fP
∂y
=
∂gP
∂x
.
Parciální derivace součinů rozepíšeme a podmínku upravíme na tvar
P
∂f
∂y
−
∂g
∂x
= g
∂P
∂x
− f
∂P
∂y
. (1.7)
To je parciální diferenciální rovnice pro neznámou funkci P. Ve speciálních případech – pokud
funkce P závisí pouze na jedné z proměnných x, y – se však může stát diferenciální rovnicí
obyčejnou.
1. Integrační faktor P závisí pouze na proměnné x, P = P(x).
V tomto případě je
∂P
∂y
= 0,
∂P
∂x
=
dP
dx
= P′
a rovnice (1.7) je tvaru
1
P
dP
dx
=
1
g
∂f
∂y
−
∂g
∂x
. (1.8)
1.2. EXAKTNÍ ROVNICE 7
Výraz na levé straně této rovnosti závisí pouze na proměnné x. Aby rovnost mohla být
splněna, musí výraz na její pravé straně také záviset pouze na proměnné x. Dostáváme
tak závěr: Pokud výraz na pravé straně rovnosti (1.8) nezávisí na proměnné y, pak
existuje integrační faktor P = P(x) rovnice (1.6); najdeme ho jako řešení obyčejné
diferenciální rovnice (1.8).
2. Integrační faktor P závisí pouze na proměnné y, P = P(y).
V tomto případě je
∂P
∂y
=
dP
dy
= P′
,
∂P
∂x
= 0
a rovnice (1.7) je tvaru
1
P
dP
dy
=
1
f
∂g
∂x
−
∂f
∂y
. (1.9)
Výraz na levé straně této rovnosti závisí pouze na proměnné y. Aby rovnost mohla
být splněna, musí výraz na její pravé straně také záviset pouze na proměnné y. Odtud
usoudíme: Pokud výraz na pravé straně rovnosti (1.9) nezávisí na proměnné x, pak
existuje integrační faktor P = P(y) rovnice (1.6); najdeme ho jako řešení obyčejné
diferenciální rovnice (1.9).
Příklad:
2xy + (y2
− x2
)y′
= 0
Máme f(x, y) = 2xy, g(x, y) = y2 − x2, takže
∂f
∂y
= 2x,
∂g
∂x
= −2x
a daná rovnice není exaktní. Avšak výraz
1
f
∂g
∂x
−
∂f
∂y
=
1
2xy
(−4x) = −
2
y
závisí pouze na proměnné y. Existuje tedy integrační faktor P = P(y) zadané rovnice. Ten je
řešením obyčejné diferenciální rovnice
1
P
P′
= −
2
y
,
což je rovnice se separovanými proměnnými, jejíž řešení je podle 1.1.3 implicitně dáno rovností
dP
P
= −2
dy
y
, tj. ln |P| = −2 ln |y| + const.
Odtud dostaneme ln y2|P| = const a tedy
P(y) =
const
y2
.
Stačí volit const = 1.
Danou rovnici vynásobíme získaným integračním faktorem P(y) = y−2 a dostaneme
2x
y
+ 1 −
x2
y2
y′
= 0. (1.10)
8 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Poněvadž platí
∂
∂y
2x
y
= −
2x
y2
,
∂
∂x
1 −
x2
y2
= −
2x
y2
,
je rovnice (1.10) exaktní. Najdeme kmenovou funkci F = F(x, y) diferenciálu
2x
y
dx + 1 −
x2
y2
dy.
Postupně vypočítáme
∂F
∂x
=
2x
y
, tedy F(x, y) =
2x
y
dx =
x2
y
+ ϕ(y),
∂F
∂y
= −
x2
y2
+ ϕ′
(y) = 1 −
x2
y2
, tedy ϕ′
= 1, ϕ(y) = y + const.
Obecné řešení dané rovnice je proto implicitně dáno rovností
x2
y
+ y = const.
Označíme-li const = 2C, dostaneme x2 + y2 − 2Cy = 0, neboli
x2
+ (y − C)2
= C2
.
Příklad:
a(x)y + b(x) dx − dy = 0 (1.11)
Máme f(x, y) = a(x)y + b(x), g(x, y) = −1 a tedy
∂f
∂y
= a(x),
∂g
∂x
= 0,
takže rovnice (1.11) obecně není exaktní. Avšak výraz
1
g(x, y)
∂f(x, y)
∂y
−
∂g(x, y)
∂x
= −a(x)
nezávisí na proměnné y. Existuje tedy integrační faktor P rovnice (1.11), který je funkcí jedné
proměnné x a je řešením diferenciální rovnice
1
P
P′
= −a(x), tj. P′
= −a(x)P.
To je rovnice se separovanými proměnnými a její řešení je podle 1.1.3 implicitně dáno rovností
dP
P
= − a(x)dx.
1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 9
Neurčitý integrál na levé straně je roven ln |P| + const, kde const je libovolná integrační
konstanta. Tedy
ln |P| + const = − a(x)dx,
|P| = exp const − a(x)dx ,
P = const · exp − a(x)dx .
V poslední rovnosti stačí zvolit const = 1 a dostaneme integrační faktor
P(x) = exp − a(x)dx .
Rovnice
a(x)y + b(x) e− a(x)dx
dx − e− a(x)dx
dy = 0
je již exaktní. Najdeme kmenovou funkci F = F(x, y) diferenciálu na levé straně rovnice.
∂F
∂y
= −e− a(x)dx
tedy F(x, y) = −ye− a(x)dx
+ ϕ(x),
∂F
∂x
= −y − a(x) e− a(x)dx
+ ϕ′
(x) = a(x)y + b(x) e− a(x)dx
,
tedy
ϕ′
(x) = b(x)e− a(x)dx
.
Řešení této jednoduché diferenciální rovnice je podle 1.1.1 dáno neurčitým integrálem
ϕ(x) = b(x)e− a(x)dx
dx
a řešení rovnice (1.11) je implicitně dáno rovností
−ye− a(x)dx
+ b(x)e− a(x)dx
dx = −C.
Z ní můžeme vypočítat řešení rovnice (1.11) ve tvaru
y(x) = C + b(x)e− a(x)dx
dx e a(x)dx
,
kde C je libovolná konstanta.
1.3 Lineární rovnice
Lineární diferenciální rovnice prvního řádu je tvaru
x′
= a(t)x + b(t); (1.12)
na její pravé straně je polynom prvního stupně v proměnné x, tedy lineární funkce. Pokud je
funkce b na pravé straně rovnice (1.12) identicky nulová, b(t) ≡ 0, nazýváme rovnici homogenní,
v opačném případě nehomogenní.
10 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
1.3.1 Lineární homogenní rovnice x′
= a(t)x
Je to rovnice se separovanými proměnnými. Partikulární řešení této rovnice s počáteční podmínkou
(1.1) je:
x
x0
dξ
ξ
=
t
t0
a(τ)dτ
ln x − ln x0 =
t
t0
a(τ)dτ
x = x0 exp
t
t0
a(τ)dτ
Obecné řešení homogenní lineární rovnice lze tedy zapsat jako
x = C exp
t
t0
a(τ)dτ, (1.13)
kde C je libovolná konstanta a t0 je nějaké číslo z definičního oboru funkce a.
1.3.2 Lineární nehomogenní rovnice x′
= a(t)x + b(t)
Uvedeme tři možné způsoby nalezení řešení lineární nehomogenní rovnice. V prvních dvou
předpokládáme nějaký tvar výsledku; za takovými předpoklady jsou dvě různé možné interpretace
nehomogenní rovnice. Třetí metoda je obecná. Očekávaný tvar řešení a jeho následné
konkrétní vyjádření ponechává nejistotu, zda by nemohlo existovat také nějaké jiné řešení.
První dvě metody tedy odpovídají na otázku po existenci řešení, třetí metoda ukazuje jednoznačnost
řešení.
Duhamelův princip
Nejprve budeme hledat řešení nehomogenní rovnice (1.12) se speciální počáteční podmínkou
x(t0) = 0. (1.14)
Můžeme si představovat, že rovnice s touto počáteční podmínkou popisuje (modeluje) nějaký
proces, při kterém má veličina x na počátku (v čase t0) nulovou hodnotu a v průběhu času
se v ní akumulují (integrují) nějaké vnější vlivy. Budeme tedy očekávat, že řešení xP rovnice
(1.12) s počáteční podmínkou (1.14) je tvaru
xP (t) =
t
t0
w(t, s)ds,
kde w je zatím neurčená spojitá funkce dvou proměnných. Takto zavedená funkce xP samozřejmě
splňuje počáteční podmínku (1.14). Podle věty o derivaci integrálu podle parametru
1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 11
platí
x′
P (t) = w(t, t) +
t
t0
∂w(t, s)
∂t
ds.
Aby byla splněna rovnice (1.12), musí platit
w(t, t) +
t
t0
∂w(t, s)
∂t
ds = a(t)
t
t0
w(t, s)ds + b(t),
nebo po úpravě
w(t, t) − b(t) =
t
t0
a(t)w(t, s) −
∂w(t, s)
∂t
ds.
Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když
w(s, s) = b(s) (1.15)
pro všechna s a
∂w(t, s)
∂t
= a(t)w(t, s) (1.16)
pro všechna t ∈ R a všechna s ∈ (t0, t).
Nyní budeme proměnnou s považovat za parametr a proměnnou t za nezávisle proměnnou.
Rovnici (1.16) tedy chápeme jako obyčejnou diferenciální rovnici pro neznámou funkci w
nezávisle proměnné t. která také závisí na parametru s. Je to rovnice lineární homogenní,
počáteční podmínka je dána rovností (1.15) – je-li počáteční čas t0 roven parametru s, je
hodnota funkce w rovna hodnotě b(s). Řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní rovnici
bylo v 1.3.1 odvozeno ve tvaru
w(t, s) = b(s) exp
t
s
a(τ)dτ.
Dostáváme tak řešení xP počáteční úlohy (1.12), (1.14) ve tvaru
xP (t) =
t
t0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds.
Již také víme, že řešení xH lineární homogenní rovnice x′ = a(t)x s obecnou počáteční podmínkou
(1.1) je
xH(t) = x0e
t
t0
a(τ)dτ
.
Nyní snadno ověříme, že funkce
x(t) = xH(t) + xP (t) = x0e
t
t0
a(τ)dτ
+
t
t0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds
12 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
je řešením úlohy (1.12), (1.1). Vskutku
x′
(t) = x′
H(t) + x′
P (t) = a(t)xH (t) + a(t)xP (t) + b(t) =
= a(t) xH (t) + xP (t) + b(t) = a(t)x(t) + b(t),
x(t0) = xH(t0) + xP (t0) = x0 + 0 = x0.
Tento výsledek můžeme přečíst tak, že řešení nehomogenní lineární rovnice (1.12) s počáteční
podmínkou (1.1) je součtem řešení homogenní rovnice s touto počáteční podmínkou a
nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou.
Řešení počáteční úlohy (1.12), (1.1) jsme dostali ve tvaru
x(t) = x0e
t
t0
a(τ)dτ
+
t
t0
b(s)e
t
s
a(τ)dτ
ds. (1.17)
Metoda variace konstanty
Řešení hledáme ve stejném tvaru (1.13), v jakém je řešení rovnice homogenní, avšak hodnotu C
nepovažujeme za konstantní, ale za proměnnou (závislou na nezávisle proměnné t). Můžeme
si představovat, že nehomegenita b v rovnici nějak perturbuje (pozmění, rozkolísá, poruší
. . . ) řešení „čisté, neporušené lineární rovnice. Z této úvahy plyne název metoda variace
konstanty. Řešení tedy očekáváme ve tvaru
x(t) = C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ.
Pak x′ = (C′(t) + a(t)C(t)) exp
t
t0
a(τ)dτ. Dosazením do dané rovnice dostaneme
C′
(t) + a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ = a(t)C(t) exp
t
t0
a(τ)dτ + b(t),
C′
(t) = b(t) exp
t0
t
a(τ)dτ,
což je rovnice typu (1.1.1). Integrací v mezích od t0 do t dostaneme
C(t) − C(t0) =
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ
Obecné řešení nehomogenní rovnice tedy je
x(t) =

const +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ
1.3. LINEÁRNÍ ROVNICE 13
a partikulární řešení splňující počáteční podmínku (1.1) je
x(t) =

x0 +
t
t0

b(σ) exp
t0
σ
a(τ)dτ

 dσ

 exp
t
t0
a(τ)dτ. (1.18)
Užití integračního faktoru
Lineární rovnici (1.12) můžeme (při změně označení proměnných) přepsat v „diferenciálním
tvaru (1.11). Tuto rovnici lze vynásobit integračním faktorem
P(t) = exp − a(t)dt
a tak převést na rovnici exaktní.
U lineární rovnice není třeba hledat kmenovou funkci příslušného diferenciálu, stačí rovnici
integračním faktorem vynásobit a postupně upravit:
x′
− a(t)x = b(t) / e− a(t)dt
x′
e− a(t)dt
− a(t)xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
d
dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
xe− a(t)dt
= b(t)e− a(t)dt
dt
x = e a(t)dt
b(t)e− a(t)dt
dt
Tím jsme dostali obecné řešení lineární rovnice (1.12) ve tvaru neurčitých integrálů. Při
hledání partikulárního řešení rovnice (1.12) s počáteční podmínkou (1.1) postupujeme analo-
gicky:
x′
(t) − a(t)x = b(t) / e
−
t
t0
a(τ)dτ
x′
(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
− a(t)x(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
= b(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
d
dt

x(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ

 = b(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
x(t)e
−
t
t0
a(τ)dτ
− x(t0) =
t
t0
b(s)e
−
s
t0
a(τ)dτ
ds
x(t) = e
t
t0
a(τ)dτ

x0 +
t
t0
b(s)e
−
s
t0
a(τ)dτ
ds

 (1.19)
14 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Třemi různými postupy jsme dospěli k vyjádření řešení počáteční úlohy (1.12), (1.1) pro
lineární rovnici. Snadno nahlédneme, že výsledky (1.17), (1.18) a (1.19) jsou stejné.
Jsou-li koeficienty lineární rovnice konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, pak je její partikulární
řešení s počáteční podmínkou (1.1) dáno formulí
x(t) = x0 +
B
A
eA(t−t0)
−
B
A
.
Příklad na užití lineární rovnice je 5.6.
1.4 Bernoulliova rovnice x′
= a(t)x + b(t)xr
, r ∈ R
Zavedeme funkci u = u(t) = x(t)1−r. Pak x = u
1
1−r , x′ =
1
1 − r
u
1
1−r
−1
u′. Dosadíme do dané
rovnice:
1
1 − r
u
r
1−r u′
= a(t)u
1
1−r + b(t)u
r
1−r / (1 − r)u
r
r−1
u′
= (1 − r)a(t)u + (1 − r)b(t) .
To je lineární rovnice pro neznámou funkci u.
Jsou-li koeficienty konstantní, a(t) ≡ A, b(t) ≡ B, lze použít substituci
x = y −
B
A
− 1
r−1
.
pak
x′
= −
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1
−1
y′
a tedy
−
1
r − 1
y −
B
A
− 1
r−1
−1
y′
= A + B y −
B
A
−1
y −
B
A
− 1
r−1
−
1
r − 1
y′
= A + B
A
Ay − B
Ay − B
A
1
1 − r
y′
=
A2y − AB + AB
Ay − B
Ay − B
A
y′
= (1 − r)Ay,
což je lineární homogenní rovnice.
Příklady na užití Bernoulliovy rovnice jsou 5.6 a 5.7.
1.5 Cvičení
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
1.5. CVIČENÍ 15
1) 2t(2x − 3)dt + (t2 + 1)dx = 0 2)
dx
dt
= et−x
3) texdx +
t2 + 1
x
dt = 0 4)
√
1 + t2 dx +
√
x2 − 1 dt = 0
5) t2dx + (x2 − tx)dt = 0 6)
dt
dx
=
t + x
x − t
7) t sin
x
t
− x cos
x
t
dt + t cos
x
t
dx = 0 8) 2
dx
dt
− x = et/2
9) tdx + xdt = sin tdt 10) (t − 1)3x′ + 4(t − 1)2x = t + 1
11) e2xdt + 2(te2x − x)dx = 0 12) (x2 + 1)dt + (2tx + 1)dx = 0
13) (t + x)dt + (t + x2)dx = 0 14) tdx − xdt + t3dt = 0
15) (t2 + t − x)dt + tdx = 0 16) (cos t + x cos t)dt + dx = 0; x(π/2) = 0
17) x′ + 2x = t; x(0) = 2 18) (t + 2x)dt + (x + 2t)dx = 0; x(1) = 1
19) Určete konstanty a, b, c tak, aby rovnice (at2 + bx2)dt + ctx dx = 0 byla exaktní a
vyřešte ji.
Výsledky:
1)x =
3
2
+
C
(t2 + 1)2
2)ex = et+C 3)ex(x−1)+
t2
2
+ln |t| = C 4)(x+
√
x2 − 1 )(t+
√
t2 + 1 ) = C
5)x =
t
ln |t| + C
6)
1
2
ln(t2 + x2) + arctg
x
t
= C 7)x = t arcsin
C
t
8)x =
t + C
2
et/2
9)x =
C − cos t
t
10)x =
t3 − 3t + C
3(t − 1)4
11)t =
x2 + C
2
e−2x 12)t =
C − x
x2 + 1
13)
t2
2
+tx+
x3
3
= C
14)x = Ct −
t3
2
15)x = Ct − t2 − t ln |t| 16)x = e1−sin t − 1 17)x =
t
2
+
9
4
e−2t −
1
4
18)x =
√
3t2 + 6 − 2t 19)c = 2b;
at3
3
+ btx2 = C
16 KAPITOLA 1. EXPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Kapitola 2
Implicitní rovnice prvního řádu
Tyto rovnice nazýváme také diferenciální rovnice nerozřešené vzhledem k derivaci. Jedná se
o rovnice tvaru
F(t, x, x′
) = 0. (2.1)
Obecný postup při řešení těchto rovnic spočívá v zavedení funkce p = p(t) = x′(t) a následném
derivování rovnice
F t, x(t), p(t) = 0
podle proměnné t. Tímto způsobem se v některých případech podaří najít řešení dané rovnice
v parametrickém tvaru
t = ϕ(p),
x = ψ(p);
proměnnou p přitom považujeme za parametr. Uvedený postup je použitelný zejména v případech,
kdy lze z rovnice (2.1) vypočítat proměnnou t nebo x, viz 2.1.
Je-li funkce F polynomem v proměnné x′ s koeficienty závisejícími na proměnných t a x,
není potřeba přepsanou rovnici
F(t, x, p) =
n
i=0
ai(t, x)pi
= 0
derivovat podle proměnné t; postup řešení ukážeme v 2.2.
2.1 Rovnice rozřešené vzhledem k t nebo x
2.1.1 Implicitní autonomní rovnice x = f(x′
)
Označíme p = p(t) = x′(t), rovnici přepíšeme do tvaru
x(t) = f p(t)
a zderivujeme podle proměnné t,
p(t) = f′
p(t) p′
(t).
17
18 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Pokud je f′ p(t) = 0, tj. pokud je funkce f nekonstantní, můžeme z poslední rovnice vypočítat
p′(t). Dostaneme tak explicitní autonomní diferenciální rovnici pro neznámou funkci p
ve tvaru
p′
=
p
f′(p)
,
která má podle 1.1.2 řešení dané implicitně rovností
t =
p dp
f′(p)
.
To je parametrické vyjádření původní nezávisle proměnné t. Původní závisle proměnná x je
parametricky vyjádřena danou rovností
x = f(p).
Povšimněme si, že integrační konstanta se objevuje pouze u nezávisle proměnné t. Tato konstanta
je aditivní. To znamená, že řešení autonomní rovnice je invariantní vzhledem k posunutí
v nezávisle proměnné.
Pokud je nula v definičním oboru funkce f, pak je také konstantní funkce x ≡ f(0) řešením
dané rovnice.
Příklad: xx′ − 2(x′)4 + 2 = 0 S označením p = x′ tuto rovnici přepíšeme jako
xp − 2p4
+ 2 = 0.
Vidíme, že p = 0 není kořenem této (algebraické) rovnice. Můžeme proto vypočítat
x = 2
p4 − 1
p
. (2.2)
Tuto rovnost derivujeme podle proměnné t a upravíme:
x′
= 2
4p3p − (p4 − 1)
p2
p′
p = 2
3p4 + 1
p2
dp
dt
dt = 2
3p4 + 1
p3
dp
t = 2 3p +
1
p3
dp = 2
3p2
2
−
1
2p2
+ C
t =
3p4 − 1
p2
+ C. (2.3)
Rovnostmi (2.3) a (2.2) je vyjádřeno řešení dané rovnice v parametrickém tvaru.
2.1.2 Rovnice tvaru t = f(x, x′
)
Označíme p = x′ a dostaneme rovnici
t = f(x, p),
2.1. ROVNICE ROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K T NEBO X 19
kterou zderivujeme podle proměnné t,
1 = fx(x, p)
dx
dt
+ fp
dp
dt
.
Poněvadž platí
dx
dt
= p a
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
= p
dp
dx
,
můžeme předchozí rovnici upravit na tvar
1 = pfx(x, p) + pfp(x, p)
dp
dx
,
tj.
dx
dp
=
1 − pfx(x, p)
pfp(x, p)
,
což je rovnice explicitní pro neznámou funkci x s nezávisle proměnnou p. Její řešení označíme
ψ(p). Řešení dané implicitní rovnice má tedy parametrické vyjádření
t = f ψ(p), p ,
x = ψ(p).
Příklad: t = (x−x′)x′ Označíme p = x′, rovnici přepíšeme, zderivujeme podle proměnné
t a upravíme:
t = (x − p)p
1 = p2
+ x
dp
dt
− 2p
dp
dt
1 − p2
= (x − 2p)
dp
dt
1 − p2
= (x − 2p)
dp
dx
p
1 − p2
= (xp − 2p2
)
dp
dx
.
Předpokládejme nejprve, že p2 = 1. Pak lze rovnici dále upravit na tvar
dx
dp
=
p
1 − p2
x −
2p2
1 − p2
,
což je lineární rovnice pro neznámou funkci x proměnné p. Její řešení najdeme užitím inte-
20 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
gračního faktoru:
dx
dp
+
p
p2 − 1
x =
2p2
p2 − 1
p2 − 1
p2 − 1
dx
dp
+
p
p2 − 1
x =
2p2
p2 − 1
d
dp
x p2 − 1 =
2p2
p2 − 1
x p2 − 1 = 2
p2dp
p2 − 1
x =
1
p2 − 1
p p2 − 1 + ln p + p2 − 1 + const
x = p +
1
p2 − 1
ln C p + p2 − 1 .
Vyjádření proměnné t jako funkce parametru p dostaneme dosazením tohoto výrazu do dané
rovnice. Řešení dané rovnice v parametrickém tvaru tedy je
t =
p
p2 − 1
ln C p + p2 − 1 ,
x = p +
1
p2 − 1
ln C p + p2 − 1 .
Ještě poznamenejme, že parametr p se pohybuje v intervalu (0, 1) nebo v intervalu (−1, 0) a
integrační konstanta C je nenulová a má stejné znaménko jako parametr p.
Nyní vyšetříme zatím vyloučený případ p2 = 1. Pokud p = x′ = 1, pak x = t + A a
dosazením do dané rovnice dostaneme t = (t + A − 1), takže A = 1. Další řešení dané rovnice
je tedy dáno explicitně rovností
x = t + 1.
Pokud p = −1, pak x = −t + B a dosazením do dané rovnice najdeme B = −1. Třetí řešení
dané rovnice tedy je
x = −t − 1.
2.1.3 Rovnice tvaru x = f(t, x′
)
Při označení p = x′ máme rovnici
x = f(t, p), (2.4)
nebo podrobněji
x(t) = f t, p(t) ,
kterou derivujeme podle proměnné t. S využitím „řetězového pravidla pro derivaci složené
funkce dvou proměnných dostaneme
p(t) = ft t, p(t) + fp t, p(t)
dp
dt
. (2.5)
2.1. ROVNICE ROZŘEŠENÉ VZHLEDEM K T NEBO X 21
Pokud je p = ft(t, p), pak rovnici (2.5) přepíšeme do tvaru
dt
dp
=
fp(t, p)
p − ft(t, p)
,
což je explicitní diferenciální rovnice pro neznámou funkci t jedné proměnné p. Najdeme její
řešení t = ϕ(t) a dosadíme ho do dané rovnice (2.4). Dostaneme tak řešení dané rovnice
v parametrickém vyjádření
t = ϕ(p),
x = f ϕ(p), p ,
kde proměnnou p považujeme za parametr.
Příklad: x = 2tx′ − ln x′ Označíme p = x′, rovnici přepíšeme, zderivujeme obě její strany
podle proměnné t a upravíme:
x = 2tp − ln p,
p = 2p + 2t
dp
dt
−
1
p
dp
dt
,
−p = 2t −
1
p
dp
dt
.
Poněvadž hodnota p je argumentem logaritmu, musí být p > 0. Rovnici tedy můžeme dále
upravit na tvar
dt
dp
= −
2
p
t +
1
p2
,
což je lineární rovnice, která má podle 1.3 řešení
t =
1
p
+
C
p2
.
Toto vyjádření dosadíme do dané rovnice a dostaneme
x = 2
1
p
+
C
p2
p − ln p = 2 1 +
C
p
− ln P.
Obecné řešení dané rovnice v parametrickém tvaru tedy je
t =
p + C
p2
,
x = 2
p + C
p
− ln p.
V tomto případě lze parametr p eliminovat. Z první rovnice vypočítáme
p =
1 ±
√
1 + 4Ct
2t
a dosadíme do druhé. Po úpravách dostaneme
x(t) = 1 ±
√
1 + 4Ct − ln
1 ±
√
1 + 4Ct
2t
.
Řešení se znaménkem „+ je definováno na intervalu (0, ∞) a integrační konstanta C může
být libovolná; řešení se znaménkem „− je definováno na intervalu −∞,
−1
4C
a konstanta
C musí být záporná.
22 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
Clairautova rovnice x = tx′ + g(x′)
Rovnici x = tp + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = p + t
dp
dt
+ g′
(p)
dp
dt
0 = t + g′
(p)
dp
dt
Musí tedy být
dp
dt
= 0 nebo t = −g′(p).
Z první rovnosti a dané rovnice dostaneme obecné řešení
x(t) = ct + g(c),
kde c ∈ R je libovolná konstanta; z druhé rovnice dostaneme parametrické vyjádření singulárního
řešení
t = −g′
(p)
x = −pg′
(p) + g(p) ,
kde p je parametr.
Lagrangeova rovnice x = tf(x′) + g(x′)
Rovnici x = tf(p) + g(p) derivujeme podle proměnné t:
p = f(p) + tf′
(p)
dp
dt
+ g′
(p)
dp
dt
p − f(p) = tf′
(p) + g′
(p)
dp
dt
Má-li rovnice p−f(p) = 0 řešení p ≡ c, pak x(t) = ct+c1 je singulárním řešením dané rovnice.
Konstantu c1 určíme dosazením do dané rovnice:
ct + c1 = tf(c) + g(c)
c1 = t f(c) − c + g(c)
a poněvadž f(c) = c, je c1 = g(c). Singulární řešení Lagrangeovy rovnice tedy je
x(t) = ct + g(c) ,
kde c je řešením rovnice c = f(c) (je pevným bodem funkce f).
Pro p = f(p) dostaneme
dt
dp
=
tf′(p) + g′(p)
p − f(p)
,
což je lineární rovnice pro neznámou funkci t nezávisle proměnné p. Označíme-li její řešení
t = t(p) = ϕ(p), pak
t = ϕ(p)
x = f(p)ϕ(p) + g(p)
je parametrickým vyjádřením obecného řešení Lagrangeovy rovnice.
2.2. ROVNICE TVARU PN (X′) = 0 23
2.2 Rovnice tvaru Pn(x′
) = 0
Nechť Pn je polynom stupně n, jehož koeficienty jsou funkcemi proměnných t a x definovanými
na nějaké oblasti v R2. Hledáme tedy řešení rovnice
x′n
+ an−1(t, x)x′n−1
+ an−2(t, x)x′n−2
+ · · · + a1(t, x)x′
+ a0(t, x) = 0.
Při označení p = p(t) = x(t) máme rovnici
pn
+ an−1(t, x)pn−1
+ an−2(t, x)pn−2
+ · · · + a1(t, x)p + a0(t, x) = 0.
Pokud polynom na levé straně rovnice nemá reálné kořeny, pak uvažovaná diferenciální rovnice
nemá (reálné) řešení. Nechť tedy na nějaké oblasti G ⊆ R2 má polynom na levé straně k
reálných různých kořenů p1, p2, . . . , pk, které samozřejmě závisí na dvojici proměnných t, x,
tj. p1 = f1(t, x), p2 = f2(t, x), . . . , pk = fk(t, x). Řešení každé z explicitních diferenciálních
rovnic prvního řádu
x′
i = fi(t, x), i = 1, 2, . . . , k
je současně řešením dané implicitní diferenciální rovnice.
Další nejednoznačnost plyne z faktu, že některé z funkcí fi, i = 1, 2, . . . , k mohou nabývat
v některých bodech oblasti G nebo dokonce na nějakých otevřených podmnožinách oblasti
G stejných hodnot. V takovém případě může řešením dané rovnice např. funkce x, která
na nějaké části svého definičního oboru splňuje rovnici x′ = f1(t, x) a na jiné části rovnici
x′ = f2(t, x) a podobně.
Příklad: Budeme hledat řešení rovnice
x′2
+ tx = 0. (2.6)
Při označení p = x′ máme
p2
+ tx = 0.
Polynom na levé straně má na množině G = (t, x) ∈ R2 : tx ≤ 0 (tedy na sjednocení druhého
a čtvrtého kvadrantu) dva reálné kořeny p1 =
√
−tx, p2 = −
√
−tx. Dostáváme tak dvě
explicitní diferenciální rovnice prvního řádu
x′
=
√
−tx, x′
= −
√
−tx.
Každá z nich má konstantní řešení x0 = x0(t) ≡ 0. Ve druhém kvadrantu, tedy pro x ≥ 0 a
t ≤ 0, jsou tyto rovnice tvaru
x′
=
√
x
√
−t, x′
= −
√
x
√
−t,
což jsou rovnice se separovanými proměnnými. První z nich má podle 1.1.3 řešení v implicitním
tvaru
dx
√
x
=
√
−tdt, tj. 2
√
x = −2
3
√
−t3 + const.
Dostáváme tak další řešení dané rovnice
x1(t) = C1 − 1
3
√
−t3
2
24 KAPITOLA 2. IMPLICITNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU
definované na intervalu (−∞, 0]. Ze druhé rovnice dostaneme řešení
x2(t) = C2 + 1
3
√
−t3
2
definované také na intervalu (−∞, 0].
Analogicky dostaneme další dvě řešení
x3(t) = − C3 − 1
3
√
−t3
2
, x4(t) = − C4 + 1
3
√
−t3
2
definovaná na intervalu [0, ∞).
Rovnici (2.6) můžeme uvažovat s počáteční podmínkou
x(t0) = ξ0. (2.7)
Pokud t0ξ0 < 0 a t0 = 0, má úloha (2.6), (2.7) v okolí bodu t0 dvě diferencovatelná řešení,
která můžeme souhrnně zapsat jako
x(t) = − sgn t0 |ξ0| ± 1
3 |t0|3 − |t|3
2
;
pokud ξ0 = 0 = t0, má úloha (2.6), (2.7) v okolí bodu t0 dvě diferencovatelná řešení
x(t) = −1
9 sgn t0 |t0|3 − |t|3
2
, x(t) = 0;
pokud ξ0 = 0 = t0, má úloha (2.6), (2.7) dvě diferencovatelná řešení
x(t) = sgn ξ0 |ξ0| ± 1
3 |t|3
2
,
která jsou pro ξ0 < 0 definována na pravém okolí bodu t0, pro ξ0 > 0 na levém okolí bodu t0;
pokud ξ0 = 0 = t0, pak libovolná z funkcí
x(t) = 0, x(t) =
0, t ≤ 0,
−
√
t3, t > 0,
x(t) =
√
−t3, t < 0,
0, t ≥ 0,
x(t) = −t |t|
je diferencovatelným řešením úlohy (2.6), (2.7) na okolí bodu t0.
Kapitola 3
Lineární rovnice vyššího řádu a
lineární systémy
3.1 Lineární rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
Jedná se o rovnice tvaru
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a2x′′
+ a1x′
+ a0x = b(t). (3.1)
Přitom a0, a1, a2, . . . , an−1 jsou reálné konstanty, b je reálná funkce jedné reálné proměnné.
Pokud je funkce b na pravé straně identity (3.1) nulová, b(t) ≡ 0, rovnice se nazývá homogenní,
v opačném případě nehomogenní.
3.1.1 Homogenní rovnice
Budeme hledat řešení rovnice
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ · · · + a1x′
+ a0x = 0. (3.2)
Připomeneme základní pojmy a tvrzení teorie lineárních homogenních rovnic n-tého řádu.
• Princip superpozice: Jsou-li y1 = y1(t) a y2 = y2(t) řešení rovnice (3.2), pak také jejich
lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech funkcí, které
jsou řešením rovnice (3.2) tvoří vektorový prostor.
• Množina všech řešení rovnice (3.2) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem reálných
čísel.
• Báze prostoru všech řešení rovnice (3.2) se nazývá fundamentální systém řešení.
• Funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2) právě tehdy, když
každá z těchto funkcí funkcí je řešením rovnice a jejich wronskián
W(t; y1, y2, . . . , yn) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)
25
26 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
je nenulový pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné t (a v důsledku toho je nenulový
pro všechny reálné hodnoty t).
Nejjednodušším případem rovnice (3.2) je samozřejmě rovnice prvního řádu
x′
− ax = 0, (3.3)
která má podle 1.3.1 řešení x(t) = Ceat. Funkce y1(t) = eat je kladná, proto je wronskián
W(t; y1) nenulový. Funkce y1 je tedy fundamentálním (systémem) řešením rovnice (3.3).
Uvedené pozorování napovídá, že i rovnice vyššího řádu by mohla mít řešení ve tvaru
exponenciálních funkcí.
Rovnice druhého řádu: Rovnici pro jednoduchost zapíšeme ve tvaru
x′′
− ax′
+ bx = 0. (3.4)
Řešení budeme hledat ve tvaru x(t) = eλt se zatím neurčeným koeficientem λ. Očekávaný
tvar řešení dosadíme do rovnice a dostaneme
λ2
eλt
− aλeλt
+ beλt
= 0.
Poněvadž eλt > 0, můžeme předchozí rovnost funkcí eλt vydělit. Tím dostaneme (algebraickou)
rovnici pro neznámý koeficient λ,
λ2
− aλ + b = 0. (3.5)
Tato rovnice se nazývá charakteristická (algebraická) rovnice příslušná k (diferenciální) rovnici
(3.4), její levá strana se nazývá charakteristický polynom rovnice (3.4).
Charakteristická rovnice (3.5) je kvadratická. Mohou tedy nastat tři případy:
(i) a2 > 4b. V takovém případě má rovnice (3.5) dva reálné různé kořeny
λ1,2 = 1
2 a ±
√
a2 − 4b
a funkce dané výrazy
y1(t) = e
1
2 (a+
√
a2−4b)t
, y2(t) = e
1
2 (a−
√
a2−4b)t
jsou řešením rovnice (3.4). Poněvadž
W(0; y1, y2) =
1 1
1
2 a +
√
a2 − 4b 1
2 a −
√
a2 − 4b
= − a2 − 4b < 0,
tvoří tyto funkce fundamentální systém řešení rovnice (3.4).
Pro zjednodušení zápisu ještě označíme ϕ = 1
2
√
a2 − 4b a fundamentální systém řešení
rovnice (3.4) zapíšeme ve tvaru
y1(t) = e
1
2
at
eϕt
, y2(t) = e
1
2
at
e−ϕt
.
Obecné řešení rovnice (3.4) tedy je
x(t) = Aeϕt
+ Be−ϕt
e
1
2
at
,
kde A, B jsou libovolné reálné konstanty.
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 27
(ii) a2 < 4b. V takovém případě má rovnice (3.5) dva komplexně sdružené kořeny
λ1,2 = 1
2 a ± i
√
4b − a2 .
Komplexní funkce dané rovnostmi
z1(t) = eλ1t
= e
1
2
at
cos 1
2
√
4b − a2 t + i sin 1
2
√
4b − a2 t ,
z2(t) = eλ2t
= e
1
2
at
cos 1
2
√
4b − a2 t − i sin 1
2
√
4b − a2 t
jsou řešením diferenciální rovnice (3.4) a podle principu superpozice také reálné funkce
y1(t) =
1
2
z1(t) + z2(t) = e
1
2
at
cos 1
2
√
4b − a2 t,
y2(t) =
1
2i
z1(t) − z2(t) = e
1
2
at
sin 1
2
√
4b − a2 t
jsou řešením rovnice (3.4). Poněvadž
W(0; y1, y2) =
1 0
1
2a 1
2
√
4b − a2 = 1
2
√
4b − a2 > 0,
tvoří funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t) fundamentální systém řešení rovnice (3.4).
Pro zjednodušení zápisu ještě zavedeme označení ϕ = 1
2
√
4b − a2. Fundamentální systém
řešení pak zapíšeme ve tvaru
y1(t) = e
1
2
at
cos ϕt, y2(t) = e
1
2
at
sin ϕt.
Obecné řešení rovnice (3.4) pak je dáno jedním z ekvivalentních výrazů
x(t) = C1 cos ϕt + C2 sin ϕt e
1
2
at
= Ae
1
2
at
cos(ϕt − β),
kde C1, C2, a A, β jsou libovolné konstanty; konstanty C1, C2, A, β v předchozí rovnosti
jsou vázány vztahy
A = C2
1 + C2
2 , cos β =
C1
C2
1 + C2
2
, sin β =
C2
C2
1 + C2
2
.
(iii) a2 = 4b. V tomto případě diferenciální rovnice (3.5) a k ní příslušná charakteristická
rovnice mají tvar
x′′
− ax′
+ 1
4a2x = 0, λ2 − aλ + 1
4 a2 = 0. (3.6)
Charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen λ1 = 1
2a. Funkce y1 daná předpi-
sem
y1(t) = e
1
2
at
je řešením rovnice (3.4) a je kladná. Potřebujeme najít druhou složku fundamentálního
systému řešení rovnice (3.4). Spolu s rovnicemi (3.6) uvažujme „blízké rovnice
x′′
− (a + ε)x′
+ 1
4 a(a + 2ε)x = 0, λ2 − (a + ε)λ + 1
4a(a + 2ε) = 0. (3.7)
28 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Tyto rovnice přejdou pro ε → 0 v rovnice (3.6). Kvadratická rovnice v (3.7) má pro
ε = 0 dva různé kořeny
λ1 = 1
2a a λ2 = 1
2a + ε,
takže diferenciální rovnice v (3.7) má fundamentální systém řešení
y1(t) = e
1
2
at
, z1(t) = e(1
2
a+ε)t
.
Podle principu superpozice má tato rovnice také řešení dané vztahem
z2 =
z1(t) − y1(t)
ε
.
Poněvadž řešená diferenciální rovnice v (3.6) je pro ε → 0 rovna diferenciální rovnici
z (3.7), lze očekávat, že také limitní funkce z2 pro ε → 0 bude řešením diferenciální
rovnice v (3.6). Položme
y2(t) = lim
ε→0
y2(t).
S využitím de l’Hôpitalova pravidla vypočítáme
y2(t) = lim
ε→0
e(1
2
a+ε)t
− e
1
2
at
ε
= lim
ε→0
te(1
2
a+ε)t
1
= te
1
2
at
.
Přímým výpočtem se přesvědčíme, že funkce y2, y2(t) = te
1
2
at
, je skutečně řešením
diferenciální rovnice v (3.6). Dále platí
W(0; y1, y2) =
1 0
1
2 a 1
= 1 = 0,
a proto funkce y1 = y1(t), y2 = y2(t) tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.6).
Obecné řešení rovnice (3.6) je tedy tvaru
x(t) = (A + Bt)e
1
2
at
,
kde A, B jsou libovolné konstanty.
Rovnice obecného řádu: Řešení lineární homogenní rovnice n-tého řádu (3.2) je bezprostředním
zobecněním řešení rovnice druhého řádu. K diferenciální rovnici (3.2) přiřadíme
algebraickou charakteristickou rovnici
λn
+ an−1λn−1
+ · · · + a1λ + a0 = 0. (3.8)
Její kořeny a jejich násobnosti jednoznačně určují fundamentální systém řešení diferenciální
rovnice (3.2); to podrobně shrnuje následující věta.
Věta 1. Každému reálnému k-násobnému kořenu λ charakteristické rovnice (3.8) odpovídá
k řešení
eλt
, teλt
, t2
eλt
, . . . , tk−1
eλt
,
diferenciální rovnice (3.2) a každé dvojici j-násobných nereálných kořenů α ± iβ charakteristické
rovnice (3.8) odpovídá 2j reálných řešení
eαt
cos βt, teαt
cos βt, t2
eαt
cos βt, . . . , tj−1
eαt
cos βt,
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 29
eαt
sin βt, teαt
sin βt, t2
eαt
sin βt, . . . , tj−1
eαt
sin βt
diferenciální rovnice (3.2). Množina řešení odpovídající všem kořenům charakteristické rovnice
(3.8) tvoří fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého
řádu s konstantními koeficienty (3.2).
Důkaz věty provedeme ve třech krocích.
Lemma 1. Pokud λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce
x1(t) = eλt
, x2(t) = teλt
, x3(t) = t2
eλt
, . . . , xk(t) = tk−1
eλt
jsou řešení rovnice (3.2).
Důkaz: Označme an = 1 a P(λ) =
n
i=0
aiλi pravou stranu charakteristické rovnice (3.8).
Poněvadž λ je k-násobný kořen charakteristické rovnice, platí
∂i
∂λi
P(λ) = 0 pro i = 0, 1, 2, . . . , k − 1. (3.9)
Funkce xl = xl(t) = tl−1eλt, l = 1, 2, . . . , k vyjádříme ve tvaru
xl(t) =
∂l−1
∂λl−1
eλt
,
dosadíme je do pravé strany rovnice (3.2) a upravíme s využitím Leibnizovy formule pro vyšší
derivace součinu funkcí. Dostaneme
n
i=0
aix
(i)
l (t) =
n
i=0
ai
∂i
∂ti
∂l−1
∂λl−1
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
ai
∂i
∂ti
eλt
=
∂l−1
∂λl−1
n
i=0
aiλi
eλt
=
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
n
i=0
aiλi
=
∂l−1
∂λl−1
eλt
P(λ) =
l−1
i=0
l − 1
i
∂iP(λ)
∂λi
∂l−1−ieλt
∂λl−1−i
= 0
podle (3.9). Funkce xl tedy splňují rovnici (3.2).
Lemma 2. Nechť λ1, λ2, . . . , λl jsou všechny navzájem různé kořeny charakteristické rovnice
(3.8), přičemž kořen λi je ki-násobný, i = 1, 2, . . . , l, k1 + k2 + · · · + kl = n. Pak funkce
y1(t) = eλ1t
, y2(t) = teλ1t
, y3(t) = t2
eλ1t
, . . . , yk1 (t) = tk1−1
eλ1t
,
yk1+1(t) = eλ2t
, yk1+2(t) = teλ2t
, yk1+3(t) = t2
eλ2t
, . . . , yk1+k2 (t) = tk2−1
eλ2t
, . . . ,
...
yk1+k2+···+kl−1+1(t) = eλlt
, yk1+k2+···+kl−1+2(t) = teλlt
, yk1+k2+···+kl−1+3(t) = t2
eλlt
, . . . ,
yn(t) = tkl−1
eλlt
tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2).
30 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Důkaz: Každá z funkcí y1, y2, . . . , yn je řešením rovnice (3.2) podle lemma 1. Stačí tedy dokázat
jejich lineární nezávislost, tj. ukázat, že jejich wronskián
W(t; y1, y2, . . . , yn) =
y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y2′(t) . . . yn′(t)
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)
je nenulový pro všechna t ∈ R. Z teorie víme, že wronskián je buď pro všechna t, nebo je pro
všechna t nenulový. Připusťme, že W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0 pro všechna t ∈ R. Wronskián má
lineárně závislé řádky a tedy existují konstanty c0, c1, . . . , cn−1, mezi nimiž je alespoň jedna
nenulová, takové že
c0yj + c1y′
j + · · · + cn−1y
(n−1)
j ≡ 0
pro všechna j = 1, 2, . . . , n.
Pro λ ∈ R a n-krát diferencovatelnou funkci x nyní položíme
q(λ) = c0 + c1λ + c2λ2
+ · · · + cn−1λn−1
,
M x(t) = c0x(t) + c1x′
(t) + c2x′′
(t) + · · · + cn−1x(n−1)
(t).
Pak q je polynom stupně nejvýše n − 1. Pro funkci M a pro libovolné κ ∈ {1, 2, . . . , k1} platí
0 = M yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
yκ(t) =
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
λ=λ1
=
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ci
∂i
∂ti
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
n−1
i=0
ciλi
eλt
λ=λ1
=
∂κ−1
∂λκ−1
eλt
q(λ)
λ=λ1
=
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
∂i
∂λi
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
=
κ−1
i=0
κ − 1
i
ti
eλt ∂κ−1−i
∂λκ−1−i
q(λ)
λ=λ1
.
Zejména pro t = 0 dostáváme
0 =
∂κ−1
∂λκ−1
q(λ)
λ=λ1
.
To znamená, že λ1 je kořenem (κ − 1)-té derivace polynomu q pro každé κ ∈ {1, 2, . . . , k1},
tedy λ1 je k1-násobným kořenem polynomu q.
Analogicky ukážeme, že λi je ki-násobným kořenem polynomu q pro všechna i = 1, 2, . . . , l.
Polynom q tedy musí být stupně alespoň k1 + k2 + · · · + kl = n a to je spor.
Lemma 2 umožňuje zkonstruovat fundamentální systém řešení lineární rovnice (3.2). Mezi
jeho prvky však mohou být i komplexní funkce, neboť polynom na levé straně charakteristické
rovnice (3.8) může mít komplexně sdružené kořeny. Popíšeme, jak komplexní funkce
z fundamentálního systému nahradíme lineárně nezávislými reálnými funkcemi.
Nechť λc = α + iβ je k-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice (3.8). Pak také
komplexně sdružené číslo λc = α − iβ je k-násobným kořenem charakteristické rovnice a ve
fundamentálním systému řešení z Lemma 2 jsou funkce
tj
e(α+iβ)t
= tj
eαt
(cos βt + i sin βt), tj
e(α−iβ)t
= tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
3.1. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 31
Bez újmy na obecnosti můžeme funkce z fundamentálního systému přečíslovat tak, že
y1(t) = tj
eαt
(cos βt + i sin βt), y2(t) = tj
eαt
(cos βt − i sin βt).
Lemma 3. Nechť y1, y2, y3, . . . , yn je fundamentální systém řešení rovnice (3.2) popsaný předchozí
konstrukcí. Položme
z1 = z1(t) =
1
2
y1(t) + y2(t) = tj
eαt
cos βt, z2 = z2(t) =
i
2
y2(t) − y1(t) = tj
eαt
sin βt.
Pak funkce z1, z2, y3, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.2).
Důkaz: Funkce z1, z2 jsou řešením rovnice (3.2) podle principu superpozice. Ukážeme, že
funkce z1, z2, y3, . . . , yn jsou lineárně nezávislé.
Položme
C =










1
2 −i1
2 0 0 . . . 0
1
2 i1
2 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 . . . 1










,
W(t) =





y1(t) y2(t) y3(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) y′
3(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
...
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) y
(n−1)
3 (t) . . . y
(n−1)
n (t)





.
Pak
det C =
1
2 −i1
2
1
2 i1
2
· 1 =
i
2
= 0
a pro wronskián funkcí z1, z2, y3, . . . , yn platí
W(t; z1, z2, y3, . . . , yn) = det(W(t)C) = det W(t) det C =
i
2
W(t; y1, y2, . . . , yn) = 0.
3.1.2 Nehomogenní rovnice se speciální pravou stranou
Uvažujme nehomogenní lineární rovnici s konstantními koeficienty (3.1). Lineární homogenní
rovnice rovnice (3.2), která má stejné koeficienty a0, a1, . . . , an jako nehomogenní rovnice
(3.1), se nazývá homogenní rovnice přidružená k této nehomogenní rovnici.
Řešení nehomogenní lineární rovnice a k ní přidružené homogenní rovnice mají vlastnosti:
• Obecné řešení x nehomogenní rovnice (3.1) je součtem obecného řešení xH přidružené
homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení xP nehomogenní rovnice.
• Pokud funkce x1, resp. x2, jsou řešení rovnice (3.1) s b = f, resp. s b = g, pak funkce
x = x1 + x2 je řešení rovnice (3.10) s b = f + g.
Partikulární řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty
(3.1) lze v některých případech najít metodou neurčitých koeficientů:
32 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
(i) b(t) = Pm(t), kde Pm je polynom stupně m.
Je-li nula k-násobným kořenem charakteristické rovnice (samozřejmě připouštíme i k =
0), lze partikulární řešení hledat ve tvaru ˜x(t) = tkQm(t), kde Qm je polynom stejného
stupně jako Pm.
(ii) b(t) = eαtPm(t).
Substituce x(t) = eαty(t) převede rovnici na lineární rovnici n-tého řádu s pravou stranou
Pm (předchozí případ).
(iii) b(t) = cos(αt)Pm(t) nebo f(t) = sin(αt)Pm(t).
Najdeme partikulární řešení rovnice
x(n)
+ an−1x(n−1)
+ an−2x(n−2)
+ · · · + a1x′
+ a0x = eiαt
Pm(t)
(to je rovnice předchozího typu). Jeho reálná část je partikulárním řešením uvažované
rovnice v prvním případě, imaginární část ve druhém.
3.2 Lineární rovnice n-tého řádu s proměnnými koeficienty
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je rovnice tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ · · · + a1(t)x′
+ a0(t)x = b(t); (3.10)
x je hledaná funkce jedné reálné proměnné, koeficienty a0, a1, . . . , an−1 a pravá strana b jsou
spojité reálné funkce jedné proměnné takové, že průnik jejich definičních oborů obsahuje
nějaký otevřený interval J. Pokud je pravá strana nulová, b(t) ≡ 0, tj. rovnice je tvaru
x(n)
+ an−1(t)x(n−1)
+ · · · + a1(t)x′
+ a0(t)x = 0, (3.11)
nazývá se homogenní, opačném případě nehomogenní. Mají-li rovnice (3.10) a (3.11) stejné koeficienty,
řekneme, že rovnice (3.11) je homogenní rovnice přidružená k nehomogenní rovnici
(3.10).
Lineární rovnice s obecnými koeficienty (3.10) má stejné obecné vlastnosti jako lineární
rovnice s konstantními koeficienty (3.1):
• Princip superpozice: Jsou-li y1 = y1(t) a y2 = y2(t) řešení homogenní rovnice (3.11),
pak také jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech
funkcí, které jsou řešením homogenní rovnice (3.11) tvoří vektorový prostor.
• Množina všech řešení homogenní rovnice (3.11) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad
polem reálných čísel.
• Báze prostoru všech řešení rovnice (3.11) se opět nazývá fundamentální systém řešení.
• Funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení rovnice (3.11) právě tehdy, když
každá z těchto funkcí funkcí je řešením rovnice a jejich wronskián W(t; y1, y2, . . . , yn) je
nenulový pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné t (a v důsledku toho je nenulový pro
všechny hodnoty t ∈ J).
• Obecné řešení x nehomogenní rovnice (3.10) je součtem obecného řešení xH přidružené
homogenní rovnice a nějakého partikulárního řešení xP nehomogenní rovnice.
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S PROMĚNNÝMI KOEFICIENTY 33
• Pokud funkce x1, resp. x2, jsou řešení rovnice (3.10) s b = f, resp. s b = g, pak funkce
x = x1 + x2 je řešení rovnice (3.10) s b = f + g.
Pokud funkce y1, y2, . . . , yn tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice (3.11), pak
její obecné řešení je tvaru
xH(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t) = y(t)T
c. (3.12)
3.2.1 Partikulární řešení nehomogenní rovnice – variace konstant
Budeme hledat nějaké řešení nehomogenní lineární rovnice (3.10). Předpokládejme, že známe
fundamentální systém řešení y1, y2, . . . , yn přidružené homogenní rovnice (3.11). Obecné řešeni
xH této rovnice je dáno rovností (3.12).
Partikulární řešení nehomogenní rovnice budeme hledat v analogickém tvaru s tím rozdílem,
že vektor c nebude konstantní, ale bude vektorem diferencovatelných funkcí jedné
proměnné. Tuto myšlenku (a jejího autora) vystihuje název: Lagrangeova metoda variace
konstant.
Řešení rovnice (3.10) tedy předpokládáme ve tvaru
xP (t) = y(t)T
c(t);
složky c1 = c1(t), c2 = c2(t), . . . , cn = cn(t) vektorové funkce c budeme hledat.
Platí x′
P (t) = y′(t)Tc(t) + y(t)Tc′(t). Abychom si zjednodušili další výpočty, položíme
y(t)T
c′
(t) = 0.
Je tedy
x′
P (t) = y′
(t)T
c(t)
a proto x′′
P = y′′(t)Tc(t) + y′(t)Tc′(t). Podobně jako v předchozím kroku položíme
y′
(t)T
c′
(t) = 0
a dostaneme
x′′
P (t) = y′′
(t)T
c(t).
Takové výpočty a úvahy zopakujeme (n − 1)krát. Dostaneme tak
x
(j)
P (t) = y(j)
(t)T
c(t), j = 0, 1, . . . , n − 1, (3.13)
y(j)
(t)T
c′
(t) = 0, j = 0, 1, . . . , n − 2. (3.14)
Nakonec ještě vypočítáme
x
(n)
P (t) = y(j)
(t)T
c(t) + y(j−1)
(t)T
c′
(t). (3.15)
Výrazy (3.13), j = 0, 1, . . . , n−1, a (3.15) dosadíme do levé strany rovnice (3.10) a upravíme:
y(j)
(t)T
c(t) + y(j−1)
(t)T
c′
(t) +
n−1
j=0
aj(t)y(j)
(t)T
c(t) =
= y(j−1)
(t)T
c′
(t) +

y(j)
(t)T
+
n−1
j=0
aj(t)y(j)
(t)T

 c(t).
34 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Poněvadž každá složka vektorové funkce y je řešením homogenní rovnice (3.11), je poslední výraz
v závorce roven nulovému vektoru. Levá strana rovnice (3.10) je tedy rovna y(j−1)(t)Tc′(t),
takže se tato rovnice transformuje na rovnici
y(j−1)
(t)T
c′
(t) = b(t). (3.16)
Celkem jsme dostali n algebraických rovnic (3.14), (3.16) pro n složek neznámého vektoru
c′(t). Jedná se o systém lineárních algebraických rovnic, který můžeme přepsat do tvaru
y1(t)c′
1(t) + y2(t)c′
2(t) + · · · + yn(t)c′
n(t) = 0,
y′
1(t)c′
1(t) + y′
2(t)c′
2(t) + · · · + yn′(t)c′
n(t) = 0,
...
...
...
...
...
y
(n−2)
1 (t)c′
1(t) + y
(n−2)
2 (t)c′
2(t) + · · · + y
(n−2)
n (t)c′
n(t) = 0,
y
(n−1)
1 (t)c′
1(t) + y
(n−1)
2 (t)c′
2(t) + · · · + y
(n−1)
n (t)c′
n(t) = b(t),
(3.17)
nebo maticově








y1(t) y2(t) . . . yn(t)
y′
1(t) y′
2(t) . . . y′
n(t)
...
...
...
...
y
(n−2)
1 (t) y
(n−2)
2 (t) . . . y
(n−2)
n (t)
y
(n−1)
1 (t) y
(n−1)
2 (t) . . . y
(n−1)
n (t)















c′
1(t)
c′
2(t)
...
c′
n−1(t)
c′
n(t)







=







0
0
...
0
b(t)







.
Determinant matice na levé straně této rovnice je wronskiánem lineárně nezávislých funkcí
y1, y2, . . . , yn tvořících fundamentální systém řešení rovnice (3.11). Je tedy pro libovolné t
nenulový a matice je regulární. Proto můžeme funkce c′
1, c′
2, . . . , c′
n jednoznačně vypočítat.
Jejich integrací získáme hledané funkce c1, c2, . . . , cn.
Partikulární řešení rovnice (3.10) splňující nulovou počáteční podmínku x(t0) = 0 získáme
tak, že integrujeme v mezích od t0 do t.
Příklad: Najdeme obecné řešení rovnice
x′′
+ x = f(t)
s obecnou pravou stranou; o funkci f předpokládáme, že je definovaná na intervalu, který
obsahuje nulu, a že je integrovatelná.
Přidružená homogenní rovnice x′′ + x = 0 má konstantní koeficienty. Její charakteristická
rovnice λ2 + 1 = 0 má dva ryze imaginární kořeny λ1,2 = ±i, takže fundamentální systém
řešení je
y1(t) = cos t, y2(t) = sin t.
Systém rovnic (3.17) je nyní tvaru
c′
1(t) cos t + c′
2 sin t = 0,
−c′
1(t) sin t + c′
2 cos t = f(t).
Odtud vypočítáme
cos t sin t
− sin t cos t
= (cos t)2
+ (sin t)2
= 1,
3.2. LINEÁRNÍ ROVNICE N-TÉHO ŘÁDU S PROMĚNNÝMI KOEFICIENTY 35
c′
1(t) =
0 sin t
f(t) cos t
= −f(t) sin t, c′
2(t) =
cos t 0
− sin t f(t)
= f(t) cos t
a dále
c1(t) = −
t
0
f(s) sin sds, c2(t) =
t
0
f(s) cos sds.
Partikulární řešení dané rovnice, které splňuje nulovou počáteční podmínku x(0) = 0 tedy je
xP (t) = sin t
t
0
f(s) cos sds − cos t
t
0
f(s) sin sds =
=
t
0
f(s)(sin t cos s − cos t sin s)ds =
t
0
f(s) sin(t − s)ds.
Obecné řešení dané rovnice tedy je
x(t) = A cos t + B sin t +
t
0
f(s) sin(t − s)ds.
3.2.2 Eulerova rovnice
Eulerova rovnice je lineární rovnice n-tého řádu ve tvaru
x(n)
+
an−1
t
x(n−1)
+
an−2
t2
x(n−2)
+ · · · +
a1
tn−1
x′
+
a0
tn
x = g(t),
kde a0, a1, . . . , an−1 jsou reálné konstanty a g je funkce definovaná na intervalu (0, ∞). Tuto
rovnici přepíšeme do tvaru
tn
x(n)
+ an−1tn−1
x(n−1)
+ an−2t(n−2)
xn−2
+ · · · + a1tx′
+ a0x = f(t); (3.18)
přitom f(t) = tng(t). Řešíme ji zavedením nové nezávisle proměnné τ, kterou definujeme
rovností t = eτ , tj. τ = ln t. Pak je
x′
=
dx
dt
=
dx
dτ
dτ
dt
=
1
t
dx
dτ
x′′
=
d
dt
1
t
dx
dτ
= −
1
t2
dx
dτ
+
1
t
d2x
dτ2
dτ
dt
=
1
t2
d2x
dτ2
−
dx
dτ
x′′′
=
d
dt
1
t2
d2x
dτ2
−
dx
dτ
= −
2
t3
d2x
dτ2
−
dx
dτ
+
1
t2
d3x
dτ3
−
d2x
dτ2
dτ
dt
=
=
1
t3
d3x
dτ3
− 3
d2x
dτ2
+ 2
dx
dτ
...
Dosadíme-li do rovnice (3.18), vypadnou faktory t, t2, . . . , tn, takže dostaneme lineární
rovnici s konstantními koeficienty.
36 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
Příklad: t2x′′ − 2tx′ + 2x = 3t4.
Položíme t = eτ , tj. τ = ln t a dostaneme
x′
=
dx
dt
=
dx
dτ
dτ
dt
=
1
t
dx
dτ
= e−τ dx
dτ
,
x′′
=
d
dt
x′
=
d
dτ
e−τ dx
dτ
dτ
dt
= −
dx
dτ
+
d2x
dτ2
e−τ
e−τ
= e−2τ d2x
dτ2
−
dx
dτ
.
Daná rovnice se tedy transformuje na tvar
d2x
dτ2
−
dx
dτ
− 2
dx
dτ
+ 2x = 3e4τ
a po triviální úpravě dostaneme rovnici s konstantními koeficienty
d2x
dτ2
− 3
dx
dτ
+ 2x = 3e4τ
. (3.19)
Přidružená homogenní rovnice k této rovnici je
d2x
dτ2
− 3
dx
dτ
+ 2x = 0, (3.20)
její charakteristická rovnice λ2 − 3λ + 2 = 0 má dva reálné kořeny λ1 = 1, λ2 = 2, takže
obecné řešení homogenní rovnice (3.20) je
xH(τ) = Aeτ
+ Be2τ
.
Nehomogenní rovnice (3.19) má speciální tvar pravé strany. Podle 3.1.2 zavedeme novou
neznámou funkci y = y(τ) rovností
x(τ) = e4τ
y(τ). (3.21)
Pak máme
dx
dτ
= 4y +
dy
dτ
e4τ
,
d2x
dτ
=
d
dτ
4y +
dy
dτ
e4τ
= 4
dy
dτ
+
d2y
dτ2
+ 16y + 4
dy
dτ
e4τ
=
d2y
dτ2
+ 8
dy
dτ
+ 16y e4τ
a po dosazení do rovnice (3.20)
d2y
dτ2
+ 8
dy
dτ
+ 16y − 3 4y +
dy
dτ
+ 2y e4τ
= 3e4τ
,
d2y
dτ2
+ 5
dy
dτ
+ 6y = 3,
Partikulární řešení této rovnice je podle 3.1.2 polynom stupně nula, tedy konstanta, y ≡ c.
Po dosazení do rovnice dostaneme 6c = 3, tj. y(τ) = c = 1
2 . Partikulární řešení rovnice (3.19)
dostáváme zpětnou substitucí (3.21) ve tvaru
xP (τ) = 1
2e4τ .
Obecné řešení transformované rovnice (3.19) je dáno rovností
x(τ) = xH(τ) + xP (τ) = Aeτ
+ Be2τ
+ 1
2e4τ .
Z něho zpětnou transformací dostaneme obecné řešení dané rovnice ve tvaru
x(t) = At + Bt2
+ 1
2t4.
3.3. SNÍŽENÍ ŘÁDU LINEÁRNÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 37
3.3 Snížení řádu lineární homogenní rovnice
Může se stát, že známe nějaké nenulové řešení y1 = y1(t) lineární homogenní rovnice n-tého
řádu (3.11); takové řešení můžeme například uhodnou z tvaru koeficientů nebo ze znalosti
procesu, který rovnice (3.11) modeluje. Zavedeme novou neznámou funkci v = v(t) vztahem
x(t) = y1(t)v(t).
Pro zjednodušení zápisu zavedeme funkci an(t) ≡ 1 a levou stranu rovnice (3.11) zapíšeme
jako
n
k=0
ak(t)x(k)
=
n
k=0
ak(t) y1(t)v
(k)
.
Podle Leibnizovy formule pro vyšší derivace součinu funkcí platí
y1(t)v
(k)
=
k
j=0
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
.
Nyní tyto výrazy dosadíme do levé strany rovnice (3.11) a upravíme ji.
n
k=0
ak(t)x(k)
=
n
k=0
ak(t)
k
j=0
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
=
=
n
k=0
k
j=0
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
=
n
j=0
n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
=
=
n
k=0
ak(t)
k
0
y
(k)
1 (t)v +
n−1
j=1
n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)v(j)
+ an(t)
n
n
y1(t)v(n)
=
=
n
k=0
ak(t)y
(k)
1 (t) v +
n−1
j=1


n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)

 v(j)
+ y1(t)v(n)
.
Poslední výraz můžeme upravit na
y1(t)

v(n)
+
n−1
j=1


n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)
y1(t)

 v(j)

 ,
neboť funkce y1 je nenulovým řešením rovnice (3.11).
Nakonec zavedeme označení z(t) = v′(t). Rovnice (3.11) se uvedeným postupem transformuje
na rovnici
z(n−1)
+
n−1
j=1


n
k=j
ak(t)
k
j
y
(k−j)
1 (t)
y1(t)

 z(j−1)
= 0,
nebo ekvivalentně
z(n−1)
+
n−2
j=0


n
k=j+1
ak(t)
k
j + 1
y
(k−j−1)
1 (t)
y1(t)

 z(j)
= 0,
což je lineární homogenní rovnice (n − 1)-ního řádu pro neznámou funkci z.
38 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
3.3.1 Nalezení druhé složky fundamentálního systému rovnice druhého
řádu
Lineární homogenní rovnice druhého řádu má dvojrozměrný prostor řešení. Pokud tedy známe
jedno nenulové řešení, stačí najít druhé – lineárně nezávislé – a rovnici máme vyřešenu. Avšak
známe-li jedno řešení, můžeme obecným postupem uvedeným výše snížit řád rovnice; tak
dostaneme lineární homogenní rovnici, kterou umíme vyřešit způsobem uvedeným v 1.3.1.
Tuto myšlenku ukážeme podrobně.
Nechť p, q jsou spojité funkce definované na intervalu J. Uvažujme lineární homogenní
rovnici druhého řádu ve tvaru
x′′
+ p(t)x′
+ q(t)x = 0 (3.22)
a předpokládejme, že známe jedno její nekonstantní řešení y1 = y1(t), tedy jednu složku
fundamentálního systému řešení. Zavedeme substituci
x(t) = y1(t)v(t), (3.23)
kde v je zatím neznámá funkce. Pak x′ = y′
1v + y1v′, x′′ = y′′
1v + 2y′
1v′ + y1v′′, tedy
y′′
1 v + 2y′
1v′
+ y1v′′
+ py′
1v + py1v′
+ qy1v = 0
y1v′′
+ (2y′
1 + py1)v′
+ y′′
1 + py′
1 + qy1 v = 0
v′′
+ p + 2
y′
1
y1
v′
= 0 ,
Dostali jsme diferenciální rovnici pro neznámou funkci v = v(t), ve které se samotná funkce
v explicitně neobjevuje (podrobněji se takovým rovnicím budeme věnovat v 4.2.2). Položíme
z(t) = v′(t). Pak
z′
= − p(t) + 2
y′
1(t)
y1(t)
z.
To je lineární homogenní rovnice prvního řádu, takže její řešení je tvaru
z(t) = const · exp



−
t
t0
p(s) + 2
y′
i(s)
y1(s)
ds



=
= const · exp −2 ln
y1(t)
y1(t0)
exp



−
t
t0
p(s)ds



= const ·
1
y1(t)2
e
−
t
t0
p(s)ds
,
kde t0 je nějaké číslo z intervalu J. Odtud integrací dostaneme hledanou funkci v ve tvaru
v(t) = A + B
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds,
kde A, B jsou nějaké konstanty. Zpětnou substitucí (3.23) dostaneme řešení rovnice (3.22) ve
tvaru
x(t) = Ay1(t) + By1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds,
3.3. SNÍŽENÍ ŘÁDU LINEÁRNÍ HOMOGENNÍ ROVNICE 39
tedy jako lineární kombinaci funkcí y1 a y2, kde
y2(t) = y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds. (3.24)
K tomu, aby funkce y2 byla druhou složkou fundamentálního systému řešení řešení rovnice
(3.22) stačí, aby byla lineárně nezávislá na funkci y1. To však je splněno, neboť
y′
2(t) = y′
1(t)
t
t0
1
(y1(s))2
e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds +
1
y1(t)
e
−
t
t0
p(σ)dσ
a wronskián funkcí y1, y2 je roven
W(t, y1, y2) =
y1(t) y1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds
y′
1(t) y′
1(t)
t
t0
1
(y1(s))2 e
−
s
t0
p(σ)dσ
ds + 1
y1(t) e
−
t
t0
p(s)ds
= e
−
t
t0
p(s)ds
> 0 .
Příklad: Najdeme fundamentální systém řešení rovnice
x′′
−
2t
1 − t2
x′
+
6
1 − t2
x = 0 (3.25)
na intervalu (−1, 1). Rovnici nejprve vynásobíme dvojčlenem 1 − t2,
(1 − t2
)x′′
− 2tx′
+ 6x = 0. (3.26)
Koeficienty této rovnice jsou polynomy. Dále víme, že derivace polynomu je polynom stupně
o jedna menšího, druhá derivace polynomu je polynom stupně o dva menšího. Pokud by tedy
funkce x = x(t) byla polynomem a dosadili bychom ji do levé strany rovnice (3.26), všechny
sčítance by byly polynomy stejného stupně. Tato pozorování mohou vést k nápadu, že rovnici
(3.26) by mohl řešit polynom.
Budeme tedy předpokládat, že rovnice (3.26) má řešení tvaru
y1(t) =
i=0
aiti
(3.27)
40 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
se zatím neurčenými koeficienty a neurčenou horní mezí pro sčítání. Pak je
6y1(t) = 6a0 + 6a1t +
i=2
6aiti
,
y′
1(t) =
i=0
iaiti−1
=
i=1
iaiti−1
,
2ty′
1(t) =
i=1
2iaiti
= 2a1t +
i=2
2iaiti
,
y′′
1 (t) =
i=1
i(i − 1)aiti−2
=
i=2
i(i − 1)aiti−2
=
i=0
(i + 2)(i + 1)ai+2ti
,
(1 − t2
)y′′
1 (t) =
i=0
(i + 2)(i + 1)ai+2ti
−
i=2
i(i − 1)aiti
=
= 2a2 + 6a3t +
i=2
[(i + 2)(i + 1)ai+2 − i(i − 1)ai] ti
.
Po dosazení do rovnice (3.26) dostaneme
6a0 + 2a2 + (4a1 + 6a3)t +
i=2
[(i + 2)(i + 1)ai+2 − (i + 3)(i − 2)ai] ti
= 0.
To znamená, že koeficienty hledaného polynomu splňují vztahy
a2 = −3a0, a3 = −2
3a1, a4 = 0,
ai+2 =
(i + 2)(i + 1)
(i + 3)(i − 2)
ai, i = 3, 4, . . . .
Odtud je vidět, že a4 = a6 = · · · = 0, tj. všechny koeficienty se sudými indexy většími než
2 jsou nulové. Pokud by koeficient a1 byl nenulový, byly by nenulové všechny koeficienty
s lichými indexy a na pravé straně rovnice (3.27) by nebyl polynom, ale nekonečná řada. Musí
tedy být a1 = 0. Zvolíme-li nyní a0 = 1, dostaneme a2 = −3. Jedno řešení rovnice (3.25) tak
dostáváme ve tvaru
y1(t) = 1 − 3t2
.
Lineárně nezávislé řešení y2 rovnice (3.25) dostaneme z formule (3.24), v níž zvolíme t0 = 0.
V rovnici (3.25) je
p(t) = −
2t
1 − t2
,
takže
−
s
0
p(σ)dσ =
s
0
2σdσ
1 − σ2
= − ln σ2
− 1
s
σ=0
= − ln(1 − s2
)
pro s ∈ (−1, 1). Platí tedy
e
−
t
0
p(σ)dσ
=
1
1 − s2
3.4. SYSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 41
a druhá složka fundamentálního systému řešení rovnice (3.25) je
y2(t) = (1 − 3t2
)
t
0
ds
(1 − 3s2)2(1 − s2)
.
Integrál na pravé straně je integrálem z racionální funkce, můžeme ho tedy vyjádřit explicitně,
t
0
ds
(1 − 3s2)2(1 − s2)
=
1
4
t
0
3
3s2 + 1
(3s2 − 1)2
−
1
s2 − 1
ds =
=
1
4
−3
s
3s2 − 1
−
1
2
ln
s − 1
s + 1
t
s=0
= −
3
4
t
3t2 − 1
−
1
8
ln
t − 1
t + 1
=
=
3
4
t
1 − 3t2
+
1
4
ln
1 + t
√
1 − t2
.
Dostáváme tak druhou složku fundamentálního systému řešení
y2(t) = 1
4 3t + (1 − 3t2
) ln
1 + t
√
1 − t2
a obecné řešení rovnice (3.25) můžeme zapsat ve tvaru
x(t) = A 1 − 3t2
+ B 3t + (1 − 3t2
) ln
1 + t
√
1 − t2
.
Ještě poznamenejme, že rovnice (3.26) je speciálním případem Legendreovy rovnice
(1 − t2
)x′′
− 2tx′
+ νx = 0.
Tato rovnice má řešení ve tvaru polynomu stupně n právě pro ν = n(n + 1).
3.4 Systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty
Jedná se o soustavu obyčejných diferenciálních rovnic tvaru
x′
1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn + b1(t)
x′
2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn + b2(t)
...
...
...
...
...
...
x′
n = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn + bn(t).
(3.28)
Přitom aij, i, j = 1, 2, . . . , n, jsou reálné konstanty, bi = bi(t), i = 1, 2, . . . , n, jsou reálné
funkce jedné reálné proměnné. Pokud jsou všechny funkce b1, b2, . . . , bn na pravých stranách
rovnic (3.28) nulové, systém se nazývá homogenní, v opačném případě nehomogenní.
Lineární systém (3.28) můžeme zapsat v maticovém tvaru





x′
1
x′
2
...
x′
n





=





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
an1 an2 . . . ann










x1
x2
...
xn





+





b1(t)
b2(t)
...
bn(t)





,
nebo stručněji
x′
= Ax + b(t).
42 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
3.4.1 Homogenní systémy
Homogenní systém lineárních rovnic s konstantními koeficienty je tvaru
x′
1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
x′
2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn
...
...
...
...
...
x′
n = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn,
(3.29)
nebo v maticovém zápisu
x′
= Ax. (3.30)
Připomeneme základní pojmy a tvrzení teorie lineárních homogenních n-rozměrných sys-
témů
• Princip superpozice: Jsou-li y1 = y1(t) a y2 = y2(t) řešení systému (3.29), pak také
jejich lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech vektorových
funkcí, které jsou řešením systému (3.29) tvoří vektorový prostor.
• Množina všech řešení systému (3.29) tvoří n-rozměrný vektorový prostor nad polem
reálných čísel.
• Báze y1 = y1(t), y2 = y2(t), . . . , yn = yn(t) prostoru všech řešení rovnice (3.29) se
nazývá fundamentální systém řešení systému (3.29). Matice
Y = Y(t) = y1(t) y2(t) . . . yn(t)
se nazývá fundamentální matice řešení systému (3.29). Fundamentální matice Y(t) je
regulární pro každé t a splňuje maticovou diferenciální rovnici
Y′
= AY.
Dvojrozměrné systémy: Uvažujme dvojrozměrný lineární homogenní systém s konstantními
koeficienty
x′ = ax + by,
y′ = cx + dy.
(3.31)
Při maticovém zápisu (3.30) tohoto systému je
x =
x
y
, A =
a b
c d
.
Pokud b = 0 = c, nejedná se o systém rovnic, ale o dvě samostatné rovnice
x′
= ax, y′
= dy.
To jsou lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem, které mají podle 1.3.1 obecná
řešení x(t) = Aeat, y(t) = Bedt. Fundamentální systém řešení a fundamentální matice systému
(3.31) jsou v tomto případě
y1(t) =
eat
0
, y2(t) =
0
edt , Y(t) =
eat 0
0 edt .
3.4. SYSTÉM LINEÁRNÍCH ROVNIC S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY 43
Nechť |b| + |c| = 0; pro určitost předpokládejme, že b = 0. V takovém případě můžeme
řešení systému (3.31) najít metodou eliminace („dosazovací metodou ).
Z první rovnice systému (3.31) vypočítáme y,
y =
x′ − ax
b
, (3.32)
a dosadíme do druhé rovnice,
y′
= cx +
d
b
x′
− ax .
Dále zderivujeme první rovnici systému a pak do ní dosadíme z předchozí rovnosti. Dostaneme
x′′
= ax′
+ by′
= ax′
+ b cx +
d
b
x′
− ax ,
po úpravě
x′′
− (a + d)x′
+ (ad − bc)x = 0,
neboli
x′′
− (tr A)x′
+ (det A)x = 0. (3.33)
Dostáváme tak, že první složka řešení systému (3.31) je řešením rovnice (3.33), což je lineární
homogenní rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty; tato rovnice má stejný tvar jako
rovnice (3.4), kterou jsme řešili v 3.1.1. Druhá složka řešení je pak dána rovností (3.32).
Ještě si povšimněme, že charakteristická rovnice lineární homogenní diferenciální rovnice
(3.33) je
λ2
− (tr A)λ + (det A) = 0,
což je také charakteristická rovnice matice A.
Příklad na užití dvojrozměrného lineárního systému je uveden v 5.5.
Systémy obecné dimense: Jednorozměrný systém (3.30) je vlastně homogenní lineární
rovnice x′ = ax, která má podle 1.3.1 obecné řešení x(t) = Ceat, kde C je reálná konstanta.
Můžeme vyzkoušet, zda také systém (3.30) obecné dimense nemá řešení ve tvaru exponenciální
funkce, tj. řešení tvaru
y = y(t) = weλt
,
kde w je konstantní vektor dimense n a λ je zatím neurčená konstanta. Tento očekávaný tvar
řešení dosadíme do systému (3.30) a dostaneme
Aweλt
= λweλt
.
Výraz eλt je vždy nenulový, proto jím můžeme předchozí rovnost vydělit. Dostaneme rovnost
Aw = λw,
která říká,že λ je vlastní číslo matice A a w je příslušný vlastní vektor. Tedy platí: Je-li λ
vlastní číslo matice A a w je příslušný vlastní vektor, pak vektorová funkce y = y(t) = eλtw
je řešením rovnice (3.30). Toto řešení však nemusí být reálné.
Má-li matice A n různých reálných vlastních čísel λ1, λ2, . . . , λn, pak příslušné vlastní
vektory w1, w2, . . . , wn jsou lineárně nezávislé a proto vektorové funkce
y1(t) = eλ1t
w1, y2(t) = eλ2t
w2, . . . , yn(t) = eλnt
wn
tvoří fundamentální systém řešení systému (3.30).
44 KAPITOLA 3. LINEÁRNÍ ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU A LINEÁRNÍ SYSTÉMY
3.5 Cvičení
Řešte rovnice
1)
d2x
dt2
+
dx
dt
= 0 2) x′′ + tx′ = 0 3) tx′′′ − 2x′′ = 0
Ukažte, že x = u(t) je řešením dané rovnice a rovnici vyřešte.
4) u = t2; t2x′′ − 2x = 0 5) u =
√
t; x′′ +
x
4t2
= 0 (t > 0)
Řešte rovnice (Cauchyovy úlohy)
6) x′′ + 2x = 0 7) x′′ + 6x′ + 5x = 0
8) x′′ + 6x′ + 9x = 0 9) x′′ − 2x′ + 4x = 0
10) x′′ − x = 0; x(0) = 1, x′(0) = −2 11) x′′ + 4x = 0; x(0) = 0, x′(0) = 2
12) x′′ + x′ = t 13) x′′ + x = sin t
14) x′′ − x = et 15) x′′ − 3x′ − 10x = −3
16) x′′ − x′ = sin t 17) x′′ − 3x′ = e3t − 12t
18) x′′ + x = cotg t 19) x′′ − 8x′ = e8t
20) x′′ + 2x′ = t2 − et 21) t2x′′ − tx′ + x = t
22) t2x′′ − tx′ + 2x = (ln t)2
23) t3x′ − t4x2 − t2x = 2
Řešte systémy rovnic
24) x′ = −2x + y 25) x′ = −x − 2
3 y + 1
3et
y′ = 3x − 4y y′ = 4
3x + y − t
26) x′ + 3x + 2y = 5 sin t 27) 4x′ + 9y′ + 2x + 31y = et
y′ − 2x + 7y = 8 cos t 3x′ + 7y′ + x + 24y = 3
Výsledky:
1) x = C1e−t + C2 2) x = C1 e−t2/2dt + C2 3) x = C1t4 + C2t + C3 4) x =
C1
t
+ C2t2
5) x =
√
t (C1 ln |t| + C2) 6) x = C1 + C2e−2t 7) x = C1e−t + C2e−5t 8) x = (C1 + C2t)e−3t
9) x = et(C1 cos
√
3 t+C2 sin
√
3 t) 10) x =
3e−t − et
2
11 x = sin 2t 12) x = C1 +C2e−t +
t2
2
−t
13) x = C1 cos t + C2 sin t −
t cos t
2
14) x = C1et + C2e−t +
tet
2
15) x = C1e5t + C2e−2t + 3
10
16) x = C1 + C2et +
cos t − sin t
2
17) x = C1 + C2e3t + 2t2 +
te3t + 4t
3
18) x = C1 cos t + C2 sin t − sin t ln
1 + cos t
sin t
19) x = C1 + C2 +
t
8
e8t
20) x = C1 + C2e−2t +
t3
6
−
t2
4
+
t
4
−
et
3
21) x = t A ln t + B + 1
2 (ln t)2
22) At sin(B + ln t) + (1 + ln t)2 23) x =
2Ct − 1
t2(1 − Ct)
, x = −
2
t2
24) x = Ae−t + Be−5t, y = Ae−t − 3Be−5t
25) x = Aet/3 + Be−t/3 − 6t, y = −2Aet/3 − Be−t/3 + 9t + 1
2et + 9
26) x = Ae−5t +Bte−5t + 365
338 sin t− 307
338 cos t, y = A − 1
2 B e−5t +Bte−5t + 72
169 sin t+ 139
169 cos t
27) x = e−4t(A cos t + B sin t) + 31
26 et − 93
17 , y = e−4t((B − A) cos t − (B + A) sin t) − 2
13 et + 6
17
Kapitola 4
Další explicitně řešitelné rovnice
4.1 Rovnice s polynomiální pravou stranou
Jedná se o rovnice tvaru
x′
=
n
nu=0
aν(t)xν
; (4.1)
o funkcích a0, a1, . . . , an budeme předpokládat, že jsou spojité. Významné speciální případy
jsou rovnice Riccatiho (pro n = 2) a rovnice Abelova (pro n = 3), které lze transformovat na
rovnice poněkud jednoduššího tvaru; v některých případech lze dokonce jejich řešení vyjádřit
v kvadraturách.
4.1.1 Riccatiho rovnice x′
= p(t)x2
+ q(t)x + r(t)
O funkci p budeme předpokládáme, že je diferencovatelná. V takovém případě můžeme tuto
rovnici užitím Eulerovy substituce
x(t) = −
y′(t)
p(t)y(t)
převést na lineární rovnici druhého řádu. Platí totiž
x′
= −
y′′py − y′(p′y + py′)
p2y2
= −
y′′
py
+
p′y′
p2y
+
y′2
py2
a tedy
−
y′′
py
+
p′y′
p2y
+
y′2
py2
=
py′2
p2y2
−
qy′
py
+ r
−
y′′
py
+
1
py
p′
p
+ q y′
− r = 0
y′′
−
p′
p
+ q y′
+ pry = 0 ,
což je lineární homogenní rovnice druhého řádu.
Příklad: Uvažujme rovnici
t2
x′
− t2
x2
+ 3tx − 2 = 0.
45
46 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Tuto rovnici můžeme přepsat na tvar
x′
= x2
−
3
t
x +
2
t2
, (4.2)
je tedy p ≡ 1, q(t) = −
3
t
, r(t) =
2
t2
. Zavedeme substituci
x = −
y′
y
. (4.3)
Pak je
x′
= −
y′′y − y′y′
y2
= −
y′′
y
+
y′
y
2
,
x2
−
3
t
x +
2
t2
=
y′
y
2
+
3y′
ty
+
2
t2
,
takže rovnice (4.2) se transformuje na tvar
−
y′′
y
=
3y′
ty
+
2
t2
a po úpravě
t2
y′′
+ 3ty′
+ 2y = 0. (4.4)
To je rovnice Eulerova, viz 3.2.2. Zavedeme tedy novou nezávisle proměnnou s vztahem
s = ln t. (4.5)
Pak je
y′
=
1
t
dy
ds
, y′′
=
1
t2
d2y
ds2
−
dy
ds
a po dosazení do rovnice (4.4) dostaneme rovnici
d2y
ds2
+ 2
dy
ds
+ 2y = 0, (4.6)
která je lineární s konstantními koeficienty. Její charakteristická rovnice λ2 + 2λ + 2 = 0 má
komplexně sdružené kořeny −1 ± i. To znamená, že rovnice (4.6) má obecné řešení
y(s) = (A cos s + B sin s)e−s
.
Zpětnou substitucí (4.5) dostaneme řešení Eulerovy rovnice (4.4)
y(t) =
1
t
(A cos ln t + B sin ln t).
Jeho derivace je
y′
(t) =
1
t2
(B − A) cos ln t − (B + A) sin ln t .
Po dosazení do transformačního vztahu (4.3) dostaneme řešení původní rovnice (4.2) ve tvaru
x(t) =
1
t
(A − B) cos ln t + (A + B) sin ln t
A cos ln t + B sin ln t
. (4.7)
4.1. ROVNICE S POLYNOMIÁLNÍ PRAVOU STRANOU 47
Riccatiho rovnice (4.2) je však rovnice prvního řádu, její řešení by mělo záviset jen na jedné
konstantě. Proto výsledek ještě upravíme. Integrační konstanta A může být nenulová nebo
nulová. V prvním případě označíme C = B/A a řešení (4.7) Riccatiho rovnice (4.2) přepíšeme
ve tvaru
x(t) =
(1 − C) cos ln t + (1 + C) sin ln t
t(cos ln t + C sin ln t)
,
ve druhém případě A = 0 dostaneme řešení tvaru
x(t) =
sin ln t − cos ln t
t sin ln t
.
Příkladem na užití Riccatiho rovnice s konstantními koeficienty je model udržitelného
rybolovu 5.8.
4.1.2 Abelova rovnice prvního druhu x′
= a(t)x3
+ b(t)x2
+ c(t)x + d(t)
Uvažujme nejprve speciální případ s koeficientem d ≡ 0, tedy rovnici
x′
= a(t)x3
+ b(t)x2
+ c(t)x. (4.8)
Bezprostředně vidíme, že tato rovnice má konstantní řešení x ≡ 0. Pro hledání dalších řešení
zavedeme pomocnou funkci v vztahem
v(t) = exp c(t)dt;
primitivní funkci k funkci c můžeme volit libovolně. Funkce v je kladná, diferencovatelná a
platí pro ni
v′
(t) =
dv
dt
= c(t)v(t). (4.9)
Dále předpokládejme, že existuje interval (tα, tω), na kterém je funkce b nenulová. Na tomto
intervalu definujme funkci τ tak, že
τ(t) = v(t)b(t)dt. (4.10)
Pak samozřejmě platí
τ′
(t) =
dτ
dt
= v(t)b(t). (4.11)
Z nenulovosti funkce b a z kladnosti funce v nyní plyne, že funkce τ je na intervalu (tα, tω)
(ryze) rostoucí nebo klesající. Existuje k ní tedy funkce inversní τ−1. Z těchto důvodů můžeme
funkci τ chápat jako transformaci nezávisle proměnné t.
Zavedeme nyní novou neznámou funkci η nezávisle proměnné τ vztahem
x(t) = v(t)η τ(t) , tj. η(τ) =
x τ−1(τ)
v (τ−1(τ))
. (4.12)
Pak s využitím vztahů (4.9) a (4.11) dostaneme levou stranu rovnice (4.8) ve tvaru
x′
=
d
dt
vη(τ) =
dv
dt
η(τ) + v
dη(τ)
dτ
dτ
dt
= cvη(τ) + v2
b
dη(τ)
dτ
.
48 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Pravé strana rovnice (4.8) je rovna
ax3
+ bx2
+ cx = av3
η(τ)3
+ bv2
η(τ)2
+ cvη(τ).
Daná rovnice (4.8) se tedy transformuje na tvar
dη(τ)
dτ
=
av
b
η(τ)3
+ η(τ)2
.
Označme
g = g(t) =
a(t)v(t)
b(t)
,
kde t je taková hodnota z intervalu (tα, tω), že τ = τ(t) podle vztahu (4.10). Při tomto
označení se tedy rovnice (4.8) transformuje na tvar
dη
dτ
= g(τ)η3
+ η2
. (4.13)
To je opět Abelova rovnice prvního druhu, ale poněkud jednoduššího tvaru; její koeficienty
jsou a = g, b ≡ 1, c ≡ d ≡ 0.
Řešení rovnice (4.13) budeme hledat v parametrickém tvaru τ = τ(p), η = η(p). Parametr
p zavedeme vztahem
dτ
dp
= −
1
pη τ(p)
. (4.14)
Pak platí
d2τ
dp2
=
d
dp
pη
p2η2
=
η + p
dη
dτ
dτ
dp
p2η2
=
1
p2
1
η
−
p
η2
1
pη
dη
dτ
=
=
1
p2
1
η
−
1
η3
g(τ)η3
+ η2
= −
1
p2
g(τ).
Dostáváme tak rovnici druhého řádu
p2 d2τ
dp2
+ g(τ) = 0 (4.15)
pro funkci τ = τ(p).
Pokud se podaří najít řešení τ = τ(p) rovnice (4.15), ze vztahu (4.14) vyjádříme
η(p) = −
1
p
dτ
dp
a máme parametricky vyjádřeno řešení transformované rovnice (4.13). Zpětnou substitucí
(4.10) a (4.12) dostaneme řešení původní rovnice (4.8).
Příklad: Uvažujme rovnici
x′
= x3
+ tx2
+
x
t
na některém z intervalů (0, ∞) nebo (−∞, 0).
4.1. ROVNICE S POLYNOMIÁLNÍ PRAVOU STRANOU 49
V tomto případě je pomocná funkce v = v(t) = e
1
t
dt
= eln t = t a transformovaná
nezávisle proměnná je τ = τ(t) = t2dt = 1
3t3.
Odtud dostaneme
t =
3
√
3τ. (4.16)
Nyní definujeme funkci η = η(τ) vztahem
x(t) = tη 1
3t3
. (4.17)
Pak levá strana dané rovnice je
x′
(t) = η 1
3t3
+ tη′ 1
3 t3
t2
= η(τ) + 3τη′
(τ),
a její pravá strana je
x3
+ tx2
+
x
t
= t3
η3
+ t3
η2
+ η = t3
η3
+ η2
+ η = 3τ η(τ)3
+ η(τ)2
+ η(τ),
takže daná rovnice se transformuje na
η′
(τ) = η(τ)3
+ η(τ)2
. (4.18)
To je rovnice autonomní a můžeme ji řešit metodami uvedenými v 1.1.2. Budeme však ilustrovat
užití uvedeného obecného postupu. Zavedeme tedy parametr p vztahem
dτ
dp
= −
1
pη τ(p)
.
Derivováním této rovnosti podle parametru p,
d2p
dp2
=
η τ(p) + pη′ τ(p) τ′(p)
p2η τ(p)
2 =
=
1
p2η τ(p)
2 η τ(p) − p
1
p η τ(p)
η τ(p)
3
+ η τ(p)
2
= −
1
p2
,
dostaneme jednoduchou rovnici
d2p
dp2
= −
1
p2
,
kterou vyřešíme dvojí integrací,
dτ
dp
=
1
p
+ A, τ = ln |p| + Ap + B,
kde A, B jsou integrační konstanty. Porovnáním s definičním vztahem (4.18) odtud dostaneme
η = −
1
p
1
1
p
+ A
= −
1
1 + Ap
.
Parametrické vyjádření řešení transformované rovnice (4.18) tedy je
τ = ln |p| + Ap + B,
η = −
1
1 + Ap
.
50 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Z transformačních vztahů (4.16) a (4.17) dostaneme řešení dané rovnice v parametrickém
tvaru
t = 3
3 ln |p| + 3Ap + 3B,
x = −
3
3 ln |p| + 3Ap + 3B
1 + Ap
.
Připomeňme si, že podle zadání úlohy je t = 0. Proto můžeme parametrické rovnice vydělit
x
t
= −
1
1 + Ap
a z této rovnosti vyjádřit
p = −
1
A
t + x
x
,
pokud x = 0 a A = 0. Vypočítaný parametr p dosadíme do rovnosti pro nezávisle proměnnou
t a dostaneme
t = 3
3 ln
t + x
x
− 3 ln |A| − 3
t + x
x
+ 3B ,
po úpravě
1
3
t3
+
t + x
x
− ln
t + x
x
= C, (4.19)
kde jsme označili C = B − ln |A|. Rovnost (4.19) vyjadřuje implicitně řešení dané rovnice.
Toto řešení však není obecné, při jeho odvození jsme vyloučili možnost A = 0 a neuvažovali
apriori známé řešení x ≡ 0. Při volbě A = 0 dostaneme z parametrického vyjádření řešení
x = −t. Ještě si můžeme povšimnout, že řešení x(t) = 0 a x(t) = −t jsou mezními případy
řešení daných implicitně rovností (4.19) pro C → ∞ a C → −∞.
Nyní se věnujme rovnici s nenulovým „absolutním členem d, tedy rovnici
x′
= a(t)x3
+ b(t)x2
+ c(t)x + d(t). (4.20)
O funkci a budeme předpokládat, že je na nějakém intervalu (tα, tω) nenulová. Na tomto
intervalu definujme pomocné funkce w a τ vztahy
w(t) = exp c(t) −
b(t)2
3a(t)
dt, τ(t) = a(t)w(t)2
dt. (4.21)
Tyto funkce jsou diferencovatelné a pro jejich derivace platí
w′
(t) = c(t) −
b(t)2
3a(t)
w(t), τ′
(t) = a(t)w(t)2
. (4.22)
Ze spojitosti a nenulovosti funkce a plyne, že funkce τ je ryze monotonní. Existuje k ní
tedy funkce inversní τ−1 a hodnotu τ(t) můžeme považovat za transformovanou nezávisle
proměnnou.
Dále zavedeme novou neznámou funkci η nezávisle proměnné τ vztahem
x(t) = w(t)η τ(t) −
b(t)
3a(t)
, tj. η(τ) =
1
w τ−1(τ)
x τ−1
(τ) +
b τ−1(τ)
3a τ−1(τ)
.
4.1. ROVNICE S POLYNOMIÁLNÍ PRAVOU STRANOU 51
S využitím vztahů (4.22) transformujeme levou stranu rovnice (4.20),
x′
=
d
dt
wη(τ) −
b
3a
= w′
η(τ) + wτ′ dη(τ)
dτ
−
1
3
b′a − ba′
a2
=
= c −
b
3a
wη(τ) + aw3 dη(τ)
dτ
−
b′a − ba′
3a2
.
Dále platí
ax3
= a wη(τ) −
b
3a
3
= aw3
η(τ)3
− bw2
η(τ)2
+
1
3
wη(τ)
b2
a
−
b3
27a2
,
bx2
= b wη(τ) −
b
3a
2
= bw2
η(τ)2
−
2b2
3a
wη(τ) +
b3
9a2
, cx = cwη(τ) −
bc
3a
,
takže transformovaná levá strana rovnice (4.20) je
ax3
+ bx2
+ cx + d = aw3
η(τ)3
+ c −
b2
3a
wη(τ) + d −
bc
3a
+
2b3
27a2
.
Celkem dostáváme, že rovnice (4.20) po transformaci (4.21) nabude tvaru
aw3 dη(τ)
dτ
= aw3
η(τ)3
+ d −
bc
3a
+
2b3
27a2
+
b′a − ba′
3a2
.
Poněvadž funkce a je nenulová a funkce w je kladná, můžeme rovnici vydělit výrazem aw3.
Dostaneme tak
dη(τ)
dτ
= η(τ)3
+
1
aw3
d −
bc
3a
+
2b3
27a2
+
b′a − ba′
3a2
.
Pro zjednodušení zápisu označíme
I(τ) =
1
aw3
d −
bc
3a
+
2b3
27a2
+
b′a − ba′
3a2
,
přitom hodnotu funkce na levé straně této rovnosti počítáme v takové hodnotě t ∈ (tα, tω),
že τ−1(τ) = t. Abelova rovnice (4.20) se tedy transformuje na rovnici
dη
dτ
= η3
+ I(τ). (4.23)
Tato rovnice se nazývá Abelova rovnice v normálním tvaru.
Rovnici (4.23) lze přepsat jako implicitní rovnici
η =
3 dη
dτ
− I(τ) ,
což je implicitní rovnice typu 2.1.3.
Příklad: x′ = x3 − 3x2 + 2x − e−3t
V zadané rovnici je a ≡ 1, b ≡ −3, c ≡ 2, d(t) = −e−3t, takže pomocná funkce je
w(t) = e (2− 9
3 )dt
= e−t
52 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
a transformovaná nezávisle proměnná je
τ(t) = e−2t
dt = −
1
2
e−2t
.
Novou neznámou funkci η definujeme rovností
x(t) = e−t
η −1
2e−2t
+
3
3
= 1 + e−t
η −1
2e−2t
.
Nyní postupně vypočítáme
x′
= −e−t
η −1
2e−2t
+ e−t
e−2t
η′
−1
2e−2t
= −e−t
η(τ) + e−3t
η′
(τ),
x3
= 1 + 3e−t
η(τ) + 3e−2t
η(τ)2
+ e−3t
η(τ)3
, x2
= 1 + 2e−t
η(τ) + e−2t
η(τ)2
,
x3
− 3x2
+ 2x = e−3t
η(τ)3
− e−t
η(τ).
Daná rovnice se tedy transformuje na tvar
e−3t
η′
(τ) = e−3t
η(τ)3
− e−3t
nebo stručně
dη
dτ
= η3
− 1. (4.24)
To je autonomní rovnice, jejíž řešení podle 1.1.2 získáme integrací,
τ =
dη
η3 − 1
=
1
3
dη
η − 1
−
1
6
2η + 1
η2 + η + 1
dη −
1
2
dη
η + 1
2
2
+ 3
4
=
=
1
3
ln |η − 1| −
1
6
ln(η2
+ η + 1) −
√
3
3
arctg
2η + 1
√
3
+ const.
Řešení transformované rovnice (4.24) je tedy v implicitním tvaru dáno rovností
6τ + ln
η2 + η + 1
(η − 1)2
+ 2
√
3 arctg
2η + 1
√
3
= const.
Zpětnou substitucí η = (x − 1)et, τ = −1
2e−2t dostaneme implicitní vyjádření řešení dané
rovnice:
ln
(x − 1)2e2t + (x − 1)et + 1
(x − 1)2e2t − 2(x − 1)et + 1
+ 2
√
3 arctg
2(x − 1)et + 1
√
3
− 3e−2t
= C.
4.2. ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU, U NICHŽ LZE ŘÁD SNÍŽIT 53
4.2 Rovnice vyššího řádu, u nichž lze řád snížit
4.2.1 Autonomní rovnice druhého řádu x′′
= f(x)
Rovnici vynásobíme výrazem 2x′ a upravíme:
2x′
x′′
= 2x′
f(x)
d
dt
x′2
= 2
dx
dt
f(x)
d
dt
x′2
= 2
dx
dt
f(x)
dx′2
dx
dx
dt
= 2f(x)
dx
dt
dx′2
dx
= 2f(x)
x′2
= 2 f(x)dx .
Položíme dále F(x) = 2 f(x)dx a dostaneme
x′2
= F(x).
To je implicitní rovnice prvního řádu. Můžeme ji tedy vyřešit metodami z kapitoly 2.
Konkrétně, položíme p = x′ a dostaneme
p = ± F(x),
tj.
dx
dt
= ± F(x),
což je rovnice prvního řádu se separovanými proměnnými.
Příklad na použití rovnice tohoto typu je model expandujícího Vesmíru 5.11.
4.2.2 Rovnice typu F(t, x(k)
, x(k+1)
, . . . , x(n)
) = 0, k ∈ {1, . . . , n − 1}
Položíme y = y(t) = x(k)(t) a dostaneme rovnici
F t, y, y′
, y′′
, . . . , y(n−k)
= 0 ,
což je rovnice řádu o k nižšího, než daná rovnice.
Řešením rovnice tohoto typu je například „psí křivka uvedená v 5.10.
4.2.3 Autonomní rovnice typu F x, x′
, x′′
, . . . , x(n)
= 0
Položíme p = p(t) = x′(t). Pak
x′′
=
dp
dt
=
dp
dx
dx
dt
= p
dp
dx
x′′′
=
d
dt
p
dp
dx
=
d
dx
p
dp
dx
dx
dt
=
dp
dx
2
+ p
d2p
dx2
p .
54 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Postupujeme-li tak dále, vidíme, že
x(k)
= fk p,
dp
dx
, . . . ,
dk−1p
dxk−1
pro každé k ∈ N. (fk je nějaká funkce k proměnných.) Dosazením do původní rovnice tedy
dostaneme
F x, p, p
dp
dx
, f3 p,
dp
dx
,
d2p
dx2
, . . . , fn p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1p
dxn−1
= 0 ,
neboli
G x, p,
dp
dx
, . . . ,
dn−1p
dxn−1
= 0 ,
což je implicitní rovnice řádu o jedna nižšího, než daná rovnice.
Ještě si povšimněme, že rovnice tvaru 4.2.1 je speciálním případem dané rovnice.
Příkladem použití rovnice tohoto typu je určení tvaru lana zavěšeného na dvou bodech,
které neleží nad sebou; tato úloha je řešena v 5.9.
4.2.4 Rovnice homogenní v x, x′
, x′′
, . . . , x(n)
Nechť F je funkce n + 2 proměnných splňující podmínky:
(t, z0, z1, z2, . . . , zn) ∈ Dom F ⇒ (t, cz0, cz1, cz2, . . . , czn) ∈ Dom F,
F(t, cz0, cz1, cz2, . . . , czn) = cα
F(t, z0, z1, z2, . . . , zn) (4.25)
pro každou kladnou konstantu c, každou (n + 2)-tici (t, z0, z1, z2, . . . , zn) ∈ Dom F a nějaké
α ∈ R. Řešení implicitní diferenciální rovnice n-tého řádu
F t, x, x′
, x′′
. . . , x(n)
= 0 (4.26)
lze hledat ve tvaru
x(t) = e y(t)dt
, (4.27)
kde y = y(t) je nová neznámá funkce. Je totiž
x′
= ye y(t)dt
x′′
= y′
e y(t)dt
+ y2
e y(t)dt
= (y′
+ y2
)e y(t)dt
x′′′
= (y′′
+ 2yy′
)e y(t)dt
+ (y′
+ y2
)y e y(t)dt
= (y′′
+ 3yy′
+ y3
)e y(t)dt
...
Dosadíme-li pravé strany těchto rovností do dané rovnice, vypadne vzhledem k podmínce
(4.25) faktor e y(t)dt a dostaneme rovnici řádu o jedna nižšího, než byla daná rovnice.
V lineární homogenní rovnici prvního řádu
x′
= a(t)x,
řešené v 1.3.1 je F(t, x, x′) = x′ − a(t)x. Tato funkce splňuje podmínku (4.25) s α = 1.
Substitucí (4.27) převedeme lineární homogenní diferenciální rovnici na tvar
y(t)e y(t)dt
= a(t)e y(t)dt
.
4.2. ROVNICE VYŠŠÍHO ŘÁDU, U NICHŽ LZE ŘÁD SNÍŽIT 55
Výsledná rovnice není diferenciální; v rovnici stupně nula se neobjevuje derivace hledané
funkce. Proto můžeme bezprostředně vyjádřit y(t) = a(t). Řešení lineární homogenní diferenciální
rovnice je tedy tvaru
x(t) = e a(t)dt
v souladu s výsledkem 1.3.1.
Lineární homogenní rovnice druhého řádu
x′′
+ a(t)x′
+ b(t)x = 0 (4.28)
je také homogenní rovnicí v proměnných x, x′, x′′ v uvažovaném smyslu, neboť pro funkci
F : R4 → R danou předpisem
F(t, z0, z1, z2) = b(t)z0 + a(t)z1 + z2
a každou konstantu c ∈ R platí
F(t, cz0, cz1, cz2) = b(t)cz0 + a(t)cz1 + cz2 = c b(t)z0 + a(t)z1 + z2 = cF(t, z0, z1, z2).
Řešení rovnice (4.28) lze proto hledat ve tvaru
x(t) = e
t
t0
y(s)ds
,
kde y je nová neznámá funkce a t0 je nějaké číslo z průniku definičních oborů funkcí a, b. Při
této substituci dostaneme
x′
(t) = y(t)e
t
t0
y(s)ds
,
x′′
(t) = y′
(t)e
t
t0
y(s)ds
+ y(t)2
e
t
t0
y(s)ds
= y′
(t) + y(t)2
e
t
t0
y(s)ds
a po dosazení do rovnice (4.28)
y′
(t) + y(t)2
+ a(t)y(t) + b(t) = 0.
Po úpravě dostaneme diferenciální rovnici pro neznámou funkci y:
y′
= −y2
− a(t)y − b(t).
Lineární homogenní rovnici druhého řádu lze tedy převést na rovnici prvního řádu, která má
na pravé straně kvadratický polynom, jehož proměnnou je hledaná funkce a jeho koeficienty
jsou funkce původní nezávisle proměnné. Jinak řečeno, lineární homogenní rovnici druhého
řádu lze transformovat na rovnici Riccatiho. Podle 4.1.1 lze naopak libovolnou Riccatiho
rovnici transformovat na lineární homogenní rovnici druhého řádu. V tomto smyslu jsou tedy
lineární homogenní rovnice druhého řádu a Riccatiho rovnice ekvivalentní.
Poznámka 1. Slovo „homogenní bez přívlastku se objevilo již u rovnice tvaru 1.1.5, rovnice
(4.26) však není jejím speciálním případem. Terminologie vychází z pojmu „homogenní
funkce :
56 KAPITOLA 4. DALŠÍ EXPLICITNĚ ŘEŠITELNÉ ROVNICE
Řekneme, že funkce G : Rm → R je homogenní řádu α ∈ R, jestliže pro každou konstantu
c > 0 platí
G(cx1, cx2, . . . , cxm) = cα
G(x1, x2, . . . , xm).
Ve funkci F na levé straně rovnice (4.26) můžeme proměnnou t (čas) považovat za parametr
a podmínka (4.25) pak říká, že taková funkce je pro každou hodnotu parametru homogenní
řádu 1.
Funkce G : R2 → R daná předpisem
G(t, x) = f
x
t
,
kde f je nějaká funkce jedné proměnné, je homogenní řádu 0, neboť platí
G(ct, cx) = f
cx
ct
= f
x
t
= c0
f
x
t
.
Používaná terminologie je tedy opodstatněná.
4.3 Ekvidimensionální rovnice
Řekneme, že implicitní diferenciální rovnice n-tého řádu
F t, x, x′
, . . . , x(n)
= 0
je ekvidimensionální v nezávisle proměnné, jestliže změna měřítka nezávisle proměnné t → at
pro každé a ∈ R\{0} nezmění její tvar. Transformace t = eτ převede danou rovnici na rovnici
autonomní (typ 4.2.3).
Uvažujme například lineární homogenní rovnici tvaru
x′
=
α
t
x, tj.
dx
dt
=
α
t
x. (4.29)
Zavedeme novou nezávisle proměnnou s vztahem s = at, kde a je nějaká reálná konstanta.
Hledanou funkci x budeme chápat jako funkci proměnné s, která sama je funkcí proměnné t.
Vzorec pro derivaci složené funkce dává vyjádření
dx
dt
=
dx
ds
ds
dt
=
dx
ds
a.
Dosazením do rovnice dostaneme
a
dx
ds
=
aα
s
x, tj.
dx
ds
=
α
s
x,
což je rovnice stejného tvaru jako (4.29), takže tato rovnice je ekvidimensionální v nezávisle
proměnné. Její transformace t = eτ převede rovnici (4.29) na tvar
dx
dτ
=
dx
dt
dt
dτ
=
α
t
x
dt
dτ
=
α
eτ
xeτ
= αx,
tedy na rovnici autonomní
dx
dτ
= αx.
Významným případem ekvidimensionální rovnice je rovnice Eulerova vyšetřovaná v 3.2.2.
Kapitola 5
Některé klasické elementární úlohy
V této kapitole je uvedeno několik úloh vedoucích na obyčejné diferenciální rovnice, které lze
vyřešit elementárními metodami uvedenými v předchozích kapitolách. Lze ji tedy považovat
za jakousi sbírku řešených příkladů.
Úlohy vychází z různých oborů – statiky (určení tvaru zavěšeného řetězu 5.9) kinematiky
(tvar dráhy hodinek tažených na řetízku 5.1, nebo psa pronásledujícího zajíce 5.10), dynamiky
(úloha o reaktivním motoru 5.2), geometrické optiky (Archimédova úloha o soustředění
slunečních paprsků 5.3), kosmologie (jednoduchý model expandujícího Vesmíru 5.11), fyziologie
(model růstu těla jednoduchých organismů 5.4), epidemiologie (model šíření neštovic 5.6),
ekonomie (Solowův-Swanův model ekonomického růstu 5.7), teorie řízení (problém „menežmentu
obnovitelných zdrojů 5.8), psychologie (nepříliš vážně míněná úloha o vývoji vztahu
Julie a Romea 5.5) nebo filosofie (druhá část popisu modelu 5.4).
5.1 Traktrisa
Po stole táhneme hodinky na napjatém řetízku délky ℓ tak, že koncem řetízku sledujeme
hranu stolu. Na počátku svírá řetízek a hrana stolu úhel α ∈ (0, 1
2π]. Úkolem je určit dráhu
hodinek.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, že svislá osa splývá s hranou stolu a je
souhlasně orientovaná se směrem pohybu konce řetízku, viz obr. 5.1. Při této volbě budou
hodinky na počátku v bodě (−ℓ sin α, 0). Dráhu hodinek vyjádříme jako graf funkce y = y(x).
Hodinky se pohybují ve směru působící síly, síla působí ve směru řetízku. To znamená, že
přímka incidentní s řetízkem je tečnou ke grafu funkce y v každém bodě. Směrnice této tečny
je tedy rovna
y′
(x) =
√
ℓ2 − x2
−x
. (5.1)
Hledaná funkce je řešením této obyčejné diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
y(−ℓ sin α) = 0. (5.2)
Na pravé straně rovnice (5.1) se nevyskytuje hledaná funkce y, proto můžeme řešení úlohy
(5.1), (5.2) bezprostředně psát ve tvaru určitého integrálu
57
58 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
y
x
√
ℓ2 − x2
αℓ
ℓ
Obrázek 5.1: Traktrisa
y(x) =
x
−ℓ sin α
ℓ2 − ξ2
−ξ
dξ = ℓ ln
ℓ + ℓ2 − ξ2
|ξ|
− ℓ2 − ξ2
x
ξ=−ℓ sin α
=
= ℓ cos α − 1 −
x2
ℓ2
+ ln
ℓ +
√
ℓ2 − x2
−x
sin α
1 + cos α
.
Úlohu o dráze hodinek tažených na řetízku po stole zformuloval Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646–1716). Křivku podrobně studoval v roce 1692 Christiaan Huygens, který jí také dal jméno
tractrix (z latinského trahere, táhnout).
5.2 Ciolkovského rovnice
Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné
vnější síly (tedy ve stavu beztíže). Nechť v čase t0 = 0 se raketa pohybuje rychlostí v0. V čase
t0 se zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas T a v podobě plynů proudí z trysky na zádi
rakety rychlostí u vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného
manévru, tedy její rychlost v čase T.
Označme M . . . hmotnost rakety na počátku (v čase t0 = 0),
µ . . . hmotnost paliva vyhořelého za čas T,
m = m(t) . . . hmotnost rakety (s dosud nevyhořelým palivem) v čase t,
v = v(t) . . . rychlost rakety v čase t.
Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností
m(t) = M −
µ
T
t =
MT − µt
T
. (5.3)
5.2. CIOLKOVSKÉHO ROVNICE 59
Rychlost v neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí
svého argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase t je
p(t) = m(t)v(t). (5.4)
Uvažujme krátký časový interval [t, t + ∆t] ⊆ [0, T]. Během něho shoří palivo o hmotnosti
∆µ = µ(t) − µ(t + ∆t) = M −
µ
T
t − M −
µ
T
(t + ∆t) =
µ
T
∆t. (5.5)
Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase t rovna
v(t) − u a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu v(t + ∆t) − u.
Hybnost vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako
pP (t, ∆t) = w(t, ∆t)∆µ, (5.6)
kde w(t, ∆t) je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky ∆t, tj.
w(t, ∆t) =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ) − u dτ =
1
∆t
t+∆t
t
v(τ)dτ − u.
Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo η ∈ (0, 1) takové, že
t+∆t
t
v(τ)dτ = v(t + η∆t)∆t,
takže w(t, ∆t) = v(t + η∆t) − u. S využitím této rovnosti a rovnosti (5.5) vyjádříme hybnost
(5.6) vytékajícího plynu výrazem
pP (t, ∆t) = v(t + η∆t) − u
µ
T
∆t. (5.7)
Hybnost rakety v čase t + ∆t je vzhledem k (5.3) rovna
pR(t + ∆t) = m(t + ∆t)v(t + ∆t) = M −
µ
T
(t + ∆t) v(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t + ∆t).
Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí
v(t + ∆t) = v(t) + v′
(t + ϑ∆t)∆t,
kde ϑ ∈ (0, 1). Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme
pR(t + ∆t) = m(t) −
µ
T
∆t v(t) + v′
(t + ϑ∆t)∆t =
= m(t)v(t) −
µ
T
v(t) − m(t)v′
(t + ϑ∆t) ∆(t) −
µ
T
v′
(t + ϑ∆t)(∆t)2
. (5.8)
Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase t + ∆t rovna
p(t + ∆t) = pR(t + ∆t) + pP (t, ∆t).
60 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Odtud a z (5.7), (5.8) dostaneme
p(t + ∆t) − p(t)
∆t
= v(t + η∆t) − u − v(t)
µ
T
+ m(t)v′
(t + ϑ∆t) −
µ
T
v′
(t + ϑ∆t)∆t.
Limitním přechodem ∆t → 0 a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy
rakety s palivem ve tvaru
p′
(t) = m(t)v′
(t) − u
µ
T
.
Podle zákona o zachování hybnosti je p′(t) = 0, takže s využitím rovnosti (5.3) dostaneme
diferenciální rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru
v′
(t) =
µu
MT − µt
.
Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce v, stačí tedy integrovat obě strany rovnice
v mezích od 0 po t. S využitím počáteční podmínky v(0) = v0 dostaneme
v(t) = v0 +
t
0
µu
MT − µτ
dτ = v0 − u [ln |MT − µτ|]t
τ=0 = v0 + u ln
MT
MT − µt
=
= v0 + u ln 1 +
µt
MT − µt
.
Zejména pro t = T máme
v(T) = v0 + u ln 1 +
µ
M − µ
. (5.9)
Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice.
Rovnici (5.9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro
Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na
ní rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku
Ciolkovski˘i, K. E. Izsledovanie mirovyh prostranstv reaktivnymi priborami.
Nauqnoe obozrъnie. 1903, godъ X, No. 5
zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným
prostředkem pro lety do vesmíru.
5.3 Archimédova úloha
Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska).
Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku O, přicházející paprsky
byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 5.2).
Uvažujme přicházející paprsek p, který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném
bodě P = (x0, y0), x0 > 0, y0 < 0. Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí
y = y(x); přitom samozřejmě y(x0) = y0.
Označme τ, resp. ν, tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě P, q přímku incidentní s odraženým
paprskem PO, r vodorovnou přímku procházející bodem P. Nechť dále ϕ = ∢νq je
úhel, který svírá odražený paprsek s normálou ν. Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a tedy
5.3. ARCHIMÉDOVA ÚLOHA 61
τ
r
ν
p
q
ϕ
. P
x0
y0
O
y = y(x)
Obrázek 5.2: K Archimédově úloze: y = y(x) – zrcadlo, p – přicházející paprsek, q – odražený
paprsek, P – bod dopadu a odrazu paprsku, O – ohnisko, τ – tečna k zrcadlu v bodě dopadu
přicházejícího paprsku, ν – normála k zrcadlu, ϕ –úhel odrazu.
∢pν = ϕ. Odtud plyne, že ∢pτ = 1
2π − ϕ. Dále platí ∢rτ = 1
2π − ∢pτ = ϕ. Poněvadž τ je
tečnou ke křivce o rovnici y = y(x), platí
dy
dx
(x0) = tg(∢rτ) = tg ϕ. (5.10)
Poněvadž přímky p a r jsou kolmé, je ∢qr = 1
2 π − ∢pν − ∢νq = 1
2 π − 2ϕ a tedy
tg(∢qr) = tg
π
2
− 2ϕ = cotg(2ϕ) =
1 − (tg ϕ)2
2 tg ϕ
. (5.11)
Současně
tg(∢qr) =
|y0|
x0
= −
y0
x0
. (5.12)
Spojením (5.10), (5.11) a (5.12) dostaneme rovnost
−
y0
x0
=
1 −
dy
dx
(x0)
2
2
dy
dx
(x0)
.
Poněvadž bod P = (x0, y0) byl libovolný, dostáváme pro tvar zrcadla diferenciální rovnici
dy
dx
2
− 1 = 2
y
x
dy
dx
.
To je rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci. Jedná se však o jednoduchou kvadratickou
rovnici pro neznámou derivaci, takže ji můžeme vyjádřit ve tvaru
dy
dx
=
y
x
±
y
x
2
+ 1 .
Pro y < 0 a x > 0 je
dy
dx
> 0, viz obrázek 5.2. Znaménko před odmocninou tedy musí být +.
Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla
dy
dx
=
y
x
+
y
x
2
+ 1 .
62 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
To je rovnice homogenní. Substitucí u = u(x) =
y(x)
x
, tedy y(x) = xu(x),
dy
dx
= u + x
du
dx
dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je
du
√
u2 + 1
=
dx
x
,
tedy ln u +
√
u2 + 1 = ln |x| + const. Odtud
u(x) =
1
2
x
C
−
C
x
,
kde C je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost
y(x) =
1
2
x2
C
− C ,
neboli x2 = C(C + 2y). To je rovnice paraboly s ohniskem (0, 0) a řídící přímkou x = −C.
Název „Archimédova úloha vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus
armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214–212 př. n. l. z vyleštěných štítů obránců města
sestavoval zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované
smolou.
5.4 Von Bertalanffyho model růstu a scholastické causae
Uvažujme nějaký organismus, jehož velikost se v průběhu života mění, ale tvar jeho těla
zůstává stejný. Mohou to být například nějaká prokaryota nebo protozoa. Model je sestaven
ze dvou předpokladů:
• přísun potravy (živin, energie) organismu je úměrný povrchu jeho těla S,
• náklady na životní pochody organismu jsou úměrné objemu jeho těla V .
Poněvadž velikost těla se v průběhu času mění, je V = V (t) a S = S(t). Označme dále
F(t) množství potravy, které organismus přijme za jednotku času jednotkovou plochou svého
povrchu, ν(t) životní náklady (úbytek energie, tělesné hmoty) za jednotku času na jednotkový
objem těla. Obě funkce F a ν jsou nezáporné, jejich dlouhodobý průměr je kladný.
Z předpokladů plyne, že objem organismu za krátký časový úsek ∆t bude
V (t + ∆t) = V (t) + F(t)S(t)∆t − ν(t)V (t)∆t.
Po standardní úpravě
V (t + ∆t) − V (t)
∆t
= F(t)S(t) − ν(t)V (t)
a limitním přechodu ∆t → 0 dostaneme rovnost
V ′
(t) = F(t)S(t) − ν(t)V (t). (5.13)
5.4. VON BERTALANFFYHO MODEL RŮSTU A SCHOLASTICKÉ CAUSAE 63
Označme L = L(t) délku těla. Povrch těla je úměrný druhé mocnině jeho délky a objem těla
je úměrný třetí mocnině jeho délky, tj.
S = αL2
, V = βL3
,
kde α, β jsou parametry určené tvarem těla; podle předpokladu, že tvar organismu se v průběhu
růstu nemění, jsou α, β kladné konstanty. Podle poslední rovnosti platí V ′ = 3βL2L′,
takže rovnost (5.13) můžeme upravit na tvar
L′
= −
ν(t)
3
L +
αF(t)
3β
.
Při označení
µ(t) =
ν(t)
3
, f(t) =
αF(t)
3β
dostaneme diferenciální rovnici
L′
= −µ(t)L + f(t) (5.14)
pro délku těla L; funkce µ a f jsou nezáporné. Rovvnice (5.14) je lineární, takže její řešení
s počáteční podmínkou
L(0) = L0 (5.15)
je podle 1.3 dáno výrazem
L(t) = L0e
−
t
0
µ(s)ds
+
t
0
f(σ)e
σ
t
µ(s)ds
dσ.
Podívejme se ještě na speciální situaci, kdy uvažovaný organismus má pravidelný přísun
potravy, tj. funkce F je konstantní, a žije v prostředí stálé teploty, tj. náklady na životní
pochody ν (které většinou závisí na teplotě) jsou také konstantní. V takovém případě jsou
parametry µ a f konstantní a kladné, řešení rovnice (5.14) s podmínkou (5.15) je tvaru
L(t) = L0 −
f
µ
e−µt
+
f
µ
.
Takto definovaná funkce je monotonní, ohraničená a má konečnou limitu
lim
t→∞
L(t) =
f
µ
. (5.16)
Podíl f/µ tedy vyjadřuje maximální možnou délku těla uvažovaného organismu.
Uvedený model růstu sestavil a analyzoval rakouský biolog a filosof Ludwig von Bertalanffy (1901–
1972), jeden ze zakladatelů obecné teorie systémů, v práci
von Bertalanffy L. Untersuchungen über die Gesetzlichkeit des Wachstums, Teil I,
Allgemeine Grundlagen der Theorie: mathematische und physiologische Gesetzlichkeiten
des Wachstums bei Wassertieren. Arch. Entwicklungsmech. Org. 1934. Vol 131, p 613–652.
64 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Von Bertalanffyho model růstu představuje jakýsi „paradigmatický příklad obecného
systému. Podívejme se proto na něj z obecnějšího úhlu pohledu.
Relace (5.16) nás opravňuje zavést označení
L∞ =
f
m
a rovnici (5.14) s konstantními koeficienty přepsat na tvar
L′
= −µ(L − L∞). (5.17)
Tento tvar rovnice obsahuje několik bezprostředně srozumitelných informací. Především v ní
vystupuje proměnná veličina L, která vyjadřuje základní pozorovatelnou veličinu popisovaného
procesu, jakousi jeho látku nebo materii. Další veličina L∞ vyjadřuje cílovou, finální,
hodnotu, k níž ona pozorovatelná spěje. Stojí za povšimnutí, že cílová hodnota v původním
odvození rovnice nebyla, odhalili jsme ji až z jejího řešení. Ze skutečnosti, že nějaký proces
spěje k určitému cíli, tedy ještě neplyne, že by tento cíl byl do procesu dán záměrně. Pozorovatelná
veličina L se mění; toto tvarování nebo formování materie je vyjádřeno derivací L′. A
tato změna je současně vyjádřena rozdílem L−L∞, vzdáleností aktuálního stavu od finálního,
násobeného záporným koeficientem µ, který vyjadřuje rychlost dosahování cílového stavu, jakousi
účinnost probíhajícího procesu. Z těchto důvodů lze právem rovnici (5.17) považovat za
zápis čtyř obecných příčin jakéhokoliv jevu, o kterých přemýšlela scholastická filosofie. Složky
matematického popisu systému lze tedy interpretovat následujícím způsobem:
L L∞ −µ L′
causa materialis causa finalis causa efficiens causa formalis
příčina látková příčina účelová příčina působící příčina tvarová
Interpretaci jednotlivých složek lineární diferenciální rovnice jako středověce-aristotelských příčin
(causae) uvedl v jiné souvislosti Daniel Dubois v přehledovém článku
Dubois D. M. Review of incursive, hyperincursive and anticipatory systems – foundations
of anticipation in electromagnetism. In Computing Anticipatory Systems (CASYS
’99) — Third International Conference. 2000. AIP proceedings, p. 3–30.
Myšlenku, že se nejedná o pouhou „intelektuální hříčku matematika, který chce filosofovat , hájil
Evžen Kindler:
Kindler E. Detaily scholastické filosofie z pohledu programování počítačů. In Bendová
K., Švejdar V. (eds.) Miscelanea logica, Tom III. Karolinum, Praha, 2002, p. 51–
61.
5.5 Romeo a Julie
Romeo na plese zahlédl Julii a na první pohled se do ní zamiloval. Svoji zamilovanost začal
Julii dávat najevo a tak se i ona do něho zamilovala. Pokusíme se popsat vývoj jejich citů,
pokud by nedošlo k tragédii popsané Williamem Shakespearem.
Předpokládejme, že cit lze nějak kvantifikovat a označme r = r(t) Romeův cit k Julii
a j = j(t) Juliin cit k Romeovi v čase t. Cit s kladným znaménkem budeme interpretovat
5.5. ROMEO A JULIE 65
jako okouzlení nebo zamilovanost1, cit se záporným znaménkem jako odpor nebo nechuť.
Romeův cit samozřejmě závisí na Juliině odezvě a současně je citem renesančního kavalíra,
tedy dobyvatele: čím více náklonnosti Julie projevuje, tím je pro dobyvatele Romea méně
přitažlivá. Tento jev vyjádříme tak, že Romeův cit k Julii se zmenšuje, pokud její k němu
je kladný. V prvním přiblížení budeme změnu Romeova citu k Julii, tj. derivaci funkce r,
považovat za úměrnou Juliinu citu k Romeovi se záporným koeficientem úměrnosti. Formálně
to zapíšeme rovností
dr
dt
= −aj, (5.18)
kde a je kladná konstanta. Naopak Juliin cit k Romeovi je povzbuzován Romeovými projevy
náklonnosti. Touto úvahou dostaneme rovnici pro Juliin cit v prvním přiblížení jako
dj
dt
= br, (5.19)
kde b > 0. Na počátku se Romeo zamiloval a Julie o něm ani nevěděla, její cit k Romeovi byl
nulový. Romeovu zamilovanost budeme považovat za jednotkový kladný cit. Dostáváme tak
podmínky
r(0) = 1, j(0) = 0. (5.20)
Diferenciální rovnice (5.18), (5.19) s počátečními podmínkami (5.20) představují model vývoje
Romeových a Juliiných citů. Jedná se o homogenní systém dvou lineárních rovnic s konstantními
koeficienty a lze ho tedy vyřešit metodami popsanými v 3.4.1, konkrétně dosazovací
metodou popsanou na str. 3.4.1.
Derivováním rovnice (5.18) a dosazením z rovnosti (5.19) dostaneme
d2r
dt2
= −a
dj
dt
= −abr.
Vývoj Romeova vztahu k Julii je tedy popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého
řádu s konstantními koeficienty
d2r
dt2
+ abr = 0. (5.21)
Příslušná charakteristická rovnice λ2 + ab = 0 má dva různé ryze komplexní kořeny λ1,2 =
±i
√
ab. Obecné řešení rovnice (5.21) tedy je tvaru
r(t) = A cos
√
ab t + B sin
√
ab t .
Řešení musí splňovat počáteční podmínky (5.20), tedy
r(0) = 1,
dr
dt
(0) = −aj(0) = 0.
Odtud dostaneme A = 1, B = 0, takže r(t) = cos
√
ab t a podle rovnosti (5.18) dále platí
j(t) = −
1
a
dr(t)
dt
=
1
a
√
ab sin
√
ab t =
b
a
sin
√
ab t .
1
Používáme slovo „zamilovanost , nikoliv „láska . Láska totiž není jen citem, ale je z velké míry i záležitostí
rozhodnutí a vůle; nelze ji proto jednoduše popisovat nějakým „přírodovědeckým způsobem. Samotný cit však
lze do jisté míry biologickými nebo chemickými termíny popsat a proto ho lze i matematicky modelovat.
66 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Model (5.18), (5.19), (5.20) vývoje citů veronských milenců tedy předpovídá, že Romeovy city
k Julii by periodicky kolísaly mezi zamilovaností a zhnusením, stejně tak Juliiny city k Romeovi.
Pozitivní city k sobě navzájem mohou prožívat pouze na začátku příběhu, konkrétně
do času
t =
π
2
√
ab
.
Shakespearovo řešení konfliktu tedy není tragédií, ale dobrým koncem. Kdyby příběh probíhal
v neomezeném čase, pak pouze čtvrtinu z něho prožívají Romeo s Julií ve vzájemné
náklonnosti, čtvrtinu ve vzájemném odporu a polovinu času s city rozdílnými. Povšimněme
si ještě, že v případě b > a kolísají Juliiny city s větší amplitudou než Romeovy, v případě
b < a je tomu naopak. Jinak řečeno, větším výkyvům citů (většímu utrpení?) je vystaven ten
z dvojice, který je citově závislejší.
Vývoj citů lze modelovat i obecněji. Předpokládejme, že také úroveň vlastního citu ovlivňuje
změnu tohoto citu. Můžeme tedy uvažovat model tvořený systémem rovnic
dr
dt
= α1r − aj,
dj
dt
= br + α2j,
(5.22)
s počáteční podmínkou
r(0) = 1, j(0) = 0.
Záporný koeficient α1 může vyjadřovat, že Romeo se bouřlivých citů bojí, nechce ztrácet
vnitřní klid; kladný koeficient α1 může znamenat, že se Romeo svými city nechá vést. Koeficient
α1 lze tedy považovat za jakési „umístění Romea na ose racionalita-romantismus ;
koeficient α2 lze interpretovat podobně pro Julii.
Modely vývoje milostných citů (5.18), (5.19) a (5.22) publikoval Steven H. Strogatz v článku
Strogatz, S. H. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine. 1988,
Vol. 61, No. 1, p. 35.
Účelem článku ovšem nebylo vytvořit matematickou teorii zamilovanosti, ale navrhnout neobvyklý a
pokud možno atraktivní způsob výkladu klasické látky – systému dvou obyčejných lineárních diferenciálních
rovnic s konstantními koeficienty.
5.6 Epidemiologický model Daniela Bernoulliho
Uvažujme chorobu, která trvá krátce, někteří pacienti na ni zemřou, jiní se uzdraví a získají
vůči nákaze imunitu; typickým představitelem takové infekce byly neštovice. Budeme modelovat
epidemii této choroby, tj. její šíření v nějaké kohortě. Kohortou rozumíme skupinu osob
narozených ve stejnou dobu.
Zavedeme označení: N počet osob zahrnutých do kohorty, a jejich věk (tj. čas od počátku),
S = S(a), resp. R = R(a) počet osob věku a, které neprodělaly, resp. prodělaly, chorobu. Při
tomto označení je N = S(0) + R(0) = S(0), neboť novorozenci chorobu neprodělali, tj.
R(0) = 0. Další symboly zavedeme na základě následujících předpokladů:
• Počet osob věku a, které zemřou z jiných příčin, než je uvažovaná infekce, je úměrná
délce (krátkého) časového intervalu sledování ∆a a počtu nenakažených osob S(a).
Konstantu úměrnosti — přirozenou úmrtnost ve věku a — označíme µ(a).
5.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 67
❄
✲ ✲
❄ ❄
✫✪
✬✩
nemocní
S(a)
náchylní k chorobě
R(a)
imunní
µ(a) µ(a)c(a)
λ(a) s(a)
Obrázek 5.3: Schéma vývoje kohorty ohrožené chorobou
• Počet osob věku a, které se nakazí uvažovanou chorobou je úměrná délce sledování
∆a a počtu S(a) osob, které dosud chorobu neprodělaly a jsou tedy citlivé na infekci.
Koeficient úměrnosti — incidenci choroby ve věku a — označíme λ(a)
• Počet nemocných osob věku a, které se uzdraví za časový interval ∆a je úměrný počtu
infikovaných osob tohoto věku a délce intervalu ∆a. Koeficient úměrnosti — index přežití
choroby osobami věku a — označíme s(a).
Úmrtnost µ(a) lze interpretovat jako pravděpodobnost, že „zdravá osoba (tj. ta, která nemá
uvažovanou chorobu) věku a zemře během časového intervalu délky ∆a; incidenci λ(a) jako
pravděpodobnost, že se „zdravá osoba věku a, která není imunní vůči uvažované chorobě,
nakazí během časového intervalu délky ∆a; ukazatel přežití s(a) jako pravděpodobnost, že
nakažená osoba věku a se během časového intervalu délky ∆a uzdraví. Budeme předpokládat,
že onemocnění a uzdravení jsou jevy nezávislé, tj. že pravděpodobnost, že osoba citlivá
k infekci se během časového intervalu délky ∆a nakazí a uzdraví, je rovna s(a)λ(a). Dále
zavedeme letalitu choroby ve věku a vztahem
c(a) = 1 − s(a);
lze ji interpretovat jako pravděpodobnost, že nemocná osoba věku a během časového intervalu
délky ∆a zemře. Proměnné
u = u(a) =
S(a)
N
, resp. w = w(a) =
R(a)
N
vyjadřují (klasickou) pravděpodobnost, že osoba se dožila věku a a neprodělala, resp. prodělala,
chorobu. Novorozenec určitě chorobu neprodělal, tedy platí
u(0) = 1, w(0) = 0. (5.23)
Vývoj kohorty, v níž probíhá choroba, lze schematicky znázornit obrázkem 5.3 a předpoklady
vyjádřit ve tvaru rovností:
S(a + ∆a) = S(a) − µ(a)S(a)∆a − λ(a)S(a)∆a = S(a) − µ(a) + λ(a) S(a)∆a,
R(a + ∆a) = R(a) + s(a)λ(a)S(a)∆a − µ(a)R(a)∆a =
= R(a) + 1 − c(a) λ(a)S(a)∆a − µ(a)R(a)∆a.
V první z uvedených rovností převedeme na levou stranu S(a) a ve druhé z nich R(a), rovnosti
vydělíme výrazem N∆a a provedeme limitní přechod ∆a → 0. Pro zjednodušení modelu
budeme předpokládat, že funkce u a w jsou diferencovatelné; takový předpoklad je v případě
68 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
velké kohorty dostatečně realistický. Dostaneme tak systém neautonomních diferenciálních
rovnic
du
da
= − µ(a) + λ(a) u,
dw
da
= 1 − c(a) λ(a)u − µ(a)w;
(5.24)
jejich řešení splňuje počáteční podmínky (5.23).
První rovnice systému (5.24) je lineární homogenní rovnicí pro neznámou funkci u. Její
řešení s počáteční podmínkou (5.23) je při označení
M(a) =
a
0
µ(α)dα, Λ(a) =
a
0
λ(α)dα (5.25)
podle 1.3 rovno
u(a) = e−Λ(a)−M(a)
. (5.26)
Toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice systému (5.24) a dostaneme
dw
da
= −µ(a)w + 1 − c(a) λ(a)e−Λ(a)−M(a)
,
což je lineární nehomogenní rovnice pro neznámou funkci w. Její řešení s počáteční podmínkou
(5.23) je opět podle 1.3 rovno
w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 − e−Λ(a)−M(a)
. (5.27)
Dosud provedené úvahy a výpočty lze shrnout: Pravděpodobnosti u(a), resp. w(a), že se
osoba dožije věku a a neprodělá, resp. prodělá, chorobu, jsou řešením soustavy rovnic (5.24)
s počátečními podmínkami (5.23) a jsou dány výrazy (5.26), resp. (5.27), kde funkce M a Λ
jsou dány výrazy (5.25).
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a za předpokladu, že choroba se v kohortě
neobjevuje (tj. λ ≡ 0 a v důsledku toho také Λ ≡ 0), je rovna přímo funkci u s Λ ≡ 0, tj.
ℓ0(a) = e−M(a)
.
Pravděpodobnost, že se osoba dožije věku a pokud se choroba vyskytuje, je rovna
ℓ(a) = u(a) + w(a) = e−M(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 =
= ℓ0(a)

1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)
dα

 .
Pravděpodobnost dožití věku a je tedy součinem pravděpodobnosti dožití věku a při přirozené
úmrtnosti a faktoru, který závisí pouze na incidenci a letalitě choroby.
5.6. EPIDEMIOLOGICKÝ MODEL DANIELA BERNOULLIHO 69
Označme dále
x(a) =
u(a)
ℓ(a)
, z(a) =
w(a)
ℓ(a)
=
ℓ(a) − u(a)
ℓ(a)
= 1 − x(a);
Veličina x(a), resp. z(a), vyjadřuje podmíněnou pravděpodobnost, že osoba věku a neprodělala,
resp. prodělala, chorobu za podmínky, že se věku a dožila.
Poněvadž
x(a) =
e−Λ(a)−M(a)
e−M(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
=
e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
, (5.28)
platí rovnost x(0) = 1 a dále
dx(a)
da
=
−λ(a)e−Λ(a) 1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα + e−Λ(a)c(a)λ(a)e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2 =
= −λ(a)





e−Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
−
c(a)e−2Λ(a)
1 −
a
0
c(α)λ(α)e−Λ(α)dα
2





=
= −λ(a)x(a) 1 − c(a)x(a) .
Relativní zastoupení osob věku a, které v uvažované kohortě neprodělaly chorobu, je tedy
veličina x(a) daná formulí (5.28), která je současně řešením počáteční úlohy pro Bernoulliovu
rovnici
dx
da
= −λ(a)x 1 − c(a)x , x(0) = 1. (5.29)
Vývoj zastoupení osob, které neprodělaly chorobu, tedy nezávisí na přirozené úmrtnosti µ.
Úlohu (5.29) můžeme vyřešit metodami popsanými v 1.4 a přesvědčit se, že řešení je stejné
jako (5.28), nebo podrobněji
x(a) =
e
0
a
λ(α)dα
1 −
a
0
λ(ξ)c(ξ)e
ξ
a
λ(α)dα
dξ
.
Zejména pro incidenci choroby a letalitu choroby nezávislé na věku dostaneme
x(a) =
1
c + (1 − c)eλa
.
Poznamenejme ještě, že v teorii přežití se funkce ℓ0, µ, M nazývají funkce přežití, riziková
funkce a kumulativní riziková funkce (v uvedeném pořadí). Pokud
lim
a→∞
M(a) =
∞
0
µ(a)da = ∞,
70 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
pak pro funkci přežití platí
ℓ0(a) = 1 − F(a),
kde F je distribuční funkce náhodné veličiny „věk dožití jedince z kohorty .
Uvedený model šíření epidemie neštovic publikoval Daniel Bernoulli (1700–1782) v článku
Bernoulli, D. Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole
et des avantages de l’inoculation pour la prévenir. Hist. Acad R. Sci. Paris. 1760/1766,
p.1–45.
v němž hledal odpověď na otázku, zda zavádět očkování proti neštovicím, přestože tato operace někdy
končí smrtí.
Na základě tabulek úmrtí, které publikoval královský astronom Edmond Haley (1656–1742)
Halley E. An estimate of the degrees of the mortality of mankind, drawn from curious
tables of the births and funerals at the city of Breslaw; with an attempt to ascertain the
price of annuities upon lives. Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1693, vol. 17, p. 596–610.
odhadl D. Bernoulli hodnoty incidence a letality neštovic nezávislé na věku jako λ = 1
8 , c = 1
8 ;
skutečnost, že mu koeficienty vyšly stejné, je náhoda.
5.7 Ekonomický růst (Solowův-Swanův neoklasický model)
Budeme se snažit popsat dynamiku (vývoj v čase) základních makroekonomických ukazatelů
v uzavřené ekonomice, tj. v ekonomice, v níž nedochází k žádné výměně s okolními ekonomikami
(k exportu nebo importu). Za základní ukazatele budeme považovat:
Y = Y (t) . . . hrubý domácí produkt v čase t.
K = K(t) . . . kapitál v čase t. Kapitálem budeme rozumět nejen kapitál finanční, tj. peníze,
ale také kapitál hmotný, tj. budovy, stroje, zařízení ap. Celkové množství kapitálu lze
však vyjádřit pomocí peněžní jednotky.
L = L(t) . . . disponibilní pracovní síla v čase t. Lze si ji představit jako množství práceschopného
(nebo práceochotného) obyvatelstva.
I = I(t) . . . investice v čase t, tj. peněžní prostředky použité k tvorbě nebo obnově kapitálu.
S = S(t) . . . spotřeba v čase t. Za spotřebu budeme považovat peněžní prostředky k tvorbě
nebo obnově kapitálu nevyužité, tj. nejen realizovanou spotřebu ale také např. vládní
výdaje nebo úspory obyvatelstva.
Vyjdeme z několika jednoduchých a z ekonomického hlediska přijatelných předpokladů:
P1) Jedinými produkčními faktory jsou kapitál a práce.
P2) Kapitál se vytváří investicemi.
P3) Kapitál se amortizuje (znehodnocuje) tak, že poměr znehodnoceného kapitálu za jednotku
času ke všemu kapitálu je konstantní.
P4) Relativní přírůstek pracovní síly v čase je konstantní; v podstatě odpovídá přirozenému
přírůstku obyvatel.
P5) Sklon ke spotřebě, tj. podíl spotřebovaného produktu, je v čase konstantní.
P6) Veškerý produkt se rozdělí na investice a spotřebu.
5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 71
P2) a P6) nejsou ve vlastním smyslu předpoklady, je jimi pouze specifikováno, co se rozumí
pojmy „investice a „spotřeba .
Základní makroekonomické ukazatele budeme považovat za nezáporné diferencovatelné
funkce definované na intervalu [0, ∞), tj. zajímá nás vývoj od jistého okamžiku do budoucnosti.
Nyní můžeme předpoklady vyjádřit matematicky:
P1) Produkce je funkcí kapitálu a práce, tj.
Y (t) = f K(t), L(t) , (5.30)
kde f : [0, ∞)2 → [0, ∞) je nějaká diferencovatelná funkce rostoucí v každé ze svých
proměnných. Nazýváme ji produkční funkce.
P2) Množství kapitálu vytvořeného za časový interval délky ∆t, tj. od času t po čas t + ∆t,
je úměrné množství investic I(t) a času investování ∆t, tj. je roven hodnotě
1
κ
I(t)∆t,
kde κ > 0 je nějaká konstanta. Vyjadřuje čas, za který se z jednotkové investice vytvoří
jednotkové množství kapitálu. Většinou se volí κ = 1, tedy že investice je totéž, co
vytvořený kapitál.
P3) Označme a množství kapitálu amortizovaného za jednotku času. Pak pro každý čas t
platí
a
K(t)
= δ,
kde δ je nějaká nezáporná konstanta, kterou nazveme mírou amortizace. Ta bývá vyjádřena
pomocí odpisů. Za časový interval délky ∆t se amortizuje a∆t kapitálu, takže
množství kapitálu znehodnoceného za interval délky ∆t je rovno
δK(t)∆t.
P4) Relativní přírůstek λ pracovní síly za jednotku času je konstantní, takže relativní přírůstek
pracovní síly za časový interval délky ∆t je roven λ∆t, tj.
L(t + ∆t) − L(t)
L(t)
= λ∆t.
P5) Existuje konstanta s nazývaná mezní sklon ke spotřebě taková, že pro každé t ≥ 0 je
S(t)
Y (t)
= s.
P6) V každém čase t platí
Y (t) = I(t) + S(t). (5.31)
Dále potřebujeme specifikovat produkční funkci f. Budeme tedy ještě předpokládat:
P7) Ke zdvojnásobení produkce je potřeba dvojnásobného kapitálu i dvojnásobné pracovní
síly. Obecněji, ke zvětšení produkce o q% je potřeba zvětšit kapitál i pracovní sílu také
o q%. Matematicky,
f(βK, βL) = βf(K, L) (5.32)
pro každou konstantu β > 0; jinak řečeno, produkční funkce f je homogenní prvního
řádu.
72 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
P8) Není-li v ekonomice žádný kapitál, tak jakékoliv jeho přidání způsobí veliký nárůst
produkce; přesněji, mezní produkt kapitálu roste do nekonečna, pokud se množství
kapitálu v ekonomice přibližuje k nule. Je-li v ekonomice nadbytek kapitálu, tak jeho
zvětšení již nezpůsobí významný nárůst produkce; přesněji, mezní produkt kapitálu
klesá k nule, pokud jeho množství v ekonomice neomezeně roste. Analogické vztahy
jsou mezi produkcí a prací. Tyto předpoklady zapíšeme ve tvaru
lim
K→0+
∂f
∂K
(K, L) = ∞ pro L > 0, lim
L→0+
∂f
∂L
(K, L) = ∞ pro K > 0,
lim
K→∞
∂f
∂K
(K, L) = 0, lim
L→∞
∂f
∂L
(K, L) = 0;
nazýváme je Inadovy podmínky.
Nyní již můžeme sestavit rovnice popisující vývoj makroekonomických ukazatelů. Podle
P2) a P3) je kapitál v čase t + ∆t roven
K(t + ∆t) = K(t) +
1
κ
I(t)∆t − δK(t)∆t.
Odtud dostaneme
K(t + ∆t) − K(t)
∆t
=
1
κ
I(t) − δK(t)
a limitním přechodem ∆t → 0 získáme diferenciální rovnici
K′
=
1
κ
I − δK. (5.33)
Tímtéž limitním přechodem dostaneme po snadné úpravě z předpokladu P4) diferenciální
rovnici
L′
= λL. (5.34)
Z předpokladu P6) máme 1 =
I(t)
Y (t)
+
S(t)
Y (t)
a dále s využitím předpokladu P5) dostaneme
I(t) = (1 − s)Y (t). (5.35)
Systém dvou diferenciálních rovnic (5.33), (5.34) spolu s omezujícími rovnostmi (5.30), (5.35)
lze považovat za matematický model dynamiky produkce, kapitálu a práce.
Model (5.33), (5.34), (5.30), (5.35) můžeme ještě dále upravit. Zavedeme veličinu k = k(t)
vztahem
k(t) =
K(t)
L(t)
; (5.36)
nazýváme ji míra vybavenosti práce kapitálem. Z rovností (5.30) a (5.32) dostaneme
Y (t) = f K(t), L(t) = L(t)f
K(t)
L(t)
, 1 = L(t)f k(t), 1 .
Výraz f(k, 1) se nazývá intenzivní tvar produkční funkce. Derivováním vztahu K = Lk definujícího
vybavenost práce kapitálem dostaneme K′ = L′k + Lk′. Po dosazení z rovnic (5.34),
(5.33) máme
1
κ
I − δK = λLk + Lk′
.
5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 73
Za proměnnou I nejprve dosadíme z rovnosti (5.35) a pak za proměnnou Y z rovnosti (5.30).
Dostaneme tak
1 − s
κ
Lf(k, 1) − δK = λLk + Lk′
.
Po vydělení hodnotou L máme
1 − s
κ
f(k, 1) − δk = λk + k′
.
Odtud vyjádříme derivaci k′ a dostaneme základní dynamickou rovnici neoklasického modelu
k′
= −(λ + δ)k +
1 − s
κ
f(k, 1). (5.37)
Připomeňme, že obvykle se volí κ = 1, tj. že investice představují nově vytvořený kapitál.
Řešení základní rovnice s Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí
V základní rovnici stále zůstává neurčená produkční funkce f. Jednoduchá funkce, která
splňuje podmínky P7) a P8) (a tedy může představovat jistý popis ekonomické reality) je
Cobbova-Douglasova produkční funkce, která je tvaru
f(K, L) = BKα
L1−α
, (5.38)
kde kladný koeficient B představuje produkci při jednotkovém kapitálu i práci a α je nějaká
konstanta taková, že 0 < α < 1. Cobbova-Douglasova produkční funkce v intenzivním tvaru
je
f(k, 1) = Bkα
. (5.39)
Dosazením této funkce do základní rovnice (5.37) dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici
pro neznámou funkci k ve tvaru
k′
= −(λ + δ)k + A(1 − s)kα
, (5.40)
kde jsme označili A =
B
κ
. Jedná se diferenciální rovnici Bernoulliovu, sr. 1.4. Budeme ji řešit
zavedením substituce
r = k1−α
, (5.41)
tedy
r′
= (1 − α)k−α
k′
= (1 − α)k−α
(−(λ + δ)k + A(1 − s)kα
) =
= (α − 1)(λ + δ)k1−α
− A(1 − s)(α − 1),
neboli
r′
= (α − 1)(λ + δ)r − A(1 − s)(α − 1). (5.42)
74 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
To je nehomogenní lineární rovnice pro neznámou funkci k a její řešení s počáteční podmínkou
r(0) = r0 je podle 1.3 rovno
r(t) =

r0 −
t
0
A(1 − s)(α − 1)e−(α−1)(λ+δ)σ
dσ

 e(α−1)(λ+δ)t
=
= r0 + A
1 − s
λ + δ
e−(α−1)(λ+δ)t
− 1 e(α−1)(λ+δ)t
=
= r0 − A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
. (5.43)
Míra amortizace δ je podle předpokladu P3) nezáporná. O relativním přírůstku pracovní
síly λ jsme dosud nic nepředpokládali, může být kladný (obyvatelstva přibývá) i záporný
(obyvatelstvo vymírá). Pro další úvahy budeme předpokládat, že λ + δ > 0 (materiál chátrá
rychleji než obyvatelstvo). Poněvadž α < 1, je funkce r daná rovností (5.43) monotonní (v
případě (λ + δ)r0 > A(1 − s) klesající, v případě (λ + δ)r0 < A(1 − s) rostoucí) a platí
lim
t→∞
r(t) = A
1 − s
λ + δ
. (5.44)
S využitím rovností (5.36), (5.39) a (5.41) můžeme psát
r = k1−α
=
K
L
1−α
=
BK
BKαL1−α
= B
K
Y
. (5.45)
Z rovnosti (5.44) nyní plyne
lim
t→∞
K(t)
Y (t)
=
1 − s
κ(λ + δ)
; (5.46)
tento výsledek můžeme interpretovat tak, že kapitálová náročnost jednotky produkce (množství
kapitálu potřebné k vytvoření jednotkového produktu) se v uzavřené ekonomice ustálí na jisté
hodnotě, zvané mezní poměr kapitálu a produkce, která závisí pouze na sklonu ke spotřebě s,
efektivitě investic κ, míře amortizace δ a přirozeném přírůstku (nebo úbytku) obyvatel λ. Ve
stabilizované uzavřené ekonomice tedy platí
K
Y
=
1 − s
κ(λ + δ)
, neboli
Y =
1 − s
κ(λ + δ)
K;
produkce je přímo úměrná kapitálu.
Návratem k proměnné k = r1/(1+α) můžeme vyjádřit řešení základní rovnice (5.40) s
Cobbovou-Douglasovou produkční funkcí a s počáteční podmínkou k(0) = k0 ve tvaru
k(t) = k1−α
0 − A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
1
1−α
. (5.47)
Pro funkci k platí, že
lim
t→∞
k(t) = A
1 − s
λ + δ
1
1−α
; (5.48)
5.7. EKONOMICKÝ RŮST (SOLOWŮV-SWANŮV NEOKLASICKÝ MODEL) 75
její chování v dlouhém časovém úseku nezávisí na počáteční hodnotě. Ekonomika tedy směřuje
ke konstantní (rovnovážné) vybavenosti práce kapitálem.
Nyní můžeme pomocí řešení (5.43) a (5.47) rovnic (5.42) a (5.40) vyjádřit řešení rovnic
původního modelu (5.30), (5.33), (5.34), (5.35), (5.31) v případě, že produkční funkce je
Cobbova-Douglasova tvaru (5.38). Budeme uvažovat počáteční podmínky
K(0) = K0, L(0) = L0.
Pak podle (5.38), (5.31) a (5.35) je
Y (0) = Y0 = BKα
0 L1−α
0 , S(0) = S0 = sY0, I(0) = I0 = (1 − s)Y0.
Rovnice (5.34) je lineární homogenní a její řešení splňující uvedenou počáteční podmínku je
L(t) = L0eλt
.
Podle (5.36) je
K(t) = k(t)L(t) = L0eλt K0
L0
1−α
− A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
1
1−α
,
podle (5.38), (5.30) je
Y (t) = BK(t)α
L(t)1−α
= κAL0eλt K0
L0
1−α
− A
1 − s
λ + δ
e(α−1)(λ+δ)t
+ A
1 − s
λ + δ
α
1−α
.
Spotřeba S(t) je s-násobkem produkce a investice I(t) je jejím (1 − s)-násobkem.
Technologický pokrok v modelu ekonomického růstu
Z rovností (5.48), (5.46) plyne, že produkce, kapitál a pracovní síla jsou asymptoticky ekvivalentní
funkce; zhruba řečeno, tyto makroekonomické charakteristiky rostou stejně rychle.
Zejména platí
lim
t→∞
Y (t)
K(t)
=
λ + δ
1 − s
= const < ∞.
Základní dogma ekonomie však říká, že ekonomika roste tak, že se produkuje stále více se
stále menšími náklady, tj.
lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= ∞. (5.49)
Tato disproporce může být způsobena tím, že jsme neuvažovali technologický pokrok. Ten se
projevuje tak, že efektivita práce v čase roste. To znamená, že pracovní síla nebude vyjádřena
pouze množstvím pracujících. Předpoklad P4) tedy nahradíme předpokladem modifikovaným:
P4’) Relativní přírůstek pracovní síly za jednotku času v průběhu času roste, tj.
L(t + δt) − L(t)
L(t)
= λ(t)∆t,
kde λ je rostoucí funkce.
76 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Nyní můžeme zopakovat všechny úvahy. Těmi dojdeme k modifikované rovnici neoklasického
modelu
k′
= − λ(t) + δ)k +
1 − s
κ
f(k, 1), (5.50)
která se od rovnice (5.37) liší pouze v tom, že relativní přírůstek pracovní síly λ závisí na
čase. Abychom tuto závislost specifikovali, přijmeme další předpoklad:
P9) Relativní přírůstek pracovní síly vyjadřuje dosaženou technologickou úroveň. Technologický
růst je proces kumulativní, tj. jeho přírůstek je úměrný úrovni dosažené a době
rozvoje, tj.
λ(t + ∆t) − λ(t) = pλ(t)∆t,
kde p je kladná konstanta.
Uvedený předpoklad lze limitním přechodem ∆t → 0 přepsat ve tvaru homogenní diferenciální
rovnice
λ′
= pλ, (5.51)
jejíž řešení je podle 1.3 rovno λ(t) = λ0ept, kde λ0 vyjadřuje počáteční technologickou úroveň.
Do rovnice (5.50) nyní můžeme dosadit Cobbovu-Douglasovu produkční funkci (5.39) a
vyjádření (5.51). Opět dostaneme Bernoulliovu rovnici
k′
= − λ0ept
+ δ k + A(1 − s)kα
,
kterou substituce (5.41) transformuje na rovnici lineární
r′
= (α − 1) λ0ept
+ δ r + A(1 − s)(1 − α).
Její řešení s počáteční podmínkou r(0) = r0 je podle 1.3 rovno
r(t) =

r0 + A(1 − α)(1 − s)
t
0
exp (1 − α) δτ +
λ0
p
(epτ
− 1) dτ

 ×
× exp −(1 − α) δt +
λ0
p
ept
− 1 .
Vzhledem k (5.45) je
Y (t)
K(t)
=
B
r(t)
,
takže s použitím de l’Hospitalova pravidla můžeme vypočítat
lim
t→∞
Y (t)
K(t)
= B lim
t→∞
exp (1 − α) δt +
λ0
p
ept − 1
r0 + A(1 − α)(1 − s)
t
0
exp (1 − α) δτ +
λ0
p
(ept − 1) dτ
=
= B lim
t→∞
(1 − α) δ +
λ0
p
ept exp (1 − α) δt +
λ0
p
ept − 1
A(1 − α)(1 − s) exp (1 − α) δt +
λ0
p
(ept − 1)
= lim
t→∞
δp + λ0ept
p(1 − s)
= ∞.
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 77
Podmínka (5.49) je nyní splněna. Analogicky vypočítáme
lim
t→∞
K(t)
Y (t)
/λ0ept
= 0.
Poslední výsledek lze interpretovat tak, že v uzavřené ekonomice s plynulým technologickým
pokrokem klesá kapitálová náročnost jednotky produkce řádově rychleji, než technologická
úroveň roste.
Základní dynamickou rovnici neoklasického modelu sestavili nezávisle na sobě Robert M. Solow
a Trevor W. Swan jako rozšíření modelu produktivity kapitálu, který nezávisle vytvořili Sir Roy F.
Harrod (v roce 1939) a Ewsey Domar (v roce 1946). Publikovali ji v článcích
Solow, R. M. A Contribution to the Theory of Economic Growth. Quaterly Journal of
Economic. 1956, vol. 70, No. 1 (February), p. 65–94.
Swan, T. W. Economic Growth and Capital Accumulation. Economic Record. 1956,
No. 32 (November), p. 334–361.
Robert Solow za rozpracování neoklasického modelu obdržel v roce 1987 Cenu Švédské národní banky
za rozvoj ekonomické vědy na památku Alfreda Nobela (lidově zvanou Nobelova cena za ekonomii).
5.8 Udržitelný rybolov
Představme si nějakou vodní nádrž, v níž žijí ryby. Tato nádrž je uzavřená v tom smyslu, že
ryby z ní ani do ní nemigrují. Úživnost této nádrže budeme považovat za konstantní. Populaci
ryb považujeme za homogenní (nerozlišujeme věk, velikost, pohlaví ani jiné vlastnosti jedinců)
a všechny její charakteristiky kromě velikosti považujeme za konstantní v čase. Označíme-li
x = x(t) velikost populace ryb v čase t, pak vývoj této veličiny lze modelovat logistickou
diferenciální rovnicí
x′
= rx 1 −
x
K
,
kde r je vnitřní koeficient růstu populace a K je kapacita (úživnost) prostředí; oba parametry
r a K jsou kladné.
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času
Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme
popsat tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času
je vyloveno určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři,
kteří mají pevně daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny
naplní.) Označme h množství ryb ulovených za jednotku času; parametr h je kladný. Pak
vývoj populace ryb, jejíž velikost byla na začátku rovna hodnotě x0 ≥ 0, je popsán počáteční
úlohou pro diferenciální rovnici
x′
= rx 1 −
x
K
− h, x(0) = x0. (5.52)
Základní otázkou je, zda rybolov je udržitelný, tj. zda v dostatečně dlouhém časovém horizontu
bude populace ryb přežívat nebo ji lov vyhubí.
78 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Rovnice v úloze (5.52) je Riccatiho, podle 4.1.1 ji řešíme substitucí
x(t) =
K
r
y′(t)
y(t)
. (5.53)
Dosazení do rovnice (5.52) dává
K
r
y′′y − (y′)2
y2
= x′
= r
K
r
y′
y
−
r
K
K
r
y′
y
2
− h,
tj.
K
r
y′′
y
−
K
r
y′
y
2
= −
K
r
y′
y
2
+ K
y′
y
− h.
Odtud snadnou úpravou dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními
koeficienty
y′′
− ry′
+
rh
K
y = 0. (5.54)
Její charakteristická rovnice (sr. 3.1.1) je
λ2
− rλ +
rh
K
= 0. (5.55)
Označme D = 1 −
4h
rK
. Pak D < 1, neboť parametry r, K, h jsou kladné. Při řešení úlohy
(5.52) rozlišíme tři případy podle znaménka veličiny D.
(i) D > 0, tj. h < 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (5.55) dva reálné různé kořeny
λ1,2 =
r
2
1 ±
√
D
a protože D < 1, jsou oba kořeny kladné. Obecné řešení lineární rovnice (5.54) je
y(t) = Ae
1
2
r(1+
√
D)t
+ Be
1
2
r(1−
√
D)t
= e
1
2
r(1+
√
D)t
A + Be−r
√
D t
,
kde A, B jsou nějaké konstanty. Platí tedy
y′
(t) = e
1
2
r(1+
√
D)t r
2
1 +
√
D A + Be−r
√
D t
− Br
√
D e−r
√
D t
=
=
r
2
e
1
2
r(1+
√
D)t
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
.
Odtud a z transformačního vztahu (5.53) dostaneme obecné řešení rovnice z úlohy (5.52) ve
tvaru
x(t) =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D Be−r
√
D t
A + Be−r
√
D t
.
Konstanty A, B získáme z počáteční podmínky v úloze (5.52):
x0 =
K
2
1 +
√
D A + 1 −
√
D B
A + B
=
K
2
1 +
√
D
A − B
A + B
.
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 79
To je jedna rovnice pro dvě neznámé a hodnoty A, B z ní nelze vypočítat. Lze však určit
jejich poměr
2x0
K
− 1 =
√
D
A − B
A + B
, tj. 2x0 − K − K
√
D A = −B 2x0 − K + K
√
D .
Řešení úlohy (5.52) je tedy dáno formulí
x(t) =
K
2
1 +
√
D K 1 −
√
D − 2x0 − 1 −
√
D K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D − 2x0 e−r
√
D t
=
=
K
r
rx0 1 +
√
D − 2h − rx0 1 +
√
D − 2h e−r
√
D t
2x0 − K 1 −
√
D − 2x0 − K 1 +
√
D e−r
√
D t
,
neboť 1 − D =
4h
rK
.
Nyní můžeme vyšetřovat průběh funkce x v závislosti na počáteční hodnotě (parametru)
x0. Pokud je x0 > 1
2K 1 −
√
D , pak je funkce x kladná pro jakoukoliv hodnotu nezávisle
proměnné t a platí
lim
t→∞
x(t) = K
1 +
√
D
2
;
zejména pro x0 = 1
2 K 1+
√
D je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2K 1+
√
D . Rybolov zredukuje
velikost populace ryb na hodnotu x∗ = 1
2 K 1 +
√
D .
Pokud je x0 = 1
2 K 1 −
√
D , pak je funkce x konstantní, x(t) ≡ 1
2K 1 −
√
D .
Ovšem, pokud je x0 < 1
2K 1 −
√
D , pak pro
tE =
1
r
√
D
ln
2h − rx0 1 −
√
D
2h − rx0 1 +
√
D
je x(tE) = 0. To znamená, že lov ryby vyhubí.
Řešení počáteční úlohy (5.52) s hodnotou h ∈ (0, 1
4rK) a s různými počátečními hodnotami
je zobrazeno na obr. 5.4 vlevo nahoře.
(ii) D > 0, tj. h = 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (5.55) dvojnásobný reálný kladný kořen
λ = 1
2r. Obecné řešení lineární rovnice (5.54) v tomto případě je rovno
y(t) = (A + Bt)e
1
2
rt
.
Pro toto řešení musí platit y(0) = 0, jinak by transformace (5.53) nebyla definována v pravém
okolí počáteční hodnoty. Odtud plyne, že A = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
y(t) = A 1 +
B
A
t e
1
2
rt
= A(1 + Ct)e
1
2
rt
,
kde C =
B
A
. Derivace řešení je rovna
y′
(t) = A C +
r
2
(1 + Ct) e
1
2
rt
80 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
a obecné řešení rovnice z úlohy (5.52) je
x(t) =
K
r
C + r
2(1 + Ct)
1 + Ct
=
K
2
+
K
r
C
1 + Ct
.
Toto řešení má splňovat počáteční podmínku v úloze (5.52), takže
C =
r
2K
(2x0 − K).
Řešení úlohy (5.52) je tedy v případě h = 1
4 rK dáno formulí
x(t) = K
1
2
+
2x0 − K
2K + r(2x0 − K)t
.
Pokud x0 ≥ 1
2K, je toto řešení kladné pro každé t ≥ 0. Zejména pro x0 = 1
2 K je řešení
konstantní, x(t) ≡ 1
2 K. Pokud naopak x0 < 1
2K, je řešení kladné pouze pro t ∈ [0, tE), kde
tE =
2K
r(K − 2x0)
a x(tE) = 0. Řešení úlohy (5.52) v případě h = 1
4rK pro různé počáteční hodnoty je znázorněno
na obr. 5.4 vpravo nahoře.
V případě h = 1
4 rK je tedy rybolov udržitelný pouze pokud byla počáteční velikost
populace ryb alespoň na polovině úživnosti prostředí. V takovém případě rybolov dlouhodobě
udržuje velikost populace na hodnotě 1
2 K, neboť
lim
t→∞
x(t) =
K
2
.
Pokud je počáteční velikost populace ryb menší, lov ryby vyhubí v čase tE.
(iii) D < 0, tj. h > 1
4rK.
V tomto případě má charakteristická rovnice (5.55) komplexně sdružené kořeny
λ1,2 =
r
2
± iϕ, kde ϕ =
r
2
√
−D =
r
2
4h
rK
− 1
a obecné řešení lineární rovnice (5.54) je tvaru
y(t) = Ae
1
2
rt
sin(ϕt + ψ),
kde A, ψ jsou konstanty. Jeho derivace je rovna
y′
(t) = Ae
1
2
rt r
2
sin(ϕt + ψ) + ϕ cos(ϕT + ψ)
a řešení rovnice z úlohy (5.52) podle transformačního vztahu (5.53) je dáno formulí
x(t) =
K
r
r sin(ϕt + ψ) + 2ϕ cos(ϕt + ψ)
2 sin(ϕt + ψ)
=
K
2
+
Kϕ
r
cotg(ϕt + ψ) =
=
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕt + ψ) .
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 81
x
t
x∗
0 < h < 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = 1
4 rK
x
t
K
h > 1
4 rK
x
t
1
2 K
h = Ex, E = Emax = 1
2 r
Obrázek 5.4: Modely rybolovu. Rybolov s konstantním úlovkem za časovou jednotku, tj. řešení
úlohy (5.52) pro různé hodnoty intenzity lovu h a pro různé počáteční hodnoty x0 (nahoře
a vlevo dole). Rybolov s konstantním loveckým úsilím, tj. řešení úlohy (5.57) s úsilím E
přinášejícím maximální udržitelný úlovek pro různé počáteční hodnoty x0 (vpravo dole).
82 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Aby toto řešení splnilo počáteční podmínku v úloze (5.52), musí platit
x0 =
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg ψ ,
tedy
ψ = arccotg
2x0 − K
K
rK
4h − rK
.
Řešení úlohy (5.52) je nyní kladné pouze na intervalu [0, tE), kde tE je nejmenší kladné řešení
rovnice
K
2
1 +
4h
rK
− 1 cotg(ϕtE + ψ) = 0,
tedy
tE =
1
ϕ
arccotg −
rK
4h − rK
− ψ =
2
r
rK
4h − rK
π
2
− ψ + arctg
rK
4h − rK
.
Pro h > 1
4rK tedy rybolov nemůže být udržitelný. Řešení úlohy (5.52) v případě h > 1
4rK
pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. 5.4 vlevo dole.
Z rozboru řešení modelu (5.52) plyne, že rybolov může být udržitelný pouze v případě, že
není příliš intenzivní a počáteční populace ryb je dostatečně velká, konkrétně když
h ≤
1
4
rK a x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
Maximální udržitelný úlovek je tedy
hmax =
1
4
rK. (5.56)
Rybolov s konstantním úsilím
K modelování rybolovu můžeme přistoupit i jinak. Předpokládejme, že nikoliv úlovek za
jednotku času, ale úsilí vynaložené na lov je konstantní. To si můžeme představit například
tak, že rybáři mají pevnou denní pracovní dobu, po kterou vlečou sítě. Úlovek za jednotku
času je v takovém případě úměrný množství ryb, které jsou k dispozici, tj. h = Ex, kde kladná
konstanta E vyjadřuje vynaložené úsilí.
Místo modelu (5.52) tedy uvažujeme model
x′
= rx 1 −
x
K
− Ex, x(0) = x0. (5.57)
Rovnici upravíme na tvar
x′
= −
r
K
x2
+ (r − E)x
a vidíme, že se opět jedná o Riccatiho rovnici. Substituce (5.53) ji převede na tvar
K
r
y′′
y
−
K
r
y′
y
2
= −
r
K
K
r
y′
y
2
+ (r − E)
K
r
y′
y
,
5.8. UDRŽITELNÝ RYBOLOV 83
z něhož po úpravě dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koefi-
cienty
y′′
− (r − E)y′
= 0. (5.58)
Příslušná charakteristická rovnice λ2 − (r − E)λ = 0 má dva reálné kořeny
λ1,2 =
0,
r − E.
(5.59)
Pokud E = r, jsou tyto kořeny různé a obecné řešení rovnice (5.58) je tvaru
y(t) = A + Be(r−E)t
.
Jeho derivace je rovna y′(t) = B(r − E)e(r−E)t, takže zpětnou transformací (5.53) dostaneme
řešení rovnice z úlohy (5.57) jako
x(t) =
K
r
B(r − E)e(r−E)t
A + Be(r−E)t
.
Pro x(0) = x0 > 0 musí být B = 0 a řešení můžeme upravit na tvar
x(t) =
K(r − E)
r 1 + De−(r−E)t
;
hodnotu konstanty D =
A
B
určíme z počáteční podmínky úlohy (5.57),
D =
K(r − E)
rx0
− 1 =
1
rx0
K(r − E) − rx0 .
Řešení úlohy (5.57) je tedy v případě E = r dáno formulí
x(t) =
K(r − E)x0
rx0 − rx0 − K(r − E) e−(r−E)t
; (5.60)
povšimněme si, že tato funkce vyjadřuje řešení problému (5.57) i pro x0 = 0. Řešení (5.60)
úlohy (5.57) je pro libovolnou počáteční hodnotu x0 ≥ 0 definováno na celém intervalu [0, ∞)
a platí pro něho
lim
t→∞
x(t) =



K 1 −
E
r
, E < r,
0, E > r.
Pokud E = r, oba kořeny (5.59) charakteristické rovnice splývají do dvojnásobného kořene
λ1,2 = 0. Obecné řešení lineární rovnice (5.58) je v tomto případě rovno
y(t) = A + Bt,
takže z transformačního vztahu (5.53) plyne, že obecné řešení rovnice v úloze (5.57) je
x(t) =
K
r
B
A + Bt
=
K
r
1
D + t
.
84 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Hodnota konstanty D nyní je D =
K
rx0
, takže řešení úlohy (5.57) je
x(t) =
Kx0
K + rx0t
.
Tato funkce je také při libovolném x0 ≥ 0 definována na celém intervalu [0, ∞) a platí pro ni
lim
t→∞
x(t) = 0.
Z rozboru řešení úlohy (5.57) vidíme, že rybolov je dlouhodobě udržitelný (tj. řešení x = x(t)
úlohy (5.57) je kladné pro všechna t ≥ 0) v případě E < r. Na rozdíl od předchozího modelu
(5.52) však i neudržitelný rybolov vyhubí ryby v dlouhodobém horizontu, nikoliv v konečném
čase. Jinak řečeno: je-li ochrana ryb (nebo jiného obnovitelného zdroje) prováděna pevným
omezením úlovku, může dojít ke katastrofickému vývoji — rychlé likvidaci ryb. Ochrana pomocí
zpětné vazby, tj. omezováním úlovku na základě aktuálního množství ryb, je bezpečnější.
Uvažujme nyní udržitelný rybolov papsaný modelem (5.57) za situace, kdy velikost populace
ryb je na limitní hodnotě
x∗
= K 1 −
E
r
.
Úlovek za jednotku času je v takovém případě roven h = Ex∗. Tento úlovek lze chápat jako
závislý na vynaloženém úsilí, tj. jako funkci
h = h(E) = EK 1 −
E
r
.
To je konkávní kvadratická funkce, která nabývá svého maxima pro E = Emax = 1
2 r. Maximální
úlovek za jednotku času je tedy
hmax = h(Emax) =
1
4
rK.
To je stejný výsledek jako (5.56), tj. v případě rybolovu s konstantním úlovkem za jednotku
času popsaného modelem (5.52). Řešení úlohy (5.57) s úsilím E = Emax = 1
2r je znázorněno
na obrázku 5.4 vpravo dole.
Optimalizace udržitelného rybolovu
Nyní můžeme řešit problém optimalizace rybolovu. Vnitřní koeficient růstu populace ryb je
pro konkrétní druh konstanta, tu ovlivnit nelze. Úživnost prostředí však lze měnit, například
eutrofizací příslušné vodní nádrže (přikrmováním ryb). V takovém případě můžeme počáteční
velikost x0 považovat za kapacitu přirozeného prostředí. Zvyšování úživnosti prostředí ale
něco stojí. Předpokládejme, že náklady na eutrofizaci rybníka, které zvýší jeho úživnost na
hodnotu K, jsou vyjádřeny funkcí n(K). Cenu ulovených ryb při intenzitě h označíme c(h) a
náklady na něho označíme l(h). Zisk z rybolovu je tedy roven c(h) − l(h) − n(K).
Maximální udržitelný rybolov má intenzitu h = 1
4rK. Chceme-li tedy maximalizovat zisk,
hledáme maximum funkce
f(K) = c 1
4rK − l 1
4rK − n(K)
5.9. ŘETĚZOVKA 85
za podmínky
x0 ≥
K
2
1 − 1 −
4h
rK
.
To se ovšem snáze řekne, než udělá; funkce c a n totiž nemusí být známy.
Uvedené modely diskutovali Beddington a May v článku
Beddington, J. R., May, R. M. Harvesting natural populations in a randomly fluctuating
environment. Science. 1977, vol. 197, p. 463–465.
Přestože se jedná o modely velice jednoduché, přinášejí důležitý vhled do problematiky řízení
využívání obnovitelných zdrojů.
5.9 Řetězovka
Mezi dva body A a B, jejichž vzdálenost je menší než ℓ, zavěsíme lano délky ℓ. Chceme určit,
jaký tvar bude lano mít.
Lano je hmotné. Předpokládejme, že je homogenní a má lineární hustotu ̺. To znamená,
že jeho celková hmotnost je ℓ̺ a jeho libovolný úsek délky s má hmotnost s̺. Dále předpokládejme,
že lano je dokonale ohebné, neroztažitelné a nesmrštitelné. Jinak řečeno, může mít
tvar libovolné křivky délky ℓ.
Zvolíme souřadný systém tak, že osa x je vodorovná, osa y svislá, bod A leží v počátku,
kolmý průmět úsečky AB do vodorovné roviny incidentní s osou x je částí osy x. Bod A má
tedy souřadnice (0, 0), bod B souřadnice (xB, yB); přitom platí x2
B + y2
B < ℓ2. Tvar lana
vyjádříme jako graf funkce y = y(x) definované na intervalu [0, xB]. Situace je znázorněna na
obrázku 5.5.
Na lano působí tři síly – gravitační síla G a reakce F , H v koncových bodech A, B.
Gravitační síla působí v těžišti S lana, je orientovaná svisle shora dolů a má velikost ℓ̺g, kde
g je gravitační zrychlení, tj. G = (0, −ℓ̺g). Síly reakce v závěsech lana zapíšeme jako
F = (Fx, Fy), H = (Hx, Hy), přitom Fx < 0 < Fy, Hx > 0, Hy > 0.
Síly jsou v rovnováze, tedy F + H + G = o. Rozepsáno ve složkách,
Fx + Hx = 0, Fy + Hy = ℓ̺g.
Vektory F a H jsou tečnými vektory ke grafu funkce y, tedy
y′
(0) =
Fy
Fx
, y′
(xB) =
Hy
Hx
.
Nyní si představme, že lano přeřízneme v bodě C = (x, y) a oddělíme z něho část CB. Aby
zůstal zachován tvar lana mezi body A a C, musí v bodě C působit tah T , orientovaný ve
směru tečny ke grafu funkce y v bodě C. Na část lana mezi body A a C nyní působí gravitační
síla GAC o velikosti s̺g, kde
s =
x
0
1 + y′(ξ)2 dξ (5.61)
86 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
y
x
A
F
S
G
C T
B
H
xB
yB
Obrázek 5.5: Tvar dokonale ohebného lana připevněného ke dvěma bodům – řetězovka.
je délka lana mezi body A a C. Síly F , T a GAC působící na část lana mezi body A a C musí
být v rovnováze, tedy F + T + GAC = o. Složky tahové síly T = (Tx, Ty) splňují podmínky
Tx = −Fx, Ty = s̺g − Fy,
které jsou analogické podmínkám rovnováhy pro celé lano. Pro derivaci funkce y v bodě x
platí
y′
(x) =
Ty
Tx
=
s̺g − Fy
−Fx
= −
̺g
Fx
s +
Fy
Fx
. (5.62)
Nyní označíme
a = −
̺g
Fx
, b = −
Fy
Fx
.
Poněvadž Fx < 0 < Fy, jsou konstanty a, b kladné. Rovnici (5.62) přepíšeme,
y′
= as − b, (5.63)
a zderivujeme podle proměnné x. Dostaneme rovnici
y′′
= a
ds
dx
. (5.64)
Z rovnosti (5.61) vyjádříme
ds
dx
= 1 + y′(x)2
a dosadíme do rovnice (5.64). Dostaneme rovnici druhého řádu
y′′
= a 1 + y′2
. (5.65)
Příslušné Cauchyovy podmínky jsou
y(0) = 0, y′
(0) = −b; (5.66)
první z nich vyjadřuje, že začátek lana je v bodě A = (0, 0), druhá plyne z rovnosti (5.63).
5.9. ŘETĚZOVKA 87
Hledaný tvar lana je tedy grafem řešení Cauchyovy úlohy pro autonomní diferenciální
rovnici druhého řádu (5.65) s podmínkami (5.66). Rovnici řešíme postupem popsaným v 4.2.3.
Zavedeme funkci u = y′ a úlohu přepíšeme na tvar
u′
= a 1 + u2 , u(0) = −b.
To je Cauchyova úloha pro rovnici se separovanými proměnnými, její řešení je podle 1.1.3
implicitně dáno rovností
ax =
u
−b
dη
1 + η2
= ln η + 1 + η2
u
η=−b
= ln u + 1 + u2 − ln −b + 1 + b2 .
Označíme ϕ = − ln
√
1 + b2 − b , předchozí rovnost přepíšeme na tvar
ax − ϕ = ln u + 1 + u2
a vypočítáme z ní2
u = sinh(ax − ϕ).
Tato funkce je derivací hledané funkce y. Vzhledem k první podmínce (5.66) dostaneme
y =
x
0
u(ξ)dξ =
x
0
sinh(aξ − ϕ)dξ =
1
a
cosh(aξ − ϕ)
x
ξ=0
=
1
a
cosh(ax − ϕ) − cosh ϕ .
Řešení úlohy (5.65), (5.66) tedy je
y =
1
a
cosh(ax − ϕ) − cosh ϕ . (5.67)
V tomto vyjádření vystupují kladné parametry a, ϕ, které nejsou v původním zadání úlohy.
Můžeme je vypočítat z podmínek, že koncový bod B má souřadnice (xB, yB) a délka lana je
ℓ:
yB = y(xB) =
1
a
cosh(axB − ϕ) − cosh ϕ
ℓ =
xB
0
1 + y′(ξ)2 dξ =
xB
0
1 + sinh(aξ − ϕ)
2
dξ =
xB
0
cosh(aξ − ϕ)dξ =
=
1
a
sinh(axB − ϕ)
xB
ξ=0
=
1
a
sinh(axB − ϕ) + sinh ϕ .
2
Připomeňme si, že hyperbolické funkce sinh a cosh jsou definovány vztahy
sinh x = 1
2
ex
− e−x
, cosh x = 1
2
ex
+ e−x
a platí pro ně
(cosh x)2
− (sinh x)2
= 1, (sinh x)′
= cosh x, (cosh x)′
= sinh x.
88 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Hledaný tvar zavěšeného lana ve zvoleném souřadném systému je graf funkce y = y(x)
dané rovností (5.67), kde parametry a, ϕ jsou kladná řešení soustavy transcendentních rovnic
cosh(axB − ϕ) = ayB + cosh ϕ, sinh(axB − ϕ) = aℓ − sinh ϕ.
Ve speciálním případě, kdy body A a B jsou ve stejné výšce, tj. yB = 0, můžeme tyto rovnice
zjednodušit na tvar
sinh ϕ
ϕ
=
ℓ
xB
, a =
2ϕ
xB
.
První z nich je rovnicí pro jedinou neznámou ϕ; tu z ní (numericky) vypočítáme a dosadíme
do druhé.
Galileo Galilei pozoroval, že struna zavěšená na dva body zaujme přibližně tvar paraboly, a že
aproximace tvaru struny parabolou je tím přesnější, čím je menší zakřivení struny; pokud v bodu
závěsu struna svírá s vodorovnou rovinou úhel menší než 45◦
, jedná se o téměř přesnou parabolu. Toto
své pozorování popsal ve své vědecké závěti Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due
Nuove Scienze publikované roku 1638. V roce 1690 formuloval Jakob Bernoulli problém, najít rovnici
této křivky. Vyřešení problému ohlásil G. W. Leibniz v dopise C. Huyghensovi. Křivku popsal jako
řetěz s nekonečně malými články, odtud vznikl název křivky – řetězovka (latinsky linea catenaria).
V prosinci roku 1690 nezávisle na nich zaslal Jakob Bernoulli řešení vydavatelům Acta Eruditorium,
kde vyšlo roku 1691.
5.10 „Psí křivka
Pes pronásleduje zajíce. Zajíc se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí u, pes běží ve
směru k zajíci rovnoměrnou rychlostí v, v > u. Určete tvar dráhy psa a čas T, za který pes
zajíce dohoní.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, aby se zajíc pohyboval po druhé ose
souhlasně s její orientací a na počátku, tj. v čase t0 = 0, se zajíc nacházel v bodě (0, b) a pes
v bodě (−a, 0). Nechť pro určitost je a > 0; případ a = 0 je triviální a v případě a < 0 bude
tvar dráhy zřejmě obrazem tvaru pro a > 0 v osové symetrii kolem druhé souřadné osy.
Situace je znázorněna na obr. 5.6 a). Dráhu psa vyjádříme jako funkci y = y(x). V čase
t = 0 je x = −a a y = 0, tj.
y(−a) = 0. (5.68)
Pes k zajíci směřuje od začátku, tj.
y′
(−a) =
b
a
. (5.69)
V jistém čase t, t < T, se pes nachází v bodě (x, y), x ∈ (−a, 0), a zajíc v bodě (0, b + ut).
Poněvadž pes stále směřuje k zajíci, platí
y′
(x) =
b + ut − y(x)
|x|
=
y(x) − b − ut
x
,
neboli
ut = y − xy′
(x) − b. (5.70)
5.10. „PSÍ KŘIVKA 89
−a x
b
y
b + ut
u
v
y
x
b
−a
a) b)
y
x
−a
y
x
−a
b
c) d)
Obrázek 5.6: a) K odvození rovnice „psí křivky . Vektor rychlosti zajíce u má v každém
okamžiku souřadnice (0, u), vektor rychlosti psa v má v každém okamžiku velikost v a v čase
t směřuje k zajíci, tj. je rovnoběžný s vektorem o souřadnicích (|x|, b + ut − y).
b) „Psí křivka pro a < 0, b > 0.
c) „Psí křivka pro a > 0, b = 0.
d) „Psí křivka pro a > 0, b < 0.
90 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Za čas t urazí pes dráhu délky vt. Této hodnotě tedy musí být rovna délka křivky (grafu
funkce) y = y(x) od bodu (−a, 0) po bod (x, y), tedy
vt =
x
−a
1 + y′(ξ)
2
dξ.
Z této rovnosti vyjádříme t a dosadíme do (5.70),
u
v
x
−a
1 + y′(ξ)
2
dξ = y(x) − xy′
(x) − b. (5.71)
Označíme
s =
u
v
. (5.72)
Podle předpokladu je s < 1. Obě strany rovnosti (5.71) zderivujeme podle x. Dostaneme
s 1 + y′(x)
2
= y′
(x) − y′
(x) − xy′′
(x)
a po úpravě
xy′′
(x) + s 1 + y′(x)
2
= 0. (5.73)
Dráha psa je tedy řešením neautonomní nelineární diferenciální rovnice druhého řádu (5.73)
s počátečními podmínkami (5.68), (5.69).
Rovnice (5.73) je typu 4.2.2. Proto zavedeme novou neznámou funkci p = p(x) = y′(x).
Dosadíme ji do rovnice (5.73) a počáteční podmínky (5.69). Po snadné úpravě dostaneme
počáteční úlohu
p′
= −
s
x
1 + p2 , p(−a) =
b
a
.
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými. Řešení úlohy v implicitním tvaru tedy podle
1.1.3 je
p
b
a
dη
1 + η2
= −s
x
−a
dξ
ξ
.
Integrací dostaneme
ln
a p + 1 + p2
b +
√
a2 + b2
= ln −
a
x
s
a odtud
p =
1
2C
C2
−
a
x
s
− −
x
a
s
,
kde
C =
b
a
+ 1 +
b
a
2
. (5.74)
5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 91
Poněvadž p = y′ a funkce y splňuje podmínku (5.68), dostaneme řešení úlohy integrací poslední
rovnosti, tedy
y(x) =
1
2C
x
−a
C2
−
a
ξ
s
− −
ξ
a
s
dξ =
=
Ca
2(1 − s)
1 − −
x
a
1−s
−
a
2C(1 + s)
1 − −
x
a
1+s
.
Za konstanty s a C dosadíme z rovností (5.72) a (5.74). Po úpravách dostaneme „psí křivku
ve tvaru
y(x) =
v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
−
v
2
b −
√
a2 + b2
v + u
x
a
1+ u
v
+
b +
√
a2 + b2
v − u
x
a
1− u
v
.
Nalezená funkce y je sudá, vyjadřuje tedy tvar dráhy psa pro a > 0 i pro a < 0; v prvním
případě bychom za definiční obor považovali interval [−a, 0], ve druhém interval [0, −a].
Pes dostihne zajíce v bodě 0, y(0) . To znamená, že zajíc rychlostí u urazí dráhu délky
y(0) − b a čas, za který pes zajíce dohoní, je tedy roven
T =
y(0) − b
u
=
1
u


v vb + u
√
a2 + b2
v2 − u2
− b

 =
ub + v
√
a2 + b2
v2 − u2
.
„Psí křivku („courbe chien ) jako první studoval v roce 1732 francouzský matematik Pierre
Bouger (ten je známější jako účastník expedice do Peru v roce 1735, která změřila délku jednoho
stupně zeměpisné délky na rovníku). Křivka je nejjednodušším případem křivek sledování (pursuit
curves, pojem poprvé použil George Boole ve svém spisu „Treatise on Differential equations v roce
1859), které jsou definovány takto: jestliže body A a P se pohybují rovnoměrně, bod A po dané křivce
a směr pohybu bodu P stále míří k bodu A, pak bod P opisuje křivku sledování.
Úloha bývá někdy formulována tak, že pes sleduje svého pána, nebo že liška honí králíka.
5.11 Nerelativistický model nestacionárního Vesmíru
Seriózní modely Vesmíru jako celku jsou konstruovány v rámci obecné teorie relativity. Ovšem
již Newtonovy zákony (a tedy středoškolská fyzika) umožňují jistý vhled do vývoje Vesmíru,
zejména mohou ukázat význam jeho současné hustoty pro jeho další osud.
Budeme si tedy představovat, že Vesmír je umístěn v klasicky nekonečném euklidovském
trojrozměrném prostoru. Vesmír sám nemůže být nekonečný, přesněji řečeno, nemůže tento
hypotetický absolutní prostor rovnoměrně vyplnit. To snadno nahlédneme, pokud se za bezoblačné
noci a mimo městské osvětlení podíváme na oblohu. Uvidíme tmu a hvězdy. Kdyby
Vesmír rovnoměrně vyplnil celý nekonečný prostor, v každém směru by náš pohled nakonec na
nějakou hvězdu narazil a noční obloha by celá zářila jako polední slunce. Tento argument pro
konečnost Vesmíru však není úplně přesvědčivý – mohla by v něm být nějaká mezihvězdná
nebo mezigalaktická mračna, která vzdálenější hvězdy zastíní; nebo by světlo mohlo během
dlouhé cesty Vesmírem zestárnout a zeslábnout nebo dokonce přestat svítit. Existuje však
další argument pro konečnost Vesmíru, a tím je existence gravitačního zákona. V nekonečném
92 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Vesmíru by se v každém směru nacházelo nekonečné množství hmoty a gravitační působení
těchto hmot na jakékoliv těleso by se vzájemně vyrušila. Pokud tedy chceme zůstat v přehledném
světě klasické fyziky, tj. ve světě, v němž působí obecné Newtonovy zákony pohybu i
zákon gravitační, musí hmotný vesmír (což je z pohledu novověké materialistické přírodovědy
celý Vesmír) být konečný, byť se nachází v nekonečném absolutním prostoru.
Z prostorové omezenosti Vesmíru plyne také skutečnost, že nemůže být neproměnný v čase;
čas si v souladu s newtonovskou fyzikou představujeme jako rovnoměrně plynoucí nezávisle na
jakémkoliv procesu, tedy jako jednorozměrný euklidovský prostor. Konečný Vesmír nemůže
mít stále stejnou rozlohu – gravitační síla by totiž každou částici přitahovala do těžiště Vesmíru
a ten by se postupně zhroutil a vytvořil nějaké těleso obrovské hustoty. O trvání Vesmíru
tato úvaha ještě nic neříká: Vesmír mohl mít počátek a při něm dostat nějaký impuls, který
způsobuje jeho neustálé rozpínání až po úplné „vyvanutí ; nebo mohl být na počátku veliký a
postupně se smršťuje; žádný počátek ani konec nemusí mít, jen se v průběhu času působením
nějaké síly periodicky nebo neperiodicky mění a podobně. Který ze scénářů vývoje Vesmíru
je realistický vzhledem k předpokladům, tj. zformulovaným přírodním zákonům, může ukázat
matematický model.
Náš modelovaný Vesmír bude homogenní (v každém místě stejný) a izotropní (v každém
směru stejný); to celkem dobře odpovídá pozorování na dostatečně velké prostorové škále.
K tomu budeme ještě předpokládat, že platí zákon zachování hmoty a přírodní zákony –
zejména zákon gravitační – jsou na čase nezávislé, jsou věčné.
Model Vesmíru je tedy postaven na předpokladech:
(i) Vesmír je homogenní koule o konečném poloměru R > 0.
(ii) Poloměr Vesmíru se v čase mění, R = R(t). Současný poloměr Vesmíru označíme R0.
(iii) Vesmír má konstantní hmotnost M; samozřejmě je M > 0.
(iv) V celém Vesmíru platí Newtonův gravitační zákon a gravitační konstanta G > 0 nezávisí
na čase.
Z astronomických pozorování je známo, že se Vesmír rozpíná; čím jsou galaxie od sebe vzdálenější,
tím rychleji se od sebe vzdalují. Změnu velikosti Vesmíru, tedy derivaci jeho poloměru
R′(t), budeme proto považovat za úměrnou jeho velikosti. Spolu s předpokladem (ii) tak pro
poloměr Vesmíru dostáváme počáteční podmínky
R(0) = R0, R′
(0) = HR0, (5.75)
kde H > 0 je Hubbleova konstanta3.
Uvažujme částici (galaxii) o hmotnosti µ na „hranici Vesmíru , tj. ve vzdálenosti R od
jeho středu. Podle předpokladů (i), (iii) a (iv) na ni působí gravitační síla orientovaná do
středu Vesmíru, tedy síla daná vztahem
F = −G
Mµ
R2
,
která částici uděluje zrychlení R′′. Podle zákona síly je F = µR′′, tedy
R′′
= −G
M
R2
. (5.76)
3
Přesněji řečeno, současná hodnota Hubbleovy konstanty; tento parametr by se mohl v průběhu vývoje
Vesmíru měnit.
5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 93
Diferenciální rovnice druhého řádu (5.76) spolu s počátečními podmínkami (5.75) představuje
model vývoje velikost Vesmíru.
Označme ̺0 současnou hustotu Vesmíru. Podle předpokladu (iii) platí M = 4
3πR3
0̺0. Dále
zavedeme bezrozměrný poloměr Vesmíru r a bezrozměrný čas τ vztahy
r =
R
R0
, τ = Ht. (5.77)
Pak pravá strana rovnice (5.76) je rovna
−G
M
R2
= −
G
(R0r)2
4
3
πR3
0̺0 = −
4πGR0̺0
3r2
,
její levá strana je
d2R
dt2
=
d
dτ
d
dτ
R0r
dτ
dt
dτ
dt
= R0H2 d2r
dτ2
,
takže rovnice (5.76) se transformuje na rovnici
d2r
dτ2
= −
4πG̺0
3H2
1
r2
.
Rozměr veličiny
H2
G
v jednotkách SI je kg m−3, což znamená, že tato veličina vyjadřuje
hustotu hmotnosti. To nás opravňuje k zavedení kritické hustoty vztahem
̺krit =
3H2
8πG
. (5.78)
Při tomto označení rovnici (5.76) přepíšeme do tvaru
d2r
dτ2
= −
1
2
̺0
̺krit
1
r2
. (5.79)
Počáteční podmínky pro tuto rovnici odvodíme z faktů, že τ = 0 právě tehdy, když t = 0, a
dr
dτ
=
d
dt
R
R0
dt
dτ
=
1
HR0
dR
dt
.
Z této a z druhé rovnosti (5.75) vypočítáme
dr
dτ
(0) =
1
HR0
dR
dt
(0) =
1
HR0
HR0 = 1.
Dostáváme tak počáteční podmínky pro funkci r ve tvaru
r(0) = 1,
dr
dτ
(0) = 1. (5.80)
Transformace (5.77) a označení (5.78) tedy převádí počáteční úlohu (5.76), (5.75) na úlohu
(5.79), (5.80).
Pro zjednodušení zápisu ještě označíme
σ =
̺0
̺krit
a rovnici (5.79) přepíšeme ve tvaru
d2r
dτ2
= −
σ
2r2
. (5.81)
94 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Řešení úlohy (5.81), (5.80)
Explicitní autonomní rovnici druhého řádu (5.81) můžeme podle 4.2.1 převést na implicitní
rovnici prvního řádu ve tvaru
dr
dτ
2
= 2 −
σ
2r2
dr =
σ
r
+ const.
Z počátečních podmínek (5.80) dále plyne, že
1 =
dr
dτ
(0)
2
=
σ
r(0)
+ const = σ + const,
tj. že integrační konstanta je rovna 1 − σ. Úloha (5.81), (5.80) se tedy transformuje na úlohu
dr
dτ
2
=
σ
r
+ 1 − σ, r(0) = 1. (5.82)
To je počáteční úloha pro implicitní rovnici prvního řádu. Stejně jako v kapitole 2 položíme
p =
dr
dτ
.
Rovnici tedy přepíšeme na tvar
p2
=
σ
r
+ 1 − σ,
z něhož vyjádříme
r =
σ
p2 + σ − 1
. (5.83)
Tuto rovnost derivujeme podle proměnné τ,
p =
−2pσ
(p2 + σ − 1)2
dp
dτ
,
upravíme a dostaneme rovnici se separovanými proměnnými
dτ
dp
=
−2σ
(p2 + σ − 1)2
.
K ní příslušná počáteční podmínka je podle druhé rovnosti v (5.80) tvaru p(0) = 1. Řešení
této počáteční úlohy je podle 1.1.3 dáno rovností
τ = −2σ
p
1
dξ
(ξ2 + σ − 1)2
. (5.84)
Rovnosti (5.84) a (5.83) vyjádřují řešení počátečního problému (5.81), (5.80) v parametrickém
tvaru; proměnnou p přitom považujeme za parametr. Rozsah hodnot tohoto parametru
je největší interval, na kterém je integrovaná funkce spojitá a který obsahuje hodnotu 1.
Na pravé straně rovnosti (5.84) je integrál z racionální funkce. Pro jeho výpočet rozlišíme
tři případy.
5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 95
1. σ = 1, tj. ̺0 = ̺krit.
V tomto případě je integrovaná funkce spojitá na intervalu (0, ∞) a platí
p
1
dξ
(ξ2 + σ − 1)2
=
p
1
dξ
ξ4
= −
1
3ξ3
p
ξ=1
= 1
3 1 −
1
p3
.
Řešení úlohy (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru tedy je
τ = 2
3
1
p3
− 1 ,
r =
1
p2
,
p ∈ (0, ∞).
Parametr p můžeme v tomto případě snadno eliminovat a úplné řešení úlohy (5.81),
(5.80) vyjádřit explicitně jako
r(τ) =
3 3
2τ + 1
2
, τ = −2
3, ∞ .
Takto definovaná funkce r = r(τ) je kladná, rostoucí a konkávní. Navíc pro ni platí
lim
τ→− 2
3
+
r(τ) = 0, lim
τ→− 2
3
+
r′
(τ) = ∞, lim
τ→∞
r(τ) = ∞, lim
τ→∞
r′
(τ) = 0.
V okamžiku τp = −2
3 je singularita: vesmír měl nulový poloměr (a tedy při konstantní
hmotnosti nekonečnou hustotu) a rozpínal se nekonečnou rychlostí. Vesmír se od okamžiku
τp rozpíná a bude se rozpínat stále; rychlost rozpínání však klesá k nule. Okamžik
τp lze považovat za okamžik vzniku (nebo stvoření) takového vesmíru (big bang). Od
něho se vesmír stále rozpíná a toto rozpínání skončí až v nekonečném čase. Takový
vesmír se nazývá parabolický.
2. σ < 1, tj. ̺0 < ̺krit.
V tomto případě je integrovaná funkce spojitá na intervalu
√
1 − σ, ∞ a platí
p
1
dξ
(ξ2 + σ − 1)2
=
1
2(1 − σ)
1
2
√
1 − σ
ln
ξ +
√
1 − σ
ξ −
√
1 − σ
−
ξ
ξ2 + σ − 1
p
ξ=1
.
Řešení úlohy (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru tedy je
τ =
1
σ − 1
+
σp
(1 − σ)(p2 + σ − 1)
+
σ
2 (1 − σ)3
ln
(p −
√
1 − σ)(1 +
√
1 − σ)
(p +
√
1 − σ)(1 −
√
1 − σ)
,
r =
σ
p2 + σ − 1
,
p ∈
√
1 − σ, ∞ .
Vyšetříme průběh funkce r = r(τ) dané parametricky předchozími rovnostmi; ty jsou
tvaru τ = τ(p), r = r(p). Platí
lim
p→
√
1−σ −
τ(p) =
1
σ − 1
+
σ
2 (1 − σ)3
ln
1 +
√
1 − σ
1 −
√
1 − σ
+
+
σ
σ − 1
lim
p→
√
1−σ −
p
p2 + σ − 1
+
1
2
√
1 − σ
ln
p −
√
1 − σ
p +
√
1 − σ
= ∞.
96 KAPITOLA 5. NĚKTERÉ KLASICKÉ ELEMENTÁRNÍ ÚLOHY
Dále označíme
τh = lim
p→∞
τ(p) =
1
σ − 1
+
σ
2 (1 − σ)3
ln
1 +
√
1 − σ
1 −
√
1 − σ
.
Pak vidíme, že r = r(τ) je funkce definovaná na intervalu (τh, ∞), která je na tomto
intervalu kladná, rostoucí a konkávní. Platí pro ni
lim
τ→τh+
r(τ) = 0, lim
τ→τh+
r′
(τ) = ∞, lim
τ→∞
r(τ) = ∞, lim
τ→∞
r′
(τ) =
√
1 − σ.
V okamžiku τh je singularita, od tohoto okamžiku se vesmír rozpíná a rychlost rozpínání
v průběhu času klesá ke konečné kladné hodnotě
√
1 − σ; rozpínání vesmíru se nezastaví
ani v nekonečném čase. Takový vesmír se nazývá hyperbolický.
3. σ > 1, tj. ̺0 > ̺krit.
V tomto případě je integrovaná funkce spojitá na celém intervalu (−∞, ∞) a platí
p
1
dξ
(ξ2 + σ − 1)2
=
1
2(σ − 1)
1
√
σ − 1
arctg
ξ
√
σ − 1
+
ξ
ξ2 + σ − 1
p
ξ=1
.
Řešení úlohy (5.81), (5.80) v parametrickém tvaru tedy je
τ =
1
σ − 1
−
σp
(σ − 1)(p2 + σ − 1)
+
σ
(σ − 1)3
arctg
1
√
σ − 1
− arctg
p
√
σ − 1
,
r =
σ
p2 + σ − 1
,
p ∈ R.
Při vyšetřování průběhu funkce r = r(τ) dané parametricky nejprve označíme
τe = lim
p→∞
τ(p) =
1
σ − 1
+
σ
(σ − 1)3
arctg
1
√
σ − 1
− 1
2π ,
τf = lim
p→−∞
τ(p) =
1
σ − 1
+
σ
(σ − 1)3
arctg
1
√
σ − 1
+ 1
2π ,
τm = τ(p)|p=0 =
1
σ − 1
+
σ
(σ − 1)3
arctg
1
√
σ − 1
.
Vidíme, že τe < 0 < τf , τm = 1
2(τe + τf ) > 0. Dále odvodíme, že funkce r = r(τ) je
definovaná na intervalu (τe, τf ), kladná a konkávní; na intervalu (τe, τm] je rostoucí a
na intervalu [τm, τf ) klesající. Platí pro ni
lim
τ→τe+
r(τ) = 0, lim
τ→τe+
r′
(τ) = ∞, lim
τ→τf −
r(τ) = 0, lim
τ→τf −
r′
(τ) = −∞,
max {r(τ) : τe < τ < τf } = r(τm) =
σ
σ − 1
, r′
(τm) = 0.
Singularita je tentokrát v okamžicích τe a τf . V minulosti, v okamžiku τe se vesmír začal
rozpínat nekonečnou rychlostí (big bang), rychlost rozpínání se zmenšuje až do okamžiku
τm v budoucnosti, kdy vesmír bude mít maximální poloměr. Od tohoto okamžiku se bude
smršťovat až se v okamžiku τf nekonečnou rychlostí zhroutí do závěrečné singularity
(big crunch). Takový vesmír se nazývá eliptický.
5.11. NERELATIVISTICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO VESMÍRU 97
r
τ0-1 τeτh −2
3
τm τf
1
σ = 1
4 σ = 1
σ = 4
Obrázek 5.7: Řešení úlohy (5.81), (5.80) pro tři různé hodnoty σ.
Grafy řešení úlohy (5.81), (5.80) pro tři konkrétní hodnoty poměru aktuální a kritické
hustoty Vesmíru jsou zobrazeny na obrázku 5.7.
Povšimněme si, že znalost gravitační konstanty G, současné hodnoty Hubbleovy konstanty
H a současné hustoty Vesmíru ̺0 umožňuje určit, který z možných scénářů odvozených ze
sestaveného modelu je realistický, tedy zda se Vesmír chová jako vesmír hyperbolický, eliptický
nebo parabolický. Zejména je pak možné určit stáří Vesmíru a v případě, že Vesmíru je
eliptický, také dobu jeho trvání. O velikosti Vesmíru však studovaný model neříká nic; tu lze
odhadovat až při použití rovnic obecné relativity.
Skutečnost, že expanzi Vesmíru a Hubbleovu zákonu vzdalování galaxií, obvykle vysvětlovaným na
základě Einsteinových rovnic obecné relativity, lze v hlavních rysech porozumět již v rámci Newtonovy
teorie gravitace, ukázali angličtí kosmologové Arthur Milne (1896–1950) a William McCrea (1904–
1999):
Milne E.A. A Newtonian Expanding Universe. Quaterly Journal of Mathematics 1934,
vol. 5, p. 64–72.
McCrea W.H., Milne E.A. Newtonian Universes and the Curvature Space. Quaterly
Journal of Mathematics 1934, vol. 5, p.73–80
Za zmínku stojí také to, že E. A. Milne výrazně preferoval nekonečný vesmír, který dává prostor
neomezenému počtu evolučních experimentů, které Bůh (nebo božská bytost) provádí. Tomuto tématu
věnoval např. knihu
Milne E.A. Modern Cosmology and the Christian Idea of God. Clarendon, Oxford 1952.
Ještě zdůrazněme, že model Vesmíru byl sestaven za předpokladu, že jediná síla, která
v něm působí je gravitace. Pokud v celém Vesmíru působí i jiná nezanedbatelná síla (temná
energie), pak uvažovaný model nemá žádný vztah ke skutečnosti.