Základy teoretické fyziky
Příklad:y ke zkoušce
1.   Variační princip
Příklad: 1      Snellův zákon
Odvoďte Snellův zákon pro lom a odraz na rovinném rozhraní dvou prostředí charakterisovaných indexy lomu n\ a n^.
Příklad: 2      Akce v akci
Spočtěte explicitní akci vyjádřenou pomocí počátečních x, a koncových Xf souřadnic a počátečního i; a koncového t f času pro jednorozměrné případy popsané Lagrangeovou funkcí:
a) L = \m.x2, b) L = ^mi2 + gx,        c) L = |mx2 — ^ma;2x2.
Návod: zdá se výhodným brát postupně řešení ve tvaru
tf-t ,      t - t/
V      V//!      /; +Xftf-ti'
tf — t t — t;        g   , . . .
X = X/-^--hxř-i---—(tf- t)(t - ti),
tf-ti     f tf-ti    2my f     A ,;
sino;(řy —ř) sino;(ř-t/) sinw(ř| — ti) Jsinw(í|-řj)
2. Kmity
Příklad: 3      Dvojité kyvadlo
Pro dvojité rovinné kyvadlo v homogenním gravitačním poli (značení na Obrázku 1.) je Lagrangeova funkce
L =---Ifcpf + — Zf<^ + m2hhq>iq>2Cos((p1 - cp2)
+ (rti\ + mi)gl\ cos q>\ + ni2gh cos q>2-
1
		i
	<p\	
		jmi
		
1		
\ g	y	
»WÍ2
Obrázek 1: Dvojité kyvadlo
Odvoďte a vyřešte Lagrangeovy rovnice za předpokladu malých kmitů < 1, <p2 < 1).
3.   Pohyb v centrálním poli
Pohyb se děje v rovině, Lagrangeova funkce v polárních souřadnicích je
L = -m(r + rq>1) - U(r).
(1)
Příklad: 4      Keplerova úloha
Odvoďte pro Lagrangeovu funkci (1) Lagrangeovy rovnice. Z těchto rovnic odvoďte zákon zachování momentu hybnosti a rovnici trajektorie
1 du2 u = -, + u
r dcpz
in d
-ňTuU[u^   Z = -^ = konst. (2)
Příklad: 5 Kardioida
Jaký tvar musí mít potenciální energie v (1), aby měla trajektorie tvar kardioidy
r = a(l + coscp),   a = konst, z Obrázku 2. Při řešení úlohy je vhodné užít rovnici trajektorie ve tvaru (2).
Příklad: 6      Neznámý potenciál
Najděte řešení pohybových rovnic s potenciální energií v (1) danou vztahem
U(r)
r,   a > 0.
2
tt/2
3tt/2
Obrázek 2: Ilustrace kardioidy
3
Příklad: 7      Záměrná vzdálenost
Částice s energií E a momentem hybnosti vzhledem k počátku souřadné soustavy velikosti l vstupuje do oblasti přitažlivého potenciálového pole. Pohyb je popsán Lagrangeovou funkcí (1). Spočtěte hodnotu rmin minimálního přiblížení k počátku.
4.   Tuhé těleso
Příklad: 8 Precese
Setrvačník v gravitačním poli (Obrázek 3) má hmotnost M a jeho počáteční (nestabilní) poloha a rychlost naklánění osy jsou 9(0) = 0,0(0) = 0. Lagran-geova funkce je
L = h^Š2 + <p2sin2 6) + h3{ip2 + <p2 cos2 6) - Mglcosfl,
kde 9, cp, xp jsou Eulerovy úhly, l\ a Í3 momenty setrvačnosti a l je vzdálenost středu hmotnosti C od pevného bodu rotace O. Odvoďte nejprve integrály pohybu a pak ukažte, že časová závislost úhlu náklonu je dána vztahem (není potřeba vztah integrovat)
f)2 = 4Wsin2«_iHlan2«, (3)
h 2      í2 2 w
Ze vztahu (3) určete konečný úhel náklonu.
Příklad: 9      Symetrický setrvačník
Vyřešte Eulerovy rovnice pro symetrický setrvačník (íi = I2 ^ h) a popište slovně výsledný pohyb.
5.   Pružná tělesa
Příklad: 10      Vlastní gravitace koule
Určete složky tensoru napětí v kouli poloměru R, když deformace je způsobena pouze jejím vlastním gravitačním polem.
Příklad: 11      Magdeburgské koule
Vypočtěte napětí v tenké kulové skořepině (s vnitřním poloměrem R — AR/2 a vnějším poloměrem R + AR/2, přitom AR <C R), s nulovým tlakem uvnitř a tlakem p zevně.
4
Obrázek 3: Setrvačník v gravitačním poli
6. Tekutiny
Příklad: 12 Zrcadlo
Určete tvar povrchu nestlačitelné kapaliny ve válcové nádobě, rotující kolem své osy konstantní úhlovou rychlostí Q.
Příklad: 13      Válcové souřadnice
Rozepište ve válcových souřadnicích do složek Navierovu - Stokesovu rovnici pro nestlačitelnou tekutinu:
— + (v ■ V)v = --Vp + vAv dt q
Příklad: 14      Rychlost zvuku
Jaký je rozdíl v rychlosti zvuku ve vzduchu, chápeme-li proces jako iso-termický nebo adiabatický? Který popis je správný a proč?
Volně upraveno dle textu od prof. M. Lence.
5