M8120 Spektrální analýza II

Přírodovědecká fakulta
jaro 2015
Rozsah
2/1/0. 3 kr. (příf plus uk k 1 zk 2 plus 1 > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Rozvrh
St 16:00–17:50 M6,01011
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
M8120/01: St 18:00–18:50 M6,01011, M. Kolář
Předpoklady
M7120 Spektrální analýza I
Aritmetika komplexních čísel, vektorový a maticový počet, lineární funkcionální analýza, základy Fourierovy analýzy periodických i neperiodických funkcí včetně konvolučních operátorů.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Na konci tohoto kurzu bude student schopen: porozumět a vysvětlit diskrétní analogie příslušných pojmů a operací z předmětu Spektrální analýza I, zejména diskrétní Fourierovu transformaci (DFT) a diskrétní lineární (DLK) a cyklickou konvoluci (DCK). Důraz je položen zejména na popis chyb vznikajících při diskretizaci příslušných operátorů a na konstrukci efektivních algoritmů zejména pro výpočet DFT (tzv. FFT=Fast Fourier Transform) a konvolučních operátorů vystupujících v operacích číslicové filtrace. Jedna kapitola je věnována úvodu do teorie zobecněných funkcí (distribucí), která poskytuje jednotící teoretický rámec celé Fourierovy analýzy, pro příslušné spojité operátory i jejich diskrétní verze jak v periodickém tak i neperiodickém případě.
Osnova
  • Diskrétní Fourierova transformace (DFT): DFT jako diskretizace FT v jedné i více dimenzích, vlastnosti, zkreslení vznikající při přechodu od FT k DFT, věta o interpolaci.
  • Diskrétní konvoluce a korelace (DK): lineární a cyklická DK jako výsledek diskretizace, vlastnosti, souvislost s násobením polynomů, věta o diskrétní konvoluci a korelaci, diskrétní Parsevalovy identity, periodogram, číslicová filtrace, algoritmy realizace číslicového filtru pro dlouhou vstupní posloupnost.
  • Fourierova analýza zobecněných funkcí: informativní přehled teorie zobecněných funkcí (distribucí), zobecněné funkce jako funkcionály, Diracova funkce, přenesení klasických pojmů a operací na distribuce, základní prostory distribucí a jejich vlastnosti, jednotné pojetí Fourierovy analýzy (FŘ, FT a diskrétní Fourierovy transformace) v rámci teorie distribucí.
  • Algoritmy pro výpočet DFT: Souběžný výpočet dvou reálných DFT téže délky, výpočet DFT reálné posloupnosti délky 2N pomocí jedné komplexní DFT délky N, algoritmy rychlé Fourierovy transformace (Cooley-Tukey FFT) a konvoluce. Některé další transformace Fourierova typu: Hartleyho, kosinová aj., a jejich aplikace.
Literatura
  • BRIGHAM, E. Oran. Fast Fourier transform. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1974, 252 s. ISBN 0-13-307496-X. info
  • ČÍŽEK, Václav. Diskretní Fourierova transformace a její použití. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1981, 160 s. URL info
  • HOWELL, Kenneth B. Principles of Fourier Analysis. Boca Raton-London-New York-Washington: Chapman & Hall, 2001, 776 s. Studies in Advanced Mathematics. ISBN 0-8493-8275-0. info
  • VAN LOAN, Charles. Computational frameworks for the fast fourier transform. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, 273 s. ISBN 0-89871-285-8. info
  • SCHWARTZ, Laurent. Matematické metody ve fyzice. 1. vyd. Praha, 1972, 357 s. info
Výukové metody
Přednáška: 2 hod. týdně.
Cvičení: 1 hod. týdně.
Metody hodnocení
Dva písemné testy během semestru, každý po 5 příkladech. K úspěšnému zvládnutí je potřeba dosáhnout alespoň 50% bodů. Ústní zkouška.
Další komentáře
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2011 - akreditace, jaro 2001, jaro 2003, jaro 2005, jaro 2007, jaro 2009, jaro 2011, jaro 2013, jaro 2017, jaro 2019, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2025.