MA0003 Algebra 1

Pedagogická fakulta
jaro 2022
Rozsah
2/2/0. 5 kr. Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc. (přednášející)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. (přednášející)
prof. RNDr. Jan Chvalina, DrSc. (přednášející)
RNDr. Petra Antošová, Ph.D. (cvičící)
Mgr. Irena Budínová, Ph.D. (cvičící)
Garance
doc. RNDr. Jaroslav Beránek, CSc.
Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Dodavatelské pracoviště: Katedra matematiky – Pedagogická fakulta
Rozvrh
Po 15:00–16:50 učebna 30
  • Rozvrh seminárních/paralelních skupin:
MA0003/01: Čt 8:00–9:50 učebna 70, B. Fajmon
MA0003/02: Čt 11:00–12:50 učebna 50, B. Fajmon
MA0003/03: Út 16:00–17:50 učebna 24, P. Antošová
Předpoklady
Předmět je zaměřen na získání základních znalostí a vědomostí z teorie binárních algebraických operací, algebraických struktur a jejich morfismů. Nedílnou součástí je seznámení s teorií cyklických grup a faktorových struktur. PŘEDPOKLADEM PŘEDMĚTU JSOU ZNALOSTI PŘEDMĚTU "ZÁKLADY MATEMATIKY" (MA0001).
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Na konci kurzu bude student schopen porozumět a vysvětlit základní pojmy a znalosti a řešit úlohy a problémy z následujících tématických okruhů: Binární algebraická operace v množině, vlastnosti operací. Algebraické struktury s jednou operací, jejich podstruktury a homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma operacemi, jejich podstruktury a homomorfismy. Cyklické grupy. Faktorové struktury (vytvořující rozklad, rozklad podle podgrupy, invariantní podgrupa, faktorgrupa, rozklad podle ideálu, faktorokruh). Speciálně dovednost nalézt kořeny polynomu, počítat s komplexními čísly (včetně počítání n-té mocniny a n-té odmocniny z komplexního čísla).
Výstupy z učení
Po absolvování kursu budou studenti a) mít znalosti základních pojmů v teorii aritmetických operací, jako je sčítání, násobení, průnik, sjednocení, sečítání a násobení zbytkových tříd celých čísel; b) mít dovednosti při řešení algebraických rovnic v různých částech matematiky; c) znát důkazové metody a metody matematického usuzování pro některé vlastnosti matematických operací; d) schopni výpočtů s komplexními čísly, včetně výpočtu mocniny a odmocniny z komplexního čísla.
Osnova
  • Osnova přednášky a cvičení:
  • Cvičení 1: Axiomy číselných operací, základní vlastnosti operací na množině, pologrupy, grupy (včetně definic). Viz kapitola 1 elektronického textu.
  • Přednáška 1: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy. (viz kapitoly 2,3 elektronického textu - přednáška).
  • Cvičení 2: Určování algebraických vlastností operací, určování charakteru struktury s jednou operací. Viz cvičení za kapitolou 1 textu.
  • Přednáška 2: Nekomutativní grupy (kapitola 4 - přednáška)
  • Cvičení 3: Vlastnosti grup, podgrupy a generátory grupy -- cvičení za kapitolami 2,3.
  • Přednáška 3: Izomorfismus, Cayleyho věta (kapitola 5, včetně cvičení).
  • Cvičení 4: Nekomutativní grupy -- cvičení za kapitolou 4.
  • Přednáška 4: Lagrangeova věta, homomorfismus grup (kapitoly 7,8)
  • Cvičení 5: Řád prvku, cyklické grupy (kapitola 6 celá, přednáška i cvičení). Relace kongruence, grupy zbytkových tříd modulo n. Příprava na prověrku v následujícím týdnu.
  • Přednáška 5: Normální=invariantní podgrupa, faktorgrupa (kapitola 9 včetně cvičení). Zmínka o zbytkových třídách ještě jednou (o korektnosti definované operace).
  • Cvičení 6: prověrka-a z toho, co se probralo.
  • Přednáška 6: Struktury se dvěma operacemi: okruhy, obory integrity, tělesa.
  • Cvičení 7: Polynomy 01. Rozklad polynomu na součin polynomů prvního stupně, kořen polynomu, Hornerovo schéma, znaménkové změny, věta o racionálních kořenech polynomu s celočíselnými koeficienty.
  • Přednáška 7: Struktury se dvěma operacemi: analogie Cayleyho věty, analogie Lagrangeovy věty, analogie věty o homomorfismu, analogie dobře definované operace na faktorgrupě. Věta o rozšíření těles.
  • Cvičení 8: Polynomy 02. NSD pomocí rozkladu i pomocí Eukleidova algoritmu. Odstranění násobných kořenů polynomu.
  • Přednáška 8: Polynomy -- přehled algebraických metod hledání kořenů polynomu.
  • Cvičení 9: Polynomy 03. Hledání iracionálních kořenů polynomu numerickými metodami: metoda půlení intervalu, Newtonova metoda.
  • Přednáška 9: Polynomy -- přehled numerických metod hledání kořene polynomu (včetně iracionálního a komplexního, využití jazyka R).
  • Cvičení 10: Komplexní čísla 01: operace s komplexními čísly, algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, geometrický význam násobení a dělení komplexních čísel.
  • Přednáška 10: Definice vektorového prostoru, báze a dimenze. Stupeň rozšíření těles, algebraický důkaz nemožnosti trisekce úhlu a bisekce krychle.
  • Cvičení 11: Komplexní čísla 02: n-tá mocnina a n-tá odmocnina z komplexního čísla, řešení binomických rovnic.
  • Přednáška 11: Galoisova teorie -- pokus o začátek přehledu.
  • Cvičení 12: prověrka-b na polynomy a komplexní čísla.
  • Přednáška 12: Galoisova teorie -- pokus o hlavní krok.
Literatura
    doporučená literatura
  • PINTER, Charles C. A book of abstract algebra. Second edition. Mineola, New York: Dover Publications, 2010, xiv, 384. ISBN 9780486474175. info
  • HORÁK, Pavel. Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vyd. Brno: Masarykova univerzita, 1998, 221 s. ISBN 8021018534. info
Výukové metody
Budou zvoleny metody adekvátní k obsahu předmětu a typu studentů (1. ročník vysokoškolského studia).
Metody hodnocení
Zkouška bude sestávat z několika záchytných bodů, které všechny musí student splnit na jisté úrovni: a) písemka ze cvičení - jedna nebo dvě písemky; b) teoretická část - prověrky v průběhu semestru; c) závěrečná písemná část zkoušky
Informace učitele
Použitá literatura:
Charles C. Pinter: The Book of Abstract Algebra. Dover Publications 2010, reprint of the second edition from 1990.
Horák, P. (1998) Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. (ISBN 80-210-1853-4). Brno: MU.
Horák, P. (2013) M1125 Základy matematiky - učební text Přírodovědecké fakulty MU (dostupný na internetu).
Další komentáře
Studijní materiály
Předmět je vyučován každoročně.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2018, jaro 2019, jaro 2020, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2024, jaro 2025.