M8120 Spektrální analýza II

Přírodovědecká fakulta
jaro 2007
Rozsah
2/0/0. 2 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučující
doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D. (přednášející)
Garance
prof. RNDr. Ivanka Horová, CSc.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Kontaktní osoba: doc. RNDr. Martin Kolář, Ph.D.
Rozvrh
Čt 12:00–13:50 UM
Předpoklady
M7120 Spektrální analýza I
Aritmetika komplexních čísel, vektorový a maticový počet, lineární funkcionální analýza, základy Fourierovy analýzy periodických i neperiodických funkcí včetně konvolučních operátorů.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Přednáška volně navazuje na předmět 'Spektrální analýza I'. Zabývá se podrobněji (konečnými) diskrétními analogiemi příslušných pojmů a operací, zejména diskrétní Fourierovou transformací (DFT) a diskrétní lineární (DLK) a cyklickou konvolucí (DCK). Důraz je položen zejména na popis chyb vznikajících při diskretizaci příslušných operátorů a na konstrukci efektivních algoritmů zejména pro výpočet DFT (tzv. FFT=Fast Fourier Transform) a konvolučních operátorů vystupujících v operacích číslicové filtrace. Jedna kapitola je věnována úvodu do teorie zobecněných funkcí (distribucí), která poskytuje jednotící teoretický rámec celé Fourierovy analýzy, pro příslušné spojité operátory i jejich diskrétní verze jak v periodickém tak i neperiodickém případě.
Osnova
  • Diskrétní Fourierova transformace (DFT): DFT jako diskretizace FT v jedné i více dimenzích, vlastnosti, zkreslení vznikající při přechodu od FT k DFT, věta o interpolaci.
  • Diskrétní konvoluce a korelace (DK): lineární a cyklická DK jako výsledek diskretizace, vlastnosti, souvislost s násobením polynomů, věta o diskrétní konvoluci a korelaci, diskrétní Parsevalovy identity, periodogram, číslicová filtrace, algoritmy realizace číslicového filtru pro dlouhou vstupní posloupnost.
  • Fourierova analýza zobecněných funkcí: informativní přehled teorie zobecněných funkcí (distribucí), zobecněné funkce jako funkcionály, Diracova funkce, přenesení klasických pojmů a operací na distribuce, základní prostory distribucí a jejich vlastnosti, jednotné pojetí Fourierovy analýzy (FŘ, FT a diskrétní Fourierovy transformace) v rámci teorie distribucí.
  • Algoritmy pro výpočet DFT: Souběžný výpočet dvou reálných DFT téže délky, výpočet DFT reálné posloupnosti délky 2N pomocí jedné komplexní DFT délky N, algoritmy rychlé Fourierovy transformace (Cooley-Tukey FFT) a konvoluce. Některé další transformace Fourierova typu: Hartleyho, kosinová aj., a jejich aplikace.
Literatura
  • BRIGHAM, E. Oran. Fast Fourier transform. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 252 s. ISBN 0-13-307496-X. 1974. info
  • ČÍŽEK, Václav. Diskretní Fourierova transformace a její použití. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury. 160 s. 1981. URL info
  • HOWELL, Kenneth B. Principles of Fourier Analysis. Boca Raton-London-New York-Washington: Chapman & Hall. 776 s. Studies in Advanced Mathematics. ISBN 0-8493-8275-0. 2001. info
  • VAN LOAN, Charles. Computational frameworks for the fast fourier transform. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 273 s. ISBN 0-89871-285-8. 1992. info
  • SCHWARTZ, Laurent. Matematické metody ve fyzice. 1. vyd. Praha. 357 s. 1972. info
Metody hodnocení
Výuka: přednáška, Zkouška: ústní s písemnou přípravou
Informace učitele
http://www.math.muni.cz/~vesely/educ_cz.html#fa2
Aktuální informace pro daný akademický rok a soubory ke stažení lze nalézt na webové stránce předmětu.
Další komentáře
Předmět je vyučován jednou za dva roky.
Předmět je zařazen také v obdobích jaro 2011 - akreditace, jaro 2001, jaro 2003, jaro 2005, jaro 2009, jaro 2011, jaro 2013, jaro 2015, jaro 2017, jaro 2019, jaro 2021, jaro 2023, jaro 2025.