MA750 Teorie pravděpodobnosti

Přírodovědecká fakulta
podzim 2024
Rozsah
2/1. 3 kr. (příf plus uk plus > 4). Ukončení: zk.
Vyučováno prezenčně.
Vyučující
Mgr. Ondřej Pokora, Ph.D. (přednášející)
Garance
doc. Mgr. Jan Koláček, Ph.D.
Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Dodavatelské pracoviště: Ústav matematiky a statistiky – Ústavy – Přírodovědecká fakulta
Předpoklady
Nutné jsou teoretické znalosti a praktické zkušenosti v rozsahu bakalářských kurzů pravděpodobnosti a matematické statistiky. Dále se předpokládají základní znalosti diskrétní matematiky a diferenciálního a integrálního počtu.
Omezení zápisu do předmětu
Předmět je nabízen i studentům mimo mateřské obory.
Mateřské obory/plány
Cíle předmětu
Cílem kurzu je prohloubit znalosti teorie pravděpodobnosti. Teoretické principy známé ze základních kurzů pravděpodobnosti a matematické statistiky jsou zobecněny, doplněny o vybrané pasáže z teorie míry a integrálu a dokumentovány na teoretických i praktických příkladech.
Kurz je koncipován především pro rozšíření znalostí z teorie pravděpodobnosti. Výklad se vrací k jednotlivým pasážím základního kurzu pravděpodobnosti a statistiky a doplňuje je o nové pojmy a detailní vysvětlení. Ačkoliv je náplň kurzu především v rovině formální matematické teorie, jednotlivá témata jsou vždy motivována nějakým známým pravděpodobnostním problémem (např. náhodný výběr čísla z nespočetné množiny, typicky intervalu, nebo model nekonečného házení mincí), který již posluchač umí intuitivně řešit. Nově probrané pojmy a vlastnosti jsou na těchto příkladech interpretovány.
Výstupy z učení
Po absolvování kurzu bude student schopen:
- konstruovat pravděpodobnostní prostor, Lebesgueovu a čítací míru, náhodné veličiny a rozdělení pravděpodobnosti ve složitých úlohách;
- počítat střední hodnotu a Lebesgueův-Stieltjesův integrál a integrály podle míry;
- rozumět různým typům konvergencí náhodných veličin;
- využít Radonovu-Nikodymovu derivaci pro změnu pravděpodobnosti, klasifikovat rozdělení pravděpodobnostui a porozumět pojmu hustota pravděpodobnosti;
- zkonstruovat podmíněnou pravděpodobnost, střední hodnotu, filtraci a martingaly ve složitých úlohách a pracovat s nimi.
Osnova
  • Pravděpodobnostní prostor a jeho konstrukce, Věta o rozšíření.
  • Míra, vnější míra, měřitelné množiny.
  • Spojitost pravděpodobnosti, limitní jevy.
  • Náhodná veličina a její konstrukce, nezávislost.
  • Střední hodnta, integrál podle míry.
  • Nerovnosti pro náhodné veličiny, konvergence náhodných veličin, zákony velkých čísel.
  • Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin, distribuční funce, hustota pravděpodobnosti.
  • Slabá konvergence, momentová vytvořující funkce, charakteristická funkce, centrální limitní věta.
  • Radonova-Nikodymova věta, Radonova-Nikodymova derivace, rozklady rozdělení pravděpodobnosti.
  • Podmíněná pravděpodobnost, podmíněná střední hodnota.
  • Filtrace, martingal, stopping time.
  • Příklady.
Literatura
  • ROSENTHAL, Jeffrey S. A first look at rigorous probability theory. 2nd ed. Hackensack, N.J.: World Scientific. xvi, 219. ISBN 9789812703705. 2006. info
  • RIEČAN, Beloslav. Miniteória pravdepodobnosti. Banská Bystrica: Vydavateľstvo Belianum, Univerzita Mateja Bela. 52 s. 2015. URL info
  • O pravdepodobnosti a miere. Edited by Beloslav Riečan. 1. vyd. Bratislava: Alfa, vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. 157 s. 1972. info
  • LACHOUT, Petr. Teorie pravděpodobnosti. 2. vyd. Praha: Karolinum. 146 s. ISBN 8024608723. 2004. info
  • ROUSSAS, George G. An Introduction to Measure-Theoretic Probability. 426 s. ISBN 978-0-12-800042-7. 2014. info
  • BILLINGSLEY, Patrick. Probability and measure. 3rd ed. New York: Wiley. xii, 593. ISBN 0471007102. 1995. URL info
Výukové metody
Výuka probíhá prezenčním způsobem každý týden: společný blok přednáška (2 h) a cvičení (1 h).
Metody hodnocení
Aktivní zapojení do výuky a diskusí na přednáškách a cvičeních, průběžné řešení úkolů. Forma závěrečné zkoušky: prezenční – písemná a ústní část. Pro úspěšné absolvování je potřeba dosáhnout alespoň 50 % max. dosažitelného počtu bodů v každé části.
Informace učitele
https://is.muni.cz/auth/el/sci/podzim2023/MA750/index.qwarp
Výuka probíhá většinou v češtině nebo dle potřeby v angličtině, příslušná terminologie je za všech okolností uváděna i s anglickými ekvivalenty. Mezi cílové dovednosti studia patří schopnost používat anglický jazyk pasivně i aktivně ve vlastní odbornosti a také v potenciálních oblastech aplikací matematiky. Hodnocení ve všech případech může probíhat v češtině i v angličtině, dle volby studenta.
Další komentáře
Předmět je vyučován každoročně.
Výuka probíhá každý týden.
Předmět je zařazen také v obdobích podzim 2017, podzim 2018, podzim 2019, podzim 2020, podzim 2021, podzim 2022, podzim 2023.