Lagrangeův interpolační polynom
Lenka Baráková
2. listopadu 2005
Obsah
Najděte polynom procházející body [−1, 9], [1, 1], [2, 6]. . . . . . 2
Najděte polynom procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0], [0, 1]. . 17
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Funkční hodnoty zapíšeme do tabulky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Prokládáme třemi body, hledáme tedy polynom stupně 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Hledáme pomocný polynom příslušný x0 = −1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
V čitateli l0(x) jsou kořenové činitele příslušné všem xi, kromě x0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Do jmenovatele píšeme totéž, co do čitatele, jen za x dosazujeme číslo
x0 = −1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Číslo vytkneme a polynom roznásobníme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Podobně najdeme pomocný polynom příslušný x1 = 1
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
Najdeme pomocný polynom příslušný x2 = 2.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
i 0 1 2
xi −1 1 2
yi 9 1 6
L2(x) = 9l0(x) + l1(x) + 6l2(x).
l0(x) =
(x − 1)(x − 2)
(−1 − 1)(−1 − 2)
=
1
6
(x2
− 3x + 2)
l1(x) =
(x + 1)(x − 2)
(1 + 1)(1 − 2)
= −
1
2
(x2
− x − 2),
l2(x) =
(x + 1)(x − 1)
(2 + 1)(2 − 1)
=
1
3
(x2
− 1).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
L2(x) = 9
1
6
(x2
− 3x + 2) −
1
2
(x2
− x − 2) + 6
1
3
(x2
− 1)
= x2 3
2
−
1
2
+ 2 + x −
9
2
+
1
2
+ 3 + 1 − 2
= 3x2
− 4x + 2.
Pomocné polynomy dosadíme do interpolačního vzorce
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
L2(x) = 9
1
6
(x2
− 3x + 2) −
1
2
(x2
− x − 2) + 6
1
3
(x2
− 1)
= x2 3
2
−
1
2
+ 2 + x −
9
2
+
1
2
+ 3 + 1 − 2
= 3x2
− 4x + 2.
a sečteme koeficienty příslušné stejným mocninám.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [−1, 9], [1, 1] a [2, 6].
L2(x) = 9
1
6
(x2
− 3x + 2) −
1
2
(x2
− x − 2) + 6
1
3
(x2
− 1)
= x2 3
2
−
1
2
+ 2 + x −
9
2
+
1
2
+ 3 + 1 − 2
= 3x2
− 4x + 2.
Je snadné ověřit, že polynom má vlastnosti požadované v zadání.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Funkční hodnoty zapíšeme do tabulky.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Prokládáme čtyřmi body, hledáme tedy polynom stupně 3.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Hledámé pomocný polynom příslušný x0 = 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
V čitateli l0(x) jsou kořenové činitele příslušné všem xi, kromě x0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Do jmenovatele píšeme totéž, co do čitatele, jen za x dosazujeme číslo
x0 = 1.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Číslo vytkneme a polynom roznásobníme.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Podobně najdeme pomocný polynom příslušný x1 = 2
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Pomocný polynom l2(x) nemusíme hledat, protože y2 = 0 a polynom
l2(x) je tedy násobený nulou.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
i 0 1 2 3
xi 1 2 −1 0
yi 3 −2 0 1
L3(x) = 3l0(x) + (−2)l1(x) + 0l2(x) + 1l3(x) = 3l0(x) − 2l1(x) + l3(x).
l0(x) =
(x − 2)(x + 1)x
(1 − 2)(1 + 1)1
= −
1
2
(x − 2)(x2
+ x) = −
1
2
(x3
− x2
− 2x),
l1(x) =
(x − 1)(x + 1)x
(2 − 1)(2 + 1)2
=
(x2
− 1)x
6
=
1
6
(x3
− x),
l3(x) =
(x − 1)(x − 2)(x + 1)
(0 − 1)(0 − 2)(0 + 1)
=
(x2
− 1)(x − 2)
2
=
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2).
Najdeme pomocný polynom příslušný x3 = 0.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
L3(x) = −
3
2
(x3
− x2
− 2x) − 2
1
6
(x3
− x) +
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2)
= x3
−
3
2
−
1
3
+
1
2
+ x2 3
2
− 1 + x 3 +
1
3
−
1
2
+ 1
= −
4
3
x3
+
1
2
x2
+
17
6
x + 1.
Pomocné polynomy dosadíme do interpolačního vzorce
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
L3(x) = −
3
2
(x3
− x2
− 2x) − 2
1
6
(x3
− x) +
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2)
= x3
−
3
2
−
1
3
+
1
2
+ x2 3
2
− 1 + x 3 +
1
3
−
1
2
+ 1
= −
4
3
x3
+
1
2
x2
+
17
6
x + 1.
a sečteme koeficienty příslušné stejným mocninám.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×
Najděte L(x) procházející body [1, 3], [2, −2], [−1, 0] a [0, 1].
L3(x) = −
3
2
(x3
− x2
− 2x) − 2
1
6
(x3
− x) +
1
2
(x3
− 2x2
− x + 2)
= x3
−
3
2
−
1
3
+
1
2
+ x2 3
2
− 1 + x 3 +
1
3
−
1
2
+ 1
= −
4
3
x3
+
1
2
x2
+
17
6
x + 1.
Je snadné ověřit, že polynom má vlastnosti požadované v zadání.
⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ c Lenka Baráková, 2005 ×