1.2 Neurčité integrály funkcí jedné proměnné
Neurčitým integrálem nazýváme nekonečně velkou množinu funkcí, tvořenou součtem libovolné reálné konstanty $C$ s tzv. primitivní funkcí $F(x)$ k dané původní funkci $f(x)$, pro niž platí $F^{\prime}(x)=f(x)$. V případě funkce jedné proměnné lze psát
Integrace je tedy inverzním procesem k derivování, neurčité integrály (anglicky také antiderivatives) některých elementárních funkcí můžeme vyčíst přímo z rovnic (1.2) - (1.22).
Následující výčet shrnuje neurčité integrály elementárních funkcí jedné proměnnéneurčité integrály jsou vyčerpávajícím způsobem tabelovány například v Bartsch (2008), Rektorys (2009).:
$\displaystyle\int C_1x^n\,\text{d} x$ | $= C_1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+ C_2,\,\, C_1, C_2\in\mathbb{R},\,n\in\mathbb{R}\,\backslash\{-1\}$, jsou konstanty, | (1.28) |
$\displaystyle\int\text{e}^x\,\text{d} x$ | $=\text{e}^x+ C,\,\, C\in\mathbb{R}$ je konstanta, | (1.29) |
$\displaystyle\int a^x\,\text{d} x$ | $=\dfrac{a^x}{\ln a}+ C,\,\,a>0,\,a\ne 1$ je konstanta, | (1.30) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,\text{d} x$ | $=\ln|x|+ C_1=\ln( C_2|x|),\,x\ne 0,\, C_2>0,\, C_1=\ln C_2$, | (1.31) |
$\displaystyle\int\sin x\,\text{d} x$ | $=-\cos x+ C$, | (1.32) |
$\displaystyle\int\cos x\,\text{d} x$ | $=\sin x+ C$, | (1.33) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2x}\,\text{d} x$ | $=\text{tg}\, x+ C,\,x\ne(2k+1)\dfrac{\pi}{2},\,k\in\mathbb{Z}$, | (1.34) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x}\,\text{d} x$ | $= -\,\text{cotg}\, x+ C,\,x\ne k\pi,\,k\in\mathbb{Z}$, | (1.35) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d} x$ | $=\arcsin x+ C_1=-\arccos x+ C_2,\,-1<x<1$, | (1.36) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}\,\text{d} x$ | $=\text{arctg} \,x+ C_1=-\text{arccotg}\, x+ C_2$, | (1.37) |
$\displaystyle\int\sinh x\,\text{d} x$ | $=\cosh x+ C$, | (1.38) |
$\displaystyle\int\cosh x\,\text{d} x$ | $=\sinh x+ C$, | (1.39) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cosh^2x}\,\text{d} x$ | $=\text{tanh}\,x+ C$, | (1.40) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sinh^2x}\,\text{d} x$ | $=-\,\text{coth}\,x+ C,\,x\ne 0$, | (1.41) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,\text{d} x$ | $=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+ C=\text{argtanh}\, x+ C$, | (1.42) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2–1}}\,\text{d} x$ | $=\ln\left(x+\sqrt{x^2–1}\right)+ C=\text{argcoth}\, x+ C,\,x>1$, | (1.43) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^2}\,\text{d} x$ | $ =\left\{\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{1+x}{1-x}\right|+ C&=\,\text{argsinh}\, x+ C,\,-1<x<1\\ \dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+ C&=\,\text{argcosh}\, x+ C,\,|x|>1,\end{aligned}\right.$, | (1.44) |
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2–1}\,\text{d} x$ | $=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+ C$. | (1.45) |
Součin dvou funkcí $u(x)$ a $v^\prime(x)$ nezávisle proměnné $x$ můžeme integrovat metodou per partes, která je integrálem rovnice (1.24):
Substituční metodou můžeme integrovat složenou funkci (viz rovnice (1.26)), kdy vnitřní funkci lze nahradit novou proměnnou, anebo můžeme integrovat jednoduchou funkci, kdy nezávisle proměnnou nahrazujeme novou vnitřní funkcí:
-
Substituční metodu 1. typu lze použít při integraci složené funkce $f[\phi(x)]$ nezávisle proměnné $x$ ve tvaru
$$ \int f[\phi(x)]\phi^\prime(x)\D x=\int f(z)\D z=F(z)+C=F[\phi(x)]+C, $$1.47kde můžeme nahradit (substituovat) vnitřní funkci novou proměnnou: $\phi(x)=z$, $\phi^\prime(x)\D x=\d z$. Substituční metodou 1. typu je i univerzální substituce $\tan(x/2)=z$, pomocí které lze libovolnou goniometrickou funkci převést na funkci racionální.
-
Substituční metodu 2. typu lze použít při integraci jednoduché funkce $f(x)$ nezávisle proměnné $x$ způsobem
$$ \int f(x)\D x=\int f[\phi(z)]\phi^\prime(z)\D z=F(z)+C=F[\phi^{-1}(x)]+C, $$1.48kde můžeme nahradit původní proměnnou novou vnitřní funkcí nové proměnné: $x=\phi(z)$, $\d x=\phi^\prime(z)\D z$ a kde výraz $\phi^{-1}$ znamená inverzní funkci k $\phi$. Typickým příkladem této metody je substituce $x=\sin z$, pomocí níž lze iracionální funkce typu $\sqrt{1-x^2}\D x$ anebo $\d x/\sqrt{1-x^2}$ v integrandu nahradit v prvním případě goniometrickou funkcí $\cos^2z\D z$, ve druhém případě pouze $\d z$.
-
Racionální funkci ve tvaru
$$ f(x)=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}=\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dotsb+a_1x+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+b_1x+b_0}, $$1.49kde $P_m(x)$ a $Q_n(x)$ jsou polynomy stupně $m$ a $n$ (kdy $m\ge n$), lze rozložit na součet polynomu a ryze racionální funkce (kdy $m<n$). Racionální funkci lze vyjádřit buď jako součet parciálních zlomků, nebo, v případě kdy např. $f(x)=1/Q_2(x)$, kde $Q_2(x)$ je polynom 2. stupně dále nerozložitelný v $\mathbb{R}$, provedeme úpravu (tzv. doplnění na čtverec) $b_2x^2+b_1x+b_0=\left[\sqrt{b_2}x+b_1/(2\sqrt{b_2})\right]^2+b_0-b_1^2/(4b_2)$, vedoucí na integrál ve tvaru rovnice (1.37).
-
Obdobným způsobem můžeme řešit integrály iracionálních funkcí typu $f(x)=1/\sqrt{Q_2(x)}$, kde $Q_2(x)$ je polynom 2. stupně, jehož doplnění na čtverec vede na integrály ve tvaru rovnic (1.36), (1.42) nebo (1.43). Vyčerpávajícím způsobem jsou metody analytických výpočtů > neurčitých integrálů funkcí všech typů tabelovány např. ve sbornících: Bartsch (2008), Rektorys (2009), atd.