2 Základy vektorové a tenzorové algebryDoporučená literatura k této kapitole: Proskuryakov (1978), Young (1993), Kvasnica (2004), Arfken & Weber (2005), Musilová & Musilová (2006).
2.1 Vektory a matice
Vektorový počet
Základní operace s vektory lze (v ortonormálních bázích v $\mathbb{R}^3$ - viz odstavec 2.2) stručně zapsat následujícím způsobem:
-
Norma (velikost) vektoru $\vec{a}$ je definovaná (v $\mathbb{R}^3$) jako
$$ \|\vec{a}\|=\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)^{{1}/{2}}=\left(\sum_ia_i^2\right)^{{1}/{2}}, $$2.1kde poslední forma zápisu předpokládá, že index $i$ postupně
běží
přes všechny složky $1,2,3$, respektive $x,y,z$ vektoru $\vec{a}$. Tato konvence pro tzv. volné indexy umožňuje podstatně stručnější zápis operací s vektory a maticemi (v této kapitole zatím pro jednoduchost nezavádíme tzv. kovariantní formu zápisu s horními a dolními indexy). -
Vektorový součet dvou vektorů $\vec{a}$ a $\vec{b}$, jehož explicitní forma zápisu (v $\mathbb{R}^3$) je
$$ \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=(c_1,c_2,c_3), $$2.2$$ \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=a_i\vec{e}_i+b_i\vec{e}_i=c_i\vec{e}_i,\quad\text{se složkami}\quad a_i+b_i=c_i\,\,(\text{vektor}), $$2.3 -
Skalární součin dvou vektorů $\vec{a}$ a $\vec{b}$ má tvar
$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_ib_j\delta_{ij}=a_ib_i=\alpha\,\,(\text{skalár}), $$2.4kde indexy $i,j$ opět
běží
přes všechny složky obou vektorů a kde symbol $\delta_{ij}$ (tzv. Kroneckerovo delta - podrobněji viz odstavec 2.3) nabývá hodnot $\delta_{ij}=1$ pro $i=j$ a $\delta_{ij}=0$ pro $i\ne j$. Navíc je zde zavedena tzv. Einsteinova sčítací (sumační) konvence, která říká, že pokud se některý index v některém členu vektorové rovnice opakuje dvakrát (tzv. sčítací index), členy s tímto indexem sčítáme a sumační symbol $\sum$ je tak možné vynechat. Geometrický význam skalárního součinu lze zapsat jako$$ \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\varphi, $$2.5kde $\varphi$ je úhel svíraný oběma vektory ($0\le\varphi\le\pi$).
-
Vektorový součin dvou vektorů $\vec{a}$ a $\vec{b}$ je definován jako
$$ \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\varepsilon_{ijk}a_jb_k{\vec{e}_i}=c_i\vec{e}_i\,\,(\text{vektor}), $$2.6kde indexy $i,j,k$ označují jednotlivé složky vektorů $\vec{a},\,\vec{b},\,\vec{c}$. Symbol $\varepsilon_{ijk}$ (tzv. Levi-Civitův symbol - podrobněji viz odstavec 2.3) nabývá hodnot $\varepsilon_{ijk}=+1$ pro sudé permutace indexů (tj. $123,\,231,\,312$), $\varepsilon_{ijk}=-1$ pro liché permutace indexů (tj. $132,\,213,\,321$) a $\varepsilon_{ijk}=0$ pokud trojice indexů $ijk$ není permutací $123$ (tj. pokud se některý z indexů opakuje). Geometrický význam vektorového součinu (viz levý panel v obrázku 2.1) lze zapsat jako
$$ \vec{a}\times\vec{b}=\vec{n}\,\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\varphi, $$2.7kde $\varphi$ je úhel svíraný vektory $\vec{a},\,\vec{b}$ ($0\le\varphi\le\pi$) a $\vec{n}$ je jednotkový vektor ($\|\vec{n}\|=1$) kolmý k rovině, vymezené vektory $\vec{a},\,\vec{b}$ (jehož orientace je v pravotočivé bázi daná pravidlem pravé ruky). Velikost vektorového součinu $\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\varphi$ tedy vyjadřuje velikost plochy rovnoběžníka, přirozeně určeného danými vektory $\vec{a},\,\vec{b}$.
-
Smíšený součin tří vektorů $\vec{a}$, $\vec{b}$ a $\vec{c}$ má (analogicky k rovnicím (2.4) a (2.6)) tvar
$$ \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=a_i\,\varepsilon_{ijk}b_jc_k=\alpha\,\,(\text{skalár}), $$2.8kde indexy $i,j,k$ označují jednotlivé složky vektorů $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Jeho hodnota vyjadřuje orientovaný objem rovnoběžnostěnu (viz pravý panel v obrázku 2.1), definovaného danými třemi vektory, tj. objem je kladný, tvoří-li vektory $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ v daném pořadí pravotočivou bázi, netvoří-li bázi je nulový, pro levotočivou bázi $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ je záporný.
Maticový počet
Základní pojmy maticového počtu a základní operace s maticemi lze stručně zapsat následujícím způsobem:
-
Násobení matice číslem: Vynásobíme-li matici $\tens{A}$ typu $m\times n$ ($m$ řádků a $n$ sloupců) číslem $\lambda\in\mathbb{C}$, výsledkem bude matice $\tens{B}=\lambda\tens{A}$ typu $m\times n$, kdy pro každý prvek $b_{ij}$ matice $\tens{B}$ (prvek na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci) platí
$$ b_{ij}=\lambda\,a_{ij}. $$2.9 -
Součet matic: Součtem dvou matic $\tens{A}$ typu $m\times n$ a $\tens{B}$ typu $m\times n$ bude matice $\tens{C}$ typu $m\times n$, kdy pro každý prvek $c_{ij}$ matice $\tens{C}$ platí
$$ c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. $$2.10 -
Násobení matic: Součinem dvou matic $\tens{A}$ typu $m\times\ell$ a $\tens{B}$ typu $\ell\times n$ bude matice $\tens{C}=\tens{A}\tens{B}$ typu $m\times n$, kdy pro každý prvek $c_{ij}$ matice $\tens{C}$ platí
$$ c_{ij}=\sum_{k=1}^{\ell}a_{ik}b_{kj}=a_{ik}b_{kj}, $$2.11kde poslední výraz je zapsán pomocí Einsteinovy sumační konvence. Rozepíšeme-li vzorec (2.11) explicitně, dostáváme $c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31},\,c_{12}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}$, atd. Násobení matic není komutativní, obecně tedy platí $\tens{A}\tens{B}\neq\tens{B}\tens{A}$. Maticové násobení v obou směrech lze navíc provést pouze tehdy, pokud matice $\tens{A}$ je typu $m\times n$ a matice $\tens{B}$ je typu $n\times m$, výsledné matice budou tedy typu $m\times m$ pro součin $\tens{A}\tens{B}$, respektive $n\times n$ pro součin $\tens{B}\tens{A}$.
Hodnost matice lze definovat jako počet lineárně nezávislých řádků, tj. počet nenulových řádků po provedení tzv. Gaussovy eliminace (úpravě na schodovitý tvar). Je-li hodnost $h$ čtvercové matice $\tens{A}$ (typu $n\times n$) $h(\tens{A})<n$, jde o matici singulární, pokud $h(\tens{A})=n$, jde o matici regulární.
Stopu čtvercové matice $\tens{A}$ lze definovat jako součet prvků na hlavní diagonále matice, tj. pro každý prvek $a_{ij}$ matice $\tens{A}$ platí
$$ \text{tr}(\tens{A})=\sum_{i,j}a_{ij}\delta_{ij}=\sum_{i}a_{ii}=a_{ii}, $$2.12kde poslední výraz je zapsán pomocí Einsteinovy sumační konvence. Platí-li navíc $\tens{A}=(a_{ij})=0$ pro všechna $i\ne j$, jde o tzv. diagonální matici, platí-li $\tens{A}=(a_{ij})=\delta_{ij}$, jedná se o jednotkovou matici (značíme ji $\tens{E}$ nebo $\mathbf{1}$).
-
Transponovaná matice $\tens{A}^T$ vznikne z matice $\tens{A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, pro jednotlivé prvky transponované matice platí $a_{ij}^T=a_{ji}$. Pokud platí $\tens{A}^T=\tens{A}$, pak matici $\tens{A}$ označujeme jako symetrickou, kde pro každý prvek platí $a_{ij}=a_{ji}$. Matici $\tens{A}$ označujeme jako antisymetrickou, pokud pro každý její prvek platí $a_{ij}=-a_{ji}$, všechny prvky na hlavní diagonále budou proto nulové a tedy také $\text{tr}(\tens{A})=0$.
Determinantem čtvercové matice $\tens{A}$ typu $n\times n$ bude skalár $\det\tens{A}$, který lze obecně určit např. pomocí {Levi-Civitova symbolu}:
$$ \det\tens{A}=\sum_{j_1,\,j_2,\,\ldots,\,j_n}\varepsilon_{j_1 j_2\cdots j_n}a_{j_1 1}a_{j_2 2}\cdots a_{j_n n}. $$2.13Dostáváme tedy $\det\tens{A}=a_{11}$ pro $n=1$, pro $n=2$ bude $\det\tens{A}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$, pro $n=3$ bude $\det\tens{A}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{31}a_{22}a_{13}$ (tzv. Sarrusovo pravidlo). Levi-Civitův symbol můžeme definovat i pro obecně $n$-rozměrný prostor, v tom případě bude obsahovat $n$ různých indexů, přičemž sudé permutace budou vytvářeny sudým počtem číselných záměn, liché permutace lichým počtem číselných záměn, celkový počet permutací bez opakování je $n!$ (viz kapitola 12.1). Například sudé permutace symbolu $\varepsilon_{ijkl}$ ve čtyřrozměrném prostoročase budou $\varepsilon_{0123}$, $\varepsilon_{0231}$, $\varepsilon_{0312}$, $\varepsilon_{1032}$, $\varepsilon_{1320}$, $\varepsilon_{1203}$, $\varepsilon_{2130}$, $\varepsilon_{2301}$, $\varepsilon_{2013}$, $\varepsilon_{3210}$, $\varepsilon_{3102}$, $\varepsilon_{3021}$. Ostatních 12 permutací (bez opakování) bude lichých. Determinant {singulární} matice $\det\tens{A}=0$, determinant {regulární} matice $\det\tens{A}\ne 0$.
Inverzní maticí k regulární čtvercové matici $\tens{A}$ bude matice $\tens{B}=\tens{A}^{-1}$, pokud platí
$$ \tens{A}\tens{B}=\tens{B}\tens{A}=\tens{E}. $$2.14Hermiteovsky sdružená matice (značená obvykle $\tens{A}^H$ v lineární algebře, $\tens{A}^\dagger$ případně $\tens{A}^+$ v kvantové mechanice) je označení pro matici komplexně sdruženou a transponovanou,
$$ \tens{A}^H=(\tens{A}^{*})^T. $$2.15Pokud $\tens{A}^H=\tens{A}^T$, jedná se o matici reálnou. Pokud $\tens{A}^H=\tens{A}$, mluvíme o tzv. Hermiteovské matici.
Unitární matice $\tens{U}$ je {regulární} čtvercová matice, jejíž {hermiteovsky sdružená matice} je současně maticí {inverzní}, tj. $\tens{U}^H=\tens{U}^{-1}$ a tedy
$$ \tens{U}^H\tens{U}=\tens{U}\tens{U}^H=\tens{E}. $$2.16Reálná unitární matice $\tens{U}^H=\tens{U}^T$ je tzv. maticí ortogonální, kdy její řádky, respektive sloupce, tvoří ortonormální soustavu vektorů (viz kapitola 2.2).
Číslo $\lambda$ nazýváme vlastní hodnotou (vlastním číslem) a nenulový vektor $\vec{v}$ nazýváme (pravým) vlastním vektorem čtvercové matice $\tens{A}$ typu $n\times n$, pokud je splněna podmínka
$$ \tens{A}\vec{v}=\lambda\vec{v}, $$2.17matice $\tens{A}$ tedy působí na vlastní vektor jako skalár, tj. nemění jeho směr (v případě tzv. levých vlastních vektorů bude mít podmínka (2.17) podobu $\vec{v}\tens{A}=\lambda\vec{v}$). Z rovnice (2.17) přímo vyplývá relace pro určení vlastních hodnot matice $\tens{A}$, kdy soustava $n$ lineárních rovnic
$ \left(\tens{A}-\lambda\tens{E}\right)\vec{v}=\vec{0}\,\wedge\,\vec{v}\ne\vec{0}$, tedy
$\sum_{j=1}^n(a_{ij}-\lambda\delta_{ij})v_j=0\quad\text{pro}\quad i=1,2,\,\ldots\,,n$2.18má nenulové řešení právě tehdy, pokud je matice této soustavy singulární, tj. pokud
$$ \det\left(\tens{A}-\lambda\tens{E}\right)=0. $$2.19Vlastní vektory příslušné jednotlivým vlastním hodnotám potom určíme z rovnice (2.18). Pravé vlastní vektory budou mít tvar $\c_r(v_{1r},v_{2r},\cdots,v_{nr})^T$, levé vlastní vektory budou $\c_l(v_{1\ell},v_{2\ell},\cdots,v_{n\ell})$, kde $\c_r$ a $\c_\ell$ jsou libovolné konstanty.
-
Submatici matice $\tens{A}$ obdržíme vynecháním vybraných řádků a/nebo sloupců v matici $\tens{A}$. Determinant regulární čtvercové submatice se nazývá subdeterminant nebo také minor.
Pro podrobnější studium problematiky počítání s vektory a maticemi doporučuji například sbírku Proskuryakov (1978); Young (1993); Kvasnica (2004).
Příklady
Jsou dány vektory $\vec{a}=(0,2,4)$, $\vec{b}=(1,3,5)$ a $\vec{c}=(6,1,3)$. Vypočítejte:
-
$|\vec{a}|$$\sqrt{20}$
-
$|\vec{b}|$$\sqrt{35}$
-
$|\vec{c}|$$\sqrt{46}$
-
$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$$(-142,16,-8)$
-
$(\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$$(14,-6,-26)$
-
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{c}−\vec{a})$$-8$
-
$(\vec{b}+\vec{c})\times(\vec{a}−\vec{b})$$(4,-1,-3)$
-
$(\vec{a}\cdot\vec{b})^2+(\vec{c}\times\vec{a})^2$$1400$
Jsou dány matice $\tens{A}=\begin{pmatrix}2&1&3\\0&1&-7\end{pmatrix}$, $\tens{B}=\begin{pmatrix} 3&2&0\\-2&1&2\\4&-2&1\end{pmatrix}$, $\tens{C}=\begin{pmatrix} 2&1\\-1&3\end{pmatrix}$.
Jsou dány matice $\tens{A}=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&2&1\\-1&3&3\end{pmatrix}$, $\tens{B}=\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&0&2\end{pmatrix}$.
Jsou dány matice $\tens{A}=\begin{pmatrix}1&−1&1\\0&5&2\\1&−4&0\end{pmatrix}$, $\tens{B}=\begin{pmatrix}0&1&2\\−2&9&3\\10&6&0\end{pmatrix}$, $\tens{C}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&4&9\\1&2&4\end{pmatrix}$.
-
Vypočítejte matice $\tens{P}=\tens{A}−\tens{B}^T−3\tens{C}$,$\tens{P}=\begin{pmatrix}-2&-5&-18\\-4&-16&-31\\-4&-13&-12\end{pmatrix}$
-
$\tens{Q}=(3\tens{A}^T+\tens{B})\tens{C}$,$\tens{Q}=\begin{pmatrix}9&20&38\\10&68&165\\25&74&147\end{pmatrix}$,
-
$\tens{R}=\tens{C}^2\tens{B}$,$\tens{R}=\begin{pmatrix}298&348&606\\78&788&136\\334&391&68\end{pmatrix}$,
-
$\tens{S}=\tens{C}\tens{B}\tens{C}$$\tens{S}=\begin{pmatrix}71&216&443\\187&556&1121\\87&260&527\end{pmatrix}$
-
a determinanty matic $\tens{A}$, $\tens{B}$ a $\tens{C}$.$\det\tens{A}=1$, $\det\tens{B}=-174$, $\det\tens{C}=2$
Vypočítejte minor submatice $\tens{B}$ matice $\tens{A}$ z příkladu 2.14, jestliže submatice $\tens{B}$ je tvořena:
-
1. a 3. řádkem a 1. a 2. sloupcem matice $\tens{A}$,$M= -1$
-
2. a 3. řádkem a 2. a 4. sloupcem matice $\tens{A}$,$M= 5$
-
1. a 3. řádkem a 2. a 4. sloupcem matice $\tens{A}$,$M= 7$
-
všemi řádky a 1., 3. a 4. sloupcem matice $\tens{A}$.$M= 19$