Kulová soustava je vhodná pro popis bodově (centrálně) symetrických jevů.
Souřadnicové směry jsou: $r$ - vzdálenost od centrálního bodu - počátku soustavy, $\theta$ - polární úhel, $\phi$ - azimutální úhel
(v tomto pořadí souřadnicových směrů je soustava pravotočivá - znázornění jednotlivých směrů a bázových vektorů je na obrázku 4.2),
kde $r\in\langle 0,\infty),\,\theta\in\langle 0,\pi\rangle,\,\phi\in\langle 0,2\pi)$. Kulová soustava je tedy opět ortogonální.
Převod mezi kulovou a kartézskou soustavou je dán vztahy
V kulové soustavě není tedy žádný z bázových vektorů konstantní.
Souřadnicovými křivkami v kulové soustavě budou:
polopřímky $s_r$ vycházející libovolným směrem z počátku soustavy ($\theta=\text{konst., }\phi=\text{konst.}$),
polokružnice $s_\theta$ se středem v počátku soustavy, ležící v polorovině procházející osou $z$ ($r=\text{konst., }\phi=\text{konst.}$, obdoba geografických poledníků),
kružnice $s_\phi$ se středem na ose $z$, ležící v rovině kolmé k ose $z$ ($r=\text{konst., }\theta=\text{konst.}$, obdoba geografických rovnoběžek).
Souřadnicovými plochami v kulové soustavě budou:
kulové plochy $S_r$ se středem v počátku soustavy ($r=\text{konst.}$),
rotační kuželové (respektive polokuželové) plochy $S_\theta$ s vrcholem v počátku soustavy a s osou rotace v ose $z$ ($\theta=\text{konst.}$),
což můžeme opět považovat za druhou mocninu délky tělesové úhlopříčky elementárního kvádru, respektive sférického klínku o hranách $\d s_r=\d r$, $\d s_\theta=r\D\theta$, $\d s_\phi=r\sin\theta\D\phi$.
V kulové soustavě tak dostáváme Laméovy koeficienty $h_r=1,h_\theta=r,h_\phi=r\sin\theta$.
Z infinitesimálních, vzájemně kolmých hranových úseček respektive obloučků,
zkonstruujeme plošné elementy
Žádný z těchto elementů není konstantní, jejich velikost roste přímo úměrně druhé ($\d S_r,\,\d V$) anebo první ($\d S_\theta,\,\d S_\phi$) mocnině vzdálenosti $r$ od počátku soustavy a také (s výjimkou plošného elementu $\d S_\phi$) přímo úměrně sinu polárního úhlu $\theta$.
Příklady
4.12
Napište sférické souřadnice bodu $A$, jehož kartézské souřadnice jsou $x,y,z=[1,1,1]$.
Napište kartézské souřadnice bodu $B$, jehož sférické souřadnice jsou $r,\theta,\phi=\left[12,\dfrac{\pi}{3},-\dfrac{\pi}{6}\right]$.
$B:\,x,y,z=\left[9,-3\sqrt{3},6\right]$
4.14
Napište rovnici plochy $z=\pm\sqrt{25-x^2-y^2}$ ve sférických souřadnicích.
$r=5$
Nakreslete uvedenou plochu.
kulová plocha se středem ve společném počátku obou systémů
4.15
Napište rovnici plochy $x^2+y^2+z^2-14x-6y-10z=61$ ve sférických souřadnicích.
$r=12$
Nakreslete uvedenou plochu.
kulová plocha se středem v počátku sférického systému, který se nachází v bodě $[7,3,5]$ kartézského systému
4.16
Napište vektor $\vec{u}$, zadaný v kartézské ortonormální bázi ve tvaru $\vec{u}=2\vec{e}_x+\vec{e}_y+\vec{e}_z$, pomocí bázových vektorů ortonormální kulové báze.