B.2.6 Ukázka možných způsobů řešení jednoduchých eliptických parciálních diferenciálních rovnic

Laplaceova rovnice

Laplaceova rovnice je v kartézských souřadnicích v nejjednodušší formě definovaná ve tvaru

V tomto příkladu budeme řešit Laplaceovu rovnici na obdélníkové oblasti s rozměry $a,b$, se smíšenými Dirichletovými a Neumannovými podmínkami (viz odstavec 3.2.1), v podobě

Separací proměnných $u(x,y)=X(x)Y(y)$ dostáváme rovnici

kde konstanta $\lambda$ může nabývat hodnot $\lambda=0,\,\,\lambda>0,\,\,\lambda<0$.

1. $\lambda=0$: Budeme předpokládat separované funkce $X(x)$ a $Y(y)$ ve tvaru polynomů, vzhledem k okrajovým podmínkám budou dostatečné polynomy 1. stupně, tedy $X(x)=Ax+B,\,Y(y)=Cx+D$. Z okrajové podmínky $u(0,y)=0$ vyplývá $B=0\,\vee\,C=D=0$, pokud ovšem $C=D=0$, potom $Y(y)=0$ a tedy $u(x,y)=0$ všude. Pokračujeme-li s $B=0$, dostáváme $Ax(Cy+D)=0$ a tedy, zahrneme-li další okrajovou podmínku $u(x,0)=0$, musí být $AxD=0$. Případ $A=0$ dává $X(x)=0$, tedy $u(x,y)=0$ všude. Uvažujeme-li také $D=0$, potom $u(x,y)=AxCy=0$, z další okrajové podmínky $u_x(a,y)=0$ vyplývá $ACy=0$, tedy $A=0\,\vee\,C=0$, v obou případech ovšem $u(x,y)=0$. Případ $\lambda=0$ dává tedy pouze triviální řešení.

2. $\lambda>0$: Z rovnice B.163 dostáváme obecné řešení ve tvaru

   $$u(x,y)=\left[A\cosh(\sqrt{\lambda}x)+B\sinh(\sqrt{\lambda}x)\right]\left[C\cos(\sqrt{\lambda}y)+D\sin(\sqrt{\lambda}y)\right].$$

   B.164

   Z okrajové podmínky $u(0,y)=0$ vyplývá $A[C\cos(\sqrt{\lambda}y)+D\sin(\sqrt{\lambda}y)]=0$, tedy $C=D=0$, potom ovšem $Y(y)=0$ a tedy $u(x,y)=0$ všude. Pokračujeme-li s $A=0$, dostáváme $u(x,y)=B\sinh(\sqrt{\lambda}x)[C\cos(\sqrt{\lambda}y)+D\sin(\sqrt{\lambda}y)].$ Zahrneme-li další okrajovou podmínku $u(x,0)=0$, musí být $BC\sinh(\sqrt{\lambda}x)=0$. Případ $B=0$ dává $X(x)=0$, tedy $u(x,y)=0$ všude. Pokračujeme-li s $C=0$, potom $u(x,y)=BD\sinh(\sqrt{\lambda}x)\sin(\sqrt{\lambda}y)$ a z další okrajové podmínky $u_x(a,y)=0$ vyplývá $\sqrt{\lambda}BD\cosh(\sqrt{\lambda}a)\sin(\sqrt{\lambda}y)=0$, tedy $B=0\,\vee\,D=0$, v obou případech ovšem $u(x,y)=0$. Případ $\lambda>0$ dává tedy také pouze triviální řešení.

3. $\lambda<0$: Z rovnice B.163 dostáváme obecné řešení ve tvaru

   $$u(x,y)=\left[A\cos(\sqrt{\lambda}x)+B\sin(\sqrt{\lambda}x)\right]\left[C\cosh(\sqrt{\lambda}y)+D\sinh(\sqrt{\lambda}y)\right].$$

   B.165

   Z okrajové podmínky $u(0,y)=0$ vyplývá $A[C\cosh(\sqrt{\lambda}y)+D\sinh(\sqrt{\lambda}y)]=0$, tedy $C=D=0$, potom $Y(y)=0$ a tedy $u(x,y)=0$ všude. Pokračujeme s $A=0$, dostáváme $u(x,y)=B\sin(\sqrt{\lambda}x)[C\cosh(\sqrt{\lambda}y)+D\sinh(\sqrt{\lambda}y)].$ Zahrneme-li další okrajovou podmínku $u(x,0)=0$, musí být $BC\sin(\sqrt{\lambda}x)=0$. Případ $B=0$ dává $X(x)=0$, tedy $u(x,y)=0$ všude. Pokračujeme-li s $C=0$, potom $u(x,y)=BD\sin(\sqrt{\lambda}x)\sinh(\sqrt{\lambda}y)$ a z další okrajové podmínky $u_x(a,y)=0$ vyplývá $\sqrt{\lambda}BD\cos(\sqrt{\lambda}a)\sinh(\sqrt{\lambda}y)=0$, tedy $B=0\,\vee\,D=0$ (v obou případech ovšem $u(x,y)=0 \vee\cos(\sqrt{\lambda}a)=0$.

   Poslední případ dává řešení

   $\cos(\sqrt{\lambda}a)=0$, tedy $\sqrt{\lambda}=\dfrac{(2k-1)\pi}{2a}$, a tedy
   $u(x,y)=\displaystyle\sum_{k=1}^\infty K_k\sin\left[\dfrac{(2k-1)\pi}{2a}\,x\right]\sinh\left[\dfrac{(2k-1)\pi}{2a}\,y\right]$, kde $K_k=BD$.

   B.166

Uplatníme-li také čtvrtou okrajovou podmínku, dostáváme

Z argumentů funkce sinus vyplývá řešení pouze pro $k=1$, tedy $K_1=u_0\,/\sinh[\pi b/(2a)]$. Výsledné řešení se zahrnutím všech okrajových podmínek bude

Další typickou eliptickou parciální diferenciální rovnicí může být například tzv. Poissonova rovnice typu $\Delta u(x,y)=f(x,y)$, tedy nehomogenní eliptická rovnice, nejčastěji používaná veformě gravitační Poissonovy rovnice, $\Delta\Phi=4\pi G\rho$, kde $\Phi$ je gravitační potenciál, $\rho$ je hustota hmoty a $G$ je gravitační konstanta, nebo Poissonovy rovnice elektrostatického potenciálu, $\Delta\Phi=-\rho/\epsilon$, kde $\rho$ je hustota elektrického náboje a $\epsilon$ je permitivita. Řešení vícerozměrné Poissonovy rovnice je analogické k řešení Laplaceovy rovnice a také například k řešení nehomogenní hyperbolické parciální diferenciální rovnice:

Poissonova rovnice s konstantní pravou stranou

Řešme jednoduchou rovnici, definovanou na oblasti $x>y^2$, tj. na oblasti ohraničené parabolou $x=y^2$ s vrcholem v bodě $(0,0)$, jejíž osu tvoří kladná část osy $x$,

s Dirichletovou podmínkou na hranici oblasti, $u(y^2,y)=0$. Předpokládejme řešení ve formě všech členů polynomu 2. stupně s neurčitými koeficienty,

kdy po jeho parciálním derivování ve smyslu rovnice B.169 snadno zjistíme: $F=1-D$. Po dosazení okrajové podmínky, tedy z rovnice

dostáváme nenulové hodnoty koeficientů pouze pro $B=-1,\,F=1$. Hledaná rovnice tedy bude

Poissonova rovnice s konstantní pravou stranou na kruhové oblasti, s nehomogenní okrajovou podmínkou

Uvnitř kruhové oblasti s poloměrem $R$ platí následující rovnice,

kdy na hranici oblasti platí Dirichletova podmínka $u(x,y_1)=1$, z níž vyplývá $y_1=\pm\sqrt{R^2-x^2}$. Analogicky k parabolickým rovnicím s nehomogenními okrajovými podmínkami rozdělíme hledanou funkci $u(x,y)$ na součet dvou funkcí, například $U(x,y)$ a $v(x,y)$, pro které bude platit:

Obdobně jako v předchozím případě předpokládáme pro každou funkci úplný polynom 2. stupně s neurčitými koeficienty,

což dává $F=2-D$, $f=-d$. Po dosazení okrajové podmínky můžeme rovnice B.175 a B.176 přepsat ve tvaru

jednotlivé nenulové koeficienty budou: $A=-R^2,\,D=1,\,F=1,\,a=1$. Po sečtení rovnic B.177 a B.178 dostáváme hledanou výslednou funkci

Poissonova rovnice s obecnou pravou stranou, Newtonovy okrajové podmínky

Řešme obdobným způsobem Poissonovu rovnici ve tvaru

s okrajovými podmínkami $u(0,y)=y^2,\,u_x(0,y)=0$. Abychom po derivování dostali členy potřebného stupně, musíme nyní ovšem předpokládat řešení ve tvaru úplného polynomu 4. stupně s neurčitými koeficienty,

Příslušné druhé derivace tedy v tomto případě budou

Pro jednotlivé koeficienty dostáváme

Dosazením Dirichletovy okrajové podmínky dostáváme $A=0,\,C=0,\,F=1,\,J=0,\,Q=0$, z relací B.184 ihned vyplývá $D=-4,\,H=0,\,K=0,\,M=0.$ Dosazením Neumannovy okrajové podmínky dostáváme $B=0,\,E=0,\,I=0,\,N=0$, z relací B.184 následně vyplývá $G=0,\,L=1/6$. Dosazením nenulových koeficientů do rovnice B.181 dostáváme hledanou výslednou funkci,

Podrobně je tato problematika popsána např. v učebnici Franců (2011).