10 Úvod do komplexní analýzy

Algebraický zápis komplexního čísla (komplexní proměnné) $z\in\mathbb{C}$ má tvar

$$ z=x+\text{i} y, $$

10.1

kde $x=\text{Re}(z)$ je reálná část komplexního čísla a $y=\text{Im}(z)$ je imaginární část komplexního čísla. Číslo $z^*$ (značí se také $\bar{z}$) nazýváme číslem komplexně sdruženým k číslu $z$, kdy $z^*=x-\text{i} y$. Zápis stejného čísla lze provést v goniometrickém, případně exponenciálním tvaru,

$$ z=r(\cos\varphi+\text{i}\sin\varphi)=r\,\text{e}^{\text{i}\varphi}, $$

10.2

kde $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ je absolutní hodnota komplexního čísla (norma, modul) a orientovaný úhel $\varphi=\arccos(x/r)=\arcsin(y/r)=\text{arctg}\,(y/x)$ je argument komplexního čísla. Pro libovolnou mocninu komplexního čísla $z^m,\,m\in\mathbb{R}$, tedy platí (viz Eulerova identita v příkladu 8.5)

$$ (x+\text{i} y)^m=r^m\,\text{e}^{\text{i} m\left(\varphi+2k\pi\right)}= r^m\left\{\cos\big[m\left(\varphi+2k\pi\right)\big]+\text{i}\sin\big[m\left(\varphi+2k\pi\right)\big]\right\},\quad k\in{\mathbb{Z}}. $$

10.3

Předpokládejme funkci jedné komplexní proměnné $f(z)=u(x,y)+\text{i} v(x,y)$ definovanou na oblasti $G:\,x_1\leq x\leq x_2,\,y_1\leq y\leq y_2$, případně v polárních souřadnicích $f(z)=u(r,\varphi)+\text{i} v(r,\varphi)$, kdy $G:\,r_1\leq r\leq r_2,\,\varphi_1\leq\varphi\leq\varphi_2$. Derivaci funkce jedné komplexní proměnné $f^\prime(z)$ definujeme potom na této oblasti jako limitu

$$ \begin{align} f^\prime(z)=\frac{\text{d} f(z)}{\text{d} z}&=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\nonumber\\&= \lim_{\substack{\Delta x\to 0\\\Delta y\to 0}}\frac{u(x+\Delta x,y+\Delta y)+\text{i} v(x+\Delta x,y+\Delta y)-u(x,y)-\text{i} v(x,y)}{\Delta x+\text{i}\Delta y}. \end{align}$$

10.4

Rozvineme-li tento výraz zvlášť pro obě proměnné $x,\,y$ (postupně položíme $\Delta y=0\,\,\text{a}\,\,\Delta x=0$) způsobem popsaným v rovnicích 1.1 a 5.4, dostáváme

$$ \dfrac{\text{d} f}{\text{d} z}=\dfrac{\partial u}{\partial x}+\text{i}\,\dfrac{\partial v}{\partial x},\qquad\qquad \dfrac{\text{d} f}{\text{d} z}=-\text{i}\,\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial v}{\partial y}. $$

10.5

Porovnáním reálných a imaginárních částí obou rovnic dostáváme tzv. Cauchyho-Riemannovy podmínky existence derivace komplexní funkce $f(z)$,

$$ \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},\qquad\qquad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}. $$

10.6

Funkce $f(z)$ komplexní proměnné na oblasti $G$ je tedy diferencovatelná v bodě $z=x+\text{i} y$, pokud pro reálně diferencovatelné funkce $u(x,y)$ a $v(x,y)$ platí podmínka 10.6. Takovou funkci potom nazýváme regulární v bodě $z$. Funkci $f(z)$ která má derivaci na oblasti $G$ všude, nazýváme holomorfní nebo analytickou. Body $z$ v nichž funkce $f(z)$ hladká na oblasti $G$ není regulární nazýváme singulárními body nebo singularitami. Provedeme-li také druhé derivace rovnic 10.6, dostaneme pro obě funkce $u,v$ tzv. Laplaceovu rovnici (viz rovnice 5.21 pro dvě proměnné) $\Delta u=\Delta v=0$.

Pomocí rovnic 10.5, 10.6 lze odvodit tzv. Cauchyův teorém (důkaz viz např. Kvasnica (2004)) pro libovolnou po částech hladkou uzavřenou křivku $\mathcal{C}$ a funkci $f(z)$ holomorfní na oblasti $G$,

$$ \oint_\mathcal{C}f(z)\,\text{d} z=0 $$

10.7

a také tzv. Cauchyovu formuli opět pro libovolnou po částech hladkou uzavřenou křivku $\mathcal{C}$ a funkci $f(z)$ holomorfní uvnitř této křivky a na této křivce, kde $\zeta$ je libovolný bod uvnitř této křivky,

$$ f(\zeta)=\frac{1}{2\pi\text{i}}\oint_\mathcal{C}\frac{f(z)\,\text{d} z}{z-\zeta}. $$

10.8

Cauchyova formule vyjadřuje tedy hodnotu holomorfní funkce $f(z)$ v libovolném bodě $\zeta$ uvnitř křivky $\mathcal{C}$ pomocí integrálu závislého pouze na hodnotách této funkce v bodech ležících na křivce $\mathcal{C}$. Lze prokázat, že integrál 10.8 je rovněž holomorfní funkcí uvnitř křivky $\mathcal{C}$ i na této křivce, z toho vyplývá, že derivace libovolného řádu funkce $f(z)$ holomorfní v oblasti $G$ jsou také holomorfními funkcemi v této oblasti. Navíc platí, že pokud má funkce komplexní proměnné první derivaci ve všech bodech oblasti $G$, pak je v této oblasti nekonečněkrát diferencovatelná – tato vlastnost nemá obdobu u funkcí reálné proměnné (Kvasnica, 2004).

Pokud má funkce $f(z)$ v bodě $z=\zeta$ singularitu (pokud je singularita konečného řádu, tedy dobře se chovající, jde o tzv. izolovaný pól) $m$-tého řádu, potom v okolí tohoto bodu platí relace

$$ f(z)=\dfrac{a_m}{(z-\zeta)^m}+\ldots+\dfrac{a_1}{z-\zeta}+g(z), $$

10.9

kde $a_m\,\ldots\,a_1$ jsou koeficienty a $g(z)$ je jednoznačná holomorfní funkce v okolí bodu $z=\zeta$ i v tomto bodě. Koeficient $a_1\equiv\text{Res}\,f(z)$ je tzv. reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z=\zeta$. Funkce $f(z)$ může mít různé izolované póly v bodech $\zeta_1,\,\zeta_2,\,\ldots\,\zeta_n$, v tom případě můžeme $f(z)$ zapsat ve tvaru

$$ f(z)=\frac{\text{Res}_{\,n}}{z-\zeta_n}+\ldots+\frac{\text{Res}_{\,2}}{z-\zeta_2}+\frac{\text{Res}_{\,1}}{z-\zeta_1}+g(z). $$

10.10

Zobecněním těchto vztahů je tzv. reziduová věta pro integrál jednoznačné komplexní funkce $f(z)$, která je holomorfní uvnitř libovolné uzavřené křivky $\mathcal{C}$ i na této křivce, s výjimkou izolovaných pólů této funkce. Integrál funkce $f(z)$ uvnitř křivky $\mathcal{C}$ je potom roven integrálu této funkce po této křivce

$$ \oint_\mathcal{C}f(z)\,\text{d} z=2\pi\text{i}\sum_i\text{Res}_{\,i}, $$

10.11

Výpočet rezidua pro izolovaný pól $m$-tého řádu v bodě $z=\zeta$ je dán vztahem

$$ \text{Res}=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to\zeta}\left\{\frac{\text{d}^{m-1}}{\text{d} z^{m-1}}\left[(z-\zeta)^mf(z)\right]\right\}, $$

10.12

v případě že funkce $f(z)$ je podílem dvou komplexních polynomů, $f(z)=P(z)/Q(z)$, kdy $P(z)$ je všude uvnitř křivky $\mathcal{C}$ i na této křivce holomorfní funkcí a $Q(z)$ má v bodě $z=\zeta$ jednoduchý kořen, přejde vztah 10.12 do podstatně jednodušší podoby

$$ \text{Res}=\frac{P(\zeta)}{Q^\prime(\zeta)}. $$

10.13

Jako příklad aplikace reziduové věty lze uvést např. následující jednoduchý integrál reálné funkce $f(x)$, která nemá žádné singularity (izolované póly) na reálné ose:

$$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\text{d} x}{(1+x^2)^3}\quad\longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C_+}}\frac{\text{d} z}{(1+z^2)^3}\quad\text{kde}\quad\zeta_1,\zeta_2=\pm\,\text{i}, $$

10.14

budeme-li integrovat podél uzavřené křivky $\mathcal{C_+}$ obsahující část reálné osy a např. kladný izolovaný pól (v tomto případě díky jeho třetí mocnině jde o pól třetího řádu), bude podle vztahu 10.12 jeho reziduum

$$ \text{Res}_{\,\text{i}}=\frac{1}{2}\lim_{z\to\,\text{i}}\left\{\frac{\text{d}^2}{\text{d} z^2}\!\left[\frac{z-\text{i}}{(z-\text{i})(z+\text{i})}\right]^3\right\}= \frac{1}{2}\lim_{z\to\,\text{i}}\frac{12}{(z+\text{i})^5}=-\frac{3\text{i}}{16} $$

10.15

a dosazením do rovnice 10.11 dostáváme

$$ \int_{-\infty}^\infty\frac{\text{d} x}{(1+x^2)^3}=\frac{3\pi}{8}. $$

10.16

nahoru

Příklady

10.1

Zadaná komplexní čísla napište vždy v ostatních tvarech (algebraickém, goniometrickém nebo exponenciálním):

$5\sqrt{3}+5\text{i}$
$10\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\quad$ $10\,\text{e}^{\frac{\pi\text{i}}{6}}$
$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\text{i}$

$6\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right) \quad 6\,\text{e}^{\frac{\pi\text{i}}{4}}$
$-12\left(1-\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}}\right)$

$8\sqrt{3}\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\quad$ $8\sqrt{3}\,\text{e}^{\frac{5\pi\text{i}}{6}}$
$-6+\dfrac{6\,\text{i}}{\sqrt{3}}$

$\dfrac{12}{\sqrt{3}}\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\quad$ $\dfrac{12}{\sqrt{3}}\,\text{e}^{\frac{5\pi\text{i}}{6}}$
$-2\left(1+\sqrt{3}\text{i}\right)$

$4\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\quad$ $4\,\text{e}^{\frac{4\pi\text{i}}{3}}$
$3\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)$

$-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\left(1+\text{i}\right)\quad$ $3\,\text{e}^{\frac{5\pi\text{i}}{4}}$
$12\left(\cos\dfrac{\pi}{6}-\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$

$6\sqrt{3}-6\text{i}\quad$ $12\,\text{e}^{-\frac{\pi\text{i}}{6}}$
$-2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$

$-\left(\sqrt{3}+\text{i}\right)\quad$ $2\,\text{e}^{\frac{7\pi\text{i}}{6}}$
$3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\cos\dfrac{5\pi}{6}\right)$

$\dfrac{3}{2}\left(1-\sqrt{3}\text{i}\right)\quad$ $2\,\text{e}^{\frac{5\pi\text{i}}{3}}$
$2^{7/10}\left(\sin\dfrac{3\pi}{20}+\text{i}\cos\dfrac{3\pi}{20}\right)$

$\left(1+\text{i}\right)^{7/5}\quad$ $2^{7/10}\,\text{e}^{\frac{7\pi\text{i}}{20}}$
$3\,\text{e}^{-\frac{2\pi\text{i}}{3}}$

$-\dfrac{3}{2}\left(1+\sqrt{3}\text{i}\right)\quad$ $3\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)$
$\sqrt{2}\,\text{e}^{\frac{7\pi\text{i}}{12}}$

$\left(1+\text{i}\right)^{7/3}\quad$ $\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{4}\right)^{7/3}$

10.2

Napište součet, součin a podíl následujících komplexních čísel:

$z_1=2+3\text{i},\,\,z_2=7-\text{i}$

$z_1+z_2=9+2\text{i}\quad$ $z_1z_2=17+19\text{i}\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{11+23\text{i}}{50}$
$z_1=12+\text{i},\,\,z_2=6–3\text{i}$

$z_1+z_2=18–2\text{i}\quad$ $z_1z_2=75–30\text{i}\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{23+14\text{i}}{15}$
$z_1=7+3\text{i},\,\,z_2=3–3\text{i}$

$z_1+z_2=10\quad$ $z_1z_2=30–12\text{i}\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{2+5\text{i}}{3}$
$z_1=2+12\text{i},\,\,z_2=5-\text{i}$

$z_1+z_2=7+11\text{i}\quad$ $z_1z_2=22+58\text{i}\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{-1+31\text{i}}{13}$
$z_1=1-\text{i},\,\,z_2^*=11+5\text{i}$

$z_1+z_2=12–6\text{i}\quad$ $z_1z_2=6–16\text{i}\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{8–3\text{i}}{73}$
$z_1=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{3}\right),\,\, z_2=3\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$

$z_1+z_2=\dfrac{-1+5\sqrt{3}\text{i}}{2}\quad$ $z_1z_2=-6\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{1-\sqrt{3}\text{i}}{3}$
$z_1=3\left(\cos\dfrac{\pi}{6}-\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right),\,\, z_2=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{3}-\text{i}\sin\dfrac{5\pi}{3}\right)$

$z_1+z_2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+1+\left(\sqrt{3}-\dfrac{3}{2}\right)\text{i}\quad$ $z_1z_2=3(\sqrt{3}+\text{i})\quad$ $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\sqrt{3}-(2+3\sqrt{3})\text{i}}{8}$

10.3

Napište následující mocniny (odmocniny) komplexních čísel:

$(1+\text{i})^7$

$8(1-\text{i})$
$(-\sqrt{3}+\text{i})^8$

$128(-1+\sqrt{3}\text{i})$
$\sqrt[3]{1}$

$1,\,-\dfrac{1}{2}(1\pm\sqrt{3}\text{i})$
$\sqrt[6]{729}$

$\pm 3,\,\pm\dfrac{3}{2}(1\pm\sqrt{3}\text{i})$
$\sqrt{-2+2\text{i}}$

$\sqrt[4]{8}\left[\cos\!\left(\!\dfrac{3\pi}{8}\!+\!k\pi\!\right)\!+\!\text{i}\sin\!\left(\!\dfrac{3\pi}{8}\!+\!k\pi\!\right)\!\right]\!\!,\,\,k=0,1$
$\sqrt[5]{1+\sqrt{3}\text{i}}$

$\sqrt[5]{2}\left[\cos\!\left(\!\dfrac{\pi}{15}\!+\!\dfrac{2}{5}k\pi\!\right)\!+ \!\text{i}\sin\!\left(\!\dfrac{\pi}{15}\!+\!\dfrac{2}{5}k\pi\!\right)\!\right]\!\!,\,\,k=0,1,2,3,4$
$\sqrt[3]{5-\dfrac{15\,\text{i}}{\sqrt{3}}}$

$\sqrt[3]{10}\left[\cos\!\left(\!\dfrac{5\pi}{9}\!+\!\dfrac{2}{3}k\pi\!\right)\!+ \!\text{i}\sin\!\left(\!\dfrac{5\pi}{9}\!+\!\dfrac{2}{3}k\pi\!\right)\!\right]\!\!,\,\,k=0,1,2$
$\sqrt[3]{-5+\dfrac{5\,\text{i}}{\sqrt{3}}}$

$\sqrt[6]{\dfrac{100}{3}}\left[\cos\!\left(\!\dfrac{5\pi}{18}\!+\!\dfrac{2}{3}k\pi\!\right)\!+ \!\text{i}\sin\!\left(\!\dfrac{5\pi}{18}\!+\!\dfrac{2}{3}k\pi\!\right)\!\right]\!\!,\,\,k=0,1,2$
$\sqrt{-6+\dfrac{6\,\text{i}}{\sqrt{3}}}$

$\bigg(\dfrac{12}{\sqrt{3}}\bigg)^{\!\!1/2}\!\!\left[\cos\left(\!\dfrac{5\pi}{12}\!+\!k\pi\!\right)\!+\!\text{i}\sin\left(\!\dfrac{5\pi}{12}\!+\!k\pi\!\right)\!\right]\!\!,\,\,k=0,1$

10.4

Ověřte, jestli mohou být následující komplexní funkce $f(z)=f(x+\text{i} y)$ holomorfní na otevřených podmnožinách komplexní roviny:

$3y-3x\text{i}$
ano
$3x^2+3y+6xy\text{i}$
ne
$z^2+\ln z+1$
ano
$z^3+5z-\sin z$
ano
$|z^2+y|$
ne
$\dfrac{z-1}{z+1}$
ano
$\sqrt{z+1+\text{i}}$
ano
$\exp\left(-\,\text{i} z^2\right)$
ano
$\exp\left[\dfrac{(z+1)^2}{\text{i}}\right]$
ano
$\ln\bigg(\dfrac{z+1}{\text{i}}\bigg)$
ano

10.5

Nalezněte holomorfní funkce komplexní proměnné $f(z)$, pokud je zadaná pouze $\text{Re}[f(z)]=u(x,y)$ nebo pouze $\text{Im}[f(z)]=v(x,y)$:

$u=x\,\text{e}^{3y}$

holomorfní funkce $f(z)$ neexistuje
$u=x^2+3x-y^2+5y$

$f(z)=z^2+3z-5\text{i} z+\text{C}$
$u=\text{e}^x\!\left(\cos y+2\sin y\right)$

$v=-\dfrac{\partial u}{\partial y}+\text{C}$
$u={\sin(2x)\cosh(2y)}$$

$f(z)=\sin 2z+\text{C}$
$u=x^2-y^2+\sin(x)\cosh(y)$

$f(z)=z^2+\sin z+\text{C}$
$u=x^3–3xy^2+\ln|z|$

$f(z)=z^3+\ln z+\text{C},\,z\neq 0$
$u=x-\dfrac{x}{x^2+y^2}$

$f(z)=z-\dfrac{1}{z}+\text{C},\,z\neq 0$
$v=y-\sin(x)\sinh(y)$

$f(z)=z+\cos z+\text{C}$
$v=x+\sinh(x)\sin(y)$

$f(z)=\text{i} z + \cos\text{i} z+\text{C}$

10.6

Pomocí reziduové věty vypočítejte následující integrály (kde $\mathcal{C}$ značí uzavřenou křivku obsahující všechny singularity dané funkce $f(z)$, $\mathcal{C}_+$ značí uzavřenou křivku obsahující pouze jednu libovolnou singularitu dané funkce):

$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\frac{z}{z^2–1}\,\text{d} z$

$2\pi\text{i}$
$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}_+}\frac{z}{z^2–1}\,\text{d} z$

$\pi\text{i}$
$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\frac{\sin z}{z^2+5}\,\text{d} z$

$2\pi\text{i}\,\dfrac{\sinh\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\dfrac{\text{e}^z}{z^2+1}\,\text{d} z$

$2\pi\text{i}\sin(1)$
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\text{d} x}{x^2+1}$

$\pi$
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin x}{x^2+2x+2}\,\text{d} x$

$\dfrac{\pi}{\text{e}}\sin(1)$
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{6x^2+6x+3}\,\text{d} x$

$\dfrac{\pi}{3\sqrt{\text{e}}}\cos\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)$
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\text{d} x}{x^2+3x+3}$ (viz příklad 1.31)

$\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{4\,\text{d} x}{(x^2+4)^4}$

$\dfrac{5\pi}{512}$