Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

I. 5. Vyšetřování průběhu funkce

nahoru

Monotonie a lokální extrémy

Důsledek 12

Nechť má funkce $f(x)$ konečnou derivaci na intervalu $I$ .

Je-li $f'(x)>0$ pro každé $x\in I$ , pak je $f$ rostoucí na $I$ .
Je-li $f'(x)<0$ pro každé $x\in I$ , pak je $f$ klesající na $I$ .

Tvrzení 13

Nechť $x_0\in D(f)$ . Tento bod se nazývá stacionární, pokud $f'(x_0)=0$ .

Poznámka 14

Lokální extrém může nastat buď ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde $f'(x_0)$ neexistuje.

Věta 15

Nechť je funkce $f(x)$ spojitá v bodě $x_0$ a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí $\mathcal{O}\{x_0\}\setminus x_0$ . Jestliže pro všechna $x\in\mathcal{O}(x_0)$ , $x<x_0$ , je $f(x_0)>0$ ( $f(x_0)<0$ ) a jestliže pro všechna $x\in\mathcal{O}\{x_0\}$ , $x>x_0$ , je $f(x_0)<0$ ( $f(x_0)>0$ ), pak má funkce $f(x)$ v bodě $x_0$ ostré lokální maximum (minimum).

Věta 16

Nechť $f'(x_0)=0$ . Je-li $f''(x_0)>0$ , pak má funkce $f(x)$ v bodě $x_0$ ostré lokální minimum. Je-li $f''(x_0)<0$ , pak má funkce $f(x)$ v bodě $x_0$ ostré lokální maximum.

nahoru

Konvexnost, konkávnost a inflexní body

Tvrzení 17

Nechť $I$ je otevřený interval a funkce $f(x)$ má vlastní druhou derivaci na intervalu $I$ .

Je-li $f''(x)>0$ pro každé $x\in I$ , pak je $f$ ostře konvexní na $I$ .
Je-li $f''(x)<0$ pro každé $x\in I$ , pak je $f$ ostře konkávní na $I$ .

Definice 18

Nechť $x_0\in D(f)$ . Tento bod se nazývá kritický, pokud $f''(x_0)=0$ .

Věta 19

Nechť $x_0$ je inflexní bod a nechť existuje $f''(x_0)$ . Potom $f''(x_0)=0$ .
Nechť $f''(x_0)=0$ a existuje okolí $\mathcal{O}_{\delta}(x_0)$ takové, že platí $f''(x_0)<0$ pro každé $x\in(x_0-\delta,x_0)$ a $f''(x_0)>0$ pro každé $x\in(x_0,x_0+\delta)$ , nebo naopak. Pak je $x_0$ inflexním bodem funkce $f(x)$ .
Nechť $f''(x_0)=0$ a $f'''(x_0)\not =0$ . Pak je $x_0$ inflexním bodem funkce $f(x)$ .

Poznámka 20

Inflexním bodem může může být buď kritický bod nebo bod, kde $f''(x_0)$ neexistuje. Zde je potřeba dát pozor na definici inflexního bodu. V některých publikacích bývá inflexní bod definován jako kritický bod, v němž druhá derivace mění znaménko, což znamená, že v inflexním bodě musí existovat vlastní druhá derivace, jejíž hodnota je rovna nule. Inflexní body bývají někdy ještě rozdělovány do dvou kategorií podle chování $f'(x_0)$ . Pokud $x_0$ je inflexní bod a současně $f'(x_0)=0$ , nazývá se bod $x_0$ sedlovým bodem (též stacionární inflexní bod), a pokud $x_0$ je inflexní bod s $f'(x_0)\not =0$ , hovoříme o nestacionárním inflexním bodě.

nahoru

Asymptoty

Definice 21

Buď $x_0\in\mathbb{R}$ . Přímka $x=x_0$ se nazývá asymptotou bez směrnice funkce $f$ , jestliže má $f$ v $x_0$ alespoň jednu limitu nevlastní, tj.

$\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=\pm\infty\quad \text{nebo} \quad \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=\pm\infty.$

Věta 22

Přímka $y=ax+b$ je asymptotou se směrnicí funkce $f$ pro $x\to +\infty$ právě tehdy, když existují konečné limity

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a, \qquad \lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)-ax)=b.$

Analogické tvrzení platí pro $x\to -\infty$ .

nahoru

Vyšetřování průběhu funkce – postup

Definiční obor;
spojitost, charakterostika bodů nespojitosti;
lichost, sudost, periodičnost;
$f(x)=0$ , intervaly, kde je funkce kladná a záporná;
$f'(x)=0$ a $D(f')$ ;
monotonie, extrémy;
$f''(x)=0$ a $D(f'')$ ;
konvexnost, konkávnost, inflexní body;
asymptoty bez směrnice a směrnicí;
graf funkce.

Příklad č. 247» Zobrazit zadání «

Zjistěte, zda je funkce

$f(x) = x^{-3} \operatorname{e}^{-x\sin x}$

sudá, nebo lichá.

Řešení» Zobrazit řešení «

Připomeňme, že funkce je sudá, jestliže je její graf symetrický dle osy $y$ , tj. $f(-x) = f(x)$ , a lichá, jestliže je její graf symetrický dle počátku soustavy souřadnic, tj. $f(-x) = -f(x)$ . Spočtěme tedy, čemu se rovná $f(-x)$ .

$f(-x) = (-x)^{-3} \operatorname{e}^{-(-x)\sin (-x)} = -x^{-3} \operatorname{e}^{x(-\sin x)} = -x^{-3} \operatorname{e}^{-x\sin x} = -f(x).$

Daná funkce je tedy lichá.

Příklad č. 248» Zobrazit zadání «

Zjistěte, zda je funkce

$f(x) = \dfrac{x(x^2+5)}{\operatorname{cotg} \frac{1}{x^7} \ln \sqrt[3]{x^2}}$

sudá, nebo lichá.

Řešení» Zobrazit řešení «

Spočtěme, čemu se rovná $f(-x)$ .

$f(-x)$	$= \dfrac{(-x)[(-x)^2+5]}{\operatorname{cotg} \frac{1}{(-x)^7} \ln \sqrt[3]{(-x)^2}} = \dfrac{-x(x^2+5)}{\operatorname{cotg} \left(-\frac{1}{x^7}\right) \ln \sqrt[3]{x^2}}$
	$= \dfrac{-x(x^2+5)}{-\operatorname{cotg} \frac{1}{x^7} \ln \sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{x(x^2+5)}{\operatorname{cotg} \frac{1}{x^7} \ln \sqrt[3]{x^2}} = f(x).$

Daná funkce je tedy sudá.

Příklad č. 249» Zobrazit zadání «

Zjistěte, zda je funkce

$f(x) = \dfrac{x^2-2x+1}{\sin x}$

sudá, nebo lichá.

Řešení» Zobrazit řešení «

Spočtěme, čemu se rovná $f(-x)$ .

$f(-x)$	$= \dfrac{(-x)^2-2(-x)+1}{\sin (-x)} = \dfrac{x^2+2x+1}{-\sin x} = -\dfrac{x^2+2x+1}{\sin x} \neq$
	$\neq \pm f(x).$

Daná funkce tedy není ani sudá, ani lichá.

Příklad č. 250» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o kladnosti a zápornosti funkce

$f(x) = \dfrac{(x-2)\operatorname{e}^{\sin x}}{\operatorname{arccotg} x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Funkce může změnit znaménko pouze ve svém nulovém bodě (protnutím osy $x$ ), nebo v bodech, kde není definována (přeskočením osy $x$ ). Proto nejprve určíme definiční obor dané funkce

$D(f) = \mathbb{R}.$

Nyní najdeme nulové body této funkce

$f(x)$	$= 0,$
$\dfrac{(x-2)\operatorname{e}^{\sin x}}{\operatorname{arccotg} x}$	$= 0,$
$(x-2)\operatorname{e}^{\sin x}$	$= 0,$
$x-2$	$= 0,$
$x$	$= 2.$

Obdrželi jsme celkem dva intervaly, na nichž musíme zjistit znaménko funkce.

$x$	$(-\infty,2)$	$(2,\infty)$
$\operatorname{sgn} f$	$-$	$+$
$f$	$záporná$	$kladná$

Daná funkce je tedy záporná (její graf je pod osou $x$ ) v intervalu $(-\infty,2)$ a kladná (její graf je nad osou $x$ ) v intervalu $(2,\infty)$ .

Příklad č. 251» Zobrazit zadání «

Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci

$f(x)=12x^5-15x^4-40x^3+60.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme definiční obor funkce $f(x)$ . Je zřejmé, že platí $D(f)=\mathbb{R}$ . Spočítáme první derivaci, tj.

$f'(x)=60x^4-60x^3-120x^2=60x^2(x^2-x-2).$

Nyní musíme určit definiční obor pro $f'(x)$ , ten je očividně $D(f')=\mathbb{R}$ , a stacionární body funkce $f(x)$ , tedy musíme vyřešit rovnici $f'(x)=0$ . Proto

	$60x^2(x^2-x-2)=0 \quad\Rightarrow$
	$\quad\Rightarrow\quad x_1=0\text{ nebo } x^2-x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=0,~x_2=2,~x_3=-1.$

Tyto body nám rozdělí definiční obor rozdělí na čtyři intervaly $(-\infty,-1)$ , $(-1,0)$ , $(0,2)$ a $(2,\infty)$ , ve kterých zjistíme znaménka $f'(x)$ . Podle těchto znamének určíme průběh funkce v jednotlivých intervalech a určíme případné extrémy. K tomu nám pomůže následující tabulka

$x$	$(-\infty,-1)$	$(-1,0)$	$(0,2)$	$(2,\infty)$
$\operatorname{sgn} f'$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	$\nearrow$	$\searrow$	$\searrow$	$\nearrow$

Odtud je vidět, že funkce $f(x)$ je rostoucí v intervalech $(-\infty,-1),$ a $( 2,\infty)$ , klesající v $(-1,2)$ . Funkce $f(x)$ má dva lokální extrémy, lokální maximum pro $x=-1$ a lokální minimum pro $x=2$ .

Příklad č. 252» Zobrazit zadání «

Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci

$f(x)=x\operatorname{e}^{-x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Stejným postupem jako v předchozím příkladě obdržíme

$D(f)=\mathbb{R},\quad f'(x)=\operatorname{e}^{-x^2}-2x^2\operatorname{e}^{-x^2}=\operatorname{e}^{-x^2}(1-2x^2)\quad\text{a}\quad D(f')=\mathbb{R}.$

Nyní určíme stacionární body funkce $f(x)$ , proto

	$\operatorname{e}^{-x^2}(1-2x^2)=0 \quad\Rightarrow \quad 1-2x^2=0 \quad\Rightarrow \quad x^2=\dfrac{1}{2}\quad\Rightarrow$
	$\hspace{37mm}\Rightarrow\quad x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{ a } x_2=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Nyní se nám definiční obor funkce $f(x)$ rozpadl na tři intervaly, ve kterých určíme průběh funkce, tj.

$x$	$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$	$\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$	$\searrow$

Tedy funkce $f(x)$ je rostoucí v intervalu $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ a klesající v intervalech $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),$ $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\infty\right)$ . Také má dva lokální extrémy, konkrétně lokální minimum pro $x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ a lokální maximum pro $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Příklad č. 253» Zobrazit zadání «

Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci

$f(x)=\dfrac{x^2}{\ln x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme potřebné definiční obory a derivaci $f(x)$ , tj.

$D(f)=(0,1)\cup(1,\infty),\quad f'(x)=\dfrac{2x\ln x-x}{\ln^2 x},\quad D(f')=(0,1)\cup(1,\infty).$

Určíme stacionární body, proto

	$\dfrac{2x\ln x-x}{\ln^2 x} \quad\Rightarrow\quad x\left(2\ln x-1\right)=0\quad\Rightarrow$
	$\hspace{25mm}\Rightarrow\quad x_1=0 \text{ nebo } \ln x=\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\, x_1=0 \text{ nebo } x_2=\operatorname{e}^{\frac{1}{2}}.$

Ovšem bod $x_1\not \in D(f)$ , proto je stacionárním bodem pouze $x_2$ . Nyní analyzujeme monotonii funkce $f(x)$ , tj.

$x$	$\left(0,1\right)$	$\left(1,\operatorname{e}^{\frac{1}{2}}\right)$	$\left(\operatorname{e}^{\frac{1}{2}},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$-$	$+$
$f$	$\searrow$	$\searrow$	$\nearrow$

Tedy funkce $f(x)$ je klesající v intervalech $(0,1),$ a $(1,\sqrt{\operatorname{e}})$ , rostoucí v intervalu $(\sqrt{\operatorname{e}},\infty)$ a s lokálním minimem pro $x=\sqrt{\operatorname{e}}$ .

Příklad č. 254» Zobrazit zadání «

Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci

$f(x)=x-2\sin x, \quad x\in(0,2\pi).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme definiční obory (ty jsou určeny již zadáním příkladu) a $f'(x)$ , tj.

$D(f)=(0,2\pi),\quad f'(x)=1-2\cos x,\quad D(f')=(0,2\pi).$

Najdeme stacionární body

$1-2\cos x=0 \quad\Rightarrow\quad \cos x=\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x_1=\dfrac{\pi}{3}\text{ a }x_2=\dfrac{5\pi}{3}.$

A analyzujeme monotonii funkce $f(x)$

$x$	$\left(0,\frac{\pi}{3}\right)$	$\left(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)$	$\left(\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$	$\searrow$

Funkce $f(x)$ je tedy rostoucí na intervalu $\left(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}\right)$ a klesající na intervalech $\left(0,\frac{\pi}{3}\right),$ $\left(\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$ . Funkce má také dva lokální extrémy, lokální minimum pro $x=\frac{\pi}{3}$ a lokální maximum v bodě $x=\frac{5\pi}{3}$ .

Příklad č. 255» Zobrazit zadání «

Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci

$f(x)=\dfrac{1}{x}\ln\dfrac{1}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme definiční obory a $f'(x)$ , tj.

$D(f)=(0,\infty),\quad f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\left(1+\ln\dfrac{1}{x}\right),\quad D(f')=(0,\infty).$

Najdeme stacionární body

$-\dfrac{1}{x^2}\left(1+\ln\dfrac{1}{x}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \ln\dfrac{1}{x}=-1 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{1}{x}=\operatorname{e}^{-1} \quad\Rightarrow\quad x=\operatorname{e}.$

A analyzujeme monotonii funkce $f(x)$

$x$	$\left(0,\operatorname{e}\right)$	$\left(\operatorname{e},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$

Funkce $f(x)$ je tedy rostoucí na intervalu $\left(\operatorname{e},\infty\right)$ a klesající na intervalu $\left(0,\operatorname{e}\right)$ . Funkce má také lokální minimum pro $x=\operatorname{e}$ .

Příklad č. 256» Zobrazit zadání «

Určete intervaly monotonie a extrémy pro funkci

$f(x) = \dfrac{(x+3)^2}{\operatorname{e}^x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme definiční obory a $f'(x)$ , tj.

$D(f)=\mathbb{R},\quad f'(x)=-\dfrac{x^2+4x+3}{\operatorname{e}^x},\quad D(f')=\mathbb{R}.$

Najdeme stacionární body

	$-\dfrac{x^2+4x+3}{\operatorname{e}^x}=0 \quad\Rightarrow\quad x^2+4x+3=0$
	$\quad\Rightarrow\quad (x+1)(x+3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1 \text{ nebo } x=-3.$

A analyzujeme monotonii funkce $f(x)$

$x$	$(-\infty,-3)$	$(-3,-1)$	$(-1,\infty)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$	$\searrow$

Funkce $f(x)$ je tedy rostoucí pro $x \in \left(-3,-1\right)$ a klesající pro $x \in \left(-\infty,-3\right) \cup \left(-1,\infty\right)$ . Funkce má lokální minimum pro $x=-3$ a lokální maximum pro $x=-1$ .

Příklad č. 257» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce

$f(x) = \dfrac{(x+3)^2}{\operatorname{e}^x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

K analyzování chování tečen grafu funkce $f(x)$ použijeme postup analogický vyšetřování monotonie funkce s tím, že budeme zjišťovat znaménkové změny funkce $f''(x)$ . Tedy, nejdříve určíme definiční obory a $f''(x)$ , k čemuž pochopitelně potřebuje vypočítat i $f'(x)$ – tu ale již známe z příkladu 256, tedy

$D(f)=\mathbb{R}, f'(x)=-\dfrac{x^2+4x+3}{\operatorname{e}^x}, f''(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{\operatorname{e}^x}, D(f'')=\mathbb{R}.$

Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice $f''(x)=0$ , tj.

$\dfrac{x^2+2x-1}{\operatorname{e}^x} = 0$	$\Rightarrow\quad x^2+2x-1 = 0$
	$\Rightarrow\quad x_1=-1-\sqrt{2} \text{ a } x_2=-1+\sqrt{2}.$

Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka $f''(x)$ , tj.

$x$	$(-\infty,-1-\sqrt{2})$	$(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$	$(-1+\sqrt{2},\infty)$
$\operatorname{sgn} f''$	$+$	$-$	$+$
$f$	$\cup$	$\cap$	$\cup$

Funkce $f(x)$ je konvexní v intervalech $(-\infty,-1-\sqrt{2})$ a $(-1+\sqrt{2},\infty)$ , konkávní v intervalu $(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$ a má dva inflexní body pro $x=-1-\sqrt{2}$ a $x=-1+\sqrt{2}$ .

Příklad č. 258» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce

$f(x)=x^4-2x^3-12x^2+7x-3.$

Řešení» Zobrazit řešení «

$D(f)=\mathbb{R},$	$f'(x)=4x^3-6x^2-24x+7,$
	$f''(x)=12x^2-12x-24, D(f'')=\mathbb{R}.$

Nyní určíme kritické body, což jsou řešení rovnice $f''(x)=0$ , tj.

$12x^2-12x-24=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2\text{ a }x_2=-1.$

Teď se nám definiční obor rozpadl na tři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka $f''(x)$ , tj.

$x$	$\left(-\infty,-1\right)$	$\left(-1,2\right)$	$\left(2,\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$+$	$-$	$+$
$f$	$\cup$	$\cap$	$\cup$

Funkce $f(x)$ je konvexní v intervalech $(-\infty,-1)$ a $(2,\infty)$ , konkávní v intervalu $(-1,2)$ . Funkce má dva inflexní body pro $x=-1$ a $x=2$ .

Příklad č. 259» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce

$f(x)=x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme definiční obory a $f''(x)$ , tj.

$D(f)=\mathbb{R}, f'(x)=\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-x^2\right), f''(x)=x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(x^2-3\right), D(f'')=\mathbb{R}.$

Nyní určíme kritické body, tj.

	$x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(x^2-3\right)=0\quad\Rightarrow$
	$\quad\Rightarrow\quad x_1=0\text{ nebo }x^2=3 \quad\Rightarrow\quad x_1=0,\ x_2=\sqrt{3}\text{ a }x_3=-\sqrt{3}.$

Teď se nám definiční obor rozpadl na čtyři intervaly, ve kterých zjistíme jednotlivá znaménka $f''(x)$ , tj.

$x$	$\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$	$\left(-\sqrt{3},0\right)$	$\left(0,\sqrt{3}\right)$	$\left(\sqrt{3},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$-$	$+$	$-$	$+$
$f$	$\cap$	$\cup$	$\cap$	$\cup$

Funkce $f(x)$ je konvexní v intervalech $(-\sqrt{3},0)$ a $(\sqrt{3},\infty)$ , konkávní v $(-\infty,-\sqrt{3})$ a $(0,\sqrt{3})$ . Funkce má tři inflexní body pro $x=0,\pm\sqrt{3}$ .

Příklad č. 260» Zobrazit zadání «

Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce

$f(x)=\sqrt[5]{x^3}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve určíme definiční obory a $f''(x)$ , tj.

$D(f)=\mathbb{R},\quad f'(x)=\dfrac{3}{5\sqrt[5]{x^2}},\quad f''(x)=-\dfrac{6}{25\sqrt[5]{x^7}},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

Rovnice

$-\dfrac{6}{25\sqrt[5]{x^7}}=0$

nemá řešení. Ovšem druhá derivace neexistuje pro $x=0$ , proto nám tento bod rozdělí definiční obor funkce $f(x)$ na dva intervaly, proto

$x$	$\left(-\infty,0\right)$	$\left(0,\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$+$	$-$
$f$	$\cup$	$\cap$

Funkce $f(x)$ je konvexní na intervalu $(-\infty,0)$ a konkávní na intervalu $(0,-\infty)$ . Funkce má inflexní bod pro $x=0$ .

Příklad č. 261» Zobrazit zadání «

Určete asymptoty bez směrnice funkce

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Určíme definiční obor funkce $f(x)$ , tj.

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},$

proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je $x=0$ . Musíme ověřit limitní chování funkce $f(x)$ v tomto bodě, tj.

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty.$

Proto existuje asymptota bez směrnice a je dána rovnicí $x=0$ .

Příklad č. 262» Zobrazit zadání «

Určete asymptoty bez směrnice funkce

$f(x)=5x+\dfrac{\sin x}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Určíme definiční obor funkce $f(x)$ , tj.

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\},$

proto jediným možným bodem, kterým může vést asymptota bez směrnice je $x=0$ . Musíme ověřit limitní chování funkce $f(x)$ v tomto bodě, tj.

$\lim\limits_{x\to 0}\left(5x+\dfrac{\sin x}{x}\right)=1.$

Proto asymptota bez směrnice neexistuje.

Příklad č. 263» Zobrazit zadání «

Určete asymptoty v $\pm\infty$ funkce

$f(x)=\dfrac{3x^2}{x-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

K určení rovnice asymptoty se směrnicí budeme postupovat dle daných vzorců, proto

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\dfrac{3x^2}{x-1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x}{x-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3}{1-\dfrac{1}{x}}=3,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-ax\right)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{3x^2}{x-1}-3x\right)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^2-3x^2+3x}{x-1}=$
	$= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x}{x-1}=3.$

Při výpočtu jsme využili možnost nerozlišovat, zda limitu počítáme v $+\infty$ nebo $-\infty$ (toto samozřejmě v některých případech není možné a asymptoty se mohou lišit). Proto rovnice asymptoty se směrnicí je v obou směrech rovna $y=3x+3$ .

Příklad č. 264» Zobrazit zadání «

Určete asymptoty funkce

$f(x)=\dfrac{4+x^3}{4-x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{\pm2\}.$

V „dírách“ definičního oboru vypočítáme jednostranné limity, tj.

	$\lim\limits_{x\to2}\dfrac{4+x^3}{4-x^2}= \lim\limits_{x\to2}\dfrac{4+x^3}{(2-x)(2+x)}= \begin{cases} +\infty,\quad x\to2^{-},\\ -\infty,\quad x\to2^{+}, \end{cases}$
	$\lim\limits_{x\to-2}\dfrac{4+x^3}{4-x^2}= \lim\limits_{x\to-2}\dfrac{4+x^3}{(2-x)(2+x)}= \begin{cases} +\infty,\quad x\to-2^{-},\\ -\infty,\quad x\to-2^{+}. \end{cases}$

Funkce $f(x)$ má tedy dvě asymptoty bez směrnice o rovnicí $x=2$ a $x=-2$ . Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj.

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{4+x^3}{4-x^2}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4+x^3}{4x-x^3}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{4}{x^3}+1}{\frac{4}{x^2}-1}=-1,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{4+x^3}{4-x^2}+x\right)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{4+x^3+4x-x^3}{4-x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{4}{x^2}+\frac{4}{x}}{\frac{4}{x^2}-1}=0.$

Funkce $f(x)$ má asymptotu se směrnicí o rovnici $y=-x$ .

Příklad č. 265» Zobrazit zadání «

Určete asymptoty funkce

$f(x)=\dfrac{\operatorname{e}^x}{x+1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Nejdříve se zaměříme na asymptoty bez směrnice. Proto nejdříve určíme definiční obor

$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$

Vypočítáme jednostranné limity v $-1$ , tj.

$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{\operatorname{e}^x}{x+1}= \begin{cases} +\infty,\quad x\to-1^{+},\\ -\infty,\quad x\to-1^{-}, \end{cases}$

Funkce $f(x)$ má tedy asymptotu bez směrnice o rovnici $x=-1$ . Nyní určíme asymptoty se směrnicí, tj.

$a$

$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{\operatorname{e}^x}{x+1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\operatorname{e}^x}{x^2+x}=$

$= \begin{cases} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\operatorname{e}^x}{x^2+x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\operatorname{e}^x}{2x+1} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\operatorname{e}^x}{2}=\infty,\\ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\operatorname{e}^x}{x^2+x}=0. \end{cases}$

V dalším nás tedy zajímá pouze směr do $-\infty$ , proto

$b=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\operatorname{e}^x}{x+1}=0.$

Funkce $f(x)$ má asymptotu se směrnicí pouze ve směru $-\infty$ o rovnici $y=0$ .

Příklad č. 266» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $x^2-1\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme

$\lim\limits_{x\to1^{+}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{+}}\left(\dfrac{x^3}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =+\infty,$

$\lim\limits_{x\to1^{-}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}\left(\dfrac{x^3}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =-\infty,$

$\lim\limits_{x\to-1^{+}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=+\infty,$

$\lim\limits_{x\to-1^{-}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=-\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-1}=-f(x),$
je zadaná funkce lichá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{x^2\left(x^2-3\right)}{\left(x^2-1\right)^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2\left(x^2-3\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=0,\ x_2=\sqrt{3},\ x_3=-\sqrt{3},$

$x$ $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$ $\left(-\sqrt{3},-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\sqrt{3}\right)$ $\left(\sqrt{3},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$ $-$ $-$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$ $\searrow$ $\searrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Z tabulky vidíme, že funkce $f(x)$ má lokální maximum pro $x=-\sqrt{3}$ a lokální minimum pro $x=\sqrt{3}$ . Ve význačných bodech (lok. extrémy, infl. body) je vhodné znát i jejich funkční hodnotu, proto spočítáme $f\left(-\sqrt{3}\right)=-\frac{3}{2}\sqrt{3}$ a $f\left(\sqrt{3}\right)=\frac{3}{2}\sqrt{3}$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{2x\left(x^2+3\right)}{\left(x^2-1\right)^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2x\left(x^2+3\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cup$ $\cap$ $\cup$

Funkce $f(x)$ má tedy v bodě $x=0$ inflexní bod. Z předchozího již víme, že $f(0)=0$ . V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. $f'(0)=0$ , což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou $x$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích $x=1$ a $x=-1$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x^3}{x^2-1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1-\frac{1}{x^2}}=1,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x^3}{x^2-1}-x\right)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-x^3+x}{x^2-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}=0.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=x$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 17. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 266.

Příklad č. 267» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x) = -\dfrac{x^2}{x+1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $x+1\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{- 1\}.$
Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme

$\lim\limits_{x\to-1^{+}}-\dfrac{x^2}{x+1}=-\lim\limits_{x\to-1^{+}}\dfrac{x^2}{x+1} =-(+\infty)=-\infty,$

$\lim\limits_{x\to-1^{-}}-\dfrac{x^2}{x+1}=\lim\limits_{x\to-1^{-}}-\dfrac{x^2}{x+1} =-(-\infty)=\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=-\dfrac{x^2}{-x+1} \neq \pm f(x),$
není zadaná funkce ani lichá, ani sudá (což je vidět už z nesymetrie definičního oboru). Vzhledem k definičnímu oboru je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $(-\infty,-1)$ $(-1,0)$ $(0,\infty)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $-$ $-$

$f$ $kladná$ $záporná$ $záporná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{-x^2-2x}{(x+1)^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad -x(x+2)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=0,\ x_2=-2.$

$x$ $(-\infty,-2)$ $(-2,-1)$ $(-1,0)$ $(0,\infty)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$ $+$ $-$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$ $\nearrow$ $\searrow$

Z tabulky vidíme, že funkce má v $x=-2$ lokální minimum a v $x=0$ lokální maximum. Spočtěme v těchto význačných bodech funkční hodnotu.
$f(-2) = 4, \qquad f(0) = 0.$
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor

$f''(x)$ $=\dfrac{-2x-2}{(x+1)^4} = \dfrac{-2}{(x+1)^3},$

$D(f'')$ $=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad -2=0,$
což je nesmysl. Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve kterých není definována (tj. v „dírách“ jejího definičního oboru).

$x$ $(-\infty,-1)$ $(-1,\infty)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $-$

$f$ $\cup$ $\cap$
Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici $x=-1$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty} = -\dfrac{x^2}{x^2+x} = -1,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}-\dfrac{x^2}{x+1}+x= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x+1}=1.$

Funkce $f(x)$ má tedy v $+\infty$ i $-\infty$ asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=-x+1$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 18. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 267.

Příklad č. 268» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln x$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna kladná reálná čísla, tedy
$D(f)=(0,\infty).$
Zjistíme limitní chování na okraji definičního oboru

$\lim\limits_{x\to0^{+}}$ $\dfrac{1}{x} + \ln x \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{1+x\ln x}{x}$

$\left\bracevert\begin{matrix} \lim\limits_{x\to0^{+}}x\ln x = \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}} \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim\limits_{x\to0^{+}} -x = 0 \\ \Rightarrow \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{1+x\ln x}{x} = \dfrac{1+0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =\infty.$
Vzhledem k tvaru definičního oboru je zřejmé, že zadaná funkce není ani lichá, ani sudá, ani periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.

$\hspace{7mm}f(x)$ $=0,$

$\dfrac{1}{x} + \ln x$ $= 0,$

$\hspace{8mm}\ln x$ $= -\dfrac{1}{x},$

$\hspace{6mm}\ln x^x$ $= -1,$

kde použité úpravy jsou vzhledem k oboru hodnot korektní. Protože $\ln x^x > 0$ , daná funkce nemá žádný nulový bod a je tedy na celém svém definičním oboru buď pouze kladná, nebo pouze záporná (zdůrazněme, že definiční obor je „bez děr“ ). Tedy

$x$ $(0,\infty)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$

$f$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{x-1}{x^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=1.$
Připomeňme, že vše navíc probíhá na definičním oboru původní funkce, tj.

$x$ $(0,1)$ $(1,\infty)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$

Z tabulky vidíme, že funkce má v $x=1$ lokální minimum. Spočtěme v tomto význačném bodě funkční hodnotu.
$f(1) = 1+0 = 1.$
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor

$f''(x)$ $=\dfrac{-x^2+2x}{x^4} = \dfrac{2-x}{x^3},$

$D(f'')$ $=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 2-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=2.$

$x$ $(0,2)$ $(2,\infty)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $-$

$f$ $\cup$ $\cap$

Čili funkce $f$ má v $x=2$ inflexní bod. Funkční hodnota v něm je
$f(2) = \dfrac{1}{2} + \ln 2 \doteq 1,19.$
Z bodu ii) plyne, že funkce má jednu asymptotu bez směrnice o rovnici $x=0$ . Asymptotu se směrnicí má, opět vzhledem k definičnímu oboru, smysl hledat pouze v $+\infty$ :

$a$ $=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\frac{1}{x} + \ln x}{x} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1 + x\ln x}{x^2} = \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert$

$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1 + \ln x}{2x} = \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{2x} = 0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{x} + \ln x = \infty,$

tedy funkce $f(x)$ asymptotu se směrnicí nemá.
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 19. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 268.

Příklad č. 269» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{1-2x}{3x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $3x^2\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Zjistíme limitní chování v bodu nespojitosti, tj.
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-2x}{3x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1-2x}{3}\cdot\dfrac{1}{x^2}\right) =+\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{1+2x}{3x^2},$
není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 1-2x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{1}{2}.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ $\left(\frac{1}{2},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $+$ $-$

$f$ $kladná$ $kladná$ $záporná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{2\left(x-1\right)}{3x^3},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2(x-1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1,$

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Z tabulky vidíme, že funkce $f(x)$ má pro $x=1$ lokální minimum s hodnotou $f(1)=-\frac{1}{3}$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=-\dfrac{2\left(2x-3\right)}{3x^4},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2\left(2x-3\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\dfrac{3}{2},$

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\frac{3}{2}\right)$ $\left(\frac{3}{2},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $+$ $-$

$f$ $\cup$ $\cup$ $\cap$

Z tabulky vidíme, že funkce $f(x)$ má pro $x=\frac{3}{2}$ inflexní bod. Platí $f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{8}{27}$ a směrnice tečny je rovna $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{8}{81}$ , což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní.
Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici $x=0$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1-2x}{3x^2}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-2x}{3x^3}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^2}}{3}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-2x}{3x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}{3}=0.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=0$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 20. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 269.

Příklad č. 270» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, tj.
$D(f)=\mathbb{R}.$
Z bodu ii) plyne, že funkce je spojitá v $\mathbb{R}$ .
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}=f(x),$
je zadaná funkce sudá (to nám usnadnění kreslení grafu). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm 1.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $-$ $+$

$f$ $kladná$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2},\quad D(f')=\mathbb{R}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$

V bodě lokálního minima $x=0$ určíme funkční hodnotu, tj. $f(0)=-1$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=-\dfrac{4\left(3x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}.$
Určíme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 3x^2-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3},$

$x$ $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$ $-$

$f$ $\cap$ $\cup$ $\cap$

Z tabulky vidíme, že funkce $f(x)$ má dva inflexní body $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ s hodnotami $f\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{1}{2}$ a $f'\left(\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right)=\pm\frac{3\sqrt{3}}{4}$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-1}{x^3+x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-1}{x^2+1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=1.$

Funkce $f(x)$ má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=1$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 21. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 270.

Příklad č. 271» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $x^2-1\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme

$\lim\limits_{x\to1^{+}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{+}}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =+\infty,$

$\lim\limits_{x\to1^{-}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =-\infty,$

$\lim\limits_{x\to-1^{+}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=-\infty,$

$\lim\limits_{x\to-1^{-}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=+\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=-f(x),$
je zadaná funkce sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Je zřejmé, že průsečíky s osou $x$ neexistují (neboť rovnice $x^2+1=0$ nemá řešení). Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $-$ $+$

$f$ $kladná$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=-\dfrac{4x}{\left(x^2-1\right)^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $+$ $-$ $-$

$f$ $\nearrow$ $\nearrow$ $\searrow$ $\searrow$

V bodě lokálního maxima $x=0$ určíme funkční hodnotu, tj. $f(0)=-1$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{4\left(3x^2+1\right)}{\left(x^2-1\right)^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Funkce nemá kritické body (rovnice $3x^2+1=0$ nemá řešení). Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\cup$ $\cap$ $\cup$

Je vidět, že funkce nemá inflexní body.
Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích $x=1$ a $x=-1$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x^2+1}{x^2-1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{x^3-x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{1}{x^2}}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=1$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 22. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 271.

Příklad č. 272» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{x}{3-x^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $3-x^2\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{\pm \sqrt{3}\}.$
Zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned obdržíme

$\lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}}\dfrac{x}{3-x^2}= \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}}\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}+x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}-x}\right) =-\infty,$

$\lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{-}}\dfrac{x}{3-x^2}= \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{-}}\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}+x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}-x}\right) =+\infty,$

$\lim\limits_{x\to-\sqrt{3}^{+}}\dfrac{x}{3-x^2}=-\infty,$

$\lim\limits_{x\to-\sqrt{3}^{-}}\dfrac{x}{3-x^2}=+\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{-x}{3-x^2}=-f(x),$
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$ $\left(-\sqrt{3},0\right)$ $\left(0,\sqrt{3}\right)$ $\left(\sqrt{3},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $-$ $+$ $-$

$f$ $kladná$ $záporná$ $kladná$ $záporná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{3+x^2}{\left(3-x^2\right)^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{\pm \sqrt{3}\}.$
Je zřejmé, že funkce $f(x)$ nemá stacionární body. Určíme intervaly monotonie, tj.

$x$ $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$ $\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$ $\left(\sqrt{3},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $+$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\nearrow$ $\nearrow$

Funkce $f(x)$ tedy nemá žádný lokální extrém.
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{2x\left(9+x^2\right)}{\left(3-x^2\right)^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{\pm \sqrt{3}\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2x\left(9+x^2\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$ $\left(-\sqrt{3},0\right)$ $\left(0,\sqrt{3}\right)$ $\left(\sqrt{3},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $-$ $+$ $-$

$f$ $\cup$ $\cap$ $\cup$ $\cap$

Z tabulky vidíme, že funkce $f(x)$ má inflexní bod pro $x=0$ . Z předchozího již víme, že $f(0)=0$ . Určíme zde ještě směrnici tečny, tj. $f'(0)=\frac{1}{3}$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích $x=\sqrt{3}$ a $x=-\sqrt{3}$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x}{3-x^2}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{3x-x^3}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-1}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{3-x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{3}{x}-1}=0.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=0$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 23. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 272.

Příklad č. 273» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $x\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to0^{-}}\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=-\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{1}{2}\left(-x-\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=-f(x),$
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x+\dfrac{1}{x}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=-\dfrac{1}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x^2=-1,$
tedy funkce nemá průsečíky s osou $x$ . Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{x^2-1}{2x^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 0\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2-1=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm 1,$

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Určíme funkčního hodnoty lokálního maxima pro $x=-1$ a minima pro $x=1$ , tj. $f(-1)=-1$ a $f(1)=1$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{1}{x^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 0\}.$
Inflexní body očividně neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cup$

Z tabulky vidíme, že funkce $f(x)$ nemá inflexní bod.
Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu se směrnicí o rovnici $x=0$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{2x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{2}=\dfrac{1}{2},$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{x}{2}\right]= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{2x}=0.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=\frac{x}{2}$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 24. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 273.

Příklad č. 274» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $x^2-1\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\left(0,\infty\right).$
Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, tj.
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty.$
Definiční obor funkce $f(x)$ není symetrický, proto funkce $f(x)$ ani nemůže být lichá nebo sudá. Navíc, je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \ln x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},\quad D(f')=\left(0,\infty\right).$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 1-\ln x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\operatorname{e},$

$x$ $\left(0,\operatorname{e}\right)$ $\left(\operatorname{e},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$

Pro $x=\operatorname{e}$ má funkce $f(x)$ lokální maximum s funkční hodnotou $f\left(\operatorname{e}\right)=\frac{1}{\operatorname{e}}$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{-3+2\ln x}{x^3},\quad D(f'')=\left(0,\infty\right).$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2\ln x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},$

$x$ $\left(0,\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)$ $\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cup$

V bodě $x=\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}$ má funkce $f(x)$ inflexní bod. Platí $f\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{3}{2}\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ a směrnice tečny je rovna $f\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)=-\frac{1}{2\operatorname{e}^{3}}$ , což nám tentokrát náčrt grafu příliš neusnadní.
Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici $x=0$ . Určíme i asymptotu se směrnicí (pokud existuje - směr pro $x\to-\infty$ nemá smysl uvažovat), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{\ln x}{x}}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{2x}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=0.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=0$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 25. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 274.

Příklad č. 275» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{\ln x^2}{x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $x\not =0$ . Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Zjistíme limitní chování v bodě nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\dfrac{\ln x^2}{x}=-\infty,\quad \lim\limits_{x\to0^{-}}\dfrac{\ln x^2}{x}=+\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{\ln x^2}{-x}=-\dfrac{\ln x^2}{x}=-f(x),$
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \ln x^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=1 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm 1.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{2-\ln x^2}{x^2},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \ln x^2-2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=\operatorname{e}^2 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\operatorname{e},$

$x$ $\left(-\infty,-\operatorname{e}\right)$ $\left(-\operatorname{e},0\right)$ $\left(0,\operatorname{e}\right)$ $\left(\operatorname{e},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$ $+$ $-$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$ $\nearrow$ $\searrow$

Funkce $f(x)$ ma lokální minimum pro $x=-\operatorname{e}$ a lokální maximum pro $x=\operatorname{e}$ s funkčními hodnotami $f\left(-\operatorname{e}\right)=-\frac{2}{\operatorname{e}}$ a $f\left(\operatorname{e}\right)=\frac{2}{\operatorname{e}}$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{2\ln x^2-6}{x^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \ln x^2-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2=\operatorname{e}^3 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},$

$x$ $\left(-\infty,-\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)$ $\left(-\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},0\right)$ $\left(0,\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)$ $\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cup$ $\cap$ $\cup$

Funkce $f(x)$ má tři inflexní body pro $x=\pm \operatorname{e}^{\frac{3}{2}}$ a $x=0$ . Vypočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, proto $f\left(-\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)=-3\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ , $f'\left(-\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)=5\operatorname{e}^{3}$ , $f\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)=3\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ , $f'\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)=-\operatorname{e}^{-3}$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce má asymptotu bez směrnice o rovnici $x=0$ . Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{\ln x^2}{x}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\ln x^2}{x^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{2x}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\ln x^2}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{1}=0.$

Funkce $f(x)$ má i asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=0$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 26. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 275.

Příklad č. 276» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=x-\ln x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že $\ln x$ existuje. Proto máme
$D(f)=\left(0,\infty\right).$
Zjistíme limitní chování v levém krajním bodě definičního oboru, proto
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left(x-\ln x\right)=\infty$
Definiční obor není symetrický, proto funkce $f(x)$ nemůže být sudá ani lichá. Navíc, je zřejmé, že funkce není ani periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=\ln x.$
Pokud si vzpomenete na grafy elementárních funkcí, viz

je zřejmé, že funkce $f(x)$ nemá žádné průsečíky s osou $x$ , proto

$x$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$

$f$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=1-\dfrac{1}{x},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 1=\dfrac{1}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x=1,$

$x$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$

Určíme hodnotu lokálního minima, tj. $f\left(1\right)=1$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{1}{x^2},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$
Kritické body neexistují, určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.

$x$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$

$f$ $\cup$

Je tedy zřejmé, že funkce $f(x)$ nemá inflexní bod.
Z bodu ii) plyne, že funkce asymptotu bez směrnice o rovnici $x=0$ . Určíme i asymptotu se směrnicí (směr pro $x\to-\infty$ nemá smysl), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x-\ln x}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1-\frac{1}{x}}{1}=1,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x-\ln x-x\right)= \lim\limits_{x\to\infty}\ln x=\infty.$

Funkce $f(x)$ tedy nemá asymptotu se směrnicí.
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 27. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 276.

Příklad č. 277» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\ln\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}$

v intervalu $x\in[0,2\pi]$ .

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Základní rámec definičního oboru je již dán zadáním příkladu. Dále musí platit
$\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}>0 \text{ a současně } \sin x\not =1.$
Řešení druhé rovnice dostaneme ihned, tj. $x\not =\frac{\pi}{2}$ (stále platí $x\in[0,2\pi]$ ). První rovnici rozdělíme do dvou možností
$1+\sin x>0\ \wedge\ 1-\sin x>0$

nebo

$1+\sin x<0\ \wedge\ 1-\sin x<0,$

$\sin x>-1\ \wedge\ \sin x<1$

nebo

$\sin x<-1\ \wedge\ \sin x>1,$

$x\in\left[0,\dfrac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right]\ \wedge x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2},2\pi\right]$

nebo

soustava nemá řešení.
Tedy definiční obor zadané funkce je
$D(f)=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right].$
Určíme hodnoty v krajních bodech definičního oboru, tj. $f(0)=0$ a $f(2\pi)=0$ . Také zjistíme limitní chování v bodech nespojitosti, proto přímým výpočtem ihned dostaneme
$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\ln\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{2}}\ln\sqrt{\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}}=-\infty.$
Vzhledem k definičními oboru není funkce $f(x)$ sudá, lichá ani periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.

$f(x)=0$ $\Leftrightarrow \quad \dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 1+\sin x=1-\sin x\quad \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \quad 2\sin x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pi.$

Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ $\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $+$ $-$ $-$

$f$ $kladná$ $kladná$ $záporná$ $záporná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{1}{\cos x},\quad D(f')=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right].$
Stacionární body neexistují, nyní určíme intervaly monotonie, tj.

$x$ $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Zadaná funkce tedy nemá žádné lokální extrémy.
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x},\quad D(f'')=\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)\cup \left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right].$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \sin x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=0,\ x_2=\pi,\ x_3=2\pi.$

$x$ $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$ $\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $+$ $-$ $-$

$f$ $\cup$ $\cup$ $\cap$ $\cap$

Je zřejmé, že kritické body $x_1=0$ a $x_3=2\pi$ nemohou být inflexními body. Určíme funkční hodnotu a směrnici tečny v inflexním bodě $x=\pi$ , tj. $f\left(\pi\right)=0$ a $f'\left(\pi\right)=-1$
Z bodu ii) plyne, že funkce má dvě asymptoty bez směrnice o rovnicích $x=\frac{\pi}{2}$ a $x=\frac{3\pi}{2}$ . Poněvadž jsme na omezeném intervalu, nemá smysl uvažovat asymptoty se směrnicí.
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 28. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 277.

Příklad č. 278» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
$D(f)=\mathbb{R}.$
Funkce $f(x)$ je spojitá v celém definičním oboru.
Poněvadž platí
$f(-x)=-x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}=-f(x),$
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(1-x^2\right),\quad D(f')=\mathbb{R}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 1-x^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\pm1,$

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$ $-$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$ $\searrow$

Funkce $f(x)$ má lokální minimum pro $x=-1$ a lokální maximum $x=1$ s funkčními hodnotami $f(-1)=-\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}}$ a $f(1)=\operatorname{e}^{-\frac{1}{2}}$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}\left(x^2-3\right),\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x\left(x^2-3\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=0,\ x_2=-\sqrt{3},\ x_3=\sqrt{3}.$

$x$ $\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$ $\left(-\sqrt{3},0\right)$ $\left(0,\sqrt{3}\right)$ $\left(\sqrt{3},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cup$ $\cap$ $\cup$

Funkce $f(x)$ má tři inflexní body pro $x=\pm\sqrt{3}$ a pro $x=0$ . Určíme funkční hodnoty a směrnice tečen v inflexních bodech, proto $f\left(-\sqrt{3}\right)=-\sqrt{3}\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ , $f'\left(-\sqrt{3}\right)=-2\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ , $f\left(0\right)=0$ , $f'\left(0\right)=1$ , $f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ a $f'\left(\sqrt{3}\right)=-2\operatorname{e}^{-\frac{3}{2}}$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty se směrnicí. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}=0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}x\operatorname{e}^{-\frac{x^2}{2}}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{\operatorname{e}^{\frac{x^2}{2}}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x\operatorname{e}^{\frac{x^2}{2}}}=0.$

Funkce $f(x)$ má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=0$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 29. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 278.

Příklad č. 279» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=x-\operatorname{arctg} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
$D(f)=\mathbb{R}.$
Je zřejmé, že funkce $f(x)$ je spojitá v $\mathbb{R}$ .
Poněvadž platí
$f(-x)=-x-\operatorname{arctg}(-x)=-(x-\operatorname{arctg} x)=-f(x)$
je zadaná funkce lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určit průsečíky s osou $x$ není snadné, zřejmě
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0.$
Existence dalších nulových bodů můžeme vyloučit, neboť v bodě vi) ukážeme, že funkce je stále rostoucí. Proto obdržíme

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=1-\dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{x^2}{1+x^2},\quad D(f')=\mathbb{R}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\nearrow$

Funkce $f(x)$ tedy nemá lokální extrémy.
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{2x}{\left(1+x^2\right)^3},\quad D(f'')=\mathbb{R}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cup$

Funkce $f(x)$ má tedy inflexní bod pro $x=0$ . Z předchozího již víme, že $f(0)=0$ . V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, tj. $f'(0)=0$ , což znamená, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou $x$ .
Asymptoty bez směrnice neexistují, určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-\operatorname{arctg} x}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-\frac{1}{1+x^2}}{1}=1,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(x-\operatorname{arctg} x-x\right)= -\lim\limits_{x\to\pm\infty}\operatorname{arctg} x=\pm\dfrac{\pi}{2}.$

Funkce $f(x)$ má tedy dvě asymptoty se směrnicí. Pro $x\to -\infty$ je dána rovnicí $y=x+\frac{\pi}{2}$ a pro $x\to+\infty$ máme $y=x-\frac{\pi}{2}$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 30. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 279.

Příklad č. 280» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\operatorname{arccos}\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right).$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Protože pro všechna $x\in\mathbb{R}$ platí $-1\leq \frac{2x}{1+x^2}\leq1$ , tj. $0\leq(x+1)^2$ a $0\leq(x-1)^2$ , vyhovují funkčnímu předpisu všechna reálná čísla, tj.
$D(f)=\mathbb{R}.$
Funkce $f(x)$ je spojitá v celém definičním oboru.
Poněvadž platí
$f(-x)=\operatorname{arccos}\left(\dfrac{-2x}{1+x^2}\right)=\pi-\operatorname{arccos}\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right),$
(zde jsme využili vztah $\operatorname{arccos}(-x)=\pi-\operatorname{arccos} x$ ) není zadaná funkce lichá ani sudá (to zjistíme již z grafu elementární funkce $\operatorname{arccos} x$ ). Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{2x}{1+x^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \left(x-1\right)^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $+$

$f$ $kladná$ $kladná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{ \lvert x^2-1 \rvert \cdot\left(x^2+1\right)},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Vzhledem k definičnímu oboru $f'(x)$ nemáme žádné stacionární body, určíme intervaly monotonie, tj.

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Funkce $f(x)$ má lokální maximum pro $x=-1$ a lokální minimum $x=1$ s hodnotami $f\left(-1\right)=\pi$ a $f\left(1\right)=0$ . V těchto bodech není první derivace definována, proto zde má graf funkce $f(x)$ hrot.
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{-4x\left(x^2-1\right)}{ \lvert x^2-1 \rvert \cdot\left(x^2+1\right)^2},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{\pm 1\}.$
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
$f''(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 4x\left(x^2-1\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0,$

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,1\right)$ $\left(1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $-$ $+$ $-$

$f$ $\cup$ $\cap$ $\cup$ $\cap$

Funkce $f(x)$ má tři inflexní body pro $x=\pm 1$ a $x=0$ . Určíme potřebné funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. $f(-1)=\pi$ , $\lim_{x\to -1^{-}}f'(x)=1$ , $\lim_{x\to -1^{+}}f'(x)=-1$ , $f(0)=\frac{\pi}{2}$ , $f'(0)=-2$ , $f(1)=0$ , $\lim_{x\to 1^{-}}f'(x)=-1$ , $\lim_{x\to 1^{+}}f'(x)=1$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\operatorname{arccos}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\frac{\pi}{2}}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert =0,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\operatorname{arccos}\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)=\dfrac{\pi}{2}.$

Funkce $f(x)$ má tedy asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=\frac{\pi}{2}$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 31. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 280.

Příklad č. 281» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
$D(f)=\mathbb{R}.$
Je zřejmé, že funkce $f(x)$ je spojitá v $\mathbb{R}$ .
Poněvadž platí
$f(-x)=\sqrt[3]{2x^2+x^3}=-\sqrt[3]{-2x^2-x^3}$
není zadaná funkce ani sudá ani lichá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x^2\left(2-x\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=0,\ x_{2}=2.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,2\right)$ $\left(2,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $+$ $+$ $-$

$f$ $kladná$ $kladná$ $záporná$

Ze změny znamének je vidět, že v bodě $x=0$ je pouze bod dotyku osy $x$ nikoli její průsečík.
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{4x-3x^2}{3\sqrt[3]{\left(2x^2-x^3\right)^2}},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{0,2\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad x(4-3x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=0,\ x_2=\dfrac{4}{3},$

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,\frac{4}{3}\right)$ $\left(\frac{4}{3},2\right)$ $\left(2,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$ $-$ $-$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$ $\searrow$ $\searrow$

Funkce $f(x)$ má lokální minimum pro $x=0$ a lokální minimum pro $x=\frac{4}{3}$ s hodnotami $f\left(0\right)=0$ a $f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{3}\sqrt[3]{4}$ . Navíc, v bodě $x=0$ není první derivace definována, bude mít graf funkce v tomto bodě hrot.
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=-\dfrac{8}{9(2-x)\sqrt[3]{\left(2x^2-x^3\right)^2}},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{0,2\}.$
Druhá derivace nemá nulový bod, určíme tedy intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.

$x$ $\left(-\infty,0\right)$ $\left(0,2\right)$ $\left(2,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cap$ $\cup$

V bodě $x=2$ má funkce $f(x)$ inflexní body. Z předchozího již víme, že $f(2)=0$ . V inflexním bodě určíme ještě směrnici tečny, ovšem $f'(2)$ neexistuje. Z výpočtu $\lim_{x\to 2}f'(x)=-\infty$ plyne, že tečna je v tomto bodě rovnoběžná s osou $y$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sqrt[3]{2x^2-x^3}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{\dfrac{2x^2-x^3}{x^3}}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{\dfrac{\frac{2}{x}-1}{1}}=-1,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x\right) \left\bracevert\begin{matrix} -\infty+\infty \end{matrix}\right\bracevert =$

$= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(x\sqrt[3]{\dfrac{2}{x}-1}+x\right)=$

$= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{1}{\frac{1}{x\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}}}+ \dfrac{1}{\frac{1}{x}}\right)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}}}} {\frac{1}{x\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}}} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{0}{0} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=}$

$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{2}{3\left(\frac{2}{x}-1\right)^{\frac{4}{3}}x^2}} {-\frac{1}{x^2\left(\frac{2}{x}-1\right)^{\frac{1}{3}}}+ \frac{2}{3x^3\left(\frac{2}{x}-1\right)^{\frac{4}{3}}}}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{-4+3x}=\dfrac{2}{3}.$

Funkce $f(x)$ má asymptotu se směrnicí, která je dána rovnicí $y=-x+\frac{2}{3}$ .
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 32. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 281.

Příklad č. 282» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=2(x+1)-3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla, tj.
$D(f)=\mathbb{R}.$
Zadaná funkce je spojitá v $\mathbb{R}$ .
Poněvadž platí
$f(-x)=2(-x+1)-3\sqrt[3]{(-x+1)^2}$
není zadaná funkce lichá ani sudá. Je zřejmé, že funkce nemůže být periodická.
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.

$f(x)=0$ $\Leftrightarrow \quad 2(x+1)-3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad 8(x+1)^3=27(x+1)^2$

$\Leftrightarrow \quad x_1=-1,\ x_2=\dfrac{19}{8}.$

Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,\frac{19}{8}\right)$ $\left(\frac{19}{8},\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $záporná$ $kladná$

Je tedy vidět, že v bodě $x=-1$ je pouze bod dotyku grafu funkce $f(x)$ a osy $x$ .
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=2-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x+1}},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\{ -1\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
$f'(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad 2-\dfrac{2}{\sqrt[3]{x+1}}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x+1=1 \quad \Leftrightarrow \quad x=0.$

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,0\right)$ $\left(0,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Funkce $f(x)$ má lokální maximum pro $x=-1$ a lokální minimum pro $x=0$ s hodnotami $f(-1)=0$ a $f(0)-1$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^4}},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\{ -1\}.$
Je vidět, že kritické body neexistují. Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.

$x$ $\left(-\infty,-1\right)$ $\left(-1,\infty\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $+$ $+$

$f$ $\cup$ $\cup$

Funkce $f(x)$ tedy nemá inflexní bod.
Z bodu ii) plyne, že funkce nemá asymptoty bez směrnice. Určíme nyní asymptoty se směrnicí (pokud existují), proto

$a$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2(x+1)-3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2-\frac{2}{\sqrt[3]{x+1}}}{1}=2,$

$b$ $=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(2(x+1)-3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}-2x\right)=$

$= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(2-3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}\right)=-\infty.$

Tedy funkce $f(x)$ nemá ani asymptoty se směrnicí.
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 33. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 282.

Příklad č. 283» Zobrazit zadání «

Vyšetřete průběh funkce

$f(x)=\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Budeme postupovat dle návodu popsaného v úvodní části této kapitoly.

Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že
$\cos 2x\not =0\quad \Leftrightarrow \quad 2x\not =\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad x\not =\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z}.$
Proto máme
$D(f)=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\right\}.$
Spočítáme limitní chování v bodech nespojitosti (budeme uvažovat pouze interval $\left[-\pi,\pi\right]$

$\lim\limits_{x\to-\frac{3\pi}{4}^{-}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=-\infty,$ $\lim\limits_{x\to-\frac{3\pi}{4}^{+}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=+\infty,$

$\lim\limits_{x\to-\frac{\pi}{4}^{-}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=-\infty,$ $\lim\limits_{x\to-\frac{\pi}{4}^{+}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=+\infty,$

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}^{-}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=+\infty,$ $\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}^{+}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=-\infty,$

$\lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{4}^{-}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=+\infty,$ $\lim\limits_{x\to\frac{3\pi}{4}^{+}}\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=-\infty.$
Poněvadž platí
$f(-x)=\dfrac{\cos (-x)}{\cos(-2x)}=\dfrac{\cos x}{\cos(2x)}=f(x),$
je zadaná funkce sudá. Funkce $\cos x$ je periodická s periodou $2\pi$ a funkce $\cos(2x)$ je periodická s periodou $\pi$ . Proto zadaná funkce $f(x)$ je periodická s periodou $2\pi$ . Při vyšetřování funkce se tudíž omezíme na libovolný interval délky $2\pi$ , my zvolíme interval $\left[-\pi,\pi\right]$
Určíme průsečíky s osou $x$ , tj.
$f(x)=0\quad \Leftrightarrow \quad \cos x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=-\dfrac{\pi}{2},\ x_2=\dfrac{\pi}{2}.$
Nyní získáme intervaly, kde je funkce $f(x)$ kladná a záporná, proto

$x$ $\left(-\pi,-\frac{3\pi}{4}\right)$ $\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $záporná$ $kladná$ $záporná$ $kladná$

$x$ $\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ $\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$

$\operatorname{sgn} f$ $-$ $+$ $-$

$f$ $záporná$ $kladná$ $záporná$
Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
$f'(x)=\dfrac{\left(2\cos^2 x+1\right)\sin x}{\cos(2x)},\quad D(f')=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\right\}.$
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.

$f'(x)=0$ $\quad\Leftrightarrow \quad \left(2\cos^2 x+1\right)\sin x=0$

$\quad\Leftrightarrow \quad \sin x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_{1}=-\pi,\ x_2=0,\ x_3=\pi$

$x$ $\left(...,-\pi\right)$ $\left(-\pi,-\frac{3\pi}{4}\right)$ $\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4},0\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $-$ $+$ $-$ $-$ $-$

$f$ $\searrow$ $\nearrow$ $\searrow$ $\searrow$ $\searrow$

$x$ $\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ $\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ $\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$ $\left(\pi,...\right)$

$\operatorname{sgn} f'$ $+$ $+$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\nearrow$ $\nearrow$ $\nearrow$ $\searrow$ $\nearrow$

Funkce $f(x)$ má tedy v intervalu $[-\pi,\pi]$ lokální minima pro $x=\pm \pi$ a lokální maximum pro $x=0$ s hodnotami $f\left(-\pi\right)=-1$ , $f\left(0\right)=1$ , $f\left(\pi\right)=-1$ .
Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
$f''(x)=\dfrac{\left(11-4\cos^4 x-4\cos^2 x\right)\cos x}{\cos^3 2x},\quad D(f'')=\mathbb{R}\setminus\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\right\}.$
Vypočítáme kritické body a

$f''(x)=0$ $\quad\Leftrightarrow \quad \left(11-4\cos^4 x-4\cos^2 x\right)\cos x=0$

$\quad\Leftrightarrow \quad \cos x=0 \quad \Leftrightarrow \quad x_1=-\dfrac{\pi}{2},\ x_2=\dfrac{\pi}{2}.$

Rovnice $11-4\cos^4 x-4\cos^2 x=0$ nemá řešení, protože při použití substituce $y=\cos^2 x$ , dostaneme rovnici $11-4y^2-4y=0$ s řešením $y_1=-\frac{1}{2}-\sqrt{3}<0$ a $y_2=-\frac{1}{2}+\sqrt{3}>1$ , tedy řešení původní rovnice neexistuje (stejný výsledek dostaneme bez počítání s využitím faktu $-1\leq\cos x\leq1$ , potom totiž dostaneme $11-4\cos^4 x-4\cos^2 x\geq 3$ ). Nyní určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.

$x$ $\left(...,-\pi\right)$ $\left(-\pi,-\frac{3\pi}{4}\right)$ $\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{4}\right)$ $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $-$ $+$ $-$ $+$

$f$ $\cap$ $\cap$ $\cup$ $\cap$ $\cup$

$x$ $\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)$ $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ $\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)$ $\left(\pi,...\right)$

$\operatorname{sgn} f''$ $-$ $+$ $-$ $-$

$f$ $\cap$ $\cup$ $\cap$ $\cap$

Funkce $f(x)$ má proto v intervalu $[-\pi,\pi]$ dva inflexní body pro $x=\pm\frac{\pi}{2}$ . V inflexních bodech dopočítáme funkční hodnoty a směrnice tečen, tj. $f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$ $f'\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$ $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,$ $f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ .
Z bodu ii) plyne, že funkce má čtyři asymptoty bez směrnice o rovnicích $x=-\frac{3\pi}{4}$ , $x=-\frac{\pi}{4}$ , $x=\frac{\pi}{4}$ a $x=\frac{3\pi}{4}$ . Vzhledem k periodičnosti funkce $f(x)$ nemají asymptoty se směrnicí smysl.
Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme graf funkce

Obrázek 34. Graf funkce $f(x)$ z Příkladu 283.

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

	$\lim\limits_{x\to1^{+}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{+}}\left(\dfrac{x^3}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =+\infty,$
	$\lim\limits_{x\to1^{-}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}\left(\dfrac{x^3}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =-\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-1^{+}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=+\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-1^{-}}\dfrac{x^3}{x^2-1}=-\infty.$

$x$	$\left(-\infty,-1\right)$	$\left(-1,0\right)$	$\left(0,1\right)$	$\left(1,\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f$	$-$	$+$	$-$	$+$
$f$	$záporná$	$kladná$	$záporná$	$kladná$

$x$	$\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$	$\left(-\sqrt{3},-1\right)$	$\left(-1,0\right)$	$\left(0,1\right)$	$\left(1,\sqrt{3}\right)$	$\left(\sqrt{3},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f$	$\nearrow$	$\searrow$	$\searrow$	$\searrow$	$\searrow$	$\nearrow$

	$\lim\limits_{x\to-1^{+}}-\dfrac{x^2}{x+1}=-\lim\limits_{x\to-1^{+}}\dfrac{x^2}{x+1} =-(+\infty)=-\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-1^{-}}-\dfrac{x^2}{x+1}=\lim\limits_{x\to-1^{-}}-\dfrac{x^2}{x+1} =-(-\infty)=\infty.$

$x$	$(-\infty,-1)$	$(-1,0)$	$(0,\infty)$
$\operatorname{sgn} f$	$+$	$-$	$-$
$f$	$kladná$	$záporná$	$záporná$

$x$	$(-\infty,-2)$	$(-2,-1)$	$(-1,0)$	$(0,\infty)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$	$+$	$-$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\searrow$

$f''(x)$	$=\dfrac{-2x-2}{(x+1)^4} = \dfrac{-2}{(x+1)^3},$
$D(f'')$	$=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty} = -\dfrac{x^2}{x^2+x} = -1,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}-\dfrac{x^2}{x+1}+x= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{x+1}=1.$

$\lim\limits_{x\to0^{+}}$	$\dfrac{1}{x} + \ln x \left\bracevert\begin{matrix} \infty-\infty \end{matrix}\right\bracevert = \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{1+x\ln x}{x}$
	$\left\bracevert\begin{matrix} \lim\limits_{x\to0^{+}}x\ln x = \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{\ln x}{\frac{1}{x}} \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim\limits_{x\to0^{+}} -x = 0 \\ \Rightarrow \lim\limits_{x\to0^{+}} \dfrac{1+x\ln x}{x} = \dfrac{1+0}{0} \end{matrix}\right\bracevert =\infty.$

$\hspace{7mm}f(x)$	$=0,$
$\dfrac{1}{x} + \ln x$	$= 0,$
$\hspace{8mm}\ln x$	$= -\dfrac{1}{x},$
$\hspace{6mm}\ln x^x$	$= -1,$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x^3}{x^2-1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1-\frac{1}{x^2}}=1,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x^3}{x^2-1}-x\right)= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-x^3+x}{x^2-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}=0.$

$x$	$(0,1)$	$(1,\infty)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$

$f''(x)$	$=\dfrac{-x^2+2x}{x^4} = \dfrac{2-x}{x^3},$
$D(f'')$	$=\mathbb{R}\setminus\{0\}.$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\frac{1}{x} + \ln x}{x} = \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1 + x\ln x}{x^2} = \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert$
	$\overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1 + \ln x}{2x} = \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{2x} = 0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{1}{x} + \ln x = \infty,$

$x$	$\left(-\infty,0\right)$	$\left(0,\frac{1}{2}\right)$	$\left(\frac{1}{2},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f$	$+$	$+$	$-$
$f$	$kladná$	$kladná$	$záporná$

$x$	$\left(-\infty,0\right)$	$\left(0,\frac{3}{2}\right)$	$\left(\frac{3}{2},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$+$	$+$	$-$
$f$	$\cup$	$\cup$	$\cap$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1-2x}{3x^2}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-2x}{3x^3}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^2}}{3}=0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-2x}{3x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}}{3}=0.$

$x$	$\left(-\infty,-1\right)$	$\left(-1,1\right)$	$\left(1,\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f$	$+$	$-$	$+$
$f$	$kladná$	$záporná$	$kladná$

$x$	$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$	$\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$	$\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$-$	$+$	$-$
$f$	$\cap$	$\cup$	$\cap$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x^2-1}{x^2+1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-1}{x^3+x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^2}}=0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2-1}{x^2+1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=1.$

	$\lim\limits_{x\to1^{+}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{+}}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =+\infty,$
	$\lim\limits_{x\to1^{-}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=\lim\limits_{x\to1^{-}}\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\cdot\dfrac{1}{x-1}\right) =-\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-1^{+}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=-\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-1^{-}}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=+\infty.$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x^2+1}{x^2-1}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{x^3-x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}{1-\frac{1}{x^2}}=0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2-1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1.$

	$\lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}}\dfrac{x}{3-x^2}= \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{+}}\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}+x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}-x}\right) =-\infty,$
	$\lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{-}}\dfrac{x}{3-x^2}= \lim\limits_{x\to\sqrt{3}^{-}}\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}+x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{3}-x}\right) =+\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-\sqrt{3}^{+}}\dfrac{x}{3-x^2}=-\infty,$
	$\lim\limits_{x\to-\sqrt{3}^{-}}\dfrac{x}{3-x^2}=+\infty.$

$x$	$\left(-\infty,-\sqrt{3}\right)$	$\left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$	$\left(\sqrt{3},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$+$	$+$	$+$
$f$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\nearrow$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{x}{3-x^2}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{3x-x^3}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{3}{x^2}-1}=0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x}{3-x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{3}{x}-1}=0.$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2+1}{2x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{2}=\dfrac{1}{2},$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-\dfrac{x}{2}\right]= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{2x}=0.$

$x$	$\left(0,\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)$	$\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$-$	$+$
$f$	$\cap$	$\cup$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{\ln x}{x}}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{2x}=0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\frac{1}{x}}{1}=0.$

$x$	$\left(-\infty,-\operatorname{e}\right)$	$\left(-\operatorname{e},0\right)$	$\left(0,\operatorname{e}\right)$	$\left(\operatorname{e},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f'$	$-$	$+$	$+$	$-$
$f$	$\searrow$	$\nearrow$	$\nearrow$	$\searrow$

$x$	$\left(-\infty,-\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)$	$\left(-\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},0\right)$	$\left(0,\operatorname{e}^{\frac{3}{2}}\right)$	$\left(\operatorname{e}^{\frac{3}{2}},\infty\right)$
$\operatorname{sgn} f''$	$-$	$+$	$-$	$+$
$f$	$\cap$	$\cup$	$\cap$	$\cup$

$a$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{\ln x^2}{x}}{x}= \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\ln x^2}{x^2} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{2x}=0,$
$b$	$=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\ln x^2}{x} \left\bracevert\begin{matrix} \dfrac{\infty}{\infty} \end{matrix}\right\bracevert \overset{\text{l'H.p.}}{=} \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{1}=0.$