Přechod na menu, Přechod na obsah, Přechod na patičku

Sbírka řešených příkladů z matematické analýzy I
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity
Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D.

Ovládání příkladů

Rozbalit zadání Rozbalit řešení Rozbalit vše

Zpět nahoru

II. 3. Speciální integrační metody

Integrály typu
$\displaystyle\int f\left(x,\sqrt[\uproot{4} r_1]{x},\sqrt[\uproot{4} r_2]{x},\ldots,\sqrt[\uproot{4} r_k]{x}\right)\,\mathrm{d}x,$
tj. integrály obsahující proměnnou $x$ pod odmocninou, kde $k\in\mathbb{N}$ a $r_1\geq2,\ldots,r_k\geq2$ jsou přirozená čísla, řešíme substitucí $t^n=x$ , kde $n$ je nejmenší společný násobek čísel $r_1,\ldots,r_k$ . Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
Integrály typu
$\displaystyle\int f\left(x,\sqrt[r]{ax+b}\right)\,\mathrm{d}x,$
$r\in\mathbb{N}$ , $r\geq2$ , $a,b\in\mathbb{R}$ , řešíme substitucí $t^r=ax+b$ . Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
Integrály typu
$\displaystyle\int f\left(x,\sqrt[r]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\right)\,\mathrm{d}x,$
kde $r\in\mathbb{N}$ , $r\geq2$ , $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ a $ad-bc\not =0$ , řešíme substitucí $t^r=\frac{ax+b}{cx+d}$ . Pomocí této substituce převedeme původní integrál na integrál z racionální lomené funkce.
Integrály typu
$\displaystyle\int f\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\,\mathrm{d}x,$
kde , tj. kvadratický polynom nemá dvojnásobný reálný kořen, řešíme pomocí tzv. Eulerovy substituce. Existuje několik variant těchto substitucí, zde uvedeme některé z nich:
1. jestliže $a>0$ a kvadratický polynom má dva reálné kořeny $x_1<x_2$ , obdržíme
  $\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{(x-x_1)^2\dfrac{x-x_2}{x-x_1}}=\\ \hspace*{26mm}=\sqrt{a}\cdot\left|x-x_1\right|\sqrt{\dfrac{x-x_2}{x-x_1}},$
  což s použitím substituce $t^2=\frac{x-x_2}{x-x_1}$ převedeme na integrál z racionální lomené funkce;
2. jestliže $a<0$ a kvadratický polynom má dva reálné kořeny $x_1<x_2$ , obdržíme
  $\hspace*{05mm}\sqrt{ax^2+bx+c}=\sqrt{-a}\cdot\sqrt{(x-x_1)^2\dfrac{x_2-x}{x-x_1}}=\\ \hspace*{31mm}=\sqrt{-a}\cdot\left(x-x_1\right)\sqrt{\dfrac{x_2-x}{x-x_1}},$
  což s použitím substituce $t^2=\frac{x_2-x}{x-x_1}$ převedeme na integrál z racionální lomené funkce;
3. jestliže $a>0$ a kvadratický polynom má dva reálné kořeny $x_1<x_2$ nebo jestliže kvadratický polynom nemá reálné kořeny, můžeme použít substituci
  $\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm\sqrt{a}\cdot x\pm t,$
  přičemž volba konkrétních znamének je zcela libovolná, čímž obdržíme integrál z racionální lomené funkce;
4. jestliže $c\geq 0$ , můžeme zavést substituci
  $\sqrt{ax^2+bx+c}=\pm x\cdot t\pm\sqrt{c},$
  s jejíž pomocí převedeme integrál na integrál z racionální lomené funkce.
Integrály typu
$\displaystyle\int x^m(a+bx^n)^p \mathrm{d}x, \qquad m, n, p \in \mathbb{Q},$
tedy tzv. binomický integrál, řešíme jednou z následujících substitucí
1. jestliže $p \in \mathbb{Z}$ , volíme substituci $x=t^s$ , kde $s$ je společný jmenovatel $m$ a $n$ ;
2. jestliže $\tfrac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}$ , volíme substituci $a+bx^n = t^s$ , kde $s$ je jmenovatel $p$ ;
3. jestliže $\tfrac{m+1}{n}+p \in \mathbb{Z}$ , volíme substituci $ax^{-n}+b = t^s$ , kde $s$ je jmenovatel $p$ .
Integrály typu
$\displaystyle\int \sin^n x\cdot \cos^m x\,\mathrm{d}x,$
kde řešíme pomocí substituce
1. $t=\sin x$ , jestliže $m$ je liché a $n$ sudé nebo nula;
2. $t=\cos x$ , jestliže $n$ je liché a $m$ sudé nebo nula;
3. $t=\cos x$ nebo $t=\sin x$ , jestliže $m$ a $n$ jsou lichá čísla;
4. jestliže $m$ i $n$ jsou sudá čísla, případně některé z nich nula, upravíme výraz pomocí vzorců $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ a $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ . Dále pokračujeme dle získaného výsledku krokem i)-iv).
Integrály typu
$\displaystyle\int R\left(\sin x,\cos x\right)\mathrm{d}x,$
řešíme pomocí substituce
1. jestliže $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ , volíme substituci $t=\sin x$ ;
2. jestliže $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ , volíme substituci $t=\cos x$ ;
3. jestliže $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ , volíme substituci $t=\operatorname{tg} x$ ;
4. jestliže nenastane ani jedna z předchozích možností, použijeme k řešení tzv. univerzální substituci:
  $t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\quad \Rightarrow\quad x=2\operatorname{arctg} x\quad\text{a}\quad \mathrm{d}x=\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t.$
  Potom z obrázku
  
  získáme identity
  $\hspace*{10mm}\sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}\quad\text{a}\quad\cos\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}\quad\Rightarrow\quad\vspace{2mm} \\ \hspace*{14,6mm}\quad\Rightarrow\quad \sin x =\dfrac{2t}{1+t^2} \quad \text{a}\quad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}.$

Příklad č. 363» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{x^2+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{x^2+\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^2=x\\ 2t\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{t^4+t+1}{t^2+t} \, 2t\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=2\displaystyle\int\dfrac{t^4+t+1}{t+1}\,\mathrm{d} t=2\displaystyle\int\left(t^3-t^2+t+\dfrac{1}{t+1}\right) \mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 2\left(\dfrac{t^4}{4}-\dfrac{t^3}{3}+\dfrac{t^2}{2}+\ln \lvert t+1 \rvert \right)+C= \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2\sqrt{x^3}}{3}+x+\ln \lvert \sqrt{x}+1 \rvert +C.$

Příklad č. 364» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1+\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{1+\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{x+\sqrt[6]{x^5}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^6=x\\ 6t^5\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int \dfrac{1+t^3-t^2}{t^6+t^5}\, 6t^5\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=6\displaystyle\int \dfrac{1-t^2+t^3}{t+1}\,\mathrm{d} t=6\displaystyle\int\left(t^2-2t+2-\dfrac{1}{t+1}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 6\left(\dfrac{t^3}{3}-t^2+2t-\ln \lvert t+1 \rvert \right)+C=$
	$\hspace{5mm}= 2\sqrt{x}-6\sqrt[3]{x}+12\sqrt[6]{x}-6\ln \lvert \sqrt[6]{x}+1 \rvert +C.$

Příklad č. 365» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}-1}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}-1}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^2=x+1\\ 2t\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{t+1}{t-1}\,2t\,\mathrm{d} t=2\displaystyle\int\dfrac{t(t+1)}{t-1}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=2\displaystyle\int\left(t+2+\dfrac{2}{t-1}\right)\mathrm{d} t=2\left(\dfrac{t^2}{2}+2t+2\ln \lvert t-1 \rvert \right)+C=$
	$\hspace{5mm}=x+1+4\sqrt{x+1}+4\ln \lvert \sqrt{x+1}-1 \rvert +C.$

Příklad č. 366» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^2=\dfrac{x+1}{x-1} \vspace{2mm}\\ x=\dfrac{1+t^2}{t^2-1}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=-\dfrac{4t}{(t^2-1)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{t^2-1}{t^2+1}t\dfrac{-4t}{(t^2-1)^2}\, \mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{-4t^2}{(t^2+1)(t^2-1)}\, \mathrm{d} t=\displaystyle\int\left(-\dfrac{1}{t-1}+\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{2}{t^2+1}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= -\ln \lvert t-1 \rvert +\ln \lvert t+1 \rvert -2\operatorname{arctg} t+C=$
	$\hspace{5mm}= -\ln \biggl \lvert \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}-1 \biggr \rvert +\ln \biggl\lvert \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+1 \biggr \rvert -2\operatorname{arctg} \sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+C=$
	$\hspace{5mm}= 2\ln(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})-2\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+C.$

Příklad č. 367» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2})}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2})} \left\bracevert\begin{matrix} t^{10}=x\\ 10t^{9}\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{10t^9}{t^{10}(t^{5}+t^{4})}\,\mathrm{d} t=10\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{t^{6}+t^{5}}=$
	$\hspace{5mm}= 10\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{3}}-\dfrac{1}{t^{4}}+\dfrac{1}{t^{5}}-\dfrac{1}{t+1}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 10\left(\ln \lvert t \rvert +\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2t^{2}}+\dfrac{1}{3t^{3}}-\dfrac{1}{4t^{4}}-\ln \lvert t+1 \rvert \right)+C=$
	$\hspace{5mm}= \ln\cfrac{x}{(\sqrt[10]{x}+1)^{10}}+\cfrac{10}{\sqrt[10]{x}}-\cfrac{5}{\sqrt[5]{x}}+\cfrac{10}{3\sqrt[10]{x^3}}-\cfrac{5}{2\sqrt[5]{x^2}}+C.$

Příklad č. 368» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{x+1}{\sqrt[3]{3x+1}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^{3}=3x+1 \vspace{2mm}\\ x=\dfrac{t^{3}-1}{3}\vspace{2mm}\\ 3\,\mathrm{d} x=3t^{2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{\frac{t^{3}-1}{3}+1}{t}t^{2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\dfrac{t^{3}-1+3}{3}t\,\mathrm{d} t= \dfrac{1}{3}\displaystyle\int\left(t^4+2t\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{t^{5}}{5}+t^{2}\right)+C=\dfrac{t^2}{3}\left(\dfrac{t^{3}}{5}+1\right)+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{\sqrt[3]{(x+1)^2}}{3}\left(\dfrac{3x+1}{5}+1\right)+C= \sqrt[3]{(3x+1)^2}\cdot\cfrac{x+2}{5}+C.$

Příklad č. 369» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{1-\sqrt{x+1}}{1+\sqrt[3]{x+1}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^{6}=x+1\\ 6t^{5}\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{1-t^{3}}{1+t^{2}}\, 6t^{5}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 6\displaystyle\int\left(-t^{6}+t^{4}+t^{3}-t^{2}-t+1+\dfrac{t-1}{1+t^2}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= -\dfrac{6t^{7}}{7}+\dfrac{6t^{5}}{5}+\dfrac{6t^{4}}{4}-\dfrac{6t^{3}}{3}-\dfrac{6t^{2}}{2}+6t+6\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{2t}{1+t^2}-\dfrac{1}{1+t^2}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= -\dfrac{6t^{7}}{7}+\dfrac{6t^{5}}{5}+\dfrac{3t^{4}}{2}-2t^{3}-3t^{2}+6t+3\ln \lvert 1+t^2 \rvert -6\operatorname{arctg} t+C=$
	$\hspace{5mm}= -\dfrac{6}{7}\sqrt[6]{(x+1)^7}+\dfrac{6}{5}\sqrt[6]{(x+1)^5}+\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^2}-2\sqrt{x+1}-3\sqrt[3]{x+1}+$
	$\hspace{20mm}+6\sqrt[6]{x+1}+3\ln \lvert 1+\sqrt[3]{x+1} \rvert -6\operatorname{arctg}\sqrt[6]{x+1}+C.$

Příklad č. 370» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\sqrt{\dfrac{1+x}{x}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2}\sqrt{\dfrac{1+x}{x}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^2=\dfrac{1+x}{x} \vspace{2mm}\\ x=\dfrac{1}{t^2-1}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=-\dfrac{2t}{(t^2-1)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int(t^2-1)^2\,t\,\dfrac{-2t}{(t^2-1)^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= -\displaystyle\int2t^2\,\mathrm{d} t=-\dfrac{2t^3}{3}+C=-\dfrac{2}{3}\sqrt{\left(\dfrac{1+x}{x}\right)^3}+C.$

Příklad č. 371» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{(x+2)^2}-3\sqrt[3]{x+2}-4}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt[3]{(x+2)^2}-3\sqrt[3]{x+2}-4} \left\bracevert\begin{matrix} t^3=x+2\\ 3t^2\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{3t^2}{t^2-3t-4}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{3mm}= \displaystyle\int\left(3-\dfrac{3}{5(t+1)}+\dfrac{48}{5(t-4)}\right)\mathrm{d} t= 3t-\dfrac{3}{5}\ln \lvert t+1 \rvert +\dfrac{48}{5}\ln \lvert t-4 \rvert +C=$
	$\hspace{3mm}= 3\sqrt[3]{x+2}-\dfrac{3}{5}\ln \lvert \sqrt[3]{x+2}+1 \rvert +\dfrac{48}{5}\ln \lvert \sqrt[3]{x+2}-4 \rvert +C.$

Příklad č. 372» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\cdot\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\, \mathrm{d}x=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{x}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^2=x\ 2t\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{1+t}2t\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 2\displaystyle\int\dfrac{(1+t)\sqrt{1-t^2}-\sqrt{1-t^2}}{1+t}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 2\displaystyle\int\left(\sqrt{1-t^2}-\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{1+t}\right)\mathrm{d} t\overset{\text{Př. }(345)}{=}$
	$\hspace{5mm}= t\,\sqrt{1-t^2}+\operatorname{arcsin} t-2\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{1-t^2}}{1+t}\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} t=\sin u\\ \operatorname{arcsin} t=u\\ \dfrac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} u \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= t\,\sqrt{1-t^2}+\operatorname{arcsin} t-2\displaystyle\int\dfrac{1-\sin^2 u}{1+\sin u}\,\mathrm{d} u=$
	$\hspace{5mm}= t\,\sqrt{1-t^2}+\operatorname{arcsin} t-2\displaystyle\int\left(1-\sin u\right)\,\mathrm{d} u=$
	$\hspace{5mm}= t\,\sqrt{1-t^2}+\operatorname{arcsin} t-2u-2\cos u+C=$
	$\hspace{5mm}= t\,\sqrt{1-t^2}+\operatorname{arcsin} t-2u-2\sqrt{1-\sin^2 u}+C=$
	$\hspace{5mm}= \sqrt{x}\,\sqrt{1-x}+\operatorname{arcsin} \sqrt{x}-2\operatorname{arcsin}\sqrt{x}-2\sqrt{1-x}+C=$
	$\hspace{5mm}= \left(\sqrt{x}-2\right)\sqrt{1-x}-\operatorname{arcsin}\sqrt{x}+C.$

Příklad č. 373» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t^{2}=x+1\\ t^{2}-2=x-1\\ 2t\,\mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =2\displaystyle\int\dfrac{t-\sqrt{t^{2}-2}}{t+\sqrt{t^{2}}-2}\,t\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 2\displaystyle\int\dfrac{t-\sqrt{t^{2}-2}}{t+\sqrt{t^{2}}-2}\,t\,\dfrac{\sqrt{t^{2}-2}}{t-\sqrt{t^{2}-2}}\, \dfrac{t-\sqrt{t^{2}-2}}{\sqrt{t^{2}-2}}\,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm}= 2\displaystyle\int\dfrac{\left(t-\sqrt{t^{2}-2}\right)t\sqrt{t^{2}-2}}{2}\,\dfrac{t-\sqrt{t^{2}-2}}{\sqrt{t^{2}-2}}\, \mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=\sqrt{t^{2}-2}-t\\ -\dfrac{u^{2}+2}{2u}=t\\ \mathrm{d} u=\dfrac{t-\sqrt{t^{2}-2}}{\sqrt{t^{2}-2}} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(-u\left(-\dfrac{u^{2}+2}{2u}\right)\left(u-\dfrac{u^{2}+2}{2u}\right)\right)\mathrm{d} u=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{u^{2}+2}{2}\,\dfrac{u^{2}-2}{2u}\,\mathrm{d} u=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{4}u^{3}-\dfrac{1}{u}\right)\mathrm{d} u=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{4}\dfrac{u^{4}}{4}-\ln \lvert u \rvert +C= \dfrac{1}{16}\left(\sqrt{t^{2}-2}-t\right)^{4}-\ln \lvert \sqrt{t^{2}-2}-t \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{16}\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}\right)^{4}-\ln \lvert \sqrt{x-1}-\sqrt{x+1} \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{16}\bigg(\left(x-1\right)^{2}-4\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}}\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}+6\left(x-1\right) \left(x+1\right)-$
	$\hspace{10mm}-4\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}+\left(x+1\right)^{2}\bigg)- \ln \lvert \sqrt{x-1}-\sqrt{x+1} \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{16}\bigg(x^{2}-2x+1-4\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}}\left(x+1\right)^{\frac{1}{2}}+6\left(x^{2}-1\right) -$
	$\hspace{10mm}-4\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)^{\frac{3}{2}}+x^{2}+2x+1\bigg)- \ln \lvert \sqrt{x-1}-\sqrt{x+1} \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x\,\sqrt{x^2-1}-\ln \lvert \sqrt{x-1}-\sqrt{x+1} \rvert -\dfrac{1}{4}+C.$

Příklad č. 374» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{-x^2+x+2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{-x^2+x+2}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom} -x^2+x+2~\text{má reálné kořeny}~2,-1 \end{matrix}\right \bracevert =$
	$\hspace{2mm}= \displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} x}{1+(x+1)\sqrt{\frac{2-x}{x+1}}} \left\bracevert\begin{matrix} t^{2}=\dfrac{2-x}{x+1}\vspace{2mm}\\ x=\dfrac{2-t^{2}}{t^{2}+1}\vspace{2mm}\\ x+1=\dfrac{3}{t^{2}+1}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{-6t}{(t^2+1)^2}\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\dfrac{\frac{-6t}{(t^{2}+1)^2}}{1+\frac{3}{t^{2}+1}\,t}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{2mm}= \displaystyle\int\dfrac{-6t}{(t^{2}+1)^{2}}\,\dfrac{t^{2}+1}{t^{2}+3t+1}\,\mathrm{d} t= -6\displaystyle\int\dfrac{t}{(t^{2}+1)(t^{2}+3t+1)}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{2mm}=\displaystyle\int\left(-\dfrac{4}{5}\dfrac{\sqrt{5}}{2t+3+\sqrt{5}}-\dfrac{2}{t^{2}+1}-\dfrac{4}{5}\dfrac{\sqrt{5}}{-2t-3+\sqrt{5}}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{2mm}= -\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\dfrac{1}{2}\ln \bigl\lvert 2t+3+\sqrt{5} \bigr\rvert -2\operatorname{arctg} t-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\left(-\dfrac{1}{2}\right)\ln \bigl \lvert -2t-3+\sqrt{5} \bigr \rvert +C=$
	$\hspace{2mm}= -\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\ln \Biggl\lvert 2\sqrt{\dfrac{2-x}{x+1}}+3+\sqrt{5} \Biggr\rvert +\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\ln \Biggl\lvert -2\sqrt{\dfrac{2-x}{x+1}}-3+\sqrt{5} \Biggr\rvert -$
	$\hspace{5mm}-2\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{2-x}{x+1}}+C.$

Příklad č. 375» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x-1)\sqrt{x^2+x+1}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x-1)\sqrt{x^2+x+1}}\left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom}~x^2+x+1~\text{nemá reálné kořeny} \vspace{2mm}\\ \sqrt{x^2+x+1}=x+t \vspace{2mm}\\ x=\dfrac{1-t^2}{2t-1}\vspace{2mm}\\ x-1=-\dfrac{t^2+2t-2}{2t-1}\vspace{2mm}\\ x+t=\dfrac{t^2-t+1}{2t-1}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{-2(t^2-t+1)}{(2t-1)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{\frac{-2(t^2-t+1)}{(2t-1)^2}}{-\frac{t^2+2t-2}{2t-1}\,\frac{t^2-t+1}{2t-1}}\,\mathrm{d} t= \displaystyle\int\dfrac{2}{t^2+2t-2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\left(-\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{t+1+\sqrt{3}}-\dfrac{1}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{-t-1+\sqrt{3}}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ln \bigl\lvert t+1+\sqrt{3} \bigl\rvert +\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ln \bigl\lvert -t-1+\sqrt{3} \bigl\rvert =$
	$\hspace{5mm}= -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ln\left\|\dfrac{\sqrt{x^2+x+1}-x+1+\sqrt{3}}{x-\sqrt{x^2+x+1}-1+\sqrt{3}}\right\|+C.$

Příklad č. 376» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x^2-x+1}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x^2-x+1}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom}~x^2-x+1~\text{nemá reálné kořeny}\\ \sqrt{x^2-x+1}=t-x\\ x=\dfrac{t^2-1}{2t-1}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2(t^2-t+1)}{(2t-1)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{\frac{2(t^2-t+1)}{(2t-1)^2}}{\frac{t^2-1}{2t-1}+t-\frac{t^2-1}{2t-1}}\,\mathrm{d} t=2\displaystyle\int\dfrac{t^2-t+1}{t(2t-1)^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(\dfrac{2}{t}-\dfrac{3}{2t-1}+\dfrac{3}{(2t-1)^2}\right)\,\mathrm{d} t \left\bracevert\begin{matrix} u=2t-1\\ \mathrm{d} u=2\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= 2\ln \lvert t \rvert +\displaystyle\int\left(-\dfrac{3}{2u}+\dfrac{3}{2u^2}\right)\,\mathrm{d} u=$
	$\hspace{5mm}= 2\ln \lvert t \rvert -\dfrac{3}{2}\ln \lvert u \rvert -\dfrac{3}{2u}= 2\ln \lvert t \rvert -\dfrac{3}{2}\ln \lvert 2t-1 \rvert -\dfrac{3}{2(2t-1)}+C=$
	$\hspace{5mm}= 2\ln\left\|x+\sqrt{x^2-x+1}\right\|-\dfrac{3}{2}\ln\left\|2x+2\sqrt{x^2-x+1}-1\right\|-$
	$\hspace{10mm}-\dfrac{1}{4x+2\sqrt{x^2-x+1}-2}+C.$

Příklad č. 377» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x+4)\sqrt{x^2+3x-4}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x+4)\sqrt{x^2+3x-4}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom}~x^2+3x-4~\text{má reálné kořeny}~1,-4 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x+4) \lvert x+4 \rvert \sqrt{\dfrac{x-1}{x+4}}} \left\bracevert\begin{matrix} t^2=\dfrac{x-1}{x+4} \vspace{2mm}\\ x=\dfrac{4t^2+1}{1-t^2}\vspace{2mm}\\ x+4=\dfrac{5}{1-t^2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{10t}{(1-t^2)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int \dfrac{\frac{10t}{(1-t^2)^2}}{\left(\frac{5}{1-t^2}\right) \bigl\lvert \frac{5}{1-t^2} \bigr\rvert t}\,\mathrm{d} t= \displaystyle\int \dfrac{2}{5}\dfrac{ \lvert 1-t^2 \rvert }{1-t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{2}{5}\cdot\mathrm{sgn}\left(1-t^2\right)\displaystyle\int 1 \,\mathrm{d} t=\dfrac{2}{5}\cdot\mathrm{sgn}\left(1-t^2\right)t+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{2}{5}\cdot\mathrm{sgn}\left(x+4\right)\sqrt{\dfrac{x-1}{x+4}}+C.$

Příklad č. 378» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+3x+2}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+3x+2}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom}~x^2+3x+2~\text{má reálné kořeny}~-1,-2 \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{3mm}= \displaystyle\int \dfrac{x\,\mathrm{d}x}{ \lvert x+2 \rvert \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}} \left\bracevert\begin{matrix} t^2=\dfrac{x+1}{x+2}\vspace{2mm}\\ x=\dfrac{2t^2-1}{1-t^2}\vspace{2mm}\\ x+2=\dfrac{1}{1-t^2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2t}{(1-t^2)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{\frac{2t^2-1}{1-t^2}\,\frac{2t}{(1-t^2)^2}}{ \lvert \frac{1}{1-t^2} \rvert \, t}\,\mathrm{d} t=$

	$\hspace{2mm}= \displaystyle\int\dfrac{2t(2t^2-1)}{(1-t^2)^3}\dfrac{ \lvert 1-t^2 \rvert }{t}\,\mathrm{d} t= \operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\displaystyle\int\dfrac{4t^2-2}{(1-t^2)^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{2mm}= \operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{2(t-1)^2}+\dfrac{1}{2(t+1)^2}-\dfrac{3}{2(t+1)}+\dfrac{3}{2(t-1)}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{2mm}= \operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\left(-\frac{1}{2(t-1)}-\frac{1}{2(t+1)}-\frac{3}{2}\ln \lvert t+1 \rvert +\frac{3}{2}\ln \lvert t-1 \rvert \right)+C=$
	$\hspace{2mm}= \operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\left(-\dfrac{1}{2}\dfrac{2t}{t^2-1}-\dfrac{3}{2}\ln \biggl\lvert \dfrac{t+1}{t-1} \biggr\rvert \right)+C=$
	$\hspace{2mm}= -\operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\dfrac{t}{t^2-1}-3\operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\ln{\dfrac{\sqrt{ \lvert t+1 \rvert }}{\sqrt{ \lvert t-1 \rvert }}}+C=$
	$\hspace{2mm}= \operatorname{sgn}\left(x+2\right)\sqrt{\dfrac{x+1}{x+2}}\,\dfrac{1}{x+2}-3\operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\ln\sqrt{{\dfrac{(t+1)^2}{ \lvert t^2-1 \rvert }}}+C=$
	$\hspace{2mm}= \operatorname{sgn}\left(x+2\right)\sqrt{\dfrac{x+1}{x+2}}\,\dfrac{1}{x+2}-3\operatorname{sgn}\left(1-t^2\right)\ln{\dfrac{ \lvert t+1 \rvert }{\sqrt{ \lvert t^2-1 \rvert }}}+C=$
	$\hspace{2mm}= \sqrt{x^2+3x+2}-3\operatorname{sgn}\left(x+2\right)\ln\dfrac{\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}+1}{\sqrt{ \bigl\lvert -\frac{1}{x+2} \bigr\rvert }}+C =$
	$\hspace{2mm}= \sqrt{x^2+3x+2}-3\operatorname{sgn}\left(x+2\right)\ln\left({\frac{\sqrt{ \lvert x+1 \rvert }+\sqrt{ \lvert x+2 \rvert }}{\sqrt{ \lvert x+2 \rvert }}}{\sqrt{ \lvert x+2 \rvert }}\right)+C =$
	$\hspace{2mm}= \sqrt{x^2+3x+2}-3\operatorname{sgn}\left(x+2\right)\ln\left({\sqrt{ \lvert x+1 \rvert }+\sqrt{ \lvert x+2 \rvert }}\right)+C.$

Příklad č. 379» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x^2+x-1}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x^2+x-1}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom}~x^2+x-1~\text{má reálné kořeny}~-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\ \sqrt{x^2+x-1}=x+t\\ x=\dfrac{t^2+1}{1-2t}\\ x+t=\dfrac{-(t^2-t-1)}{1-2t}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{-2(t^2-t-1)}{(1-2t)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{(t^2-t-1)}{(t^2+1-t^2+t+1)(1-2t)}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\left(1-\dfrac{2}{t+2}-\dfrac{1}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}\right)\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= t-2\ln \lvert t+2 \rvert -\dfrac{1}{2}\ln \lvert t-\dfrac{1}{2} \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \sqrt{x^2+x-1}-x-2\ln \lvert \sqrt{x^2+x-1}-x+2 \rvert -$
	$\hspace{10mm}-\dfrac{1}{2}\ln \lvert \sqrt{x^2+x-1}-x-\dfrac{1}{2} \rvert +C.$

Příklad č. 380» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{-4x^2+16x-15}}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{-4x^2+16x-15}}=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{-x^2+4x-\frac{15}{4}}} \left\bracevert\begin{matrix} \text{polynom } x^2+x-1 \text{ má reálné kořeny } \dfrac{5}{2} \text{ a } \dfrac{3}{2} \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{2\sqrt{\left(\frac{5}{2}-x\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)}}= \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{2\left(x-\frac{3}{2}\right)\sqrt{\frac{\frac{5}{2}-x}{x-\frac{3}{2}}}} \left\bracevert\begin{matrix} t^2=\dfrac{\frac{5}{2}-x}{x-\frac{3}{2}}\vspace{2mm}\\ x=\dfrac{5+3t^2}{2t^2+2} \vspace{2mm}\\ x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{t^2+1}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{-2t}{(t^2+1)^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\dfrac{\frac{-2t}{(t^2+1)^2}}{2\frac{1}{t^2+1}\,t}\,\mathrm{d} t=-\displaystyle\int\dfrac{1}{t^2+1}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= -\operatorname{arctg} t+C=-\operatorname{arctg}\sqrt{\dfrac{5-2x}{2x-3}}+C.$

Příklad č. 381» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \sqrt[3]{x} (7+5x^4)^2\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jde o binomický integrál.

	$\displaystyle\int \sqrt[3]{x} (7+5x^4)^2 \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} p=2\in\mathbb{Z} \Rightarrow x=t^3,~\mathrm{d} x = 3t^2 \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm} = \displaystyle\int t(7+5t^{12})^2 3t^2 \,\mathrm{d} t = 3 \displaystyle\int t^3 (49+70t^{12}+25t^{24}) \,\mathrm{d} t$
	$\hspace{5mm} = 3 \displaystyle\int 49t^3+70t^{15}+25t^{27} \mathrm{d} t = \dfrac{3t^4}{56} (686+245t^{12}+50t^{24}) + C$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{3}{56}x\sqrt[3]{x} (686+245x^{4}+50x^{8}) + C.$

Příklad č. 382» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{(2+5x)^3}{\sqrt[4]{x^3}} \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jde o binomický integrál.

	$\displaystyle\int \dfrac{(2+5x)^3}{\sqrt[4]{x^3}}\, \mathrm{d} x = \displaystyle\int x^{-\dfrac{3}{4}}(2+5x)^3 \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} p=3\in\mathbb{Z} \Rightarrow x=t^4,~\mathrm{d} x = 4t^3 \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm} = \displaystyle\int t^{-3}(2+5t^4)^3 4t^3 \mathrm{d} t = 4 \displaystyle\int (2+5t^4)^3 \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm} = 4 \displaystyle\int 8+60t^4+150t^8+125t^{12}) \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm}= 4\left( 8t + 12t^5 + \dfrac{50}{3}t^9 + \dfrac{125}{13}t^{13} \right) + C =$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{4}{39}\sqrt[4]{x} (312+468x+650x^2+375x^3) + C.$

Příklad č. 383» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int x \sqrt{2-3\sqrt{x}}\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jde o binomický integrál.

	$\displaystyle\int x \sqrt{2-3\sqrt{x}} \mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} p=\dfrac{1}{2}\not \in\mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}=4 \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow 2-3\sqrt{x}=t^2, \sqrt{x} = \dfrac{2-t^2}{3}, \\ -3\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\,\mathrm{d} x = 2t \,\mathrm{d} t, x^{-\frac{1}{2}}\, \mathrm{d} x = -\dfrac{4}{3}t \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$= \displaystyle\int \left(\dfrac{2-t^2}{3}\right)^3 \sqrt{2-3\dfrac{2-t^2}{3}} \left(-\dfrac{4}{3}t\right) \mathrm{d} t = -\dfrac{4}{3^4} \displaystyle\int (2-t^2)^3 t^2\, \mathrm{d} t =$
	$= -\dfrac{4}{3^4} \displaystyle\int 8t^2-12t^4+6t^6-t^8\, \mathrm{d} t =$
	$= -\dfrac{4}{3^4}t^3 \left( \dfrac{8}{3} - \dfrac{12}{5} t^2 + \dfrac{6}{7}t^4 - \dfrac{1}{9}t^6 \right) + C =$
	$= -\frac{4}{81} (2-3\sqrt{x})^{\frac{3}{2}} \left[\frac{8}{3} - \frac{12}{5} (2-3\sqrt{x}) + \frac{6}{7}(2-3\sqrt{x})^2 - \frac{1}{9}(2-3\sqrt{x})^3\right] + C.$

Příklad č. 384» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jde o binomický integrál.

	$\displaystyle\int \dfrac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} \,\mathrm{d} x =\displaystyle\int x^{-\frac{1}{2}}(1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{2}} \,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} p=\dfrac{1}{3}\not \in\mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}=2 \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow 1+x^{\frac{1}{4}}=t^3, x = (t^3-1)^4, \\ \mathrm{d} x = 4(t^3-1)^33t^2\, \mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int (t^3-1)^{-2} t 12t^2 (t^3-1)^3 \,\mathrm{d} t = 12 \displaystyle\int t^3 (t^3-1) \,\mathrm{d} t = 12 \displaystyle\int t^6 - t^3 \,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 12 \left(\dfrac{t^7}{7}-\dfrac{t^4}{4}\right) + C = 12 (1+x^{\frac{1}{4}})^{\frac{4}{3}} \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{4}}}{7} - \dfrac{1}{4} \right) + C.$

Příklad č. 385» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \sqrt{x} \,\sqrt[7]{\left(\dfrac{\sqrt{x^3}}{27}-3 \right)^2}\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jde o binomický integrál.

	$\displaystyle\int \sqrt{x} \sqrt[7]{\left(\dfrac{\sqrt{x^3}}{27}-3\right)^2} \mathrm{d} x =\displaystyle\int x^{\frac{1}{2}} \left(-3+\dfrac{1}{27}x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{7}} \mathrm{d} x$
	$\hspace{5mm} \left\bracevert\begin{matrix} p=\dfrac{2}{7}\not \in\mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}=1 \in \mathbb{Z}\\ \Rightarrow -3+\dfrac{1}{27}x^{\frac{3}{2}}=t^7, x = 9(t^7+3)^{\frac{2}{3}}, \\ \mathrm{d} x = 42(t^7+3)^{-\frac{1}{3}}t^6\, \mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm} = \displaystyle\int 3(t^7+3)^{\frac{1}{3}} t^2 42(t^7+3)^{-\frac{1}{3}}t^6 \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm} = 126 \displaystyle\int t^8 \,\mathrm{d} t = 14 t^9 + C = 14 \left(\dfrac{1}{27}x^{\frac{3}{2}}-3\right)^{\frac{9}{7}} + C.$

Příklad č. 386» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[4]{1+x^4}} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Jde o binomický integrál.

	$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt[4]{1+x^4}} \,\mathrm{d} x = \displaystyle\int (1+x^4)^{-\frac{1}{4}} \,\mathrm{d} x$
	$\hspace{2mm} \left\bracevert\begin{matrix} p=-\dfrac{1}{4}\not \in\mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}=\dfrac{1}{4} \not \in \mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}+p=\dfrac{1}{4}-d\dfrac{1}{4}=0 \in \mathbb{Z}\vspace{2mm}\\ \Rightarrow 1x^{-4}+1=t^4, x = (t^4-1)^{-\frac{1}{4}}, \vspace{2mm}\ 1+x^4 = t^4 x^4 = t^4 (t^4-1)^{-1},\vspace{2mm} \\ \mathrm{d} x = -\dfrac{1}{4}(t^4-1)^{\frac{5}{4}} 4t^3 \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{2mm} = \displaystyle\int t^{-1} (t^4-1)^{\frac{1}{4}} \left(-\dfrac{1}{4}\right) (t^4-1)^{-\frac{5}{4}} 4t^3 \,\mathrm{d} t = -\displaystyle\int \dfrac{t^2}{t^4-1} \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{2mm} = -\displaystyle\int \dfrac{t^2}{(t-1)(t+1)(t^2+1)} \,\mathrm{d} t = -\displaystyle\int \left( \dfrac{\frac{1}{4}}{t-1} - \dfrac{\frac{1}{4}}{t+1} + \dfrac{\frac{1}{2}}{t^2+1}\right) \mathrm{d} t =$
	$\hspace{2mm} = -\dfrac{1}{4} (\ln\|t-1\| - \ln\|t+1\| + 2\operatorname{arctg} t) + C =$
	$\hspace{2mm} = -\dfrac{1}{4} \big[\ln(\sqrt[4]{x^{-4}+1}-1) - \ln(\sqrt[4]{x^{-4}+1}+1) + 2\operatorname{arctg} (\sqrt[4]{x^{-4}+1})\big] + C.$

Příklad č. 387» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce.

$\displaystyle\int \sqrt{2x^2+x} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \sqrt{2x^2+x} \,\mathrm{d} x = \displaystyle\int \sqrt{x(1+2x)} \,\mathrm{d} x$
	$\hspace{5mm} \left\bracevert\begin{matrix} p=\dfrac{1}{2}\not \in\mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}=\dfrac{3}{2} \not \in \mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}+p=2 \in \mathbb{Z}\vspace{2mm}\\ \Rightarrow 1x^{-1}+2=t^2, x = (t^2-2)^{-1}, \vspace{2mm}\\ 1+2x = t^2 x = t^2 (t^2-2)^{-1}, \vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x = -2t(t^2-2)^{-2} \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm} = \displaystyle\int (t^2-2)^{\-\frac{1}{2}} t(t^2-2)^{\-\frac{1}{2}} (-2t)(t^2-2)^{-2}\, \mathrm{d} t = -2\displaystyle\int \dfrac{t^2}{(t^2-2)^3} \,\mathrm{d} t.$

Příklad č. 388» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce převeďte binomický integrál na integrál z racionální lomené funkce.

$\displaystyle\int x\sqrt[3]{8-7x^3} \,\mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int x\sqrt[3]{8-7x^3} \,\mathrm{d} x$
	$\hspace{5mm} \left\bracevert\begin{matrix} p=\dfrac{1}{3}\not \in\mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}=\dfrac{2}{3} \not \in \mathbb{Z}, \dfrac{m+1}{n}+p=1 \in \mathbb{Z}\vspace{2mm}\\ \Rightarrow 8x^{-3}-7=t^3, x = 2(t^3+7)^{-\frac{1}{3}}, \vspace{2mm}\\ 8-7x^3 = t^3 x^3 = t^3 8 (t^3+7)^{-1}, \vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x = -2t^2(t^3+7)^{-\frac{4}{3}} \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm} = \displaystyle\int 2 (t^3+7)^{-\frac{1}{3}} t 2 (t^3+7)^{-\frac{1}{3}} (-2)t^2(t^3+7)^{-\frac{4}{3}} \,\mathrm{d} t = -8 \displaystyle\int \dfrac{t^3}{(t^3+7)^2} \,\mathrm{d} t.$

Příklad č. 389» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \cos^5x\cdot\sin^2x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \cos^5x\cdot\sin^2x\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int \left(1-\sin^2x\right)^2\cos x\cdot\sin^2x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\sin x\\ \mathrm{d} t=\cos x\,\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(1-t^2\right)^2t^2\,\mathrm{d} t=\displaystyle\int\left(t^2-2t^4+t^6\right)\mathrm{d} t= \dfrac{t^3}{3}-2\dfrac{t^5}{5}+\dfrac{t^7}{7}+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{\sin^3x}{3}-\dfrac{2\sin^5x}{5}+\dfrac{\sin^7x}{7}+C.$

Příklad č. 390» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \cos^5x\cdot\sin^4x\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \cos^5x\cdot\sin^4x\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int \left(1-\sin^2x\right)^2\cos x\cdot\sin^4x\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\sin x\\ \mathrm{d} t=\cos x\,\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(1-t^2\right)^2t^4\,\mathrm{d} t=\displaystyle\int\left(t^4-2t^6+t^8\right)\mathrm{d} t= \dfrac{t^5}{5}-2\dfrac{t^7}{7}+\dfrac{t^9}{9}+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{\sin^5x}{5}-\dfrac{2\sin^7x}{7}+\dfrac{\sin^9x}{9}+C.$

Příklad č. 391» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sin x}=\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x}\,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\cos x\\ \mathrm{d} t=-\sin x \mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int -\dfrac{\mathrm{d} t}{1-t^2}=\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d} t}{t^2-1}=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(\dfrac{\frac{1}{2}}{t-1}-\dfrac{\frac{1}{2}}{t+1}\right)\mathrm{d} t= \dfrac{1}{2}\ln \lvert t-1 \rvert -\dfrac{1}{2}\ln \lvert t+1 \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{2}\ln \lvert \cos x-1 \rvert -\dfrac{1}{2}\ln \lvert \cos x+1 \rvert +C =\dfrac{1}{2}\ln\left\|\dfrac{\cos x-1}{\cos x+1}\right\|+C=$
	$\hspace{5mm} =\dfrac{1}{2}\ln\left\|\dfrac{2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}}\right\|+C =\dfrac{1}{2}\ln\left\|\operatorname{tg}^2\dfrac{x}{2}\right\|+C =\ln\left\|\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\right\|+C.$

Příklad č. 392» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\sin^3x}{1+4\cos^2x+3\sin^2x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\sin^3x}{1+4\cos^2x+3\sin^2x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\cos x\\ \mathrm{d} t=-\sin x\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{t^2-1}{1+4t^2+3-3t^2}\,\mathrm{d} t= \displaystyle\int\dfrac{t^2+4-5}{t^2+4}\,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(1-5\dfrac{1}{t^2+4}\right)\mathrm{d} t= t-\dfrac{5}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{t}{2}+C=$
	$\hspace{5mm}= \cos x-\dfrac{5}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{\cos x}{2}+C.$

Příklad č. 393» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sin^2x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sin^2x} \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} x\\ \sin x=\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\dfrac{\frac{1}{1+t^2}}{1+\frac{t^2}{1+t^2}}\,\mathrm{d} t= \displaystyle\int\dfrac{1}{1+2t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{1}{t^2+\frac{1}{2}}\,\mathrm{d} t= \dfrac{1}{2}\sqrt{2}\operatorname{arctg}\dfrac{t}{\frac{1}{\sqrt{2}}}+C= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\operatorname{arctg}\left(\sqrt{2}\operatorname{tg} x\right)+C.$

Příklad č. 394» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\sin^4x}{\cos^4x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\sin^4x}{\cos^4x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} x\\ \mathrm{d} x=\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int \dfrac{\frac{t^4}{(1+t^2)^2}}{\frac{1}{(1+t^2)^2}}\,\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d} t= \displaystyle\int\dfrac{t^4}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(t^2-1+\dfrac{1}{t^2+1}\right)\mathrm{d} t= \dfrac{t^3}{3}-t+\operatorname{arctg} t+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{\operatorname{tg}^3x}{3}-\operatorname{tg} x+\mathrm{arctg}\left(\operatorname{tg} x\right)+C= \dfrac{\operatorname{tg}^3x}{3}-\operatorname{tg} x+x+C.$

Příklad č. 395» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{5}{4+\sin x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{5}{4+\sin x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} x\vspace{2mm}\\ \sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{5}{4+\frac{2t}{1+t^2}}\,\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\dfrac{10}{4+4t^2+2t}\,\mathrm{d} t=\dfrac{5}{2}\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{t^2+\frac{t}{2}+1}=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{5}{2}\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}}= \dfrac{5}{2}\,\dfrac{4}{\sqrt{15}}\operatorname{arctg}\dfrac{t+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{10}{\sqrt{15}}\operatorname{arctg}\dfrac{4t+1}{\sqrt{15}}+C= \dfrac{2\sqrt{15}}{3}\operatorname{arctg}\dfrac{4\operatorname{tg}\frac{x}{2}+1}{\sqrt{15}}+C.$

Příklad č. 396» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{2-\cos x}.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}x}{2-\cos x} \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2}{1+t^2}\, \mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{\frac{2}{1+t^2}}{2-\frac{1-t^2}{1+t^2}}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\dfrac{2}{3t^2+1}\,\mathrm{d} t=\dfrac{2}{3}\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{t^2+\frac{1}{3}}=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{2}{3}\,\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\operatorname{arctg}\dfrac{t}{\frac{1}{\sqrt{3}}}+C= \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\operatorname{arctg}\left(\sqrt{3}\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\right)+C.$

Příklad č. 397» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{1+\cos x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\cos x\\ \mathrm{d} t=-\sin x \mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =-\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{1+t}=$
	$\hspace{5mm}=-\ln \lvert 1+t \rvert +C=-\ln \lvert 1+\cos x \rvert +C.$

Příklad č. 398» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\cos^3 x}{2-\sin x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\cos^3 x}{2-\sin x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\sin x\\ \mathrm{d} t=\cos x\,\mathrm{d} x \end{matrix}\right\bracevert =\displaystyle\int\dfrac{1-t^2}{2-t}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\left(2+t+\dfrac{3}{t-2}\right)\,\mathrm{d} t=2t+\dfrac{t^2}{2}+3\ln \lvert t-2 \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= 2\sin x+\dfrac{\sin^2 x}{2}+3\ln \lvert \sin x-2 \rvert +C.$

Příklad č. 399» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\sin x-\cos x}\, \mathrm{d}x=\displaystyle\int\dfrac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x-1}\,\mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} x\\ \mathrm{d} x=\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}=\displaystyle\int\dfrac{t}{t-1}\,\dfrac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=\displaystyle\int\dfrac{t}{(t-1)(t^2+1)}\,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\left(\dfrac{\frac{1}{2}}{t-1}+\dfrac{1}{2}\,\dfrac{1-t}{t^2+1}\right)\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{2}\ln \lvert t-1 \rvert +\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2+1}\,\mathrm{d} t+\displaystyle\int{\dfrac{\mathrm{d} t}{t^2+1}}\right)=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{2}\ln \lvert t-1 \rvert -\dfrac{1}{4} \ln \bigl\lvert t^2+1 \bigr\rvert +\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg} t+C=$
	$\hspace{5mm}= \dfrac{1}{2}\ln\left\|\operatorname{tg} x-1\right\|-\dfrac{1}{4}\ln\left\|\operatorname{tg}^2x+1\right\|+\dfrac{x}{2}+C.$

Příklad č. 400» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{2-\sin x}{2+\cos x}\, \mathrm{d}x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{2-\sin x}{2+\cos x}\, \mathrm{d}x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d} t\vspace{2mm} \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int\dfrac{2-\frac{2t}{1+t^2}}{2+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\,\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{2+2t^2-2t}{2+2t^2+1-t^2}\,\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= 4\displaystyle\int\dfrac{t^2-t+1}{(1+t^2)(t^2+3)}\,\mathrm{d} t= 2\displaystyle\int\dfrac{2+t}{t^2+3}\,\mathrm{d} t-2\displaystyle\int\dfrac{t}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2+3}\,\mathrm{d} t+4\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{t^2+3}-2\displaystyle\int\dfrac{t}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int\dfrac{2t}{t^2+3}\,\mathrm{d} t+\dfrac{4}{3}\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d} t}{\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)^2+1}-2\displaystyle\int\dfrac{t}{1+t^2}\,\mathrm{d} t=$
	$\hspace{5mm}= \ln \lvert t^2+3 \rvert +\dfrac{4}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\dfrac{t}{\sqrt{3}}-\ln \lvert 1+t^2 \rvert +C=$
	$\hspace{5mm}= \ln \lvert \operatorname{tg}^2~{\dfrac{x}{2}}+3 \rvert -\ln \lvert \operatorname{tg}^2~{\dfrac{x}{2}}+1 \rvert +\dfrac{4}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}{\dfrac{\operatorname{tg}{\frac{x}{2}}}{\sqrt{3}}}+C.$

Příklad č. 401» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Tento příklad je jedním z mála příkladů, které lze řešit jiným způsobem než univerzální substitucí $t=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$ , ale právě využití této substituce je nejvýhodnější. (Porovnejte s Příkladem 391.)

	$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}\, \mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2}{1+t^2} \mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{2t} \dfrac{2}{1+t^2} \mathrm{d} t = \displaystyle\int \dfrac{1}{t}\, \mathrm{d} t =\ln\|t\| + C = \ln\, \Bigl\lvert \operatorname{tg}\dfrac{x}{2} \Bigr\rvert +C.$

Příklad č. 402» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sin 2x}\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

Tento příklad je možné řešit substitucí $t=2x$ a následně substitucí $z=\operatorname{tg}\frac{t}{2}$ . Výhodnější je ale následující způsob.

	$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sin 2x}\, \mathrm{d} x =\displaystyle\int \dfrac{1}{1+2\sin x \cos x}\, \mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} x\\ \mathrm{d} x=\dfrac{1}{1+t^2} \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{1}{1+2\dfrac{t}{\sqrt{1+t^2}}\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}} \dfrac{1}{1+t^2} \,\mathrm{d} t = \displaystyle\int \dfrac{1}{(1+t)^2} \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm}= -\dfrac{1}{t+1} + C = -\dfrac{1}{\operatorname{tg} x+1} + C.$

Příklad č. 403» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce vypočtěte

$\displaystyle\int \dfrac{1}{2+\sin x}\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{1}{2+\sin x}\, \mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} \dfrac{x}{2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2}{1+t^2} \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{1}{2+\frac{2t}{1+t^2}} \dfrac{2}{1+t^2} \,\mathrm{d} t = \displaystyle\int \dfrac{1}{t^2+t+1} \,\mathrm{d} t = \displaystyle\int \dfrac{1}{(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm} = \left\bracevert\begin{matrix} t+\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,y\\ \mathrm{d} t=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \,\mathrm{d} y \end{matrix}\right\bracevert = \displaystyle\int \dfrac{1}{\frac{3}{4}(y^2+1)} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \,\mathrm{d} y = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} \operatorname{arctg} y + C =$
	$\hspace{5mm} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} \operatorname{arctg} \dfrac{2t+1}{\sqrt{3}} + C = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} \operatorname{arctg} \dfrac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}+1}{\sqrt{3}} + C.$

Příklad č. 404» Zobrazit zadání «

Pomocí vhodné substituce převeďte daný integrál na integrál racionální lomené funkce.

$\displaystyle\int \dfrac{\sin^2 x}{\sin x + 2\cos x}\, \mathrm{d} x.$

Řešení» Zobrazit řešení «

	$\displaystyle\int \dfrac{\sin^2 x}{\sin x + 2\cos x}\, \mathrm{d} x = \displaystyle\int \dfrac{\sin x}{1 + 2\operatorname{cotg} x}\, \mathrm{d} x \left\bracevert\begin{matrix} t=\operatorname{tg} \dfrac{x}{2}\vspace{2mm}\\ \mathrm{d} x=\dfrac{2}{1+t^2} \,\mathrm{d} t \end{matrix}\right\bracevert =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{\frac{2t}{1+t^2}}{1+2\frac{1-t^2}{2t}} \dfrac{2}{1+t^2}\, \mathrm{d} t = \displaystyle\int \dfrac{4t^2}{(1+t^2)^2(1+t-t^2)} \,\mathrm{d} t =$
	$\hspace{5mm}= \displaystyle\int \dfrac{4t^2}{(1+t^2)^2 (t-\frac{1+\sqrt{5}}{2}) (t-\frac{1-\sqrt{5}}{2})} \,\mathrm{d} t.$

Poznámka 31

Po rozkladu na parciální zlomky, integraci racionálních lomených funkcí a vrácení substituce vyjde

$\dots = \dfrac{8\sqrt{5}}{25} \mathrm{arctgh}\left[\dfrac{\sqrt{5}}{5}(2\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}-1)\right] -\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2\operatorname{tg}\frac{x}{2}-1}{\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}+1} + C = \\ \phantom{\dots}= - \dfrac{1}{5} \cos x - \dfrac{2}{5} \sin x - \dfrac{8\sqrt{5}}{25} \mathrm{arctgh}\left[\dfrac{\sqrt{5}\,(\sin x + 2 \cdot \cos x - 2)}{5 \sin x}\right] + C.$

nahoru

Tisková verze

Mgr. Petr Zemánek, Ph.D., Mgr. Petr Hasil, Ph.D. |
ÚMS, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita |
Návrat na úvodní stránku webu, přístupnost |

| Technická spolupráce:
| Servisní středisko pro e-learning na MU
| Fakulta informatiky Masarykovy univerzity, 2012

Technické řešení této výukové pomůcky je spolufinancováno Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Nahoru

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ