int1.mw

Neurčitý integrál 

Maple používá k integraci specialní algoritmy (a to tehdy, pokud základní metody (per partes, rozklad na parc. zlomky, ...)) selhávají.
Procedura Int integrál nevyhodnocuje, pouze přepisuje.
 

> Int(x/(x^3+1), x):%=value(%);
 

Int(x/(x^3+1), x) = 1/6*ln(x^2-x+1)+1/3*3^(1/2)*arctan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))-1/3*ln(x+1)
Int(x/(x^3+1), x) = 1/6*ln(x^2-x+1)+1/3*3^(1/2)*arctan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))-1/3*ln(x+1) 

Vyhodnocení dosáhneme příkazem value. 

Kontrola správnosti výpočtu derivováním: 

> diff(rhs(%), x);
 

1/6*(2*x-1)/(x^2-x+1)+2/3/(1+1/3*(2*x-1)^2)-1/3/(x+1) 

> normal(%,'expanded');
 

x/(x^3+1) 

Více informací o průběhu výpočtu získáme nastavením 

> infolevel[int]:=2:
 

> Int(x/(x^5+1),x): %=value(%);
 

int/indef1:   first-stage indefinite integration
int/ratpoly:   rational function integration 

int/ratpoly:   rational function integration 

Int(x/(x^5+1), x) = -1/5*ln(x+1)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)*5^(1/2)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)-2/5*arctan((4*x-1+5^(1/2))/(10+2*5^(1/2))^(1/2))*5^(1/2)/(10+2*5^(1/2))^(1/2)-1/20*ln(2*x^2-x-5^(1/2)...
Int(x/(x^5+1), x) = -1/5*ln(x+1)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)*5^(1/2)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)-2/5*arctan((4*x-1+5^(1/2))/(10+2*5^(1/2))^(1/2))*5^(1/2)/(10+2*5^(1/2))^(1/2)-1/20*ln(2*x^2-x-5^(1/2)...
Int(x/(x^5+1), x) = -1/5*ln(x+1)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)*5^(1/2)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)-2/5*arctan((4*x-1+5^(1/2))/(10+2*5^(1/2))^(1/2))*5^(1/2)/(10+2*5^(1/2))^(1/2)-1/20*ln(2*x^2-x-5^(1/2)...
Int(x/(x^5+1), x) = -1/5*ln(x+1)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)*5^(1/2)+1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)-2/5*arctan((4*x-1+5^(1/2))/(10+2*5^(1/2))^(1/2))*5^(1/2)/(10+2*5^(1/2))^(1/2)-1/20*ln(2*x^2-x-5^(1/2)... 

> infolevel[int]:=0:
 

Pozn. Maple při výpočtech automaticky volí nulovou integrační konstantu. 

Přiklad 1. 

> Int(2*x*(x^2+1)^24, x);
 

Int(2*x*(x^2+1)^24, x) 

Tento integrál jste jistě schopni vyřesit bez pomoci Maplu, přímým výpočtem ale dostáváme 

> value(%);
 

x^2+12*x^4+92*x^6+1/25*x^50+x^48+12*x^46+92*x^44+506*x^42+10626/5*x^40+7084*x^38+19228*x^36+43263*x^34+81719*x^32+653752/5*x^30+178296*x^28+208012*x^26+208012*x^24+178296*x^22+653752/5*x^20+81719*x^18...
x^2+12*x^4+92*x^6+1/25*x^50+x^48+12*x^46+92*x^44+506*x^42+10626/5*x^40+7084*x^38+19228*x^36+43263*x^34+81719*x^32+653752/5*x^30+178296*x^28+208012*x^26+208012*x^24+178296*x^22+653752/5*x^20+81719*x^18...
x^2+12*x^4+92*x^6+1/25*x^50+x^48+12*x^46+92*x^44+506*x^42+10626/5*x^40+7084*x^38+19228*x^36+43263*x^34+81719*x^32+653752/5*x^30+178296*x^28+208012*x^26+208012*x^24+178296*x^22+653752/5*x^20+81719*x^18...
x^2+12*x^4+92*x^6+1/25*x^50+x^48+12*x^46+92*x^44+506*x^42+10626/5*x^40+7084*x^38+19228*x^36+43263*x^34+81719*x^32+653752/5*x^30+178296*x^28+208012*x^26+208012*x^24+178296*x^22+653752/5*x^20+81719*x^18... 

a ani úpravy výsledku nepomáhají 

> v1:=factor(%);
 

(Typesetting:-mprintslash)([v1 := 1/25*x^2*(x^8+5*x^6+10*x^4+10*x^2+5)*(x^40+20*x^38+190*x^36+1140*x^34+4845*x^32+15505*x^30+38775*x^28+77625*x^26+126425*x^24+169325*x^22+187760*x^20+172975*x^18+13245...
(Typesetting:-mprintslash)([v1 := 1/25*x^2*(x^8+5*x^6+10*x^4+10*x^2+5)*(x^40+20*x^38+190*x^36+1140*x^34+4845*x^32+15505*x^30+38775*x^28+77625*x^26+126425*x^24+169325*x^22+187760*x^20+172975*x^18+13245...
(Typesetting:-mprintslash)([v1 := 1/25*x^2*(x^8+5*x^6+10*x^4+10*x^2+5)*(x^40+20*x^38+190*x^36+1140*x^34+4845*x^32+15505*x^30+38775*x^28+77625*x^26+126425*x^24+169325*x^22+187760*x^20+172975*x^18+13245...
(Typesetting:-mprintslash)([v1 := 1/25*x^2*(x^8+5*x^6+10*x^4+10*x^2+5)*(x^40+20*x^38+190*x^36+1140*x^34+4845*x^32+15505*x^30+38775*x^28+77625*x^26+126425*x^24+169325*x^22+187760*x^20+172975*x^18+13245... 

Problém je zde právě ve volbě integrační konstanty 

> v2:=factor(%+1/25);
 

(Typesetting:-mprintslash)([v2 := 1/25*(x^2+1)^25], [1/25*(x^2+1)^25]) 

> plot([v1, v2], x=-.5..0.5, y=0..1);
 

Plot 

Cvičení. Vytvořte pomoci Maplu tabulku neurčitých integrálů. 

Novější verze Maplu (od verze 8) umožňují kromě výsledku zobrazit i postup výpočtu (pomocí příkazu Hint a Rule 

z balíku Student[Calculus1] . Těchto příkazů pak využívá nová procedura VypocetIntegralu. 

> read VypocetIntegralu:
 

> VypocetIntegralu(exp(x)*sin(x), czech);
 

Int(exp(x)*sin(x), x) = `` 

[`uzijeme metodu per partes`, u = exp(x), v = -cos(x)] 

`` = -exp(x)*cos(x)-Int(-exp(x)*cos(x), x) 

[`uzijeme metodu per partes`, u = exp(x), v = sin(x)] 

`` = -exp(x)*cos(x)+exp(x)*sin(x)-Int(exp(x)*sin(x), x) 

[`integral spocitame algebraicky`] 

`` = -1/2*exp(x)*cos(x)+1/2*exp(x)*sin(x) 

[`upravime vyraz`] 

`` = -1/2*exp(x)*(cos(x)-sin(x)) 

>