Demonstrované cvičení k přednášce Matematika III
26.9.2006
1
Příklad 1. Určete parametrické i obecné rovnice tečny ke křivce c : R  R3
,
c(t) = (c1(t), c2(t), c3(t)) = (t, t2
, t3
) v bodě odpovídajícím hodnotě parame-
tru t = 1.
2
Řešení. Parametru t = 1 odpovídá bod c(1) = [1, 1, 1]. Derivace jednotli-
vých složek jsou c
1(t) = 1, c
2(t) = 2t, c3(t) = 3t2
. Hodnoty derivací v bodě
t = 1 jsou 1, 2, 3. Parametrické vyjádření tečny tedy zní:
x = c
1(1)s + c1(1) = t + 1
y = c
2(1)s + c2(1) = 2t + 1
z = c
3(1)s + c3(1) = 3t + 1.
Vyloučením parametru t dostáváme obecné rovnice tečny (nejsou dány ka-
nonicky):
2x - y = 1
3x - z = 2.
2
3
Příklad 2. Určete, zda tečná rovina ke grafu funkce f : R × R+
 R,
f(x, y) = x  ln(y) v bodě [1, 1
e
] prochází bodem (1, 2, 3)  R3
.
4
Řešení. Určíme nejdříve parciální derivace: f(x,y)
x
= ln(y), f(x,y)
y
= x
y
, jejich
hodnoty v bodě (1, 1
e
) jsou -1, e, dále f(1, 1
e
) = -1. Rovnice tečné roviny je
tedy
z = f 1,
1
e
+
f(x, y)
x
1,
1
e
(x + 1) +
f(x, y)
y
1,
1
e
y -
1
e
= -1 - x + ey.
Této rovnici daný bod nevyhovuje, v tečné rovnině tedy neleží. 2
5
Příklad 3.
Určete parametrické vyjádření tečny k průsečnici grafů funkcí
f : R2
 R, f(x, y) = x2
+ xy - 6, g : R × R+
 R, g(x, y) = x  ln(y) v
bodě [2, 1].
6
Řešení. Tečna k průsečnici je průsečnicí tečných rovin v daném bodě. Tečná
rovina ke grafu funkce f procházející bodem [2, 1] je
z = f (2, 1) +
f(x, y)
x
(2, 1)(x - x0) +
f(x, y)
y
(2, 1) (y - y0)
= 5x + 2y - 12.
Tečná rovina k grafu g je pak
z = f (2, 1) +
g(x, y)
x
(2, 1)(x - x0) +
g(x, y)
y
(2, 1) (y - y0)
= 2y - 2.
Průsečnicí těchto dvou rovin je přímka daná parametricky jako [2, t, 2t - 2],
t  R
7
Alternativně: normála k ploše určené rovnicí f(x, y, z) = 0 v bodě b =
[2, 1, 0] je (fx(b), fy(b), fz(b)) = (5, 2, -1), normála k ploše určené jako g(x, y, z) =
0 v tomtéž bodě je (0, 2, -1). Tečna je kolmá na obě normály, její směrový
vektor získáme tedy např. vektorovým součinem normál, což je (0, 5, 10). Pro-
tože tečna prochází bodem [2, 1, 0] je její parametrické vyjádření [2, 1 +t, 2t],
t  R.
2
8
Příklad 4. Určete Taylorův polynom druhého řádu funkce ln(x2
y) v bodě
[1, 1].
9
Řešení.
T2
ln(xy+1)(1, 1) = ln(2) +
1
4
(x2
+ y2
+ xy - x - y - 1).
2
10
Příklad 5. Určete extrémy funkce f : R2
 R, x2
y - xy - x
11
Řešení. fx = 2xy-y-1, fy = x2
-x, Hf =
2y 2x - 1
2x - 1 0
. Stacionární
body (0, -1), (1, 1), v obou je Hessián indefinitní, tedy funkce extrémy nemá.
2
12
Sylvestrovo kriterium positivní definitnosti. Symetrická čtvercová
matice nad R je positivně (semi)definitní, jestliže jsou všechny její vedoucí
hlavní minory kladné (nezáporné).
Důsledek. Symetrická čtvercová matice nad R je negativně (semi)definitní,
jestliže její vedoucí hlavní minory střídají znaménka (případně jsou nulové),
počínaje znaménkem mínus.
13
Příklad 6. V rovině x + 2y + z = 1 v R3
určete bod, který má nejmenší
vzdálenost od bodu (1, 1, 1).
14
Zkoumejte záměnnost parciálních derivací funkce
f(x, y) =
xy(x2-y2)
x2+y2 pro (x, y) = (0, 0)
0 pro (x, y) = (0, 0)
15