Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Drsná matematika III ­ 3. demonstrovaná cvičení Vázané extrémy Martin Panák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2006 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Návodné úlohy Příklad 4. Příklad 5. Příklad 6. Příklad 7. Příklad 8. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Určete stacionární body funkce f : R2 R, f (x, y) = x2y + y2x - xy a rozhodněte, které z těchto bodů jsou lokální extrémy a jakého druhu. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. První derivace jsou fx = 2xy + y2 - y, fy = x2 + 2xy - x. Položíme-li obě parciální derivace současně nule, má soustava následující řešení: {x = y = 0}, {x = 0, y = 1}, {x = 1, y = 0}, {x = 1/3, y = 1/3}, což jsou čtyři stacionární body dané funkce. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. První derivace jsou fx = 2xy + y2 - y, fy = x2 + 2xy - x. Položíme-li obě parciální derivace současně nule, má soustava následující řešení: {x = y = 0}, {x = 0, y = 1}, {x = 1, y = 0}, {x = 1/3, y = 1/3}, což jsou čtyři stacionární body dané funkce. Hessián funkce Hf je 2y 2x + 2y - 1 2x + 2y - 1 2x . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. První derivace jsou fx = 2xy + y2 - y, fy = x2 + 2xy - x. Položíme-li obě parciální derivace současně nule, má soustava následující řešení: {x = y = 0}, {x = 0, y = 1}, {x = 1, y = 0}, {x = 1/3, y = 1/3}, což jsou čtyři stacionární body dané funkce. Hessián funkce Hf je 2y 2x + 2y - 1 2x + 2y - 1 2x . Hodnoty ve stacionárních bodech jsou postupně 0 -1 -1 0 , 1 1 1 0 , 0 1 1 1 , 2 3 1 3 1 3 2 3 , Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. První derivace jsou fx = 2xy + y2 - y, fy = x2 + 2xy - x. Položíme-li obě parciální derivace současně nule, má soustava následující řešení: {x = y = 0}, {x = 0, y = 1}, {x = 1, y = 0}, {x = 1/3, y = 1/3}, což jsou čtyři stacionární body dané funkce. Hessián funkce Hf je 2y 2x + 2y - 1 2x + 2y - 1 2x . Hodnoty ve stacionárních bodech jsou postupně 0 -1 -1 0 , 1 1 1 0 , 0 1 1 1 , 2 3 1 3 1 3 2 3 , tedy první tři Hessiány jsou indefinitní, poslední pak pozitivně definitní, bod [1/3, 1/3] je tedy lokálním minimem. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Určete bod v rovině x + y + 3z = 5 ležící v R3, který má nejmenší vzdálenost od počátku souřadnic. A to jak metodami lineární algebry, tak metodami diferenciálního počtu. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Jde o patu kolmice spuštěné z bodu [0, 0, 0] na rovinu. Normála k rovině je (t, t, 3t), t R. Dosazením do rovnice roviny dostaneme patu kolmice [5/11, 5/11, 15/11]. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Jde o patu kolmice spuštěné z bodu [0, 0, 0] na rovinu. Normála k rovině je (t, t, 3t), t R. Dosazením do rovnice roviny dostaneme patu kolmice [5/11, 5/11, 15/11]. Alternativně minimalizujeme vzdálenost (resp. její kvadrát) bodů v rovině od počátku, tj. funkci dvou proměnných, (5 - y - 3z)2 + y2 + z2 . Položením parciálních derivací rovných nule dostaneme soustavu 3y + 10z - 15 = 0 2y + 3z - 5 = 0, která má řešení jako výše. Protože víme, že minimum existuje a jedná se o jediný stacionární bod, nemusíme už ani počítat Hessián. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2 R, f (x, y) = ln(x2 + y2 + 1) v bodě [1, 1]. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Nejprve spočítáme první parciální derivace: fx = 2x x2 + y2 + 1 , fy = 2y x2 + y2 + 1 , poté druhý totální diferenciál daný Hessiánem: Hf = 2y2-2x2+2 (x2+y2+1)2 - 4xy (x2+y2+1)2 - 4xy (x2+y2+1)2 2x2-2y2+2 (x2+y2+1)2 . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Nejprve spočítáme první parciální derivace: fx = 2x x2 + y2 + 1 , fy = 2y x2 + y2 + 1 , poté druhý totální diferenciál daný Hessiánem: Hf = 2y2-2x2+2 (x2+y2+1)2 - 4xy (x2+y2+1)2 - 4xy (x2+y2+1)2 2x2-2y2+2 (x2+y2+1)2 . Hodnota Hessiánu v bodě [1, 1] je 2 9 -4 9 -4 9 2 9 , Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy celkem tedy již můžeme napsat Taylorův rozvoj druhého řádu v bodě [1, 1]: T2 (f )(1, 1) = f (1, 1) + fx (1, 1)(x - 1) + fy (1, 1)(y - 1) + + 1 2 (x - 1, y - 1)Hf (1, 1) x - 1 y - 1 = ln(3) + 2 3 (x - 1) + 2 3 (y - 1) + 1 9 (x - 1)2 - - 4 9 (x - 1)(y - 1) + 1 9 (y - 1)2 = 1 9 (x2 + y2 + 8x + 8y - 4xy - 14) + ln(3). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy 1 Domácí úlohy z minulého týdne Příklad 1 Příklad 2 Příklad 3 2 Návodné úlohy Příklad 4. Příklad 5. Příklad 6. Příklad 7. Příklad 8. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Ukažte, že funkce f : R2 R, f (x, y) = ex sin(y) + ey sin(x) definuje předpisem f (x, y) - 1 = 0 pro (x, y) 0, /2 × 0, /2 implicitně proměnnou y jako funkci proměnné x, y = f (x). Určete f (x). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Buď F(x, y, z) = sin(xy) + sin(yz) + sin(zx) - 1. . Ukažte, že předpis F(x, y, z) = 0 zadává v okolí bodu ( /2, /2, 0) implicitně funkci z = f (x, y) takovou, že F(x, y, f (x, y)) = 0. Určete fx ( /2) a fy ( /2). Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Nalezněte poměr stran obdélníkové budky, o které jsou známy následující informace: má být uzavřená ze tří stran, je dána její výška a rovněž je pevně dán obsah 10 m2 jejího půdorysu, požadujeme-li, aby bylo množství materiálu použitého na obvod budky co nejmenší. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Rozhodněte, zda existují maxima a minima funkce f : R2 R, f (x, y) = x - 2y na křivce dané rovnicí y - x3 - 2x - 1 = 0. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Rozhodněte, zda existují maxima a minima funkce f : R2 R, f (x, y) = x - 2y na křivce dané rovnicí y - x3 - 2x - 1 = 0. Uvažujte křivku omezenou na interval x 0, 5 . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f (x, y, z) = x + 2y + 3z na a) na paraboloidu z = x2 + y2 . Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete, zda existují maxima a minima funkce f (x, y, z) = x + 2y + 3z na a) na paraboloidu z = x2 + y2 . b) na elipse z2 = x2 + y2 , x - y + z + 1 = 0.