Sada domácích úloh k přednášce Matematika III
k odevzdání v týdnu 2. ­ 6. října 2006
Příklad 1. Buď dáno zobrazení F : R2
 R, F(x, y) = xy sin 
2 xy2
. Ukažte, že rovnost F(x, y) =
1 zadává v nějakém okolí U bodu 1 implicitně funkci f : U  R, tak že F(x, f(x)) = 1 pro x  U.
Navíc f(1) = 1. Určtete f
(1).
Příklad 2. Určete, zda existují maxima a minima funkce f : (R+
)n
 R, f(x1, . . . , xn) =
n

x1    xn za podmínky x1 +    + xn = c, c  R+
, x1 > 0,. . . , xn > 0.
Příklad 3. Určete, zda existují maxima a minima funkce f : R3
 R, f(x, y, z) = z - xy2
na kouli
x2
+ y2
+ z2
= 1.
Pokud extrémy existují, určete je.