Příklad 1. Rozhodněte, zda funkce f : R3
 R, f(x, y, z) = x2
y nabývá extrémů na ploše 2x2
+ 2y2
+ z2
= 1. Pokud
ano, tak tyto extrémy nalezněte a určete o jaké extrémy se jedná.
Řešení. Protože vyšetřujeme extrémy spojité funkce na kompaktní množině (elipsoidu) ­ je to uzavřená a omezená
množina v Rn
­ musí na něm daná funkce nabývat jak minima, tak maxima. Navíc, protože vazební podmínka je dána
spojitě diferencovatelnou funkcí a zkoumaná funce je diferencovatelná, extrémy musí nastat ve stacionárních bodech
vyšetřované funkce na dané množině. Pro stacionární body sestavíme soustavu:
2xy = 4kx
x2
= 4ky
0 = 2kz
Jejím řešením jsou body ( 1
3
, 1
6
, 0) a ( 1
3
, - 1
6
, 0). Funkce nabývá pouze dvou funkčních hodnot v těchto čtyřech
stacionárních bodech. Z výše uvedeného vyplývá, že první dva uvedené stacionární body jsou maxima dané funkce na
uvedeném elipsoidu a druhé dva potom minima. 2
Příklad 2. Určete objem tělesa v R3
, které je dáno nerovnostmi x2
+ y2
+ z2
 1, 3x2
+ 3y2
 z2
, x  0.
Řešení.
Objem spočítáme asi nejlépe jako rozdíl objemu poloviny koule a poloviny kulové výseče dané zadaným kuželem
(všimněme si, že objem tělesa se nezmění, nahradíme-li podmínku x  0 podmínkou z  0 ­ výseč řežeme buď
,,vodorovně nebo ,,svisle , ale vždy napolovic) Budeme počítat ve sférických souřadnicích.
x = r cos() sin()
y = r sin() sin()
z = r cos()
Zadané zobrazení má Jakobián r2
sin().
V =
2
3
 -
2
0
1
0

6
0
r2
sin  d dr d =


3
.
Mohli bychom též počítat objem přímo:
V =

0
1
0
5
6

6
r2
sin  d dr d =


3
.
Ve válcových souřadnicích
x = r cos()
y = r sin()
z = z
s Jakobiánem této transformace r, vypadá výpočet objemu jako rozdílu objemu koule a kulové výseče následovně:
V =
2
3
 -
2
0
1
2
0
1
0
r dz dr d =


3
.
Všimněme si, že ve válcových souřadnicích nemůžeme spočítat objem tělesa přímo, musíme ho rozdělit na dvě tělesa
daná navíc omezením r  1
2 , resp. r  1
2 .
V = V1 + V2 =
2
0
1
2
0

3r
0
r dz dr d +
2
0
1
1
2

1-r2
0
r dz dr d
=


3
2
Další alternativou by byl výpočet objemu jako objemu rotačního tělesa, opět bychom těleso rozdělili na stejné
dvě části jako v předchozím případě a to na část ,,pod kuželem a část ,,pod sférou . Tyto části však nejsou přímo
rotačními tělesy, které dostaneme rotací podle některé z os. Objem první z nich spočítáme jako rozdíl objemu válce
x2
+ y2
 1
4 , 0  z 

3
2 a části kužele 3x2
+ 3y2
 z2
, 0  z 

3
2 , objem druhé pak jako rozdíl objemu rotačního
tělesa vziklého rotací části oblouku y = (1 - x2
), 1
2  x  1 kolem osy z a válce x2
+ y2
 1
4 , 0  z 

3
2 .
V = V1 + V2 =


3
8
-


3
24
+ 

3
2
0
(1 - r2
) dr -


3
8
=


3
4
+

4

3
=


3
Příklad 3. Uvažme následující hru dvou hráčů: na tabuli jsou napsána čísla 3,4,6,8. Hráči se střídají na tahu. Tah
spočívá ve smazání čísla a všech jeho násobků. Nakreslete graf této hry, určete hodnotu Spragueovy-Grundyovy funkce
všech vrcholů tohoto grafu a rozhodněte, za kterého hráče existuje vyhrávající strategie.
Řešení. Výhra za druhého hráče. 2
Příklad 4.
a) Dokažte nebo vyvraťte: sjednocení (případně i nekonečně mnoha) uzavřených podmnožin v Rn
je uzavřená
podmnožina v Rn
.
b) Určte počet různých koster grafu K6.
c) Napište Taylorův rozvoj druhého řádu funkce f : R2
 R, f(x, y) = xy + x v bodě (1, 1).
Řešení.
a) Tvrzení neplatí. Jako protipříklad uvažme následující sjednocení uzavřených podmnožin v R:

i=3
1
i
, 1 -
1
i
= (0, 1),
které je rovno otevřené podmnožině (0, 1) v R.
b) 64
.
c) xy + x. (Taylorův rozvoj polynomu je polynom samotný).
2