Drsná matematika Martin Panák, Jan Slovák Pokus o učební text pro začínající studenty informatiky přibližující podstatnou část matematiky v rozsahu čtyř semestrálních přednášek. Prozatím jsou zaznamenány první dva semestry přibližně v odpředneseném rozsahu. i Obsah Kapitola 1. Úvod a motivace 1 1. Čísla a funkce 1 2. Kombinatorické formule 3 3. Diferenční rovnice 7 4. Pravděpodobnost 14 5. Geometrie v rovině 23 6. Relace a zobrazení 31 Kapitola 2. Elementární lineární algebra 37 1. Vektory a matice 37 2. Determinanty 45 3. Vektorové prostory a lineární zobrazení 51 4. Vlastnosti lineárních zobrazení 62 Kapitola 3. Linární modely 73 1. Lineární rovnice a procesy 73 2. Lineární diferenční rovnice a filtry 76 3. Markovovy procesy 80 4. Více maticového počtu 83 5. Rozklady matic a pseudoinverze 88 Kapitola 4. Analytická geometrie 95 1. Afinní geometrie 95 2. Euklidovská geometrie 105 3. Projektivní geometrie 119 Kapitola 5. Zřízení ZOO 125 1. Interpolace polynomy 125 2. Spojité funkce 133 3. Derivace 146 4. Mocninné řady 155 Kapitola 6. Diferenciální a integrální počet 167 1. Derivování 167 2. Integrování 179 3. Nekonečné řady 195 Kapitola 7. Spojité modely 201 1. Fourierovy řady 201 2. Integrální transformace 207 3. Diferenciální rovnice 212 iii iv OBSAH Kapitola 8. Spojité modely podruhé 207 1. Funkce a zobrazení na Rn 207 2. Integrování podruhé 224 3. Obyčejné diferenciální rovnice podruhé 224 4. Parciální diferenciální rovnice 224 5. Poznámky o numerických metodách 224 Kapitola 9. Kombinatorické metody 225 1. Grafy a algoritmy 225 2. Odhady složitostí 225 3. Rekurence podruhé 225 Literatura 227 OBSAH v Předmluva Tento učební text vzniká průběžně při přípravě přednášek pro předměty Ma- tematika I­IV na Fakultě informatiky MU. Text se snaží prezentovat standardní výklad s akcentem na smysl a obsah prezentovaných matematických metod. Řešené úlohy pak procvičují základní pojmy, ale zároveň se snažíme dávat co nejlepší pří- klady užití matematických modelů. Studenti navíc mají řešit a odevzdávat každý týden zadávané příklady. Seminární skupiny pak obdobně standardním ,,cvičením vytváří podporu pro řešení domácích úloh. V tomto textu podáváme formální vý- klad proložený řešenými příklady, chceme dodat ale i úplný soubor řešených zadá- vaných úloh. Ne vše se daří průběžně naplňovat tak, jak bychom si představovali. Samotný te- oretický text by měl být podrobnější a lépe formulovaný, řešených příkladů bychom chtěli mít podstatně více a měly by pokrývat celou škálu složitosti, od banálních až po perličky ke skutečnému přemýšlení. Posluchače bychom rádi naučili: ˇ přesně formulovat definice základních pojmů a dokazovat jednoduchá ma- tematická tvrzení, ˇ vnímat obsah i přibližně formulovaných závislostí, vlastností a výhledů použití, ˇ vstřebat návody na užívání matematických modelů a osvojit si jejich vy- užití. K těmto ambiciózním cílům nelze dojít lehce a pro většinu lidí to znamená hledat cestu na více pokusů (s potřebným překonáváním odporu či nechutě). I proto je celý výklad strukturován tak, aby se pojmy a postupy vždy několikrát vracely s postupně rostoucí složitostí a šíří diskuse. Jsme si vědomi, že tento postup se může jevit jako chaotický, domníváme se ale, že dává mnohem lepší šanci na pochopení u těch, kteří si s hledáním cesty dají práci a překonají případný odpor. Vstup do matematiky je skoro pro každého obtížný ­ pokud už ,,víme , nechce se nám přemýšlet, pokud ,,nevíme , je to ještě horší. Jediný spolehlivý postup pro orientaci v matematice je hledat porozumnění v mnoha pokusech a hledat je při četbě v různých zdrojích. Určitě nepovažujeme tento text za dostatečný jediný zdroj pro každého. Pro ulehčení vícekolového přístupu ke čtení je text strukturován také pomocí barev takto ˇ normální text je sázen černě ˇ řešené příklady jsou sázeny barvou ˇ složitější text, který by měl být čten pozorněji, ale určitě ne přeskakován, je sázen barvou ˇ náročné pasáže, které mohou být při studiu přinejmenším napoprvé přeska- kovány jsou sázeny v barvě . vi OBSAH První dva semestry výuky už jednou proběhly a výsledných 7 kapitol máte v rukou. Popišme tedy nyní stručně obsah a také výhled na semestry následující. Úvodní motivační kapitola se snaží v rozsahu přibližně 5 týdnů přednášek ilu- strovat několik přístupů k matematickému popisu problémů. Začínáme nejjedno- duššími funkcemi (základní kombinatorické formule), naznačujeme jak pracovat se závislostmi zadanými pomocí okamžitých změn (jednoduché typy diferenčních rovnic), užití kombinatoriky a množinové algebry diskutujeme prostřednictvím ko- nečné klasické pravděpodobnosti, předvádíme maticový počet pro jednoduché úlohy rovinné geometrie a závěrem vše trochu zformalizujeme (relace, uspořádní, ekviva- lence). Nenechte se uvrhnout do chaotického zmatku příliš rychlým střídáním témat ­ cílem zde je nashromáždit něco málo netriviálních námětů k přemýšlení a hledání souvislostí i použití, ještě než zabředneme do úrovně problémů a teorií složitějších. Ke všem tématům této úvodní kapitoly se časem vrátíme. Dalších pět týdnů přednášek je věnováno základům počtu, který umožňuje práci s vícerozměrnými daty i grafikou. Jde o postupy tzv. lineární algebry, které jsou základem a konečným výpočetním nástrojem pro většinu matematických modelů. Jednoduché postupy pro práci s vektory a maticemi jsou obsahem kapitoly druhé, další kapitola je pak věnována aplikacím maticového počtu v různých lineárních modelech (systémy lineárních rovnic, lineární procesy, lineární diferenční rovnice, Markovovy procesy, lineární regrese). Poslední tři přednášky prvního semestru jsou věnovány aplikacím v geometric- kých úlohách a lze se z nich dozvědět něco málo o afinní, euklidovské a projektivní geometrii. Další semestr je věnován spojitým modelům. Chceme co nejnázorněji ukázat, že základní ideje, jak s funkcemi pracovat bývají jednoduché. Stručně řečeno, hledáme cesty, jak složitější věci nelineární povahy řešit pomocí jednoduchých lineárních triků a postupů lineární algebry. Složitosti se pojí skoro výhradně se zvládnutím rozumně velké třídy funkcí, pro které mají naše postupy být použitelné. Prvně proto přišla na řadu kapitola pátá, kde diskutujeme jaké funkce potřebujeme pro nelineární modely. Začínáme polynomy a spliny, pak postupně diskutujeme pojmy spojitosti a derivace a seznámíme se se všemi základními elementárními funkcemi a mocninnými řadami. Tím je připravena půda pro klasický diferenciální a integrální počet. Ten pre- zentujeme v kaptiole šesté s důrazem na co nejjednodušší pochopení aproximací a limitních procesů. Poslední sedmá kapitola se věnuje náznakům aplikací a snaží se co nejvíce připomínat analogie k postupům jednoduché lineární algebry z minu- lého semestru. Místo lineárních zobrazení mezi konečně rozměrnými vektorovými prostory tak pracujeme s lineárními operacemi mezi nekonečně rozměrnými vekto- rovými prostory funkcí, definovaných buď integrálními nebo diferenciálními operá- tory. Výhled obsahu pro další dva semestry je následující. Vměstná se do nich v dělení přibližně po dvou celcích v jednotlivých semestrech: (1) Nelineární modely podruhé (diferenciální a integrální počet více proměn- ných, ODE, PDE) ˇ kalkulus více proměnných, ˇ násobné integrály, ˇ metody optimalizace, ˇ systémy diferenciálních rovnic OBSAH vii (2) Kombinatorické metody (diskrétní matematika) ˇ rovinné grafy, barvení grafu, Eulerovy kružnice, problém obchodního cestujícího, stromy, minimální kostry, toky v sítích apod. ˇ rekurence, vytvořující funkce (3) Obecné matematické struktury (algebra) ˇ grupy, algebry, svazy, okruhy, pole, dělitelnost, rozklad na prvočísla, Eulerova věta, RSA algoritmus, jednoché kódy. (4) Pravděpodobnost a statistika ˇ pravděpodobnostní prostor, hustota pravděpodobnosti, normální roz- dělení, střední hodnota, medián, kvantil, rozptyl, příklady diskrétních a spojitých rozdělení ˇ statistické zpracování dat. Srpen 2006, Martin Panák, Jan Slovák KAPITOLA 1 Úvod a motivace ,,hodnota, změna, poloha ­ co to je a jak to uchopit? 1. Čísla a funkce Lidé trpí chorobnou snahou mít jasno ,,kolik něco je , případně ,,za kolik , ,,jak dlouho apod. Výsledkem takových úvah je většinou nějaké "číslo", říkejme učeněji ,,hodnota . Za číslo se přitom považuje něco, co umíme sčítat a násobit a splňuje to obvyklé zákonitosti, ať už všechny nebo jen některé. Nejjednodušším příkladem jsou tzv. čísla přirozená, budeme je značit N = {1, 2, 3, . . . }, často zvláště v informatice brána včetně nuly, a čísla celá Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }. Kdo si libuje ve formálním přístupu v rámci některé z korektních teorií množin a ví, co to je prázdná množina , může definovat e1.1 (1.1) 0 := , 1 := {}, 2 := {, 1}, . . . , n + 1 := {0, 1, . . . , n}. Pak lze snadno formálně definovat sčítání a násobení celých čísel, uspořádání, uká- zat, že každá podmnožina v N má nejmenší prvek a spoustu dalších vlastností o kterých zpravidla už dávno nepřemýšlíme a máme je za samozřejmé. Např. o číslu a řekneme, že je menší než b tehdy a jen tehdy, když a = b a a b. Nebudeme se tu tím podrobně zabývat a předpokládáme, že čtenář i čísla racionální (Q), reálná (R) a komplexní (C) důvěrně zná.1 Prakticky budeme připomínat teoretické i prak- tické souvislosti při dalším výkladu, viz příklad 1.4(1). Podobně bude konstrukce racionálních čísel z přirozených diskutována v 1.61, konstrukci reálných čísel bude vhodné zmínit při studiu limitních procesů později a již dříve budeme z různých algebraických pohledů zkoumat čísla komplexní. Pro náš další rozlet ale bude teď užitečné vyjmenovat obvyklé vlastnosti, které sčítání a násobení čísel má. Navíc, jak je v matematice obvyklé, budeme místo s čísly manipulovat s písmeny abecedy, případně jinými znaky, ať už jejich hodnota je nebo není předem známá. 1.1 1.1. Vlastnosti sčítání. (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c(KG1) a + b = b + a, pro všechny a, b(KG2) existuje prvek 0 takový, že pro všechny a platí a + 0 = a(KG3) pro všechny a existuje prvek (-a) takový, že platí a + (-a) = 0.(KG4) 1Podrobně lze formální základy matematiky nalézt např. ve skriptech Pavla Horáka [3]. 1 2 1. ÚVOD A MOTIVACE Vlastnostem (KG1) ­ (KG4) říkáme vlastnosti komutativní grupy. Celá čísla Z jsou dobrým příkladem komutativní grupy, přirozená čísla nikoliv, protože nesplňují KG4 (a případně neobsahují nulu pokud ji do N nezahrnujeme). 1.2 1.2. Vlastnosti násobení. (a b) c = a (b c), pro všechny a, b, c(O1) a b = b a, pro všechny a, b(O2) existuje prvek 1 takový, že pro všechny a platí 1 a = a(O3) a (b + c) = a b + a c, pro všechny a, b, c.(O4) Poslední vlastnosti O4 se říká distributivita. Množiny s operacemi +, a vlastnostmi (KG1)­(KG4), (O1)­(O4) se nazývají komutativní okruhy. Potřebujeme však zpravidla ještě další běžnou vlastnost čísel: (P) pro každý a = 0 existuje prvek a-1 takový, že platí, a a-1 = 1. Když naše objekty splňují navíc i (P), hovoříme o poli (často také o komuta- tivním tělese). Někdy se ale setkáme se slabší dodatečnou vlastností. Např. okruh celých čísel Z nesplňuje (P), ale splňuje (OI) a b = 0 buď a = 0 nebo b = 0. Hovoříme o oboru integrity. Prvky nějaké množiny s operacemi + a splňujícími (ne nutně všechny) výše uvedené vlastnosti (tj. komutativní okruh, obor integrity, pole) budeme nazývat skaláry. Budeme pro ně vesměs užívat latinská písmena ze začátku abecedy. Kdo chce postupovat co nejpřesněji a formálně, měl by předchozí vlastnosti brát jako axiomatickou definici příslušných matematických pojmů. Pro naše po- třeby bude stačit si průběžně uvědomovat, že při dalších diskusích budeme důsledně používat pouze tyto vlastnosti skalárů a že tady i naše výsledky budou platné pro všechny objekty s těmito vlastnostmi. V tomto je pravá síla matematických teorií ­ nejsou platné jen pro konkrétní řešený příklad. Naopak, při rozumné výstavbě mají vždy univerzální použití. Budeme se snažit tento aspekt vždy zdůrazňovat, přestože naše ambice mohou být v rámci daného časového prostoru pro přednášky jen velice skromné. 1.3 1.3. Skalární funkce. Často pracujeme s hodnotou, která není dána jako kon- krétní číslo. Místo toho něco víme o závislosti naší hodnoty na hodnotách jiných. Formálně píšeme, že hodnota y = f(x) naší ,,závislé proměnné veličiny y je dána ,,nezávislou veličinou x. Přitom můžeme znalost f brát formálně (prostě je to nějaká, blíže nespecifikovaná, závislost) nebo operačně, tj. f(x) je dáno formulí poskládanou z (prozatím si představme konečně mnoha) známých operací. Pokud je hodnotou skalár, hovoříme o skalární funkci. Také může být ale hodnota dána pouze přibližně nebo s jistou pravděpodobností. Smyslem matematických úvah pak bývá z neformálního popisu závislostí najít explicitní formule pro funkce, které je popisují. Podle typu úlohy a cíle se pak pracuje: ˇ s přesným a konečným výrazem ˇ s nekonečným výrazem ˇ s přiblížením neznámé funkce známým odhadem (většinou s vyčíslenou možnou chybou) 2. KOMBINATORICKÉ FORMULE 3 ˇ s odhadem hodnot s vyčíslením jejich pravděpodobnosti apod. Skalární funkcí je např. roční mzda pracovníka (hodnoty nezávislé veličiny jsou jednotliví pracovníci x z nějaké množiny, f(x) je jejich roční mzda za dané období), nebo měsíční mzda konkrétního pracovníka v čase (nezávislou hodnotou je čas v měsících, závislou příjem). Jiným příkladem je třeba plocha obrazce v rovině, objem tělesa v prostoru, rychlost konkrétního auta v čase atd. Dovedeme si jistě představit, že ve všech uvedených případech může být hodnota dána nějakou volně popsanou souvislostí nebo naměřena přibližně nebo odhadnuta atd. 1.4 1.4. Příklady. (1) Podívejme se na obyčejné sčítání přirozených čísel jako na ope- račně definovanou skalární funkci. Definujeme a + b jako výsledek procedury, ve které k a přičítáme 1. Tak jsme vlastně obecně a + 1 definovali v rovnicích (1.1). Zároveň odebereme z b nejmenší prvek, dokud není b prázdná. Je evidentní, že takto definované sčítání sice je dáno formulí, tato ale není vhodná pro praktické počítání. Tak tomu bude v našem výkladu často ­ teoreticky korektní definice pojmu nezna- mená, že úkony s ním spojené jsou efektivně vykonavatelné. Právě k tomu budeme postupně rozvíjet celé teorie, abychom praktické nástroje získávali. Co se týče při- rozených čísel, od školky je umíme sčítat zpaměti a rychle (pokud jsou malá) a s většími si poradí počítače (pokud nejsou příliš velká). (2) Důležitou operačně definovou skalární funkcí na přirozených číslech je fak- toriál, který definujeme vztahy f(0) = 1, f(n + 1) = (n + 1) f(n). Píšeme f(n) = n! a definice zjevně znamená n! = n(n-1) 1. To také není příliš efektivní formule pro velká n, lepší ale těžko hledat. 2. Kombinatorické formule 1.5 1.5. Permutace, kombinace a variace. Jestliže z množiny n předmětů vytvá- říme nějaké pořadí jejich prvků, máme pro volbu prvního prvku n možností, další je volen z n-1 možností atd., až nám nakonec zbude jediný poslední prvek. Zjevně tedy je na dané konečné množině S s n prvky právě n! různých pořadí. Hovoříme o permutacích prvků množiny S. Jestliže si předem prvky v S očíslujeme, tj. ztotož- níme si S s množinou S = {1, . . . , n} n přirozených čísel, pak permutace odpovídají možným pořadím čísel od jedné do n. Máme tedy příklad jednoduché matematické věty a naši předchozí diskusi je možné považovat za její důkaz: Tvrzení. Počet různých pořadí na konečné množině s n prvky je dán známou funkcí faktoriál: e1.1a (1.2) f(n) = n! Dalším jednoduchým příkladem hodnoty určené formulí jsou tzv. binomická čísla, která vyjadřují, kolika způsoby lze vybrat k různých rozlišitelných předmětů z množiny n předmětů. Zjevně máme n(n - 1) (n - k + 1) možných výsledků postupného výběru našich k prvků, přitom ale stejnou výslednou k-tici dostaneme v k! různých pořadích. Proto pro počet kombinací k-tého stupně z n prvků platí (samozřejmě je k n) e1.2 (1.3) c(n, k) = n k = n(n - 1) . . . (n - k + 1) k(k - 1) . . . 1 = n! (n - k)!k! . 4 1. ÚVOD A MOTIVACE Ani toto není pro výpočet moc uspokojivá formule při velikých k i n, protože obsahuje výrazy pro faktoriály. Pokud nám ale záleží i na pořadí vybrané k-tice prvků, hovoříme o variaci k-tého stupně. Jak jsme si již ověřili, pro počet variací platí v(n, k) = n(n - 1) (n - k + 1) pro všechny 0 k n (a nula jinak). Binomická čísla dostala svůj název od tzv. binomického rozvoje, tj. roznásobení n-té mocniny dvojčlenu. Počítáme-li totiž (a+b)n , bude koeficient u mocniny ak bn-k pro každé 0 k n roven právě počtu možností, jak vybrat k-tici z n závorek v součinu (ty, kde bereme do výsledku a). Platí proto e1.3 (1.4) (a + b)n = n k=0 n k ak bn-k a všimněme si, že pro odvození jsme potřebovali pouze distributivitu, komutativnost a asociativitu násobení a sčítání. Formule (1.4) proto platí v každém komutativním okruhu. Jako další jednoduchou ukázku, jak vypadá matematický důkaz si odvoďme několik jednoduchých tvrzení o kombinačních číslech. Pro zjednodušení formulací definujme n k = 0, kdykoliv je buď k < 0 nebo k > n. 1.6 1.6. Tvrzení. Pro všechna přirozená čísla k a n platí (1) n k = n n-k (2) n+1 k+1 = n k + n k+1 (3) n k=0 n k = 2n (4) n k=0 k n k = n2n-1 . Důkaz. První tvrzení je zjevné přímo z formule (1.3). Jestliže vyčíslíme pravou stranu z tvrzení (2), dostáváme n k + n k + 1 = n! k!(n - k)! + n! (k + 1)!(n - k - 1)! = (k + 1)n! + (n - k)n! (k + 1)!(n - k)! = (n + 1)! (k + 1)!(n - k)! což je ale levá strana tohoto tvrzení. Tvrzení (3) zjevně platí pro n = 0, protože 0 0 = 1 = 20 . (Stejně tak je přímo vidět i pro n = 1.) Předpokládejme, že platí pro nějaké n a spočtěme příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2) i (3). Dostaneme n+1 k=0 n + 1 k = n k=-1 n k + n+1 k=0 n k = 2n + 2n = 2n+1 . Prakticky stejně dokážeme i (4). Zjevně platí pro n = 0, předpokládejme, že platí pro nějaké n, a spočtěme příslušnou sumu pro n + 1 s využitím tvrzení (2). 2. KOMBINATORICKÉ FORMULE 5 Dostaneme n+1 k=0 k n + 1 k = n k=-1 (k + 1) n k + n+1 k=0 k n k = n k=0 n k + n k=0 k n k + n k=0 k n k = 2n + n2n-1 + n2n-1 = (n + 1)2n . Druhá vlastnost z našeho tvrzení umožňuje sestavit všechna kombinační čísla do tzv. Pascalova trojúhelníku, kde každé číslo obdržíme jako součet dvou bezpro- středně nad ním ležících sousedů: n = 0 : 0 1 0 n = 1 : 0 1 1 0 n = 2 : 0 1 2 1 0 n = 3 : 0 1 3 3 1 0 n = 4 : 0 1 4 6 4 1 0 n = 5 : 1 5 10 10 5 1 Všimněme si, že v jednotlivých řádcích máme právě koeficienty u jednotlivých moc- nin z výrazu (1.4), např. poslední uvedený řádek říká (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 . Uveďme si příklad demonstrující kombinatorické úvahy (berte to jako zahřívací rozcvičku!): 1.7. Počet čísel ze dvou cifer. Určete počet čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Dvě různé cifry použité na zápis můžeme vybrat 10 2 způsoby, ze dvou vybraných cifer můžeme sestavit 24 - 2 různých dvojciferných čísel (dvojku odečí- táme za dvě čísla složená pouze z jedné cifry). Celkem máme 10 2 (24 - 2) = 630 čísel. Nyní jsme ale započítali i čísla začínající nulou. Těch je 9 1 (23 - 1) = 63. Celkově dostáváme 630 - 63 = 567 čísel. Určete počet sudých čtyřciferných čísel sestavených z právě dvou různých cifer. Řešení. Obdobně jako v předchozím příkladu se nejprve nebudeme ohlížet na cifru nula. Dostaneme tak 5 2 (24 -2)+55(23 -1) čísel (nejprve počítáme čísla pouze ze sudých cifer, druhý sčítanec udává počet sudých čtyřciferných čísel složených ze sudé a liché cifry). Opět musíme odečíst čísla začínající nulou, těch je (23 -1)4+(22 -1)5. Hledaný počet cifer tak je 5 2 (24 - 2) + 5 5(23 - 1) - (23 - 1)4 - (22 - 1)5 = 272. Kolika způsoby lze do tří různých obálek rozmístit pět shodných stokorun a pět shodných tisícikorun tak, aby žádná nezůstala prázdná? Řešení. Nejdříve zjistíme všechna rozmístění bez podmínky neprázdnosti. Těch je podle pravidla součinu (rozmísťujeme nezávisle stokoruny a tisícikoruny) C(3, 5)2 = 7 2 2 . Odečteme postupně rozmístění, kdy je právě jedna obálka prázdná, a poté kdy 6 1. ÚVOD A MOTIVACE jsou dvě obálky prázdné. Celkem C(3, 5)2 -3(C(2, 5)2 -2)-3 = 7 2 2 -3(62 -2)-3 = 336. 1.8a 1.8. Permutace, kombinace a variace s opakováním. Pořadí n prvků, z nichž mezi některými nerozlišujeme, nazýváme permutace s opakovaním. Nechť je mezi n danými prvky p1 prvků prvního druhu, p2 prvků druhého druhu, . . . , pk prvků k-tého druhu, p1 +p2 + +pk = n, potom počet pořadí těchto prvků s opakováním budeme značit P(p1, . . . , pk). Zřejmě platí P(p1, . . . , pk) = n! p1! pk! . Volný výběr prvků z n možností, včetně pořadí, nazýváme variace k-tého stupně s opakováním, jejich počet budeme značit V (n, k). Předpokládáme, že stále máme pro výběr stejně možností, např. díky tomu, že vybrané prvky před dalším výběrem vracíme nebo třeba házíme pořád stejnou kostkou. Zřejmě platí V (n, k) = nk . Pokud nás výběr zajímá bez zohlednění pořadí, hovoříme o kombinacích s opako- váním a pro jejich počet píšeme C(n, k). Věta. Počet kombinací s opakováním k-té třídy z n prvků je pro všechny 0 k a 0 < n C(n, k) = n + k - 1 k . Důkaz. Důkaz je opřen o trik (jednoduchý, když ho někdo už zná). Nechť x1, . . . , xk je kombinace libovolných prvků z dané množiny S = {a1, . . . , an}, na které si zafixujeme uvedené pořadí prvků. Jednotlivé volby xi přidáme do pořadí a1, . . . tam, kde je shodný prvek. Např. pro S = {a, b, c, d} a volbu x1 = b, x2 = c, x3 = b dostaneme S = [a, b, b, b, c, c, d]. Nyní si uvědomme, že pro rozpoznání původní kombinace nám stačí vědět, kolik je prvků v jednotlivých skupinách (je tam vždy právě o jeden prvek více než kolik patří do kombinace). Můžeme si to znázornit a | bbb | cc | d | | | , protože příslušnost jednotlivých přihrádek k prvkům S je námi pevně zvolena. Počet C(n, k) je proto roven počtu možných umístění přihrádek |, tj. výběr n - 1 pozic z n + k - 1 možných. Příklady na procvičení: 4. 1.9. Určení počtu řešení rovnice. Pro libovolné pevné n N určete počet všech řešení rovnice x1 + x2 + + xk = n v množině přirozených čísel. Řešení. Řešení je samozřejmě velice silně závislé na tom, jestli považujeme nulu za přirozené číslo. Rozhodněme se, že ne, ale určeme nejprve počet řešení rovnice v množině celých nezáporných čísel. Každé řešení (r1, . . . , rk), k i=1 ri = n můžeme jednoznačně zašifrovat jako posloupnost jedniček a nul, ve které napíšeme nejprve r1 jedniček, pak nulu, pak r2 jedniček, nulu a tak dále. Posloupnost bude celkem 3. DIFERENČNÍ ROVNICE 7 obsahovat n jedniček a k - 1 nul. Každá taková posloupnost navíc zřejmě určuje nějaké řešení dané rovnice. Je tedy řešení tolik, kolik je posloupností, tedy n+k-1 n . Hledáme-li řešení v oboru přirozených čísel, tak si všimněme, že přirozená čísla x1, . . . xk jsou řešením dané rovnice, právě když jsou celá nezáporná čísla yi = xi-1, i = 1, . . . , k, řešením rovnice y1 + y2 + + yk = n - k. Těch je podle první části řešení n-1 k-1 . 1.10. Příklad. Určete počet různých vět, které vzniknou přesmyčkami v jednotli- vých slovech věty ,,Skokan na koks (vzniklé věty ani slova nemusejí dávat smysl). Řešení. Určíme nejprve počty přesmyček jednotlivých slov. Ze slova ,,skokan do- staneme 6!/2 různých přesmyček (permutace s opakováním P(1, 1, 1, 1, 2)), obdobně ze slova ,,na dvě a ze slova ,,koks 4!/2. Celkem podle pravidla součinu 6!4!/2. 1.11. Příklad. Kolika způsoby můžeme do pěti různých důlků vybrat po jedné kouli, vybíráme-li ze čtyř bílých, čtyř modrých a tří červených koulí? Řešení. Nejprve řešme úlohu v případě, že bychom měli k dispozici alespoň pět koulí od každé barvy. V tomto případě se jedná o volný výběr pěti prvků ze tří možností, tedy o variace s opakováním třetí třídy z pěti prvků (viz odstavec 2.4. učebních textů). Máme V (3, 5) = 35 . Nyní odečteme ty výběry, ve kterých se vyskytují buď pouze koule stejné barvy (takové výběry jsou tři), nebo právě čtyři koule červené (takových výběrů je 10 = 2 5; nejprve vybereme barvu koule, která nebude červená ­ dvě možnosti ­ a poté důlek, ve kterém bude ­ pět možností). Celkem tedy máme 35 - 3 - 10 = 230 možných výběrů. 3. Diferenční rovnice V předchozích odstavcích jsme viděli formule, které zadávaly hodnotu skalární funkce definované na přirozených číslech (faktoriál) nebo dvojicích čísel (binomická čísla) pomocí předcházejících hodnot. Tomu lze rozumět také tak, že místo hod- noty naší funkce zadáváme její změnu při odpovídající změně nezávislé proměnné. Porovnejte si formule v 1.4 a v 1.6. Takto se skutečně velice často postupuje při matematické formulaci modelů, které popisují reálné systémy v ekonomice, biologii apod. My si tu povšimneme jen několika jednoduchých případů a budeme se k této tématice postupně vracet. 1.8 1.12. Lineární rovnice prvního řádu. Obecnou diferenční rovnicí prvního řádu rozumíme výraz f(n + 1) = F(n, f(n)), kde F je známá skalární funkce závislá na dvojicích přirozených čísel. Je zřejmé, že takový vztah, spolu s volbou pro f(0), zadává jednoznačně celou nekonečnou posloupnost hodnot f(0), f(1), . . . , f(n), . . . . Jako příklad může sloužit definiční formule pro faktoriál, tj. n! = n (n - 1)!. Vidíme, že skutečně vztah pro f(n + 1) závisí na n i hodnotě f(n). 8 1. ÚVOD A MOTIVACE Po konstantní závislosti je nejjednodušší tzv. lineární diferenční rovnice e1.4 (1.5) f(n + 1) = a f(n) + b, kde a, b N. Takovou rovnici umíme snadno řešit. Je-li b = 0, pak zjevně f(n) = an f(0). To je např. vztah pro tzv. Malthusiánský model populačního růstu, který vychází z představy, že za zvolený časový interval vzroste populace s konstantní úměrou a vůči předchozímu stavu. Dokážeme si obecný výsledek pro rovnice prvního řádu, které se podobají lineárním, ale připouští proměnné koeficienty a a b, tj. e1.5 (1.6) f(n + 1) = an f(n) + bn 1.9 1.13. Věta. Obecné řešení diferenční rovnice (1.6) prvního řádu s počáteční podmínkou f(0) = y0 je dáno vztahem e1.6 (1.7) f(n) = n-1Y i=0 ai ! y0 + n-1X r=0 n-1Y i=r+1 ai ! br. Důkaz. Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Pro zjednodušení zápisu užíváme konvenci, že konečný součin s prázdnou množinou součinitelů je roven jedné (podobně jako součet s prázdnou množinou sčítanců je roven nule). To je zapotřebí v samotné formuli v pravém sčítanci pro hodnotu r = n - 1, kde není žádné vyhovující i. Zjevně pak tvrzení platí pro n = 1, kdy se jedná právě o definiční vztah f(1) = a0y0 +b0. Předpokádáme-li, že tvrzení platí pro libovolné pevně zvolené n, můžeme snadno spočíst: f(n + 1) = an n-1Y i=0 ai ! y0 + n-1X r=0 n-1Y i=r+1 ai ! br ! + bn = nY i=0 ai ! y0 + nX r=0 nY i=r+1 ai ! br, jak se přímo vidí roznásobením výrazů. 1.10 1.14. Důsledek. Obecné řešení lineární diferenční rovnice (1.5) s a = 1 a počá- teční podmínkou f(0) = y0 je e1.7 (1.8) f(n) = an y0 + 1 - an 1 - a b. Důkaz. Dosazením konstantních hodnot za ai a bi do obecné formule dostá- váme zjevně první sčítanec okamžitě. Pro vyčíslení součtu součinů v druhém si je třeba všimnout, že se jedná o výrazy (1 + a + + an-1 )b. Sečtením této geomet- rické řady (připomeňme, že 1 - an = (1 - a)(1 + a + + an-1 )) dostaneme právě požadovaný výsledek. Uveďme si praktický příklad na řešení diferenčních rovnic prvního řádu: 3. DIFERENČNÍ ROVNICE 9 1.15. Splácení půjčky. Mirek si chce koupit nové auto. Auto stojí 300 000 Kč. Mirek by chtěl auto koupit na měsíční splátky. Prodávající společnost mu nabízí půjčku na koupi auta s ročním úrokem 6%. Mirek bych chtěl auto splatit za tři roky. Jak vysoká bude měsíční splátka? Řešení. Označme Mirkovu měsíční splátku S. Po prvním měsíci splatí Mirek S korun, z nichž část půjde na vlastní splátku, část na splacení úroku. Částku, kterou bude Mirek dlužit po uplynutí k měsíců označme dk. Po prvním měsíci bude Mirek dlužit (1.9) d1 = 300000 - S + 0, 06 12 300000. Obecně po uplynutí k-tého měsíce lr (1.10) dk = dk-1 - S + 0, 06 12 dk-1. Podle vztahu (1.8) je dk dáno následovně (1.11) dk = (1 + 0, 06 12 )k 300000 - ((1 + 0, 06 12 )k - 1)( 12S 0, 06 ). Splacení po třech letech se rovná podmínce d36 = 0, odkud dostáváme (1.12) S = 300000 0,06 12 1 - (1 + 0,06 12 )-36 . = 9127. Všimněme si, že rekurentní vztah (1.10) můžeme použít na náš příklad pouze tak dlouho, dokud budou všechna y(n) kladná, tj. dokud bude Mirek skutečně něco dlužit. Otázka. Jak dlouho by Mirek auto splácel, kdyby chtěl měsíčně splácet 5000 Kč? Řešení. Při označení q = 1, 005, c = 300000 nám podmínka dk = 0 dává vztah qk = 200S 200S - c , jehož logaritmováním obdržíme k = ln 200S - ln(200S - c) ln g , což pro S = 5000 dává přibližně k = 71, 5, tedy splácení půjčky by trvalo šest let (poslední splátka by nebyla plných 5 000 Kč). 1.11 1.16. Rovnice druhého řádu. Obecně nazýváme diferenční rovnicí řádu k vztah f(n + k) = F(n, f(n), . . . , f(n + k - 1)) = 0, kde F je známá skalární funkce v k + 1 proměnných skalárních veličinách. Celá poslounost hodnot je jednoznačně určena volbou k-tice čísel f(0), . . . , f(k - 1). Lineární diferenční rovnicí druhého řádu rozumíme e1.8 (1.13) f(n + 2) = a f(n + 1) + b f(n) + c, kde a, b, c jsou známé skalární koeficienty. Dobře známým příkladem s c = 0 je např. Fibonacciho posloupnost čísel y0, y1, . . . , viz příklad 1.17. Zkusme dosadit do rovnice (1.13) podobné řešení jako u lineárních, tj. f(n) = n pro nějaké skalární . Dosazením dostáváme n+2 - an+1 - bn = n (2 - a - b) = 0 10 1. ÚVOD A MOTIVACE a odtud vidíme, že buď je = 0 nebo 1 = 1 2 (a + a2 + 4b), 2 = 1 2 (a - a2 + 4b). Protože součet dvou řešení rovnice f(n + 2) - a f(n + 1) - b f(n) = 0 je opět řešením téže rovnice a totéž platí pro konstatní násobky řešení, odvodili jsme obecné řešení f(n) = C1n 1 +C2n 2 a pro jednoznačné vyřešení konkrétní úlohy se zadanými počátečními hodnotami f(0) a f(1) nám zbývá jen najít příslušné konstanty C1 a C2. Ukažme alespon na jednom příkladě. e1.9 (1.14) yn+2 = yn+1 + 1 2 yn y0 = 2, y1 = 0. V našem případě je tedy 1,2 = 1 2 (1 3) a zjevně y0 = C1 + C2 = 2 a y1 = 1 2 C1(1 + 3) + 1 2 C2(1 - 3) je splněno pro právě jednu volbu těchto konstant. Přímým výpočtem C1 = 1 - 1 3 3, C2 = 1 + 1 3 3. Tento příklad je velice poučný z mnoha důvodů. Na první pohled je vidět, že po- užitá metoda funguje pro obecné lineární diferenční rovnice bez absolutních členů. Řešení tu lze hledat pomocí kořenů tzv. charakteristického polynomu rovnice. Dále si všimněme, že i když nalezená řešení pro rovnice s celočíselnými koeficienty vypa- dají složitě a jsou vyjádřena pomocí iracionálních (případně komplexních) čísel, o samotném řešení dopředu víme, že je celočíselné též. Bez tohoto ,,úkroku do vět- šího oboru skalárů bychom ovšem obecné řešení napsat neuměli. S podobnými jevy se budeme potkávat velice často. Obecné řešení nám také umožňuje bez přímého vyčíslování konstant diskutovat kvalitativní chování posloupnosti čísel f(n), tj. zda se budou s rostoucím n blížit k nějaké pevné hodnotě nebo utečou do neomezených kladných nebo záporných hodnot. Ukážeme ,,populační model , který je příkladem na rekurentní rovnici druhého řádu: 1. 1.17. Fibonacciho posloupnost. Na začátku jara přinesl čáp na louku dva čer- stvě narozené zajíčky, samečka a samičku. Samička je schopná od dvou měsíců stáří povít každý měsíc dva malé zajíčky (samečka a samičku). Nově narození zajíci splodí potomky po jednom měsíci a pak každý další měsíc. Každá samička je březí jeden měsíc a pak opět porodí samečka a samičku. Kolik párů zajíců bude na louce po devíti měsících (pokud žádný neumře a žádný se tam ,,nepřistěhuje )? Řešení. Po uplynutí prvního měsíce je na louce pořád jeden pár, nicméně samička otěhotní. Po dvou měsích se narodí první potomci, takze na louce budou dva páry. Po uplynutí každého dalšího měsíce se narodí (tedy přibude) tolik zajíců, kolik otě- hotnělo zaječic před měsícem, což je přesně tolik, kolik bylo před měsícem párů schopných splodit potomka, což je přesně tolik, kolik bylo párů před dvěma mě- síci. Celkový počet pn zajíců po uplynutí n-tého měsíce tak je tak součtem počtů párů v předchozích dvou měsících. Pro počet párů zajíců na louce tedy dostáváme homogenní lineární rekuretní formuli fib (1.15) pn+2 = pn+1 + pn, n = 1, . . . , která spolu s počátečními podmínkami p1 = 1 a p2 = 1 jednoznačně určuje počty párů zajíců na louce v jednotlivých měsících. Linearita formule znamená, že všechny členy posloupnosti (pn) jsou ve vztahu v první mocnině, rekurence je snad jasná a homogenita značí, že v předpisu chybí absolutní člen (viz dále pro nehomogenní 3. DIFERENČNÍ ROVNICE 11 formule). Pro hodnotu n-tého členu můžeme odvodit explicitní formuli. V hledaní formule nám pomůže pozorování, že pro jistá r je funkce rn řešením rekurentní formule bez počátečních podmínek. Tato r získáme prostě tak, že dosadíme do rekurentního vztahu: rn+2 = rn+1 + rn a po vydělení rn dostanemefib (1.16) r2 = r + 1,(1.17) což je tzv. charakteristická rovnice daného rekurentního vztahu. Naše rovnice má kořeny 1- 5 2 a 1+ 5 2 a tedy posloupnosti an = (1- 5 2 )n a bn = (1+ 5 2 )n , n 1 vyhovují danému vztahu. Zřejmě také jejich libovolná lineární kombinace cn = san +tbn, s, t R. Čísla s a t můžeme zvolit tak, aby výsledná kombinace splňovala dané počáteční podmínky, v našem případě c1 = 1, c2 = 1. Pro jednoduchost je vhodné navíc ještě dodefinovat nultý člen posloupnosti jako c0 = 0 a spočítat s a t z rovnic pro c0 a c1. Zjistíme, že s = - 1 5 , t = 1 5 a tedy (1.18) pn = (1 + 5)n - (1 - 5)n 2n( 5) . Takto zadaná posloupnost splňuje danou rekurentní formuli a navíc počáteční pod- mínky c0 = 0, c1 = 1, jedná se tedy o tu jedinou posloupnost, která je těmito požadavky jednoznačně zadána. Posloupnost zadaná rekurentní formulí (1.15) se nazývá Fibonacciho posloup- nost. Tato formule je příkladem homogenní lineární diferenční rovnice. Další příklad ukáže na ekonomickém modelu případ tzv. nehomogenní diferenční rovnice 3. 1.18. Zjednodušený model chování národního produktu. (1.19) yk+2 - a(1 + b)yk+1 + abyk = 1, kde yk je národní produkt v roce k, konstanta a je takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které mají oby- vatelé k dispozici, utratí a konstanta b popisuje jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním sklonu ke spotřebě. Předpokládáme dále, že velikost národního produktu je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo číslo 1. Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = 3 4 , b = 1 3 , y0 = 1, y1 = 1. Řešení. Nejprve budeme hledat řešení homogenní rovnice (pravá strana nulová) ve tvaru rk . Číslo r musí být řešením charakteristické rovnice x2 - a(1 + b)x + ab = 0, tj. x2 - x + 1 4 = 0, která má dvojnásobný kořen 1 2 . Všechna řešení homogenní rovnice jsou potom tvaru a(1 2 )n + bn(1 2 n ). Dále si všimněme, že najdeme-li nějaké řešení nehomogenní rovnice (tzv. par- tikulární řešení), tak pokud k němu přičteme libovolné řešení homogenní rovnice, obdržíme jiné řešení nehomogenní rovnice. Lze ukázat, že takto získáme všechna řešení nehomogenní rovnice. V našem případě (tj. pokud jsou všechny koeficienty i nehommogenní člen kon- stantami) je partikulárním řešením konstanta yn = c, dosazením do rovnice máme 12 1. ÚVOD A MOTIVACE c - c + 1 4 c = 1, tedy c = 4. Všechna řešení diferenční rovnice yk+2 - yk+1 + 1 4 yk = 1 jsou tedy tvaru 4 + a(1 2 )n + bn(1 2 )n . Požadujeme y0 = y1 = 1 a tyto dvě rovnice dávají a = b = -3, tedy řešení naší nehomogenní rovnice je yn = 4 - 3 1 2 n - 3n 1 2 n . Opět, protože víme, že posloupnost zadaná touto formulí splňuje danou diferenční rovnici a zároveň dané počáteční podmínky, jedná se vskutku o tu jedinou posloup- nost, která je těmito vlastnostmi charakterizována. V předchozím příkladu jsme použili tzv. metodu neurčitých koeficientů. Ta spo- čívá v tom, že na základě nehomogenního členu danéneho diferenční rovnice ,,uhod- neme tvar partikulárního řešení. Tvary partikulárních řešení jsou známy pro celou řadu nehomogenních členů. Např. rovnice (1.20) yn+k + a1yn+k-1 + + akyn = Pm(n), s reálnými kořeny charakteristické rovnice má partikulární řešení tvaru Qm(n), kde Pm(n) a Qm(n) jsou polynomy stupně m. Další možnou metodou řešení je tzv. variace konstant, kdy nejprve najdeme řešení y(n) = k i=1 cifi(n) zhomogenizované rovnice a po té uvažujeme konstanty ci jako funkce ci(n) pro- měnné n a hledáme partikulární řešení dané rovnice ve tvaru y(n) = k i=1 ci(n)fi(n). Ukažme si na obrázku hodnoty fi pro i 35 a rovnicí f(n) = 9 8 f(n - 1) - 3 4 f(n - 2) + 1 2 , f(0) = f(1) = 1 x 1 35 0,95 30 0,9 0,85 25 0,8 0,75 20 0,7 151050 A ještě jeden příklad. 3. DIFERENČNÍ ROVNICE 13 Příklad. Nalezněte explicitní vzorec pro posloupnost vyhovující následující lineární diferenční rovnici s počátečními podmínkami: xn+2 = 2xn + n, x1 = 2, x2 = 2. Řešení. Řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a( 2)n + b(- 2)n . Partikulárním řešením je posloupnost -n - 2. Dosazením do počátečních podmínek dostaneme pro řešení tvaru a( 2)n + b(- 2)n - n - 2, že a = 6+5 2 4 , b = 6-5 2 4 . Řešením je posloupnost xn = 6 + 5 2 4 ( 2)n + 6 - 5 2 4 (- 2)n - n - 2. 1.12 1.19. Nelineární příklad. Vraťme se na chvíli k rovnici prvního řádu, kterou jsme velice primitivně modelovali populační růst závisející přímo úměrně na oka- mžité velikosti populace p. Realističtější model bude mít takto úměrnou změnu populace p(n) = p(n + 1) - p(n) jen při malých hodnotách p, tj. p/p r > 0. Při určité limitní hodnotě p = K > 0 ale naopak už populace neroste a při ještě větších už klesá. Předpokládejme, že právě hodnoty yn = p(n)/p(n) závisí na p(n) lineárně. Chceme tedy popsat přímku v rovině proměnných p a y, která prochází body [0, r] a [K, 0]. Položíme proto y = - r K p + r. Dosazením za y dostáváme p(n+1)-p(n) = p(n)(- r K p(n)+r), tj. diferenční rovnici prvního řádu (1.21) p(n + 1) = p(n)(1 - r K p(n) + r). Zkuste si promyslet nebo vyzkoušet chování tohoto modelu pro různé hodnoty r a K. Na obrázku je průběh hodnot pro parametry r = 0, 05 (tj. pětiprocentní nárůst v ideálním stavu), K = 100 (tj. zdroje limitují hodnotu na 100 jedinců) a počáteční stav jsou právě dva jedinci. 100 80 60 40 20 x 200150100500 14 1. ÚVOD A MOTIVACE 4. Pravděpodobnost Předchozí sekce naznačila, že hodnoty skalárních funkcí umíme definovat po- mocí popisu jejich změn v závislosti na změnách závislé proměnné. Teď se podíváme na další obvyklý případ ­ sledované hodnoty často nejsou známy ani explicitně for- mulí, ani implicitně nějakým popisem. Jsou výsledkem nějaké nahodilosti a my se snažíme popsat s jakou pravděpodobností nastane ta či ona možnost. 1.20. Co je pravděpodobnost? Nejbanálnějším příkladem může sloužit obvyklé házení kostkou s šesti stranami s označeními 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pokud popisujeme ma- tematický model takového házení ,,poctivou kostkou, budeme očekávat a tudíž i předepisovat, že každá ze stran padá stejně často. Slovy to vyjadřujeme ,,každá pře- dem vybraná strana padne s pravděpodobností 1 6 . Pokud ale si třeba sami nožíkem vyrobíme takovou kostku, je jisté, že skutečné relativní četnosti výsledků nebudou stejné. Pak můžeme z velikého počtu pokusů usoudit na relativní četnosti jednotli- vých výsledků hodů a tyto ustanovit jako pravděpodobnosti v našem matematickém popisu. Nicméně při sebevětším počtu pokusů nemůžeme vyloučit možnost, že se náhodou povedla velice nepravděpodobná kombinace výsledků a že se tím náš ma- tematický model skutečnosti stal (pro tento konkrétní případ) nedobrým. V dalším budeme pracovat s abstraktním matematickým popisem pravděpo- dobnosti v nejjednoduším přiblížení. To, do jaké míry je takový popis adekvátní pro konkrétní pokusy či jiný problém, je záležitostí mimo samotnou matematiku. To ale neznamená, že by se takovým přemýšlením neměli zabývat matematikové také (nejspíše ve spolupráci s jinými experty). Později se vrátíme k pravděpodobnosti (jakožto teorii popisující chování nahodilých procesů nebo i plně determinovaných dějů, kde ovšem neznáme přesně všechny určující parametry) a matematické sta- tistice (jakožto teorii umožňující posoudit, do jaké míry lze očekávat, že vybraný model je ve shodě s realitou). K tomu ovšem bude již potřebný dosti rozsáhlý matematický aparát, který budeme mezitím několik semestrů budovat. 1.21. Náhodné jevy. Budeme pracovat s neprázdnou pevně zvolenou množinou všech možných výsledků, kterou nazýváme základní prostor. Pro jednoduchost bude pro nás konečná množina s prvky 1, . . . , n, představujícími jednotlivé možné výsledky. Každá podmnožina A představuje možný jev. Systém pod- množin A základního prostoru se nazývá jevové pole, jestliže ˇ A, tj. základní prostor, je jevem, ˇ je-li A, B A, pak A\B A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich množinový rozdíl, ˇ jsou-li A, B A, pak A B A, tj. pro každé dva jevy je jevem i jejich sjednocení. Slovy se tak dá jevové pole charakterizovat jako systém podmnožin (konečného) základního prostoru uzavřený na průniky, sjednocení a rozdíly. Jednotlivé množiny A A nazýváme náhodné jevy (vzhledem k A). Zjevně je i komplement Ac = \ A jevu A je jevem, který nazýváme opačný jev k jevu A. Průnik dvou jevů opět jevem, protože pro každé dvě podmnožiny A, B platí A \ ( \ B) = A B. 4. PRAVDĚPODOBNOST 15 Pro naše házení kostkou je = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a jevové pole je tvořeno všemi podmnožinami. Např. náhodný jev {1, 3, 5} pak interpretujeme jako ,,padne liché číslo . Něco málo terminologie, která by měla dále připomínat souvislosti s popisem skutečných modelů: ˇ celý základní prostor se nazývá jistý jev, prázdná podmnožina A se nazývá nemožný jev, ˇ jednoprvkové podmnožiny {} se nazývají elementární jevy, ˇ společné nastoupení jevů Ai, i I, odpovídá jevu iIAi, nastoupení alespoň jednoho z jevů Ai, i I, odpovídá jevu iIAi, ˇ A, B A jsou neslučitelné jevy, je-li A B = , ˇ jev A má za důsledek jev B, když A B, ˇ je-li A A, pak se jev B = \ A nazývá opačný jev k jevu A, píšeme B = Ac . Přestavte si příklady všech uvedených pojmů pro jevový prostor popisující házení kostkou nebo obdobně pro házení mincí! 1.22. Definice. Pravděpodobnostní prostor je jevové pole A podmnožin (koneč- ného) základního prostoru , na kterém je definována skalární funkce P : A R s následujícími vlastnosti: ˇ je nezáporná, tj. P(A) 0 pro všechny jevy A, ˇ je aditivní, tj. P(A B) = P(A) + P(B), kdykoliv je A B = a A, B A, ˇ pravděpodobnost jistého jevu je 1. Funkci P nazýváme pravděpodobností na jevovém poli (, A). Zjevně je okamžitým důsledkem našich definic řada prostých ale užitečných tvrzení. Např. je pro všechny jevy P(Ac ) = 1 - P(A). Dále můžeme matematickou indukcí snadno rozšířit aditivnost na jakýkoliv konečný počet neslučitelných jevů Ai , i I, tj. P(iIAi) = iI P(Ai), kdykoliv je Ai Aj = , i = j, i, j I. 1.23. Definice. Nechť je konečný základní prostor a nechť jevové pole A je právě systém všech podmnožin v . Klasická pravděpodobnost je takový pravděpodob- nostní prostor (, A, P) s pravděpodobnostní funkcí P : A R, P(A) = |A| || . Zjevně takto zadaná funkce skutečně definuje pravděpodobnost, ověřte si sa- mostatně všechny požadované axiomy. Uveďme nějaké praktičtější příklady: 1.24. Výtah. Do výtahu osmipatrové budovy nastoupilo 5 osob. Každá z nich vystoupí se stejnou pravděpodobností v libovolném poschodí. Jaká je pravděpo- dobnost, že všichni lidé vystoupí (1) v šestém poschodí, (2) ve stejném poschodí, (3) každý v jiném poschodí? 16 1. ÚVOD A MOTIVACE Řešení. Základní prostor všech možných jevů je prostor všech možných způsobů vystoupení 5 osob z výtahu. Těch je 85 . V prvním případě je jediná příznivá možnost vystoupení, hledaná pravděpodob- nost je tedy 1 85 , ve druhém případě máme osm možností, hledaná pravděpodobnost je tedy 1 84 a konečně ve třetím je počet příznivých případů dán pětiprvkovou variací z osmi prvků (z osmi pater vybíráme pět, ve kterých se vystoupí a dále kteří lidé vystoupí ve vybraných poschodích), celkem je hledaná pravděpodobnost ve třetím případě rovna (viz 1.5 a 1.8) v(5, 8) V (5, 8) = 8 7 4 85 . = 0, 2050781250. 1.25. Kino. Do řady v kině o 2n místech je náhodně rozmístěno n mužů a n žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe? Řešení. Všech možných rozmístění lidí v řadě je (2n)!, rozmístění splňujících pod- mínky je 2(n!)2 (máme dvě možnosti výběru pozice mužů, tedy i žen, na nich jsou pak muži i ženy rozmístěny libovolně). Výsledná pravděpodobnost je tedy p(n) = 2(n!)2 (2n)! , p(2) . = 0, 33, p(5) . = 0, 0079, p(8) . = 0, 00016 1.26. Smrt na silnici. Ročně zahyne na silnicích v ČR přibližně 1200 českých občanů. Určete pravděpodobnost, že někdo z vybrané skupiny pěti set Čechů zemře v následujících deseti letech při dopravní nehodě. Předpokládejte pro zjednodušení, že každý občan má v jednom roce stejnou ,,šanci zemřít při dopravní nehodě a to 1200/107 . Řešení. Spočítejme nejprve pravděpodobnost, že jeden vybraný člověk v následu- jících deseti letech nezahyne na při dopravní nehodě. Pravděpodobnost, že neza- hyne v jednom roce, je (1 - 12 105 ). Pravděpodobnost, že nezahyne v následujících deseti letech, je pak (1 - 12 105 )10 . Pravděpodobnost, že v následujících deseti letech nezahyne nikdo z daných pěti set lidí, je opět podle pravidla součinu (jedná se o nezávislé jevy) (1 - 12 105 )5000 . Pravděpodobnost jevu opačného, tedy toho, že někdo z vybraných pěti set lidí zahyne, je tedy 1 - (1 - 12 105 )5000 . = 0, 45. 1.27. Ruleta. Alešovi zbylo 2500 Kč z pořádání tábora. Aleš není žádný ňouma: 50 Kč přidal z kasičky a rozhodl se jít hrát ruletu na automaty. Aleš sází pouze na barvu. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu je 18/37. Začíná sázet na 10 Kč a pokud prohraje, v další sázce vsadí dvojnásobek toho, co v předchozí (pokud na to ještě má, pokud ne, tak končí). Pokud nějakou sázku vyhraje, v následující sázce hraje opět o 10 Kč. Jaká je pravděpodobnost, že při tomto postupu vyhraje dalších 2550 Kč? (jakmile bude 2500 Kč v plusu, tak končí) 4. PRAVDĚPODOBNOST 17 Řešení. Nejprve spočítejme, kolikrát po sobě může Aleš prohrát. Začíná-li s 10 Kč, tak na n vsazení potřebuje 10 + 20 + + 10 2n-1 = 10( n-1 i=0 2i ) = 10( 2n - 1 2 - 1 ) = 10 (2n - 1). Jak snadno nahlédneme, číslo 2550 je tvaru 10(2n - 1) a to pro n = 8. Aleš tedy může sázet osmkrát po sobě bez ohledu na výsledek sázky, na devět sázek by potře- boval již 10(29 - 1) = 5110 Kč a to v průběhu hry nikdy mít nebude (jakmile bude mít 5100 Kč, tak končí). Aby tedy jeho hra skončila neúspěchem, musel by prohrát osmkrát v řadě. Pravděpodobnost prohry při jedné sázce je 19/37, pravděpodbnost prohry v osmi po sobě následujících (nezávislých) sázkách je tedy (19/37)8 . Prav- děpodobnost, že vyhraje 10 Kč (při daném postupu) je tedy 1 - (19/37)8 . Na to, aby vyhrál 2500 Kč, potřebuje 255 krát vyhrát po desetikoruně. Tedy opět podle pravidla součinu je pravděpodobnost výhry 1 - 19 37 8 255 . = 0, 29. Tedy pravděpodobnost výhry je nižší, než kdyby vsadil rovnou vše na jednu barvu. 1.28. Příklad. Ze skupiny osmi mužů a čtyř žen náhodně vybereme skupinu pěti lidí. Jaká je pravděpodobnost, že v ní budou alespoň tři ženy? Pravděpodobnost spočítáme jako podíl počtu příznivých případů ku počtu všech případů. Příznivé případy rozdělíme podle toho, kolik je v náhodně vybrané skupině mužů: mohou v ní být buď dva, nebo jeden muž. Skupinek o pěti lidech s jedním mužem je osm (záleží pouze na výběru muže, ženy v ní musí být všechny), skupinek se dvěma muži je potom c(8, 2)c(4, 3) = 8 2 4 3 (vybereme dva muže z osmi a nezávisle na tom tři ženy ze čtyř, tyto dva výběry můžeme nezávisle kombinovat a podle pravidla součinu dostáváme uvedený počet skupin). Všech možných skupin o pěti lidech pak můžeme sestavit c(12, 5) = 12 5 . Hledaná pravděpodobnost je tedy Řešení. 8 + 4 3 8 2 12 5 . 1.29. Příklad. Z klobouku, ve kterém je pět bílých, pět červených a šest černých koulí, náhodně vytahujeme koule (bez vracení). Jaká je pravděpodobnost, že pátá vytažená koule bude černá? Řešení. Spočítáme dokonce obecnější úlohu. Totiž pravděpodobnost toho, že i-tá vytažená koule bude černá, je stejná pro všechna i, 1 i 16. Můžeme si totiž představit, že vytáhneme postupně všechny koule. Každá taková posloupnost vyta- žených koulí (od první vytažené koule po poslední), složená z pěti bílých, pěti červe- ných a šesti černých koulí, má stejnou pravděpodobnost vytažení. Pravděpodobnost toho, že i-tá vytažená koule bude černá je tedy rovna podílu počtu posloupností pěti červených, pěti bílých a šesti černých koulí, kdy je na i-tém místě černá koule (těch je tolik, kolik je libovolých posloupností pěti bílých, pěti červených a pěti 18 1. ÚVOD A MOTIVACE černých koulí, tedy P(5, 5, 5) = 15! 5!5!5! ) a počtu všech posloupností složených z pěti bílých, pěti červených a šesti černých koulí, tedy P(6, 5, 5) = 16! 6!5!5! . Tedy celkem 15! 5!5!5! 16! 6!5!5! = 3 8 . 1.30. Příklad. Vraťme se k házení kostkou a zkusme popsat jevy ze základního prostoru vznikající při házení tak dlouho, dokud nepadne šestka, ne však více než stokrát. Pro jeden hod samostatně je základním prostorem šest čísel od jedné do šesti a jde o klasickou pravděpodobnost. Pro celé série našich hodů bude základní prostor daleko větší ­ bude to množina konečných posloupností čísel od jedné do šestky, které buď končí šestkou, mají nejvýše 100 členů a všechna předchozí čísla jsou menší než šest, nebo jde o 100 čísel od jedné do pěti. Jevem A může být např. podmnožina ,,házení končí druhým pokusem . Všechny příznivé elementární jevy pak jsou [1, 6], [2, 6], [3, 6], [4, 6], [5, 6]. Ze známé klasické pravděpodobnosti pro jednotlivé hody umíme odvodit pravdě- podobnosti našich jevů v . Není to ale jistě klasická pravděpodobnost. Tak pro diskutovaný jev chceme popsat, s jakou pravděpodobností nepadne šestka při prvém hodu a zároveň padne při druhém. Vnucuje se řešení P(A) = 5 6 1 6 = 5 36 , protože v prvém hodu padne s pravděpodobností 1 - 1 6 jiné číslo než šest a druhý hod, ve kterém naopak požadujeme šestku, je zcela nezávislý na prvním. Samo- zřejmě toto není poměr počtu příznivých výsledků k velikosti celého stavového prostoru! Obecněji můžeme říci, že po právě 1 < k < 100 hodech pokus skončí s pravdě- podobností (5 6 )k-1 1 6 . Ze všech možností je tedy nejpravděpodobnější, že skončí již napoprvé. Jiný příklad, jak z házení kostkou dostat různě pravděpodobné jevy je pozo- rovat součty při hodu více kostkami. Uvažujme takto: při hodu jednou kostkou je každý výsledek stejně pravděpodobný s pravděpodobností 1 6 . Při hodu dvěmi kost- kami je každý předem zvolený výsledek (a, b), tj. dvojice přirozených čísel od jedné do šesti (včetně pořadí), stejně pravděpodobný s pravděpodobností 1 36 . Pokud se budeme ptát po dvou pětkách, je tedy pravděpodobnost poloviční než u dvou růz- ných hodnot bez uvedení pořadí. Pro jednotlivé možné součty uvedené v horním řádku nám vychází počet možností v řádku dolním: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Podobně vyjde pravděpodobnost 1 216 jednotlivých výsledků hodu třemi kostkami, včetně určeného pořadí. Pokud se budeme ptát na pravděpodobnost výsledného součtu při hodu více kostkami, musíme pouze určit, kolik je možností, jak daného součtu dosáhnout a příslušné pravděpodobnosti sečíst. Obecně je sčítání pravděpodobností složité. Následující věta je přímým promít- nutím tzv. kombinatorického principu inkluze a exkluze do naší konečné pravděpo- dobnosti: 4. PRAVDĚPODOBNOST 19 1.16 1.31. Věta. Buďte A1, . . . , Ak A libovolné jevy na základním prostoru s jevo- vým polem A. Pak platí P(k i=1Ai) = k i=1 P(Ai) - k-1 i=1 k j=i+1 P(Ai Aj) + k-2 i=1 k-1 j=i+1 k =j+1 P(Ai Aj A ) - + (-1)k-1 P(A1 A2 Ak). Jde patrně o dobrý příklad matematického tvrzení, kde nejtěžší je najít dobrou formulaci a pak se dá říci, že (intuitivně) je tvrzení zřejmé. Skutečně, díky aditivní vlastnosti pravděpodobnosti si můžeme představit, že každý jev rozložíme na elementární (tj. jednobodové), jakkoliv ve skutečnosti ne- musí jednoprvkové podmnožiny do jevového pole obecně patřit. Pak je pravděpo- dobnost každého jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých elementárních jevů do něj patřících a tvrzení věty můžeme číst následovně: sečteme všechny prav- děpodobnosti výsledků ze všech Ai zvlášť, pak ovšem musíme odečíst ty, které tam jsou započteny dvakrát (tj. prvky v průnicích dvou). Teď si ovšem dovolujeme odečíst příliš mnoho tam, kde ve skutečnosti byly prvky třikrát, tj. korigujeme přičtením pravděpodobností ze třetího členu, atd. Aby se takový postup stal důkazem, je zapotřebí si ujasnit, že skutečně všechny korekce, tak jak jsou napsány, jsou skutečně s koeficienty jedna. Místo toho můžeme snáze dát dohromady formálnější důkaz matematickou indukcí přes počet k jevů, jejichž pravděpodobnosti sčítáme. Zkuste si průběžně porovnávat oba postupy, mělo by to vést k vyjasnění, co to znamená ,,dokázat a co ,,porozumět . Důkaz. Pro k = 1 tvrzení zjevně platí a předpokládejme, že platí pro všechny počty množin menší než pevně zvolené k > 1. Nyní si uvědomme, že pro libovolné dva jevy platí P(B) = P(B A) + P(B \ A). Podobně P(A B) = P(A) + P(B \ A) = P(A) + P(B) - P(B A). Toto je ale tvrzení naší věty pro k = 2. Nyní můžeme pracovat v indukčním kroku na formuli s k + 1 jevy, když sjednocení k jevů bereme jako A ve formuli výše, zatímco zbývající hraje roli B: P(k+1 i=1 Ai) = P( k i=1Ai Ak+1) = k j=1 -1)j+1 1i1< 0: P(A1 Ak) = P(A1)P(A2|A1) P(Ak|A1 Ak-1). Skutečně, dle předpokladu jsou i pravděpodobnosti všech průniků, které jsou brány ve výrazu za hypotézy, nenulové. Pokrácením čitatelů a jmenovatelů získáme i na- pravo právě pravděpodobnost jevu odpovídajícího průniku všech uvažovaných jevů. 1.37. Opět házení kostkou. Jaká je pravděpodobnost toho, že při hodu dvěma kostkami padne součet 7, víme-li, že ani na jedné z kostek nepadlo číslo 2. Řešení. Označme jev, že ani na jedné kostce nepadne dvojka jako B, jev ,,padne součet 7 jako A. Množinu všech možných výsledků budeme značit opět jako . Pak P(A|B) = P(A B) P(B) = |AB| || |B| || = |A B| |B| Číslo 7 může padnout čtyřmi různými způsoby, pokud nepadne dvojka, tedy |A B| = 4, |B| = 5 5 = 25, tedy P(A|B) = 4 25 . Všimněme si, že P(A) = 1 6 , tedy jevy A a B nejsou stochasticky nezávislé. 1.38. Geometrická pravděpodobnost. V praktických problémech se často se- tkáváme s daleko složitějšími modely, kde základní prostor není konečnou množinou. Nemáme momentálně k dispozici ani základní nástroje pro dostatečné zobecnění pojmu pravděpodobnosti, nicméně můžeme uvést alespoň jednoduchou ilustraci. Uvažme rovinu R2 dvojic reálných čísel a v ní podmnožinu se známým ob- sahem vol (symbol ,,vol od anglického ,,volume , tj. obsah/objem). Příkladem může sloužit třeba jednotkový čtverec. Náhodné jevy budou reprezentovány pod- množinami A za jevové pole A bereme systém podmnožin, u kterých umíme určit jejich obsah. Třeba všechna konečná sjednocení trojůhelníků. Nastoupení nebo 5. GEOMETRIE V ROVINĚ 23 nenastoupení jevu je dáno výběrem bodu v , kterým se trefíme nebo netrefíme do množiny reprezentující jev A. Podobně jako u klasické pravděpodobnosti pak definujeme pravděpodobnostní funkci P : A R vztahem P(A) = vol A vol . Uvažme jako příklad problém, kdy náhodně vyberem dvě hodnoty a < b v intervalu (0, 1) R. Všechny hodnoty a i b jsou stejně pravděpodobné a otázka zní ,,jaká je pravděpodobnost, že interval (a, b) bude mít velikost alespoň jedna polovina? . Odpověď je docela jednoduchá: volba čísel a, b je volbou libovolného bodu (a, b) ve vnitřku trojúhelníku s hraničními vrcholy [0, 0], [0, 1], [1, 1] (načrtněte si obrá- zek!). Potřebujeme znát plochu podmnožiny, která odpovídá bodům s b > a+ 1 2 , tj. vnitřku trojúhelníku A ohraničeného vrcholy [0, 1 2 ], [0, 1], [1 2 , 1]. Evidentně dostá- váme P(A) = 1 4 . Zkuste si samostatně odpovědět na otázku ,,pro jakou požadova- nou minimální délku intervalu (a, b) dostaneme pravděpodobnost jedna polovina? . Jednou z účinných výpočetních metod přibližných hodnot je naopak simulace známé takovéto pravděpodobnosti pomocí relativní četnosti nastoupení vhodně zvo- leného jevu. Např. známá formule pro obsah kruhu o daném poloměru říká, že obsah jednotkového kruhu je roven právě konstantě = 3, 1415 . . . , která vyjadřuje poměr obsahu a čtverce poloměru. Pokud zvolíme za jednotkový čtverec a za A průnik a jednotkového kruhu se středem v počátku, pak vol A = 1 4 . Máme-li tedy spolehlivý generátor náhodných čísel mezi nulou a jedničkou a počítáme relativní četnosti, jak často bude vzdálenost vygenerované dvojice (a, b) menší než jedna, tj. a2 + b2 < 1, pak výsledek bude při velkém počtu pokusů s velikou jistotou dobře aproximovat číslo 1 4 . Numerickým postupům založeným na tomto principu se říká metody Monte Carlo. Obdobné úlohy na geometrickou pravděpodobnost lze bezezbytku formulovat v R3 a obecněji. Uveďme ale ještě raději jednoduchý příklad v rovině: 1.39. Sekání tyče. Dvoumetrová tyč je náhodně rozdělena na tři díly. Určete pravděpodobnost, že alespoň jeden díl bude nejvýše 20 cm dlouhý. Řešení. Náhodné rozdělení tyče na tři díly interpretujeme jako náhodný výběr dvou bodů řezu. Pravděpodobnostní prostor je tedy čtverec o straně 2 m. Umístíme- li čtverec C tak, aby dvě jeho strany ležely na kartézských osách v rovině, tak podmínka, že alespoň jeden díl má být nejvýše 20 cm dlouhý nám vymezuje ve čtverci následující oblast O: O = {(x, y) C|(x 20) (x 180) (y 20) (y 180) (|x - y|) 20}. Jak snadno nahlédneme, zaujímá takto vymezená oblast O 51 100 obsahu čtverce. 5. Geometrie v rovině Na konci minulé kapitoly jsme intuitivně používali elementární pojmy z geome- trie reálné roviny. Budeme teď podrobněji zkoumat jak se vypořádávat s potřebou popisovat ,,polohu v rovině , resp. dávat do souvislostí polohy různých bodů roviny. 24 1. ÚVOD A MOTIVACE 1.23 1.40. Afinní rovina a vektorový prostor R2 . Zkusme si množinu A = R2 představit z pohledu pozorovatele, který sedí v některém pevně zvoleném místě (můžeme mu říkat třeba bod O = (x0, y0) R2 ). Předpokládejme, že ji vnímá jako nekonečnou desku bez jakýchkoliv zvolených měřítek a popisů a ví, co to znamená posunout se v libovolném násobku nějakého směru. Časem takové rovině budeme říkat ,,afinní rovina . Aby mohl vidět kolem sebe ,,dvojice reálných čísel , musí si vybrat nějaký bod E1, kterému řekne ,,bod [1, 0] a jiný bod E2, kterému začne říkat ,,bod [0, 1] . Do všech ostatních se pak dostane tak, že poskočí ,,a­krát ve směru [1, 0] , pak ,,b­krát ve směru [0, 1] a takovému bodu bude říkat ,,bod [a, b] . Pokud to bude dělat obvyklým způsobem, nebude výsledek záviset na pořadí, tzn. může také napřed jít b­krát ve směru [0, 1] a pak teprve v tom druhém. To, co jsme popsali, se nazývá volba (afinního) souřadného systému v rovině, bod O je jeho počátkem, posunutí E1 - O ztotožňujeme s dvojicí [1, 0], podobně u E2 a obecně každý bod P roviny je ztotožněn s dvojicí čísel [a, b] = P - O. Všimněme si, že zároveň volbou pevného počátku O jsou ztotožněny jednotlivé body P roviny se směry posuvu v = P - O a že všechny takové posuvy umíme skládat (budeme říkat ,,sčítat ) a také jednotlivé směry násobit v poměru každého reálného čísla (budeme říkat ,,násobit skalárem ). Takovéto operace sčítání a ná- sobení splňují hodně vlastností skalárů, viz 1.1 a 1.2, zkuste si promyslet které. Uvidíme brzy, že se jedná o standarní příklad (dvourozměrného reálného) vektoro- vého prostoru. Budeme proto už teď místo o směrech posuvu mluvit o vektorech a od bodů je budeme rozlišovat tím, že budou dány dvojicemi souřadnic v kulatých závorkách místo hranatých. 1.24 1.41. Přímky v rovině. Když se náš pozorovatel umí posouvat o libovolný ná- sobek pevného vektoru, pak také ví, co je to přímka. Je to podmnožina p A v rovině taková, že existují bod O a vektor v takové, že p = {P A; P - O = t v, t R}. Popišme si P = P(t) p ve zvolených souřadnicích s volbou v = (, ): x(t) = x0 + t, y(t) = y0 + t. Jednoduchým výpočtem dostaneme (vyloučíme t z parametrického vyjádření pro x a y, když pro určitost předpokládáme, že třeba = 0) -x + y + (x0 - y0) = 0. To je obecná rovnice přímky e1.12 (1.23) ax + by = c, se známým vztahem dvojice čísel (a, b) a vektoru v = (, ) e1.13 (1.24) a + b = 0. Výraz nalevo v rovnici přímky (1.23) můžeme vidět jako skalární funkci F závislou na bodech v rovině a s hodnotami v R, samu rovnici pak jako požadavek na její hodnotu. Časem uvidíme, že vektor (a, b) je v tomto případě právě směrem, ve kterém F nejrychleji roste. Proto bude směr kolmý na (a, b) právě tím směrem, ve kterém zůstává naše funkce F konstantní. Konstanta c pak určuje, pro které body bude tato konstanta nula. 5. GEOMETRIE V ROVINĚ 25 Mějme dvě přímky p a q a ptejme se po jejich průniku p q. Ten bude popsán jako bod, splňující obě rovnice přímek naráz. Pišme je takto e1.14 (1.25) ax + by = r cx + dy = s. Opět můžeme levou stranu vnímat jako přiřazení, které každé dvojici souřadnic [x(P), y(P)] bodů v rovině přiřadí vektor hodnot dvou skalárních funkcí F1 a F2 daných levými stranami jednotlivých rovnic (1.25). Můžeme tedy naše rovnice na- psat jako jediný vztah F(v) = w, kde F je přiřazení, které vektor v popisující polohu obecného bodu v rovině (v našich souřadnicích) zobrazí na vektor zadaný levou stranou rovnic, a požadujeme, aby se toto zobrazení strefilo do předem zada- ného vektoru w = (r, s). 1.25 1.42. Lineární zobrazení a matice. Přiřazení F, se kterým jsme pracovali při popisu průniku přímek, zjevně respektuje operace sčítání a násobení s vektory a skaláry: F(a v + b w) = a F(v) + b F(w) pro všechny a, b R, v, w R2 . Říkáme, že F je lineární zobrazení z R2 do R2 , a píšeme F : R2 R2 . Obdobně, v rovnici 1.23 pro přímku šlo o lineární zobrazení F : R2 R a jeho předepsanou hodnotu c. Stručně budeme zapisovat taková zobrazení pomocí matic a jejich násobení, které definujeme takto: A = a b c d , v = x y A v = a b c d x y = ax + by cx + dy . Podobně, můžeme místo vektoru v zprava násobit jinou maticí B stejného rozměru jako je A. Prostě aplikujeme předchozí formule po jednotlivých sloupcích matice B a obrdržíme jako výsledek opět matice. Snadno ověříme tzv. asociativitu násobení (zkuste propočítat!): (A B) v = A (B v). Stejně snadno je vidět i distributivita A (B + C) = A B + A C, neplatí však komutativita a existují ,,dělitelé nuly . Např. 0 1 0 0 0 0 0 1 = 0 1 0 0 , 0 0 0 1 0 1 0 0 = 0 0 0 0 . Body v rovině jsou tedy obecně vzory hodnot lineárních zobrazení F roviny do roviny, přímky jsou obecně vzory hodnot lineárních zobrazení z roviny do reálné přímky R. Samozřejmě, ve zvláštních situacích tomu tak být nemusí. Tak třeba průnikem dvou stejných přímek je opět sama přímka (a vzorem vhodné hodnoty pro takové lineární zobrazení bude celá přímka), nulové zobrazení má za vzor nuly celou rovinu. V prvém případě to poznáme pomocí vztahu e1.15 (1.26) ad - bc = 0 tj. vyjádření, kdy jsou nalevo v rovnicích (1.25) stejné výrazy až na skalární ná- sobek. V takovém případě bud nebude v průniku žádný bod (rovnoběžné různé přímky) nebo tam budou všechny body přímky (stejné přímky). Ověřte! 26 1. ÚVOD A MOTIVACE Výrazu nalevo v (1.26) říkáme determinant matice A a píšeme pro něj det A = ad - bc, případně det A = a b c d = ad - bc. Jestliže k výsledku lineárního zobrazení ještě dovolíme přičíst pevný vektor T = (x(T), y(T)), tj. naše zobrazení bude v = x y A v + T = ax + by + x(T) cx + dy + y(T) , máme popsána právě všechna tzv. afinní zobrazení roviny do sebe. Známými pří- klady jsou všechny afinní podobnosti. Lineární zobrazení pak odpovídají těm afin- ním zobrazením, které zachovávají pevný bod O. Co se stane, když náš pozorovatel z odstavce 1.40 bude tutéž rovinu shlížet z jiného bodu nebo si aspoň vybere jiné body E1, E2? Zkuste si promyslet, že na úrovni souřadnic to bude právě změna realizovaná pomocí afinního zobrazení. Časem budeme vidět obecné důvody, proč tomu tak je ve všech dimenzích. 1.26 1.43. Euklidovská rovina. Přidejme nyní schopnost našeho pozorovatele vidět vzdálenosti. Okamžitě pak můžeme definovat pojmy jako jsou úhel a otočení v rovině. Jednoduše si to můžeme představit takto: rozhodne se o nějakých bodech E1 a E2, že jsou od něj ve vzdálenosti jedna, a zároveň si řekne, že jsou na sebe kolmé. Vzdálenosti ve směrech souřadných os pak jsou dány příslušným poměrem, obecně používá Euklidovu větu. Odtud vyjde známý vzorec pro velikost vektoru v = (a, b) v = a2 + b2. Jiný možný postup by byl, kdyby pozorovatel vyšel z pojmu vzdálenost (a věděl co znamená ,,kolmý třeba díky Euklidově větě), zvolil první z vektorů velikosti jedna, zvolil si orientaci (třeba proti směru hodinových ručiček) a vybral jednotkový kolmý směr (jednoznačně určí z požadavku platnosti Euklidovy věty třeba pomocí pravoúhlého trojúhelníku se stranami o velikostech 3, 4 a 5). Úhel dvou vektorů v, w v rovině pak zpravidla popisujeme s využitím tzv. goniometrické funkce cos . Používaný vzorec pro funkci cos je dán hodnotou reálné první souřadnice jednotkového vektoru, jehož úhel s vektorem (1, 0) je . Zjevně je pak druhá souřadnice takového vektoru dána reálnou hodnotou 0 sin 1 splňující (cos )2 + (sin )2 = 1. Obecně pak pro dva vektory v a w můžeme jejich úhel popsat pomocí souřadnic v = (x(v), y(v)), w = (x(w), y(w)) takto: cos = x(v) x(w) + y(v) y(w) v w . Dobrým příkladem lineárního zobrazení, které zachovává velikosti, je rotace o předem daný úhel . Je dáno formulí s maticí R: v = x y R v = cos - sin sin cos x y . Specielně, aplikací na jednotkový vektor (1, 0) dostáváme skutečně právě očekávaný výsledek (cos , sin ). 5. GEOMETRIE V ROVINĚ 27 Pokud bychom chtěli zapsat rotaci kolem jiného bodu P = O + w, snadno napíšeme formuli pomocí translací: x y = v v - w R (v - w) R (v - w) + w = cos (x - x(w)) - sin (y - y(w)) + x(w) sin (x - x(w)) + cos (y - y(w)) + y(w) . Dalším příkladem je tzv. zrcadlení vzhledem k přímce. Opět nám bude stačit popsat zrcadlení vzhledem k přímkám procházejícím počátkem O a ostatní se z nich odvodí pomocí translací. Hledejme tedy matici Z zrcadlení vzhledem k přímce s jednotkovým směrovým vektorem v svírajícím úhel s vektorem (1, 0). Např. Z0 = 1 0 0 -1 a obecně můžeme psát (otočíme do ,,nulové polohy, odzrcadlíme a vrátíme zpět) Z = R Z0 R-. Můžeme proto (díky asociativitě násobení matic) spočíst: R = cos - sin sin cos 1 0 0 -1 cos sin - sin cos = cos - sin sin cos cos sin - sin cos = cos2 - sin2 2 sin cos 2 sin cos -(cos2 - sin2 ) = cos 2 sin 2 sin 2 - cos 2 . Povšimněme si také, že Z Z0 = cos 2 sin 2 sin 2 - cos 2 1 0 0 -1 = cos 2 - sin 2 sin 2 cos 2 . To lze zformulovat jako Tvrzení. Otočení o úhel obdržíme následným provedením dvou zrcadlení vzhle- dem ke směrům, které spolu svírají úhel 1 2 . Pokud umíme odůvodnit předchozí tvrzení ryze geometrickou úvahou (zkuste), dokázali jsme právě standardní formule pro goniometrické funkce dvojnásobného úhlu. Hlubší je následující rekapitulace předchozích úvah: 1.27 1.44. Věta. Lineární zobrazení euklidovské roviny je složeno ze zrcadlení právě, když je dáno maticí R splňující R = a b c d , ab + cd = 0, a2 + c2 = b2 + d2 = 1. To nastane právě, když toto zobrazení zachovává velikosti. Otočením je přitom právě tehdy, když je determinant matice R roven jedné, což odpovídá sudému počtu zrca- dlení. Při lichém počtu zdrcadlení je determinant roven -1. Promyslete si podrobněji úplný důkaz. Na tabuli vypadal jeho náznak takto: 28 1. ÚVOD A MOTIVACE 1.28 1.45. Obsah trojúhelníka. Závěrem našeho malého výletu do geometrie se za- měřme na pojem obsah. Trojúhelník je vymezen dvojicí vektorů v a w, které při- loženy do počátku O zadají zbylé dva vrcholy. Chtěli bychom tedy najít formuli (skalární funkci vol), která dvěma vektorům přiřadí číslo rovné obsahu vol (v, w) takto definovaného trojúhelníku (v, w). Ze zadání je vidět, že by mělo platit (nakreslete si a uvažujte plochu jako součin základny krát výšky podělené dvěma ­ výška součtu bude jistě součtem výšek...) vol (v + v , w) = vol (v, w) + vol (v , w) vol (av, w) = a vol (v, w) a přidejme požadavek vol (v, w) = - vol (w, v), který odpovídá představě, že opatříme plochu znaménkem podle toho, v jakém pořadí bereme vektory. Pokud vektory v a w napíšeme do sloupců matice A, pak A = (v, w) det A splňuje všechny tři naše požadavky. Kolik takových zobrazení ale může být? Každý vektor umíme vyjádřit pomocí dvou souřadných vektorů v = (1, 0) a w = (0, 1) a evidentně tedy každá možnost pro vol je jednoznačně určena už vyčíslením na této jediné dvojici argumentů (v, w). Jsou si tedy všechny možnosti rovny až na skalární násobek. Ten umíme určit požadavkem vol ((1, 0), (1, 0)) = 1 2 , tj. volíme orientaci a měřítko. Vidíme tedy, že determinant zadává plochu rovnoběžnostěnu určeného sloupci matice A (a plocha trojúhelníku je tedy poloviční). 1.29 1.46. Viditelnost v rovině. Předchozí popis hodnot pro orientovaný objem nám dává do rukou elegantní nástroj pro určování viditelnosti orientovaných úseček. Orientovanou úsečkou rozumíme dva body v rovině R2 s určením pořadím. Můžeme 5. GEOMETRIE V ROVINĚ 29 si ji představovat jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsečka nám rozděluje rovinu na dvě poloroviny, říkejme jim ,,levou a ,,pravou . Jestliže uvažujeme obvyklou orientaci ,,proti směru hodinových ručiček pro hranici mnohoúhelníku, pak pozorovatel nalevo od orientované úsečky (tj. uvnitř takového mnohoúhelníka) tuto vidí a naopak pozorovatel napravo ji nevidí. Má tedy smysl ptát se, jestli je orientovaná úsečka [A, B] v rovině viditelná z bodu C. Spočtěme orientovanou plochu příslušného trojúhelníku zadaného vektory A-C a B-C. Pokud jsme s bodem C nalevo od úsečky, pak při naší orientaci bude vektor A-C dříve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj. hodnota determinantu) bude kladná. To odpovídá situaci, kdy úsečku vidíme. Naopak, při opačné poloze bude výsledkem záporná hodnota determinantu a podle zjistíme, že úsečku nevidíme. Uvedený jednoduchý postup je často využíván pro testování polohy při stan- dardních úlohách v 2D grafice. Závěrem této části si uveďme několik standardních příkladů: 1.47. Příklad. Je dána přímka p : [2, 0] + t(3, 2). Určete její obecnou rovnici a nalezněte průnik s přímkou r : [-1, 2] + s(1, 3). Řešení. [-19/7, -22/7]. 1.48. Kolize úseček. Z bodu [-2, 0] vyrazila v pravé poledne konstantní rychlostí 1ms-1 ve směru (3, 2) úsečka délky 1. Rovněž v poledne vyrazila z bodu [5, -2] druhá úsečka délky 1 ve směru (-1, 1), ovšem dvojnásobnou rychlostí. Srazí se? Řešení. Přímky, po kterých se pohybují dané úsečky, můžeme popsat parametric- kým vyjádřením: p : [-2, 0] + r(3, 2) q : [5, -2] + s(-1, 1), Obecná rovnice přímky p je 2x - 3y + 4 = 0. Dosazením parametrického vyjádření přímky q získáme průsečík P = [1, 2]. Nyní se snažme zvolit jediný parametr t pro obě úsečky tak, aby nám odpo- vídající bod na přímkách p, resp. q, popisoval polohu počátku první, resp. druhé, úsečky v čase t. V čase 0 je první v bodě [-2, 0], druhá v bodě [5, -2]. Za čas t sekund urazí první t jednotek délky ve směru (3, 2) druhá pak 2t jednotek délky ve směru (-1, 1). Odpovídající parametrizace jsou tedy p : [-2, 0] + t 13 (3, 2)(1.27) q : [5, -2] + 2t(-1, 1),(1.28) (1.29) Počátek první úsečky dorazí do bodu [1, 2] v čase t1 = 13s, počátek druhé úsečky v čase t = 2 2s, tedy více než o půl vteřiny dříve a tedy v době, kdy dorazí do průsečíku P počátek první úsečky, bude již druhá úsečka pryč a úsečky se tak nesrazí. 30 1. ÚVOD A MOTIVACE 1.49. Viditelnost stran trojúhelníka. Je dán trojúhelník s vrcholy [5, 6], [7, 8], [5, 8]. Určete, které jeho strany je vidět z bodu [0, 1]. Řešení. Uspořádáme vrcholy v kladném smyslu, tedy proti směru hodinových ru- čiček: [5, 6], [7, 8], [5, 8]. Pomocí příslušných determinantů určíme, je-li bod [0, 1] ,,nalevo či ,,napravo od jednotlivých stran trojúhelníka uvažovaných jako orien- tované úsečky, 7 5 7 7 > 0 5 5 7 5 < 0 5 7 5 7 = 0 Z nulovosti posledního determinantu vidíme, že body [0, 1], [5, 6] a [7, 8] leží na přímce, stranu [5, 6][7, 8] tedy nevidíme. Stranu danou vrcholy [5, 8] a [7, 8] pak narozdíl od strany [5, 6][5, 8] nevidíme. 1.50. Příklad. Určete, které strany čtyřúhelníka s vrcholy [95, 99], [130, 106], [40, 60], [130, 120]. jsou viditelné z bodu [2, 0]. Řešení. Nejprve je třeba určit strany čtyřúhelníka (,,správné pořadí vrcholů): [95, 99][40, 60][130, 106][130, 120]. Po spočítání příslušných determinantů (viz před- náška) zjistíme, že jsou vidět pouze strana [40, 60][130, 106]. 1.51. Příklad. Určete obsah čtyřúhelníka s vrcholy [1, 0], [11, 13], [2, 5] a [-2, -5]. Řešení. Rozdělíme na dva trojúhelníky a spočítáme pomocí vzorce z přednášky. S = 1 2 1 5 10 13 1 5 -3 -5 = 47 2 . 1.52. Příklad. Napište souřadnice vrcholů trojúhelníka, který vznikne otočením rovnostranného trojúhelníka jehož dva vrcholy jsou [1, 1] a [2, 3] (třetí pak v polo- rovině dané přímkou [1, 1][2, 3] a bodem [0, 0]) o 60 v kladném smyslu kolem bodu [0, 0]. Řešení. Třetí vrchol trojúhelníka dostaneme např. otočením o 60 jednoho z vr- cholů kolem druhého (ve správném smyslu). [-3 2 3, 3 - 1 2 ], [1 2 - 1 2 3, 1 2 3 + 1 2 ]), [1 - 3 2 3, 3 + 3 2 ]. 1.53. Příklad. Najděte matice A takové, že A2 = 1 2 - 3 2 3 2 1 2 . Námět na přemýšlení: jaké geometrické zobrazení v rovině zadává matice A2 ? Řešení. A2 je matice rotace o 60 , takže A = 3 2 -1 2 1 2 3 2 , tedy matice rotace o 30 , resp. 210 . K dalšímu procvičení nejen geometrických úvah mohou posloužit následující tři příklady: 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 31 1.54. Kružnice dělící rovinu. Na kolik maximálně částí dělí rovinu k kružnic? Řešení. Pro maximální počet pk oblastí, na které dělí rovinu kružnice odvodíme rekurentní vzorec pk+1 = pk + 2k (k + 1). kružnice totiž protíná k předchozích maximálně v 2k průsečících (a tato situace skutečně může nastat). Navíc zřejmě p1 = 1. Pro počet pk tedy dostáváme pk = pk-1 + 2(k - 1) = pk2 + 2(k - 2) + 2(k - 1) = = p1 + k-1 i=1 2i = 2 + (k - 1)k. 1.55. Rovnoběžníková rovnost. Dokažme jako ilustraci našich nástrojů tzv. ,,rovnoběžníkovou rovnost : Jsou­li u, v R2 , pak: 2( u 2 + v 2 ) = u + v 2 + u - v 2 . Neboli součet druhých mocnin délek úhlopříček rovnoběžníka je roven dvojnásobku součtu druhých mocnin délek jeho stran. Řešení. Obdržíme například rozepsáním obou stran do souřadnic: u = (u1, u2), v = (v1, v2). Pak 2( u 2 + v 2 ) = 2(u2 1 + u2 2 + v2 1 + v2 2) = u2 1 + 2u1v1 + v2 1 + u2 2 + 2u2v2 + v2 2 + u2 1 - 2u1v1 + v2 1 + u2 2 - 2u2v2 + v2 2 = (u1 + v1)2 + (u2 + v2)2 + (u1 - v1)2 + (u2 - v2)2 = u + v 2 + u - v 2 1.56. Konstrukce lichoúhelníka. Sestrojte (2n+1)-úhelník, jsou-li dány všechny středy jeho stran. Řešení. K řešení využijeme toho, že složením lichého počtu středových souměr- ností je opět středová souměrnost (viz domácí úloha) Označíme-li vrcholy hleda- ného (2n + 1)-úhelníka po řadě A1, A2, . . . , A2n+1 a středy stran (od středu A1A2) postupně S1, S2, . . . S2n+1, tak provedeme-li středové souměrnosti po řadě podle těchto středů, tak bod A1 je zjevně pevným bodem výsledné středové symetrie, tedy jejím středem. K jeho nalezení tedy stačí provést uvedenou středovou sou- měrnost s libovolným bodem X roviny. Bod A1 leží pak ve středu úsečky XX , kde X je obrazem bodu X ve zmíněné středové symetrii. Další vrcholy získáme zobrazováním bodu A1 ve středových souměrnostech podle S1, . . . , S2n+1. 6. Relace a zobrazení V této závěrečné části úvodní motivační kapitoly se vrátíme k formálnímu po- pisu matematických struktur, budeme se je ale průběžně snažit ilustrovat na již známých příkladech. Zároveň můžeme tuto část brát jako cvičení ve formálním přístupu k objektům a konceptům matematiky. 32 1. ÚVOD A MOTIVACE 1.30 1.57. Relace mezi množinami. Binární relací mezi množinami A a B rozumíme podmnožinu R kartézského součinu A × B. Často píšeme a R b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) R, tj. že body a A a b B jsou v relaci R. Definičním oborem relace je podmnožina D A, D = {a A; b B, (a, b) R}. Podobně oborem hodnot relace je podmnožina I B, I = {b B; a A, (a, b) R}. Speciálním případem relace mezi množinami je zobrazení z množiny A do mno- žiny B. Je to případ, kdy pro každý prvek definičního oboru relace existuje právě jeden prvek z oboru hodnot, který je s ním v relaci. Nám známým případem zobra- zení jsou všechny skalární funkce, kde oborem hodnot zobrazení je množina skalárů, třeba celých nebo reálných čísel. Pro zobrazení zpravidla používáme značení, které jsme také u skalárních funcí zavedli. Píšeme f : D A I B, f(a) = b pro vyjádření skutečnosti, že (a, b) patří do relace, a říkáme, že b je hodnotou zobrazení f v bodě a. Dále říkáme, že f je ˇ zobrazení množiny A do množiny B, jestliže je D = A, ˇ zobrazení množiny A na množinu B, jestliže je D = A a I = B, často také surjektivní zobrazení ˇ injektivní zobrazení, jestliže je D = A a pro každé b I existuje právě jeden vzor a A, f(a) = b. Vyjádření zobrazení f : A B jakožto relace f A × B, f = {(a, f(a)); a A} známe také pod názvem graf zobrazení f. 1.31 1.58. Skládání relací a funkcí. U zobrazení je jasná koncepce, jak se skládají. Máme-li zobrazení f : A B a g : B C, pak jejich složení g f je definováno (g f)(a) = g(f(a)). Ve značení používaném pro relace totéž můžeme zapsat jako f A × B, f = {(a, f(a)); a A} g B × C, g = {(b, g(b)); b B} g f A × C, g f = {(a, g(f(a))); a A}. Zcela obdobně definujeme skládání relací, v předchozích vztazích jen doplníme existenční kvantifikátory, tj. musíme uvažovat všechny ,,vzory a všechny ,,ob- razy .Uvažme relace R A × B, S B × C. Potom S R A × C, S R = {(a, c); b B, (a, b) R, (b, c) S}. Zvláštním případem relace je identické zobrazení idA = {(a, a) A × A; a A} na množině A. Je neutrální vzhledem ke skládání s každou relací s definičním obo- rem nebo oborem hodnot A. 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 33 Pro každou relaci R A × B definujeme inverzní relaci R-1 = {(b, a); (a, b) R} B × A. Pozor, u zobrazení, je stejný pojem užíván ve specifičtější situaci. Samozřejmě, že existuje pro každé zobrazení jeho invezní relace, ta však nemusí být zobrazením. Zcela logicky proto hovoříme o existenci inverzního zobrazení, pokud každý prvek b B je obrazem pro právě jeden vzor v A. V takovém případě je samozřejmě inverzní zobrazení právě inverzní relací. Všimněme si, že složením zobrazení a jeho inverzního zobrazení (pokud obě existují) vždy vznikne identické obrazení, u obecných relací tomu tak být nemusí. 1.32 1.59. Relace na množině. V případě A = B hovoříme o relaci na množině A. Říkáme, že R je: ˇ reflexivní, pokud idA R (tj. (a, a) R pro všechny a A), ˇ symetrická, pokud R-1 = R (tj. pokud (a, b) R, pak i (b, a) R), ˇ antisymetrická, pokud R-1 R idA (tj. pokud (a, b) R a zároveň (b, a) R, pak a = b), ˇ tranzitivní, pokud R R R, tj. pokud z (a, b) R a (b, c) R vyplývá i (a, c) R. Relace se nazývá ekvivalence, pokud je současně reflexivní, symetrická i tranzitivní. Relace se nazývá uspořádání jestliže je reflexivní, tranzitivní a antisymetrická. Dobrým příkladem uspořádání je inkluze. Uvažme množinu 2A všech podmno- žin konečné množiny A (značení je speciálním případem obvyklé notace BA pro množinu všech zobrazení A B) a na ní relací X Z danou vlastností ,,být podmnožinou . Evidentně jsou splněny všechny tři vlastnosti pro uspořádání: sku- tečně, je­li X Y a zároveň Y X musí být nutně množiny X a Y stejné. Je­li X Y Z je také X Z a také reflexivita je zřejmá. Říkáme, že uspořádání je úplné, když pro každé dva prvky platí že jsou srov- natelné, tj. buď a b nebo b a. Všimněme si, že ne všechny dvojice (X, Y ) podmnožin v A jsou srovnatelné v tomto smyslu. Přesněji, pokud je v A více než jeden prvek, existují podmnožiny X a Y , kdy není ani X Y ani Y X. Připomeňme rekurentní definici přirozených čísel N = {0, 1, 2, 3, . . . }, kde 0 = , n + 1 = {0, 1, 2, . . . , n}. Definujeme relaci m < n právě, když m n. Evidentně jde o úplné úspořádání. Např. 2 4, protože 2 = {, {}} {, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}} = 4. Jinak řečeno, samotná rekurentní definice zadává vztah n n+1 a tranzitivně pak n k pro všechna k, která jsou tímto postupem definována později. 1.33 1.60. Rozklad podle ekvivalence. Každá ekvivalence R na množině A zadává zároveň rozklad množiny A na podmnožiny vzájemně ekvivalentních prvků, tzv. třídy ekvivalance. Klademe pro libovolné a A Ra = {b A; (a, b) A}. Často budeme psát pro Ra prostě [a], je-li z kontextu zřejmé, o kterou ekvivalenci jde. Zjevně Ra = Rb právě, když (a, b) R a každá taková podmnožina je tedy reprezentována kterýmkoliv svým prvkem, tzv. reprezentantem. Zároveň Ra Rb = 34 1. ÚVOD A MOTIVACE právě, když Ra = Rb, tj. třídy ekvivalence jsou po dvou disjunktní. Konečně, A = aARa, tj. celá množina A se suktečně rozloží na jednotlivé třídy. Můžeme také třídám rozkladu rozumět tak, že třídu [a] vnímáme jako prvek a ,,až na ekvivalenci . 1.34 1.61. Příklad ­ konstrukce celých a racionálních čísel. Na přirozených čís- lech umíme sice sčítat a víme, že přičtením nuly se číslo nezmění. Umíme i definovat odečítání, při něm ale jen někdy existuje výsledek. Základní ideou konstrukce celých čísel z přirozených je tedy přidat k nim chy- bějící rozdíly. To můžeme udělat tak, že místo výsledku odečítání budeme pracovat s uspořádanými dvojicemi čísel, které nám samozřejmě vždy výsledek dobře repre- zentují. Zbývá jen dobře definovat, kdy jsou (z hlediska výsledku odečítání) takové dvojice ekvivalentní. Potřebný vztah tedy je: (a, b) (a , b ) a - b = a - b a + b = a + b. Všimněme si, že zatímco výrazy v prostřední rovnosti v přirozených číslech neu- míme, výrazy v pravo už ano. Snadno ověříme, že skutečně jde o ekvivalenci a její třídy označíme jako celá čísla Z. Na nich definujeme operaci sčítání (a s ní i odečítání) pomocí reprezentantů. Např. [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)], což zjevně nezávisí na výběru reprezentantů. Lze si přitom vždy volit reprezentanty (a, 0) pro kladná čísla a reprezentanty (0, a) pro čísla záporná, se kterými se nám bude patrně počítat nejlépe. Tento jednoduchý přklad ukazuje, jak důležité je umět nahlížet na třídy ekvi- valence jako na celistvý objekt a soustředit se na vlastnosti těchto objektů, nikoliv formální popisy jejich konstrukcí. Ty jsou však důležité k ověření, že takové objekty vůbec existují. U celých čísel nám už platí všechny vlastnosti skalárů (KG1)­(KG4) a (O1)- (O4), viz 1.1 a 1.2. Pro násobení je neutrálním prvkem jednička, ale pro všechna čísla a různá od nuly a jedničky neumíme najít číslo a-1 s vlastností aa-1 = 1, tzn. chybí nám inverzní prvky. Zároveň si povšimněte, že platí vlastnost oboru integrity (OI), viz 1.2, tzn. je-li součin dvou čísel nulový, musí být alespoň jedno z nich nula. Díky poslední jmenované vlastnosti můžeme zkonstruovat racionální čísla Q přidáním všech chybějících inverzí zcela obdobným způsobem, jak jsme konstruovali Z z N. Na množině uspořádáných dvojic (p, q), q = 0, celých čísel definujeme relaci tak, jak očekáváme, že se mají chovat podíly p/q: (p, q) (p , q ) p/q = p /q p q - p q. Opět neumíme očekávané chování v prostřední rovnosti v množině Z formulovat, nicméně rovnost na pravé straně ano. Zjevně jde o dobře definovanou relaci ekviva- lence (ověřte podrobnosti!) a racionální čísla jsou pak její třídy ekvivalence. Když budeme formálně psát p/q místo dvojic (p, q), budeme definovat operace násobení a sčítání právě pomocí formulí, které nám jsou jistě dobře známy. 1.62. Příklad ­ zbytkové třídy. Jiným dobrým a jednoduchým příkladem jsou tzv. zbytkové třídy celých čísel. Pro pevně zvolené přirozené číslo k definujeme equivalenci k tak, že dvě čísla a, b Z jsou ekvivalentní, jestliže jejich zbytek po dělení číslem k je stejný. Výslednou množinu tříd ekvivalence označujeme Zk. 6. RELACE A ZOBRAZENÍ 35 Nejjednodušší je tato procedura pro k = 2. To dostáváme Z2 = {0, 1}, kde nula reprezentuje sudá čísla, zatímco jednička čísla lichá. Opět lze snadno zjistit, že pomocí reprezentantů můžeme definovat násobení a sčítání. Zkuste si ověřit, že výsledná množina ,,skalárů je komutativním tělesem (tj. splňuje i vlastnost (P) z 1.2) právě když je k prvočíslo. Závěrem si ještě procvičme spolu s relacemi ještě i kombinatoriku: 1.63. Ekvivalence ano či ne. Rozhodněte, zda následující relace na množině M jsou relace ekvivalence: (1) M = {f : R R}, (f g) f(0) = g(0). (2) M = {f : R R}, (f g) f(0) = g(1). (3) M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci, jestliže se neprotínají. (4) M je množina přímek v rovině, dvě přímky jsou v relaci, jestliže jsou rovno- běžné. (5) M = N, (m n) S(m) + S(n) = 20, kde S(n) značí ciferný součet čísla n. Řešení. (1) Ano. Ověříme tři vlastnosti ekvivalence: i) Reflexivita: pro libovolnou reálnou funkci f je f(0) = f(0). ii) Symetrie: jestliže platí f(0) = g(0), pak i g(0) = f(0). iii) Tranzitivita: jestliže platí f(0) = g(0) a g(0) = h(0), pak platí i f(0) = h(0). (2) Ne. Definovaná relace není reflexivní, např pro funkci sin máme sin(0) = sin(1) (3) Ne. Relace opět není reflexivní (každá přímka protíná sama sebe) (4) Ano. Třídy ekvivalence pak tvoří množinu neorientovaných směrů v rovině. (5) Ne. Relace není reflexivní. S(1) + S(1) = 2. 1.64. Počet injektivních zobrazení mezi množinami. Určete počet injektiv- ních zobrazení množiny {1, 2, 3} do množiny {1, 2, 3, 4} Řešení. Libovolné injektivní zobrazení mezi uvažovanými množinami je dáno vý- běrem (uspořádané) trojice z množiny {1, 2, 3, 4} (prvky ve vybrané trojici budou po řadě obrazy čísel 1, 2, 3) a obráceně každé injektivní zobrazení nám zadává ta- kovou trojici. Je tedy hledaných injektivních zobrazení stejně jako možností výběru uspořádaných trojic ze čtyř prvků, tedy v(3, 4) = 4 3 2 = 24. 1.65. Počet surjektivních zobrazení mezi danými množinami. Určete po- čet surjektivních zobrazení množiny {1, 2, 3, 4} na množinu {1, 2, 3} Řešení. Počet zjistíme obecným principem ,,inkluze a exkluze . Od počtu všech zobrazení odečteme ta, která nejsou surjektivní, t.j. ta, jejichž obor hodnot je buď jednoprvkovou nebo dvouprvkovou množinou. Všech zobrazení je V (3, 4) = 34 , zobrazení, jejichž oborem hodnot je jednoprvková množina, jsou tři. Počet zobrazení jejichž oborem hodnot je dvouprvková množina je 3 2 (24 -2) ( 3 2 způsoby můžeme vybrat definiční obor a máme-li již dva prvky fixovány, máme 24 - 2 možností, jak na ně zobrazit čtyři prvky). Celkem je tedy počet hledaných surjektivních zobrazení (1.30) 34 - 3 2 (24 - 2) - 3 = 36. 36 1. ÚVOD A MOTIVACE 1.66. Počet relací ekvivalence na množině. Určete počet relací ekvivalence na množině {1, 2, 3, 4}. Řešení. Ekvivalence můžeme počítat podle toho, kolik prvků mají jejich třídy rozkladu. Pro počty prvků tříd rozkladu ekvivalencí na čtyřprvkové množině jsou tyto možnosti: Počty prvků ve třídách rozkladu počet ekvivalencí daného typu 1,1,1,1 1 2,1,1 4 2 2,2 1 2 4 2 3,1 4 1 4 1 Celkem tedy máme 15 různých ekvivalencí. Závěrem ještě jeden příklad ukazující, že ,,divné skaláry se chovají divně: 1.67. Nenulový mnohočlen s nulovými hodnotami. Najděte nenulový mno- hočlen s koeficienty v Z7, tj. výraz typu anxn + + a1x + a0, ai Z7, an = 0, takový, že na množině Z7 nabývá pouze nulových hodnot (tj. dosadíme-li za x libovolný z prvků Z7 a výraz v Z7 vyčíslíme, dostaneme vždy nulu). Řešení. Při konstrukci tohoto mnohočlenu se opřeme o Malou Fermatovu větu, která říká, že pro livovolné prvočíslo p a číslo a s ním nesoudělné platí: (1.31) ap-1 1(mod p). Hledaný polynom je tedy například polynom x7 - x (polynom x6 - 1 by neměl nulovou hodnotu v čísle 0). KAPITOLA 2 Elementární lineární algebra neumíte ještě počítat se skaláry? ­ zkusme to rovnou s maticemi... 1. Vektory a matice 2.1 2.1. Vektory nad skaláry. Symbolem K budeme nadále značit nějakou množinu skalárů. Prozatím budeme vektorem rozumět uspořádanou n-tici skalárů, kde pevně zvolené n N budeme nazývat dimenzí. Sčítání vektorů definujeme po složkách (skaláry samozřejmě sčítat umíme) a násobení vektoru u = (a1, . . . , an) skalárem b definujeme tak, že každý prvek n-tice u vynásobíme skalárem b (skaláry v K násobit umíme), tj. u + v = (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1 + b1, . . . , an + bn) b u = b (a1, . . . , an) = (b a1, . . . , b an). Zpravidla požadujeme, aby skaláry byly z nějakého pole1 , viz 1.1. Pro sčítání vektorů v Kn zjevně platí (KG1)­(KG4) s nulovým prvkem 0 = (0, . . . , 0) Kn . Schválně zde používáme pro nulový prvek stejný symbol jako pro nulový prvek skalárů. Podobně budeme pro sčítání a násobení používat stále stejný symbol (plus a buď tečku nebo prosté zřetězení znaků). Navíc nebudeme používat pro vektory žádné speciální značení, a ponecháváme na čtenáři aby udržoval svoji pozornost přemýšlením o kontextu. Pro skaláry ale spíše budeme používat písmena ze začátku abecedy a pro vektory od konce (prostředek nám zůstane na indexy proměných, komponent a v součtech). Pro všechny vektory v, w Kn a skaláry a, b K platí a (v + w) = a v + a w(V1) (a + b) v = a v + b v(V2) a (b v) = (a b) v(V3) 1 v = v(V4) Pro kterékoliv pole skalárů K se snadno ověří právě sformulované vlastnosti (V1)­(V4) pro Kn , protože při ověřování vždy používáme pouze vlastnosti skalárů uvedené v 1.1 a 1.2. Budeme takto pracovat např. s Rn , Qn , Cn , (Zk)n , n = 1, 2, 3, . . .. 1Čtenář, který se ještě nesmířil s abstrakcí okruhů a polí, nechť přemýšlí v rámci číselných oborů. Potom okruhy skalárů zahrnují i celá čísla Z a všechny zbytkové třídy, zatímco mezi poli jsou pouze R, Q, C a zbytkové třídy Zk s prvočíselným k. 37 38 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Všimněme si také, že k ověření vlastností (V1)­(V4) potřebujeme pro použité skaláry pouze vlastnosti okruhu. Vlastnost (P) však bude přesto podstatná později. 2.2 2.2. Matice nad skaláry. Maticí typu m/n nad skaláry K rozumíme obdélníkové schéma A = a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... am1 am2 . . . amn kde aij K pro všechny 1 i m, 1 j n. Matici A s prvky aij značíme také A = (aij). Vektory (ai1, ai2, . . . , ain) Kn nazýváme (i­té) řádky matice A, i = 1, . . . , m, vektory (a1j, a2j, . . . , amj) Km nazýváme (j­té) sloupce matice A, j = 1, . . . , n. Matici můžeme také chápat jako zobrazení A : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} K. Matice typu 1/n nebo n/1 jsou vlastně právě vektory v Kn . I obecné matice lze však chápat jako vektory v Kmn , prostě zapomeneme na řádkování. Zejména tedy je definováno sčítání matic a násobení matic skaláry: A + B = (aij + bij), kde A = (aij), B = (bij), a A = (a.aij), kde A = (aij), a K. Dále pak matice -A = (-aij) se nazývá matice opačná k matici A a matice 0 = 0 . . . 0 ... ... 0 . . . 0 se nazývá nulová matice. Zapomenutím řádkování tak získáme následující tvrzení: Tvrzení. Předpisy pro A + B, a A, -A, 0 zadávají na množině všech matic typu m/n operace sčítání a násobení skaláry splňující axiomy (V1)­(V4). 2.3 2.3. Příklad. Matice lze vhodně využít pro zápis lineárních rovnic. Uvažme ná- sledující systém m rovnic v n proměnných: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = y2 ... am1x1 + am2x2 + + amnxn = ym. Posloupnost x1, . . . , xn lze chápat jako vektor proměnných, tj. sloupec v matici typu n/1, a podobně s hodnotami y1, . . . , yn. Systém rovnic lze pak formálně psát ve tvaru A x = y : a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn . x1 ... xn = y1 ... yn 1. VEKTORY A MATICE 39 Původní rovnice nyní obdržíme tak, že vždy bereme řádky z A a sčítáme součiny odpovídajících komponent, tj. ai1x1+ +ainxn. Tím získáme i-tý prvek výsledného vektoru. V rovině, tj. pro vektory dimenze 2, jsme už zavedli takovýto počet a viděli jsme, že s ním lze pracovat velice efektivně (viz 1.42). Nyní budeme postupovat obecněji a zavedeme i na maticích operace násobení. 2.4 2.4. Součin matic. Pro libovolnou matici A = (aij) typu m/n nad okruhem skalárů K a libovolnou matici B = (bjk) typu n/q nad K definujeme jejich součin C = A B = (cik) jako matici typu m/q s prvky cik = n j=1 aijbjk, pro libovolné 1 i m, 1 k q. Například máme 2 1 1 -1 2 1 1 -1 0 1 = 3 2 3 3 1 0 2.5 2.5. Čtvercové matice. Je-li v matici stejný počet řádků a sloupců, hovoříme o čtvercové matici. Počet řádků a sloupců pak nazýváme také dimenzí matice. Matici E = (ij) = 1 . . . 0 ... ... ... 0 . . . 1 se říká jednotková matice. Na množině čtvercových matic nad K dimenze n je součin matic definován pro každé dvě matice, je tam tedy definována operace násobení: Tvrzení. Pro libovolný okruh skalárů je na množině všech čtvercových matic di- menze n definována operace násobení. Splňuje vlastnosti 1.2(O1) a (O3) vzhledem k jednotkové matici E = (ij). Dále spolu se sčítáním matic vyhovuje 1.2(O4). Obecně však neplatí 1.2(O2) ani (OI), zejména tedy neplatí 1.2(P). Důkaz. Asociativita násobení ­ (O1): Protože skaláry jsou asociativní, distribu- tivní i komutativní, můžeme spočíst A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (ckl) typu p/q A B = ( j aij.bjk), B C = ( k bjk.ckl) (A B) C = ( k ( j aij.bjk).ckl) = j,k aij.bjk.ckl A (B C) = ( j aij.( k bjk.ckl)) = j,k aij.bjk.ckl Jednotkový prvek ­ (O3): A E = a11 a1m ... am1 amm 1 0 0 0 1 0 ... ... 0 0 1 = A = E A 40 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA (O4) - distributivita: opět díky distributivitě skalárů snadno spočteme pro ma- tice A = (aij) typu m/n, B = (bjk) typu n/p, C = (cjk) typu n/p, D = (dkl) typu p/q A (B + C) = ( j aij(bjk + cjk) = (( j aijbjk) + ( j aijcjk)) = A B + A C (B + C) D = ( k (bjk + cjk)dkl) = (( k bjkdkl) + ( k cjkdkl)) = B D + C D Není komutativní: - jak jsme již viděli v 1.42, dvě matice dimenze 2 nemusí komutovat: 1 0 0 0 . 0 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 0 0 . 1 0 0 0 = 0 0 0 0 Tím jsme získali zároveň protipříklad na platnost (O2) i (OI). Pro matice typu 1/1 ovšem oba axiomy samozřejmě platí, protože je mají samy skaláry a pro větší matice získáme protipříklady snadno tak, že právě uvedené matice umístíme do levého horního rohu příslušných čtvercových schémat a doplníme nulami. (Ověřte si sami!) V důkazu jsme vlastně pracovali s maticemi obecnějšího typu, dokázali jsme tedy příslušné vlastnosti obecněji: Tvrzení. Násobení matic je asociativní a distributivní, tj. A (B C) = (A B) C, A (B + C) = A B + A C, kdykoliv jsou tato násobení definována. Jednotková matice je neutrálním prvkem pro násobení zleva i zprava. 2.6 2.6. Inverzní matice. Se skaláry umíme počítat tak, že z rovnosti ax = b umíme vyjádřit x = a-1 b, kdykoliv inverze k a existuje. Podobně bychom to měli umět s maticemi, máme ale problém, jak poznat, zda taková existuje, a jak ji spočítat. Říkáme, že B je matice inverzní k matici A, když A B = B A = E. Píšeme pak B = A-1 a je samozřejmé, že obě matice musí mít tutéž dimenzi n. Matici, k níž existuje matice inverzní, říkáme invertibilní matice. Pokud A-1 a B-1 existují, pak existuje i (A B)-1 = B-1 A-1 . Je totiž (díky právě dokázané asociativitě násobení) (B-1 A-1 )(A.B) = B-1 (A-1 A)B = E a (A B) (B-1 A-1 ) = A (B B-1 ) A-1 = E. Protože s maticemi umíme počítat zrovna jako se skaláry, jen mají složitější chování, můžeme formálně snadno řešit systémy lineárních rovnic: Jestliže vyjád- říme soustavu n rovnic pro n neznámých součinem matic A x = a11 a1m ... am1 amm x1 ... xm = y1 ... ym a existuje matice inverzní k matici A, pak lze násobit zleva A-1 a dostaneme A-1 y = A-1 A x = E x = x, tj. hledané řešení. Naopak rozepsáním podmínky A A-1 = E pro neznámé skaláry v hledané matici A-1 dostaneme n systémů lineárních rovnic se stejnou maticí na levé straně a různými vektory napravo. 1. VEKTORY A MATICE 41 2.7 2.7. Ekvivalentní úpravy matic. Z hlediska řešení systémů rovnic A x = b je jistě přirozené považovat za ekvivalentní matice A a vektory b, které zadávají systémy rovnic se stejným řešením. Uvedeme si jednoduché manipulace s řádky rovnic a stejným způsobem pak můžeme upravovat i vektor napravo. Když se nám podaří vlevo dostat systém s jednotkovou maticí, bude napravo řešení původního systému. Takovým operacím říkáme řádkové elementární transformace. Jsou to: ˇ záměna dvou řádků ˇ vynásobení vybraného řádku nenulovým skalárem ˇ přičtení řádku k jinému řádku. Je zjevné, že odpovídající operace na úrovni rovnic v systému nemohou změnit množinu všech jeho řešení. Později bude vidět, že sloupcové transformace odpovídají řešení téhož systému ale v transformovaných souřadnicích Analogicky, sloupcové elementární transformace matic jsou ˇ záměna dvou sloupců ˇ vynásobení vybraného sloupce nenulovým skalárem ˇ přičtení sloupce k jinému sloupci, ty však nezachovávají řešení příslušných rovnic, protože mezi sebou míchají samotné proměnné. Systematicky můžeme použít elementární řádkové úpravy k postupné elimi- naci proměnných. Postup je algoritmiclký a většinou se mu říká Gausova eliminace proměnných. Tvrzení. Nenulovou matici nad libovolným okruhem skalárů K lze konečně mnoha elementárními řádkovými transformacemi převést na tzv. (řádkově) schodovitý tvar: ˇ Je-li aij = 0 a všechny předchozí prvky na i-tém řádku jsou také nulové, potom akj = 0 pro všechna k i ˇ je-li a(i-1)j první nenulový prvek na (i - 1)-ním řádku, pak aij = 0. Důkaz. Matice v řádkově schodovitém tvaru vypadá takto 0 . . . 0 a1j . . . . . . . . . a1m 0 . . . 0 0 . . . a2k . . . a2m ... 0 . . . . . . . . . . . . 0 alp . . . ... a matice může, ale nemusí, končit několika nulovými řádky. K převodu libovolné matice můžeme použít jednoduchý algoritmus: (1) Záměnou řádků docílíme, že v prvním řádku bude v prvním nenulovém sloupci nenulový prvek, nechť je to j-tý sloupec. (2) Pro i = 2, . . ., vynásobením prvního řádku prvkem aij, i-tého řádku prvkem a1j a odečtením vynulujeme prvek aij na i-tém řádku. (3) Opakovanou aplikací bodů (1) a (2), vždy pro zbytek řádků a sloupců v získané matici dospějeme po konečném počtu kroků k požadovanému tvaru. 42 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Uvedený postup je skutečně právě obvyklá eliminace proměnných v systémech lineárních rovnic. Pro řešení systémů rovnic má ale uvedený postup rozumný smysl jen, když mezi skaláry neexistují dělitelé nuly. Pokud tvoří skaláry pole, pak můžeme navíc ze schodovitého tvaru snadno spočíst řešení (případně ověřit jeho neexistenci), promyslete si pečlivě rozdíl mezi K = Z, K = R a případně Z2 nebo Z3. 2.8 2.8. Poznámka. Všimněme si, že elementární řádkové (resp. sloupcové) transfor- mace odpovídají vynásobením zleva (resp. zprava) následujícími maticemi: (1) Přehození i-tého a j-tého řádku (resp. sloupce) 0 B B B B B B B B B B B B B @ 1 0 . . . 0 ... ... 0 . . . 1 ... ... ... 1 . . . 0 ... 1 1 C C C C C C C C C C C C C A (2) Vynásobení i-tého řádku (resp. sloupce) skalárem a: 0 B B B B B B B B B B B @ 1 ... 1 a 1 ... 1 1 C C C C C C C C C C C A i (3) Sečtení i-tého řádku (resp. sloupce) s j-tým: i 0 B B B B B B B B B B B B B B B @ 1 0 0 ... ... ... 1 ... ... 1 1 C C C C C C C C C C C C C C C A j Toto prostinké pozorování je ve skutečnosti velice podstatné, protože součin invertibilních matic je invertibilní a všechny elementární transformace jsou nad polem skalárů invertibilní. Pro libovolnou matici A tedy dostaneme násobením vhodnou invertibilní maticí P = Pk P1 zleva (postupné násobení k maticemi zleva) její ekvivalentní řádkový schodovitý tvar A = P A. Jestliže obecně aplikujeme tentýž eliminační postup na sloupce, dostaneme z každé matice B její sloucový schodovitý tvar B vynásobením vhodnou invertibilní maticí Q = Q1 Q . Pokud ale začneme s maticí B = A v řádkově schodovitém 1. VEKTORY A MATICE 43 tvaru, eliminuje takový postup pouze všechny dosud nenulové prvky mimo diago- nálu matice a závěrem lze ještě i tyto elementárními operacemi změnit na jedničky. Celkem jsme tedy ověřili důležitý výsledek, ke kterému se budeme mnohokrát vra- cet: 2.9 2.9. Věta. Pro každou matici A typu m/n nad polem skalárů K existují čtvercové invertibilní matice P dimenze m a Q dimenze n takové, že matice P A je v řádkově schodovitém tvaru a P A Q = 1 . . . 0 . . . . . . . . . 0 ... ... 0 . . . 1 0 . . . . . . 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... . 2.10 2.10. Algoritmus pro výpočet inverzní matice. V předchozích úvahách jsme se dostali prakticky k úplnému algoritmu pro výpočet inverzní matice. Během jed- noduchého níže uvedeného postupu buď zjistíme, že inverze neexistuje, nebo bude inverze spočtena. I nadále pracujeme nad polem skalárů. Ekvivalentní řádkové transformace se čtvercovou maticí A dimenze n vedou k matici P takové, že P A bude v řádkově schodovitém tvaru. Přitom může (ale nemusí) být jeden nebo více posledních řádků nulových. Jestliže má existovat inverzní matice k A, pak existuje i inverzní matice k P A. Jestliže však je poslední řádek v P A nulový, bude nulový i poslední řádek v P A B pro jakoukoliv matici B dimenze n. Existence takového nulového řádku ve výsledku (řádkové) Gaussovy eliminace tedy vylučuje existenci A-1 . Předpokládejme nyní, že A-1 existuje. Podle předchozího, nalezneme řádkově schodovitý tvar bez nulového řádku, tzn. že všechny diagonální prvky v P A jsou nenulové. Pak ovšem pokračováním eliminace od pravého dolního rohu zpět a vynormováním diagonálních prvků na jedničky získáme jednotkovou matici E. Jinými slovy, najdeme další invertibilní matici P takovou, že pro P = P P platí P A = E. Výměnou řádkových a sloupcových transformací lze za předpokladu existence A-1 stejným postupem najít Q takovou, že A Q = E. Odtud P = P E = P (A Q) = (P A) Q = Q. To ale znamená, že jsme nalezli hledanou inverzní matici A-1 = P = Q k A. Prakticky tedy můžeme postupovat tak, že vedle sebe napíšeme původní matici A a jednotkovou matici E, matici A upravujeme řádkovými elementárními úpravami nejprve na schodovitý tvar, potom tzv. zpětnou eliminací na diagonální matici a v té násobíme řádky inverzními prvky z K. Tytéž úpravy postupně prováděné s E vedou právě k matici P = P P z předchozích úvah, tedy z ní získáme právě hledanou inverzi. Pokud tento algoritmus narazí na vynulování celého řádku v původní matici, znamená to, že matice inverzní neexistuje. 2.10a 2.11. Závislost řádků a sloupců a hodnost matice. V předchozích úvahách a počtech s maticemi jsme stále pracovali se sčítáním řádků nebo sloupců coby vektorů, spolu s jejich násobením skaláry. Takové operaci říkáme lineární kombi- nace. V abstraktním pojetí se k operacím s vektory vrátíme za chvíli v 2.23, bude ale užitečné pochopit podstatu už nyní. Lineární kombinací řádků (nebo sloupců) 44 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA matice A = (aij) typu m/n rozumíme výraz a1ui1 + +akuik , kde ai jsou skaláry, uj = (aj1, . . . , ajn) jsou řádky (nebo uj = (a1j, . . . , amj) jsou sloupce) matice A. Jestliže existuje lineární kombinace daných řádků s alespoň jedním nenulovým skalárním koeficientem, jejímž výsledkem je nulový řádek, říkáme, že jsou lineárně závislé. V opačném případě, tj. když jedinou možnost jak získat nulový řádek je vy- násobení výhradně nulovými skaláry, jsou lineárně nezávislé. Obdobně definujeme lineárně závislé a nezávislé sloupce matice. Předchozí výsledky o Gausově eliminaci můžeme vnímat takovým způsobem, že počet výsledných nenulových ,,schodů v řádkově nebo sloupcově schodovitém tvaru je vždy roven témuž přirozenému číslu a to počtu lineárně nezávislých řádků matice a témuž počtu lineárně nezávislých sloupců matice. Tomuto číslu říkáme hodnost matice, značíme h(A). Zapamatujme si výsledné tvrzení: Věta. Nechť A je matice typu m/n nad polem skalárů K. Matice A má stejný počet h(A) linárně nezávislých řádků a lineárně nezávislých sloupců. Zejména je hodnost vždy nejvýše rovna menšímu z rozměrů matice A. Algoristmus pro výpočet inverzních matic také říká, že čtvercová matice A dimenze m má inverzi právě, když je její hodnost rovna počtu řádků m. Ukažme si ještě užití matic pro běžné geometrické transformace, podobně jako v našich úvahách o geometrii roviny (viz 1.43): 2.12. Matice rotací podle souřadnicových os. Napište matici zobrazení rotací o úhel postupně kolem os x, y, z v R3 . Řešení. Při rotaci libovolného bodu kolem dané osy (řekněme x), se příslušná souřadnice daného bodu nemění, v rovině dané dvěma zbylými osami pak již je rotace dána známou maticí 2 × 2. Postupně tedy dostáváme následující matice: Rotace kolem osy z: cos - sin 0 sin cos 0 0 0 1 Rotace kolem osy y: cos 0 sin 0 1 0 - sin 0 cos Rotace kolem osy x: 1 0 0 0 cos - sin 0 sin cos . U matice rotace kolem osy y musíme dávat pozor na znaménko. Je totiž rotace kolem osy y v kladném smyslu, tedy taková rotace, že pokud se díváme proti směru osy y, tak se svět točí proti směru hodinových ručiček, je rotací v záporném smyslu v rovině xz (tedy osa z se otáčí směrem k x). Rozmyslete si kladný a záporný smysl rotace podél všech tří os. 2.13. Matice rotace kolem dané osy. Napište matici zobrazení rotace v klad- ném smyslu o úhel 60 kolem přímky dané počátkem a vektorem (1, 1, 0) v R3 . Řešení. Daná otáčení je složením následujících tří zobrazení: 2. DETERMINANTY 45 ˇ rotace o 45 v záporném smyslu podle osy z (osa rotace (1, 1, 0) přejde do osy x) ˇ rotace o 60 v kladném smyslu podle osy x. ˇ rotace o 45 v kladném smyslu podle osy z (osa x přejde zpět na osu danou vektorem (1, 1, 0)). Matice výsledné rotace tedy bude součinem matic odpovídajících těmto třem zobrazením, přičemž pořadí matic je dáno pořadím provádění jednotlivých zobra- zení, prvnímu zobrazení odpovídá v součinu matice nejvíce napravo. Celkem tedy dostáváme pro hledanou matici A vztah: A = 2 2 - 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 - 3 2 0 3 2 1 2 2 2 2 2 0 - 2 2 2 2 0 0 0 1 = 3 4 1 4 6 4 1 4 3 4 - 6 4 - 6 4 6 4 1 2 2. Determinanty V páté části první kapitoly jsme viděli, že pro čtvercové matice dimenze n nad reálnými čísly existuje skalární funkce det, která matici přiřadí nenulové číslo právě, když existuje její inverze. Neříkali jsme to sice stejnými slovy, ale snadno si to ověříte, viz odstavce počínaje 1.42 a formule (1.26). Determinant byl užitečný i jinak, viz 1.44 a 1.45, kde jsme si volnou úvahou odvodili, že obsah rovnoběžníka by měl být lineárně závislý na každém ze dvou vektorů definujících rovnoběžník a že je užitečné zároveň požadovat změnu znaménka při změně pořadí těchto vektorů. Protože tyto vlastnosti měl, až na pevný skalární násobek, jedině determinant, odvodili jsme, že je obsah dán právě takto. Nyní uvidíme, že podobně lze postupovat v každé konečné dimenzi. V této části budeme pracovat s libovolnými skaláry K a maticemi nad těmito skaláry. 2.10c 2.14. Definice determinantu. Připomeňme, že bijektivní zobrazení množiny X na sebe se nazývá permutace množiny X, viz 1.5. Je-li X = {1, 2, . . . , n}, lze per- mutace zapsat pomocí výsledného pořadí ve formě tabulky: 1 2 . . . n (1) (2) . . . (n) . Prvek x X se nazývá samodružným bodem permutace , je-li (x) = x. Permu- tace taková, že existují právě dva různé prvky x, y X s (x) = y a (z) = z pro všechna ostatní z X se nazývá transpozice, značíme ji (x, y). V dimenzi dva byl vzorec pro determinant jednoduchý ­ vezmeme všechny možné součiny dvou prvků, po jednom z každého sloupce a řádku matice, opat- říme je znaménkem tak, aby při přehození dvou sloupců došlo ke změně celkového znaménka, a výrazy všechny sečteme: A = a b c d , det A = ad - bc. Obecně, nechť A = (aij) je čtvercová matice dimenze n nad K. Determinant matice A je skalár det A = |A| definovaný vztahem |A| = n sgn()a1(1) a2(2) an(n) 46 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA kde n je množina všech možných permutací na {1, . . . , n} a znaménko sgn pro kaž- dou permutaci ještě musíme popsat. Každý z výrazů sgn()a1(1) a2(2) an(n) nazýváme člen determinantu |A|. Jednoduché příklady už umíme: je-li n = 1, pak |a11| = a11 K, a pro n = 2 je a11 a12 a21 a22 = +a11a22 - a12a21. Podobně pro n = 3 se dá uhodnout (chceme linearitu v každém sloupci a antisy- metrii) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = + a11a22a33 - a13a22a31 + a13a21a32 - a11a23a32 + a12a23a31 - a12a21a33. Tomuto vzorci se říká Saarusovo pravidlo. Jak tedy najít správná znaménka? Říkáme, že dvojice prvků a, b X = {1, . . . , n} tvoří inverzi v permutaci , je-li a < b a (a) > (b). Permutace se nazývá sudá (resp. lichá), obsahuje-li sudý (resp. lichý) počet inverzí. Parita permutace je (-1)počet inverzí a značíme ji právě sgn(). Tolik definice, chceme ale vědět, jak s paritou počítat. Z následujícího tvrzení už je jasně vidět, že Saarusovo pravidlo skutečně počítá determinant v dimenzi 3. Tvrzení. Na množině X = {1, 2, . . . , n} je právě n! různých permutací. Tyto lze seřadit do posloupnosti tak, že každé dvě po sobě jdoucí se liší právě jednou trans- pozicí. Lze při tom začít libovolnou permutací a každá transpozice mění paritu. Důkaz. Pro jednoprvkové a dvouprvkové X tvrzení samozřejmě platí. Budeme postupovat indukcí přes dimenzi. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s n - 1 prvky a uvažme permutaci (1) = a1, . . . , (n) = an. Podle indukčního předpokladu všechny per- mutace, které mají na posledním místě an, dostaneme z tohoto pořadí postupným prováděním transpozic. Přitom jich bude (n - 1)!. V posledním z nich prohodíme (n) = an za některý z prvků, který dosud nebyl na posledním místě, a znovu uspořádáme všechny permutace s tímto vybraným prvkem na posledním místě do posloupnosti s požadovanými vlastnostmi. Po n-násobné aplikaci tohoto postupu získáme n! zaručeně různých permutací, tzn. všechny, právě předepsaným způso- bem. Všimněte si, že důležitou částí postupu je možnost začít s libovolnou z per- mutací. Zbývá poslední dovětek o paritách. Uvažme pořadí (a1, . . . , ai, ai+1, . . . , n), ve kterém je r inverzí. Pak zjevně je v pořadí (a1, . . . , ai+1, ai . . . , n) buď r - 1 nebo r + 1 inverzí. Každou transpozici (ai, aj) lze přitom získat postupným provedením (j -i)+(j -i-1) = 2(j -i)-1 transpozic sousedních prvků. Proto se provedením libovolné transpozice parita permutace změní. Navíc již víme, že všechny permutace lze získat prováděním transpozic. Zjistili jsme, že provedení libovolné transpozice změní paritu permutace a že každé pořadí čísel {1, 2, . . . , n} lze získat postupnými transpozicemi sousedních prvků. Důsledkem tohoto popisu je, že na každé množině X = {1, . . . , n}, n > 1, je právě 1 2 n! sudých a 1 2 n! lichých permutací. 2. DETERMINANTY 47 Jestliže složíme dvě permutace za sebou, znamená to provést napřed všechny transpozice tvořící první a pak druhou. Proto pro libovolné permutace , : X X platí sgn( ) = sgn() sgn(), sgn(-1 ) = sgn(). 2.15. Rozklad permutace na transpozice. Napište permutaci P = 1 2 3 4 5 3 1 2 5 4 jako složení transpozicí. Je tato permutace sudá nebo lichá? Řešení. Transpozici prvků i a j, budeme značit jako (i, j). Danou permutaci mů- žeme rozložit nejprve na nezávislé cykly, ty potom na transpozice. V našem případě je daná transpozice složením dvou cyklů: (1, 2, 3) a (4, 5) (rozklad dostaneme tak, že si vybereme jeden prvek a ten opakovaně zobrazujeme pomocí dané permutace, dokud nedostaneme na počátku zvolený prvek; ,,cesta prvku tvoří cyklus; z prvků, které jsme ještě neprošli vybereme opět další a opět ho opakovaně zobrazujeme po- mocí dané permutace; opakujeme tak dlouho, dokud neprobereme všechny prvky množiny, na které permutace působí). V našem případě se prvek 1 zobrazuje na 3, prvek 3 na prvek 2, prvek 2 zpět na 1, dostáváme tedy cyklus (1, 3, 2). První prvek, který jsme ještě neprošli je číslo 4: 4 se zobrazuje na 5, 5 zpět na 4; dostáváme transpozici, neboli cyklus délky dva. Máme tedy P = (1, 3, 2) (4, 5). Cyklus (1, 3, 2) ještě rozložíme na transpozice: (1, 3, 2) = (1, 3)(3, 2). Celkem tedy P = (1, 3) (3, 2) (4, 5). Parita počtu transpozicí v rozkladu je dána jednoznačně a udává sudost či lichost permutace. Naše permutace je tedy lichá. 2.12 2.16. Jednoduché vlastnosti determinantu. Pro každou matici A = (aij) typu m/n na skaláry z K definujeme matici transponovanou k A. Jde o matici AT = (aij) s prvky aij = aji typu n/m. Čtvercová matice A s vlastností A = AT se nazývá symetrická. Jestliže platí A = -AT , pak se A nazývá antisymetrická. Věta. Pro každou čtvercovou matici A platí (1) |AT | = |A|, (2) Je-li jeden řádek v A tvořen nulovými prvky z K, pak |A| = 0, (3) Jestliže matice B vznikla z A výměnou dvou řádků, pak |A| = -|B|, (4) Jestliže matice B vznikla z A vynásobením řádku skalárem a K, pak |B| = a|A|, (5) Jsou-li prvky k-tého řádku v A tvaru akj = ckj + bkj a všechny ostatní řádky v maticích A, B = (bij), C = (cij) jsou stejné, pak |A| = |B| + |C|, (6) Determinant |A| se nezmění, přičteme-li k libovolnému řádku A lineární kom- binaci ostatních řádků. Důkaz. (1) Členy determinantů |A| a |AT | jsou v bijektivní korespondenci. Členu sgn()a1(1) a2(2) an(n) přitom odpovídá člen sgn()a(1)1 a(2)2 a(n)n = sgn()a1-1(1) a2-1(2) an-1(n), 48 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA přičemž musíme ověřit, že je tento člen opatřen správným znaménkem. Parita a -1 je ale stejná, jde tedy opravdu o člen |AT | a první tvrzení je dokázáno. (2) Plyne přímo z definice determinantu, protože všechny jeho členy budou nulové. (3) Ve všech členech |A| dojde u permutací k přidání jedné transpozice, zna- ménko všech členů determinantu tedy bude opačné. (4) Vyplývá přímo z definice, protože členy determinantu |B| jsou členy |A| vynásobené skalárem a. (5) V každém členu |A| je právě jeden součinitel z k-tého řádku matice A. Protože platí distributivní zákon pro násobení a sčítání v K, vyplývá tvrzení přímo z definičního vztahu pro determinanty. (6) Jsou-li v A dva stejné řádky, jsou mezi členy determinantu vždy dva sčítance stejné až na znaménko. Proto je v takovém případě |A| = 0. Je tedy podle tvrzení (5) možné přičíst k vybranému řádku libovolný jiný řádek, aniž by se zmněnila hodnota determinantu. Vzhledem k tvrzení (4) lze ale přičíst i skalární násobek libovolného jiného řádku. 2.13 2.17. Poznámka. Všimněme si hezkého důsledku prvního tvrzení předchozí věty o rovnosti determinantů matice a matice transponované. Zaručuje totiž, že kdyko- liv se nám podaří dokázat nějaké tvrzení o determinantech formulované s využi- tím řádků příslušné matice, pak analogické tvrzení platí i pro sloupce. Např. tedy můžeme okamžitě všechna tvrzení (2)­(6) této věty přeformulovat i pro přičítání lineárních kombinací ostatních sloupců k vybranému. Vlastnosti (3)­(5) říkají, že determinant jako zobrazení, které n vektorům di- menze n (řádkům nebo sloupcům matice) přiřadí skalár je antisymetrické zobrazení lineární v každém svém argumentu, přesně jak jsme podle analogie z dimenze 2 po- žadovali. Pro matici v řádkovém nebo sloupcovém schodovitém tvaru je jediným nenu- lovým členem determinantu ten, který odpovídá identické permutaci. Vidíme tedy, že determinant takové matice je |A| = a11 a22 ann. Předchozí věta tedy po- skytuje velice efektivní metodu výpočtu determinantů pomocí Gaussovy eliminační metody, viz. 2.7. 2.14 2.18. Další vlastnosti determinantu. Časem uvidíme, že skutečně stejně jako v dimenzi dva je determinant matice roven orientovanému objemu rovnoběžnostěnu určeného jejími sloupci. Uvidíme časem také, že když uvážíme zobrazení x A x zadané čtvercovou maticí A na Rn , pak můžeme determinant této matice vidět jako vyjádření poměru mezi objemem rovnoběžnostěnů daných vektory x1, . . . xn a jejich obrazy A x1, . . . , A xn. Protože skládání zobrazení x A x B (A x) odpovídá násobení matic, je snad docela pochopitelná tzv. Cauchyova věta: Věta. Nechť A = (aij), B = (bij) jsou čtvercové matice dimenze n nad okruhem skalárů K. Pak |A B| = |A| |B|. My tuto větu odvodíme ryze algebraicky už proto, že předchozí odvolávka na geometrický argument těžko může fungovat pro jakékoliv skaláry. Základním ná- strojem je tzv. rozvoj determinantu podle jednoho nebo více řádků či sloupců. Budeme potřebovat něco málo technické přípravy. Čtenář, který by snad tolik abs- trakce neztrávil může tyto pasáže přeskočit a vstřebat pouze znění Laplaceovy věty a jejich důsledků. 2. DETERMINANTY 49 Nechť A = (aij) je matice typu m/n a 1 i1 < . . . < ik m, 1 j1 < . . . < jl n jsou pevně zvolená přirozená čísla. Pak matici M = ai1j1 ai1j2 . . . ai1j ... ... aikj1 aikj2 . . . aikj typu k/ nazýváme submaticí matice A určenou řádky i1, . . . , ik a sloupci j1, . . . , j . Zbývajícími (m-k) řádky a (n-l) sloupci je určena matice M typu (m-k)/(n- ), která se nazývá doplňková submatice k M v A. Při k = je definován |M|, který nazýváme subdeterminant nebo minor řádu k matice A. Je-li m = n, pak při k = je i M čtvercová a |M | se nazývá doplněk minoru |M|, nebo doplňkový minor k submatici M v matici A. Skalár (-1)i1++ik+j1++jl |M | se nazývá algebraický doplněk k minoru |M|. Submatice tvořené prvními k řádky a sloupci se nazývají hlavní submatice, jejich determinanty hlavní minory matice A. Při speciální volbě k = = 1, m = n hovoříme o algebraickém doplňku Aij prvku aij matice A. Pokud je |M| hlavní minor matice A, pak přímo z definice determinantu je vidět, že součin |M| s jeho algebraickým doplňkem je členem determinantu. Nechť je obecná submatice M určena řádky i1 < i2 < < ik a sloupci j1 < < jk. Pak pomocí (i1 -1)+ +(ik -k) výměn sousedních řádků a (j1 -1)+ +(jk -k) výměn sousedních sloupců v A převedeme submatici M na hlavní submatici a doplňková matice přitom přejde právě na doplňkovou matici. Celá matice A přejde přitom v matici B, pro kterou platí podle 2.16 a definice determinantu |B| = (-1) |A|, kde = Pk h=1(ih - jh) - 2(1 + + k). Tím jsme ověřili: Tvrzení. Nechť A je čtvercová matice dimenze n a |M| je její minor řádu k < n. Pak součin libovolného členu |M| s libovolným členem jeho algebraického doplňku je členem |A|. Toto tvrzení už podbízí představu, že by se pomocí takových součinů menších determi- nantů skutečně mohl determinant matic vyjadřovat. Víme, že |A| obsahuje právě n! různých členů, právě jeden pro každou permutaci. Tyto členy jsou navzájem různé jakožto polynomy v prvcích (neznámé obecné) matice A, přitom lze pro každý z členů zvolit matici A takovou, že pouze tento člen bude nenulový. Ukážeme si, že uvažované součiny |M| |M | obsahují právě n! různých členů z |A|, bude tvrzení věty dokázáno. Ze zvolených k řádků lze vybrat `n k ´ minorů M a podle předchozího lematu je každý z k!(n - k)! členů v součinech |M| s jejich algebraickými doplňky členem |A|. Přitom pro různé výběry M nemůžeme nikdy obdržet stejné členy a jednotlivé členy v (-1)i1++ik+j1++jl |M| |M | jsou také po dvou různé. Celkem tedy máme právě požadovaný počet k!(n - k)! `n k ´ = n! členů. Tím jme bezezbytku dokázali tzv. Laplaceovu větu: Věta. Nechť A = (aij) je čtvercová matice dimenze n nad libovolným okruhem skalárů a nechť je pevně zvoleno k jejích řádků. Pak |A| je součet všech n k součinů (-1)i1++ik+j1++jl |M| |M | minorů řádu k vybraných ze zvolených řádků, s jejich algebraickými doplňky. 2.15 2.19. Důsledky Laplaceovy věty. Předchozí věta převádí výpočet |A| na vý- počet determinantů nižšího stupně. Této metodě výpočtu se říká Laplaceův rozvoj podle zvolených řádků či sloupců. Např. rozvoj podle i-tého řádku nebo i-tého 50 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA sloupce: |A| = n j=1 aijAij = n j=1 ajiAji kde Aij označuje algebraický doplněk k prvku (minoru stupně 1) aij. Při praktic- kém počítání determinantů bývá výhodné kombinovat Laplaceův rozvoj s přímou metodou přičítání lineárních kombinací řádků či sloupců. 2.20. Jednoduchý příklad rozvoje. Spočítejte determinant matice 1 3 5 6 1 2 2 2 1 1 1 2 0 1 2 1 . Řešení. Začneme rozvíjet podle prvního sloupce, kde máme nejvíce (jednu) nul. Postupně dostáváme 1 3 5 6 1 2 2 2 1 1 1 2 0 1 2 1 = 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 - 1 3 5 6 1 1 2 1 2 1 + 1 3 5 6 2 2 2 1 2 1 Podle Saarusova pravidla = -2 - 2 + 6 = 2. Výpočet determinantů bude standardním krokem v mnoha dalších úlohách, proto ponecháme i procvičování na tyto praktičtější příležitosti. 2.21. Důkaz Cauchyovy věty. Jde o trikovou ale elementární aplikaci Laplaceovy věty. Použijeme prostě dvakrát Laplaceův rozvoj na vhodné matice: Uvažme nejprve matici H dimenze 2n (používáme tzv. blokovou symboliku, tj. píšeme matici jakoby složenou z matic) H = ,, A 0 -E B = 0 B B B B B B B B @ a11 . . . a1n ... ... an1 . . . ann 0 . . . 0 ... ... 0 . . . 0 -1 0 ... 0 -1 b11 . . . b1n ... ... bn1 . . . bnn 1 C C C C C C C C A Laplaceovým rozvojem podle prvních n řádků obdržíme právě |H| = |A| |B|. Nyní budeme k posledním n sloupcům postupně přičítat lineární kombinace prvních n sloupců tak, abychom obdrželi matici s nulami v pravém dolním rohu. Dostaneme K = 0 B B B B B B B B @ a11 . . . a1n ... ... an1 . . . ann c11 . . . c1n ... ... cn1 . . . cnn -1 0 ... 0 -1 0 . . . 0 ... ... 0 . . . 0 1 C C C C C C C C A . Prvky submatice nahoře vpravo přitom musí splňovat cij = ai1b1j + ai2b2j + + ainbnj 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 51 neboli jde právě o prvky součinu A B a |K| = |H|. Přitom rozvojem podle posledních n sloupců dostáváme |K| = (-1)n+1++2n |A B| = (-1)2n(n+1) |A B| = |A B|. 2.16 2.22. Determinant a inverzní matice. Předpokládejme nejprve, že existuje matice inverzní k matici A, tj. A A-1 = E. Protože pro jednotkovou matici platí vždy |E| = 1, je pro každou invertibilní matici vždy |A| invertibilní skalár a platí |A|-1 = |A-1 |. My však kombinací Laplaceovy věty a Cauchyho věty umíme víc. Pro libovolnou čtvercovou matici A = (aij) dimenze n definujeme matici A = (a ij), kde a ij = Aji jsou algebraické doplňky k prvkům aji v A. Nazýváme ji algebraicky adjungovaná matice k matici A. Věta. Pro každou čtvercovou matici A nad okruhem skalárů K platí AA = A A = |A| E. Zejména tedy (1) A-1 existuje jako matice nad okruhem skalárů K právě, když |A|-1 existuje v K. (2) Pokud existuje A-1 , pak platí A-1 = |A|-1 A . Důkaz. Jak jsme již zmínili, Cauchyova věta ukazuje, že z existence A-1 vyplývá invertibilita |A| K. Předpokládejme naopak, že |A| je invertibilní skalár. Spočteme přímým výpočtem A A = (cij): cij = nX k=1 aika kj = nX k=1 aikAjk. Pokud i = j je to právě Laplaceův rozvoj |A| podle i-tého řádku. Pokud i = j jde o rozvoj determinantu matice v níž je i-tý a j-tý řádek stejný a proto je cij = 0. Odtud plyne A A = |A| E, ale již v 2.10 jsme odvodili, že z rovnosti A B = E plyne i B A = E. (Pokud tomu někdo dá přednost, může zopakovat předešlý výpočet pro A A.) 3. Vektorové prostory a lineární zobrazení Vraťme se teď na chvilku k systémům m lineárních rovnic pro n proměnných z 2.3 a předpokládejme navíc, že jde o rovnice tvaru A x = 0, tj. a11 . . . a1n ... ... am1 . . . amn . x1 ... xn = 0 ... 0 . Díky vlastnosti distributivity pro násobení matic je okamžitě zřejmé, že součet dvou řešení x = (x1, . . . , xn) a y = (y1, . . . , yn) splňuje A (x + y) = A x + A y = 0 a je tedy také řešením. Stejně tak zůstává řešením i skalární násobek ax. Množina všech řešení pevně zvoleného systému rovnic je proto uzavřená na sčítání vektorů a násobení vektorů skaláry. To byly základní vlastnosti vektorů dimenze n v Kn , viz 2.1. Teď ale máme vektory v prostoru řešení s n souřadnicemi a ,,dimenze tohoto prostoru určitě nemá být n (pokud matice systému není nulová). Případy dvou rovnic pro dvě neznámé jsme potkali při řešení geometrických problémů v rovině v 52 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.41 a pro dvě závislé rovnice byl množinou všech řešení ,,jednorozměrný prostor ­ přímka. U dvou nezávislých rovnic to byl průsečík dvou přímek, tj. ,,nularozměrný prostor. Už v 1.16, jsme ale potkali ještě zajímavější příklad prostoru všech řešení ho- mogenní lineární diferenční rovnice (druhého řádu). Opět jsme dvě řešení mohli libovolně kombinovat pomocí sčítání a násobení skaláry a dostali jsme tak všechna možná řešení. Tyto ,,vektory ovšem jsou nekonečné posloupnosti čísel, přestože intuitivně očekáváme, že dimenze celého prostoru řešení by měla být dvě. Potřebujeme proto obecnější definici vektorového prostoru a jeho dimenze: 2.17 2.23. Abstraktní vektorové prostory. Vektorovým prostorem V nad polem skalárů K rozumíme množinu spolu s operací sčítání, pro kterou platí axiomy 1.1(KG1)­(KG4), a s násobením skaláry, pro které platí axiomy 2.1(V1)­(V4). Připoměňme naši jednoduchou konvenci ohledně značení: skaláry budou zpravi- dla označovány znaky z počátku abecedy, tj. a, b, c, . . . , zatímco pro vektory budeme užívat znaky z konce, u, v, w, x, y, z. Přitom ještě navíc většinou x, y, z budou opravdu n-tice skalárů. Pro úplnost výčtu, písmena z prostředka, např. i, j, k, budou nejčastěji označovat indexy výrazů. Abychom se trochu pocvičili ve formálním postupu, ověříme jednoduché vlast- nosti vektorů (které pro n-tice skalárů byly samozřejmé, nicméně teď je musíme odvodit z axiomů) Tvrzení. Nechť V je vektorový prostor nad polem skalárů K, dále uvažme a, b, ai K, vektory u, v, uj V . Potom (1) a u = 0 právě když a = 0 nebo u = 0 (2) (-1) u = -u (3) a (u - v) = a u - a v (4) (a - b) u = a u - b u (5) n i=1 ai m j=1 uj = n i=1 m j=1 ai uj. Důkaz. Můžeme rozepsat (a + 0) u (V 2) = a u + 0 u = a u což podle axiomu (KG4) zaručuje 0 u = 0. Nyní u + (-1) u (V 2) = (1 + (-1)) u = 0 u = 0 a odtud -u = (-1) u. Dále a (u + (-1) v) (V 2,V 3) = a u + (-a) v = a u - a v což dokazuje (3). Platí (a - b) u (V 2,V 3) = a u + (-b) u = a u - b u a tím je ověřeno (4). Vztah (5) plyne indukcí z (V2) a (V1). Zbývá (1): a 0 = a (u - u) = a u - a u = 0, což spolu s prvním tvrzením tohoto důkazu ukazuje jednu implikaci. K opačné implikaci poprvé potřebujeme axiom pole pro skaláry a axiom (V4) pro vektorové prostory: je-li p u = 0 a p = 0, pak u = 1 u = (p-1 p) u = p-1 0 = 0. 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 53 V odstavci 2.11 jsme pracovali s tzv. lineárními kombinacemi řádků matice. S obecnými vektory budeme zacházet zcela analogicky: Výrazy tvaru a1 v1 + + ak vk nazýváme lineární kombinace vektorů v1, . . . , vk V . Množina vektorů M V ve vektorovém prostoru V nad K se nazývá lineárně nezávislá jestliže pro každou k-tici vektorů v1, . . . , vk M a každé skaláry a1, . . . , ak K platí: a1 v1 + + ak vk = 0 = a1 = a2 = = ak = 0. Posloupnost vektorů v1, . . . , vk nazveme lineárně nezávislou jestliže v1, . . . , vk jsou po dvou různé a {v1, . . . , vk} je lineárně nezávislá. Množina M vektorů je lineárně závislá, jestliže není lineárně nezávislá. Přímo z definice pak vyplývá, že neprázdná podmnožina M vektorů ve vektorovém prostoru nad polem skalárů K je závislá právě, když je jeden z jejích vektorů vyjádřitelný jako lineární kombinace ostatních. Přímo z definic plyne, že každá podmnožina lineárně nezávislé množiny M je lineárně nezávislá. Stejně snadno vidíme, že M V je lineárně nezávislá právě tehdy, když každá konečná podmnožina v M je lineárně nezávislá. 2.24. Vektorový prostor ano či ne? Rozhodněte o následujících množinách, jestli jsou vektorovými prostory nad tělesem reálných čísel: (1) Množina řešení homogenní diferenční rovnice. (2) Množina řešení nehomogenní diferenční rovnice. (3) {f : R R|f(x) = c, c R} Řešení. (1) Ano. Množina řešení, tedy množina posloupností vyhovujících dané diferenční homogenní rovnici, je evidentně uzavřená vzhledem ke sčítání i násobení reálným číslem: mějme posloupnosti (xn) n=0 a (yn) n=0 vyhovující stejné homogenní diferenční rovnici, tedy a(n)xn + a(n - 1)xn-1 + + a(1)x1 = 0 a(n)yn + a(n - 1)yn-1 + + a(1)y1 = 0. Sečtením těchto rovnic dostaneme a(n)(xn + yn) + a(n - 1)(xn-1 + yn-1) + + a(1)(x1 + y1) = 0, tedy i posloupnost (xn + yn) n=0, vyhovuje stejné diferenční rovnici. Rovněž tak pokud posloupnost (xn) n=0 vyhovuje dané rovnici, tak i posloupnost (kxn) n=0, kde k R. (2) Ne. Součet dvou řešení nehomogenní rovnice a(n)xn + a(n - 1)xn-1 + + a(1)x1 = c a(n)yn + a(n - 1)yn-1 + + a(1)y1 = c, c R - {0} vyhovuje rovnici a(n)(xn + yn) + a(n - 1)(xn-1 + yn-1) + + a(1)(x1 + y1) = 2c = c, zejména pak nevyhovuje původní nehomogenní rovnici. (3) Vnímáme­li zadání jako ,,pro pevné x R a pevné c požadujeme po re- álných funkcích, aby f(x) = c , pak je to vektrorový prostor právě, když c = 0. 54 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Pokud nám jde naopak o konstantní funkce, ty pochopitelně vektorový prostor jsou (opět jednorozměrný reálný prostor R). 2.18 2.25. Generátory a podprostory. Podmnožina M V se nazývá vektorovým podprostorem jestliže spolu se zúženými operacemi sčítání a násobení skaláry je sama vektorovým prostorem. Tzn. požadujeme a, b K, v, w M, a v + b w M. Rozeberme si hned několik příkladů: Prostor n­tic skalárů Rm se sčítáním a násobením po složkách je vektorový prostor nad R, ale také vektorový prostor nad Q. Např. pro m = 2, jsou vektory (1, 0), (0, 1) R2 lineárně nezávislé, protože z a (1, 0) + b (0, 1) = (0, 0) plyne a = b = 0. Dále, vektory (1, 0), ( 2, 0) R2 jsou lineárně závislé nad R, protože 2 (1, 0) = ( 2, 0), ovšem nad Q jsou line- árně nezávislé! Nad R tedy tyto dva vektory ,,generují jednorozměrný podprostor, zatímco nad Q je dvourozměrný. Polynomy stupně nejvýše m tvoří vektorový prostor Rm[x]. Polynomy můžeme chápat jako zobrazení f : R R a sčítání a násobení skaláry definujeme takto: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (a f)(x) = a f(x). Polynomy všech stupňů také tvoří vektorový prostor R[x] a Rm[x] Rn[x] je vektorový podprostor pro všechna m n . Podprostory jsou např. všechny sudé polynomy nebo liché polynomy (f(-x) = f(x)). Úplně analogicky jako u polynomů můžeme definovat strukturu vektorového prostoru na množině všech zobrazení R R nebo všech zobrazení M V libovolné pevně zvolené množiny M do vektorového prostoru V . Protože podmínka v definici podprostoru obsahuje pouze univerzální kvantifi- kátory, je jistě průnik podprostorů opět podprostor. Snadno to ověříme i přímo: Nechť Wi, i I, jsou vektorové podprostory ve V , a, b K, u, v iIWi. Pak pro všechny i I, a u + b v Wi, to ale znamená, že a u + b v iIWi. Zejména je tedy podprostorem průnik všech podprostorů W V , které ob- sahují předem danou množinu vektorů M V . Říkáme, že takto M generuje podprostor M , nebo že prvky M jsou generátory podprostoru M . Zformulujme opět několik jednoduchých tvrzení o generování podprostorů: Tvrzení. Pro každou podmnožinu M V platí (1) M = {a1 u1 + + ak uk; k N, ai K, uj M, j = 1, . . . , k} (2) M = M právě když M je vektorový podprostor (3) jestliže N M pak N M je vektorový podprostor (4) = {0} V , triviální podprostor. Důkaz. (1) Platí {a1u1 + + akuk} M a zároveň je to vektorový pod- prostor (ověřte!), který obsahuje M. (2) plyne z (1) a definice vektorového pod- prostoru. (3): Nejmenší vektorový podprostor je {0}, protože prázdnou množinu obsahují všechny podprostory a každý z nich obsahuje 0. 2.26. Báze a součty podprostorů. Nechť Vi, i I, jsou podprostory ve V . Pak podprostor generovaný jejich sjednocením, tj. iIVi , nazýváme součtem podpro- storů Vi. Značíme iI Vi. Zejména pro V1, . . . , Vk V , V1 + + Vk = V1 V2 Vk . 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 55 Viděli jsme, že každý prvek v uvažovaném součtu podprostorů můžeme vy- jádřit jako lineární kombinaci vektorů z podprostorů Vi. Protože však je sčítání vektorů komutativní, lze k sobě poskládat členy patřící do stejného podprostoru a pro konečný součet k podprostorů tak dostáváme V1 + V2 + + Vk = {v1 + + vk; vi Vi, i = 1, . . . , k}. Součet W = V1 + +Vk V se nazývá přímý součet podprostorů, jsou-li průniky všech dvojic triviální, tj. Vi Vj = {0} pro všechny i = j. V takovém případě lze každý vektor w W napsat právě jedním způsobem jako součet w = v1 + + vk, kde vi Vi. Pro přímé součty píšeme W = V1 Vk = k i=1Vi. Podmnožina M V se nazývá báze vektorového prostoru V , jestliže M = V a M je lineárně nezávislá. Vektorový prostor, který má konečnou bázi nazýváme konečněrozměrný, mohutnost báze nazýváme dimenzí V 2 . Nemá-li V konečnou bázi, říkáme, že V je nekonečněrozměrný. Píšeme dim V = k, k N, případně k = . Bázi k-rozměrného prostoru budeme obvykle zapisovat jako k-tici v = (v1 . . . , vk) bázových vektorů. Jde tu především o zavedení konvence: U konečněrozměrných podprostorů budeme totiž vždy uvažovat bázi včetně zadaného pořadí prvků i když jsme to takto, striktně vzato, nedefinovali. Zjevně, je-li (v1, . . . , vn) bazí V , je celý prostor V přímým součtem jednoroz- měrných podprostorů V = v1 vn . 2.20 2.27. Věta. Z libovolné konečné množiny generátorů vektorového prostoru V lze vybrat bázi. Každá báze V má přitom stejný počet prvků. Důkaz. První tvrzení je snadno vidět indukcí přes počet generátorů k: Jedině nulový podprostor nepotřebuje žádný generátor a tedy umíme vybrat prázdnou bázi. Naopak, nulový vektor vybrat nesmíme (generátory by byly lineárně závislé) a nic jiného už v podprostoru není. Při k = 1 je V = {v} a v = 0 protože {v} je lineárně nezávislá množina vektorů. Pak je ovšem {v} zároveň báze V . Předpokládejme, že tvrzení platí pro k = n, a uvažme V = v1, . . . , vn+1 . Jsou-li v1, . . . , vn+1 lineárně nezávislé, pak tvoří bázi. V opačném případě existuje index i takový, že vi = a1v1 + + ai-1vi-1 + ai+1vi+1 + + an+1vn+1. Pak ovšem V = v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn+1 a již umíme vybrat bázi (podle indukčního předpokladu). Zbývá ověřit, že báze mají vždy stejný počet prvků. Uvažujme bázi (v1, . . . , vn) pro- storu V a libovolný nenulový vektor u = a1 v1 + + an vn V s ai = 0 pro jisté i. Pak vi = 1 ai ` u - (a1 v1 + + ai-1 vi-1 + ai+1 vi+1 + + an vn) ´ a proto také u, v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn = V . Jistě je to opět báze, protože vektory v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn byly nezávislé, takže kdyby přidáním u vznikly lineárně závislé 2Všimněme si, že triviální podprostor je generován prázdnou množinou, která je "prázdnou" bazí. Má tedy triviální podprostor dimenzi nulovou. 56 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA vektory, pak by u bylo jejich lineární kombinací, ale to by znamenalo V = v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn , což není možné. Takže už víme, že pro libovolný nenulový vektor u V existuje i, 1 i n, takové, že (u, v1, . . . , vi-1, vi+1, . . . , vn) je opět báze V . Dále budeme místo jednoho vektoru u uvažovat lineárně nezávislou množinu u1, . . . , uk a budeme postupně přidávat u1, u2, . . . , vždy výměnou za vhodné vi podle předchozího postupu. Je třeba pouze ověřit, že takové vi vždy bude existovat (tj. že se nebudou vek- tory u vyměňovat vzájemně). Předpokládejme tedy, že již máme umístěné u1, . . . , u . Pak u +1 se jistě vyjádří jako lineární kombinace těchto vektorů a zbylých vj. Pokud by pouze koeficienty u u1, . . . , u byly nenulové, znamenalo by to, že již samy vektory u1, . . . , u +1 byly lineárně závislé, což je ve sporu s našimi předpoklady. Pro každé k n tak po k krocích získáme bázi ve které z původní došlo k výměně k vektorů za nové. Pokud by k > n, pak již v n-tém kroku obdržíme bázi vybranou z těchto vektorů, což znamená, že nemohou být lineárně nezávislé. Zejména tedy není možné, aby dvě báze měly různý počet prvků. Ve skutečnosti jsme dokázali silnější tvrzení, tzv. Steinitzovu větu o výměně, která říká, že pro každou konečnou bázi a každý systém lineárně nezávislých vektorů ve V umíme najít podmnožinu bázových vektorů, které záměnou za zadané nové vektory dají opět bázi. Můžeme si také sformulovat zjevné důsledky: Tvrzení. (1) Každé dvě báze konečněrozměrného vektorového prostoru mají stejný počet vektorů, tzn. že naše definice dimenze nezávisí na volbě báze. (2) Má-li V konečnou bázi, lze každou lineárně nezávislou množinu doplnit do báze. (3) Báze konečněrozměrných vektorových prostorů jsou právě maximální lineárně nezávislé množiny (4) Báze prostoru s konečnou dimenzí jsou právě minimální množiny generátorů Důsledek. Nechť W, W1, W2 V jsou podprostory v prostoru konečné dimenze. Pak platí (1) dim W dim V (2) V = W právě když dim V = dim W (3) dim W1 + dim W2 = dim(W1 + W2) + dim(W1 W2). Důkaz. Zbývá dokázat pouze poslední tvrzení. To je zřejmé, pokud je dimenze jednoho z prostorů nulová. Předpokládejme tedy dim W1 = r = 0, dim W2 = s = 0 a nechť (w1 . . . , wt) je báze W1 W2 (nebo prázdná množina, pokud je průnik trivi- ální). Podle předchozí věty lze tuto bázi doplnit na bázi (w1, . . . , wt, ut+1 . . . , ur) pro W1 a bázi (w1 . . . , wt, vt+1, . . . , vs) pro W2. Vektory w1, . . . , wt, ut+1, . . . , ur, vt+1 . . . , vs jistě generují W1 + W2. Ukážeme, že jsou přitom lineárně nezávislé. Nechť a1 w1 + + at wt + bt+1 ut+1 + + br ur + ct+1 vt+1 + + cs vs = 0 Pak -(ct+1 vt+1 + + cs vs) = a1 w1 + + at wt + bt+1 ut+1 + + br ur musí patřit do W2 W1. To ale má za následek, že bt+1 = = br = 0. Pak ovšem i a1 w1 + + at wt + ct+1 vt+1 + + cs vs = 0 a protože příslušné vektory tvoří bázi W2, jsou všechny koeficienty nulové. Tvrzení (3) se nyní ověří přímým počítáním generátorů. 2.21 2.28. Příklady. (1) Kn má (jako vektorový prostor nad K) dimenzi n. Bazí je např. n-tice vektorů ((1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0) . . . , (0, . . . , 0, 1)). Tuto bázi nazýváme standardní báze v Kn . V případě konečného pole skalárů, např. Zk, má celý vektorový prostor Kn jen konečný počet prvků. Kolik? 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 57 (2) C jako vektorový prostor nad R má dimenzi 2, bázi tvoří např. čísla 1 a i. (3) Km[x], tj. prostor polynomů stupně nejvýše m, má dimenzi m + 1, bazí je např. posloupnost 1, x, x2 , . . . , xm . Vektorový prostor všech polynomů K[x] má dimenzi , umíme však ještě stále najít bázi (i když s nekonečně mnoha prvky): 1, x, x2 , . . . . (4) Vektorový prostor R nad Q má dimenzi a nemá spočetnou bázi. (5) Vektorový prostor všech zobrazení f : R R má také dimenzi a nemá spočetnou bázi. 2.22 2.29. Souřadnice vektorů. Když je množina {v1, . . . , vn} V je báze, můžeme každý vektor v V vyjádřit jako lineární kombinaci v = a1v1 + + anvn. Před- pokládejme, že to uděláme dvěma způsoby: v = a1v1 + + anvn = b1v1 + + bnvn. Potom ale 0 = (a1 - b1) v1 + + (an - bn) vn a proto ai = bi pro všechna i = 1, . . . , n. Lze tedy každý vektor zadat právě jediným způsobem jako lineární kombinaci bázových vektorů. Koeficienty této jediné lineární kombinace vyjadřující daný vektor v V ve zvolené bázi (v1, . . . , vn) se nazývají souřadnice vektoru v v této bázi. Přiřazení, které vektoru u = a1v1 + + anvn přiřadí jeho souřadnice v bázi v, budeme značit stejným symbolem v : V Kn . Má tyto vlastnosti:3 ˇ v(u + w) = v(u) + v(w); u, w V ˇ v(a u) = a v(u); a K, u V . To jsou ale vlastnosti zobrazení, kterým jsme v geometrii roviny říkali lineární (zachovávaly naši lineární strukturu v rovině). Jsou tedy souřadnice vlastně lineární zobrazení z (abstraktního) vektororového prostoru V do n-tic skalárů Kn , kde n je dimenze V . Než se budeme věnovat podrobněji závislosti souřadnic na volbě báze, podíváme se obecněji na pojem linearity zobrazení. 2.30. Příklad. Příklad. Určete všechny konstanty a R takové, aby polynomy ax2 + x + 2, -2x2 + ax + 3 a x2 + 2x + a byly lineárně závislé (ve vektorovém prostoru polynomů jedné proměnné stupně nejvýše 3 nad reálnými čísly). Řešení. V bázi 1, x, x2 jsou souřadnice zadaných vektorů (polynomů) následující: (a, 1, 2), (-2, a, 3), (1, 2, a). Polynomy budou závislé, právě když bude mít matice, jejíž řádky jsou tvořeny souřadnicemi zadaných vektorů menší hodnost, než je počet vektorů, v tomto případě tedy hodnost dvě a menší. V případě čtvercové matice nižší hodnost než je počet řádků je ekvivalentní nulovosti determinantu dané matice. Podmíka na a tedy zní a 1 2 -2 a 3 1 2 a = 0, 3Všimněme si, že operace na levých a pravých stranách těchto rovnic nejsou totožné, naopak, jde o operace na různých vektorových prostorech! Při této příležitosti se také můžeme zamyslet nad obecným případem báze M (možná nekonečněrozměrného) prostoru V . Báze pak nemusí být spočetná, pořád ale ještě můžeme definovat zobrazení M : V KM (tj. souřadnice vektoru jsou zobrazení z M do K). 58 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA tj. a bude kořenem polynomu a3 - 6a - 5 = (a + 1)(a2 - a - 5), tj. úloha má tři řešení a1 = -1, a2,3 = 1 21 2 . 2.23 2.31. Lineární zobrazení. Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K. Zobrazení f : V W se nazývá lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže platí: (1) f(u + v) = f(u) + f(v), u, v V (2) f(a u) = a f(u), a K, u V . Samozřejmě, že jsme taková zobrazení již viděli ve formě násobení matic: Kn x A x Km s maticí typu m/n nad K. Obraz Imf := f(V ) W je zjevně vektorový pod- prostor. Stejně tak je vektorovým podprostorem množina všech vektorů Ker f := f-1 ({0}) V . Nazývá se jádro lineárního zobrazení f. Lineární zobrazení, které je bijekcí nazýváme izomorfismus. Podobně jako u abstraktní definice vektorových prostorů, i zde je na místě z axiomů ověřit zdánlivě samozřejmá tvrzení: Tvrzení. Nechť f : V W je lineární zobrazení. Pro všechny u, u1, . . . , uk V , a1, . . . , ak K platí: (1) f(0) = 0 (2) f(-u) = -f(u) (3) f(a1 u1 + + ak uk) = a1 f(u1) + + ak f(uk) (4) pro každý vektorový podprostor V1 V je jeho obraz f(V1) vektorový podprostor ve W. (5) Pro každý podprostor W1 W je množina f-1 (W1) = {v V ; f(v) W1} vektorový podprostor ve V . Důkaz. Počítáme s využitím axiomů a definic a již dokázaných výsledků ­ dohledejte samostatně!: f(0) = f(u - u) = f((1 - 1) u) = 0 f(u) = 0. f(-u) = f((-1) u) = (-1) f(u) = -f(u). Vlastnost (3) se ověří snadno indukcí z definičního vztahu. Z (3) nyní plyne, že f(V1) = f(V1), je to tedy vektorový podprostor. Je-li naopak f(u) W1 a f(v) W1, pak pro libovolné skaláry bude i f(a u + b v) = a f(u) + b f(v) W1. 2.24 2.32. Jednoduché důsledky. (1) Složení g f : V Z dvou lineárních zobrazení f : V W a g : W Z je opět lineární zobrazení. (2) Lineární zobrazení f : V W je izomorfismus právě když Im f = W a Ker f = {0} V . Inverzní zobrazení k izomorfismu je opět izomorfismus. (3) Pro podprostory V1, V2 a lineární zobrazení f : V W platí f(V1 + V2) = f(V1) + f(V2), f(V1 V2) f(V1) f(V2). (4) Zobrazení "přiřazení souřadnic" u : V Kn dané libovolně zvolenou bází u = (u1, . . . , un) vektorového prostoru V je izomorfismus. (5) Dva konečněrozměrné vektorové prostory jsou izomorfní právě když mají stej- nou dimenzi. (6) Složení dvou izomorfismů je izomorfismus. 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 59 Důkaz. Ověření prvního tvrzení je snadné cvičení. Pro druhé si uvědomme, že je-li f lineární bijekce, pak w = f-1 (au + bv) právě, když f(w) = f(a f-1 (u) + b f-1 (v)). Je tedy inverze k lineární bijekci opět lineární zobrazení. Dále, f je surjektivní právě, když Im f = W a pokud Ker f = {0}, pak f(u) = f(v) zaručuje f(u - v) = 0, tj. u = v. Je tedy v tom případě f injektivní. Další tvrzení se dokáže snadno přímo z definic. Najděte si protipříklad, že v dokazované inkluzi opravdu nemusí nastat rovnost! Zbývající body jsou již zřejmé. 2.33. Opět souřadnice. Uvažujme libovolné vektorové prostory V, W nad K s dim V = n, dim W = m a mějme lineární zobrazení f : V W. Pro každou volbu bází u = (u1, . . . , un) na V , v = (v1, . . . , vn) na W, máme k dispozici příslušná přiřazení souřadnic: V f // u W v Kn fu,v // Km Přitom je každé lineární zobrazení jednoznačně určeno svými hodnotami na libo- volné množině generátorů, zejména tedy na bázi u. Označme f(u1) = a11 v1 + a21 v2 + + am1vm f(u2) = a12 v1 + a22 v2 + + am2vm ... f(un) = a1n v1 + a2n v2 + + amnvm tj. skaláry aij tvoří matici A, kde sloupce jsou souřadnice hodnot zobrazení f na bázových vektorech. Pro obecný vektor u = b1 u1 + + bn un spočteme f(u) = b1 f(u1) + + bn f(un) = b1(a11v1 + + am1vm) + + bn(a1nv1 + + amnvm) = (b1a11 + + bna1n) v1 + + (b1am1 + + bnamn) vm Pomocí násobení matic lze nyní velice snadno a přehledně zapsat hodnoty zobra- zení fu,v(w) definovaného jednoznačně předchozím diagramem. Připomeňme si, že vektory v Kk chápeme jako sloupce, tj. matice typu k/1 fu,v(u(w)) = v(f(w)) = A u(w). Matici A nazýváme maticí zobrazení f v bázích u, v. Naopak, každá volba matice A typu m/n zadává jednoznačně lineární zobrazení Kn Km . Máme-li tedy zvoleny báze prostorů V a W, odpovídá každé volbě matice typu m/n právě jedno lineární zobrazení V W. Jestliže za V i W zvolíme tentýž prostor, ale s různými bazemi, a za f iden- tické zobrazení, vyjadřuje náš postup vektory báze u v souřadnicích vzhledem k v. Označme výslednou matici T. Když pak zadáme vektor u u = x1u1 + + xnun v souřadnicích vzhledem k u a dosadíme za ui, obdržíme souřadné vyjádření x téhož vektoru v bázi v. Stačí k tomu přeskládat pořadí sčítanců a vyjádřit skaláry u jednotlivých vektorů báze. Podle výše uvedeného postupu musí vyjít x = T x. 60 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Tuto matici nazýváme matice přechodu od báze u k bázi v. Matice T zadávající transformaci souřadnic z báze u do báze v je tedy maticí identického zobrazení idV : V V : V idV // u V v Kn (idV )u,v // Kn Přímo z definice vyplývá: Tvrzení. Matici T přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice T. Funkce matice přechodu je taková, že známe-li souřadnice x vektoru v bázi u, pak jeho souřadnice v bázi v se obdrží vynásobením sloupce x maticí přechodu (zleva). Protože inverzní zobrazení k identickému je opět totéž identické zobrazení, je matice přechodu vždy invertibilní a její inverze je právě matice přechodu opačným směrem, tj. od báze v k bázi u. 2.26 2.34. Více souřadnic. Nyní snadno vidíme, jak se skládají souřadná vyjádření lineárních zobrazení. Uvažme ještě další vektorový prostor Z nad K dimenze k s bází w, lineární zobrazení g : W Z a označme příslušnou matici gv,w. Pro matice těchto zobrazení dostáváme čímž jsme odvodili: gv,w fu,v(x) = B (A x) = (B A) x = (g f)u,w(x) pro všechny x Kn . Všimněte si, že isomorfismy odpovídají právě invertibilním maticím. Stejný postup nám dává odpověď na otázku, jak se změní matice zobrazení, změníme-li báze na definičním oboru i oboru hodnot: V idV // u V f // u W idW // v W w Kn T // Kn fu,v // Km S-1 // Km kde T je matice přechodu od u k u a S je matice přechodu od v k v. Je-li tedy A původní matice zobrazení, bude nová dána jako A = S-1 AT. Ve speciálním případě lineárního zobrazení f : V V vyjadřujeme zpravidla f pomocí jedné báze u prostoru V , to je přechod k nové bázi u bude znamenat změnu na A = T-1 AT. 2.35. Příklad. Je dáno lineární zobrazení R3 R3 ve standardní bázi následujicí maticí: 1 -1 0 0 1 1 2 0 0 . Napište matici tohoto zobrazení v bázi f1 = (1, 1, 0) f2 = (-1, 1, 1) f3 = (2, 0, 1). 3. VEKTOROVÉ PROSTORY A LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ 61 Řešení. Matice přechodu T od báze f = (f1, f2, f3) k standardní bázi, tj. bázi danou vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), získáme podle Tvrzení 2.25 zapsáním sou- řadnic vektorů f1, f2, f3 ve standardní bázi do sloupců matice přechodu T. Máme tedy T = 1 -1 2 1 1 0 0 1 1 . Matice přechodu od standardní báze k bázi f je potom T-1 , což je 1 4 3 4 -1 2 -1 4 1 4 1 2 1 4 -1 4 1 2 . Matice zobrazení v bázi f je potom T-1 AT = 1 4 2 -3 4 5 4 0 7 4 3 4 -2 9 4 . 2.27 2.36. Lineární a multilineární formy. Speciálním případem lineárních zobra- zení jsou tzv. lineární formy. Jde o lineární zobrazení z vektorového prostoru V nad polem skalárů K do skalárů K. Jsou-li dány souřadnice na V , je přiřazení jednotlivé i-té souřadnice vektorům právě takovou lineární formou. Při pevně zvolené bázi {1} na K jsou s každou volbou báze na V lineární formy ztotožněny s maticemi typu 1/n, tj. s řádky. Vyčíslení takové formy na vektoru je pak dáno vynásobením příslušného řádkového vektoru se sloupcem souřadnic. Množina všech lineárních forem na daném prostoru V je opět vektorový prostor, značíme jej V . Pokud je V konečněrozměrný, je V izomorfní prostoru V . Realizace takového izomorfismu je dána např. volbou tzv. duální báze k zvolené bázi na V , jejímiž prvky i jsou právě formy zadávající i-tou souřadnici. Podobně budeme pracovat i se zobrazeními ze součinu k kopií vektorového prostoru V do skalárů lineárních v každém argumentu. Hovoříme o k-lineárních formách. Budeme se setkávat (a již jsme je viděli v dimenzi 2) zejména s n-lineárními antisymetrickými formami (formy objemu) a symetrickými bilineárními formami. 2.28 2.37. Velikost vektorů. V geometrii roviny jsem již pracovali nejen s bázemi a lineárními zobrazeními, ale také s velikostí vektorů a jejich úhly. Pro zavedení těchto pojmů jsme použili souřadného vyjádření pro velikost v = (x, y): v = x2 + y2, zatímco úhel dvou vektorů v = (x, y) a v = (x , y ) byl dán cos = xx + yy v v . Povšimněme si, že výraz v čitateli posledního výrazu je lineární v každém ze svých argumentů, značíme jej v, v a říkáme mu skalární součin vektorů v a v . Skalární součin je také symetrický ve svých argumentech a platí v 2 = v, v . 62 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA Zejména platí, že v = 0 právě, když v = 0. Z našich úvah je také vidět, že v Euklidovské rovině jsou dva vektory kolmé právě, když je jejich skalární součin nulový. Analogicky budeme postupovat v obecném případě reálného vektorového pro- storu. Skalární součin na vektorovém prostoru V nad reálnými čísly je bilineární symetrická forma , : V × V R taková, že v, v 0 a je roven nule pouze při v = 0. Pro skalární součin se často používá také obvyklé tečky, tj. u, v = u v. Z kontextu je pak třeba poznat, zda jde o součin dvou vektorů (tedy výsledkem je skalár) nebo něco jiného. Vektory v a w V se nazývají ortogonální, jestliže v, w = 0. Vektor v se nazývá normovaný, jestliže v = 1. Báze prostoru V složená z ortogonálních vek- torů se nazývá ortogonální báze. Jsou-li bázové vektory navíc i normované, je to ortonormální báze. Úhel dvou vektorů v a w je dán vztahem cos = v, w v w . Tvrzení. Skalární součin je v každé ortonormální bázi dán výrazem x, y = xT y. V obecné bázi V existuje symetrická matice S taková, že x, y = xT S y. Důkaz. Skalární součin je plně určen svými hodnotami na dvojicích bázových vektorů. Zvolme tedy bázi u a označme sij = ui, uj . Pak ze symetričnosti skalárního součinu plyne sij = sji a z lineárnosti součinu v každém z argumentů dostáváme: i xiui, j yjuj = i,j xiyj ui, uj = i,j sijxiyj. Pokud je báze ortonormální, je matice S jednotkovou maticí. Uvidíme o něco později, že na každém vektroovém prostoru se skalárním sou- činem existují ortonormální báze, viz 2.46. 4. Vlastnosti lineárních zobrazení Podrobnějším rozborem vlastností různých typů lineárních zobrazení se nyní dostaneme k pořádnějšímu pochopení nástrojů, které nám vektorové prostory pro lineární modelování procesů a systémů nabízejí. 2.29 2.38. Příklady. Začneme několika příklady v prostorech malých dimenzí. Ve stan- dardní bázi R2 uvažujme následující matice zobrazení f : R2 R2 : A = 1 0 0 0 , B = 0 1 0 0 , C = a 0 0 b , D = 0 -1 1 0 . Matice A zadává kolmou projekci podél podprostoru W {(0, a); a R} R2 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 63 na podprostor V {(a, 0); a R} R2 . Evidentně pro toto zobrazení f : R2 R2 platí f f = f a tedy f|Im f je identické zobrazení. Jádrem f je právě podprostor W. Matice B má vlastnost B2 = 0, platí tedy totéž o příslušném zobrazení f. Můžeme si jej představit jako matici derivování polynomů R1[x] stupně nejvýše jedna v bázi (1, x). Matice C zadává zobrazení f, které první vektor báze zvětší a­krát, druhý b­krát. Tady se nám tedy celá rovina rozpadá na dva podprostory, které jsou zob- razením f zachovány a ve kterých jde o pouhou homotetii, tj. roztažení skalárním násobkem. Např. volba a = 1, b = -1 odpovídá komplexní konjugaci x+iy x-iy na dvourozměrném reálném prostoru R2 C v bázi (1, i). Toto je lineární zobrazení reálného vektorového prostoru, nikoliv však jednorozměrného komplexního prostoru C. V geometrii roviny jde o zrcadlení podle osy x. Matice D je maticí rotace o pravý úhel ve standardní bázi. Jako pro každé lineární zobrazení, které je bijekcí, umíme najít báze na definičním oboru a oboru hodnot, ve kterých bude jeho maticí jednotková matice E (prostě vezmeme jakou- koliv bázi na definičním oboru a její obraz na oboru hodnot). Neumíme ale v tomto případě totéž s jednou bází na začátku i konci. Zkusme však uvažovat matici C jako matici zobrazení g : C2 C2 . Pak umíme najít vektory u = (i, 1), v = (1, i), pro které bude platit g(u) = 0 -1 1 0 i 1 = i u, g(v) = 0 -1 1 0 1 i = -i v. To ale znamená, že v bázi (u, v) na C2 má g matici K = i 0 0 -i a povšimněme si, že tato komplexní analogie k případu matice C má na diagonále prvky a, a = cos(1 2 )+i sin(1 2 ). Jinými slovy, argument v goniometrickém tvaru tohoto komplexního čísla udává úhel otočení. Navíc, můžeme si označit reálnou a imaginární část vektoru u takto u = xu + iyu = Re u + i Im u = 0 1 + i 1 0 a zúžení komplexního zobrazení g na reálný vektorový podprostor generovaný vek- tory xu a iyu (tj. násobení komplexní jednotkou i) je právě otočení o úhel 1 2 . 2.30 2.39. Vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení. Klíčem k popisu zobrazení v předchozích příkladech byly odpovědi na otázku ,,jaké jsou vektory splňující rovnici f(u) = au? pro nějaké skaláry a. Zvolme tedy pevně lineární zobrazní f : V V na vektorovém prostoru dimenze n nad skaláry K. Jestliže si představíme takovou rovnost zapsanou v souřadnicích, tj. s využitím matice zobrazení A v nějakých bazích, jde o výraz A x - a x = (A - a E) x = 0. Z předchozího víme, že taková soustava rovnic má jediné řešení x = 0, pokud je matice A - aE invertibilní. My tedy chceme najít takové hodnoty a K, pro které 64 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA naopak A - aE invertibilní není, a nutnou a dostatečnou podmínkou je (viz Věta 2.22) e2.1 (2.1) det(A - a E) = 0. Jestliže považujeme = a za proměnnou v předchozí skalární rovnici, hledáme ve skutečnosti kořeny polynomu stupně n. Jak jsme viděli v případě matice D výše, kořeny mohou, ale nemusí existovat podle volby pole skalárů K. Skaláry vyhovující rovnici f(u) = a u pro nenulový vektor u V nazýváme vlastní čísla zobrazení f, příslušné vektory u pak vlastní vektory zobrazení f. Z definice vlastních čísel je zřejmé, že jejich výpočet nemůže záviset na volbě báze a tedy matice zobrazení f. Skutečně, jako přímý důsledek trasformačních vlast- ností z 2.34 a Cauchyovy věty 2.18 pro výpočet determinantu součinu dostáváme jinou volbou souřadnic matici A = P-1 AP s invertibilní maticí P a |P-1 AP - E| = |P-1 AP - P-1 EP| = |P-1 (A - E)P| = |P-1 )||(A - E||P|, protože násobení skalárů je komutativní a |P-1 | = |P|-1 . Obdobnou terminologii používáme i pro matice. Pro matici A dimenze n nad K nazýváme polynom |A - E| Kn[] charakteristický polynom matice A. Kořeny tohoto polynomu jsou vlastní hodnoty matice A. Je-li A matice zobrazení f : V V v jisté bázi, pak |A - E| nazýváme také charakteristický polynom zobrazení f. Protože je charakteristický polynom zobrazení f : V V nezávislý na volbě báze V , dim V = n, jsou i jeho koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné skaláry vyjadřující vlastnosti zobrazení f, tj. nemohou záviset na naší volbě báze. Zejména je snadné vyjádřit koeficienty u nejvyšších a nejnižších mocnin: |A - E| = (-1)n n + (-1)n-1 (a11 + + ann) n-1 + + |A| 0 Součet diagonálních členů matice se nazývá stopa matice, značíme ji TrA, stopa zobrazení je definována jako stopa jeho matice v libovolné bázi. 2.30a 2.40. Věta. Vlastní vektory lineárního zobrazení f : V V příslušné různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Důkaz. Nechť a1, . . . , ak jsou různé vlastní hodnoty zobrazení f a u1, . . . , uk vlastní vektory s těmito vlastními hodnotami. Důkaz provedeme indukcí přes počet lineárně nezávislých vektorů mezi zvolenými. Předpokládejme, že u1, . . . , u jsou lineárně nezávislé a ul+1 = i ciui je jejich lineární kombinací. Alespoň = 1 lze zvolit, protože vlastní vektory jsou nenulové. Pak ovšem al+1 ul+1 = l i=1 al+1 ci ui, tj. f(ul+1) = l i=1 al+1 ci ui = l i=1 ci f(ui) = l i=1 ci ai ui. Odečtením dostáváme 0 = l i=1(al+1 -ai)ci ui, všechny rozdíly vlastních hodnot jsou nenulové a alespoň jeden koeficient ci je nenulový. To je spor s předpokládanou nezávislostí u1, . . . , u . Důsledek. Jestliže existuje n navzájem různých kořenů ai charakteristického po- lynomu zobrazení f : V V , dim V = n, pak existuje rozklad V na přímý součet vlastních podprostorů dimenze 1. To znamená, že existuje báze V složená výhradně z vlastních vektorů a v této bázi má f diagonální matici. Příslušnou bázi (vyjádřenou v souřadnicích vzhledem k libovolně zvolené bázi V ) obdržíme řešením n systémů 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 65 homogenních lineárních rovnic o n neznámých s maticemi (A - ai E), kde A je matice f ve zvolené bázi. 2.31 2.41. Příklady. (1) Uvažme zobrazení s maticí ve standardní bázi f : R3 R3 , A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 . Pak dostáváme |A - E| = - 0 1 0 1 - 0 1 0 - = -3 + 2 + - 1, s kořeny 1,2 = 1, 3 = -1. Vlastní vektory s vlastní hodnotou = 1 se spočtou: -1 0 1 0 0 0 1 0 -1 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 ; s bází prostoru řešení, tj. všech vlastních vektorů s touto vlastní hodnotou u1 = (0, 1, 0), u2 = (1, 0, 1). Podobně pro = -1 dostáváme třetí nezávislý vlastní vektor 1 0 1 0 2 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 0 0 0 u3 = (-1, 0, 1). V bázi u1, u2, u3 (všimněte si, že u3 musí být lineárně nezávislý na zbylých dvou díky předchozí větě a u1, u2 vyšly jako dvě nezávislá řešení) má f diagonální matici A = 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 . Celý prostor R3 je přímým součtem vlastních podprostorů, R3 = V1 V2, dim V1 = 2, dim V2 = 1. Tento rozklad je dán jednoznačně a vypovídá mnoho o geometrických vlastnostech zobrazení f. Vlastní podprostor V1 je navíc přímým součtem jedno- rozměrných vlastních podprostorů, které lze však zvolit mnoha různými způsoby (takový další rozklad nemá tedy již žádný geometrický význam). (2) Uvažme lineární zobrazení f : R2[x] R2[x] definované derivováním po- lynomů, tj. f(1) = 0, f(x) = 1, f(x2 ) = 2x. Zobrazení f má tedy v obvyklé bázi (1, x, x2 ) matici A = 0 1 0 0 0 2 0 0 0 . Charakteristický polynom je |A - E| = -3 , existuje tedy pouze jediná vlastní hodnota, = 0. Spočtěme vlastní vektory: 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 . Prostor vlastních vektorů je tedy jednorozměrný, generovaný konstantním polyno- mem 1. 66 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA 2.42. Příklad včetně změny báze. Uvažujme lineární zobrazení R3 R3 dané ve standardní bázi maticí: A = 1 1 0 1 2 1 1 2 1 Určete toto zobrazení a napište jeho matici v bázi: e1 = [1, -1, 1] e2 = [1, 2, 0] e3 = [0, 1, 1] Řešení. Spočítejme nejprve vlastní čísla jim příslušné vlastní vektory: charakte- ristický polynom dané matice je 1 - 1 0 1 2 - 1 1 2 1 - = -3 + 42 - 2 = -(2 - 4 + 2). Kořeny tohoto polynomu, vlastní čísla, udávají, kdy nebude mít matice 1 - 1 0 1 2 - 1 1 2 1 - plnou hodnost, tedy soustava rovnic 1 - 1 0 1 2 - 1 1 2 1 - x1 x2 x3 bude mít i jiné řešení než řešení x = (0, 0, 0). Vlastní čísla tedy jsou 0, 2 + 2, 2 - 2. Spočítejme vlastní vektory příslušné jednotlivým vlastním hodnotám: ˇ 0: Řešíme tedy soustavu 1 1 0 1 2 1 1 2 1 x1 x2 x3 = 0 Jejím řešením je jednodimenzionální vektorový prostor vlastních vektorů (1, -1, 1) . ˇ 2 + 2: Řešíme soustavu -(1 + 2) 1 0 1 - 2 1 1 2 -(1 + 2) x1 x2 x3 = 0. Řešením je jednodimenzionální prostor (1, 1 + 2, 1 + 2) . ˇ 2 - 2: Řešíme soustavu ( 2 - 1) 1 0 1 2 1 1 2 ( 2 - 1) x1 x2 x3 = 0. Řešením je prostor vlastních vektorů (1, 1 - 2, 1 - 2) . 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 67 Zobrazení tedy můžeme interpretovat jako projekci podél vektoru (1, -1, 1) do roviny dané vektory (1, 1 + 2, 1 + 2) a (1, 1 - 2, 1 - 2) složenou s lineárním zobrazením daným natažením daným vlastními čísly ve směru uvedených vlastních vektorů. Nyní jej vyjádřeme v uvedené bázi. K tomu budeme potřebovat matici přechodu T od standardní báze k dané nové bázi. Tu získáme tak, že souřadnice vektorů staré báze v bázi nové napíšeme do sloupců matice T. My však snadněji zapíšeme matici přechodu od priklané báze k bázi standardní, tedy matici T-1 . Souřadnice vektorů nové báze pouze zapíšeme do sloupců: T-1 = 1 1 0 -1 2 1 1 0 1 Pro matici B zobrazení v nové bázi pak máme (viz 2.34). B = TAT-1 = 1 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 -1 4 1 4 1 2 1 4 -1 4 -1 2 1 4 3 4 1 1 0 -1 2 1 1 0 1 2.32 2.43. Spektra a nilpotentní zobrazení. Spektrum lineárního zobrazení f : V V je posloupnost kořenů charakteristického polynomu zobrazení f, včetně násobností. Algebraickou násobností vlastní hodnoty rozumíme její násobnost jako kořenu charakteristického polynomu, geometrická násobnost vlastní hodnoty je di- menze příslušného podprostoru vlastních vektorů. Lineární zobrazení f : V V se nazývá nilpotentní, jestliže existuje celé číslo k 1 takové, že iterované zobrazení fk je identicky nulové. Nejmenší číslo k s touto vlastností se nazývá stupněm nilpotentnosti zobrazení f. Zobrazení f : V V se nazývá cyklické, jestliže existuje báze (u1, . . . , un) prostoru V taková, že f(u1) = 0 a f(ui) = ui-1 pro všechna i = 2, . . . , n. Jinými slovy, matice f v této bázi je tvaru A = 0 1 0 . . . 0 0 1 . . . ... ... ... . Je-li f(v) = a v, pak pro každé přirozené k je fk (v) = ak v. Zejména tedy může spektrum nilpotentního zobrazení obsahovat pouze nulový skalár (a ten tam vždy je). Přímo z definice plyne, že každé cyklické zobrazení je nilpotentní, navíc je jeho stupeň nilpotentnosti roven dimenzi prostoru V . Operátor derivování na polynomech definovaný v předchozím příkladu 2.41 je příkladem cyklického zobrazení. Kupodivu to platí i naopak a každé nilpotentní zobrazení je přímým součtem cyklických. Navíc pro každé lineární zobrazení f : V V , pro které je součet algebraických násobností vlastních čísel roven dimenzi (to nastane vždy pro prostory nad komplexními skaláry), existuje jednoznačný rozklad V na invariantní podprostory Vi příslušné k jednotlivým vlastním číslům i, na kterých je zobrazení f - i idVi nilpotentní. Tento dosti hluboký výsledek nebudeme dokazovat, sformulujeme jen výsled- nou větu o Jordanově rozkladu. V ní vystupují vektorové (pod)prostory a lineární 68 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA zobrazení na nich s jediným vlastním číslem a maticí J = 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 0 . . . . Takovýmto maticím (a odpovídajícím invariantním podprostorům) se řídá Jordanův blok. 2.33 2.44. Věta. Nechť V je vektorový prostor dimenze n a f : V V je lineární zob- razení s n vlastními čísly včetně algebraických násobností. Pak existuje jednoznačný rozklad prostoru V na přímý součet podprostorů V = V1 Vk takových, že f(Vi) Vi, zúžení f na každé Vi má jediné vlastní číslo i a zúžení f - i id na Vi je buď cyklické nebo nulové zobrazení. Věta tedy říká, že ve vhodné bázi má každé lineární zobrazení blokově diago- nální tvar s Jordanovými bloky podél diagonály. Celkový počet jedniček nad diago- nálou v takovém tvaru je roven rozdílu mezi celkovou algebraickou a geometrickou násobností vlastních čísel. Všimněme si, že jsme tuto větu plně dokázali v případech, kdy jsou všechna vlastní čísla různá nebo když jsou geometrické a algebraické násobnosti vlastních čísel stejné. 2.45. Projekce. Lineární zobrazení f : V V se nazývá projekce, jestliže platí f f = f. V takovém případě je pro každý vektor v V v = f(v) + (v - f(v)) Im(f) + Ker(f) = V a je-li v Im(f) a f(v) = 0, pak je i v = 0. Je tedy přechozí součet podprostorů přímý. Říkáme, že f je projekce na podprostor W = Im(f) podél podprostoru U = Ker(f). Slovy se dá projekce popsat přirozeně takto: rozložíme daný vektor na komponentu ve W a v U a tu druhou zapomeneme. Předpokládejme nyní, že na V je definován skalární součin, viz 2.37. Pro každý pevně zvolený podprostor W V definujeme jeho ortogonální doplněk W = {u V ; u, v = 0 pro všechny v W}. Přímo z definice je zjevné, že W je vektorový podprostor. Jestliže W V má bázi (u1, . . . , uk) je podmínka pro W dána jako k homogenních rovnic pro n proměnných. Bude tedy mít W dimenzi alespoň n - k. Zároveň ale u W W znamená u, u = 0 a tedy i u = 0 podle definice skalárního součinu. Zřejmě je tedy vždy V = W W . Každý podprostor W = V definuje kolmou projekci na W. Je to projekce na W podél W . 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 69 2.33a 2.46. Existence ortonormální báze. Přímočaré početní využití kolmých pro- jekcí vede k tzv. Grammovu­Schmidtovu ortogonalizačnímu procesu. Cílem pro- cedury je z dané posloupnosti nenulových generátorů v1, . . . , vk konečněrozměrného prostoru V vytvořit ortogonální množinu nenulových generátorů pro V . Začneme prvním (nenulovým) vektorem v1 a spočteme kolmou projekci v2 do v1 {v1, v2} . Výsledek bude nenulový právě, když je v2 nezávislé na v1. Ve všech dalších krocích budeme postupovat obdobně. V -tém kroku tedy chceme, aby pro v +1 = u +1 + a1v1 + + a v platilo v +1, vi = 0, pro všechny i = 1, . . . , . Odtud plyne 0 = u +1 + a1v1 + + a v , vi = u +1, vi + ai vi, vi a je vidět, že vektory s požadovanými vlastnostmi jsou určeny jednoznačně až na násobek. Dokázali jsme tedy následující tvrzení: Tvrzení. Nechť (u1, . . . , uk) je lineárně nezávislá k-tice vektorů prostoru V se skalárním součinem. Pak existuje ortogonální systém vektorů (v1, . . . , vk) takový, že vi u1, . . . , ui , i = 1, . . . , k. Získáme je následující procedurou: ˇ Z nezávislosti vektorů ui plyne u1 = 0. Položíme v1 = u1. ˇ Máme-li již vektory v1, . . . , v potřebných vlastností klademe v +1 = u +1 + a1v1 + + a v , ai = - u +1, vi vi 2 Kdykoliv máme ortogonální bázi vektorového prostoru V , stačí vektory vynor- movat a získáme bázi ortonormální. Dokázali jsme proto: Důsledek. Na každém vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje orto- normální báze. V ortonormální bázi se obzvlášť snadno spočtou souřadnice a kolmé projekce. Skutečně, mějme ortonormální bázi (e1, . . . , en) prostoru V . Pak každý vektor v = x1e1 + + xnen splňuje ei, v = ei, x1e1 + + xnen = xi a platí tedy vždy e2.2 (2.2) v = e1, v e1 + + en, v en. Pokud máme zadán podprostor W V a jeho ortonormální bázi (e1, . . . , ek), jde ji jistě doplnit na ortonormální bázi (e1, . . . , en) celého V . Kolmá projekce obecného vektoru v V do W pak bude dána vztahem v e1, v e1 + + en, v ek. Pro kolmou projekci nám tedy stačí znát jen ortonormání bázi podprostoru W, na nejž promítáme. Povšimněme si také, že obecně jsou projekce f na podprostor W podél U a projekce g na U podél W svázány vztahem g = idV -f. Je tedy u kolmých projekcí na daný podprostor W vždy výhodnější počítat ortonormální bázi toho z dvojice W, W , který má menší dimenzi. Uvědomme si také, že existence ortonormální báze nám zaručuje, že pro každý prostor V se skalárním součinem existuje lineární zobrazení, které je izomorfismem 70 2. ELEMENTÁRNÍ LINEÁRNÍ ALGEBRA mezi V a prostorem Rn se standardním skalárním součinem. Podrobně to bylo ukázáno již ve Tvrzení 2.37, kde jsme ukázali, že hledaným izomorfismem je právě přiřazení souřadnic. Řečeno volnými slovy ­ v ortonormální bázi se skalární součin pomocí souřadnic počítá stejnou formulí jako standardní skalární součin v Rn . 2.47. Příklad. Napište matici zobrazení kolmé projekce do roviny procházející počátkem a kolmé na vektor (1, 1, 1). Řešení. Obraz libovolného bodu (vektoru) x = (x1, x2, x3) R3 v uvažovaném zobrazení získáme tak, že od daného bodu odečteme jeho kolmou projekci do nor- málového směru dané roviny, tedy do směru (1, 1, 1). Tato projekce p je dána (viz přednáška) jako (x, (1, 1, 1)) |(1, 1, 1)|2 = ( x1 + x2 + x3 3 , x1 + x2 + x3 3 , x1 + x2 + x3 3 ). Výsledné zobrazení je tedy x-p = ( 2x1 3 - x2 + x3 3 , 2x2 3 - x1 + x3 3 , 2x3 3 - x1 + x2 3 ) = 2 3 -1 3 -1 3 -1 3 2 3 -1 3 -1 3 -1 3 2 3 x1 x2 x3 . 2.48. Tři příklady k samostatnému řešení. Příklad.1. Napište nějakou bázi reálného vektorového prostoru matic 3 × 3 nad R s nulovou stopou (součet prvků na diagonále) a napište souřadnice matice 1 2 0 0 2 0 1 -2 -3 v této bázi. Příklad.2. Zaveďte nějaký skalární součin na vektorovém prostoru matic z předcho- zího příkladu. Spočítejte normu matice z předchozího příkladu, která je indukovaná Vámi zavedeným součinem. Příklad.3. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem nalezněte nějakou or- tonormální bází podprostoru V R, kde V = {(x1, x2, x3, x4) R4 |x1 +2x2 +x3 = 0}. 2.36 2.49. Ortogonální zobrazení. Zobrazení f : V W, které zachovává velikosti pro všechny vektory u V , se nazývá ortogonální zobrazení. Požadujeme tedy f(u), f(u) = u, u . Z linearity f a symetrie skalárního součinu plyne f(u + v), f(u + v) = f(u), f(u) + f(v), f(v) + 2 f(u), f(v) , je tedy ekvivalentní podmínkou i zdánlivě silnější požadavek, aby f(u), f(v) = u, v , pro všechny vektory u, v V . V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme ve Větě 1.44 dokázali, že lineární zobrazení R2 R2 zachovává velikosti vektorů právě, když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT A = E, tj. A-1 = AT . 4. VLASTNOSTI LINEÁRNÍCH ZOBRAZENÍ 71 Obecně, ortogonální zobrazení musí vždycky být injektivní, protože podmínka f(u), f(u) = 0 znamená i u, u = 0 a tedy u = 0. Je tedy vždy v takovém případě dimenze oboru hodnot alespoň taková, jako je dimenze definičního oboru f. Pak ovšem je dimenze obrazu rovna dimenzi oboru hodnot a bez újmy na obecnost můžeme rovnou před- pokládat, že jsou stejné a f : V V (pokud by nebyly, doplníme ortonormální bázi na oboru hodnot na bázi cílového prostoru a matice zobrazení bude čtverco- vou maticí A doplněnou nulami na potřebnou velikost). Naše podmínka pro matici ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru Kn toto: (A x)T (A y) = xT (AT A) y = xT y. Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi 2! Dokázali jsme tak následující tvrzení: Věta. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální právě, když v některé ortonormální bázi (a pak už všech) má matici A splňující AT = A-1 . Skutečně, jestliže zachovává f velikosti, musí mít uvedenou vlastnost v každé ortonormální bázi. Naopak, předchozí výpočet ukazuje, že vlastnost matice v jedné bázi už zaručuje zachovávání velikostí. Důsledkem této věty je také popis všech matic přechodu S mezi ortonormálními bázemi. Každá totiž musí zadávat zobrazení Kn Kn zachovávající velikosti a splňují tady také právě podmínku S-1 = ST . Při přechodu od jedné báze ke druhé se tedy matice ortogonálního zobrazení mění podle vztahu A = ST AS. KAPITOLA 3 Linární modely kde jsou matice užitečné? ­ nakonec skoro všude... 1. Lineární rovnice a procesy 2.37 3.1. Systémy lineárních rovnic. Jednoduché lineární procesy jsou dány lineár- ními zobrazeními : V W na vektorových prostorech. Pokud nám totiž vektor v V představuje stav nějakého námi sledovaného jevu (třeba počty občanů tří- děných dle nejvyšší dosažené kvalifikace, stav zásob jednotlivých dílů a výrobků atd.), pak (v) může představovat výsledek provedené operace (výsledek vzdělá- vací činnosti školské soustavy nebo výroba a prodej za určité časové období apod.). Pokud chceme dosáhnout předem daného výsledku b W takového jednorázového procesu, řešíme problém (x) = b pro neznámý vektor x. V pevně zvolených souřadnicích pak máme matici A zobra- zení a souřadné vyjádření vektoru b. Jak jsme si povšimnuli už v úvodu druhé kapitoly, řešení tzv. homogenní úlohy A x = 0 je vektorovým podprostorem. Pokud je dimenze V konečná, řekněme n, a dimenze obrazu zobrazení je k, pak řešením této soustavy pomocí převodu na řádkově schodovitý tvar (viz 2.7) zjistíme, že dimenze podprostoru všech řešení je právě n-k. Skutečně, protože sloupce matice zobrazení jsou právě obrazy bázových vektorů, je v matici systému právě k lineárně nezávislých sloupců a tedy i stejný počet lineárně nezávislých řádků. Proto nám zůstane při převodu na řádkový schodovitý tvar právě n-k nulových řádků. Při řešení systému rovnic nám tak zůstane právě n-k volných parametrů a dosazením vždy jednoho z nich hodnotou jedna a vynulováním ostatních získáme právě k lineárně nezávislých řešení. Každé takové k­tici řešení říkáme fundamentální systém řešení daného homogenního systému rovnic. Uvažme nyní obecný systém rovnic A x = b. Jestliže rozšíříme matici A o sloupec b, můžeme, ale nemusíme, také zvětšit počet lineárně nezávislých sloupců a tedy i řádků. Pokud se tento počet zvětší, pak systém rovnic nemůže mít řešení (prostě se naše vůbec do b nestrefí). Jestliže ale naopak máme stejný počet nezávislých řádků, znamená to, že sloupec b musí být lineární kombinací sloupců matice A. Koeficienty takové kombinace jsou právě řešení. 73 74 3. LINÁRNÍ MODELY Mějme tedy dvě pevně zvolená řešení x a y našeho systému a nějaké řešení z systému homogenního se stejnou maticí. Pak zjevně A (x - y) = b - b = 0 A (x + z) = 0 + b = b. Můžeme proto shrnout: ˇ podprostor všech řešení homogenního systému rovnic A x = 0 má dimenzi n - k, kde n je počet proměnných a k je počet lineárně nezávislých rovnic, ˇ všechna řešení jsou generována tzv. fundamentálním systémem n - k řešení, který lze obdržet z Gausovy eliminace postupným dosazováním nul a jedniček za volné parametry, ˇ řešení nehomogenního systému existuje právě, když přidáním sloupce b k matici A nezvýšíme počet lineárně nezávislých řádků. V takovém případě je prostor všech řešení dán součty jednoho pevně zvoleného partikulárního řešení systému a všech řešení systému homogenního se stejnou maticí. 2.38 3.2. Iterované procesy. Pokud je dán nějaký proces prostřednictvím lineární operace pro jednotlivá časová období, budeme patrně chtít umět studovat jeho chování během delší doby. Zatímco pro řešení systémů lineárních rovnic jsme po- třebovali jen minumum znalostí o vlastnostech lineárních zobrazení, teď už to bude jinak. Uvedeme si alespoň ilustrativní příklady. Představme si, že zkoumáme nějaký systém jednotlivců (pěstovaná zvířata, hmyz, buněčné kultury apod) rozdělený do m skupin (třeba podle stáří, fází vývoje hmyzu apod.). Stav xn je tedy dán vektorem (a1, . . . , am) závisejícím na okamžiku tn, ve kterém systém pozorujeme. Lineární model vývoje takového systému je dán maticí A dimenze n, která zadává změnu vektoru xn na xn+1 = A xn při přírůstku času z tk na tk+1. Dobrým příkladem lineárních procesů je tzv. Leslieho model růstu, viz následující příklad 3.3. V takových modelech vystupuje matice popisující vývoj populace rozdělené na několik věkových skupin A = f1 f2 f3 f4 f5 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 , kde fi označuje relativní plodnost příslušné věkové skupiny (ve sledovaném časovém skoku vznikne z N jedinců v i­té skupině fiN jedinců nových, tj. ve skupině první), zatímco i je relativní úmrtnost i-té skupiny během jednoho období. Všechny koeficienty jsou tedy kladná reálná čísla a jsou mezi nulou a jednič- kou. Přímým výpočtem (třeba využitím Laplaceova rozvoje) nyní spočteme cha- rakteristický polynom p() = det(A - E) = 5 - a4 - b3 - c2 - d - e s vesměs nezápornými koeficienty a, b, c, d, e, např. e = 1234f5. Je tedy p() = 5 (1 - q()) 1. LINEÁRNÍ ROVNICE A PROCESY 75 kde q je ostře klesající a nezáporná funkce pro > 0. Evidentně bude proto existovat právě jedno kladné , pro které bude q() = 1 a tedy p() = 0. Jinými slovy, pro každou Leslieho matici existuje právě jedno kladné vlastní číslo. Pro konkrétní koeficienty (např. když všechny fi jsou také mezi nulou a jed- ničkou) můžeme dojít k závěru, že absolutní hodnoty ostatních vlastních čísel jsou ostře menší než jedna, zatímco dominantní vlastní číslo může být vetší než jedna. V takovém případě při iteraci kroků našeho procesu dojde při libovolné počáteční hod- notě x0 k postupnému vymizení všech komponent v jednotlivých vlastních podpro- storech a poměrné proporce rozložení populace do věkových skupin se budou blížit poměrům komponent vlastního vektoru k dominantnímu vlastnímu číslu. Například pro matici (uvědomme si význam jednotlivých koeficientů) A = 0 0.2 0.8 0.6 0 0.95 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0 0 0 0.7 0 0 0 0 0 0.6 0 vyjdou vlastní hodnoty přibližně 1.03, 0, -0.5, -0, 27 + 0.74i, -0.27 - 0.74i s velikostmi 1.03, 0, 0.5, 0.78, 0.78 a vlastní vektor příslušný dominantnímu vlast- nímu číslu je přibližně x = (30 27 21 14 8). Zvolili jsme rovnou jediný vlastní vektor se součtem souřadnic rovným jedné, zadává nám proto přímo výsledné procentní rozložení populace. 3.3 3.3. Příklad ­ Leslieho růstový model. Uvažujme následující model vývoje lidské populace. Buď ˇ x1(t) = počet jedinců starých 0 - 14 let. ˇ x2(t) = počet jedinců starých 15 - 29 let. ˇ x3(t) = počet jedinců starých 30 - 44 let. ˇ x4(t) = počet jedinců starých 45 - 59 let. ˇ x5(t) = počet jedinců starých 60 - 75 let. Vše uvedeno v nějakém čase t. Pokud uvážíme časovou jednotku 15 let, tak v čase (t + 1) budeme mít následující počty: x1(t + 1) = f1x1(t) + f2x2(t) + f3x3(t) + f4x4(t) + f5x5(t) x2(t + 1) = 1,2x1(t) x3(t + 1) = 2,3x2(t) x4(t + 1) = 3,4x3(t) x5(t + 1) = 4,5x4(t) Pokud označíme jako P následující matici P := f1 f2 f3 f4 f5 1,2 0 0 0 0 0 2,3 0 0 0 0 0 3,4 0 0 0 0 0 4,5 0 , 76 3. LINÁRNÍ MODELY tak v maticové formě pak můžeme psát x(t + 1) = Px(t), kde x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t), x5(t)). 3.4. Příklad. Usherův model růstu. Variace předchozího. Mějme populaci jako v předchozím příkladě a uvažujme časovou jednotku 7, 5 let, tedy polovinu před- chozí. Pak můžeme psát opět x(t + 1) = Px(t), kde ovšem nyní P := f1 f2 f3 f4 f5 1,2 2,2 0 0 0 0 2,3 3,3 0 0 0 0 3,4 4,4 0 0 0 0 4,5 5,5 . 3.5. Příklad. Příklad. Uvažujme Leslieho model růstu pro populaci krys, které máme rozděleny do tří věkových skupin: do jednoho roku, od jednoho do dvou let a od dvou let do tří. Předpokládáme, že se žádná krysa nedožívá více než tří let. Průměrná porodnost v jednotlivých věkových skupinách připadajících na jednu krysu je následující: v 1.skupině je to nula a ve druhé i třetí 2 krysy. Krysy, které se dožijí jednoho roku umírají až po druhém roce života (úmrtnost ve druhé skupině je nulová). Určete úmrtnost v první skupině víte-li, že daná populace krys stagnuje (počet jedinců v ní se nemění). Řešení. Leslieho matice daného modelu je (úmrtnost v první skupině označíme a) 0 2 2 a 0 0 0 1 0 . Podmínka stagnace populace odpovídá tomu, že matice má vlastní hodnotu 1, ne- boli polynom 3 - 2a - 2a má mít kořen 1, t.j a = 1/4. 2. Lineární diferenční rovnice a filtry Diferenčními rovnicemi jsme se zabývali již v první kapitole, viz např 1.16. Nyní si uvedeme náznak obecné teorie. 2.40 3.6. Diferenční rovnice. Homogenní lineární diferenční rovnice řádu k s kon- stantními koeficienty je dána výrazem a0xn + a1xn-1 + + akxn-k = 0, a0 = 0 ak = 0. Říkáme také, že řešíme homogenní lineární rekurenci řádu k. Libovolným zadáním k po sobě jdoucích hodnot xi jsou určeny i všechny ostatní hodnoty jednoznačně. Zároveň je zjevné, že součet dvou řešení nebo skalární násobek řešení je opět řešení. Opět tedy máme příklad vektorového prostoru. Uvědomme si, že vektroy jsou sice nekonečné posloupnosti čísel, samotný prostor všech řešení ovšem bude konečně- rozměrný a předem víme, že jeho dimenze bude rovna řádu rovnice k. Pokud tedy budeme předpokládat řešení v nějaké vhodné formě a podaří se nám najít k lineárně nezávislých možností, budeme mít opět fundamentální systém řešení a všechna ostatní budou jejich lineárními kombinacemi. 2. LINEÁRNÍ DIFERENČNÍ ROVNICE A FILTRY 77 Uvažujme tedy stejně jako v 1.16 možnost xn = n pro nějaký skalár . Pak dostáváme podmínku n-k (a0k + a1k-1 + ak) = 0 což znamená, že buď = 0 nebo je kořenem tzv. charakteristického polynomu v závorce. Předpokládejme, že má tento polynom k různých kořenů 1, . . . , k. Můžeme za tímto účelem i rozšířit uvažované pole skalárů, např. Q na R nebo R na C, protože výsledkem výpočtu pak stejně budou i všechna řešení, která opět zůstanou v původním poli díky samotné rovnici. Každý z kořenů nám dává jedno možné řešení xn = (i)n . Abychom byli uspokojeni, potřebujeme k lineárně nezávislých řešení. K tomu nám postačí ověřit nezávislost dosazením k hodnot pro n = 0, . . . , k - 1 pro k možností i. Dostaneme tzv. Vandermondovu matici a je pěkným (ale ne úplně snadným) cvičením spočíst, že pro všechna k a jakékoliv k­tice různých i je determinant takovéto matice nenulový. To ale znamená, že zvolená řešení jsou lineárně nezávislá. Uvažme nyní násobný kořen a dosaďme do definiční rovnice předpokládané řešení xn = nn . Dostáváme podmínku a0nn + . . . ak(n - k)n-k = 0. Tuto podmínku je možné přepsat pomocí tzv. derivace polynomu, kterou značíme apostrofem: (a0n + + akn-k ) a časem uvidíme, že kořen polynomu f je vícenásobný právě, když je kořenem i jeho derivace f . Naše podmínka je tedy splněna. Při vyšší násobnosti kořene charakteristického polynomu dojdeme obdobně k řešením xn = nj n pro j = 0, . . . , - 1. Úplně obdobně jako u systémů lineárních rovnic můžeme dostat všechna ře- šení nehomogenních rovnic tak, že najdeme jedno řešení a přičteme celý vektorový prostor dimenze k řešení odpovídajících systémů homogenních. Za tímto účelem zpravidla hledáme řešení ve tvaru polynomu xn = 0 + 1n + + k-1nk-1 s neznámými koeficienty i, i = 1, . . . , k - 1. Dosazením do diferenční rovnice dostatneme systém k rovnic pro k proměnných i. Nyní můžeme shrnout získané výsledky: 2.41 3.7. Vlastnosti řešení lineárních diferenčních rovnic s konstantními ko- eficienty. ˇ prostor všech řešení homogenního systému řádu k je vektroový prostor dimenze k, ˇ všechna řešení jsou generována fundamentálním systémem k řešení, který lze obdržet získat z kořenů charakteristického polynomu (n i , pokud jsou kořeny po dvou různé, složitěji v případě násobných kořenů), ˇ všechna řešení nehomogenního systému obdržíme, když přičteme jedno pevně zvolené partikulárního řešení systému ke všem řešením systému homogenního se stejnými koeficienty. Partikulární řešení můžeme hledat pomocí tzv. metody neurčitých koeficientů, tj. hledáme jej jako polynom s neznámými koeficienty a řešíme systém lineárních rovnic. 78 3. LINÁRNÍ MODELY ˇ řešení vyhovující daným počátečním podmínkám x0 = b0, . . . , xk-1 = bk-1 hledáme z obecného řešení dosazením podmínek a určením koeficientů lineání kombinace funadamentálních řešení. Opět to znamená řešit systém lineárních rovnic. Všimněme si také, že pro rovnice s reálnými koeficienty musí vždy kořeny charakter- stického polynomu být reálné, nebo musí vystupovat po dvou komplexně združené nereálné kořeny. Jejich lineárními kombinacemi (součet a rozdíl goniometrických tvarů mocnin) lze pak přímo obdržet reálná řešení vyjádřená pomocí funkcí cos(n) a sin(n). 3.8. Příklad. Příklad. Najděte posloupnost, která vyhovuje nehomogenní dife- renční rovnici s počátečními podmínkami: xn+2 = xn+1 + 2xn + 1, x1 = 2, x2 = 2. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(-1)n + b2n . Partiku- lárním řešením je konstanta -1/2. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-1)n + b2n - 1 2 . Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = -5/6, b = 5/6. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost - 5 6 (-1)n + 5 3 2n-1 - 1 2 . 3.9. Příklad. Příklad. Určete posloupnost reálných čísel, která vyhovuje násle- dující nehomogenní diferenční rovnici s počátečními podmínkami: 2xn+2 = -xn+1 + xn + 2, x1 = 2, x2 = 3. Řešení. Obecné řešení zhomogenizované rovnice je tvaru a(-1)n + b(1/2)n . Par- tikulárním řešením je konstanta 1. Obecné řešení dané nehomogenní rovnice bez počátečních podmínek je tedy a(-1)n + b 1 2 n + 1. Dosazením do počátečních podmínek zjistíme konstanty a = 1, b = 4. Dané rovnici s počátečními podmínkami tedy vyhovuje posloupnost (-1)n + 4 1 2 n + 1. 3.10. Příklad. Řešte následující diferenční rovnici: xn+4 = xn+3 - xn+2 + xn+1 - xn. 2. LINEÁRNÍ DIFERENČNÍ ROVNICE A FILTRY 79 Řešení. Z teorie víme, že prostor řešení této diferenční rovnice bude čtyřdimen- zionální vektorový prostor, jehož generátory zjistíme z kořenů charakteristického polynomu dané rovnice. Charakteristická rovnice je x4 - x3 + x2 - x + 1 = 0. Jedná se o reciprokou rovnici (to znamená, že koeficienty u (n-k)-té a k-té mocniny x, k = 1, . . . , n, jsou shodné). Zavedeme tedy substituci u = x + 1 x . Po vydělení rovnice x2 (nula nemůže být kořenem) a substituci (všimněte si, že x2 + 1 x2 = u2 -2) dostáváme x2 - x + 1 - 1 x + 1 x2 = u2 - u - 1 = 0. Dostáváme tedy neznámé u1,2 = 1 5 2 . Odtud pak z rovnice x2 -ux+1 = 0 určíme čtyři kořeny x1,2,3,4 = 1 5 -10 2 5 4 . Nyní si všimněme, že kořeny charakteristické rovnice jsme mohli ,,uhodnout rovnou. Je totiž x5 + 1 = (x - 1)(x4 - x3 + x2 - x + 1), a tedy jsou kořeny polynomu x4 -x3 +x2 -x+1 i kořeny polynomu x5 +1, což jsou páté odmocniny z -1. Takto dostáváme, že řešením charakteristikého polynomu jsou čísla x1,2 = cos( 5 ) sin( 5 ) a x3,4 = cos(3 5 ) sin(3 5 ). Tedy reálnou bází prostoru řešení dané diferenční rovnice je například báze posloupností cos(n 5 ), sin(n 5 ), cos(3n 5 ) a sin(3n 5 ), což jsou siny a cosiny argumentů příslušných mocnin kořenů charakteristického polynomu. Všimněme si, že jsme mimochodem odvodili algebraické výrazy pro cos( 5 ) = 1+ 5 4 , sin( 5 ) = 10-2 5 4 , cos(3 5 ) = 5-1 4 a sin(3 5 ) = 10+2 5 4 . 2.39 3.11. Lineární filtry. Uvažujme nyní nekonečné posloupnosti x = . . . , x-n, x-n+1, . . . , x-1, x0, x1, . . . , xn, . . . a operaci T, která zobrazí posloupnost x na posloupnost z = Tx se členy zn = a1xn + a2xn-1 + + akxn-k+1. Protože nekonečné posloupnosti x umíme sčítat i násobit skaláry po složkách, jedná se opět o příklad vektorového prostoru. Zjevně má dimenzi nekonečnou. Posloupnosti můžeme chápat jako diskrétní hodnoty nějakého signálu, odečí- tané zpravidla ve velmi krátkých časových jednotkách, operace T je pak filtrem, který signál zpracovává. Z definice je zřejmé, že periodické posloupnosti xn splňu- jící pro nějaké pevné přirozené číslo p xn+p = xn budou mít i periodické obrazy z = Tx zn+p = a1xn+p + a2xn-1+p + + akxn-k+1+p = a1xn + a2xn-1 + + akxn-k+1 = zn se stejnou periodou p. Pro pevně zvolenou operaci T nás bude zajímat, které vstupní posloupnosti zůstanou přibližně stejné (případně až na násobek) a které budou utlumeny na nulové hodnoty. 80 3. LINÁRNÍ MODELY Jde nám tedy v první řadě o vyčíslení jádra našeho lineárního zobrazení T. To je ale dáno homogenní diferenční rovnicí a0xn + a1xn-1 + + akxn-k = 0, a0 = 0 ak = 0. 2.42 3.12. Špatný equalizer. Jako příklad uvažujme lineární filtr zadaný rovnicí zn = (Tx)n = xn+2 + xn. Výsledky takového zpracování signálu jsou naznačeny na následujících čtyřech ob- rázcích pro postupně se zvyšující frekvenci periodického signálu xn = cos(n). Čer- vený je původní signál, zelený je výsledek po zpracování filtrem. Nerovnoměrnosti křivek jsou důsledkem nepřesného kreslení, oba signály jsou samozřejmě rovnoměr- nými sinusovkami. 1 1 0 2 2 -1 0 -2 43 5 A=7.1250 1 1 0 2 2 -1 0 -2 43 5 A=19.375 1 1 0 2 2 -1 0 -2 43 5 A=25.500 1 1 0 2 2 -1 0 -2 43 5 A=29.583 Všimněme si, že v oblastech, kde je výsledný signál přibližně stejně silný jako původní, dochází k dramatickému posuvu fáze signálu. Levné equalizery skutečně podobně špatně fungují. Výsledek lze samozřejmě podrobně spočítat výše uvedenou metodikou. 3. Markovovy procesy 2.43 3. MARKOVOVY PROCESY 81 3.13. Markovovy řetězce. Velice častý a zajímavý případ lineárních procesů je popis systému, který se může nacházet v m různých stavech s různou pravděpodob- ností. V jistém okamžiku je ve stavu s pravděpodobností ai pro stav i a k přechodu z možného stavu i do stavu j dojde s pravděpodobností tij. Můžeme tedy proces zapsat takto: V čase n je systém popsán pravděpodob- nostním vektorem xn = (a1, . . . , am). To znamená, že všechny komponenty vektoru x jsou reálná nezáporná čísla a jejich součet je roven jedné. Komponenty udávají rozdělení pravděpodobnosti jednotlivých možností stavů systému. Rozdělení prav- děpodobností pro čas n + 1 bude dáno vynásobením pravděpodobnostní maticí přechodu T = (tij), tj. xn+1 = T xn. Protože předpokládáme, že vektor x zachycuje všechny možné stavy, budou všechny sloupce matice T tvořeny také pravděpodobnostními vektory. Takovému procesu říkáme Markovův proces. Všimněme si, že každý pravděpodobnostní vektor x je opět zobrazen na vektor se součtem souřadnic jedna: i,j tijxj = j ( i tij)xj = j xj = 1. Protože je součet řádků matice T vždy roven vektoru (1, . . . , 1), bude jednička zaručeně vlastním číslem matice T a k ní musí existovat vlastní vektor x0. Abychom mohli podrobněji pochopit chování Markovových procesů, uvedeme si docela snadno pochopitelné obecné tvrzení o maticích, tzv. Perronovu­Frobeniovu větu. Její důkaz však uvádět nebudeme. Věta. Nechť A je reálná čtvercová matice dimenze m s kladnými prvky. Pak platí (1) exituje reálné vlastní číslo m matice A takové, že pro všchna ostatní vlastní čísla platí || < m, (2) vlastní číslo m má algebraickou násobnost jedna, (3) vlastní podprostor odpovídající m obsahuje vektor se všemi souřadnicemi klad- nými (4) platí odhad mini j aij m maxi j aij. Tvrzení bezezbytku platí i pro tzv. regulární matice, tj. takové, jejichž nějaká mocnina má výhradně kladné prvky. Důsledkem této věty pro Markovovy procesy s maticí, která nemá žádné nulové prvky (nebo jejíž některá mocnina má tuto vlastnost), je ˇ existence vlastního vektoru x pro vlastní číslo 1, který je pravděpodobnostní ˇ přibližování hodnoty iterací Tk x0 k vektoru x pro jakýkoliv pravděpodob- nostní vektor x0. První tvrzení vyplývá přímo z kladnosti souřadnic vlastního vektoru zmíněné v Perronově­Frobeniově větě, druhé pak z toho, že absolutní hodnoty všech ostatních vlastních čísel musí být ostře menší než jedna. 3.14. Mlsný hazardér. Hazardní hráč sází na to, která strana mince padne. Na začátku hry má tři kremrole. Na každý hod vsadí jednu kremroli a když jeho tip vyjde, tak k ní získá jednu navíc, pokud ne, tak kremroli prohrává. Hra končí, pokud všechny kremrole prohraje, nebo jich získá pět. Jaká je pravděpodobnost, že hra neskončí po čtyřech sázkách? 82 3. LINÁRNÍ MODELY Řešení. Před j-tým kolem (sázkou) můžeme popsat stav, ve kterém se hráč nachází náhodným vektorem Xj = (p0(j), p1(j), p2(j), p3(j), p4(j), p5(j)), kde pi je pravdě- podobnost, že hráč má i kremrolí. Pokud má hráč před j-tou sázkou i kremrolí (i=2,3,4), tak po sázce má s poloviční pravděpodobností (i - 1) kremrolí a s polo- viční pravděpodobností (i+1) kremrolí. Pokud dosáhne pěti kremrolí nebo všechny prohraje už se počet kremrolí nemění. Vektor Xj+1 tak získáme podle podmínek v priklání z Xj vynásobením maticí A := 1 0, 5 0 0 0 0 0 0 0, 5 0 0 0 0 0, 5 0 0, 5 0 0 0 0 0, 5 0 0, 5 0 0 0 0 0, 5 0 0 0 0 0 0 0, 5 1 . Na začátku máme X1 = 0 0 0 1 0 0 , po čtyřech sázkách bude situaci popisovat náhodný vektor X5 = A4 X1 = 1 8 3 16 0 5 16 0 3 8 , tedy pravděpodobnost, že hra skončí do čtvté sázky (včetně) je polovina. Všimněme si ještě, že matice A popisující vývoj pravděpodobnostního vektoru X je pravděpodobnostní, tedy má součet prvků v každém sloupci 1. Nemá ale vlastnost vyžadovanou v Perronově­Frobeniově větě a snadným výpočtem zjistíte (nebo přímo uvidíte bez počítání), že existují dva lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné k vlastnímu číslu 1 ­ případ, kdy hráči nezůstane žádná krémrole, tj. x = (1, 0, 0, 0, 0, 0)T , nebo případ kdy získá 5 krémrolí a hra tím pádem končí a všechny mu už zůstávají, tj. x = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T . Všechna ostatní vlastní čísla (přibližně 0, 8, 0, 3, -0, 8, -0, 3) jsou v absolutníhodnotě ostře menší než jedna. Proto komponenty v příslušných vlastních podprostorech při iteraci procesu s libovolnou počáteční hodnotou vymizí a proces se blíží k limitní hodnotě pravděpodobnostího vektoru tvaru (a, 0, 0, 0, 0, 1 - a), kde hodnota a závisí na počtu krémrolí, se kterými hráč začíná. V našem případě je to a = 0, 4, kdyby začal se 4 krémrolemi, bylo by to a = 0, 2 atd. Ruleta Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je 18 černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud získá 800 Uvažte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho matici. 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU 83 Řešení. 1 a a a 0 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 1 , kde a = 19 37 a b = 18 37 . 3.15. Příklad. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že prav- děpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez použití výpo- četního software určete A100 . Řešení. Hra skončí po třech sázkách. Jsou tedy všechny mocniny A, počínaje A3 shodné. 1 7/8 3/4 1/2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/8 1/4 1/2 1 3.16. Sledovanost televizí. V jisté zemi vysílají jisté dvě televizní stanice. Z veřejného výzkumu vyplynulo, že po jednom roce přejde 1/6 diváků první stanice ke druhé stanici, 1/5 diváků druhé stanice přejde k první stanici. Popište časový vývoj počtu diváků sledujících dané stanice jako Markovův proces, napište jeho matici, nalezněte její vlastní čísla a vlastní vektory. Řešení. 5 6 1 5 1 6 4 5 . Matice má dominantní vlastní hodnotu 1, příslušný vlastní vektor je (6 5 , 1). Protože je vlastní hodnota dominantní, tak se poměr diváků se ustálí na poměru 6 : 5. 4. Více maticového počtu Na vcelku praktických příkladech jsme viděli, že porozumění vnitřní struktuře matic a jejim vlastnostem je silným nástrojem pro konkrétní výpočty nebo analýzy. Ještě více to platí pro efektivitu numerického počítání s maticemi. Proto se budeme zase chvíli věnovat abstraktní teorii. 2.44 3.17. Invariantní podprostory. Mějme nějaké lineární zobrazení f : V V na vektorovém prostoru V a předpokládejme, že pro nějaký podprostor W V platí f(W) W. Říkáme, že W je invariantní podprostor pro zobrazení f. Jestliže je V konečněrozměrné a vybereme nějakou bázi (u1, . . . , uk) podprostoru W, můžeme ji vždy doplnit na bázi (u1, . . . , un) celého V a v každé takové bázi má naše zobrazení matici A tvaru e2.3 (3.1) A = B C 0 D kde B je čtvercová matice dimenze k, D je čtvercová matice dimenze n - k a C je matice typu n/(n - k). Naopak, jestliže existuje v nějaké bázi matice zobrazení f tvaru (3.1), je W = u1, . . . , uk invariantní podprostor zobrazení f. 84 3. LINÁRNÍ MODELY Extrémní případy jsme viděli v odstavcích 2.39­2.43, kde jsme zkoumali vlastní vektory. Ke každému vlastnímu číslu zobrazení (resp. matice) existoval vlastní vek- tor a jím generovaný jednorozměrný podprostor je samozřejmě invariantní. V pří- padě existence n různých vlastních čísel zobrazení f jsme dostali rozklad V na přímý součet n vlastních podprostorů a v bazích z vlastních vektorů má naše zob- razení diagonální tvar s vlastními čísly na diagonále. Zároveň jsme viděli dva různé příklady důvodů, proč zobrazení diagonální matici mít nemusí. První souvisel s nilpotentními zobrazeními, druhý s rotacemi v dvourozměrných podprostorech. Nejsložitější a úplně obecný popis jsme potkali v odstavci 2.43, kde jsme pouze s mlhavým náznakem důkazu uvedli větu o Jordanově rozkladu. Ta říká, že nad algebraicky uzavřeným polem skalárů se celý prostor vždy rozloží na invariantní podprostory na kterých je zobrazení dáno tzv. Jordanovými bloky. Budeme teď pracovat se speciálními typy zobrazení, jejichž struktura je daleko jednodušší. První budou na řadě ortogonální zobrazení. 2.45 3.18. Rozklad ortogonálního zobrazení. Zkoumejme zobrazení na vektorovém prostoru V se skalárním součinem. Uvažme pevně zvolené ortogonální zobrazení f : V V s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako s rotací v příkladu 2.38. Nejprve se ale podívejme obecně na invariantní podprostory ortogonálních zob- razení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podprostor W V a ortogonální zobrazení f : V V platí f(W) W, pak také platí pro všechny v W , w W f(v), w = f(v), f f-1 (w) = v, f-1 (w) = 0 protože i f-1 (w) W. To ale znamená, že také f(W ) W . Dokázali jsme tedy jednoduché, ale velice důležité tvrzení: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru je také invariantní. Kdyby byla vlastní čísla ortogonálního zobrazení reálná, zaručovalo by už toto tvrzení, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení f na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V . Nicméně většinou nejsou vlastní čísla ortogonálních zorbazení reálná. Musíme si proto pomoci opět výletem do komplexníxh vektorových prostorů. Jestliže budeme považovat matici A za matici lineárního zobrazení na komplexním pro- storu Cn (která je jen shodou okolností reálná), budeme mít právě n kořenů charakteristického polynomu, včetně jejich algebraické násobnosti. Navíc, protože charakteristický polynom zob- razení bude mít výhradně reálné koeficienty, budou tyto kořeny buď reálné, nebo půjde o dvojice komplexně sdružených kořenů a . Příslušné vlastní vektory v Cn k takové dvojici vektorů budou také komplexně sdružené, protože budou řešením dvou komplexně sdružených systémů lineárních rovnic. Označme v, stejně jako v případě rotace v 2.38, vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu = + i, = 0. Reálný vektorový podprostor P generovaný reálnou a imaginární částí x = re v, y = im v je zjevně invariantní vůči násobení maticí A a dostáváme A x = x - y, A y = y + x. To ale neznamená nic jiného, než že zúžení našeho zobrazení na P je dáno složením rotace o argument vlastní honoty (úhel arccos 2+2 ) s násobením velikostí vlastní hodnoty (skalárem p 2 + 2). Protože naše zobrazení zachovává velikosti, musí být velikost vlastní hodnoty rovna jedné. 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU 85 Společně s předchozími úvahami jsme tedy dokázali úplný popis všech ortogonálních zob- razení: Věta. Nechť f : V V je ortogonální zobrazení na prostoru se skalárním sou- činem. Pak všechny kořeny charakteristického polynomu f mají velikost jedna a existuje rozklad V na jednorozměrné vlastní podprostory odpovídající vlastním čís- lům = 1 a dvourozměrné podprostory P,, na kterých působí f rotací o úhel rovný argumentu komplexního čísla . Všchny tyto různé podprostory jsou po dvou ortogonální. Příklad. Zkusme si předchozí větu na příkladu v dimenzi tři. Charakteristický polynom v tomto případě musí mít alespoň jeden reálný kořen, kterým musí být buď jednička nebo mínus jednička. Další dva musí být opět 1 nebo dva kom- plexně sdružené nereálné. V posledním případě zadává vlastní vektor odpovídající reálnému vlastnímu číslu osu rotace o argument vlastního čísla druhého. Pokud je reálné vlastní číslo -1, bude navíc ještě uplatněno zrcadlení podle roviny rotace. Uvažme tedy zobrazení s maticí ve standardní bázi f : R3 R3 , A = 0 0 1 0 1 0 -1 0 0 . Dostaneme polynom -3 + 2 - + 1 = -( - 1)(2 + 1) s kořeny 1 = 1, = i a = -i. Pochopitelně matice zadává rotaci o devadesát stupnů podle osy y. 2.46 3.19. Symetrická zobrazení. Uvažujme opět reálný vektorový prostor V se ska- lárním součinem. Zobrazení f : V V se nazývá symetrické, jestliže pro všechny vektory u, v V platí f(u), v = u, f(v) . V libovolné ortonormální bázi můžeme předchozí vztah v souřadnicích vyjádřit takto: (A x)T y = xT (A y) = xT (AT y). Volbou souřadnic bázových vektorů (tj. jedna jednička a zbytek nuly) se dostaneme ke vztahům aij = aji pro jednotlivé komponenty matice A, tzn. ke vztahu A = AT . Dokázali jsme tedy souřadný popis symetrických zobrazení: Tvrzení. Zobrazení f : V V na vektorovém prostoru se skalárním součinem je symetrické právě tehdy, když v některé (a pak už všech) ortonormální bázi má symetrickou matici. 3.15 3.20. Adjungovaná zobrazení. Jestliže zvolíme pevně jeden vektor v V , dosazování vektorů za druhý argument nám dává zobrazení V V = Hom(V, R) V v (w v, w R). Podmínka nedegenerovanosti skalárního součinu nám zaručuje, že toto zobrazení je bijekcí. Na první pohled je vidět, že vektory ortonormální báze jsou zobrazeny na formy tvořící bázi duální. Každé zobrazení f : V W mezi vektorovými prostory zadává tzv. duální zobrazení f : W V mezi formami, definované pro všechny w W , v V pomocí f (w )(v) = w (f(v)). 86 3. LINÁRNÍ MODELY V libovolných bazích na V a W a jejich duálních bazích na V a W pak tentýž definiční vztah má tvar (píšeme A pro matici zobrazení f , xT jsou souřadnice formy w , y jsou souřadnice vektoru v) (A xT ) y = xT (A y) a vidíme, že duální zobrazení má v duálních bazích transponovanou matici k maticí zobrazení původního. V případě vektorových prostorů se skalárním součinem, převádí výše uvedené bijekce duální zobrazení f na tobrazení f : W V zadané formulí f(u), v = u, f (v) a tomuto zobrazení se říká adjungované zobrazení k f. Předchozí výpočet v souřadnicích pro symetrická zobrazení nám ve skutečnosti sdělil, že je-li A matice zobrazení f v ortonormální bázi, pak matice adjungovaného zobrazení f je matice transponovaná AT . Můžeme proto také přeformulovat definici takto: Symetrické je takové zobrazení f : V V , které je rovno svému adjungovanému zobrazení f . Často se takovým zobrazením také proto říká samoadjungovaná. 2.47 3.21. Spektrální rozklad symetrického zobrazení. Uvažujme symetrické zob- razení f : V V s maticí A v nějaké ortonormální bázi a zkusme postupovat obdobně jako v 3.18. Opět se nejprve obecně podíváme na invariantní podprostory ortogonálních zobrazení a jejich ortogonální doplňky. Jestliže pro libovolný podpro- stor W V a symetrické zobrazení f : V V platí f(W) W, pak také platí pro všechny v W , w W f(v), w = v, f(w) = 0. To ale znamená, že také f(W ) W . Představme si dále, že A je matice symetrického zobrazení a A x = x pro nějaký komplexní vektor x Cn . Rozšíříme si definici skalárního součinu , na Cn vztahem x, y = xT y kde y je vektor v Cn s komplexně konjugovanými souřadnicemi. Zjevně platí i pro rozšířené zobrazení x A x vztah A x, y = x, A y a pro náš vlastní vektor x tedy dostáváme x, x = x, x . Kladným reálným číslem x, x můžeme krátit a proto musí být = , tj. vlastní čísla jsou skutečně reálná. Komplexních kořenů má charakteristický polynom det(A - E) tolik, kolik je dimenze čtvercové matice A, a všechny jsou ve skutečnosti reálné. Dokázali jsme tak důležitý obecný výsledek: Tvrzení. Ortogonální doplněk k invariantnímu podprostoru pro symetrické zob- razení je také invariantní. Navíc jsou všechna vlastní čísla symetrické matice A reálná. Ze samotné definice je zřejmé, že zúžení symetrického zobrazení na invariantní podprostor je opět symetrické. Předchozí tvrzení nám tedy zaručuje, že bude vždy existovat báze V z vlastních vektorů. Skutečně, zúžení f na ortogonální doplněk invariantního podprostoru je opět ortogonální zobrazení, takže můžeme do báze přibírat jeden vlastní vektor za druhým, až dostaneme celý rozklad V . Vlastní 4. VÍCE MATICOVÉHO POČTU 87 vektory příslušející různým vlastním číslům jsou navíc kolmé, protože z rovností f(u) = u, f(v) = v vyplývá u, v = f(u), v = u, f(v) = u, v . Obvykle se náš výsledek formuluje pomocí projekcí na vlastní podprostory. O projektoru P : V V říkáme, že je kolmý, je-li Im P Ker P. Dva kolmé projektory P, Q jsou vzájemně kolmé, je-li Im P ImQ. 3.17 3.22. Věta. Pro každé symetrické zobrazení f : V V na vektorovém prostoru se skalárním součinem existuje ortonormální báze z vlastních vektorů. Jsou-li 1, . . . , k všechna různá vlastní čísla f a P1, . . . , Pk příslušné kolmé a navzájem kolmé pro- jektory na vlastní podprostory, pak f = 1P1 + + kPk. Poznámka. Všechna zobrazení, pro která lze najít ortonormální bázi jako v této větě o spektrálním rozkladu se nazývají normální. Lze poměrně snadno ukázat, že zobrazení f : V V je normální právě, když komutuje se svým adjungovaným zobrazením. Stopa zobrazení f f je rovna součtu absolutních hodnot kvadrátů všech prvků A. V bázi z předchozí věty je tento výraz ovšem roven součtu kvadrátů absolutních hodnot všech vlastních čísel i matice A. Rovnost X i,j |aij|2 = X i |i|2 v některé a pak už ve všech ortonormálních bazích je nutnou a dostatečnou podmínkou pro to, aby zobrazení f bylo normální. Důkaz nebudeme uvádět. 2.48 3.23. Nezáporná zobrazení a odmocniny. Nezáporná reálná čísla jsou právě ta, která umíme psát jako druhé mocniny. Zobecnění takového chování pro matice a zobrazení lze vidět u součinů B = AT A (tj. složení zobrazení f f): B x, x = AT A x, x = A x, A x 0 pro všechny vektory x. Navíc zjevně BT = (AT A)T = AT A = B. Symetrickým maticím B s takovou vlastností říkáme nezáporné a pokud nastane nulová hodnota pouze pro x = 0, pak jim říkáme kladné. Obdobně hovoříme o kladných a nezáporných zobrazeních f : V V . Pro každé nezáporné zobrazení f : V V umíme najít jeho odmocninu, tj. zobrazení g takové, že g g = f. Nejjednodušeji to uvidíme v ortonormální bázi, ve které bude mít f diagonální matici. Taková podle našich předchozích úvah vždy existuje a matice A zobrazení f v ní bude mít na diagonále nezáporná reálná vlastní čísla zobrazení f. Kdyby totiž bylo některé z nich záporné, nebyla by splněna pod- mínka nezápornosti již pro některý z bázových vektorů. Pak ovšem stačí definovat zobrazení g pomocí matice B s odmocninami příslušných vlastních čísel na diago- nále. 88 3. LINÁRNÍ MODELY 5. Rozklady matic a pseudoinverze I při počítání s reálnými čísly užíváme pro zjednodušení rozklady na sou- činy. Nejjednodušším je vyjádření každého reálného čísla jednoznačně ve tvaru a = sgn(a)|a|, tj. jako součin znaménka a abolutní hodnoty. V dalším textu si uve- deme stručně přehled několika takových rozkladů pro různé typy matic, které bývají nesmírně užitečné při numerických výpočtech s maticemi. Ve skutečnosti jsme pří- slušný rozklad pro nezáporné symetrické matice využili v předchoyím odstavci pro konstrukci odmocniny z matice. Začneme přeformulováním několika výsledků, které jsme už dávno odvodili. V odstavcích 2.7 a 2.8 jsme upravovali matice nad skaláry z libovolného pole na řád- kový schodovitý tvar. K tomu jsme používali elementární úpravy, které spočívaly v postupném násobení naší matice invertibilními dolními trojúhelníkovými maticemi Pi, které postihovaly přičítání násobků řádků pod právě zpravovávaným. Předpo- kládejme pro jednoduchost, že naše matice A je čtvercová a že má všechny hlavní minory nenulové. Pak se nemůže stát, že bychom potřebovali při Gausově elimi- naci přehazovat řádky a všechny naše matice Pi mohou být dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách (nikdy nepotřebujeme přehaovat řádky). Konečně, stačí si povšimnout, že inverzní matice k takovýmto Pi jsou opět dolní trojúhelníkové s jedničkami na diagonálách a dostáváme U = P A = Pk P1 A kde U je horní trojúhelníková matice a tedy A = L U kde L je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále a U je horní trojú- helníková. Tomuto rozkladu se říká LU­rozklad matice A. V případě obecné matice můžeme při Gausově eliminaci na řádkově schodovitý tvar potřebovat navíc per- mutace řádků, někdy i sloupců matice. Pak dostáváme obecněji A = P L U Q, kde P a Q jsou nějaké permutační matice. Přímým důsledkem Gausovy eliminace bylo také zjištění, že až na volbu vhod- ných bází na definičním oboru a oboru hodnot je každé zobrazení f : V W zadáno maticí v blokově diagonálním tvaru s jednotkovou maticí s rozměrem da- ným dimenzí obrazu f nulovými bloky všude kolem. To lze přeformulovat takto: Každou matici A typu m/n nad polem skalárů K lze rozložit na součin A = P E 0 0 0 Q. Pro čtvercové matice jsme v 2.44 ukázali při diskusi vlastností lineárních zob- razení f : V V na komplexních vektorových prostorech, že každou čtvercovou matici A dimenze m umíme rozložit na součin A = P B P-1 kde B je blokově diagonální s Jordanovými bloky příslušnými k vlastním číslům na diagonále. Všimněme si, že násobení maticí P a její inverzí z opačných stran odpovídá v tomto přípaě právě změně báze na vektorovém prostoru V . Obdobně, pro symetrické matice jsme dokázali, že jdou rozložit na součin A = P B PT , 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 89 kde B je diagonální matice se všemi (vždy reálnými) vlastními čísly na diagonále, včetně násobností. Zde jde také o součin s maticemi vystihující změnu báze, nicméně připouštíme nyní pouze změny mezi mezi ortonormálními bazemi a proto i matice přechodu P musí být ortogonální. Odtud P-1 = PT . Pro ortogonální zobrazení jsme odvodili obdobné vyjádření jako u symetric- kých, pouze naše B bude blokově diagonální s bloky rozměru dva nebo jedna vyja- dřujícími buď rotaci nebo zrcadlení nebo identitu vzhledem k příslušným podpro- storům. 2.50 3.24. Věta o singulárním rozkladu. Jestliže se omezíme na ortonormální báze, ale chceme znát více informací o struktuře obecných lineárních zobrazení, musíme postupovat o hodně rafinovaněji, než v případě bazí libovolných: Věta. Nechť A je reálná matice typu m/n. Pak existují čtvercové ortogonální ma- tice U a V dimenzí m a n, a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D dimenze r, r min{m, n}, takové, že A = USV T , S = D 0 0 0 , kde r je hodnost matice AAT . Přitom je S určena jednoznačně až na pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny vlastních čísel di matice AAT . Důkaz. Předpokládejme nejprve m n a označme : Rn Rm zobrazení zadané maticí A ve standardních bazích. Máme vlastně ukázat, že existují ortonormální báze na Rn a Rm ve kterých bude mít matici S z tvrzení věty. Jak jsme viděli výše, matice AT A je pozitivně semidefinitní. Proto má samá reálná nezáporná vlastní čísla a existuje ortonormální báze w v Rn , ve které má příslušné zobrazení diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Jinými slovy, existuje ortogonální matice V taková, že AT A = V BV T pro reálnou diagonální matici s nezápornými vlastními čísly (d1, d2, . . . , dr, 0, . . . , 0) na diagonále, di = 0 pro všechny i = 1, . . . , r. Odtud B = V T AT AV = (AV )T (AV ). To je ale je ekvivalentní tvrzení, že prvních r sloupců matice AV je ortogonálních a zbývající jsou nulové, protože mají nulovou velikost. Označme prvních r sloupců v1, . . . , vr Rm . Tzn. vi, vi = di, i = 1, . . . , r a tedy vektory ui = 1 di vi tvoří ortonormální systém nenulových vektorů. Doplňme je na ortonormální bázi u1, . . . , un celého Rm . Vyjádříme-li zobrazení v bazích w na Rn a u na Rm , dostáváme matici B. Přechody od standardních bází k nově vybraným odpovídají násobení zleva ortogonálními maticemi U a zprava V -1 = V T . Pokud je m > n, můžeme aplikovat předchozí část důkazu na matici AT . Odtud pak přímo plyne požadované tvrzení. Tento důkaz věty o singulárním rozkladu je konstruktivní a můžeme jej opravdu použít pro výpočet ortogonálních matic U, V a diagonálních nenulových prvků matice S. 2.51 3.25. Geometrická interpretace singulárního rozkladu. Diagonálním hod- notám matice D z předchozí věty se říká singulární hodnoty matice A. Pro příslušné zobrazení : Rn Rm mají jednoduchý geometrický význam: Nechť K Rn je jednotková sféra pro standardní skalární součin. Obrazem (K) pak vždy bude (pří- padně degenerovaný) m-rozměrný elipsoid. Singulární čísla matice A jsou přitom velikosti hlavních poloos a věta navíc říká, že původní sféra vždy připouští orto- gonální sdružené průměry, jejichž obrazem budou právě všechny poloosy tohoto elipsoidu. Pro čtvercové matice je vidět, že A je invertibilní právě, když všechna singulární čísla jsou nenulová. Poměr největšího a nejmenšího singulárního čísla je důležitým 90 3. LINÁRNÍ MODELY parametrem pro robustnost řady numerických výpočtů s maticemi, např. pro vý- počet inverzní matice. 2.52 3.26. Věta o polárním rozkladu. Uvažujme společně nad důsledky věty o singulárním rozkladu. Plyne z ní A = USWT s diagonální S s nezápornými reálnými čísly na diagonále a ortogonálními U, W. Pak A = USUT UWT a můžeme přímo definovat P := USUT , V := UWT . Odtud ale vyplývá, že P symetrická a pozitivně semidefinitní zatímco V je ortogonální. Navíc AT = WSUT a tedy AAT = USSUT = P2 . Předpokládejme, že A = PV = QU jsou dva takové rozklady a A je invertibilní. Pak ovšem je AAT = PV V T P = P2 = QUUT Q = Q2 positivně definitní a proto jsou matice Q = P = AAT jednoznačně určené a invertibilní. Pak také U = V = P-1 A. Odvodili jsme tedy velice užitečnou analogii rozkladu reálného čísla na znaménko (ortogonální matice v případě dimenze jedna jsou právě 1) a absolutní hodnotu (matice P, ke které umíme odmocninu) Věta. Každou čtvercovou reálnou matici A dimenze n lze vždy vyjádřit ve tvaru A = P V , kde P je symetrická a positivně definitní čtvercová matice téže dimenze a V je ortogonální. Přitom P = AAT . Je-li A invertibilní, je rozklad jednoznačný a V = ( AAT )-1 A. Když budeme tutéž větu aplikovat na AT místo A, dostaneme tentýž výsledek, ovšem s obráceným pořadím symetrických a ortogonálních matic. Matice v příslušných pravých a levých rozkladech budou samozřejmě obecně různé. 2.53 3.27. Poznámka. V tomto textu se bohužel z nedostatku prostoru vyhýbáme komplexním maticím. Ve skutečnosti jsou pro všechny koncepty a pojmy zavedené kolem skalárních součinů také přímočaré komplexní analogie a obvyklejší postup v literatuře je, že se z výsledků pro tzv. unitární prostory, hermiteovská zobra- zení, samoadjungovaná zobrazení apod. odvozují i výsledky reálné. Například věta o spektrálním rozkladu pak pracuje s maticí s pozitivně definitní samoadjungo- vanou maticí P, která opět hraje roli absolutní hodnoty čísla, zatímco unitární matice V je analogií argumentu komplexního čísla (tj. komplexní jednotky, která se také rozkládá na součet + i se samoadjungovanými , , které navíc splňují 2 + 2 = idV ). Přitom ale nyní není jedno v jakém pořadí samoadjungované a unitární matice chceme násobit. Umíme v obou, vyjdou ale pokaždé jiné. Pro řadu aplikací bývá rychlejší použití tzv. QR rozkladu: 2.54 3.28. Věta. Pro každou reálnou matici A typu m/n existuje ortogonální matice Q a horní trojúhelníková matice R takové, že A = QT R. Důkaz. V geometrické formulaci potřebujeme dokázat, že pro každé zobrazení : Rn Rm s maticí A v standardních bazích můžeme zvolit novou bázi na Rm tak, aby potom mělo horní trojúhelníkovou matici. Uvažme obrazy (e1), . . . , (en) Rm vektorů standardní báze, vyberme z nich maximální lineárně nezávislý systém v1, . . . , vk takovým způsobem, že vypouš- těné závislé vektory jsou vždy lineární kombinací předchozích vektorů, a doplňme jej do báze v1, . . . , vm. Nechť u1, . . . , um je ortonormální báze vzniklá Gramm- Schmidtovou ortogonalizací tohoto systému vektorů. Nyní pro každé ei je (ei) buď jedno z vj, j i, nebo je lineární kombinací v1, . . . , vi-1, proto ve vyjádření (ei) v bázi u vystupují pouze vektory u1, . . . , ui. Zobrazení má proto ve stan- dardní bázi na Rn a ortonormální bázi u na Rm horní trojúhelníkovou matici R. Přechod k bázi u na Rm odpovídá násobení ortogonální maticí Q, tj. R = QA, ekvivalentně A = QT R. 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 91 Závěrem této části textu si všimněme mimořádně užitečné a důležité aplikace našich výsledků pro přibližné numerické výpočty. Opět uvádíme pro jednoduchost pouze reálnou variantu, obdobně platí a dokazuje se i varianta komplexní. 2.55 3.29. Definice. Nechť A je reálná matice typu m/n a nechťA = USV T je její singulární rozklad, S = D 0 0 0 . Matici A(-1) := V S UT s S = D-1 0 0 0 nazýváme pseudoinverzní matice k matici A. Jak ukazuje následující věta, je pseudoinverze důležité zobecnění pojmu inverzní matice. 2.56 3.30. Věta. Nechť A je reálná matice typu m/n. Platí (1) Je-li A invertibilní (zejména tedy čtvercová), pak A(-1) = A-1 . (2) pro pseudoinverzi A(-1) platí, že A(-1) A i AA(-1) jsou symetrické a AA(-1) A = A, A(-1) AA(-1) = A(-1) . (3) Uvažme pro danou matici A systém lineárních rovnic Ax = b, b Rm . Pak y = A(-1) b Rn minimalizuje vzdálenost Ax - b pro všechny x Rn . Důkaz. (1): Je-li A invertibilní, pak i S = UT AV je invertibilní a přímo z definice je S = S-1 . Odtud A(-1) A = AA(-1) = E. (2): Přímým výpočtem dostáváme SS S = S a S SS = S , proto AA(-1) A = USV T V S UT USV T = USS SV T = USV T = A a analogicky pro druhou rovnost. Dále (AA(-1) )T = (USS UT )T = U(S )T ST UT = U(SS )T UT = USS UT = AA(-1) a podobně se ukáže (A(-1) A)T = A(-1) A. (3): Uvažme zobrazení : Rn Rm , x Ax, a přímé součty Kn = (Ker ) Ker , Rm = im (im ) . Zúžené zobrazení ~ := |(Ker ) : (Ker ) Im je lineární isomorfismus. Zvolíme-li vhodně ortonormální báze na (Ker ) a Im a doplníme je na ortonormální báze na celých prostorech, bude mít matici S a ~ matici D z věty o singulárním rozkladu. Pro dané b Rm je bod z im minimalizující vzdálenost b - z (tj. realizující vzdálenost od podprostoru (b, Im )) právě komponenta z = b1 rozkladu b = b1+b2, b1 Im , b2 (Im ) . Přitom ale ve zvolené bázi je zobrazení (-1) , původně zadané ve standardních bazích pseudoinverzí A(-1) , dáno maticí S z věty o singulárním rozkladu, zejména je (-1) (Im ) = (Ker ) a D-1 maticí zúžení (-1) | Im a (-1) |(Im ) je nulové. Je tedy skutečně (-1) (b) = ((-1) (z)) = z a důkaz je ukončen. Lze také ukázat, že matice A(-1) minimalizuje výraz AA(-1) - E 2 (tj. sumu kvadrátů všech prvků uvedené matice). 92 3. LINÁRNÍ MODELY 2.57 3.31. Lineární regrese. Aproximační vlastnost (3) předchozí věty je velice uži- tečná v případech, kdy máme najít co nejlepší přiblížení (neexistujícího) řešení přeurčeného systému Ax = b, kde A je reálná matice typu m/n a m je větší než n. Např. máme experimentem dáno mnoho naměřených hodnot bj a chceme najít lineární kombinaci několika funkcí fi, která bude co nejlépe aproximovat hodnoty bj. Skutečné hodnoty zvolených funkcí v bodech yj R zadají matici aij = fi(yj) a na- ším úkolem je tedy určit koeficienty xj R tak, aby m i=1(bi -( n j=1 xjaij))2 byla minimální. Jinými slovy, hledáme lineární kombinaci funkcí fi takovou, abychom "dobře" proložili zadané hodnoty bi. Díky předchozí větě jsou hledané optimální koeficienty A(-1) b. Abychom měli konkrétnější představu, uvažujme pouze dvě funkce f1(x) = x, f2(x) = x2 a předpokládejme, že ,,naměřené hodnoty jejich neznámé kombinace g(x) = y1x + y2x2 v celočíselných hodnotách pro x mezi 1 a 10 jsou bT = (1.44 10.64 4.48 14.56 31.12 39.20 54.88 71.28 85.92 104.16). Tento vektor vzniknul výpočtem hodnot x + x2 v daných bodech posunutých o náhodné hodnoty v rozmezí 8. Matice B = (bij) je tedy v našem případě rovna BT = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4 9 16 25 36 49 64 91 100 a y = B(-1) b = (0.61, 0.99). Výsledné proložení je možné dobře vidět na obrázku, kde zeleně jsou proloženy zadané hodnoty b lomenou čarou, zatímco červený je graf příslušné kombinace g. Výpočty byly provedeny v systému Maple pomocí příkazu leastsqrs(B,b). 6420 100 80 60 x 40 20 10 0 8 5. ROZKLADY MATIC A PSEUDOINVERZE 93 Pokud jste spřáteleni s Maplem (nebo jiným podobným souftwarem), zkuste si zaexperimentovat s podobnými úlohami. KAPITOLA 4 Analytická geometrie poloha, incidence, projekce? ­ a zase skončíme u matic... 1. Afinní geometrie Vrátíme se teď k úlohám elementární geometrie z podobného pohledu, jako když jsme zkoumali polohy bodů v rovině v 5. části první kapitoly, viz 1.40. Moti- vací k abstraktní definici vektorového prostoru nám byly množiny řešení systémů lineárních diferenciálních rovnic s nulovou pravou stranou, kde součty i skalární ná- sobky řešení byly opět řešeními, ,,dimenzi celého prostoru řešení ale určoval rozdíl mezi počtem proměnných a počtem nezávislých rovnic. Taková dimenze bývá vý- razně menší než počet proměnných a už proto není ideální pracovat s vektory jen jako s n­ticemi skalárů. Když jsme pak zkoumali aplikace obecné teorie na sys- témy rovnic v první části předchozí kapitoly, zjistili jsme v ostavci 3.1, že všechna řešení nehomogenních systémů rovnic sice netvoří vektorové podprostory, vždy ale vznikají tak, že k jednomu jedinému řešení přičteme celý vektorový prostor řešení příslušné homogenní soustavy. Naopak, rozdíl dvou řešení nehomogenní soustavy je vždy řešením homogenní. Obdobně se chovají lineární difereční rovnice, viz 3.6. Návod na teoretické uchopení takové situace jsme viděli už při diskusi geo- metrie roviny, viz odstavec 1.41 a dále. Tam jsme totiž popisovali přímky a body jako množiny řešení systémů lineárních rovnic. Přímka pro nás pak byla ,,jedno- rozměrným prostorem, přestože její body byly popisovány dvěmi souřadnicemi. Prametricky jsme ji zadávali tak, že k jednomu bodu (tj. dvojici souřadnic) jsme přičítali násobky pevně zvoleného směrového vektoru. Stejně budeme postupovat i teď v libovolné dimenzi. 2.58 4.1. Afinní prostory. Standarní afinní prostor An je množina všech bodů v Rn spolu s operací, kterou k bodu A = (a1, . . . , an) An a vektoru v = (v1, . . . , vn) Rn přiřadíme bod A + v = (a1 + v1, . . . , an + vn) Rn . Tyto operace splňují následující tři vlastnosti: (1) A + 0 = A pro všechny body A P a nulový vektor 0 V (2) A + (v + w) = (A + v) + w pro všechny vektory v, w V , A P (3) pro každé dva body A, B P existuje právě jeden vektor v P takový, že A + v = B. Značíme jej B - A, někdy také AB. Vektorový prostor Rn nazýváme zaměření afinního prostoru An. Všimněme si několika formálních nebezpečí: Používáme stejný symbol ,,+ pro dvě různé operace: přičtení vektoru ze zaměření k bodu v afinním prostoru, ale také sčítání vektorů v zaměření Rn . Také nezavádíme zvláštní písmena pro samotnou 95 96 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE množinu bodů afinního prostoru, tj. An pro nás představuje jak samotnou množinu bodů, tak i celou strukturu definující afinní prostor. Proč vlastně chceme rozlišovat množinu bodů prostoru An od jeho zaměření V , když se jedná jakoby o stejné Rn ? Je to patrně podstatný formální krůček pro po- chopení geometrie v Rn : Geometrické objekty jako jsou přímky, body, roviny apod. nejsou totiž přímo závislé na vektorové struktuře na množině Rn a už vůbec ne na tom, že pracujeme s n­ticemi skalárů. Musíme ale mít možnost říci, co je to ,,rovně v daném směru . K tomu právě potřebujeme na jedné straně vnímat třeba rovinu jako neohraničenou desku bez zvolených souřadnic, ale s možností posunout se o zadaný vektor. Když přejdeme navíc k takovému abstraktnímu pohledu, budeme umět diskutovat ,,rovinnou geometrii pro dvourozměrné podprostory, tj. roviny ve vícerozměrných prostorech, ,,prostorovou pro třírozměrné atd., aniž bychom museli přímo manipulovat k-ticemi souřadnic. Definice. Afinním prostorem A se zaměřením V rozumíme množinu bodů P, spolu se zobrazením P ×V P, (A, v) A+v, splňující vlastnosti (1)­(3). Pro libovolný pevně zvolený vektor v V je tak definována translace v : A A jako zúžené zobrazení v : P P × {v} P, A A + v. Dimenzí afinního prostoru A rozumíme dimenzi jeho zaměření. Nadále nebudeme rozlišovat A a P v označení. Z axiomů okamžitě plyne pro libovolné body A, B, C v afinním prostoru A A - A = 0 V(4) B - A = -(A - B)(5) (B - A) + (C - B) = (C - A).(6) (Dokažte si podrobně formálně sami!) Všimněme si, že volba jednoho pevného bodu A0 A nám určuje bijekci mezi V a A. Při volbě pevné báze u ve V tak dostáváme pro každý bod A A jednoznačné vyjádření A = A0 + x1u1 + + xnun. Hovoříme o afinní soustavě souřadnic (A0; u1, . . . , un) zadané počátkem afinní sou- řadné soustavy A0 a bazí zaměření u. Hovoříme také o afinním repéru (A0, u). Slovy můžeme shrnout situaci takto: Afinní souřadnice bodu A v soustavě (A0, u) jsou souřadnicemi vektoru A - A0 v bázi u zaměření V . Volba afinního souřadného systému ztotožňuje n-rozměrný afinní prostor A se standardním afinním prostorem An. 2.59 4.2. Afinní podprostory. Jestliže si vybereme v A jen body, které budou mít některé předem vybrané souřadnice nulové (třeba poslední jednu). Dostaneme opět množinu, která se bude chovat jako afinní prostor. Takto budeme skutečně para- metricky popisovat tzv. afinní podprostory ve smyslu následující definice. Definice. Neprázdná podmnožina Q A afinního prostoru A se zaměřením V se nazývá afinní podprostor v A, je-li podmnožina W = {B - A; A, B Q} V vektorovým podprostorem a pro libovolné A Q, v W je A + v Q. Skutečně je rozumné mít obě podmínky v definici, protože je snadné najít příklady podmnožin, které budou splňovat první, ale nikoliv druhou. Přemýšlejte např. o přímce v rovině s vyjmutým jedním bodem. 1. AFINNÍ GEOMETRIE 97 Pro libovolnou množinu bodů M A v afinním prostoru se zaměřením V definujeme vektorový podprostor Z(M) = {B - A; B, A M} V. Zejména je V = Z(A) a každý afinní podprostor Q A splňuje sám axiomy afinního prostoru se zaměřením Z(Q). Přímo z definic je zřejmé, že průnik libovolné množiny afinních podprostorů je buď opět afinní podprostor nebo prázdná množina. Afinní podprostor M v A generovaný neprázdnou podmnožinou M A je průnikem všech afinních podprostorů, které obsahují všechny body podmnožiny M. Přímo z definic plyne, že pro kterýkoliv bod A0 M je M = {A0 + v; v Z(M) Z(A)}, tj. pro generování afinního podprostoru vezmeme vektorový pod- prostor Z(M) v zaměření generovaný všemi rozdíly bodů z M a ten pak přičteme k libovolnému z nich. Hovoříme také o afinním obalu množiny bodů M v A. Naopak, kdykoliv zvolíme podprostor U v zaměření Z(A) a jeden pevný bod A A, pak podmnožina A + U vzniklá všemi možnými součty bodů A s vektory v U je afinní podprostor. Takový postup vede k pojmu parametrizace podprostorů: Nechť Q = A + Z(Q) je afinní podprostor v An a (u1, . . . , uk) je báze Z(Q) Rn . Pak vyjádření podprostoru Q = {A + t1u1 + + tkuk; t1, . . . , tk R} nazýváme parametrický popis podprostoru Q. Jeho zadání systémem rovnic v da- ných souřadnicích je implicitní popis podprostoru Q. 2.60 4.3. Příklady afinních prostorů. (1) Jednorozměrný (standardní) afinní pro- stor je množina všech bodů reálné přímky A1. Její zaměření je jednorozměrný vektorový prostor R (a nosná množina také R). Afinní souřadnice dostaneme vol- bou počátku a měřítka (tj. báze ve vektorovém prostoru R). Všechny vlastní afinní podprostory jsou 0-rozměrné, jsou to právě všechny body reálné přímky R. (2) Dvourozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A2 se zaměřením R2 . (Nosnou množinou je R2 .) Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a dvou nezávislých vektorů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body a přímky v rovině (0-rozměrné a 1-rozměrné). Přímky při- tom jednoznačně zadáme jejich jedním bodem a jedním generátorem zaměření (tzv. parametrický popis přímky). (3) Trojrozměrný (standardní) afinní prostor je množina všech bodů prostoru A3 se zaměřením R3 . Afinní souřadnice dostaneme volbou počátku a tří nezávislých vek- torů (směrů a měřítek). Vlastní afinní podprostory jsou pak všechny body, přímky a roviny (0-rozměrné, 1-rozměrné a 2-rozměrné). (4) Podprostor všech řešení jedné lineární rovnice a x = b pro neznámý bod (x1, . . . , xn) An, známý nenulový vektor koeficientů (a1, . . . , an) a skalár b R je afinní podprostor dimenze n-1 (říkáme také, že je kodimenze 1), tj. tzv. nadrovina v An. Poslední příklad je zvláštním případem následující obecné věty popisující geo- metrickou podstatu systémů lineárních rovnic. 2.61 4.4. Věta. Nechť (A0; u) je afinní souřadný systém v n-rozměrném afinním pro- storu A. Afinní podprostory dimenze k v A, vyjádřené v daných souřadnicích, jsou právě množiny řešení řešitelných systémů n-k lineárně nezávislých lineárních rov- nic v n proměnných. 98 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Důkaz. Uvažujme libovolný řešitelný systém n-k lineárně nezávislých rovnic i(x) = bi, bi R, i = 1, . . . , n - k. Je-li A = (a1, . . . , an)T Rn libovolné pevně zvolené řešení tohoto (nehomogenního) systému rovnic a je-li U Rn vektorový podprostor všech řešení zhomogenizovaného systému i(x) = 0, pak dimenze U je k a podmnožina všech řešení daného systému je tvaru {B; B = A+(y1, . . . , yn)T , y = (y1 . . . , yn)T U} Rn , viz. 3.1. Příslušný afinní podprostor je tím popsán para- metricky ve výchozích souřadnicích (A0; u). Naopak, uvažme libovolný afinní podprostor Q An a zvolme nějaký jeho bod B za počátek afinního souřadného systému (B, v) pro afinní prosotr A. Protože Q = B + Z(Q), potřebujeme popsat zaměření podprostoru Q jako podprostor řešení homogenního systému rovnic. Zvolme tedy bázi v na Z(A) tak, aby prvních k vektorů tvořilo bázi Z(Q). Pak v těchto souřadnicích jsou vektory v Z(Q) dány rovnostmi j(v) = 0, j = k + 1, . . . , n, kde i jsou lineární formy z tzv. duální báze k v, tj. funkce přiřazení jednotlivých souřadnic v naší bázi v. Náš vektorový podprostor Z(Q) dimenze k v n-rozměrném Rn je tedy skutečně dán jako řešení homogenního systému n-k nezávislých rovnic. Popis zvoleného afin- ního podprostoru ve vybraném souřadném systému (A0; u) je proto dán systémem homogenních lineárních rovnic. Zbývá nám se vypořádat důsledky přechodu z původního zadaného souřadného systému (A; u) do našeho přizpůsobeného (B; v). Z obecné úvahy o transformacích souřadnic v následujícím odstavci vyplyne, že výsledný popis podprostoru bude opět pomocí systému rovnic, tentokrát ale už obecně nehomogenních. 2.62 4.5. Transformace souřadnic. Dvě libovolně zvolené afinní soustavy souřadnic (A0, u), (B0, v) se obecně liší posunutím počátku o vektor (B0 - A0) a jinou bazí zaměření. Transformační rovnice tedy vyčteme ze vztahu pro obecný bod X A X = B0 + x1v1 + + xnvn = B0 + (A0 - B0) + x1u1 + + xnun. Označme y = (y1, . . . , yn)T sloupec souřadnic vektoru (A0 - B0) v bázi v a M = (aij) buď matice vyjadřující bázi u prostřednictvím báze v. Potom x1 = y1 + a11x1 + + a1nxn ... xn = yn + an1x1 + + annxn tj. maticově x = y + M x. Jako příklad si můžeme spočítat dopad takové změny báze na vyjádření řešení systémů rovnic. Nechť v souřadnicích (A0; u) má systém rovnic tvar S x = b s maticí systému S. Pak S x = S M-1 (y + M x) - S M-1 y = b. Proto v nových výše uvažovaných souřadnicích (B0; v) bude mít náš systém rovnic tvar (S M-1 ) x = b = b + (S M-1 ) y. To plně dokončuje důkaz předchozí věty. 1. AFINNÍ GEOMETRIE 99 2.63 4.6. Afinní kombinace bodů. Nechť A0, . . . , Ak jsou body v afinním prostoru A. Jejich afinní obal {A0 . . . , Ak} můžeme zapsat jako {A0 + t1(A1 - A0) + + tk(Ak - A0); t1, . . . , tk R} a v libovolných afinních souřadnicích (tj. Ai je vyjádřen sloupcem skalárů) můžeme tutéž množinu zapsat jako A0, . . . , Ak = {t0A0 + t1A1 + + tkAk; ti R, k i=0 ti = 1}. Obecně výrazy t0A0 + t1A1 + + tkAk s koeficienty splňujícícmi k i=0 ti = 1 rozumíme body A0 + k i=1 ti(Ai - A0) a nazýváme je afinní kombinace bodů. Body A0 . . . , Ak jsou v obecné poloze, jestliže generují k-rozměný podprostor. Z našich definic je vidět, že to nastane právě, když pro kterýkoliv z nich platí, že vektory vzniklé pomocí rozdílů tohoto pevného s ostatními jsou lineárně nezávislé. Všimněme si také, že zadání posloupnosti dim A bodů v obecné poloze je ekviva- lentní zadání afinního repéru s středem v prvním z nich. Afinní kombinace je obdobná konstrukce pro body afinního prostoru jako byla lineární kombinace pro vektorové prostory. Skutečně, afinní podprostor generovaný body A0 . . . , Ak je roven množině všech afinních kombinací svých generátorů. Mů- žeme však nyní dobře zobecnit i pojem ,,mezi dvěma body na přímce . V dvojroz- měrném případě tomu odopovídá vnitřek trojúhelníku. Obecně budeme postupovat takto: Nechť A0, . . . , Ak je k+1 bodů afinního prostoru A v obecné poloze. k­rozměrný simplex = (A0, . . . , Ak) generovaný těmito body je definován jako množina všech afinních kombinací bodů Ai s pouze nezápornými koeficienty, tzn. = {t0A0 + t1A1 + + tkAk; ti [0, 1] R, k i=0 ti = 1}. Jednorozměrný simplex je úsečka, dvourozměrný trojúhelník. Zadání podprostoru jako množiny afinních kombinací bodů v obecné poloze je ekvivalentní parametrickému popisu. Obdobně pracujeme s parametrickými popisy simplexů. 2.64 4.7. Konvexní množiny. Podmnožina M afinního prostoru se nazývá konvexní, jestliže s každými svými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku (A, B). Přímo z definice je vidět, že každá konvexní množina obsahuje s každými k + 1 body v obecné poloze i celý jimi definovaný simplex. Konvexními množinami jsou např. (1) prázdná podmnožina (2) afinní podprostory (3) úsečky, polopřímky p = {P + t v; t 0}, obecněji k­ rozměrné poloprostory = {P + t1 v1 + + tk vk; t1, . . . , tk R, tk 0}, úhly v dvojrozměrných podprostorech = {P + t1 v1 + t2 v2; t1 0, t2 0}, atd. Přímo z definice také plyne, že průnik libovolného systému konvexních množin je opět konvexní. Průnik všech konvexních množin obsahujících danou množinu M nazýváme konvexní obal K(M) množiny M. 100 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Věta. Konvexní obal libovolné podmnožiny M A je K(M) = {t1A1 + + tsAs; s i=1 ti = 1, ti 0} Důkaz. Označme S množinu všech afinních kombinací na pravé straně dokazo- vané rovnosti. Nejprve ověříme, že je S konvexní. Zvolme tedy dvě sady parametrů ti, i = 1, .., s1, tj, j = 1, . . . , s2 s požadovanými vlastnosti. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že s1 = s2 a že v obou kombinacích vystupují stejné body z M (jinak prostě přidáme sčítance s nulovými koeficienty). Uvažme libovolný bod úsečky zadané takto získanými body: (t1A1 + + tsAs) + (1 - )(t1A1 + + tsAs), 0 1. Zřejmě jsou opět všechny v S. Zbývá ukázat, že konvexní obal bodů A1, . . . , As nemůže být menší než S. Samotné body Ai odpovídají volbě parametrů tj = 0 pro všechny j = i a ti = 1. Předpokládejme, že tvrzení platí pro všechny množiny s nejvýše s - 1 body. To znamená, že konvexní obal bodů A1, . . . , As-1 je (podle předpokladu) tvořen právě těmi kombinacemi z pravé strany dokazované rovnosti, kde ts = 0. Uvažme nyní libovolný bod A = t1A1 + + tsAs S, ts = 1, a afinní kombinace (t1A1 + + ts-1As-1) + (1 - (1 - ts))As, 0 1 1-ts . Jde o úsečku s krajními body určenými parametry = 0 (bod As) a = 1/(1 - ts) (bod v konvexním obalu bodů A1, . . . , As-1). Bod A je vnitřním bodem této úsečky s parametrem = 1. Konvexní obaly konečných množin bodů se nazývají konvexní mnohostěny. Jsou-li definující body A0, . . . , Ak konvexního mnohostěnu v obecné poloze, do- stáváme právě k-rozměrný simplex. V případě simplexu je vyjádření jeho bodů ve tvaru afinní kombinace definujících vrcholů jednoznačné. Jiným příkladem jsou konvexní podmnožiny generované jedním bodem a ko- nečně mnoha vektory: Nechť u1, . . . , uk, jsou libovolné vektory v zaměření Rn , A An je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Pk(A; u1, . . . , uk) An je množina Pk(A; u1, . . . , uk) = {A + c1u1 + + ckuk; 0 ci 1, i = 1, . . . , k}. Jsou-li vektory u1, . . . , uk nezávislé, hovoříme o k-rozměrném rovnoběžnostěnu Pk(A; u1, . . . , uk) An. Z definice je zřejmé, že rovnoběžnostěny jsou konvexní. Ve skutečnosti jde o konvexní obaly jejich vrcholů. 2.65 4.8. Příklady standardních afinních úloh. (1) K podprostoru zadanému im- plicitně nalézt parametrický popis a naopak: Nalezením partikulárního řešení nehomogenního systému a fundamentálního řešení zhomogenizovaného systému rovnic získáme (v souřadnicích, ve kterých byly rovnice zadány) právě hledaný parametrický popis. Naopak, zapíšeme-li paramet- rický popis v souřadnicích, můžeme volné parametry t1, . . . , tk vyeliminovat a zís- káme právě rovnice zadávající daný podprostor implicitně. (2) Nalézt podprostor generovaný několika podprostory Q1, . . . , Qs (obecně různých dimenzí, např. v R3 nalézt rovinu danou bodem a přímkou, třemi body apod.) a zadat jej implicitně či parametricky: 1. AFINNÍ GEOMETRIE 101 Výsledný podprostor Q je vždy určen jedním pevně zvoleným bodem Ai v každém z nich a součtem všech zaměření. Např. Q = A1 + (Z({A1, . . . , Ak}) + Z(Q1) + + Z(Qs)). Pokud jsou podprostory zadány implicitně, je možné je nejdříve převést na para- metrický tvar. V konkrétních situacích býají funkční i jiné postupy. Všimněme si, že obecně je skutečně nutné využít jednoho bodu z každého podprostoru. Např. dvě paralelní přímky v rovině vygenerují celou rovinu, ale sdílí totéž jednorozměrné zaměření. (3) Nalézt průnik podprostorů Q1, . . . , Qs: Pokud jsou zadány v implicitním tvaru, stačí sjednotit všechny rovnice do jed- noho systému (a případně vynechat lineárně závislé). Pokud je vzniklý systém ne- řešitelný, je průnik prázdný. V opačném případě získáme implicitní popis afinního podprostoru, který je hledaným průnikem. Pokud máme dány parametrické tvary, můžeme také hledat přímo společné body jako řešení vhodných rovnic, podobně jako při hledání průniků vektorových podprostorů. Získáme tak přímo opět parametrický popis. Pokud je podprostorů více než dva, musíme průnik hledat postupně. Máme-li jeden prostor zadaný parametricky a ostatní implicitně, stačí dosadit parametrizované souřadnice a řešit výsledný systém rovnic. (4) Nalezení příčky mimoběžek p, q v A3 procházející daným bodem nebo mající předem daný směr (tj. zaměření): Příčkou rozumíme přímku, která má neprázdný průnik s oběmi mimoběžkami. Vý- sledná příčka r tedy bude jednorozměrným afinním podprostorem. Pokud máme za- dán jeho bod A r, pak afinní podprostor generovaný p a A je buď přímka (A p) nebo rovina (A / p). V prvém případě máme nekonečně mnoho řešení, jedno pro každý bod z q, v druhém stačí najít průnik B roviny p A s q a r = {A, B} . Pokud je průnik prázdný, úloha nemá řešení, v případě že q p A , máme opět nekonečně mnoho řešení, a pokud je průnik jednoprvkový, dostáváme právě jedno řešení. Máme-li místo bodu dán směr u Rn , tj. zaměření r, pak uvažujeme opět podprostor Q generovaný p a zaměřením Z(p) + u Rn . Opět, pokud q Q, máme nekonečně mnoho řešení, jinak uvážíme průnik Q s q a úlohu dokončíme stejně jako v předchozím případě. Řešení mnoha dalších standardních geometrických úloh spočívá v používání výše uvedených kroků. 4.9. Příklad. Uvádíme několik příkladů s výsledky. Příklad.1. Parametricky vyjádřete průnik následujících rovin v R3 : : 2x + 3y - z + 1 = 0 a : x - 2y + 5 = 0. Řešení. Přímka (2t, t, 7t) + [-5, 0, -9]. Příklad.2. Najděte příčku přímek (úsečku, jejíž jeden koncový bod leží na jedné z přímek, druhý pak na druhé z nich) p : [1, 1, 1] + t(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + t(1, 1, 1), takovou, že přímka jí určená prochází bodem [1, 0, 0]. 102 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Řešení. Hledaný bod v q najdeme jako průnik přímky q s rovinou [1, 1, 1] + t(2, 1, 0) + s(0, 1, 1). Jde o úsečku s krajními body [5, 5, 3] q, [7/3, 5/3, 1] p. Příklad.3. Určete osu mimoběžek p : [3, 0, 3] + (0, 1, 2)t q : [0, -1, -2] + (1, 2, 3)t. Řešení. Úsečka ([2, 3, 4], [3, 1, 5]). Příklad.4. Nalezněte osu mimoběžek p : [1, 1, 1] + t(2, 1, 0), q : [2, 2, 0] + t(1, 1, 1). Řešení. [3, 2, 1][8/3, 8/3, 2/3]. Příklad.5. Určete patu kolmice spuštěné z bodu [0, 0, 7] na rovinu : [0, 5, 3] + (1, 2, 1)t + (-2, 1, 1)s. Řešení. (-1, 3, 2). Příklad.6. Zjistěte, zda leží body [0, 2, 1], [-1, 2, 0], [-2, 5, 2] a [0, 5, 4] z R3 v jedné rovině. Řešení. Libovolná dvojice zadaných bodů z afinního prostoru R3 určuje vektor (viz definice afinního prostoru; jeho souřadnice jsou dány po složkách rozdíly souřadnic daných dvou bodů). To, že dané čtyři body leží v rovině je ekvivalentní tomu, že jsou tři vektory dané jedním vybraným bodem a vždy jedním ze tří zbylých lineárně závislé. Vybereme např. bod [0, 2, 1] (na výběru nezáleží), pak uvažujeme vektory [0, 2, 1] - [-1, 2, 0] = (1, 0, 1), [0, 2, 1] - [-2, 5, 2] = (2, -3, -1) a [0, 2, 1] - [0, 5, 4] = (0, -3, -3). Vidíme, že součet dvojnásobku prvního vektoru a třetího vektoru je roven druhému vektoru, vektory jsou tedy lineárně závislé (jinak má taky matice, jejíž řádky jsou tvořeny souřadnicemi daných vektorů, hodnost nižší než tři; v tomto případě se tedy jedná o matici 1 0 1 2 -3 -1 0 -3 -3 , která má hodnost dva). Dané body tedy leží v rovině. Příklad.7. Na kolik částí mohou dělit prostor (R3 ) tři roviny? Pro každou možnost popište odpovídající případ. Řešení. 2, 3, 4, 6, 7, 8. Polohy rovin, které realizují dané počty si rozmyslete samostatně. Příklad.8. Rozhodněte, zda leží bod [2, 1, 0] uvnitř konvexního obalu bodů [0, 2, 1], [1, 0, 1], [3, -2, -1], [-1, 0, 1]. Řešení. Sestavíme nehomogenní lin. soustavu, pro koeficienty t1, t2, t3, t4, afinní kombinace daných bodů, která dává první bod (jsou určeny jednozačně, pokud dané 1. AFINNÍ GEOMETRIE 103 body neleží v rovině). 0 1 3 -1 2 0 -2 0 1 1 -1 1 1 1 1 1 t1 t2 t3 t4 = 2 1 0 1 . Poslední rovnice udává, že jde o afinní kombinaci. Jejím řešením dostáváme (t1, t2, t3, t4) = (1, 0, 1/2, -1/2), nejedná se tedy o konvexní kombinaci. (nelze odvodit pomocí pro- jekcí na jednotlivé osy). Příklad.9. Určete odchylku rovin : [1, 0, 2] + (1, -1, 1)t + (0, 1, -2)s : [3, 3, 3] + (1, -2, 0)t + (0, 1, 1)s Řešení. Průsečnice má směrový vektor (1, -1, 1), kolmá rovina na ni má pak s da- nými rovinami průniky generované vektory (1, 0, -1) a (0, 1, 1). Tyto jednorozměrné podprostory svírají úhel 60 . Příklad.10. Je dán rovnoběžník [0, 0, 1], [2, 1, 1], [3, 3, 1], [1, 2, 1]. Určete bod X na přímce p : [0, 0, 1]+(1, 1, 1)t tak, aby rovnoběžnostěn určený daným rovnoběžníkem a bodem X měl objem 1. Řešení. Sestavíme determinant udávající objem rovnoběžnostěnu při pohyblivém bodu X: t t t 2 1 0 1 2 0 . Podmínka, že má být roven jedné dává t = 1/3. Příklad.11. Je dána krychle ABCDA B C D (ve standardním označení, tj. ABCD a A B C D jsou stěny, AA pak hrana). Určete odchylku vektorů AB a AD . Řešení. Uvažujme krychli o hraně 1 a umístěme ji v R3 tak, že bod A bude mít ve standardní bázi souřadnice [0, 0, 0], bod B pak souřadnice [1, 0, 0] a bod C souřadnice [1, 1, 0]. Potom má bod B souřadnice [1, 0, 1] a bod D souřadnice [0, 1, 1]. Pro vyšetřované vektory tedy můžeme psát AB = B - A = [1, 0, 1] - [0, 0, 0] = (1, 0, 1), AD = D - A = [0, 1, 1] - [0, 0, 0] = (0, 1, 1). Podle definice odchylky těchto vektorů je pak cos() = (1, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (0, 1, 1) = 1 2 , tedy = 60 . 2.66 4.10. Afinní zobrazení. Zobrazení f : A B mezi afinními prostory nazýváme afinní zobrazení, jestliže existuje lineání zobrazení : Z(A) Z(B) takové, že pro všechny A A, v Z(A) platí f(A + v) = f(A) + (v). Zobrazení f a jsou jednoznačně zadána touto vlastnostní a libovolně zvolenými obrazy (dim A + 1) bodů v obecné poloze. 104 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pro libovolnou afinní kombinaci bodů t0A0 + + tsAs A pak dostaneme f(t0A0 + + tsAs) = f(A0) + t1(A1 - A0) + + ts(As - A0) = t0f(A0) + t1f(A1) + + tsf(As). Naopak, pokud pro nějaké zobrazení platí, že zachovává afinní kombinace, mů- žeme číst předchozí výpočet v opačném pořadí a zjistíme, se jedná o afinní zobrazení. Ekvivalentně lze tedy definovat afinní zobrazení jako ta, která zachovávají afinní kombinace bodů. Volbou afinních souřadnic (A0, u) na A a (B0, v) na B dostáváme souřadné vyjádření afinního zobrazení f : A B. Přímo z definice je zřejmé, že stačí vyjádřit obraz počátku souřadnic v A v souřadnicích na B, tj. vyjádřit vektor f(A0) - B0 v bázi v a vše ostatní je pak určeno násobením maticí zobrazení ve zvolených bazích a přičtením výsledku. 4.11. Příklad. Napište matici B afinního zobrazení f daného ve standardní bázi v R2 jako f(x1, x2) = 2 1 0 1 x1 x2 + 1 1 souřadné soustavě dané bází u = {(1, 1), (-1, 1)} a počátkem [2, 0]. Řešení. Matice přechodu od dané báze u ke standardní bázi k je 1 -1 1 1 . Matici zobrazení v bázi ([2, 0], u) získáme tak, že nejprve transformujeme sou- řadnice priklané v bázi ([2, 0], u) na souřadnice ve standardní bázi, tedy v bázi ([0, 0], (1, 0), (0, 1)), poté aplikujeme matici zobrazení f ve standardní bázi a na závěr výsledek transformujeme zpět do souřadnic v bázi ([2, 0], u). Transformační rovnice přechodu od suouřadnic y1, y2 v bázi ([2, 0], u) k souřadnicím x1, x2 v standardní bázi jsou x1 x2 = 1 -1 1 1 y1 y2 + 2 0 . Odtud máme, že y1 y2 = 1 -1 1 1 -1 x1 x2 - 2 0 . = 1 2 1 2 -1 2 1 2 x1 x2 + -1 1 . Pro matici zobrazení pak dostáváme B = 1 2 1 2 -1 2 1 2 2 1 0 1 1 -1 1 1 + 2 0 + 1 1 + -1 1 = 2 0 -1 1 + 2 -1 4.12. Příklad. Příklad. Mejme dánu standardní souřadnou soustavu v trojroz- měrném Eukleidovském prostoru. Agent K sídlí v bodě S o souřadnicích [0, 1, 2] a ústředí mu přidělilo pro používání souřadnou soustavu s počátkem S a bází {(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (0, 1, 2)}. Agent Sokol bydlí domě D na kótě [1, 1, 1] a pou- žívá souřadnou soustavu s bází {(0, 0, 1), (-1, 1, 2), (1, 0, 1)}. Agent K žádá Sokola 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 105 o schůzku v cihelně, která leží podle jeho souřadné soustavy v bodě [1, 1, 0]. Kam má přijít Sokol (podle jeho souřadnic)? Řešení. Matice přechodu od báze agenta K k Sokolově bázi (při stejných počátcích) je T = -4 2 -1 1 0 1 2 -1 1 Vektor (0, 1, 2) má tedy souřadnice T (0, 1, 2)T = (0, 2, 1)T , posunutím počátku (přičteme vektor (-1, 0, 1)) dostáváme výsledek (-1, 2, 2). 2. Euklidovská geometrie Na minulé kapitole jsme vytvořili východisko pro elementární geometrii a nepo- třebovali jsme k tomu pojem vzdálenosti nebo velikosti. Ve skutečnosti jsme pojem velikosti vektorů a odchylku vektorů zavedli na konci třetí kapitoly této části. Ně- kolikrát jsme také nejen v geometrii roviny se vzdálenostmi pracovali, viz třeba optimalizační výsledek o neřešitelných systémech lineárních rovnic a pseudoinverz- ních maticích ve Větě 3.30. Asi proto dobře tušíme, jak se s problémem vypořádat: 4.13. Definice. Standardní bodový euklidovský prostor En je afinní prostor An, jehož zaměřením je standardní euklidovský prostor Rn se skalárním součinem x, z = xT y. Kartézská souřadná soustava je afinní souřadná soustava (A0; u) s ortonormální bazí u. Vzdálenost bodů A, B En definujeme jako velikost vektoru B - A , budeme ji značit (A, B). Euklidovské podprostory v En jsou afinní podprostory jejichž zaměření uvažujeme spolu se zúženými skalárními součiny. Bodovým euklidovským prostorem E pak obecně rozumíme afinní prostor, jehož zaměření je euklidovský vektorový prostor. Pojem kartézské souřadné soustavy má opět jasný smysl. Každá volba takové souřadné soustavy ovšem zadává ztotožnění E se standardním prostorem En. Proto se budeme v dalším, bez újmy na obecnosti, zabývat hlavně standardními euklidovskými prostory a jejich podprostory. Opět si napřed uvedeme několik jednoduchých tvrzení o euklidovských prosto- rech. K jejich formulaci i důkazům se ale musíme zamyslet nad standardními vztahy mezi velikostmi vektorů, které podobně jako v rovinné geometrii platí obecně: 4.12 4.14. Věta. Pro každé vektory u a v, které leží v reálném vektorovém prostoru V se skalárním součinem, platí (1) u+v u + v (trojúhelníková nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (2) |u v| u v (Cauchyova nerovnost). Přitom rovnost nastane právě, když jsou u a v lineárně závislé. (3) pro každý ortonormální systém vektorů (e1, . . . , ek) platí u 2 |u e1|2 + + |u ek|2 (Besselova nerovnost). (4) Pro ortonormální systém vektorů (e1, . . . , ek) je u e1, . . . , ek právě když u 2 = |u e1|2 + + |u ek|2 (Parsevalova rovnost). (5) Pro ortonormální systém vektorů (e1, . . . , ek) a u V je vektor w = (u e1)e1 + + (u ek)ek jediným vektorem, který minimalizuje velikost u-v pro všechny v e1, . . . , ek . 106 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Důkaz. Všechny důkazy spočívají v podstatě v přímých výpočtech: (2): Definujme vektor w := u - uv vv v, tzn. w v a počítejme 0 w 2 = u 2 - (u v) v 2 (u v) - u v v 2 (v u) + (u v)(u v) v 4 v 2 0 w 2 v 2 = u 2 v 2 - 2(u v)(u v) + (u v)(u v) Odtud již přímo plyne, že u 2 v 2 |u v|2 a rovnost nastane právě tehdy, když w = 0, tj. když jsou u a v lineárně závislé. (1): Opět stačí počítat u + v 2 = u 2 + v 2 + u v + v u = u 2 + v 2 + 2u v u 2 + v 2 + 2|u v| u 2 + v 2 + 2 u v = ( u + v )2 Protože se přitom jedná o kladná reálná čísla, je opravdu u+v u + v . Navíc, při rovnosti musí nastat rovnost ve všech předchozích nerovnostech, to však je ekvivalentní podmínce, že u a v jsou lineárně závislé (podle předchozí části důkazu). (3), (4): Nechť (e1, . . . , ek) je ortonormální systém vektorů. Doplníme jej do orto- normální báze (e1, . . . , en). Pak je pro každý vektor u V u 2 = n i=1 (u ei)(u ei) = n i=1 |u ei|2 k i=1 |u ei|2 . To je ale právě dokazovaná Besselova nerovnost. Přitom rovnost může nastat právě tehdy, když u ei = 0 pro všechny i > k, a to dokazuje Parsevalovu rovnost. (5): Zvolme libovolný v e1, . . . , ek a doplňme daný ortonormální systém na ortonormální bázi (e1, . . . , en). Nechť (u1, . . . , un) a (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0) jsou po řadě souřadnice u a v v této bázi. Pak u - v 2 = |u1 - x1|2 + + |uk - xk|2 + |uk+1|2 + + |un|2 a tento výraz je zjevně minimalizován při volbě x1 = u1, . . . , xk = uk. Nyní již dostáváme jednoduché důsledky pro euklidovskou geometrii: 4.13 4.15. Věta. Pro body A, B, C En platí (1) (A, B) = (B, A) (2) (A, B) = 0 právě, když A = B (3) (A, B) + (B, C) (A, C) (4) V každé kartézké souřadné soustavě (A0; e) mají body A = A0 + a1e1 + + anen, B = A0 + b1e1 + + bnen vzdálenost n i=1(ai - bi)2. (5) Je­li dán bod A a podprostor Q v En, pak existuje bod P Q minimalizující vzdálenosti bodů Q od A. Vzdálenost bodů A a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do Z(Q) pro libovolný B Q. (6) Obecněji, pro podprostory R a Q v En existují bod P Q a Q R minimalizu- jící vzdálenosti bodů B Q a A R. Vzdálenost bodů Q a P je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A-B do Z(Q) pro libovolné body B Q a A R. 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 107 Důkaz. První tři vlastnosti vyplývají přímo z vlastností velikosti vektorů v prostorech se skalárním součinem, čtvrtá plyne přímo z vyjádření skalárního součinu v libovolné ortonormální bázi. Podívejme se na vztah pro minimalizaci vzdleností (A, B) pro B Q. Vektor A - B se jednoznačně rozkládá na A - B = u1 + u2, u1 Z(Q), u2 Z(Q) . Přitom u2 nezávisí na volbě B Q, P = A + (-u2) = B + u1 Q a A - B 2 = u1 2 + u2 2 u2 2 = A - P . Odtud již vyplývá, že infima je skutečně dosaženo, a to pro bod P. Vypočtená vzdálenost je skutečně u2 . Obecný výsledek se dokáže zcela obdobně. 4.16. Vzdálenost přímek. Určete vzdálenost přímek v R3 . p : [1, -1, 0] + t(-1, 2, 3), a q : [2, 5, -1] + t(-1, -2, 1). Řešení. Vzdálenost je dána jako velikost kolmého průmětu libovolné příčky (spoj- nice) daných přímek do ortogonálního doplňku vektorového podprostoru genero- vaného jejich zaměřeními. Tento ortogonální doplňek zjistíme například pomocí vektorového součinu: (-1, 2, 3), (-1, -2, 1) = (-1, 2, 3) × (-1, -2, 1) = (8, -2, 4) = (4, -1, 2) . Spojnicí daných přímek je například úsečka [1, -1, 0][2, 5, -1], promítneme tedy vektor [1, -1, 0] - [2, 5, -1] = (-1, -6, 1). Pro vzdálenost přímek pak dostáváme: (p, q) = |(-1, -6, 1) (4, -1, 2)| (4, -1, 2) = 4 21 . Stejně jako vzdálenost, i řada dalších geometrických pojmů jako odchylky, ori- entace, objem apod. je v bodových prostorech En zaváděna prostřednictvím vhod- ných pojmů ve vektorových euklidovských prostorech. Proto se nyní budeme chvíli věnovat opět reálným unitárním prostorům. Začneme s diskusí velikosti úhlů. Z Cauchyovy nerovnosti plyne 0 |uv| u v 1, má tedy smysl následující definice. 4.17. Definice. Odchylka (u, v) vektorů u, v V v reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem je dána vztahem cos (u, v) = u v u v , 0 (u, v) 2. Jak jsme viděli, v rovině R2 pro (obvyklou) odchylku vektorů na jednotkové kružnici u = (1, 0), v = (cos , sin ) skutečně platí cos = uv u v . Protože od- chylka je nezávislá na velikostech vektorů, platí stejný vztah i pro vektory u = (x1, 0), v = (a cos , a sin ). Protože vhodnou rotací dosáhneme toho, že jeden z dvojice vektorů má tvar (x1, 0), platí náš vztah zcela obecně v rovině. Ve víceroz- měrných prostorech je odchylka dvou vektorů vždy měřena v rovině, kterou tyto vektory generují (nebo je nula), jistě tedy náš definiční vztah odpovídá zvyklostem ve všech dimenzích. V libovolném reálném vektorovém prostoru se skalárním součinem přímo z de- finic plyne u - v 2 = u 2 + v 2 - 2(u v) = u 2 + v 2 - 2 u v cos (u, v). To je tzv. kosinová věta. 108 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Dále platí pro každou ortonormální bázi e a u V vztah u 2 = i |u ei|2 , tj. 1 = i (cos (u, ei))2 , což je obvyklé tvrzení o směrových kosinech (u, ei) vektoru u. Z definice odchylek vektorů nyní můžeme dovodit rozumné definice pro obecné podprostory v každém euklidovském vektorovém prostoru. 4.18. Definice. Nechť U1, U2 jsou podprostory v euklidovském prostoru V . Od- chylka podprostorů U1, U2 je reálné číslo = (U1, U2) [0, 2 ] splňující: (1) Je-li dim U1 = dim U2 = 1, U1 = u , U2 = v , pak cos = |u.v| u v . (2) Jsou-li dimenze U1, U2 kladné a U1 U2 = {0}, pak je odchylka minimem všech odchylek jednorozměrných podprostorů = min{( u , v ); 0 = u U1, 0 = v U2}. Ukážeme v zápětí, že takové minimum skutečně vždy existuje. (3) Je-li U1 U2 nebo U2 U1 (zejména je-li jeden z nich nulový), je = 0. (4) Je-li U1 U2 = {0} a U1 = U1 U2 = U2, pak = (U1 (U1 U2) , U2 (U1 U2) ). Odchylka podprostorů Q1, Q2 v bodovém euklidovském prostoru En se definuje jako odchylka jejich zaměření Z(Q1), Z(Q2). Všimněme si, že odchylka je vždy dobře definována, zejména v posledním pří- padě je (U1 (U1 U2) ) (U2 (U1 U2) ) = {0} můžeme tedy opravdu odchylku určit podle bodu (2). Všimněme si také, že v pří- padě U1 U2 = {0}, jsou U1 a U2 kolmé podle našich dřívějších definic právě, když jejich odchylka je /2. Pokud však mají netriviální průnik, nemohou být kolmé v dřívějším smyslu. Ke korektosti definice zbývá ukázat, že ve skutečnosti vždy existují vektory u U1, v U2, pro které nabývá výraz pro odchylku požadovaného minima. Nejdříve speciální případ: 4.19. Lemma. Nechť v je vektor v euklidovském prostoru V a U V libovolný podprostor. Označme v1 U, v2 U (jednoznačně určené) komponenty vektoru v, tj. v = v1 + v2. Pak pro odchylku podprostoru generovaného v od U platí cos ( v , U) = cos ( v , v1 ) = v1 v . Důkaz. Pro všechny u U platí |u v| u v = |u (v1 + v2)| u v = |u v1| u v u v1 u v = v1 v = v1 2 v v1 = |v1 v| v v1 . 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 109 Odtud plyne cos ( v , u ) cos ( v , v1 ) = v1 v a protože funkce cos je na intervalu [0, 2 ] klesající, je tvrzení dokázané. 4.20. Výpočet odchylek. Uvažujme dva podprostory U1, U2 v euklidovském prostoru V , U1 U2 = {0} a zvolme pevně ortonormální báze e, a e tak, aby U1 = e1, . . . , ek , U2 = e1, . . . , el . Nechť je kolmý průmět na U2, jeho zúžení na U1 budeme opět značit : U1 U2. Zobrazení : U2 U1 nechť vznikne podobně z kolmého průmětu na U1. Tato zobrazení mají v bazích (e1, . . . , ek) a (e1, . . . , el) matice A = 0 B @ e1 e1 . . . ek e1 ... ... e1 el . . . ek el 1 C A , B = 0 B @ e1 e1 . . . el e1 ... ... e1 ek . . . el ek 1 C A Zejména platí B = AT . Složené zobrazení : U1 U1 má tedy symetrickou matici AT A. Viděli jsme, že každé takové zobrazení má pouze nezáporná reálná vlastní čísla a že má ve vhodné ortonormální bázi diagonální matici s těmito vlastními čísly na diagonále, viz 3.21­3.23. Nyní můžeme odvodit obecný postup pro výpočet odchylky = (U1, U2). Věta. V předchozím označení nechť je největší vlastní hodnota matice AT A. Pak cos2 = Důkaz. Nechť u U1 je vlastní vektor zobrazení příslušný největší vlastní hodnotě , 1, . . . , k nechť jsou všechna vlastní čísla (včetně násobnosti) a nechť u = (u1, . . . , un) je příslušná ortonormální báze U1 z vlastních vektorů. Můžeme přímo před- pokládat, že = 1, u = u1. Potřebujeme ukázat, že odchylka libovolného v U1 od U2 je nejméně tak velká jako odchylka u od U2. Tzn. že kosinus příslušného úhlu nesmí být větší. Podle předchozího lemmatu stačí diskutovat odchylku u a (u) U2 a přitom víme, že u = 1. Zvolme tedy v U1, v = a1u1 + + akuk, Pk i=1 a2 i = v 2 = 1. Pak (v) 2 = (v) (v) = (v) v (v) v = (v) . Předchozí lemma navíc dává i vzorec pro odchylku vektoru v od U2 cos = (v) v = (v) . Protože jsme zvolili za 1 největší z vlastních hodnot, dostáváme (cos )2 = (v) 2 (v) = v u u t kX i=1 (iai)2 = = v u u t2 1 + kX i=1 a2 i (2 i - 2 1) q 2 1. Při v = u dostáváme ovšem přesně (v) 2 = 2 1 v 2 = 2 a tedy odchylka dosahuje pro tento vektor minimální možné hodnoty. Tím je věta dokázána. 110 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4.21. Příklady standardních úloh. 1. Najděte vzdálenost bodu A En od pod- prostoru Q En: Viz. věta 4.15. 2. V E2 veďte bodem A přímku q svírající s danou přímkou p daný úhel: Najdeme vektor u R2 ležící v zaměření přímky q a zvolíme vektor v mající od u zadanou odchylku. Hledaná přímka je dána bodem A a zaměřením v . Úloha má dvě nebo jedno řešení. 3. Spočtěte patu kolmice vedené bodem na danou přímku: Viz. důkaz předposledního bodu věty 4.15. 4. V E3 určete vzdálenost dvou přímek p, q: Zvolíme libovolně jeden bod z každé přímky, A p, B q. Komponenta vektoru A - B v ortogonálním doplňku (Z(p) + Z(q)) má velikost rovnu vzdálenosti p a q. 5. V E3 najděte osu dvou mimoběžek p a q: Nechť je rovina generovaná jedním bodem A p a součtem Z(p) + (Z(p) + Z(q)) . Pak průnik q spolu se zaměřením (Z(p) + Z(q)) dávají parametrický popis hledané osy. (Prověřte, kolik má úloha obecně řešení!) 4.22. Příklad. Najděte průnik kolmé roviny spuštěné z bodu A = [1, 2, 3, 4] R4 na rovinu : [1, 0, 1, 0] + (1, 2, -1, -2)s + (1, 0, 0, 1)t, s, t R. Řešení. Nalezněme nejprve kolmou rovinu k . Její zaměření bude kolmé na zamě- ření , pro vektory (a, b, c, d) patřící do jejího zaměření dostáváme tedy soustavu rovnic (a, b, c, d) (1, 2, -1, -2) = 0 a + 2b - c - 2d = 0 (a, b, c, d) (1, 0, 0, 1) = 0 a + d = 0. Jejím řešením je dvojdimenzionální vektorový prostor (0, 1, 2, 0), (-1, 0, -3, 1) . Rovina kolmá k rovině procházející bodem A má tedy parametrické vyjádření : [1, 2, 3, 4] + (0, 1, 2, 0)u + (-1, 0, -3, 1)v, u, v R. Průnik rovin potom můžeme získat pomocí obou parametrických vyjádření. Pro parametry popisující průnik tedy dostáváme soustavu rovnic: 1 + s + t = 1 - v 2s = 2 + u 1 - s = 3 + 2u - 3v -2s + t = 4 + v, která má jediné řešení (musí tomu tak být, protože sloupce matice soustavy jsou dány lineárně nezávislými vektory zaměření obou rovin) s = -8/19, t = 34/19, u = -54/19, v = -26/19. Dosazením hodnot parametrů s a t do parametrického vyjádření roviny pak dostaneme souřadnice průniku [45/19, -16/19, 11/19, 18/19] (stejný výsledek pochopitelně obdržíme, dosadíme-li hodnoty parametrů u a v do parametrického vyjádření roviny ). 4.23. Příklad. Bodem [1, 2] R2 veďte přímku, která má odchylku 30 od přímky p : [0, 1] + t(1, 1). 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 111 Řešení. Odchylka dvou přímek je dána úhlem, který svírají jejich směrové vektory. Stačí tedy najít směrový vektor v hledané přímky. Ten získáme například rotací směrového vektoru přímky p o 30 . Matice rotace o 30 je cos 30 - sin 30 sin 30 cos 30 = 3 2 -1 2 1 2 3 2 . Hledaný vektor v je tedy v = 3 2 -1 2 1 2 3 2 1 1 = 3 2 - 1 2 3 2 + 1 2 . Rotovat jsme mohli i v opačném smyslu. Hledaná přímka (jedna ze dvou možných) má tedy parametrické vyjádření [1, 2] + ( 3 2 - 1 2 , 3 2 + 1 2 )t. 4.24. Příklad. Příklad. Určete cos , kde je odchylka dvou sousedních stěn pravidelného osmistěnu (těleso, jehož stěny tvoří osm rovnostranných trojúhelníků). Řešení. Odchylky libovolných dvou sousedních stěn jsou ze symetrie osmistěnu shodné. Rovněž tak nezáleží na jeho velikosti. Uvažujme osmistěn s délkou hrany 1, který je umístěn do standardní kartézské souřadné soustavy v R3 tak, že jeho těžiště je v bodě [0, 0, 0]. Jeho vrcholy jsou pak v bodech A = [ 2 2 , 0, 0], B = [0, 2 2 , 0], C = [- 2 2 , 0, 0], D = [0, - 2 2 , 0], E = [0, 0, - 2 2 ] a F = [0, 0, 2 2 ]. Určeme odchylku stěn CDF a BCF. Ta je dána odchylkou vektorů kolmých na jejich průnik a ležících v daných stěnách, tedy vekorů kolmých na CF. Těmi jsou vektory dané výškami z bodů D, resp. F na stranu CF v trojúhelnících CDF, resp. BCF. Výšky v rovostranném trojúhelníku splývají s těžnicemi, jedná se tedy o úsečky SD a SB, kde S je střed strany CF. Protože známe souřadnice bodů C a F, má bod S souřadnice [- 2 4 , 0, 2 4 ] a pro vektory máme SD = ( 2 4 , - 2 2 , - 2 4 ) a SB = ( 2 4 , 2 2 , - 2 4 ). Celkem cos = ( 2 4 , - 2 2 , - 2 4 ) ( 2 4 , 2 2 , - 2 4 ) ( 2 4 , - 2 2 , - 2 4 ) ( 2 4 , 2 2 , - 2 4 ) = - 1 3 . Je tedy . = 132 . 4.21 4.25. Počítání objemu. Orientovaný (bodový) euklidovský prostor je euklidov- ský bodový prostor, jehož zaměření je orientované. V dalším budeme uvažovat standardní En spolu s orientací zadanou standardní bazí Rn . Nechť u1, . . . , uk, jsou libovolné vektory v zaměření Rn , A En je libovolný bod. Rovnoběžnostěn Pk(A; u1, . . . , uk) En jsme definovali jako množinu Pk(A; u1, . . . , uk) = {A + c1u1 + + ckuk; 0 ci 1, i = 1, . . . , k}. Jsou-li vektory u1, . . . , uk nezávislé, hovořili jsme o k­rozměrném rovnoběžnostěnu Pk(A; u1 . . . , uk) En. Pro dané vektory u1, . . . , uk máme k dispozici také rovno- běžnostěny menších dimenzí P1(A; u1), . . . , Pk(A; u1, . . . , uk) 112 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE v euklidovských podprostorech A + u1 , . . . , A + u1, . . . , uk . Jsou-li u1, . . . , uk lineárně závislé definujeme objem Vol Pk = 0. Pro nezávislé vektory pak platí u1, . . . , uk = u1, . . . , uk-1 ( u1, . . . , uk-1 u1, . . . , uk ). Navíc v tomto rozkladu se uk jednoznačně vyjádří jako uk = uk + ek, kde ek u1, . . . , uk-1 . Absolutní hodnotu objemu definujeme induktivně: | Vol |P1(A; u1) = u1 | Vol |Pk(A; u1, . . . , uk) = ek | Vol |P(A; u1, . . . , uk-1). Je-li u1, . . . , un báze kompatibilní s orientací V , definujeme (orientovaný) objem rovnoběžnostěnu Vol Pk(A; u1, . . . , un) = | Vol |Pk(A; u1, . . . , un), v opačném pří- padě klademe Vol Pk(A; u1, . . . , un) = -| Vol |Pk(A; u1, . . . , un). Věta. Nechť Q En je euklidovský podprostor a nechť (e1, . . . , ek) je jeho ortonor- mální báze. Pak pro libovolné vektory u1, . . . , uk Z(Q) a A Q platí (1) Vol Pk(A; u1, . . . , uk) = det u1 e1 . . . uk e1 ... ... u1 ek . . . uk ek (2) (Vol Pk(A; u1, . . . , uk))2 = det u1 u1 . . . uk u1 ... ... u1 uk . . . uk uk Důkaz. Matice A = 0 B @ u1 e1 . . . uk e1 ... ... u1 ek . . . uk ek 1 C A má ve sloupcích souřadnice vektorů u1, . . . , uk ve zvolené ortonormální bázi. Platí |A|2 = |A||A| = |AT ||A| = |AT A| = det 0 B @ u1 u1 . . . uk u1 ... ... u1 uk . . . uk uk 1 C A . Přímo z definice je neorientovaný objem roven součinu v1 v2 . . . vk , kde v1 = u1, v2 = u2 + a2 1v1, . . . , vk = uk + ak 1 v1 + + ak k-1vk-1 je výsledek Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu. Je tedy (Vol Pk(A; u1, . . . , uk))2 = det 0 B @ v1 v1 . . . vk v1 ... ... v1 vk . . . vk vk 1 C A = det 0 B @ v1 v1 0 . . . 0 ... ... 0 0 . . . vk vk 1 C A . Označme B matici jejíž sloupce jsou souřadnice vektorů v1, . . . , vk v bázi e. Protože v1, . . . , vk vznikly z u1, . . . , uk jako obrazy v lineární transformaci s horní trojúhelníko- vou maticí C s jedničkami na diagonále, je B = CA a |B| = |C||A| = |A|. Pak ovšem |A|2 = |B|2 = |A||A|, proto Vol Pk(A; u1, . . . , uk) = |A|. Přitom pokud jsou vektory u1, . . . , uk závislé vyjde objem nulový, pokud jsou nezávislé, pak znaménko determinantu je kladné právě když je báze u1, . . . , uk kompatibilní s orientací danou bazí e. 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 113 Determinant det u1 u1 . . . uk u1 ... ... u1 uk . . . uk uk se nazývá Grammův determinant k­tice vektorů u1, . . . , uk. V geometrické formu- laci dostáváme jako velice důžitý důsledek následující tvrzení: 4.26. Důsledek. Pro každé lineární zobrazení : V V euklidovského vekto- rového prostoru V je det roven (orientovanému) objemu obrazu rovnoběžnostěnu určeného vektory ortonormální báze. Obecněji, obraz rovnoběžnostěnu P určeného libovolnými dim V vektory má objem roven det ­násobku původního objemu. 4.27. Příklad. Jsou dány vektory u = (u1, u2, u3) a v = (v1, v2, v3). Doplňte je třetím jednotkovým vektorem tak, aby rovnoběžnostěn daný těmito třemi vektory měl co největší objem. Řešení. Označme hledaný jednotkový vektor jako t = (t1, t2, t3). Podle Tvrzení ?? je objem rovnoběžnostěnu P3(0; u, v, t) dán jako abolutní hodnota determinantu u1 v1 t1 u2 v2 t2 u3 v3 t3 = t1 t2 t3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 = t (u × v) t u × v = u × v . Použité znaménko nerovnosti vyplývá z Cauchyovy nerovnosti, přičemž víme, že rovnost nastává právě pro t = c(u × v), c R. Velikost objemu hledaného rovno- běžnostěnu tedy může být maximálne rovna velikosti obsahu rovnoběžníka daného vektory u, v (tj. velikosti vektoru (u × v)). Rovnost nastane právě když t = (u × v) (u × v) . 4.28. Vnější a vektorový součin vektorů. Předchozí úvahy úzce souvisí s tzv. vnějším tensorovým součinem vektorů. Nepůjdeme do této technicky poněkud ne- přehledné oblasti, ale zmíníme alespoňpřípad vnějšího součinu n = dim V vektorů u1, . . . , un V . Nechť (u1j, . . . , unj) jsou souřadná vyjádření vektorů uj v nějaké pevně zvolené ortonormální bázi V a M nechť je matice s prvky (uij). Pak determinant |M| nezá- visí na volbě báze a jeho hodnotu nazýváme vnějším součinem vektorů u1, . . . , un a značíme [u1, . . . , un]. Viz 4.25. Přímo z definice nyní vyplývají užitečné vlastnosti vnějšího součinu (1) Zobrazení (u1, . . . , un) [u1, . . . , un] je antisymetrické n­lineární zobrazení. Tzn., že je lineární ve všech argumentech a výměna dvou argumentů se vždy projeví změnou znaménka výsledku. (2) Vnější součin je nulový právě, když jsou vektory u1, . . . , un lineárně závislé (3) Vektory u1, . . . , un tvoří kladnou bázi právě, když je jejich vnější součin kladný. V R3 patrně již známe další významnou operaci, tzv. vektorový součin, který dvojici vektorů přiřazuje vektor třetí. Uvažme obecný euklidovský vektorový pro- stor V dimenze n 2 a vektory u1, . . . , un-1 V . Vektor v V nazveme vektorový součin vektorů u1, . . . , un-1, jestliže pro každý vektor w V platí v, w = [u1, . . . , un-1, w]. 114 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Značíme v = u1 × . . . un-1. V ortonormálních souřadnicích, kde v = (y1, . . . , yn)T , w = (x1, . . . , xn)T a uj = (u1j, . . . unj)T , předchozí vztah znamená y1x1 + + ynxn = u11 . . . u1(n-1) x1 ... ... ... un1 . . . un(n-1) xn Odtud vyplývá, že vektor v je tímto vztahem zadán jednoznačně a jeho souřadnice spočteme formálním rozvojem tohoto determinantu podle posledního sloupce. Věta. Pro vektorový součin v = u1 × . . . × un-1 platí (1) v u1, . . . , un-1 (2) v je nenulový vektor právě, když jsou vektory u1, . . . , un-1 lineárně nezávislé (3) velikost v vektorového součinu je rovna absolutní hodnotě objemu rovnoběž- níku P(0; u1, . . . , un-1) (4) (u1, . . . , un-1, v) je kladná báze orientovaného euklidovského prostoru V Důkaz. První tvrzení plyne přímo z definičního vztahu pro v, protože dosa- zením libovolného vektoru uj za w máme nalevo skalární součin v uj a napravo determinant s dvěma shodnými sloupci. Hodnost matice s n - 1 sloupci uj je dána maximální velikostí nenulového minoru. Minory, které zadávají souřadnice vektorového součinu jsou stupně n - 1 a tím je dokázáno tvrzení (2). Jsou-li vektory u1, . . . , un-1 závislé, pak platí i (3). Nechť jsou tedy nezávislé, v je jejich vektorový součin a zvolme libovolnou ortonormální bázi (e1, . . . , en-1) pro- storu u1, . . . , un-1 . Z již dokázáného vyplývá, že existuje nějaký násobek (1/)v, 0 = R, takový, že (e1, . . . , ek, (1/)v) je ortonormální báze celého V . Souřadnice našich vektorů v této bázi jsou uj = (u1j, . . . , u(n-1)j, 0)T , v = (0, . . . , 0, )T . Proto je vnější součin [u1, . . . , un-1, v] roven (viz. definice vektorového součinu) [u1, . . . , un-1, v] = u11 . . . u1(n-1) 0 ... ... ... u(n-1)1 . . . u(n-1)(n-1) 0 0 . . . 0 = v, v = 2 . Rozvojem determinantu podle posledního sloupce zároveň obdržíme 2 = Vol P(0; u1, . . . , in-1). Odtud už vyplývají obě zbylá tvrzení věty. 4.29. Kvadratické formy. Závěrem zmíníme ještě pár poznámek o objektech v En zadaných kvadratickými rovnicemi, hovoříme o kvadrikách. Zvolme v En pevně kartézskou souřadnou soustavu (tj. bod a ortonormální bázi zaměření) a uvažme obecnou kvadratickou rovnici pro souřadnice (x1, . . . , xn) bodů A En n i,j=1 aijxixj + n i=1 2aixi + a = 0, aij = aji. Můžeme ji zapsat jako f(u) + g(u) + a = 0 pro kvadratickou formu f (tj. zúžení symetrické bilineární formy F na dvojice stejných argumentů), lineární formu g a 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 115 skalár a R a předpokládáme že hodnost f je nenulová (jinak by se jednalo o lineární rovnici popisující euklidovský podprostor). Začněme s kvadratickou částí, tj. bilineární symetrickou formou f : Rn ×Rn R. Stejně dobře můžeme přemýšlet o obecné symetrické bilineární formě na libovol- ném vektorovém prostoru. Pro libovolnou bázi na tomto vektorovém prostoru bude hodnota f(x) na vektoru x = x1e1 + + xnen dána vztahem f(x) = F(x, x) = i,j xixjF(ei, ej) = xT A x kde A = (aij) je symetrická matice s prvky aij = F(ei, ej). Takovýmto zobrazením f říkáme kvadratické formy a výše uvedená formula pro hodnotu formy s použitím zvolených souřadnic se nazývá analytický tvar formy. Jestliže změníme bázi ei na jinou bázi e1, . . . , en, dostaneme pro stejný vektor jiné souřadnice x = S x a tedy f(x) = (S x )T A (S x ) = (x )T (ST A S) x . Předpokládejme opět, že je na našem vektorovém prostoru zadán skalární součin. Předchozí výpočet pak můžeme shrnout slovy, že matice bilineární formy F a tedy i kvadratické formy f se transformuje při změně souřadnic způsobem, který pro or- togonální změny souřadnic splývá s transformací matic zobrazení (skutečně, pak je S-1 = ST ). Tento výsledek můžeme intepretovat také jako následující pozorování: Tvrzení. Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak vztah F, F(u, u) = (u), u zadává bijekci mezi symetrickými lineárními zobrazeními a kvadratickými formami na V . 4.30. Euklidovská klasifikace kvadrik. Z poslední věty vyplývá okamžitý dů- sledek, že pro každou kvadratickou formu f existuje ortonormální báze zaměření, ve které má f diagonální matici (a diagonální hodnoty jsou jednoznačně určeny až na pořadí). Předpokládejme tedy přímo rovnici ve tvaru n i=1 ix2 i + n i=1 bixi + b = 0. V dalším kroku pro souřadnice xi s i = 0 provedeme doplnění do čtverců, které ,,pohltí kvadráty i lineární členy týchž neznámých (tzv. Lagrangeův algoritmus, viz poznámka níže) Tak nám zůstanou nejvýše ty neznámé, pro které byl jejich koeficient u kvadrátu nulový, a získáme tvar n i=1 i(xi - pi)2 + n j splňující j = 0 bjxj + c = 0. Pokud nám opravdu zůstaly nějaké lineární členy, můžeme zvolit novou bázi zamě- ření tak, aby odpovídající lineární forma byla prvkem duální báze a novou volbou počátku v En pak dosáhneme výsledného tvaru k i=1 iy2 i + byk+1 + c = 0, kde k je hodnost kvadratické formy f, lineární člen se může (ale nemusí) objevit jen pokud je hodnost f menší než n, c R může být nenulové pouze když je b = 0. 116 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4.31. Případ E2. Proveďme celou diskusi ještě jednou pro nejjednodušší případ netriviální dimenze. Původní rovnice má tvar a11x2 + a22y2 + 2a12xy + a1x + a2y + a = 0. Volbou vhodné báze zaměření a následným doplněním čtverců dosáhneme tvaru (opět používáme stejného značení x, y pro nové souřadnice): a11x2 + a22y2 + a1x + a2y + a = 0 kde ai může být nenulové pouze v případě, že aii je nulové. Posledním krokem obecného postupu, tj. v dimenzi n = 2 jen případnou volbou posunutí, dosáhneme právě jedné z rovnic: 0 = x2 /a2 + y2 /b2 + 1 prázdná množina 0 = x2 /a2 + y2 /b2 - 1 elipsa 0 = x2 /a2 - y2 /b2 - 1 hyperbola 0 = x2 /a2 - 2py parabola 0 = x2 /a2 + y2 /b2 bod 0 = x2 /a2 - y2 /b2 2 různoběžné přímky 0 = x2 - a2 2 rovnoběžné přímky 0 = x2 2 splývající přímky 0 = x2 + a2 prázdná množina 4.32. Afinní pohled. V předchozích dvou odstavcích jsme hledali podstatné vlast- nosti a standardizované analytické popisy objektů zadávaných v euklidovských pro- storech kvadratickými rovnicemi. Hledali jsme přitom co nejjednodušší rovnice v mezích daných volností výběru kartézských souřadnic. Geometrická formulace na- šeho výsledku pak může být taková, že pro dva různé objekty ­ kvadriky, zadané v obecně různých kartézských souřadnicích, existuje euklidovská transformace na En (tj. afinní bijektivní zobrazení zachovávající velikosti) tehdy a jen tehdy, pokud výše uvedený algoritmus vede na stejný analytický tvar, až na pořadí souřadnic. Pochopitelně se můžeme ptát, do jaké míry umíme podobnou věc v afinních prostorech, tj. s volností výběru jakékoliv afinní souřadné soustavy. Např. v rovině to bude znamenat, že neumíme rozlišit kružnici od elipsy, samozřejmě bychom ale měli odlišit hyperbolu a všechny ostatní typy kuželoseček. Hlavně ale splynou mezi sebou všechny hyperboly atd. Ukážeme si hlavní rozdíl postupu na kvadratických formách a k záležitosti se pak ještě vrátíme níže. Uvažme nějakou kvadratickou formu f na vektorovém prostoru V a její ana- lytické vyjádření f(u) = xT Ax vzhledem ke zvolené bázi na V . Pro vektor u = x1u1 + + xnun pak také zapisujeme formu f ve tvaru f(x1, n) = ij aijxixj, V předchozích odstavcích jsme již s využitím skalárního součinu ukázali, že pro vhodnou bázi bude matice A diagonální, tj. že pro příslušnou symetrickou formu F bude platit F(ui, uj) = 0 při i = j. Každou takovou bázi nazýváme polární báze kvadratické formy f. Samozřejmě si pro takový účel můžeme vždy skalární součin vybrat. Dokážeme si ale toto tvrzení znovu bez využití skalárních součinů tak, že získáme daleko jednodušší algoritmus na to, jak takovou polární bázi najít mezi 2. EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE 117 všemi bazemi. Tím se zároveň dovíme podstatné informace o afinních vlastnos- tech kvadratických forem. Nasledující věta bývá v literatuře uváděna pod názvem Lagrangeův algoritmus. Věta. Nechť V je reálný vektorový prostor dimenze n, f : V R kvadratická forma. Pak na V existuje polární báze pro f. Důkaz. (1) Nechť A je matice f v bázi u = (u1, . . . , un) na V a předpokládejme a11 = 0. Pak můžeme psát f(x1, . . . , xn) = a11x2 1 + 2a12x1x2 + + a22x2 2 + . . . = a-1 11 (a11x1 + a12x2 + + a1nxn)2 + členy neobsahující x1 Provedeme tedy transformaci souřadnic (tj. změnu báze) tak, aby v nových souřad- nicích bylo x1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxn, x2 = x2, . . . , xn = xn. To odpovídá nové bázi (spočtěte si jako cvičení příslušnou matici přechodu!) v1 = a-1 11 u1, v2 = u2 - a-1 11 a12u1, . . . , vn = un - a-1 11 a1nu1 a tak jak lze očekávat, v nové bázi bude příslušná symetrická bilinerání forma splňo- vat g(v1, vi) = 0 pro všechny i > 0 (přepočtěte!). Má tedy f v nových souřadnicích analytický tvar a-1 11 x1 2 + h, kde h je kvadratická forma nezávislá na proměnné x1. Z technických důvodů bývá lepší zvolit v nové bázi v1 = u1, opět dostaneme výraz f = f1 + h, kde f1 závisí pouze na x1, zatímco v h se x1 nevyskytuje. Přitom pak g(v1, v1) = a11. (2) Předpokládejme, že po provedení kroku (1) dostaneme pro h matici (řádu o jedničku menšího) s koeficientem u x2 2 různým od nuly. Pak můžeme zopakovat přesně stejný postup a získáme vyjádření f = f1 + f2 + h, kde v h vystupují pouze proměnné s indexem větším než dvě. Tak můžeme postupovat tak dlouho, až buď provedeme n-1 kroků a získáme diagonální tvar, nebo v řekněme i-tém kroku bude prvek aii dosud získané matice nulový. (3) Nastane-li poslední možnost, ale přitom existuje jiný prvek ajj = 0 s j > i, pak stačí přehodit i-tý prvek báze s j-tým a pokračovat podle předešlého postupu. (4) Předpokládejme, že jsme narazili na situaci ajj = 0 pro všechny j i. Pokud přitom neexistuje ani žádný jiný prvek ajk = 0 s j i, k i, pak jsme již úplně hotovi neboť jsme již dosáhli diagonální matici. Předpokládejme, že ajk = 0. Použijeme pak transformaci vj = uj + uk, ostatní vektory báze ponecháme (tj. xk = xk -xj, ostatní zůstávají). Pak h(vj, vj) = h(uj, uj)+h(uk, uk)+2h(uk, uj) = 2ajk = 0 a můžeme pokračovat podle postupu v (1). 4.33. Příklad. Nechť f : R3 R, f(x1, x2, x3) = 3x2 1 + 2x1x2 + x2 2 + 4x2x3 + 6x2 3. Její matice je A = 3 1 0 1 1 2 0 2 6 . 118 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Podle bodu (1) algoritmu provedeme úpravy f(x1, x2, x3) = 1 3 (3x1 + x2)2 + 2 3 x2 2 + 4x2x3 + 6x2 3 = 1 3 y2 1 + 3 2 ( 2 3 y2 + 2y3)2 = 1 3 z2 1 + 3 2 z2 2 a vidíme, že forma má hodnost 2 a matice přechodu do příslušné polární báze w se získá posbíráním provedených transformací: z3 = y3 = x3, z2 = 2 3 y2 + 2y3 = 2 3 x2 + 2x3, z1 = y1 = 3x1 + x2 Pokud by ale např. f(x1, x2, x3) = 2x1x3 + x2 2, tj. matice je A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , pak hned v prvním kroku můžeme přehodit proměnné: y1 = x2, y2 = x1, y3 = x3. Aplikace kroku (1) je pak triviální (nejsou tu žádné společné členy), pro další krok ale nastane situace z bodu (4). Zavedeme tedy transformaci z1 = y1, z2 = y2, z3 = y3 - y2. Pak f(x1, x2, x3) = z2 1 + 2z2(z3 + z2) = z2 1 + 1 2 (2z2 + z3)2 - 1 2 z2 3. Matici přechodu do příslušné polární báze opět dostaneme posbíráním jednotlivých transformací (tj. vynásobením jednotlivých dílčích matic přechodu). 4.34. Afinní klasifikace kvadratických forem. Po výpočtu polární báze Lagran- geovým algoritmem můžeme ještě vylepšit bázové vektory pomocí násobení skalá- rem tak, aby v příslušném analytickém vyjádření naší formy vystupovaly v roli koeficientů u kvadrátů jednotlivých souřadnic pouze skaláry 1, -1 a 0. Následující věta o setrvačnosti říká navíc, že počet jedniček a mínus jedniček nezávisí na našich volbách v průběhu algoritmu. Tyto počty nyzýváme signaturou kvadratické formy. Opět tedy dostáváme úplný popis kvadratických forem ve smyslu, že dvě takové formy jsou převoditelná jedna na druhou pomocí afinní transformace tehdy a jen tehdy, když mají stejnou signaturu. Věta. Pro každou nenulovou kvadratickou formu hodnosti r na reálném vektoro- vém prostoru V existuje celé číslo 0 p r a r nezávislých lineárních forem 1, . . . , r V takových, že f(u) = (1(u))2 + + (p(u))2 - (p+1(u))2 - - (r(u))2 . Jinak řečeno, existuje polární báze, ve které má f analytické vyjádření f(x1, . . . , xn) = x2 1 + + x2 p - x2 p+1 - - x2 r. Počet p kladných diagonálních koeficientů v matici dané kvadratické formy nezávisí na volbě polární báze. Dvě symetrické matice A, B dimenze n jsou maticemi téže kvadratické formy v různých bazích právě, když mají stejnou hodnost a když matice příslušných forem v polární bázi mají stejný počet kladných koeficientů. 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE 119 Důkaz. Lagrangeovým algoritmem obdržíme f(x1, . . . , xn) = 1x2 1 + + rx2 r, i = 0, v jisté bázi na V . Předpokládejme navíc, že právě prvních p koefi- cientů i je kladných. Pak transformace y1 = 1x1, . . . , yp = pxp, yp+1 = -p+1xp+1, . . . , yr = -rxr, yr+1 = xr+1, . . . , yn = xn již vede na požadovaný tvar. Formy i pak jsou právě formy z duální báze ve V k získané polární bázi. Musíme ale ještě ukázat, že p nezávisí na našem postupu. Přepokládejme, že se nám podařilo najít vyjádření téže formy f v polárních bazích u, v, tj. f(x1, . . . , xn) = x2 1 + + x2 p - x2 p+1 - - x2 r f(y1, . . . , yn) = y2 1 + + y2 q - y2 q+1 - - y2 r a označme podprostor generovaný prvními p vektory prvé báze P = u1, . . . , up , a obdobně Q = vq+1, . . . , vn . Pak pro každý u P je f(u) > 0 zatímco pro v Q je f(v) 0. Nutně tedy platí P Q = {0} a proto dim P +dim Q n. Odtud plyne p + (n - q) n, tj. p q. Opačnou volbou podprostorů však získáme i q p. Je tedy p nezávislé na volbě polární báze. Pak ovšem pro dvě matice se stejnou hodností a stejným počtem kladných koeficientů v diagonálním tvaru příslušné kvadratické formy získáme stejný analytický tvar. Při diskusi symetrických zobrazení jsme hovořili o definitních a semidefitních zobrazeních. Tatáž diskuse má jasný smysl i pro symetrické bilineární formy a kva- dratické formy. Kvadratickou formu f forma na reálném vektorovém prostoru V nazýváme (1) positivně definitní, je-li f(u) > 0 pro všechny u = 0 (2) positivně semidefinitní, je-li f(u) 0 pro všechny u V (3) negativně definitní, je-li f(u) < 0 pro všechny u = 0 (4) negativně semidefinitní, je-li f(u) 0 pro všechny u V (5) indefinitní, je-li f(u) > 0 a f(v) < 0 pro vhodné u, v V . Stejné názvy používáme i pro symetrické reálné matice, jsou-li maticemi patřič- ných kvadratických forem. Signaturou symetrické matice pak rozumíme signaturu příslušné kvadratické formy. 3. Projektivní geometrie V mnoha elementárních textech o analytické geometrii autoři končí afinními a euklidovskými objekty popsanými výše. Na mnoho praktických úloh euklidovská nebo afinní geometrie stačí, na jiné bohužel ale nikoliv. Tak třeba při zpracovávání obrazu z kamery nejsou zachovávány úhly a rovno- běžné přímky se mohou (ale nemusí) protínat. Dalším dobrým důvodem pro hledání širšího rámce geometrických úloh a úvah je požadovaná robustnost a jednoduchost numerických operací. Daleko jednodušší jsou totiž operace prováděné prostým ná- sobením matic a velice těžko se totiž od sebe odlišují malinké úhly od nulových, proto je lepší mít nástroje, které takové odlišení nevyžadují. Základní ideou projektivní geometrie je rozšíření afinních prostorů o body v nekonečnu způsobem, který bude dobře umožňovat manipulace s lineárními objekty typu bodů, přímek, rovin, projekcí, apod. 4.35. Projektivní rozšíření afinní roviny. Začneme tím nejjednodušším za- jímavým případem, geometrií v rovině. Jestliže si body roviny A2 představíme jako rovinu z = 1 v R3 , pak každý bod P naší afinní roviny představuje vektor 120 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE u = (x, y, 1) R3 a tím i jednorozměrný podprostor u R3 . Naopak, skoro každý podprostor v R3 protíná naši rovinu v právě jednom bodě P a jednotlivé vektory takového podprostoru jsou dány souřadnicemi (x, y, z) jednoznačně, až na společný skalární násobek. Žádný průnik s naší rovinou nebudou mít pouze pod- prostory s body o souřadnicích (x, y, 0). Projektivní rovina P2 je množina všech jednorozměrných podprostorů v R3 . Homogenní souřadnice bodu P = (x : y : z) v projektivní rovině jsou trojice reálných čísel určené až na společný skalární násobek a alespoň jedno z nich musí být nenulové. Přímka v projektivní rovině je definována jako množina jednorozměrných podprostorů (tj. bodů v P2) Příklad. V afinním prostoru R2 uvažujme dvě přímky L1 : y - x - 1 = 0 a L2 : y - x + 1 = 0. Jestliže budeme body přímek L1 a L2 chápat jako konečné body v projektivním prostoru P2, budou zjevně jejich homogenní souřadnice (x : y : z) splňovat rovnice L1 : y - x - z = 0, L2 : y - x + z = 0. Podívejme se, jak budou rovnice těchto přímek vypadat v souřadnicích v afinní ro- vině, která bude dána jako y = 1. Za tím účelem stačí dosadit y = 1 do předchozích rovnic: L1 : 1 - x - z = 0, L2 : 1 - x + z = 0 Nyní jsou ,,nekonečné body naší původní afinní roviny dány vztahem z = 0 a vidíme, že naše přímky L1 a L2 se protínají v bodě (1, 1, 0). To odpovídá geometrické představě, že rovnoběžné přímky L1, L2 v afinní rovině se protínají v nekonečnu (a to v bodě (1 : 1 : 0)). 4.36. Projektivní prostory a transformace. Postup z roviny se přirozeným způsobem zobecňuje na každou konečnou dimenzi. Volbou libovolné afinní nadro- viny An ve vektorovém prostoru Rn+1 , která neprochází počátkem, můžeme zto- tožnit body P An s jednorozměrnými podprostory, které tyto generují. Zbylé jednorozměrné podprostory vyplní rovinu rovnoběžnou s An a říkáme jim ,,neko- nečné body v projektivním rozšíření Pn afinní roviny An. Zjevně je vždy množina nekonečných bodů v Pn projektivním prostorem dimenze o jedničku nižším. Abs- traktněji hovoříme o projektivizaci vektorového prostoru: pro libovolný vektorový prostor V dimenze n + 1 definujeme P(V ) = {P V ; P je jednorozměrný vektorový podprostor}. Volbou libovolné báze u ve V dostáváme tzv. homogenní souřadnice na P(V ) tak, že pro P P(V ) použijeme jeho libovolný nenulový vektor u V a souřadnice tohoto vektoru v bázi u. Afinní přímka má tedy ve svém projektivním rozšíření pouze jediný bod (oba konce se ,,potkají v nekonečnu a projektivní přímka vypadá jako kružnice), projektivní rovina má projektivní přímku nekonečných bodů atd. Při zvolených homogenních souřadnicích je možné jednu z jejich hodnot zafixo- vat na jedničku (tj. vyloučíme všechny body projektivního prostoru s touto souřad- nicí nulovou) a získáme tak vložení n­rozměrného afinního prostoru An P(V ). To je přesně konstrukce, kterou jsme použili v opačném směru v příkladu projektivní roviny. Každé prosté lineární zobrazení : V1 V2 mezi vektorovými prostory samo- zřejmě zobrazuje jednorozměrné podprostory na jednorozměrné podprostory. Tím 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE 121 vzniká zobrazení na projektivizacích T : P(V1) P(V2). Takovým zobrazením ří- káme projektivní zobrazení. Jinak řečeno, projektivní zobrazení je takové zobrazení mezi projektivními prostory, že v každé soustavě homogenních souřadnic na definič- ním oboru i obrazu je toto zobrazení zadáno násobením vhodnou maticí. Obecněji, pokud naše pomocné lineární zobrazení není prosté, definuje projektivní zobrazení pouze mimo svoje jádro, tj. na bodech, jejichž homogenní souřadnice se nezobrazují na nulu. 4.37. Perspektivní projekce. Velmi dobře jsou výhody projektivní geometrie vidět na perspektivní projekci R3 R2 . Bod (X, Y, Z) ,,reálného světa se promítá na bod (x, y) na průmětně takto: x = -f X Z , y = -f Y Z . To je nejen nelineární formule, ale navíc při Z malém bude velice problematická přesnost výpočtů. Při rozšíření této transformace na zobrazení P3 P2 dostáváme zobrazení (X : Y : Z : W) (x : y : z) = (-fX : -fY : Z), tj. popsané prostou lineární formulí x y z = -f 0 0 0 0 -f 0 0 0 0 1 0 X Y Z W Tento jednoduchý výraz zadává perspektivní projekci pro všechny konečné body v R3 P3, které dosazujeme jako výrazy s W = 1. Navíc jsme odstranili problémy s body, jejichž obraz leží v nekonečnu. Skutečně, je­li Z-ová souřadnice skuteč- ného bodu scény blízká nule, bude hodnota třetí homogenní souřadnice obrazu mít souřadnici blízkou nule, tj. bude představovat bod blízký nekonečnu. 4.38. Afinní a projektivní transformace. Invertibilní projektivní zobrazení projektivního prostoru Pn na sebe odpovídají v homogenních souřadnicích inver- tibilním maticím dimenze n + 1. Dvě takové matice zadávají stejnou projektivní transformaci právě, když se liší o konstantní násobek. Jestliže si zvolíme první souřadnici jako tu, jejíž nulovost určuje nekonečné body, budou transformace, které zachovávají konečné body, dány maticemi, jejichž první řádek musí být až na první člen nulový. Jestliže budeme chtít přejít do afinních souřadnic konečných bodů, tj. zafixujeme si hodnotu první souřadnice na jedničku, musí být první prvek na prvním řádku být také rovný jedné. Matice projektivních transformací zachovávajících konečné body tedy mají tvar: 1 0 0 b1 a11 a1n ... ... bn an1 ann kde b = (b1, . . . , bn)T Rn a A = (aij) je invertibilní matice dimenze n. Působení takové matice na vektoru (1, x1, . . . , xn) je právě obecná afinní transformace. 122 4. ANALYTICKÁ GEOMETRIE 4.39. Projektivní klasifikace kvadrik. Závěrem ještě poznámka o složitějších objektech studovaných v afinní geometrii nejlépe prostřednictvím projektivních roz- šíření. Jestliže popíšeme kvadriku v afinních souřadnicích pomocí obecné kvadra- tické rovnice, viz výše, jejím přepsáním v homogenních souřadnicích dostaneme vždy výlučně homogenní výraz, jehož všechny členy jsou druhého řádu. Důvod je ten, že pouze takové homogenní výrazy budou mít pro homogenní souřadnice smysl nezávisle na zvoleném konstantním násobku souřadnic (x0, x1, . . . , xn). Hledáme tedy takový, jehož zúžením na afinní souřadnice, tj. dosazením x0 = 1, získáme pů- vodní výraz. To je ale mimořádně jednoduché, prostě dopíšeme dostatek x0 ke všem výrazům ­ žádny ke kvadratickým členům, jedno k lineárním a x2 0 ke konstantnímu členu. Získáme tak dobře definovanou kvadratickou formu na našem pomocném vek- torovém prostoru Rn+1 , ale jsme už vůči libovolné volbě báze klasifikovali. Zkuste si samostatně převést tuto klasifikaci do projektivní i afinní podoby. (Hezké a náročné cvičení na závěr semestru!) 4.40. Příklad. Nalezněte polární bázi kvadratické formy f : R3 R, která je ve standardní bázi dána předpisem f(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3. Řešení. Aplikací uvedeného Lagrangeova algoritmu dostáváme: f(x1, x2, x3) = 2x1x2 + x2x3 provedeme substituci podle bodu (4) algoritmu y2 = x2 - x1, y1 = x1, y3 = x3 = 2x1(x1 + y2) + (x1 + y2)x3 = 2x2 1 + 2x1y2 + x1x3 + y2x3 = = 1 2 (2x1 + y2 + 1 2 x3)2 - 1 2 y2 2 - 1 8 x2 3 + y2x3 = substituce y1 = 2x1 + y2 + 1 2 x3 = 1 2 y2 1 - 1 2 y2 2 - 1 8 x2 3 + y2x3 = 1 2 y2 1 - 2( 1 2 y2 - 1 2 x3)2 + 3 8 x2 3 = substituce y3 = 1 2 y2 - 1 2 x3 = 1 2 y2 1 - 2y2 3 + 3 8 x2 3. V souřadnicích y1, y3, x3 má tedy daná kvadratická forma diagonální tvar, to zna- mená že báze příslušná těmto souřadnicím je polární bází dané kvadratické formy. Pokud ji máme vyjádřit musíme získat matici přechodu od této polární báze ke standardní bázi. Z definice matice přechodu jsou pak její sloupce bázovými vektory polární bázi. Matici přechodu získáme tak, že buď vyjádříme staré proměnné (x1, x2, x3) pomocí nových proměnných (y1, y3, x3), nebo ekvivalentně vyjádříme nové proměnné pomocí starých (což jde jednodušeji), pak ale musíme spočítat inverzní matici. Máme y1 = 2x1 + y2 + 1 2 x3 = 2x1 + (x2 - x1) + 1 2 x3 a y3 = 1 2 y2 - 1 2 x3 = -1 2 x1 + 1 2 x3 - 1 2 x3. Matice přechodu od standardní báze ke zvolené polární je tedy T = 2 1 1 2 -1 2 1 2 -1 2 0 0 1 . 3. PROJEKTIVNÍ GEOMETRIE 123 Pro inverzní matici pak máme T-1 1 3 -2 3 -1 2 1 3 4 3 1 2 0 0 1 . Jedna z polárních bazí dané kvadratické formy je tedy například báze {(1/3, 1/3, 0), (-2/3, 4/3, 0), (-1/2, 1/2, 1)}. 4.41. Příklad. Určete typ kuželosečky dané rovnicí: 3x2 1 - 3x1x2 + x2 - 1 = 0. Řešení. Pomocí algoritmu úpravy na čtverec postupně dostáváme: 3x2 1 - 3x1x2 + x2 - 1 = 1 3 (3x1 - 3 2 x2)2 - 3 4 x2 2 + x2 - 1 = = 1 3 y2 1 - 4 3 ( 3 4 x2 - 1 2 )2 + 1 3 - 1 = = 1 2 y2 1 - 4 3 y2 2 - 2 3 . Podle uvedeného seznamu kuželoseček se tedy jedná o hyperbolu. KAPITOLA 5 Zřízení ZOO jaké funkce potřebujeme pro naše modely? ­ pořádný zvěřinec... 1. Interpolace polynomy Touto kapitolou započneme budování nástrojů umožňujících modelování závis- lostí, které nejsou ani lineární ani diskrétní. S takovou potřebou se např. setkáme, kdykoliv popisujeme systém vyvíjející se v čase a to ne jen v několika vybraných okamžicích ale ,,souvisle , tj. pro všechny možné okamžiky. Někdy je to přímo záměr či potřeba (třeba ve fyzikálních procesech), jindy je to vhodné přiblížení diskrétního modelu (třeba u ekonomických nebo populačních modelů). V předchozích kapitolách jsme pracovali často s posloupnostmi hodnot reálných nebo komplexních čísel, tj. se skalárními funkcemi N K nebo Z K, kde K byl zvolený okruh skalárů, případně N V , kde V je vektorový prostor nad K. Připomeňme si diskusi z odstavce 1.3, kde jsme přemýšleli nad způsoby, jak pracovat se skalárními funkcemi. Na této diskusi se vůbec nic nemění a rádi bychom (pro začátek) uměli pracovat s funkcemi R R (reálné funkce reálné proměnné) nebo R C (komplexní funkce reálné proměnné), případně funkcemi Q Q (funkce jedné racionální proměnné s racionálními hodnotami) apod. Většinou půjdou naše závěry snadno rozšířit na případ s vektorovými hodnotami nad stejnými skaláry, ve výkladu se ale zpravidla omezíme jen na případ reálných čísel, případně komplexních čísel. Čím větší třídu funkcí připustíme, tím obtížnější bude vybudovat nástroje pro naši práci. Když ale bude různých typů funkcí málo, nebudeme patrně umět budovat dostatek modelů pro reálné situace. Cílem našich prvních dvou kapitol matematické analýzy bude proto explicitně zavést několik typů elementárních funkcí, implicitně popsat více funkcí a vybudovat standardní nástroje pro práci s nimi. Souhrnně se tomu říká diferenciální a integrální počet jedné proměnné. 5.1 5.1. Polynomy. Připomeňme si vlastnosti skalárů. Umíme je sčítat i násobit a tyto operace splňují řadu vlastností, které jsme vyjmenovali už v odstavcích 1.1 a 1.2. Polynomem nad okruhem skalárů K rozumíme zobrazení f : K K dané výrazem f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0, kde ai, i = 0, . . . , n, jsou pevně zadané skaláry, násobení je znázorněno prostým zřetězením symbolů a ,,+ označuje sčítání. Pokud je an = 0, říkáme, že polynom f je stupně n. Stupěň nulového polynomu není definován. Skaláry ai označujeme jako koeficienty polynomu f. Polynomy stupně nula jsou právě konstantní nenulová zobrazení x a0. V algebře jsou častěji polynomy definovány jako formální vý- razy f(x), tj. jako posloupnosti koeficientů a0, a1, . . . s konečně mnoha nenulovými 125 126 5. ZŘÍZENÍ ZOO prvky. Následující jednoduché lemma ukazuje, že v analýze budou oba přístupy ekvivalentní. Je snadné ověřit, že polynomy nad okruhem skalárů tvoří opět okruh, kde násobení a sčítání je dáno operacemi v původním okruhu K pomocí hodnot polynomů. Připomeňte si při této příležitosti vlastnosti skalárů a ověřte! Nad každým polem skalárů (viz axiom ,,P v odstavcích 1.1 a 1.2) funguje dělení polynomů se zbytkem, tj. pro polynomy f stupně n a g stupně m, existují jednoznačně určené polynomy q a r takové, že stupeň r je menší než m nebo je r = 0 a f = q g +r. Je-li pro nějaký prvek b K hodnota f(b) = 0, pak to znamená, že v podílu f(x) = q(x)(x-b)+r musí být r = 0. Jinak by totiž nebylo možné dosáhnout f(b) = q(b)0+r, kde stupeň r je nulový. Říkáme, že b je kořen polynomu f. Stupeň q je pak právě n - 1. Pokud má q opět kořen, můžeme pokračovat a po nejvýše n krocích dojdeme ke konstatnímu polynomu. Dokázali jsme tedy, že každý nenulový polynom nad polem K má nejvýše tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Odtud již snadno dovodíme i následující pozorování: Lemma. Je-li K pole s nekonečně mnoha prvky, pak dva polynomy f a g jsou si rovny jako zobrazení, právě když mají shodné koeficienty. Důkaz. Předpokládejme f = g, tj. f - g = 0 jako zobrazení. Polynom (f - g)(x) tedy má nekonečně mnoho kořenů, což je možné pouze tehdy, je-li nulovým polynomem. Uvědomme si, že u konečných polí samozřejmě takové tvrzení neplatí. Uvažte např. polynom x2 + x nad Z2. 5.2 5.2. Interpolační polynom. Častá praktická úloha vyžaduje stanovení počíta- telné formule pro funkci, pro kterou máme zadány hodnoty v předem daných daných bodech x0, . . . , xn. Pokud by šlo o nulové hodnoty, umíme přímo zadat polynom f(x) = (x - x0)(x - x1) . . . (x - xn), který bude mít nulové hodnoty právě v těchto bodech a nikde jinde. To ale není jediná odpověď, protože požadovanou vlastnost má i nulový polynom. Ten je při- tom jediný s touto vlastností ve vektorovém prostoru polynomů stupně nejvýše n. Obdobně to dopadne i v obecném případě: Věta. Nechť K je nekonečné pole skalárů, pak pro každnou množinu po dvou růz- ných bodů x0, . . . , xn K a předepsaných hodnot y0, . . . , yn K existuje právě jeden polynom f stupně nejvýše n (případně nulový polynom), pro který platí f(xi) = yi, i = 0, . . . , n. Důkaz. Označme si prozatím neznámé koeficienty polynomu f stupně n f = anxn + + a1x + a0. Dosazením požadovaných hodnot dostaneme systém n + 1 rovnic pro stejný počet neznámých koeficientů ai a0 + x0a1 + + (x0)n an = y0 ... a0 + xna1 + + (xn)n an = yn. 1. INTERPOLACE POLYNOMY 127 Jak je dobře známo z lineární algebry, tento systém lineárních rovnic má právě jedno řešení pokud je determinant jeho matice invertibilní skalár, tj. pokud je ne- nulový (viz 3.1 a 2.22). Musíme tedy vyšetřit tzv. Vandermondův determinant V (x0, . . . , xn) = det 1 x0 (x0)2 . . . (x0)n 1 x1 (x1)2 . . . (x1)n ... ... ... ... ... 1 xn (xn)2 . . . (xn)n . Tento determinant umíme nad libovolným nekonečným polem skalárů snadno spo- číst: Lemma. Pro všechny hodnoty x0, . . . , xn K platí V (x0, . . . , xn) = n i>k=0 (xi - xk). Důkaz. Vztah dokážeme indukcí přes počet bodů xi. Evidentně je správný pro n = 1 (a pro n = 0 je úloha nezajímavá). Předpokládejme, že výsledek je správný pro n - 1, tj. V (x0, . . . , xn-1) = n-1 i>k=0 (xi - xk). Nyní považujme hodnoty x0, . . . , xn-1 za pevné a hodnotu xn ponechme jako volnou proměnnou. Rozvojem determinantu podle posledního řádku (viz 2.19) obdržíme hledaný determinant jako polynom e5.1 (5.1) V (x0, . . . , xn) = (xn)n V (x0, . . . , xn-1) - (xn)n-1 . Toto je polynom stupně n, protože víme, že jeho koeficient u (xn)n je nenulový dle indukčního předpokladu. Přitom bude zjevně nulový při dosazení kterékoliv hodnoty xn = xi pro i < n, protože bude v takovém případě obsahovat původní determinant dva stejné řádky. Náš polynom tedy bude dělitelný výrazem (xn - x0)(xn - x1) (xn - xn-1), který má sám již stupeň n. Odtud vyplývá, že celý Vandermondův determinant coby polynom v proměnné xn musí být tomuto výrazu roven až na konstantní násobek, tj. V (x0, . . . , xn) = c (xn - x0)(xn - x1) (xn - xn-1). Porovnáním koeficientů u nejvyšší mocniny v (5.1) a tomto výrazu dostáváme c = V (x0, . . . , xn-1) a tím je důkaz lemmatu ukončen. Ukázali jsme, že je determinant naší soustavy rovnic vždy roven součinu rozdílů definičních bodů. Pro naše po dvou různé body xi tedy musí být nenulový. Odtud ale vyplývá jednoznačná existence řešení. Protože polynomy jsou jako zobrazení stejné, právě když mají stejné koeficienty, věta je dokázána. Jednoznačně určený polynom f z předchozí věty nazýváme interpolační poly- nom pro hodnoty yi v bodech xi. 128 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.3 5.3. Poznámky. Uvažujme nyní pro jednoduchost pouze reálné nebo případně racionální polynomy, tj. polynomiálně zadané funkce R R nebo Q Q. Na první pohled se může zdát, že polynomy tvoří hezkou velikou třídu funkcí jedné proměnné, kterou můžeme použít na proložení jakékoliv sady předem zadaných hodnot. Navíc se zdají být snadno vyjádřitelné, takže by s jejich pomocí mělo být dobře možné počítat i hodnoty těchto funkcí pro jakoukoliv hodnotu proměnné. Při pokusu o praktické využití v tomto směru ovšem narazíme hned na několik problémů. Prvním z nich je potřeba rychle vyjádřit polynom, kterým zadaná data prolo- žíme. Pro řešení výše diskutovaného systému rovnic totiž budeme obecně potřebo- vat čas úměrný třetí mocnině počtu bodů, což při hustějších datech je jistě těžko přijatelné. Podobným problémem je pomalé vyčíslení hodnoty polynomu vysokého stupně v zadaném bodě. Obojí lze částečně obejít tak, že zvolíme vhodné vyjádření intepolačního polynomu (tj. vybereme lepší bázi příslušného vektorového prostoru všech polynomů stupně nejvýše k, než je ta nejobvyklejší 1, x, x2 , . . . , xn ). Jednou z možností je tzv. Lagrangeův interpolační polynom, kterým rychle a snadno zapíšeme řešení. Sestrojíme si nejprve pomocné polynomy i s vlastností i(xj) = 1 i = j 0 i = j . Zřejmě musí být tyto polynomy až na konstantu rovny výrazům (x - x0) . . . (x - xi-1)(x - xi+1) . . . (x - xn) a proto i(x) = j=i(x - xj) j=i(xi - xj) . Hledaný Lagrangeův interpolační polynom pak snadno zadáme formulí f(x) = y0 0(x) + y1 1(x) + + yn n(x). Toto vyjádření má nevýhodu ve velké citlivosti na nepřesnosti výpočtu při malých rozdílech zadaných hodnot xi, protože se v ní těmito rozdíly dělí. Všimněme si ale, že přímá konstrukce Lagrangeova polynomu může nahradit existenční část důkazu v předchozí Větě 5.2. (Jednoznačnost pak je také jednoduchá i bez příslušné lineární algebry: dvě možná řešení f a g mají stejné hodnoty v n + 1 různých bodech, tj. polynom f - g má n + 1 různých kořenů a stupeň nejvýše n a proto musí být nulovým polynomem.) Ještě horším problémem je velice špatná stabilita hodnot reálných nebo racio- nálních polynomů při zvětšující se hodnotě proměnné. Brzy budeme mít nástroje na přesný popis kvalitativního chování funkcí, nicméně i bez nich je zřejmé, že podle znaménka koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu se hodnoty velice rychle při ros- toucím x vydají buď do plus nebo mínus nekonečna. Ani toto znaménko koeficientu u nejvyššího stupně se ale u interpolačního polynomu při malých změnách proklá- daných hodnot nechová stabilně. Názorně to vidíme na dvou obrázcích, kde je prolo- ženo jedenáct hodnot funkce sin(x) s různými malými náhodnými změnami hodnot. Zelenou barvou je vynesena aproximovaná funkce, kolečka jsou malinko posunuté hodnoty a červeně je vynesen jednoznačně zadaný interpolační polynom. Zatímco uvnitř intervalu je aproximace vcelku dobrá, stabilita na okrajích je otřesná. 1. INTERPOLACE POLYNOMY 129 -4 x 2 4 1 2 0 -1 0 -2 -2 -4 x 2 4 1 2 0 -1 0 -2 -2 Kolem interpolačních polynomů existuje bohatá teorie. Částečně se budeme k některým jejich vlastnostem vracet, podrobnější rozbor lze najít např. v pěkných textech [4]. 5.4. Určování interpolačních polynomů. Nalezněte polynom P splňující ná- sledující podmínky: P(2) = 1, P(3) = 0, P(4) = -1, P(5) = 6. Řešení. Řešíme buď přímo, t.j. sestavením soustavy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých. Předpokládáme polynom ve tvaru a3x3 + a2x2 + a1x1 + a0. Víme, že polynom stupně nejvýše tři splňující podmínky v zadání je dán jednoznačně. a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 1 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 0 a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = -1 a0 + 5a1 + 25a2 + 125a3 = 6. Každá rovnice vznikla z jedné z podmínek v zadání. Druhou možností je vytvořit hledaný polynom pomocí fundamentálních Lagran- geových polynomů: P(x) = 1 (x - 3)(x - 4)(x - 5) (2 - 3)(2 - 4)(2 - 5) + 0 (. . . ) + = (-1) (x - 2)(x - 3)(x - 5) (4 - 2)(4 - 3)(4 - 5) + 6 (x - 2)(x - 3)(x - 4) (5 - 2)(5 - 3)(5 - 4) = = 4 3 z3 - 12z2 + 101 3 z - 29. Koeficienty tohoto polynomu jsou samozřejmě jediným řešením výše sestavené sou- stavy lineárních rovnic. Příklad. Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(1 + i) = i, P(2) = 1, P(3) = -i. 130 5. ZŘÍZENÍ ZOO Řešení. P(x) = (-3 5 - 4 5 i)x2 + (2 + 3i)x - 3 5 - 14 5 i. 5.4 5.5. Derivace polynomů. Zjistili jsme, že hodnoty polynomů s rostoucí proměn- nou rychle míří k nekonečným hodnotám (viz také obrázky). Proto je zřejmé, že polynomy nemohou nikdy vhodně popisovat jakékoliv periodicky se opakující děje (jako jsou např. hodnoty goniometrických funkcí). Mohlo by se ale zdát, že pod- statně lepší výsledky budeme alespoň mezi body xi dosahovat, když si budeme kromě hodnot funkce hlídat, jak rychle naše funkce v daných bodech rostou. Pro tento účel zavedeme (prozatím spíše intuitivně) pojem derivace pro poly- nomy. Můžeme přitom pracovat opět s reálnými, komplexními nebo racionálními polynomy. Rychlost růstu v bodě x R pro reálný polynom f(x) dobře vyjadřují podíly e5.2 (5.2) f(x + x) - f(x) x a protože umíme spočíst (nad libovolným okruhem) (x + x)k = xk + kxk-1 x + + k l xl (x)k-l + + (x)k , dostaneme pro polynom f(x) = anxn + + a0 výše vedený podíl ve tvaru f(x + x) - f(x) x = an nxn-1 x + + (x)k x + + a1 x x = nanxn-1 + (n - 1)an-1xn-2 + + a1 + x(. . . ), kde výraz v závorce je polynomiálně závislý na x. Evidentně pro hodnoty x velice blízké nule dostaneme hodnotu libovolně blízkou výrazu f (x) = nanxn-1 + (n - 1)an-1xn-2 + + a1, který nazýváme derivace polynomu f podle proměnné x. Z definice je jasné, že právě hodnota f (x0) derivace polynomu nám dává dobré přiblížení jeho chování v okolí bodu x0. Přesněji řečeno, přímka y = f (x0)(x - x0) + f(x0) velice dobře aproximuje přímky procházející body [x0, f(x0)] a [x0+x, f(x0+x)] pro malé hodnoty x. Hovoříme o lineárním přiblížení polynomu f jeho tečnou. Derivace polynomů je lineární zobrazení, které přiřazuje polynomům stupně nejvýše n polynomy stupně nejvýše n - 1. Iterací této operace dostáváme druhé derivace f , třetí derivace f(3) a obecně po k­násobném opakování polynom f(k) stupně n - k. Po n + 1 derivacích je výsledkem nulový polynom. S tímto lineárním zobrazením jsme se již potkali v odstavci 2.43 o nilpotentních zobrazeních. 5.5 5.6. Hermiteův interpolační problém. Uvažme opět m + 1 po dvou různých reálných nebo racionálních hodnot x0, . . . , xm, tj. xi = xj pro všechna i = j. Předepišme dále hodnoty y (k) i aproximované funkce a jejich derivací pro k = 0 a k = 1. To znamená, že máme předepsány hodnoty a první derivace v zadaných bodech xi. Hledáme polynom f, který bude nabývat těchto předepsaných hodnot a derivací. 1. INTERPOLACE POLYNOMY 131 Zcela analogicky jako u interpolace pouhých hodnot obdržíme pro neznámé koeficienty polynomu f(x) = anxn + . . . a0 systém rovnic a0 + x0a1 + + (x0)n an = y (0) 0 ... a0 + xma1 + + (xm)n an = y(0) m a1 + 2x0a2 + + n(x0)n-1 an = y (1) 0 ... a1 + 2xma2 + + n(xm)n-1 an = y(1) m . Opět bychom mohli ověřit, že při volbě n = 2m+1 bude determinant tohoto systému rovnic nenulový a tudíž bude existovat právě jedno řešení. Nicméně, stejně jako při konstrukci Lagrangeova polynomu lze zkonstruovat takový polynom f přímo. Nazýváme jej Hermiteův interpolační polynom. Hermiteův polynom můžeme určit podobně pomocí fundamentálních Hermite- ových polynomů: h1 i (x) = 1 - l (xi) l (xi) (x - xi) (li(x)) 2 h2 i (x) = (x - xi) (li(x)) 2 , kde l(x) = n i=1(x - xi) Tyto polynomy splňují následující podmínky: h1 i (xj) = j i = 1 pro i = j 0 pro i = j (h1 i ) (xj) = 0 h2 i (xj) = 0 (h2 i ) (xj) = j i Máme-li dán systém podmínek f(x1) = y1, f (x1) = y1, . . . , f(xk) = yk, f (xk) = yk, pak je odpovídající polynom dán předpisem f(x) = k i=1 [yih1 i (xi) + yih2 i (xi)]. Úplně nejjednodušší případ je zadání hodnoty a derivace v jediném bodě. Tím určíme beze zbytku polynom stupně 1 f(x) = f(x0) + f (x0)(x - x0) tj. právě rovnici přímky zadané hodnotou a směrnicí v bodě x0. Když zadáme hodnotu a derivaci ve dvou bodech, tj. y0 = f(x0), y0 = f (x0), y1 = f(x1), y1 = f (x1) pro dva různé body xi, dostaneme ještě pořád snadno počítatelný problém. Ukažme si jej v zjednodušeném provedení, kdy x0 = 0, x1 = 1. Pak matice systému a její inverze budou A = 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 3 2 1 0 , A-1 = 2 -2 1 1 -3 3 -2 -1 0 0 1 0 1 0 0 0 . 132 5. ZŘÍZENÍ ZOO Přímým vynásobením A (y0, y1, y0, y1)T pak vyjde vektor (a3, a2, a1, a0)T koefici- entů polynomu f, tj. f(x) = (2y0 - 2y1 + y0 + y1)x3 + (-3y0 + 3y1 - 2y0 - y1)x2 + y0x + y0. V případě, že máme zadány hodnoty a derivace v jiných bodech x0 a x1, lze využít tohoto výsledku s pomocí vhodné afinní transformace R R (pozor ale na vliv transformace na velikosti derivací, podrobněji budeme podobné úkony diskutovat později). Příklad.Příklad Nalezněte polynom P splňující následující podmínky: P(1) = 0, P (1) = 1, P(2) = 3, P (2) = 3. Řešení. P(x) = -2x3 + 10x2 - 13x + 5. Obdobně lze předepisovat libovolný konečný počet derivací v jednotlivých bodech a vhodnou volbou stupně polynomu obdržíme vždy jednoznačné interpolace. Nebudeme zde uvádět podrobnosti, viz opět text [4]. Bohužel, u těchto interpolací pořád zůstávají problémy zmíněné už v případě jednoduchých interpolací hodnot ­ složitost výpočtů a nestabilita. Použití derivací však podbízí jednoduché vylepšení metodiky: 5.6 5.7. Interpolace splajny. 1 Jak jsme viděli na obrázcích demonstrujících ne- stabilitu interpolace jedním polynomem dostatečně vysokého stupně, malé lokální změny hodnot zapřičiňovaly dramatické celkové změny chování výsledného poly- nomu. Nabízí se tedy využití malých polynomiálních kousků, které ale musíme umět rozumně navazovat. Nejjednodušší je propojení vždy dvou sousedních bodů lineárním polynomem. Tak se nejčastěji zobrazují data. Z pohledu derivací to znamená, že budou na jed- notlivých úsecích konstantní a pak se skokem změní. O něco sofistikovanější mož- ností je předepsat v každém bodě hodnotu a derivaci, tj. pro dva body budeme mít 4 hodnoty a jednoznačně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše. Tento polynom pak můžeme použít pro všechny hodnoty nezávislé proměnné mezi krajními hodnotami x0 < x1. Hovoříme o intervalu [x0, x1]. Takové polynomiální příblížení po kouskách už bude mít tu vlastnost, že derivace na sebe budou nava- zovat. V praxi ale není pouhé navazování první derivace dostatečné a navíc při na- měřených datech nemíváme hodnoty derivací k dispozici. Přímo se proto vnucuje pokus využívat pouze zadané hodnoty ve dvou sousedních bodech, ale požadovat zároveň rovnost prvních i druhých derivací u sousedních kousků polynomů třetího stupně: Definice. Nechť x0 < x1 < < xn jsou reálné (nebo racionální) hodnoty, ve kte- rých jsou zadány požadované hodnoty y0, . . . , yn. Kubickým interpolačním splajnem pro toto zadání je funkce S : R R (nebot S : Q Q), která splňuje následující podmínky: ˇ zúžení S na interval [xi-1, xi] je polynom Si třetího stupně, i = 1, . . . , n ˇ Si(xi-1) = yi-1 a Si(xi) = yi pro všechny i = 1, . . . n, ˇ Si(xi) = Si+1(xi) pro všechny i = 1, . . . , n - 1, 1Ošklivé české slovo ,,splajn vzniklo fonetickým přepisem anglického ekvivalentu ,,spline , který znamenal tvárné pravítko užívané inženýry pro kreslení křivek. 2. SPOJITÉ FUNKCE 133 ˇ Si (xi) = Si+1(xi) pro všechny i = 1, . . . , n - 1. Kubický splajn pro n + 1 bodů sestává z n kubických polynomů, tj. máme k dispozici 4n volných parametrů (první definiční podmínka). Další podmínky přitom zadávají 2n + (n - 1) + (n - 1) rovností, tj. dva parametry zůstávají volné. Při praktickém použití se dodávají předpisy pro derivace v krajních bodech, tzv. úplný splajn, nebo jsou tyto zadány jako nula, tzv. přirozený splajn. Výpočet celého splajnu už není bohužel tak jednoduchý jako u nezávislých vý- počtů Hermiteových polynomů třetího stupně, protože data se prolínají vždy mezi sousedními intervaly. Při vhodném uspořádání se však dosáhne matice systému, která má nenulové prvky prakticky jen ve třech diagonálách, a pro takové exis- tují vhodné numerické postupy, které umožní splajn počítat také v čase úměrném počtu bodů. Podrobnosti vynecháme, lze je dohledat např. v [4]. Pro srovnání se podívejme na interpolaci stejných dat jako v případě Lagrangeova polynomu, nyní pomocí splajnů: 0 -4 0 -0,5 2 -1 1 -2 4 x 0,5 0 -4 -0,5 x 2 -1 1 0 0,5 4-2 2. Spojité funkce Viděli jsme právě, že je důležité mít dostatečně velkou zásobu funkcí, se kterými bude možné možné vyjadřovat všechny běžné závislosti, zároveň ale musí být výběr šikovně omezen, abychom uměli vybudovat nějaké univerzální nástroje pro práci s nimi. Polynomů je přitom zjevně příliš málo, i když jejich šikovné využití ve splaj- nech může ledacos vynahradit. Nejvýraznější vlastností polynomů je jejich ,,spojitá závislost hodnot na nezávislé proměnné. Intuitivně řečeno, když dostatečně málo změníme x, určitě se nám moc nezmění ani hodnota f(x). Takové chování naopak nemáme u po částech konstantních funkcí f : R R v okolí ,,skoků . Např. u tzv. Heavisideovy funkce f(x) = 0 pro všechny x < 0 1/2 pro x = 0 1 pro všechny x > 0 taková ,,nespojitost nastane pro x = 0. 134 5. ZŘÍZENÍ ZOO Začneme formalizací takovýchto intuitivních výroků. K tomu budeme potřebo- vat upřesnit vlastnosti našich skalárů a zasvést pojem limity. 5.7 5.8. Reálná a komplexní čísla. Prozatím jsme docela dobře vystačili s alge- braickými vlastnostmi reálných čísel, které říkaly, že R je pole. Už jsme ale pou- žívali i relaci uspořádání reálných čísel, kterou značíme ,, (viz odstavec 1.59). Připoměňme si nyní vlastnosti (axiomy) reálných čísel včetně souvislostí uspořá- dání a ostatních relací. Dělící čáry naznačují, jak axiomy postupně zaručují, že jsou reálná čísla komutativní grupou vůči sčítání, že R \ {0} je komutativní grupa vůči násobení, R je pole, množina R spolu s operacemi +, a s relací uspořádání je tzv. uspořádané pole a konečně poslednímu axiomu můžeme rozumět tak, že R je ,,do- statečně husté , tj. nechybí nám tam body, jako např. druhá odmocnina ze dvou v číslech racionálních. Formálně poslední axiom vysvětlíme níže. (R1) (a + b) + c = a + (b + c), pro všechny a, b, c R (R2) a + b = b + a, pro všechny a, b R (R3) existuje prvek 0 R takový, že pro všechny a R platí a + 0 = a (R4) pro všechny a R existuje opačný prvek (-a) R takový, že platí a + (-a) = 0 (R5) a b) c = a (b c), pro všechny a, b, c R (R6) a b = b a pro všechny a, b R (R7) existuje prvek 1 R takový, že pro všechny a R platí 1 a = a (R8) pro každý a R, a = 0 existuje inverzní prvek a-1 R takový, že platí a a-1 = 1 (R9) a (b + c) = a b + a c, pro všechny a, b, c R (R10) relace je úplné uspořádání, tj. reflexivní, antisymetrická, tran- zitivní a úplná relace na R (R11) pro všechny a, b, c R platí, že z a b vyplývá také a + c b + c (R12) pro všechny a, b R, a > 0, b > 0, platí také a b > 0 (R13) každá neprázdná ohraničená množina A R má supremum. Pojem suprema má smysl pro každou uspořádanou množinu. Uvažme podmno- žinu A B v uspořádané množině B. Horní závorou množiny A je každý prvek b B, pro který platí, že b a pro všechny a A. Obdobně definujeme dolní závory množiny A jako prvky b A takové, že b a pro všechny a A. Nejmenší horní závora podmnožiny A, pokud existuje, se nazývá supremum této podmnožiny a značíme ji sup A. Přesněji: sup A = b, jestliže z c a pro všechny a A vyplývá také c b. Obdobně, největší dolní závora se nazývá infimum, píšeme inf A, tzn. inf A = b, jestliže z c a pro všechny a A vyplývá také c b. Pro formální výstavbu další teorie potřebujeme vědět, zda námi požadované vlast- nosti reálných čísel lze realizovat, tj. zda existuje taková množina R s operacemi a relací uspořádání, které (R1)­(R13) splňují. Skutečně lze reálná čísla nejen zkon- struovat, ale také lze ukázat, že až na izomorfismus to jde jediným způsobem. Pro naši potřebu vystačíme s intuitivní představou reálné přímky, jednoznačnost nebu- deme diskutovat vůbec a existenci jen naznačíme v dalším odstavci. Pole komplexních čísel splňuje axiomy (R1)­(R9), není na nich ale žádným ro- zumným způsobem definováno uspořádání, které by naplnilo axiomy (R10)­R(13). Nicméně s nimi budeme také občas pracovat a již dříve jsme viděli, že rozšíření 2. SPOJITÉ FUNKCE 135 skalárů na komplexní čísla je často pro výpočty mimořádně užitečné. Protože jsou komplexní čísla z = re z + i im z dána jako dvojice reálných čísel, je dobrou před- stavou rovina komplexních čísel. Operací, která je u komplexních čísel navíc je tzv. konjugace. Je to zrcadlení podle přímky reálných čísel, tj. obrácení znaménka u imaginární složky. Značíme ji pruhem nad daným číslem, z = re z - i im z. Protože je pro z = x + iy z z = (x + iy)(x - iy) = x2 + y2 , zadává nám tento výraz právě kvadrát vzdálenosti komplexního čísla od nuly. Od- mocnině z tohoto reálného nezáporného čísla říkáme absolutní hodnota komplex- ního čísla z, píšeme e5.3 (5.3) |z|2 = z z Příklad. Načrtněte následující podmnožiny v C (1) {z C| |z - 1| = |z + 1|} (2) {z C| 1 |z - i| 2} (3) {z C| Re(z2 ) = 1} (4) {z C| Re(1 z ) < 1 2 } Řešení. ˇ imaginární osa ˇ mezikruží okolo i ˇ hyperbola a2 - b2 = 1. ˇ vnějšek jednotkového kruhu se středem v 1. 5.8 5.9. Hromadné body a konvergence. Uvažujme na chvíli nějaké pole skalárů K, které splňuje axiomy (R1)­(R12). Takové určitě existuje, protože racionální čísla Q jsou příkladem. Zkonstruovali jsme je v odstavci 1.61 a čtenář si snadno může ověřit platnost všech požadovaných axiomů. Pro každý prvek a K definujeme jeho absolutní hodnotu |a| takto |a| = a je-li a 0 -a je-li a < 0. Samozřejmě platí pro každá dvě čísla a, b K e5.4 (5.4) |a + b| |a| + |b|. Této vlastnosti říkáme trojúhelníková nerovnost a splňuje ji také absolutní hodnota komplexních čísel definovaná výše. Uvažme nyní libovolnou posloupnost prvků a0, a1, . . . v našem uspořádaném poli K takovou, že pro libolné pevně zvolené kladné číslo > 0 platí pro všechny prvky ak až na konečně mnoho výjimek |ai - aj| < . Jinak řečeno, pro každé pevné > 0 existuje index N takový, že předcházející nerovnost platí pro všechna i, j > N. Takové posloupnosti prvků se říká Cauchyov- ská posloupnost. Intuitivně jistě cítíme, že buď jsou v takové posloupnosti všechny 136 5. ZŘÍZENÍ ZOO prvky stejné až na konečně mnoho z nich (pak bude od určitého indexu N počínaje vždy |ai - aj| = 0) nebo se taková posloupnost ,,hromadí k nějaké hodnotě. Pokud by taková hodnota a K existovala, očekávali bychom od ní patrně následující vlastnost: pro libovolné pevně zvolené číslo platí pro všechny i, až na konečně mnoho výjimek, |ai - a| < . Říkáme v takovém případě, že posloupnost ai, i = 1, 2, . . . konverguje k hodnotě a K. Uvažme nyní jakoukoliv množinu A K a předpokládejme, že naše posloupnost je vybraná z prvků A. Pokud konverguje k a K a navíc je nekonečně mnoho bodů ai A různých od a, hovoříme o hromadném bodu množiny A. Jestliže nějaká posloupnost ai K konverguje k a K, pak pro zvolené víme, že |ai - a| < pro vhodné N N a všechny i N. Pak pro i, j N dostaneme |ai - aj| < |ai - aN | + |aN - aj| < 2 . Vidíme tedy, že každá konvergující posloupnost je Cauchyovská. V poli racionálních čísel se může snadno stát, že pro takovéto posloupnosti příslušná hodnota a neexistuje. Např. číslo 2 můžeme libovolně přesně přiblížit racionálními čísly ai, ale samotná odmocnina racionální není. Uspořádaná pole skalárů, ve kterém všechny Caychyovské posloupnosti konvergují, se nazývají úplná. Následující tvrzení říká, že axiom (R13) takové chování zaručuje: Lemma. Každá Cauchyovská posloupnost reálných čísel ai konverguje k reálné hod- notě a R. Důkaz. Každá Cauchyovská posloupnost je zjevně ohraničená množina (dokažte si podrobně ­ pro libovolné ohraničíte všechny členy až na konečně mnoho z nich!). Defi- nujme si množinu B = {x R, x < aj pro všechny prvky ai, až na konečně mnoho z nich}. Zřejmě má B horní závoru, tudíž podle axiomu (R13) má i supremum. Definujme a = sup B. Nyní pro nějaké > 0 zvolme N takové, aby |ai - aj| < pro všechny i, j N. Zejména pak aj > aN - , aj < aN + takže aN - patří do B, zatímco aN + už nikoliv. Souhrnně z toho dostáváme, že |a - aN | , a proto také |a - aj| |a - aN | + |aN - aj| 2 pro všechny j > N. To ale značí právě, že a je hromadný bod posloupnosti. Při jedné z možností, jak vybudovat reálná čísla, postupujeme podobně jako při zúplňování přirozených čísel na celá (abychom přidali opačné hodnoty) a celých na racionální (abychom přidali podíly nenulových čísel). Skutečně, vhodným formálním způsobem přidáme všechny chybějící hromadné body pro podmnožiny racionálních čísel (např. vhodným způsobem zave- deme ekvivalenci na množině všech Cauchyovských posloupností racionálních čísel). Pak se lze již snadno přesvědčit, že všechny požadované axiomy skutečně dojdou naplnění. Další teorické nuance tady není vhodné rozebírat. Zájemce může ale nahlédnout např. do [1] pro další informace i odkazy. 2. SPOJITÉ FUNKCE 137 5.9 5.10. Otevřené a uzavřené množiny. Uzavřená podmnožina v R je taková, která obsahuje i všechny své hromadné body. Typickou uzavřenou množinou je tzv. uzavřený interval [a, b] = {x R, a x b}. Zde a je reálné číslo nebo hraniční hodnota chybí a píšeme a = - (mínus neko- nečno) a podobně b > a je reálné číslo nebo +. Uzavřenou množinu bude tvořit i posloupnost reálných čísel bez hromadného bodu nebo posloupnost s konečným počtem hromadných bodů spolu s těmito body. Zjevně je konečné sjednocení uza- vřených množin opět uzavřená množina. Otevřená množina v R je taková množina, jejíž doplněk je uzavřenou množinou. Typickou otevřenou množinou je otevřený interval (a, b) = {x R, a < x < b}, kde pro hraniční hodnoty máme stejné možnosti jako výše. Okolím bodu a R nazýváme libovolný otevřený interval O, který a obsahuje. Je-li okolí definované jako interval O(a) = (a - , a + ) pro kladné číslo , hovoříme o -okolí bodu a. Všimněme si, že pro libovolnou množinu A je a R hromadným bodem A, právě když v libovolném okolí a leží také alespoň jeden bod b A, b = a. Lemma. Množina reálných čísel A je otevřená, právě když každý její bod a A do ní patří i s nějakým svým okolím. Důkaz. Nechť je A otevřená a a A. Kdyby neexistovalo žádné okolí bodu a uvnitř A, musela by existovat posloupnost an / A, |a - an| 1/n. Pak je ovšem a A hromadným bodem množiny R \ A, což není možné, protože doplněk A je uzavřený. Naopak předpokládejme, že každé a A leží v A i s nějakým svým okolím. To přirozeně zabraňuje, aby nějaký hromadný bod b pro množinu R \ A ležel v A. Je proto R \ A uzavřená a tedy je A otevřená. Zjevně je libovolné sjednocení otevřených množin opět otevřenou množinou a každý konečný průnik otevřených množin je opět otevřená množina. Množina A reálných čísel se nazývá ohraničená, jestliže celá leží v nějakém konečném intervalu [a, b], a, b R. V opačném případě je neohraničená. Ohraničená a uzavřená množina se nazývá kompaktní. 5.10 5.11. Několik topologických vlastností. Přidejme ještě několik pojmů, které nám umožní účinné vyjadřování. Vnitřním bodem množiny A reálných čísel na- zveme takový bod, který do A patří i s nějakým svým okolím. Hraniční bod a A je naopak takový, jehož každé okolí má neprázdný průnik jak s A tak s doplňkem R\A. Otevřené pokrytí množiny A je takový systém otevřených intervalů Ui, i I, že jejich sjednocení obsahuje celé A. Izolovaným bodem množiny A rozumíme bod a A, který má okolí, jehož průnik s A je právě jednobodová množina {a}. Věta. Pro podmnožiny A reálných čísel platí: (1) A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému otevře- ných intervalů, 138 5. ZŘÍZENÍ ZOO (2) každý bod a A je buď vnitřní nebo hraniční, (3) každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, (4) A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, (5) A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Důkaz. (1) Zjevně je každá otevřená množina sjednocením nějakých okolí svých bodů, tj. otevřených intervalů. Jde tedy pouze o to, jestli nám jich vždy stačí spočetně mnoho. Zkusme tedy najít ,,co největší intervaly. Řekneme, že body a, b A jsou v re- laci, jestliže celý otevřený interval (a, b) je v A. To je zjevně relace ekvivalence a její třídy budou zjevně intervaly, které budou navíc po dvou disjunktní. Každý z těchto intervalů jistě musí obsahovat nějaké racionální číslo a tyto musí být různé. Všech racionálních čísel je ale spočetně mnoho, proto máme tvrzení dokázané. (2) Přímo z definic vyplývá, že bod nemůže být vnitřní a hraniční zároveň. Nechť tedy a A není vnitřní. Pak ovšem existuje posloupnost bodů ai / A s hromadným bodem a. Zároveň a patří do každého svého okolí. Proto je a hraniční. (3) Předpokládejme, že a A je hraniční a není izolovaný. Pak stejně jako v poslední argumentaci existují body ai, tentokrát uvnitř A, jejichž hromadným bodem je a. (4) Předpokládejme, že je A kompaktní, tj. uzavřená a ohraničená, a uvažme nějakou nekonečnou posloupnost bodů ai A. Tato podmnožina má jistě supremum b i infimum a (nebo můžeme zvolit libovolnou horní a dolní závoru množiny A). Rozdělme nyní interval [a, b] přesně na dvě poloviny [a, 1 2 (b - a)] a [1 2 (b - a), b]. V alespoň jedné z nich musí být nekonečně mnoho prvků ai. Vyberme takovou polovinu, jeden z prvků v ní obsažených a následně tento interval opět rozdělme uvažovaný interval na poloviny. Znovu vybereme tu polovinu, kde je nekonečně mnoho prvků posloupnosti a vybereme si jeden z nich. Tímto způsobem dostaneme posloupnost, která bude Cauchyovská (dokažte si detailně ­ vyžaduje si jen pozorné hraní s odhady, podobně jako výše). O Cauchyovských posloupnostech ovšem už víme, že mají vždy hromadné body nebo jsou konstantní až na konečně mnoho výjimek. Existuje tedy podposloupnost s námi hledanou limitou. Z uzavřenosti A zase vyplývá, že námi nalezený bod musí opět ležet v A. Opačně, jestliže každá v A obsažená nekonečná podmnožina má hromadný bod v A, znamená to, že všechny hromadné body jsou v A a tedy je A uzavřená. Pokud by nebyla množina A zároveň ohraničená, uměli bychom najít posloupnost stále rostoucí nebo klesající s rozdíly dvou po sobě jdoucích čísel třeba alespoň 1. Taková posloupnost bodů z A ale nemůže mít hromadný bod vůbec. (5) Nejprve se věnujme snadnější implikaci, tj. předpokládejme, že z každého ote- vřeného pokrytí lze vybrat konečné. Jistě lze A pokrýt spočetným systémem intervalů In = (n - 2, n + 2), n Z, a jakýkoliv výběr konečně mnoha z nich říká, že je množina A ohraničená. Předpokládejme nyní, že a R\A je hromadným bodem posloupnosti ai A a předpokládejme rovnou, že |a - an| < 1 n . Množiny Jn = R \ [a - 1 n , a + 1 n ] pro všechny n N, n > 0, jsou sjednocení dvou otevřených intervalů a jistě také pokrývají naši množinu A. Protože je možné vybrat konečné pokrytí A, bod a je uvnitř doplňku R\A včetně nějakého svého okolí a není tedy hromadným bodem. Proto musí být všechny hromadné body A opět v A a tato množina je i uzavřená. Opačný směr je opět založený na existenci a vlastnostech suprem. Předpokládejme, že je A kompaktní a že je dáno nějaké její otevřené pokrytí C. Z předchozího je zjevné, že v A existují největší a nejmenší prvek, které jsou zároveň rovny b = sup A a a = inf A. Označme si teď ,,nejzašší mez , pro kterou ještě půjde konečné pokrytí vybrat: B = {x [a, b], a existuje výběr konečného pokrytí [a, x] A z C}. 2. SPOJITÉ FUNKCE 139 Evidentně a B, jde tedy o neprázdnou zhora ohraničenou množinu a existuje proto c = sup B. Jde nám o to dokázat, že ve skutečnosti musí být c = b. Argumentace je trochu nepřehledná, dokud si ji nenačrtneme na obrázku, podstata je ale snadná: Víme, že a < c b, předpokládejme tedy chvíli, že c < b. Protože je R \ A otevřená, pro c / A existuje okolí bodu c obsažené v [a, b] a zároveň disjunktní s A. To by ale vylučovalo možnost c = sup B. Zbývá tedy v takovém případě c A a tedy je i nějaké okolí O bodu c v otevřeném pokrytí C. Zvolme si body p < c < q v O. Opět nyní bude existovat konečné pokrytí pro [a, q] A. To ale značí, že q > c leží v B, což není možné. Původní volba c < b tedy vedla ke sporu, což dokazuje požadovanou rovnost b = c. Nyní ale s pomocí okolí b, které patří do C umíme najít konečné pokrytí v C pro celé A. Příklad. Určete hromadné, izolované, hraniční a vnitřní body následujících pod- množin v R: (1) N (2) Q (3) {x R| 0 x < 1}. Svá tvrzení zdůvodněte. Řešení. (1) , N, N, (2) R, , Q, (3) 0, 1 , , 0, (0, 1) 5.11 5.12. Limity funkcí a posloupností. Pro diskusi limit je vhodné rozšířit mno- žinu reálných čísel R o dvě nekonečné hodnoty . Pro tyto účely si zavádíme i pravidla pro počítání s těmito formálně přidanými hodnotami pro libovolná ,,ko- nečná čísla a R: a + = a - = - a = , je-li a > 0 a = -, je-li a < 0 Okolím nekonečna rozumíme interval (a, ), resp. (-, a) je okolí -. Pojem hromadného bodu množin rozšiřujeme tak, že je hromadným bodem množiny A R jestliže každé okolí s ní má neprázdný průnik, tj. jestliže je A zprava neohraničená. Obdobně pro -. Protože je užitečné od začátku sledovat i možné komplexní hodnoty funkcí, rozšíříme také pojem okolí do komplexní roviny. Pro kladné reálné číslo rozumíme -okolím komplexního čísla z C množinu O(z) = {w C, |w - z| < }. Definice. Nechť A R je libovolná podmnožina a f : A R je reálná funkce (nebo f : A C je komplexní funkce) definovaná na A a nechť x0 je hromadný bod množiny A. Říkáme, že f má v x0 limitu a R (nebo a C) a píšeme lim xx0 f(x) = a, jestliže pro každé okolí bodu O(a) bodu a lze najít okolí O(x0) bodu x0 takové, že pro všechny x A (O(x0) \ {x0}) je f(x) O(a). 140 5. ZŘÍZENÍ ZOO Limita reálné funkce se nazývá nevlastní, jestliže je a = , V opačném pří- padě se nazává vlastní. Je důležité si všimnout, že hodnota f v bodě x0 v definici nevystupuje a f v tomto hromadném bodě vůbec nemusí být definována! Také je zřejmé, že nevlastní limity komplexních funkcí nejsou definovány. 5.12 5.13. Příklady. (1) Jestliže je A = N, tj. funkce f je definována pouze pro při- rozená čísla, hovoříme o limitách posloupností reálných nebo komplexních hodnot. Jediným hromadným bodem A je pak a píšeme pro f(n) = an lim n an = a. Podle definice to pak znamená, že pro každé okolí O(a) limitní hodnoty a existuje index N N takový, že an O(a) pro všechny n N. Ve skutečnosti jsme tedy v tomto speciálním případě přeformulovali definici konvergence posloupnosti (viz 5.9). Říkáme také, že posloupnost an konverguje k a. Přímo z naší definice pro komplexní hodnoty je také vidět, že komplexní po- sloupnost má limitu a, právě když reálné části ai konvergují k re a a zároveň ima- ginární části konvergují k im a. (2) Jestliže je f definována na intervalu A = [a, b] a x0 je vnitřním bodem inter- valu, hovoříme o limitě funkce ve vnitřním bodě jejího definičního oboru. Podívejme se, proč je důležité v definici požadovat f(x) O(a) pouze pro body x = x0 i v tomto případě. Vezměme jako příklad funkci f : R R f(x) = 0 je-li x = 0 1 je-li x = 0. Pak zjevně limita v nule je dobře definována a limx0 = 0, přestože f(0) = 1 do malých okolí limitní hodnoty 0 nepatří. (3) Je-li A = [a, b] ohraničený interval a x0 = a nebo x0 = b, hovoříme o limitě v hraničním bodě definičního oboru funkce f. Jestliže je ale bod x0 vnitřním bodem, můžeme pro účely výpočtu limity definiční obor zúžit na [x0, b] nebo [a, x0]. Výsledným limitám pak říkáme limita zprava, resp. limita zleva pro funkci f v bodě x0. Označujeme ji výrazem limxx+ 0 f(x), resp. limxx- 0 f(x). Jako příklad nám může sloužit limita zprava a zleva v x0 = 0 pro Heavisideovu funkci h z úvodu této části. Evidentně je lim x0+ h(x) = 1, lim x0- h(x) = 0. Limita limx0 f(x) přitom neexistuje. Je snadné dokázat, že limita ve vnitřním bodu definičního oboru libovolné reálné funkce f existuje, právě když existují limity zprava i zleva a jsou si rovny. (4) Limita komplexní funkce f : A C existuje tehdy a jen tehdy, jestliže existují limity její reálné a imaginární části. V takovém případě je pak lim xx0 f(x) = lim xx0 (re f(x)) + i lim xx0 (im f(x)). (5) Nechť f je reálný nebo komplexní polynom. Pak pro každý bod x R je lim xx0 f(x) = f(x0). Skutečně, je-li f(x) = anxn + +a0, pak roznásobením (x0 +)k = xk 0 +kxk-1 0 + + k a dosazením pro k = 0, . . . , n vidíme, že volbou dostatečně malého se hodnotou libovolně blízko přiblížíme f(x0). 2. SPOJITÉ FUNKCE 141 (6) Uvažme nyní obzvlášť ošklivou funkci definovanou na celém R f(x) = 1 je-li x Q 0 jestliže x / Q. Jistě snadno ověříte, že tato funkce nemá limitu v žádném bodě (dokonce ani zleva nebo zprava). (7) Ale definice spojitosti je ještě záludnější, než jsme viděli v předchozím případě. Definujme následující funkci f : R R: f(x) = 1 q jestliže x = p q Q, p a q nesoudělná 0 jestliže x / Q Tato funkce je spojitá ve všech iracionálních bodech a nespojitá ve všech racionál- ních realných bodech. Důkaz přenecháváme jako cvičení. 5.14. Věta. Věta o třech limitách. Buď f, g, h reálné funkce takové, že exis- tuje okolí bodu x0 R, kde platí f(x) g(x) h(x). Pak pokud existují li- mity lim xx0 f(x) = f0 a lim xx0 h(x) = h0 a navíc f0 = h0, pak také existuje limita lim xx0 g(x) = g0 a platí g0 = f0 = h0. Důkaz. Z definice limity, pro libovolné > 0 existuje okolí U bodu x0, ve kterém je f(x), h(x) (g0 - , g0 + ). z podmínky f(x) g(x) h(x) vyplývá, že i g(x) (g0 - , g0 + ), tedy lim xx0 g(x) = g0. 5.13 5.15. Věta. Nechť A R je definiční obor reálných nebo komplexních funkcí f a g, x0 nechť je hromadný bod A a existují limity lim xx0 f(x) = a R, lim xx0 g(x) = b R. Potom: (1) limita a je určena jednoznačně, (2) limita součtu f + g existuje a platí lim xx0 (f(x) + g(x)) = a + b, (3) limita součinu f g existuje a platí lim xx0 (f(x) g(x)) = a b, (4) pokud navíc b = 0, pak limita podílu f/g existuje a platí lim xx0 f(x) g(x) = a b . Důkaz. (1) Předpokládejme, že a a a jsou dvě hodnoty limity limxx0 f(x). Pokud je a = a , pak existují disjunktní okolí O(a) a O(a ). Pro dostatečně malá okolí x0 ale mají hodnoty f ležet v obou naráz, což je spor. Proto je a = a . (2) Zvolme si nějaké okolí a + b, třeba O2 (a + b). Pro dostatečně malé okolí x0 a x = x0 bude jak f(x), tak g(x) v ­okolích bodů a a b. Proto jejich součet bude v 2 ­okolí kýžené hodnoty a + b. Tím je důkaz ukončen. (3) Obdobně postupujeme u součinu s O 2 (ab). Pro malá okolí x0 se nám hod- noty f i g trefí do ­okolí hodnot a a b. Proto jejich součin bude v požadovaném 2 ­okolí. (4) Podobný postup ponechán jako cvičení. 142 5. ZŘÍZENÍ ZOO Poznámka. Podrobnějším sledováním důkazů jednotlivých bodů věty můžeme její tvrzení rozšířit i na některé nekonečné hodnoty limit: V prvém případě je zapotřebí, aby buď alespoň jedna z limit byla konečná nebo aby obě měly stejné znaménko. Pak opět platí že limita součtu je součet limit s konvencemi z 5.12. Případ ,,- ale není zahrnut. V druhém případě může být jedna z limit nekonečná a druhá nenulová. Pak opět platí, že limita součinu je součin limit. Případ ,,0 () není ale zahrnut. V případě podílu může být a R a b = , kdy výsledek limity bude nula, nebo a = a b R, kde výsledek bude podle znamének čitatele a jmenova- tele. Případ ,, není zahrnut. Zdůrazněme, že naše věta jako speciální případ pokrývá také odpovídající tvr- zení o konvergenci posloupností. Příklad. Spočítejte následující limity posloupností: (1) lim n 2n2 +3n+1 n+1 , (2) lim n 2n2 +3n+1 3n2+n+1 , (3) lim n n+1 2n2+3n+1 , (4) lim n 4n2+n n , (5) lim n 4n2 + n - 2n. Řešení. (1) lim n 2n2 +3n+1 n+1 = lim n 2n+3+ 1 n 1+ 1 n = . (2) lim n 2n2 +3n+1 3n2+n+1 = lim n 2+ 3 n + 1 n2 3+ 1 n + 1 n2 = 2 3 . (3) lim n n+1 2n2+3n+1 = lim n 1+ 1 n 2n+3+ 1 n = 1 = 0. (4) Podle věty o třech limitách: n N : 4n2 n < 4n2+n n < 4n2+n+ 1 16 n . Dále pak lim n 4n2 n = lim n 2n n = 2, lim n 4n2 + n + 1 16 n = lim n 2n + 1 4 n = 2. Tedy i lim n 4n2 + n n = 2 . (5) lim n 4n2 + n - 2n = lim n ( 4n2 + n - 2n)( 4n2 + n + 2n) 4n2 + n + 2n = lim n n 4n2 + n + 2n = = lim n 1 4n2+n n + 2 = 1 4 2. SPOJITÉ FUNKCE 143 5.14 5.16. Spojité funkce. Nechť f je reálná nebo komplexní funkce definovaná na intervalu A R. Říkáme, že f je spojitá v bodě x0 A, jestliže je lim xx0 f(x) = f(x0). Funkce f je spojitá na A, jestliže je spojitá ve ve všech bodech x0 A. Všiměme si, že pro hraniční body intervalu A říká naše definice, že f v nich má být spojitá zprava, resp. zleva. Již jsme také viděli, že každý polynom je spojitou funkcí na celém R, viz 5.13(5). Z předchozí věty okamžitě vyplývá většina následujících tvrzení Věta. Nechť f a g jsou spojité funkce na intervalu A. Pak (1) součet f + g je spojitá funkce (2) součin f g je spojitá funkce (3) pokud navíc g(x0) = 0, pak podíl f/g je dobře definován v nějakém okolí x0 a je spojitý v x0. (4) pokud spojitá funkce h je definována na okolí hodnoty f(x0), pak složená funkce h f je definována na okolí bodu x0 a je v x0 spojitá. Důkaz. Tvrzení (1) a (2) jsou zřejmá, doplnit důkaz potřebujeme u tvrzení (3). Jestliže je g(x0) = 0, pak také celé ­okolí čísla g(x0) neobsahuje nulu pro dostatečně malé > 0. Ze spojitosti g pak vyplývá, že na dostatečně malém ­okolí x0 bude g neulové a podíl f/g tam bude tedy dobře definován. Pak bude ovšem i spojitý v x0 podle předchozí věty. (4) Zvolme nějaké okolí O hodnoty h(f(x0)). Ze spojitosti h k němu existuje okolí O bodu f(x0), které je celé zobrazeno funkcí h do O. Do tohoto okolí O spojité zobrazení f zobrazí dostatečně malé okolí bodu x0. To je ale právě definiční vlastnost spojitosti a důkaz je ukončen. Nyní si vcelku snadno můžeme odvodit zásadní souvislosti spojitých zobrazení a topologie reálných čísel: 5.15 5.17. Věta. Nechť f : R R je spojitá funkce. Pak (1) vzor f-1 (U) každé otevřené množiny je otevřená množina, (2) vzor f-1 (W) každé uzavřené množiny je uzavřená množina, (3) obraz f(K) každé kompaktní množiny je kompaktní množina, (4) na libovolné kompaktní množině K dosahuje spojité zobrazení maxima a mi- nima. Důkaz. (1) Uvažme nějaký bod x0 f-1 (U). Nějaké okolí O hodnoty f(x0) je celé v U, protože je U otevřená. Pak ovšem existuje okolí O bodu x0, které se celé zobrazí do O, patří tedy do vzoru. Každý bod vzoru je tedy vnitřní a tím je důkaz ukončený. (2) Uvažme nějaký hromadný bod x0 vzoru f-1 (W) a nějakou posloupnost xi, f(xi) W, která k němu konverguje. Ze spojitosti f nyní zjevně vyplývá, že f(xi) konverguje k f(x0), a protože je W uzavřená, musí i f(x0) W. Zřejmě jsou tedy všechny hromadné body vzoru W ve W také obsaženy. (3) Zvolme libovolné otevřené pokrytí f(K). Vzory jednotlivých intervalů bu- dou sjednoceními otevřených intervalů a tedy také vytvoří pokrytí množiny K. Z 144 5. ZŘÍZENÍ ZOO něho lze vybrat konečné pokrytí a proto nám stačilo konečně mnoho odpovídajících obrazů k pokrytí původní množiny f(K). (4) Protože je obrazem kompaktní množiny opět kompaktní množina, musí být obraz ohraničený a zároveň musí obsahovat svoje supremum i infimum. Odtud ale vyplývá, že tyto musí být zároveň maximem a minimem hodnot. 5.16 5.18. Důsledek. Nechť f : R R je spojitá. Potom (1) obraz každého intervalu je opět interval (2) f na uzavřeném intervalu [a, b] nabývá všech hodnot mezi svou maximální a minimální hodnotou. Důkaz. (1) Uvažme nějaký interval A (a ponechme stranou, jestli je A uza- vřený nebo otevřený, ať už zleva nebo zprava) a předpokládejme, že existuje bod y R takový, že f(A) obsahuje body menší i větší než y, ale y / f(A). Zna- mená to tedy, že pro otevřené množiny B1 = (-, y) a B2 = (y, ) jejich vzory A1 = f-1 (B1) a A2 = f-1 (B2) pokrývají A. Tyto množiny jsou přitom opět ote- vřené, jsou disjunktní a obě mají neprázdný průnik s A. Nutně tedy musí existovat bod x A, který neleží v B1, je ale jejím hromadným bodem. Musí však ležet v B2 a to u disjunktních otevřených množin není možné. Dokázali jsme tedy, že pokud nějaký bod y nepatří do obrazu intervalu, musí být všechny hodnoty buď zároveň větší nebo zároveň menší. Odtud vyplývá, že obrazem bude opět interval. Všimněme si, že jeho krajní body mohou a nemusí do obrazu patřit. (2) Toto tvrzení je přímým důsledkem předchozího. 5.17 5.19. Přírůstky do ZOO. Zatím jsme v podstatě pracovali pouze s polynomy a s funkcemi, které se z nich dají vyrobit ,,po částech . Zároveň jsme dovodili spoustu vlastností pro obrovskou třídu spojitých funkcí, nemáme ale zatím moc prakticky zvladatelných příkladů. Naše úvahy nám teď umožňují alespoň trochu rozšířit naši zásobárnu funkcí. (1) Nechť f a g jsou dva polynomy, které mohou mít i komplexní hodnoty (tj. připouštíme výrazy anxn + +a0 s komplexními ai C, ale dosazujeme jen reálné hodnoty za x). Pak funkce h : R \ {x R, g(x) = 0} C h(x) = f(x) g(x) je dobře definována ve všech reálných bodech kromě kořenů polynomu g. Takové funkce nazýváme racionální funkce. Z věty 5.16 vyplývá, že racionální funkce jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. V bodech, kde definovány nejsou mohou mít ˇ konečnou limitu, když jde o společný kořen polynomů f i g (a v tomto případě rozšířením jejich definice o limitní hodnotu v tomto bodě dostaneme funkci i v tomto bodě spojitou) ˇ nekonečnou limitu, když limity zprava a zleva v tomto bodě jsou stejné ˇ různé nekonečné limity zprava a zleva. Názorně je možné tuto situaci vidět na obrázku, který ukazuje hodnoty funkce h(x) = (x - 0.05a)(x - 2 - 0.2a)(x - 5) x(x - 2)(x - 4) 2. SPOJITÉ FUNKCE 145 pro hodnoty a = 0 (obrázek vlevo tedy vlastně zobrazuje racionální funkci (x - 5)/(x - 4)) a pro a = 5/3. y x 6 5 4 2 4 0 -2 3 -4 -6 210-1 a=0. y x 6 5 4 2 4 0 -2 3 -4 -6 210-1 a=1.6667 (2) Polynomy jsou pomocí sčítání a násobení skaláry seskládány z jednoduchých mocninných funkcí x xn s přirozených číslem n = 0, 1, 2, . . . . Samozřejmý smysl má také funkce x x-1 pro všechny x = 0. Tuto definici teď rozšíříme na obecnou mocninnou funkci s n R. Pro n = -a s a N definujeme x-a = (xa )-1 = (x-1 )a . Dále jistě chceme, aby ze vztahu bn = x pro n N vyplývalo b = x 1 n . Je třeba ale ověřit, že taková b skutečně existují. Předpokládejme x > 0 a označme B množinu B = {y R, y > 0, yn b}. To je zřejmě zhora ohraničená množina a lze ověřit, že pro b = sup M skutečně platí požadovaná rovnost. Zdůvodnili jsme tedy existenci xa pro všechny x > 0 a a Q. Konečně, pro a R, x > 1 klademe xa = sup{xy , y Q, y a}. Pro 0 < x < 1 buď definujeme analogicky (je třeba si jen pohrát s nerovnítky) nebo klademe přímo xa = (1 x )-a . Pro x = 1 je pak 1a = 1 pro libovolné a. Obecnou mocninnou funkci x xa máme tedy dobře definovanou pro všechny x [0, ) a a R. Naši konstrukci ale můžeme také číst následujícím způsobem: Pro každé pevné reálné c > 0 existuje dobře definovaná funkce na celém R, y cy . Této funkci říkáme exponenciální funkce o základu c. Na obrázcích vidíme funkce x ax a x xb pro jednu konkrétní hodnotu a = 2.5167 a b = 4.5833. 146 5. ZŘÍZENÍ ZOO 20 0 0 -2-4 y b 100 4 80 60 2 40 a=2.5167 a 32,5 y 2 100 80 1,5 60 40 1 20 0 0,5 b=4.5833 Z našich definic je vcelku zřejmé, že mocninné i exponenciální funkce jsou spo- jité na celých svých definičních oborech. Zároveň se ze spojitosti definice pomocí suprem množin hodnot zjevně přenáší základní vlastnosti platné pro racionální čísla, a, x, y: e5.3a (5.5) ax ay = ax+y , (ax )y = axy . Příklad. Buď c R+ (kladné reálné číslo). Ukážeme, že lim n n c = 1. Řešení. Uvažme nejprve c > 1. Vzhledem k tomu, že funkce n c je vzhledem k n klesající a její hodnoty jsou stále větší než 1, tak musí mít posloupnost n c limitu a tou je infimum jejich členů. Předpokládejme, že by tato limita byla větší než 1, řekněme 1 + , kde > 0. Pak by podle definice limity byly všechny hodnoty dané posloupnosti od jistého m menší než 1 + + 2 4 , t.j. zejména m c < 1 + + eps2 4 . Potom by však 2m c = m c < 1 + + 2 4 = 1 + 2 < 1 + , což je spor s tím, že 1 + je infimem dané posloupnosti. 3. Derivace U polynomů jsme již v odstavci 5.5 diskutovali, jak popisovat jednoduše velikost růstu hodnot polynomu kolem daného bodu jeho definičního oboru. Tehdy jsme pozorovali podíl (5.2), který vyjadřoval směrnici sečny mezi body [x, f(x)] R2 a [x + x, f(x + x)] R2 pro (malý) přírůstek x nezávisle proměnné. Tehdejší úvaha funguje zrovna stejně pro libovolnou reálnou nebo komplexní funkci f, jen musíme místo intuitivního ,,zmenšování přírůstku x pracovat s pojmem limity. 5.18 5.20. Definice. Nechť f je reálná nebo komplexní funkce s definičním oborem A R a x0 A. Jestliže existuje limita lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 = a 3. DERIVACE 147 pak řídáme, že f má v bodě x0 derivaci a. Píšeme často a = f (x0) nebo a = df dx (x0) případně a = d dx f(x0). Derivace funkce je vlastní, resp. nevlastní, když je takovou příslušná limita. Jednostranné derivace (tj. derivaci zprava a zleva) definujeme zcela stejně po- mocí limity zprava a zleva. Z formulace definice lze očekávat, že f (x0) bude opět umožňovat dobře apro- ximovat danou funkci pomocí přímky y = f(x0) + f (x0)(x - x0). Takto lze snad vnímat následující lemma, které říká, že nahrazením konstantního koeficientu f (x0) spojitou funkcí dostaneme přímo hodnoty f. Lemma. Reálná nebo komplexní funkce má v bodě x0 vlastní derivaci, právě když existuje na nějakém okolí O(x0) funkce spojitá v x0 a taková, že pro všechny x O(x0) platí f(x) = f(x0) + (x)(x - x0). Navíc pak vždy (x0) = f (x0). Důkaz. Nejprve předpokládejme, že f (x0) je vlastní derivace. Pokud má existovat, má jistě tvar (x) = (f(x) - f(x0))/(x - x0) pro všechny x O \ {x0}. V bodě x0 naopak definujme hodnotu derivací. Pak jistě lim xx0 (x) = f (x0) = (x0) jak je požadováno. Naopak, jestliže taková funkce existuje, tentýž postup vypočte její limitu v x0. Proto existuje i f (x0) a je (x0) rovna. 5.18a 5.21. Geometrický význam derivace. Předchozí lemma lze názorně vysvětlit geometricky a tím popsat smysl derivace. Říká totiž, že na grafu funkce y = f(x), tj. na příslušné křivce v rovině se souřadnicemi x a y, poznáme, zda existuje de- rivace podle toho, jestli se spojitě mění hodnota směrnice sečny procházející body [x0, f(x0)] a [x, f(x)]. Pokud ano, pak limitní hodnota této směrnice je hodnotou derivace. Důsledek. Má-li reálná funkce f v bodě x0 R derivaci f (x0) > 0, pak pro nějaké okolí O(x0) platí f(b) > f(a) pro všechny body a, b O(x0), b > a. Je-li derivace f (x0) < 0, pak naopak pro nějaké okolí O(x0) platí f(b) < f(a) pro všechny body a, b O(x0), b > a. Důkaz. Uvažme prvý případ. Pak podle předchozího lematu platí f(x) = f(x0) + (x)(x - x0) a (x0) > 0. Protože je ale v x0 spojitá, musí existo- vat okolí O(x0), na kterém bude (x) > 0. Pak ale s rostoucím x nutně poroste i hodnota f(x). Stejná argumentace ověří i tvrzení se zápornou derivací. Funkce, které mají vlastnost f(b) > f(a) kdykoliv b > a pro nějaké okolí bodu x0 se nazývají rostoucí v bodě x0. Funkce rostoucí ve všech bodech nějakého intervalu se nazývá rostoucí na intervalu. Podobně je funkce klesající v bodu, resp. klesající na intervalu, jestliže f(b) < f(a) kdykoliv je a < b. Náš důsledek tedy říká, že funkce která má v bodě nenulovou konečnou derivaci je v tomto bodě buď rostoucí nebo klesající podle znaménka této derivace. 148 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.19 5.22. Pravidla pro počítání. Uveďme si nyní několik základních tvrzení o vý- počtech derivací. Říkají nám, jak dobře se snáší operace derivování s algebraickou strukturou sčítání a násobení na reálných nebo komplexních funkcích. Poslední z pravidel pak umožňuje efektivní výpočet derivace složených funkcí a říkává se mu ,,chain rule . Intuitivně jim můžeme všem velice snadno rozumět, když si derivaci funkce y = f(x) představíme jako podíl přírůstků závislé proměnné y a nezávislé proměnné x: f = y x . Samozřejmě pak při y = h(x) = f(x) + g(x) je přírůstek y dán součtem přírůstků f a g a přírůstek závislé proměnné zůstává stejný. Je tedy derivace součtu součtem derivací. U součinu musíme být malinko pozornější. Pro y = h(x) = f(x)g(x) je přírůstek y = f(x + x)g(x + x) - f(x)g(x) = f(x + x)(g(x + x) - g(x)) + (f(x + x) - f(x))g(x) Nyní ale když budeme zmenšovat přírůstek x, jde vlastně o výpočet limity součtu součinů a o tom už víme, že jej lze počítat jako součet součinů limit. Proto z naší formulky lze očkávat pro derivaci součinu fg výraz fg + f g. Ještě zajímavější je to pro derivaci složené funkce g = h f, kde definiční obor funkce z = h(y) obsahuje obor hodnot funkce y = f(x). Opět vypsáním přírůstků dostáváme g = z x = z y y x . Můžeme tedy očekávat, že pravidlo pro výpočet bude (h f) (x) = h (f(x))f (x). Podáme nyní korektní formulace a důkaz: Věta. Nechť f a g jsou reálné nebo komplexní funkce definované na okolí bodu x0 R a mající v tomto bodě vlastní derivaci. Potom (1) funkce f je v bodě x0 spojitá, (2) pro každé reálné nebo komplexní číslo c má funkce x c f(x) derivaci v x0 a platí (cf) (x0) = c(f (x0)), (3) funkce f + g má v x0 derivaci a platí (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0), (4) funkce f g má v x0 derivaci a platí (f g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0). (5) Je-li dále h funkce definovaná na okolí obrazu y0 = f(x0), která má derivaci v bodě y0, má také složená funkce h f derivaci v bodě x0 a platí (h f) (x0) = h (f(x0)) f (x0) Důkaz. (1) Předpokládejme, že f (x0) existuje a je vlastní (tj. není neko- nečná). Pak můžeme vyjádřit pro každé x = x0 f(x) = f(x) - f(x0) x - x0 (x - x0) + f(x0). 3. DERIVACE 149 Protože je ale limita součtu a součinu funkcí dána jako součet a součin limit (viz Věta 5.15), dostáváme lim xx0 f(x) = f (x0) 0 + lim xx0 f(x0) = f(x0), což ověřuje spojitost f v x0. (2) a (3) Opět přímé použití věty o součtech a součinech limit funkcí dává výsledek. (4) Přepíšeme vztah pro podíl přírůstků, který jsme zmínili před formulací věty, takto (f g)(x) - (f g)(x0) x - x0 = f(x) g(x) - g(x0) x - x0 + f(x) - f(x0) x - x0 g(x0). Limita tohoto výrazu pro x x0 dá právě požadovaný výsledek, protože je funkce f spojitá v x0. (5) Podle předchozího lematu existují funkce a spojité v bodech x0 a y0 = f(x0) takové, že h(y) = h(y0) + (y)(y - y0), f(x) = f(x0) + (x)(x - x0) na nějakých okolích x0 a y0. Navíc pro ně platí (x0) = f (x0) a (y0) = h (y0). Pak ovšem také platí h(f(x)) - h(f(x0)) = (f(x))(f(x) - f(x0)) = (f(x))(x)(x - x0) pro x z okolí bodu x0. Součin (f(x))(x) je ovšem spojitá funkce v x0 a její hodnota v bodě x0 je právě požadovaná derivace složené funkce. Důsledek. Nechť f a g jsou reálné funkce, která mají v bodě x0 vlastní derivace a g(x0) = 0. Pak pro funkci h(x) = f(x)(g(x))-1 platí h (x0) = f g (x0) = f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0) (g(x0))2 . Důkaz. Dokážeme si speciální případ formulky pro h(x) = x-1 . Přímo z defi- nice derivace dostáváme h (x) = lim x0 1 x+x - 1 x x = lim x0 x - x - x x(x2 + xx) = lim x0 -1 x2 + xx . Z pravidel pro počítání limit okamžitě dostáváme h (x0) = -x-2 . Nyní pravidlo pro derivaci složené funkce říká, že (g-1 ) = -g2 g a konečně pravidlo pro derivaci součinu nám dává právě kýžený vzorec: (f/g) = (f g-1 ) = f g-1 - fg-2 g = f g - gf g2 . 150 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.20 5.23. Derivace inverzních funkcí. V odstavci 1.57 jsme při obecné diskusi relací a zobrazení formulovali pojem inverzní funkce. Pokud k dané funkci f : R R inverzní funkce f-1 existuje (nezaměňujme značení s funkcí x (f(x))-1 ), pak je dána jednoznačně kterýmkoliv ze vztahů f-1 f = idR, f f-1 = idR, a druhý již pak platí také. Pokud je f definováno na podmnožině A R a f(A) = B, je existence f-1 podmíněna stejnými vztahy s identickými zobrazeními idA resp. idB na pravých stranách. Pokud bychom věděli, že pro diferencovatelnou funkci f je i f-1 diferencova- telná, pravidlo pro derivaci složené funkce nám říká 1 = (id) (x) = (f-1 f) (x) = (f-1 ) (f(x)) f (x) a tedy přímo víme formuli (zjevně f (x) v takovém případě nemůže být nulové) e5.5 (5.6) (f-1 ) (f(x)) = 1 f (x) . To dobře odpovídá intuitivní představě, že pro y = f(x) je f = y x zatímco pro x = f-1 (y) je (f-1 ) (y) = x y . Takto skutečně můžeme derivace inverzních funkcí počítat: Věta. Je-li f diferencovatelná funkce na okolí bodu x0 a f (x0) = 0, pak existuje na nějakém okolí bodu y0 = f(x0) funkce f-1 inverzní k f a platí vztah (5.6). Pokud je f (x0) = 0 izolovaným nulovým bodem derivace f (x) a inverzní funkce k f na okolí f(x0) existuje, pak limity zprava i zleva funkce f jsou v bodě x0 nevlastní. Důkaz. Nejprve si povšimněme, že nenulovost derivace znamená, že na ně- jakém okolí je naše funkce f buď ostře rostoucí nebo klesající, viz důsledek 5.21. Proto na nějakém okolí nutně existuje inverzní funkce. Přímo z definice spojitosti pomocí okolí je pak tato inverzní funkce také spojitá. Pro odvození našeho tvrzení nyní postačí pozorně znovu pročíst důkaz pátého tvrzení věty 5.22. Jen volíme f místo funkce h a f-1 místo f a místo předpokladu existence derivací pro obě funkce víme, že funkce složená je diferencovatelná (a víme, že její derivace je identita): Skutečně, podle lematu 5.20 existuje funkce spojitá v bodě y0 taková, že f(y) - f(y0) = (y)(y - y0), na nějakém okolí y0. Navíc pro ni platí (y0) = f (y0). Pak ovšem po dosazení y = f-1 (x) také platí x - x0 = (f-1 (x))(f-1 (x) - f-1 (x0)), pro x z nějakého okolí O(x0) bodu x0. Dále platí f-1 (x0) = y0 a protože je f buď ostře rostoucí nebo klesající, je (f-1 (x)) = 0 pro všechny x O(x0) \ {x0}. Můžeme tedy psát f-1 (x) - f-1 (x0) x - x0 = 1 (f-1(x)) = 0, 3. DERIVACE 151 pro všechny x O(x0) \ {x0}. Pravá strana tohoto výrazu je spojitá v bodě x0 a limita je rovna (y0) = (f (y0))-1 , proto i limita levé strany existuje a je rovna témuž výrazu. Předpokládejme, že je x0 izolovaný nulový bod derivace f a že inverzní funkce na nějakém okolí f(x0) existuje. Pak je f na okolí bodu x0 nenulová, její hodnota se ale blíží nule. Proto má nalevo i napravo derivaci i inverzní funkce a na nějakém levém, resp. pravém, okolí bodu x0 tato nemění znaménko. Odtud již vyplývá, že existují limity zprava i zleva pro f v bodě x0 a jsou nevlastní. 5.22 5.24. Derivace vyšších řádů. Říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f má v bodě x0 derivaci druhého řádu v bodě x0, jestliže derivace f existuje na nějakém okolí bodu x0 a existuje její derivace v bodě x0. Píšeme f (x0) = (f ) (x0) nebo také f(2) (x0). Funkce f je dvakrát diferencovatelná na nějakém intervalu A, jestliže má druhou derivaci v každém jeho bodě. Derivace vyšších řádů definujeme induktivně. Známe již pojem první a druhá derivace a říkáme, že reálná nebo komplexní funkce f je k-krát diferencovatelná pro nějaké přirozené číslo k v bodě x0, jestliže je (k - 1)-krát diferencovatelná na nějakém okolí bodu x0 a její (k - 1)-ní derivace má v bodě x0 derivaci. Pro k-tou derivaci funkce f(x) užíváme značení f(k) (x). Jestliže existují derivace všech řádů na intervalu, říkáme, že je tam funkce f hladká. Většinou se také užívá konvence, že 0-krát diferencovatelná funkce zna- mená spojitá funkce. Používáme pro takové funkce označení třída funkcí Ck (A) na intervalu A, kde k může nabývat hodnot 0, 1, . . . , . Často píšeme pouze Ck , je-li definiční obor znám z kontextu. Ilustrovat můžeme rychle pojem derivace vyššího řádu na polynomech. Protože výsledkem derivování polynomu je opět polynom, ale derivací se vždy o jedničku snižuje jeho stupeň, dostaneme po konečném počtu derivací nulový polynom. Přes- něji řečeno, právě po k + 1 derivacích, kde k je stupeň polynomu, dostaneme nulu. Samozřejmě pak existují derivace všech řádů, tj. f C (R). Při konstrukci splajnů, viz 5.7, jsme pohlídali, aby výsledné funkce byly třídy C2 (R). Jejich třetí derivace budou po částech konstantní funkce. Proto nebudou splajny patřit do C3 (R), přestože jejich všechny derivace vyšších řádů budou nu- lové ve všech vnitřních bodech jednotlivých intervalů v interpolaci. Promyslete si podrobně tento příklad! 5.25. Zvěřinec. Zatím máme shromážděny ctyři typy funkcí: ˇ polynomy f definované na celém R s hodnotami v R nebo v C, ˇ racionální funkce f/g definované na celém R kromě nejvýše konečné množiny kořenů polynomu g ve jmenovateli zlomku, s hodnotami v R nebo C, ˇ mocninné funkce xb s obecným b R, definované pro x > 0 a hodnotami v R, ˇ exponenciální funkce ax o libovolném základu a > 0 definované pro všechna x R a s hodnotami v R. Polynomy. Derivace polynomů jsme spočítali již v odstavci 5.5. Ilustrujme naše nástroje pro výpočet derivací při diskusi kořenů polynomů. Předně platí tzv. zá- kladní věta algebry, kterou však nebudeme dokazovat: 152 5. ZŘÍZENÍ ZOO Věta. Každý nenulový komplexní polynom f : C C stupně alespoň jedna má kořen. Nutně tedy polynom stupně k > 0 má právě k kořenů včetně násobností a můžeme jej vždy psát jednoznačně ve tvaru f(x) = (x - a1)c1 (x - aq)cq kde a1, . . . , aq jsou všechny kořeny polynomu f a 1 c1, . . . , cq k jsou jejich násobnosti. Derivací dostaneme f (x) = c1(x - a1)c1-1 . . . (x - aq)cq + + cq(x - a1)c1 . . . (x - aq)cq-1 . Jestliže je c1 = 1, bude hodnota derivace f v bodě a1 nenulová, protože první člen výrazu je nenulový, zatímco všechny zbývající po dosazení hodnoty x = a1 zmizí. Oddobně to bude i s ostatními kořeny. Ověřili jsme tedy užitečnou vlastnost, že kořen a polynomu f je vícenásobný tehdy a jen tehdy, když je zároveň kořenem derivace f . Protože polynomy jen zřídka jsou výhradně rostoucí nebo klesající funkce, ne- můžeme očekávat, že by existovaly globálně definované inverzní funkce k nim. Nao- pak ovšem inverzní funkce k polynomu f existují na každém intervalu mezi kořeny derivace f , tj. tam kde derivace polynomu je nenulová a nemění znaménko. Tyto inverzní funkce nebudou nikdy polynomy, až na případ polynomů stupně jedna, kdy z rovnice y = ax + b spočteme přímo x = 1 a (y - b). U polynomu druhého řádu obdobně y = ax2 + bx + c vede k formuli x = -b b2 - 4a(c - y) 2a , a inverze tedy existuje (a je dána touto formulí) jen pro x na intervalech (-, - b 2a ), (- b 2a , ). Pro práci s inverzními funkcemi k polynomům nevystačíme s našimi funkcemi a dostáváme v našem zvířetníku nové přírůstky. Racionální funkce. Všechny racionální funkce jsou také třídy C ve všech bo- dech svého definičního oboru. Jejich derivace se snadno počítá pomocí formule pro derivaci podílu. Samozřejmě bude také racionální funkcí. Inverze také budou jako u polynomů existovat obecně jen lokálně a jsou novými přírůstky do našeho společenstva funkcí. Mocninné funkce. Obecnou mocninou funkci není tak snadné zderivovat, i když bychom mohli věřit, že formulka e5.6 (5.7) (xa ) = axa-1 známá pro přirozená a bude platit i pro obecné a. K tomu totiž máme dobrý důvod, protože ji umíme přímo ověřit pro racionální a = p/q. Je-li a celé a záporné, pak tvrzení přímo vidíme z věty o složené funkci: (x-n ) = ((xn )-1 ) = -(xn )-2 nxn-1 = -nx-2n+n-1 = -nx-n-1 . 3. DERIVACE 153 Pokračujme dále s odmocninami, tj. a = 1/q. Pišme x = h(y) = y1/q , y = xq a počítejme podle věty o derivaci inverzní funkce h (y) = 1 q 1 xq-1 = 1 q y-(q-1)/q = 1 q y1/q-1 . Pro obecné racionální a = p/q máme (xp/q ) = ((x1/q )p ) = p(x1/q )p-1 1 q x1/q-1 = p q xp/q-1 . Nyní bychom mohli zvládnout důkaz platnosti formule (5.7) pomocí spojitosti definice mocninné funkce xa v parametru a. Vrátíme se raději k důkazu z jiného pohledu za malou chvíli. Funkce f(x) = x0 = 1 má samozřejmě derivaci nulovou, pro všechny jiné hodnoty a = 0 je derivace nenulová. Je záporná pro a (0, 1), kladná pro a (1, ). Proto je mocninná funkce na celém definičním oboru (0, ) klesající v prvém případě a rostoucí v druhém. Její inverzní funkce je opět mocninnou funkcí. Exponenciální funkce. Zbývají nám funkce f(x) = ax . Zde se také budeme s derivací poněkud potýkat. Pokud budeme umět derivovat ax ve všech bodech x, bude jistě platit f (x) = lim x0 ax+x - ax x = ax lim x0 ax - 1 x = f (0)ax . Naopak, pokud existuje derivace v nule, pak tento výpočet ověřuje existenci derivace v kterémkoliv bodě a dává její hodnotu. Zároveň jsme ověřili platnost téhož vztahu pro derivace zprava a zleva. Exponenciální funkce jsou tedy zvláštními případy funkcí, kdy jejich derivace jsou úměrné hodnotám s konstantním koeficientem úměrnosti. Spočtěme derivaci f (0), tj. výraz lim x0 ax - 1 x a předpokládejme, že naše a > 1. Z definice hodnot exponenciální funkce pomocí suprem mno- žin hodnot s racionálními x je zjevné, že exponenciální funkce ax je na celém svém definičním oboru rostoucí. Stačí nám proto při výpočtu derivace zprava dosazovat za x postupně hodnoty xn = 1/n a dostaneme lim x0+ ax - 1 x = lim n a1/n - 1 1/n . Zkusíme najít takové a, aby limita existovala a byla rovna jedné. Toho dosáhneme, pokud budeme umět s rostoucím n libovolně dobře přibližovat hodnotu a1/n k hodnotě 1 + 1/n, tj. ekvivalentně (dle pravidel pro počítání limit) a je s rostoucím n libovolně přesně aproximováno hodnotou an = ,, 1 + 1 n n . Z binomického rozvoje je zřejmé, že pro každé kladné číslo b a přirozené n platí (1+b)n > 1+nb, dostáváme proto pro dva po sobě jdoucí členy naší posloupnosti podíl (1 + 1 n )n (1 + 1 n-1 )n-1 = (n2 - 1)n n n2n(n - 1) = ,, 1 - 1 n2 n n n - 1 > (1 - 1 n ) n n - 1 = 1. Je tedy naše posloupnost rostoucí. Zároveň stejným výpočtem ověříme, že posloupnost čísel bn = (1 + 1 n )n+1 = (1 + 1 n )(1 + 1 n )n 154 5. ZŘÍZENÍ ZOO je klesající a jistě je bn > an. Ověřili jsme tedy existenci limity poslounosti an (a zároveň vidíme, že je rovna limitě klesající posloupnosti bn). Tato limita je jedním z nejdůležitějších čísel v matematice (vedle nuly, jedničky a Ludolfova čísla ), nazýváme jej Eulerovým číslem e. Je tedy e = lim n 1 + 1 n n . Náš postup zároveň ověřil, že existuje derivace v nule zprava exponenciální funkce ex a je rovna jedné. Proto existuje ve všech bodech x také derivace zprava a je rovna ex . Nyní můžeme spočíst derivaci zleva pomocí derivací složených funkcí. Skutečně, lim x0- ex -1 x = lim x0+ e-x -1 -x = (e0 )-2 e0 = 1. Derivace zleva i zprava tedy pro funkci f(x) = ex existují ve všech bodech a jsou si rovny. Přirozený logaritmus. Protože je exponenciální funkce ex všude dobře defino- vána a kladná, existuje všude i její funkce inverzní. Označujeme ji ln x a říkáme jí přirozený logaritmus nebo logaritmus se základem e. Je definována vztahem eln x = x. Z vlastností mocninných funkcí, viz vztahy (5.5), okamžitě dostáváme 5.6a (5.8) ln(x y) = ln x + ln y, ln xy = y ln x. Derivaci přirozeného logaritmu spočteme podle pravidla pro derivaci složené funkce (užíváme již, že ex je rovno své derivaci, a také definiční vztah pro logaritmus): e5.7 (5.9) (ln) (y) = (ln) (ex ) = 1 (ex) = 1 ex = 1 y . Derivaci obecné exponenciální funkce f(x) = ax můžeme nyní spočíst takto: e5.8 (5.10) (ax ) = (ex ln a ) = ex ln a (x ln a) = ax ln a. Podobně také můžeme konečně ověřit i formuli pro derivaci obecné mocninné funkce pro všechny x > 0: (xa ) = (ea ln x ) = ea ln x (a ln x) = axa-1 . Pro obecnou exponenciální funkci ax se základem a = 1, a > 0 také existuje všude inverzní funkce. Říkáme jí logaritmus při základu a, píšeme loga x. Vlastnosti dosavadního osazenstva našeho zvířetníku funkcí zpřehledňuje násle- dující tabulka, kde jsou shrnuty vlastnosti jednotlivých obyvatelů a jejich vztahy: 4. MOCNINNÉ ŘADY 155 funkce definiční obor třída derivace inverze polynomy f celé R C f opět polynom f-1 existuje jen lo- kálně a neumíme obecnou formulí kubické splajny h celé R C2 h je opět splajn formule s odmocni- nami a jen lokálně racionální funkce f/g celé R kromě kořenů jme- novatele g C opět racionální funkce: f g-fg g2 existuje jen lokálně a neumíme obecnou formulí mocninné funkce xa interval (0, ) C funkce axa-1 existuje všude a je opět mocninnou funkcí y1/a exponenciální funkce ax s a > 0, a = 1 celé R C existuje všude a je ln a ax logaritmická funkce loga 4. Mocninné řady 5.24 5.26. Vraťme se k exponenciální funkci ex . Jestliže v posloupnosti am = (1+ 1 m )m dosadíme za m hodnoty m = n/x pro nějaké pevné x R, dostaneme bn = 1 + x n n x , bx n = 1 + x n n . Přitom, je limita bn pro n jdoucí do nekonečna opět e. Odvodili jsme tedy důležitý vztah platný pro všechna x R e5.11 (5.11) ex = lim n 1 + x n n . Označme si n-tý člen této posloupnosti un(x) a vyjádřeme si jej pomocí biono- mické věty: e5.11a (5.12) un(x) = 1 + n x n + n(n - 1)x2 2!n2 + + n!xn n!nn = 1 + x + x2 2! 1 - 1 n + x3 3! 1 - 1 n 1 - 2 n + . . . + xn n! 1 - 1 n 1 - 2 n . . . 1 - n - 1 n . Protože jsou všechny závorky v součinech menší než jedna, dostáváme také un(x) < vn(x) = n j=0 1 j! xj . Podívejme se nyní na formální nekonečný součet e5.12 (5.13) X j=0 cj = X j=0 1 j! xj tj. vn(x) je právě částečný součet prvních n členů. Podíl dvou po sobě jdoucích členů v řadě je cj+1/cj = x/(n + 1). Pro každé pevné x tedy existuje N N takové, že cj+1/cj < 1/2 pro 156 5. ZŘÍZENÍ ZOO všechny j > N. Pro takto velké j je ovšem cj+1 < 1 2 cj < 2-(j-N+1) cN . To ale znamená, že částečné součty prvních n členů v našem formálním součtu jsou shora ohraničeny součty vn < NX j=0 1 j! xj + 1 j! xj n-NX j=0 1 2j . Poslední sumu ovšem umíme snadno spočíst. Jde o zvláštní případ součtu geometrické řadyPk j=0 qj . Protože platí pro každé q (1 - q)(1 + q + + qk ) = 1 - qk+1 , existuje limita částečných součtů v geometrické řadě P j=0 qk právě když |q| < 1 a v takovém případě platí e5.13 (5.14) X j=0 qj = lim k kX j=0 qj = 1 1 - q . Protože čísla vn tvoří rostoucí posloupnost, jistě také tato posloupnost konverguje. Ří- káme, že řada (5.13) konverguje. Nyní si prohlédněme pozorněji posloupnost čísel un, jejíž limitou je ex . Budeme uvažovat n > N pro nějaké pevné N (hodně velké) a zvolíme si k < N pevné (docela malé). Pak pro dostatečně velká N umíme součet prvních k členů ve vyjádření uN v (5.12) aproximovat libovolně přesně výrazem vk. Protože je tato část součtu uN ostře menší než uN samotné, musí posloupnost un konvergovat k téže limitě jako poslounost vn. Dokázali jsme tedy: Věta. Exponenciální funkce je pro každé x R vyjádřena jako limita částečných součtů ve výrazu ex = 1 + x + 1 2! x2 + + 1 n! xn + = n=0 1 n! xn . Při dovození tohoto mimořádně důležitého tvrzení jsme mimoděk pracovali s několika užitečnými pojmy a nástroji. Sformulujeme si je nyní obecněji: 5.25 5.27. Definice. Nekonečná řada je výraz n=0 an = a0 + a1 + a2 + + ak + . . . , kde an jsou reálná nebo komplexní čísla. Posloupnost částečných součtů je dána svými členy sk = k n=0 an a říkáme, že řada konverguje a je rovna s, jestliže existuje konečná limita částečných součtů s = lim k sn. K tomu, aby posloupnost sn konvergovala, je nutné a stačí, aby byla Cauchyovská. Tzn. že |sm - sn| = |an+1 + + am| musí být libovolně malé pro dostatečně velká m > n. Protože je |an+1| + + |am| > |an+1 + + am|, vyplývá z konvergence řady k=0 |an| i konvergence řady k=0 an. Říkáme, že řada k=0 an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada n=0 |an|. Jestliže posloupnost částečných součtů řady má nevlastní limitu, říkáme že řada diverguje k nebo -. 4. MOCNINNÉ ŘADY 157 Jednoduché algebraické operace s absolutně konvergentními řadami se chovají všechny dobře: Věta. Nechť S = n=0 an a T = n=0 bn jsou dvě absolutně konvergentní řady. Pak (1) jejich součet absolutně konverguje k součtu S + T = n=0 an + n=0 bn = n=0 (an + bn), (2) jejich rozdíl absolutně konverguje k rozdílu S - T = n=0 an - n=0 bn = n=0 (an - bn), (3) jejich součin absolutně konverguje k součinu S T = n=0 an n=0 bn = n=0 n k=0 an-kbk . Důkaz. První i druhé tvrzení jsou bezprostředním důsledkem obdobných vlast- ností limit. Třetí tvrzení vyžaduje větší pozornost. Označme si cn = n k=0 an-kbk. Z předpokladů a podle pravidel pro limitu součinu posloupností dostáváme k n=0 an k n=0 bn n=0 an n=0 bn . Máme tedy dokázat, že 0 = lim k k n=0 an k n=0 bn - k n=0 ck . Porovnejme si nyní výrazy k n=0 an k n=0 bn = 0i,jk aibj, cn = i+j=n 0i,jk aibj, k n=0 cn = i+jk 0i,jk aibj. Dostáváme tedy odhad k n=0 an k n=0 bn - k n=0 ck = i+j>k 0i,jk aibj i+j>k 0i,jk |aibj|. K odhadu posledního výrazu nám poslouží jednoduchý trik: aby mohl být součet idexů větší než k, musí být alespoň jeden z nich větší než k/2. Jistě tedy výraz nezmenšíme, když do něj přidáme více členů, tj. vezmeme všechny jako v součinu a odebereme pouze ty, u kterých jsou oba nejvýše k/2. i+j>k 0i,jk |aibj| 0i,jk |aibj| - 0i,jk/2 |aibj|. 158 5. ZŘÍZENÍ ZOO Oba výrazy v rozdílu jsou ale částečné součty pro součin S T, mají tedy také stejnou limitu a proto jejich rozdíl jde k nule. Jako obvykle si hned shrneme několik dalších jednoduchých tvrzení o řadách: 5.26 5.28. Věta. Nechť S = n=0 an je nekonečná řada reálných nebo komplexních čísel. (1) Jestliže S konverguje, pak limn an = 0. (2) Předpokládejme, že existuje limita podílů po sobě jdoucích členů řady a platí lim n an+1 an = q. Pak řada S konverguje absolutně při |q| < 1 a nekonverguje při |q| > 1. Při |q| = 1 může řada konvergovat ale nemusí. (3) Jestliže existuje limita lim n n |an| = q, pak při q < 1 řada konverguje, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. Důkaz. (1) Jestliže limn an neexistuje nebo je nenulová, exituje pro dosta- tečně malé číslo > 0 nekonečně mnoho členů ak s |ak| > . Zároveň tedy musí mezi nimi existovat nekončeně mnoho kladných nebo nekonečně mnoho záporných. Pak ovšem při přidání kteréhokoliv z nich do částečného součtu dostáváme rozdíl dvou po sobě jdoucích sn a sn+1 o velikosti alespoň . Posloupnost částečných součtů proto nemůže být Cauchyovská a tedy ani konvergentní. (2) Protože chceme dokazovat absolutní konvergenci, můžeme rovnou předpokládat ai > 0. Důkaz jsme pro speciální hodnotu q = 1/2 provedli při dovození hodnoty ex pomocí řady. Stejnou úvahou z existence limity podílů dovodíme pro dostatečně veliké N aj+1 < q aj < q-(j-N+1) cN . To ale znamená, že částečné součty prvních sn jsou shora ohraničeny součty sn < NX j=0 aj + cN n-NX j=0 1 qj . Je-li 0 < q < 1, je množina všech částečných součtů shora ohraničená a proto je limitou naší řady její supremum. Při hodnotě q > 1 použijeme obdobný postup, ale z existence limity q na začátku odvo- díme aj+1 < q aj < q-(j-N+1) cN . To ale znamená, že částečné součty prvních sn jsou zdola ohraničeny součty sn > NX j=0 aj + cN n-NX j=0 1 qj . Při q > 0 tento výraz poroste nad všechny meze (3) Důkaz je zde velmi podobný předchozímu případu. Z existence limity q < 1 vyplývá, že pro každé q < r < 1 existuje N takové, že pro všechny n > N platí n p |an| < r. Umocněním pak |an| < rn takže jsme opět v situaci, kdy srovnáváme s geometrickou řadou. Důkaz se proto dokončí stejně jako v případě podílového testu. 4. MOCNINNÉ ŘADY 159 V důkazu druhého i třetího tvrzení jsme využívali slabšího tvrzení, než je existecne limity. Potřebovali jsme pro studované posloupnosti nezáporných výrazů pouze tvrzení, že od určitého indexu už budou větší nebo menší než dané číslo. K takovému odhadu nám ale postačí pro danou posloupnost bn uvažovat s každým indexem n supremum hodnot členů s indexy vyššími. Tato suprema vždy existují a budou tvořit nerostoucí posloupnost. Její infimum pak označujeme jako limes superior dané posloupnosti a značíme lim sup n bn. Výhodou je, že limes superior vždy existuje, můžeme proto předchozí výsledek (včetně důkazu) přeformulovat v silnější podobě: Důsledek. Nechť S = n=0 an je nekonečná řada reálných nebo komplexních čísel. (1) Je-li q = lim sup n an+1 an , pak řada S konverguje absolutně při q < 1 a nekonverguje při q > 1. Při q = 1 může řada konvergovat ale nemusí. (2) Je-li q = lim sup n n |an|, pak při q < 1 řada konverguje, zatímco při q > 1 diverguje. Je-li q = 1, může konvergovat i divergovat. Příklad. Ukažte, že tzv. harmonická řada i=1 1 i diverguje. Řešení. Pro libovolné přirozené k je součet prvních 2k členů řady větší než k/2: 1 + 1 2 > 1 2 + 1 3 + 1 4 > 1 4 + 1 4 = 1 2 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 1 2 + . . . , součet členů od 2l +1 do 2l+1 je totiž vždy větší než 2l -krát (jejich počet) číslo 1/2l (nejmenší z nich), což je dohromady 1/2. Příklad. Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či divergují: (1) n=1 2n n (2) n=1 1 n (3) n=1 1 n2100000 (4) n=1 1 (1+i)n Řešení. 160 5. ZŘÍZENÍ ZOO (1) Budeme zkoumat konvergenci podílovým kritériem: lim n an+1 an = lim n 2n+1 n+1 2n n = lim n 2(n + 1) n = 2 > 1, řada tedy diverguje. (2) Odhadneme řadu ze spodu: víme, že pro libovolné přirozené n platí 1 n 1 n . Pro posloupnost částečných součtů sn zkoumané řady a posloupnost částečných součtů harmonické řady sn tedy platí: sn = n i=1 1 n n i=1 1 n = sn. A protože harmonická řada diverguje (viz předchozí příklad), diverguje i její po- sloupnost částečných součtů {sn} n=1, tedy diverguje i posloupnost částečných součtů {sn} n=1, tedy diverguje i zadaná posloupnost. (3) Diverguje, jedná se o násobek harmonické řady. (4) Jedná se o geometrickou řadu s koeficientem 1 1+i , ta bude konvergovat, bude-li absolutní hodnota koeficientu menší než 1. Víme, že | 1 1 + i | = | 1 - i 2 | = | 1 2 - 1 2 i| = 1 4 + 1 4 = 2 2 < 1, řada tedy konverguje a umíme ji dokonce sečíst: n=1 1 (1 + i)n = 1 1 - 1 1+i = 1 + i i = 1 - i. 5.27 5.29. Mocninné řady. Jestliže máme místo posloupnosti čísel an k dispozici po- sloupnost funkcí fn(x) se stejným definičním oborem A, můžeme bod po bodu použít definici řady a dostáváme pojem součtu řady funkcí S(x) = n=0 fn(x). Mocninná řada je dána výrazem S(x) = n=0 anxn . Řekneme, že S(x) má poloměr konvergence 0, jestliže S(x) konverguje pro každé x splňující |x| < a diverguje při |x| > . Věta. Nechť S(x) = n=0 anxn je mocninná řada a existuje limita = lim n n an. Pak je poloměr konvergece řady S roven r = -1 . Mocninná řada S(x) je spojitá na celém svém intervalu konvergence (včetně krajních bodů, pokud v nich konverguje) a existuje také její derivace S (x), S (x) = n=1 nanxn-1 . 4. MOCNINNÉ ŘADY 161 Důkaz. Pro ověření konvergence řady můžeme pro každou pevnou hodnotu x použít odmocninový test z věty 5.28(3). Počítáme přitom lim n n anxn = x a řada konverguje, resp. diverguje, jestliže je tato limita různá od 1. Tvrzení o spojitosti a derivaci dokážeme později v obecnějším kontextu, viz 6.25­6.27. Všimněme si také, že můžeme při důkazu konvergence použít silnější variantu odmocninového testu a tedy lze poloměr konvergence r pro každou mocninnou řadu přímo zadat fomulí r-1 = lim sup n n an. 5.28 5.30. Příklad. Prodíváme se na mocninné řady S(x) = n=0 xn , T(x) = n=1 1 n xn . První příklad je geometrická řada, kterou jsme se zabývali již dříve, a její součet je pro všechny x s |x| < 1 S(x) = 1 1 - x , zatímco |x| > 1 zaručuje divergenci. Pro x = 1 dostáváme také zjevně divergentní řadu 1 + 1 + 1 + . . . s nekonečným součtem, při x = -1 jde o řadu 1 - 1 + 1 - . . . , jejíž částečné součty nemají limitu vůbec. Věta 5.28(3) ukazuje, že poloměr konvergence druhého příkladu je také jedna, protože existuje lim n 1 n+1 xn+1 1 n xn = x lim n n n + 1 = x Pro x = -1 tu dostaneme divergentní řadu 1+ 1 2 + 1 3 +. . . (dokažte si jako cvičení!). Naopak, řada T(-1) = -1 + 1 2 - 1 3 + . . . konverguje. Vyplývá to z obecnějšího platného tvrzení: O řadě T = n=0 bn s reálnými členy řekneme, že je alternující, jestliže je zna- ménko dvou po sobě jdoucích členů vždy opačné. Pokud je navíc |bn| klesající po- sloupnost a pro řadu T platí nutná podmínka konvergence z 5.28, tj. limn bn = 0, pak řada konverguje. Důkaz teď nebudeme provádět, vyplyne z obecnějších výsledků později, viz ??. Příklad.7. Určete poloměr konvergence následujících mocninných řad: (1) n=1 2n n xn (2) n=1 1 (1+i)n xn Řešení. (1) r = 1 lim sup n an+1 an = 1 2 , 162 5. ZŘÍZENÍ ZOO viz úloha ??. Daná mocniná řada tedy konverguje pro reálná x (-1 2 , 1 2 ), případně pro komplexní |x| < 1 2 . Všimněme si, že řada je divergentní pro x = 1 2 (jde o harmonickou řadu) a naopak konverguje pro x = -1 2 (alternující harmonická řada). Rozhodnout o konvergenci pro libovoné x ležící v komplexní rovině na kružnici o poloměru 1 2 je těžší otázka a přesahuje rámec našeho kurzu. (2) Opět díky přechozímu příkladu víme, že lim sup n n 1 (1 + i)n = lim sup n 1 1 + i = 2 2 . je tedy poloměr konvergence dané mocninné řady r = 2. 5.29 5.31. Zvěřinec. S mocninnými řadami nám do našeho společenství přibyla spousta nových příkladů hladkých funkcí, tj. funkcí libovolněkrát diferencovatelných na ce- lém svém definičním oboru. Pohrejme si chvíli s nejvýznamnějším a prvním naším příkladem, exponenciálou ex = 1 + x + 1 2 x2 + + 1 n! xn + . . . . Tato mocninnná řada má poloměr konvergence nekonečný a dobře proto de- finuje hladkou funkci pro všechna komplexní čísla x. Její hodnoty jsou limitami hodnot (komplexních) polynomů s reálnými koeficienty a ze spojitosti tedy musí pro ni platit i obvyklé vztahy, které jsme pro reálné hodnoty proměnné x již odvo- dili. Zejména tedy platí ex+y = ex ey , viz (5.5) a věta 5.27(3). Dosaďme si hodnoty x = i t, kde i C je imaginární jednotka, t R libovolné. eit = 1 + it - 1 2 t2 - i 1 3! t3 + 1 4! t4 + i 1 5! t5 - . . . a zjevně tedy je komplexně konjugované číslo k z = eit číslo z = e-it . Proto |z|2 = z z = eit e-it = e0 = 1 a všechny hodnoty z = eit proto leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině. Reálné a imaginární složky bodů na jednotkové kružnici přitom bývají popiso- vány pomocí goniometrických funkcí cos a sin , kde je patřičný úhel. Derivací parametrického popisu bodů kružnice, t eit dostáváme vektory ,,rychlostí , které budou dány výrazem (lze např. zderivovat skutečně zvlášť reálnou a imaginární složku a sečíst výsledky) t eit ) = i eit a jejich velikost proto také bude pořád jednotková. Odtud lze tušit, že celou kružnici oběhneme po dosažení hodnoty parametru rovného délce oblouku, tj. 2 (i když ke skutečnému ověření této skutečnosti budeme potřebovat integrální počet). Takto bývá Ludolfovo číslo také definováno. Můžeme se ale nyní aspoň částečně ujistit pohledem na nejmenší kladné kořeny reálné části částečných součtů naší řady, tj. 4. MOCNINNÉ ŘADY 163 příslušných polynomů. Již při řádu deset nám vyjde číslo přesně na 5 desetinných míst. Dostali jsem tedy přímou definici goniometrických funkcí pomocí mocninných řad: cos t = re eit = 1 - 1 2 t2 + 1 4! t4 - 1 6! t6 + + (-1)k 1 (2k)! t2k + . . .e5.15 (5.15) sin t = im eit = t - 1 3! t3 + 1 5! t5 - 1 7! t7 + + (-1)k 1 (2k + 1)! t2k+1 + . . .e5.16 (5.16) Ilustraci konvergence řady pro funkci cos je vidět na obrázku. Jde o graf přísluš- ného polynomu stupně 68. Při postupném vykreslení částečných součtů je vidět, že aproximace v okolí nuly je velice dobrá a prakticky beze změn. S rostoucím řádem se pak zlepšuje i dále od počátku. y t~ 1,5 30 1 0,5 20 0 -0,5 10 -1 -1,5 0-10-20-30 Přímo z definice vyplývá známý vztah sin2 t + cos2 t = 1 a také z derivace (eit ) = i eit vidíme, že (sin t) = cos t, (cos t) = - sin t. Tentýž výsledek lze samozřejmě ověřit přímo derivací našich řad člen po členu. Předpokládejme, že t0 je nejmenší kladné číslo, pro které je e-it0 = - eit0 , tj. první kladný nulový bod funkce cos t. Podle naší definice Ludolfova čísla je t0 = 1 2 . Pak e-i2t0 = (e-it0 )2 = ei2t0 a jde proto o nulový bod funkce sin t. Samozřejmě pak platí pro libovolné t ei(4kt0+t) = (eit0 )4k eit = 1 eit . Jsou tedy obě funkce goniometrické funkce periodické s periodou 2. Z našich definic je přitom vidět, že je to nejmenší jejich perioda. Nyní můžeme snadno odvodit všechny obvyklé vztahy mezi goniometrickými funkcemi. Uvedeme na ukázku několik z nich. Nejprve si všimněme, že definice 164 5. ZŘÍZENÍ ZOO vlastně říká cos t = 1 2 (eit + e-it ) sin t = 1 2i (eit - e-it ). Součin těchto funkcí jde tedy vyjádřit jako sin t cos t = 1 4i (eit - e-it )(eit + e-it ) = 1 4i (ei2t - e-i2t ) = 1 2 sin 2t. Dále můžeme využít naši znalost derivací: cos 2t = ( 1 2 sin 2t) = (sin t cos t) = cos2 t - sin2 t. Vlastnosti dalších goniometrických funkcí tg t = sin t cos t , cotg t = (tg t)-1 se snadno odvodí z jejich definice a pravidel pro derivování. Grafy funkcí sinus, cosinus, tangens a cotangens jsou na obrázcích (postupně červený a zelený vlevo, červený a zelený vpravo): 1 x 0,5 0 10-5 -0,5 5 -1 0-10 x 3210-1-2 y -3 10 5 0 -5 -10 Cyklometrické funkce jsou inverzní ke goniometrickým. Protože jsou goniome- trické funkce všechny periodické s periodou 2, jsou jejich inverze definované vždy jen v rámci jedné periody a to ještě jen na části, kdy je daná funkce buď rostoucí nebo klesající. Jsou to funkce arcsin = sin-1 s definičním oborem [-1, 1] a oborem hodnot [-/2, /2]. Dále arccos = cos-1 s definičním oborem [-1, 1] a oborem hodnot [0, ], viz obrázek vlevo. 4. MOCNINNÉ ŘADY 165 3 2 1 0 -1 x 10,50-0,5-1 3 2 1 x 0 -1 1050-5-10 Zbývají ještě funkce (zobrazené na obrázku vpravo) arctg = tg-1 s definičním oborem [-, ] a oborem hodnot [-/2, /2] a konečně arccotg = cotg-1 s definičním oborem [-, ] a oborem hodnot [0, ]. Velice často se také využívají tzv. hyperbolické funkce sinh x = 1 2 (ex - e-x ), cosh x = 1 2 (ex + e-x ). Název naznačuje, že by funkce mohly mít něco společného s hyperbolou. Přímý výpočet dává (druhé mocniny se v roznásobených dvojčlenech všechny odečtou a zůstanou smíšené členy) (cosh x)2 - (sinh x)2 = 2 1 2 (ex e-x ) = 1. Body [cosh t, sinh t] tedy skutečně parametricky popisují hyperbolu v rovině. Pro hyperbolické funkce lze snadno odvodit podobné identity jako pro funkce goniome- trické. Mimo jiné je přímo z definice snadno vidět cosh x = cos(ix), i sinh x = sin(ix) (ověřte si jako cvičení). Příklad. Sečtěte: 2 + 1 + 2 2! + 1 3! + 2 4! + 1 5! + 2 6! + Řešení. Porovnáme tvar součtu s mocninným rozvojem funkcí sinh a cosh a do- stáváme výsledek sinh(1) + 2 cosh(1) . 166 5. ZŘÍZENÍ ZOO 5.30 5.32. Poznámky. Mocninné řady můžeme zcela stejně definovat takto: S(x) = n=0 an(x - x0)n , kde x0 je libovolné pevně zvolené reálné číslo. Všechny naše předchozí úvahy jsou pořád platné, jen je třeba mít na paměti, že se vztahují k bodu x0. Zejména tedy ta- ková řada konverguje na intervalu (x0 -, x0 +), kde je její poloměr konvergence. Říkáme, že S je mocninná řada se středem v x0. Dále platí, že má-li mocninná řada y = T(x) hodnoty v intervalu, kde je dobře definována řada S(y), potom i hodnoty funkce S T jsou vyjádřeny mocninnou řadou, kterou dostaneme formálním dosazením y = T(x) za y do S(y). Zejména lze takto počítat členy mocninných řad zadávajících inverzní funkce. Nebudeme zde uvádět seznam formulí, snadno se k nim dostaneme například v Maplu procedurou ,,series . KAPITOLA 6 Diferenciální a integrální počet zvěřinec teď máme, ale co s ním? ­ naučíme se s ním zacházet... V minulé kapitole jsme si postupně hráli buď s mimořádně velikými třídami funkcí -- všechny spojité, všechny diferencovatelné apod. -- nebo jen s konkrét- ními funkcemi -- např. exponenciální, goniometrické, polynomy atd. Měli jsme ale přitom jen minimum nástrojů a vše jsme počítali tak říkajíc na koleně. Teď dáme dohromady několik výsledků, které umožní snáze pracovat s funkcemi při modelo- vání reálných problémů. 1. Derivování Začneme několika jednoduchými výsledky o derivování funkcí. 6.1 6.1. Věta. Nechť funkce f : R R je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Jestliže platí f(a) = f(b), pak existuje c (a, b) takové, že f (c) = 0. Důkaz. Protože je funkce f spojitá na uzavřeném intervalu (tj. kompaktní množině), má na něm maximum a minimum. Pokud by maximum i minimum mělo stejnou hodnotu f(a) = f(b), pak by funkce f byla konstantní a tedy i její deri- vace by byla nulová ve všech bodech intervalu (a, b). Předpokládejme tedy, že buď maximum nebo mimimum je jiné a nechť nastává jedno z nich ve vnitřním bodě c. Pak ovšem není možné, aby v c bylo f (c) = 0, protože to by v tomto bodě byla byla funkce f buď rostoucí nebo klesající (viz 5.21) a jistě by tedy v okolí bodu c nabývala větších i menších hodnot, než je f(c). Právě dokázanému tvrzení se říká Rolleova věta. Z ní snadno vyplývá následující důsledek, známý jako věta o střední hodnotě. 6.2 6.2. Věta. Nechť funkce f : R R je spojitá na intervalu [a, b] a diferencovatelná uvnitř tohoto intervalu. Pak existuje c (a, b) takové, že f (c) = f(b) - f(a) b - a . Důkaz. Důkaz je prostým zápisem geometrického významu tvrzení: k sečně mezi body [a, f(a)] a [b, f(b)] existuje tečna, která je s ní rovnoběžná (namalujte si obrázek). Rovnice naší sečny je y = g(x) = f(a) + f(b) - f(a) b - a (x - a). 167 168 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Rozdíl h(x) = f(x) - g(x) udává vzdálenost grafu od sečny (v hodnotách y). Jistě platí h(a) = h(b) a h (x) = f (x) - f(b) - f(a) b - a . Podle předchozí věty existuje bod c, ve kterém je h (c) = 0. Větu o střední hodnotě můžeme také přepsat ve tvaru: e6.1 (6.1) f(b) = f(a) + f (c)(b - a). V případě parametricky zadané křivky v rovině, tj. dvojice funkcí y = f(t), x = g(t), je stejný výsledek o existenci rovnoběžné tečny k sečně krajními body popsán takto: Důsledek. Nechť funkce y = f(t) a x = g(t) jsou spojité na intervalu [a, b] a diferencovatelné uvnitř tohoto intervalu a g (t) = 0 pro všechny t (a, b). Pak existuje bod c (a, b) takový, že platí f(b) - f(a) g(b) - g(a) = f (c) g (c) . Důkaz. Opět spoléháme na použití Rolleovy věty. Položíme proto h(t) = (f(b) - f(a))g(t) - (g(b) - g(a))f(t). Nyní h(a) = f(b)g(a)-f(a)g(b), h(b) = f(b)g(a)-f(a)g(b), takže existuje c (a, b) takový, že h (c) = 0. Protože je g (c) = 0, dostáváme právě požadovaný vztah. Podobná úvaha jako v posledním tvrzení vede k mimořádně užitečnému nástroji pro počítání limit funkcí. Je znám jako L'Hospitalovo pravidlo: 6.3 6.3. Věta. Předpokládejme, že f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu x0 R, ne však nutně v bodě x0 samotném, a nechť existují limity lim xx0 f(x) = 0, lim xx0 g(x) = 0. Jestliže existuje limita lim xx0 f (x) g (x) pak existuje i limita lim xx0 f(x) g(x) a jsou si rovny. Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že v x0 mají funkce f a g nulovou hodnotu. Výsledek je opět jednoduše představitelný pomocí obrázku. Uvažujme body [g(x), f(x)] R2 parametrizované proměnnou x. Podíl hodnot pak odpovídá směr- nici sečny mezi body [0, 0] a [f(x), g(x)]. Zároveň víme, že podíl derivací odpovídá směrnici tečny v příslušném bodě. Z existence limity směrnic tečen tedy chceme dovodit existenci limity směrnic sečen. 1. DERIVOVÁNÍ 169 Technicky lze využít věty o střední hodnotě v parametrickém tvaru. Předně si uvědomme, že v tvrzení věty implicitně předpokládáme existenci výrazu f (x)/g (x) na nějakém okolí x0, zejména tedy pro dostatečně blízké body c k x0 bude g (c) = 0.1 lim xx0 f(x) g(x) = lim xx0 f(x) - f(x0) g(x) - g(x0) = lim xx0 f (cx) g (cx) , kde cx je číslo mezi x0 a x. Nyní si všimněme, že z existence limity lim xx0 f (x) g (x) vyplývá, že stejnou hodnotu bude mít i limita libovolné posloupnosti vzniklé dosa- zením hodnot x = xn jdoucích k x0 do f (x)/g (x). Zejména tedy můžeme dosadit jakoukoliv posloupnost cxn pro xn x0 a proto bude existovat i limita lim xx0 f (cx) g (cx) a poslední dvě limity zjevně budou mít stejnou hodnotu. Dokázali jsme tedy, že naše hledaná limita existuje a má také stejnou hodnotu. 6.4 6.4. Důsledky. Jednoduše lze rozšířit L'Hospitalovo pravidlo i pro limity v ne- vlastních bodech a v případě nevlastních hodnot limit. Je-li, např. lim x f(x) = 0, lim x g(x) = 0, potom je limx0+ f(1/x) = 0 a limx0+ g(1/x) = 0. Zároveň z existence limity podílu derivací v nekonečnu dostaneme lim x0+ (f(1/x)) (g(1/x)) = lim x0+ f (1/x)(-1/x2 ) g (1/x)(-1/x2) = lim x0+ f (1/x) g (1/x) = lim x f (x) g (x) . Použitím předchozí věty tedy dostáváme, že v tomto případě bude existovat i limita podílu lim x f(x) g(x) = lim x0+ f(1/x) g(1/x) = lim x f (x) g (x) . Ještě jednodušší je postup při výpočtu limity v případě, kdy lim xx0 f(x) = , lim xx0 g(x) = . Stačí totiž psát lim xx0 f(x) g(x) = lim xx0 1/g(x) 1/f(x) , což je již případ pro použití L'Hospitalova pravidla z předchozí věty. Lze ale i dokázat, že L'Hospitalovo pravidlo platí ve stejné formě pro nevlastní limity: Věta. Nechť f a g jsou funkce diferencovatelné v okolí bodu x0 R, ne však nutně v bodě x0 samotném, a nechť existují limity limxx0 f(x) = a limxx0 g(x) = . Jestliže existuje limita lim xx0 f (x) g (x) 1Pro samu existenci limity v obecném smyslu to vždy nutné není, nicméně pro tvrzení L'Hospitalovy věty je to potřebné. Podrobnou diskusi je možné najít (vygooglovat) v populárním článku "R. P. Boas, Counterexamples to LHôpitals Rule, The American Mathematical Monthly, October 1986, Volume 93, Number 8, pp. 644­645." 170 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET pak existuje i limita lim xx0 f(x) g(x) a jsou si rovny. Důkaz. Opět lze vyjít z věty o střední hodnotě. Základem je vyjádření podílu tak, abychom dostali do hry derivaci: f(x) g(x) = f(x) f(x) - f(y) f(x) - f(y) g(x) - g(y) g(x) - g(y) g(x) kde y volíme nějaký pevný ze zvoleného okolí x0 a x necháme blížit k x0. Protože jsou limity f i g v x0 nekonečné, můžeme jistě předpokládat, že rozdíly hodnot v x a y jsou u obou funkcí při pevném y nenulové. Pomocí věty o střední hodnotě můžeme nyní nahradit prostřední zlomek podílem derivací ve vhodném bodě c mezi x a y a výraz ve zkoumané limitě dostává tvar f(x) g(x) = 1 - g(y) g(x) 1 - f(y) f(x) f (c) g (c) , kde c závisí na x i y. Při pevném y a x jdoucím k x0 jde první zlomek zjevně k jedničce. Když zároveň budeme y přibližovat k x0, bude se nám druhý zlomek libovolně přesně blížit k limitní hodnotě podílu derivací. 6.4a 6.5. Příklady užití. Vhodnými úpravami sledovaných výrazů lze využít L'Hospi- talova pravidla také na výrazy typu -, 1 , 0 apod. Zpravidla jde o prosté přepsání výrazů nebo o využití nějaké hladké funkce, např. exponenciální. Uveďme alespoň dva příklady hned: lim x0 1 sin 2x - 1 2x = lim x0 2x - sin 2x 2x sin 2x = lim x0 2 - 2 cos 2x 2 sin 2x + 4x cos 2x = lim x0 4 sin 2x 4 cos 2x + 4 cos 2x - 8x sin 2x = 0, přičemž získané tvrzení je třeba číst od konce. Tj. z existence poslední limity (podíl druhých derivací) vyplývá existence limity podílů prvních derivací a z toho plyne existence i hodnota původní limity. Druhý příklad nám ukáže souvislost aritmetického a geometrického průměru z n hodnot. Aritmetický průměr M1 (x1, . . . , xn) = x1 + + xn n je speciálním případem tzv. mocninného průměru stupně r: Mr (x1, . . . , xn) = xr 1 + + xr n n 1 r . Speciální hodnota M-1 se nazývá harmonický průměr. Spočtěme si nyní limitní hodnotu Mr pro r jdoucí k nule. Za tímto účelem spočteme limitu pomocí L'Hospitalova 1. DERIVOVÁNÍ 171 pravidla (jde o výraz 0/0): lim r0 ln(Mr (x1, . . . , xn)) = lim r0 ln( 1 n (xr 1 + . . . xr n)) r = lim r0 xr 1 ln x1++xr n ln xn n xr 1+...xr n n = ln x1 + + ln xn n = ln n x1 xn. Odtud tedy je přímo vidět, že lim r0 Mr (x1, . . . , xn) = n x1 . . . xn, což je hodnota známá pod názvem geometrický průměr. 6.5 6.6. Význam druhé derivace. Již jsme viděli, že první derivace funkce je jejím lineárním přiblížením v okolí daného bodu a že ze znaménka nenulové derivace vyplývá, že funkce je v bodě x0 rostoucí nebo klesající. Body, ve kterých je první derivace nulová se nazývají kritické body dané funkce. Je-li x0 kritický bod funkce f, může být chování funkce f v okolí bodu x0 jakékoliv. Vidíme to již z chování funkce f(x) = xn v okolí nuly pro libovolné n. Pro lichá n > 0 bude f(x) rostoucí, pro sudá n naopak bude nalevo klesající a napravo rostoucí, dosáhne tedy v bodě x0 své minimální hodnoty mezi body z (dostatečně malého) okolí bodu x0 = 0. Tentýž pohled můžeme aplikovat na funkci f . Jestliže totiž je druhá derivace nenulová, určuje její znaménko chování derivace první. Proto v kritickém bodě x0 bude derivace f (x) rostoucí při kladné druhé derivaci a klesající při záporné. Jestliže je ale rostoucí, znamenená to, že nutně bude záporná nalevo od kritického bodu a kladná napravo od něj. Funkce f v takovém případě je klesající nalevo od kritického bodu a rostoucí napravo od něj. To znamená, že má funkce f v bodě x0 minimum ze všech hodnot z nějakého malého okolí bodu x0. Naopak, je-li druhá derivace záporná v x0, je první derivace klesající, tedy záporná vlevo od x0 a kladná vpravo. Funkce f bude tedy mít v bodě x0 maximální hodnotu ze všech hodnot na nějakém okolí. Funkce diferencovatelná na (a, b) a spojitá na [a, b] má jistě na tomto intervalu absolutní maximum a minimum. Může ho dosáhnout pouze buď na hranici nebo v bodě s nulovou derivací, tj. v kritickém bodě. Pro diskusi extrémů nám tedy mohou stačit kritické body a druhé derivace pomůžou určit typy extrémů, pokud jsou nenulové. Pro přesnější diskusi ale potřebujeme lepší než lineární aproximace zkoumaných funkcí. Proto se nejprve budeme věnovat úvahám v tomto směru a teprve poté se vrátíme k diskusi průběhu funkcí. 6.6 6.7. Taylorův rozvoj. Jako překvapivě jednoduché využití Rolleovy věty teď od- vodíme mimořádně důležitý výsledek. Říkává se mu Taylorův rozvoj se zbytkem. Intuitivně se k němu můžeme dostat obrácením našich úvah kolem mocninných řad. Máme-li totiž mocninnou řadu S(x) = n=0 an(x - a)n 172 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET a derivujeme-li ji opakovaně, dostáváme mocninné řady (víme, že je možné takový výraz derivovat člen po členu, i když jsme to ještě nedokázali) S(k) (x) = n=k n(n - 1) . . . (n - k + 1)an(x - a)n-k . V bodě x = a je tedy S(k) (a) = k!ak. Můžeme tedy naopak číst poslední tvrzení jako rovnici pro ak a původní řadu přepsat jako S(x) = n=0 1 k! S(k) (a)(x - a)n . Jestliže místo mocninné řady máme nějakou dostatečně hladkou funkci f(x), je tedy na místě se ptát, zda ji můžeme vyjádřit jako mocninnou řadu a jak rychle budou konvergovat částečné součty (tj. přiblížení funkce f polynomy). Naše úvaha právě naznačila, že můžeme očekávat v okolí bodu a dobrou aproximaxi polynomy, tzv. Taylorovými polynomy k­tého řádu: Pkf(x) = f(a) + f (a)(x - a) + 1 2 f (a)(x - a)2 + + 1 k! fk (a)(x - a)k . Přesná odpověď vypadá podobně jako věta o střední hodnotě, jen pracujeme s vyššími stupni plynomů (tzv. Taylorův rozvoj se zbytkem): Věta. Nechť je f(x) funkce k­krát diferencovatelná na intervalu (a, b) a spojitá na [a, b]. Pak pro každé x (a, b) existuje číslo c (a, x) takové, že f(x) = f(a) + f (a)(x - a) + + 1 (k - 1)! f(k-1) (a)(x - a)k-1 + 1 k! f(k) (c)(x - a)k = Pk-1f(x) + 1 k! f(k) (c)(x - a)k . Důkaz. Definujme zbytek R (tj. chybu při aproximaci pro pevně zvolené x) takto f(x) = Pk-1f(x) + R tj. R = 1 k! r(x - a)k pro vhodné číslo r (závislé na x). Nyní uvažujme funkci F() defino- vanou F() = k-1X j=0 1 j! f(j) ()(x - )j + 1 k! r(x - )k Její derivace je F () = f () + k-1X j=1 ,, 1 j! f(j+1) ()(x - )j - 1 (j - 1)! f(j) ()(x - )j-1 - 1 (k - 1)! r(x - )k-1 = 1 (k - 1)! f(k) ()(x - )k-1 - 1 (k - 1)! r(x - )k-1 = 1 (k - 1)! (x - )k-1 (f(k) () - r), protože výrazy v sumě se postupně vzájemně ruší. Nyní si stačí všimnout, že F(a) = F(x) = f(x) (připoměňme, že x je pevně zvolená ale pevná hodnota). Proto podle Rolleovy věty existuje číslo c, a < c < x, takové, že F (c) = 0. To ale je právě požadovaný vztah. 1. DERIVOVÁNÍ 173 Pokud tedy umíme odhadnout velikost k­té derivace na celém intervalu, do- staneme přímo odhady chyb. Speciálním případem je samozřejme věta o střední hodnotě coby aproximace řádu nula, viz (6.1). Dobrým příkladem jsou tady třeba goniometrické funkce. Iterováním derivace funkce sin x dostaneme vždy buď sinus nebo cosinus s nějakým znaménkem, ale v absolutní hodnotě budou hodnoty vždy nejvýše jedna. Dostáváme tedy přímý odhad rychlosti konvergence mocninné řady | sin x - (Pk sin)(x)| |x|k+1 (k + 1)! . Vidíme tedy, že pro x výrazně menší než k bude chyba malá, pro x srovnatelné s k nebo větší ale bude obrovská. Příklad. Určete Taylorovy rozvoje Tk x (k-tého řádu v bodě x) z následujících funkcí: (1) T3 0 z funkce sin x, (2) T3 1 z funkce ex x . Řešení. (1) Spočítáme hodnoty první až třetí derivace funkce f = sin v bodě 0: f (0) = cos(0) = 1, f(2) (0) = - sin(0) = 0, f(3) (0) = - cos(0) = -1, dále f(0) = 0 Taylorův rozvoj 3-tího řádu funkce sin(x) v bodě 0 je tedy T3 0 (sin(x)) = x - 1 6 x3 . (2) Opět f(1) = e, f (1) = ex x - ex x2 1 = 0 f(2) = ex x - 2 ex x 2 + 2ex x3 1 = e f(3) = ex x - 3 ex x 2 + 6ex x3 - 6ex x4 1 = -2e Dostáváme tedy Taylorův rozvoj třetího řádu funkce ex x v bodě 1: T3 1 ( ex x ) = e + e 2 (x - 1)2 - e 3 (x - 1)3 = e(- x3 3 + 3x2 2 - 2x + 5 6 ). Příklad. Určete Taylorův polynom T6 0 funkce sin a pomocí věty 6.6 odhadněte chybu polynomu v bodě /4. Řešení. Podobně jako v předchozím příkladu určíme T6 0 (sin(x)) = x - 1 6 x3 + 1 120 x5 . Dle věty 6.7 pak odhadneme velikost zbytku (chyby) R. Podle věty existuje c (0, 4 ) takové, že R(/4) = - cos(c)7 7!47 < 1 7! . = 0, 0002. 174 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.7 6.8. Analytické a hladké funkce. Je-li f v bodě a hladká, pak můžeme napsat formálně mocninnou řadu S(x) = n=0 1 k! f(k) (a)(x - a)n . Taylorova věta nám říká, že pokud tato mocninná řada má nenulový poloměr kon- vergence, pak je S(x) = f(x) na příslušném intervalu. Takovým funkcím říkáme analytické funkce v bodě a. Funkce je analytická na intervalu, je-li analytická v každém jeho bodě. Ne všechny hladké funkce jsou ale analytické. Ve skutečnosti lze dokázat, že pro každou posloupnost čísel an umíme najít hladkou funkci, jejiž derivace řádů k budou tato čísla ak. Abychom si alespoň představili podstatu problému, ukážeme si funkci, která má v nule všechny derivace nulové, je však všude kromě tohoto bodu nenulová: f(x) = e-1/x2 . Je dobře definovaná hladká funkce pro všechny body x = 0. Derivací dostaneme f (x) = f(x) 2x-3 a iterovanou derivací dostaneme součet konečně mnoha členů tvaru C f(x) x-k , kde C je nějaké celé číslo a k je přirozené číslo. Pro každý výraz P(x)e-1/x2 , kde P je nějaký polynom, lze opakovanou aplikací L'Hospitalova pravidla snadno zjistit, že jde limitně k nule, při x jdoucím k nule. Dodefinujeme-li tedy hodnoty všech derivací naší funkce v nule rovnicí f(k) = 0, získáme hladkou funkci na celém R. Je vidět, že skutečně jde o nenulovou funkci všude mimo x = 0, všechny její derivace v tomto bodě jsou ale nulové. Samozřejmě to tedy není analytická funkce v bodě x0 = 0. Snadno můžeme naši funkci modifikovat takto: g(x) = 0 je-li x 0 e-1/x2 je-li x > 0 . Opět jde o hladkou funkci na celém R. Další úpravou můžeme získat funkci nenu- lovou ve všech vnitřních bodech intervalu [-a, a], a > 0 a nulovou jinde: h(x) = 0 je-li |x| a e 1 x2-a2 + 1 a2 je-li |x| < a. Tato funkce je opět hladká na celém R. Poslední dvě funkce jsou na obrázcích, vpravo je použit parametr a = 1. 1. DERIVOVÁNÍ 175 0,8 0,6 0,4 0,2 x 0 43210 0-0,2-0,4 1 x 0,8 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0 Nakonec ještě ukážeme, jak lze dostat hladké analogie Heavisideových funkcí. Pro dvě pevně zvolená reálná čísla a < b definujeme funkci f(x) s použitím výše definované funkce g takto: f(x) = g(x - a) g(x - a) + g(b - x) . Zjevně je pro každé x R jmenovatel zlomku kladný (pro každý z intervalů ur- čených čísly a a b je totiž alespoň jeden ze sčítanců jmenovatele nenulový a tedy je celý jmenovatel kladný). Dostáváme z našeho definičního vztahu proto hladkou funkci f(x) na celém R. Při x a je přitom jmenovatel zlomku přímo dle definice funkce g nulový, při x b je čitatel i jmenovatel stejný. Na dalších dvou obrázcích jsou právě funkce f(x) a to s parametry a = 1 - , b = 1 + , kde nalevo je = 0.8 a napravo = 0.4. 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 x 21,510,50 alpha=.8 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 x 21,510,50 alpha=.40000 6.8 6.9. Popis lokálního chování funkcí. Už jsme se setkali s významem druhé derivace při popisu kritických bodů. Teď zobecníme diskusi kritických bodů pro 176 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET všechny řády. Budeme v dalším uvažovat funkce s dostatečným počtem spojitých derivací, aniž bychom tento předpoklad přímo uváděli. Řekneme, že bod a v definičním oboru funkce f je kritický bod řádu k, jestliže platí f (a) = = f(k) (a) = 0, f(k+1) (a) = 0. Předpokládejme, že f(k+1) (a) > 0. Pak je tato spojitá derivace kladná i na jistém okolí O(a) bodu a. Taylorův rozvoj se zbytkem nám v takovém případě dává pro všechna x z O(a) f(x) = f(a) + 1 (k + 1)! f(k+1) (c)(x - a)k+1 . Je proto změna hodnot f(x) v okolí bodu a dána chováním funkce (x - a)k+1 . Je-li přitom k + 1 sudé číslo, jsou nutně hodnoty f(x) v takovém okolí větší než hodnota f(a) a zjevně je proto bod a bodem lokálního minima. Pokud je ale k sudé číslo, pak jsou hodnoty vlevo menší a vpravo větší než než f(a), extrém tedy ani lokálně nenastává. Zato si můžeme všimnout, že graf funkce f(x) protíná svoji tečnu y = f(a) bodem [a, f(a)]. Naopak, je-li f(k+1) (a) < 0, pak ze stejného důvodu jde o lokální maximum při lichém k a extrém opět nenastává pro k sudé. Říkáme, že funkce f je v bodě a konkávní v bodě a, jestliže se její graf nachází v jistém okolí celý pod tečnou v bodě [a, f(a)], tj. f(x) < f(a) + f (a)(x - a). Říkáme, že funkce f je konvexní v bodě a, jetliže naopak je její graf nad tečnou v bodě a, tj. f(x) f(a) + f (a)(x - a). Funkce je konvexní nebo konkávní na intervalu, jestliže má tuto vlastnost v každém jeho bodě. Z Taylorova rozvoje druhého řádu se zbytkem dostáváme f(x) = f(a) + f (a)(x - a) + 1 2 f (c)(x - a)2 . Proto je zjevně funkce konvexní, kdykoliv je f (a) > 0, a je konkávní, kdykoliv f (a) < 0. Pokud je druhá derivace nulová, můžeme použít derivace vyšších řádů. Bod a nazýváme inflexní bod funkce f, jestliže graf funkce f přechází z jedné strany tečny na druhou. Napišme si Taylorův rozvoj třetího řádu se zbytkem: f(x) = f(a) + f (a)(x - a) + 1 2 f (a)(x - a)2 + 1 6 f (c)(x - a)3 . Je-li a nulový bod druhé derivace takový, že f (a) = 0, pak je třetí derivace nenulová i na nějakém okolí a jde proto zjevně o inflexní bod. Znaménko třetí derivace nám v takovém případě určuje, zda graf funkce přechází tečnu zdola nahoru nebo naopak. Poslední dobrou pomůckou pro náčrtek grafu funkce je zjištění asymptot, tj. přímek, ke kterým se blíží hodnoty funkce f. Asyptotou v nevlastním bodě je proto taková přímka y = ax + b, pro kterou je lim x (f(x) - ax - b) = 0. 1. DERIVOVÁNÍ 177 Pokud asymptota existuje, platí lim x (f(x) - ax) = b a tedy existuje i limita lim x f(x) x = a. Pokud ovšem existují poslední dvě limity, existuje i limita z definice asymptoty, jde proto i o podmínky dostatečné. Obdobně se definuje a počítá asymptota i v nevlastním bodě -. Tímto způsobem dohledáme všechny potenciální přímky splňující vlastnosti asymptot s konečnou reálnou směrnicí. Zbývají nám případné přímky kolmé na osu x: Asymptoty v bodech a R jsou přímky x = a takové, že funkce f má v bodě a alespoň jednu nekonečnou jednostrannou limitu. Např. racionální funkce lomené mají v nulových bodech jmenovatele, které nejsou nulovými body čitatele, asymptotu. Spočtěme aspoň jeden jednoduchý příklad: Funkce f(x) = x+1 x má za asymptoty přímky y = x a x = 0 (ověřte podrobně!). Derivací obdržíme f (x) = 1 - x-2 , f (x) = 2x-3 . Funkce f (x) má dva nulové body 1. V bodě x = 1 má funkce lokální minimum, v bodě x = -1 lokální maximum. Druhá derivace nemá nulové body v celém defi- ničním oboru (-, 0) (0, ), f tedy nemá žádný inflexní bod. -4 0-2-4 y x 4 4 2 0 2 -2 Příklad.1. Do rovnostranného trojúhelníka o straně a je vepsán pravoúhelník (jedna jeho strana leží na straně trojúhelníka, zbylé dva vrcholy leží na zbylých stranách trojúhelníka). Jaký může mít maximálně obsah? Řešení. Vepsaný pravoúhelník má strany x, 3/2(a-x), tedy obsah 3/2(a-x)x. Maximum pro x = a/2, tedy maximální obsah je ( 3/8)a2 . Příklad. V devět hodin ráno vylezl starý vlk z nory N a v rámci ranní rozcvičky začal běhat proti směru hodinových ručiček po kružnici o poloměru 1km, kolem svého oblíbeného pařezu P a to rovnoměrnou rychlostí 4 km/h. Ve stejnou dobu vyrazila Karkulka z domu D k babičce sídlící v chaloupce C rychlostí 4 km/h (po přímce). Kdy si budou nejblíž a jaká tato vzdálenost bude? Souřadnice (v kilometrech): N = [2, 3], P = [3, 3], D = [0, 0], C = [5, 5]. 178 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Řešení. Vlk se pohybuje po jednotkové kružnici, jeho úhlová rychlost je tedy stejná jako jeho absolutní rychlost a jeho dráhu můžeme v závislosti na čase popsat ná- sledujícími parametrickými rovnicemi: x(t) = 2 - cos(4t), y(t) = 2 - sin(4t), Karkulka se pak pohybuje po dráze x(t) = 2 2t, y(t) = 2 2t. Nalezněme extrémy (čtverce) vzdálenosti jejich drah v čase: (t) = (2 - cos(4t) - 2 2t)2 + (2 - sin(4t) - 2 2t)2 (t) = 16(cos(4t) - sin(4t))( 2t - 1) + 32t + 4 2(cos(4t) + sin(4t)) - 16 2 Řešit algebraicky rovnici (t) = 0 se nám nepodaří (ani to nelze), zbývá pouze najít řešení numericky (pomocí výpočetního softwaru). Zjistíme, že lokální minima nastávají pro t . = 0, 31 a poté pro t . = 0, 97, kdy bude vzdálenost vlka a Karkulky asi 5 metrů. Je zřejmé, že půjde i o globální minimum. Příklad. Vyšetřete průběh funkce x ln(x) , a načrtněte její graf. Řešení. (1) Nejprve určíme definiční obor funkce: R+ \ {1}. (2) Nalezneme intervaly monotónnosti funkce: nejprve nalezneme nulové body de- rivace: f (x) = ln(x) - 1 ln2 (x) = 0 Tato rovnice má kořen e. Dále vidíme, že f (x) je na intervalu (0, 1) i (1, e) záporná, tedy je f(x) na intervalu (0, 1) i na (1, e) klesající, dále je f (x) na intervalu (e, ) kladná a tedy f(x) rostoucí. Má tedy funkce f jediný extrém v bodě e a to minimum. (také bychom o tom mohli rozhodnout pomocí znaménka druhé derivace funkce f v bodě e, je totiž f(2) (e) > 0) (3) Určíme inflexní body: f(2) (x) = ln(x) - 2 x ln3 (x) = 0 Tato rovnice má kořen e2 , který musí být inflexním bodem (extrém to již být nemůže vzhledem k předchozímu bodu). (4) Asymptoty. Funkce má asymptotu přímku x = 1. Dále hledejme asymptoty s konečnou směrnicí k: k = limx x ln(x) x = lim x 1 ln(x) = 0. Pokud asymptota existuje, má tedy směrnici 0. Pokračujme tedy ve výpočtu lim × x ln(x) - 0 x = lim x ln(x) = , a protože limita není konečná, asymptota s konečnou směrnicí neexistuje. Průběh funkce: 2. INTEGROVÁNÍ 179 ­4 ­2 0 2 4 6 8 10 y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x 2. Integrování 6.9 6.10. Newtonův integrál. Předpokládejme, že známe na intervalu [a, b] reálnou nebo komplexní funkci F(x) reálné proměnné x a její derivaci F (x) = f(x). Jestliže rozdělíme interval [a, b] na n částí volbou bodů e6.2 (6.2) a = x0 < x1 < < xn = b a přiblížíme hodnoty derivací v bodech xi výrazy f(x) F(xi+1) - F(xi) xi+1 - xi dostáváme součtem F(b) - F(a) = n-1 i=0 F(xi+1) - F(xi) xi+1 - xi (xi+1 - xi) n-1 i=0 f(xi) (xi+1 - xi). Funkci F nazýváme antiderivace nebo neurčitý integrál k funkci f a poslední výraz pro reálnou funkci f(x) zjevně přibližně vyjadřuje plochu vytyčenou grafem funkce f, souřadnou osou x a přímkami x = a, x = b (včetně znaménka zohledňujícího pozici plochy nad nebo pod osou x -- namalujte si obrázek!). Dá se tedy očekávat, že takovou plochu skutečně spočteme jako rozdíl hodnot antiderivace v krajních bodech intervalu. Tomuto postupu se také říká Newtonův integrál. Píšeme b a f(x)dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a). V případě komplexní funkce f je i reálná a imaginární část jejího integrálu jedno- značně dána reálnou a imaginární částí f, budeme proto v dalším pracovat výhradně s reálnými funkcemi. V dalším skutečně ukážeme, že lze rozumně definovat pojem plocha v rovině tak, aby ji bylo možné počítat právě uvedeným způsobem. Newtonův integrál má ale jednu podstatnou vadu -- jeho vyčíslení vyžaduje znalost antiderivace. Tu obecně není snadné spočíst i když ukážeme, že ke všem spojitým funkcím f existuje. Proto budeme napřed diskutovat i jinou definici integrálu. 180 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Všimněme si ještě, že antiderivace je na každém souvislém intervalu [a, b] ur- čena jednoznačně až na konstantu. Skutečně, pokud je F (x) = G (x) = f(x), pak Taylorův rozvoj prvního řádu se zbytkem v bodě a dává F(x) - G(x) = F(a) - G(a) + (f(c) - f(c))(x - a) = F(a) - G(a) na nějakém okolí bodu a. Pokud by ale x0 < b bylo supremem hodnot, pro které tento vztah ještě platí, opětovnou volbou tohoto bodu za a dosáhneme rozšíření tohoto vztahu i napravo od něj. Musí tedy platit na celém intervalu. S poukazem na toto pozorování budeme neurčitý integrál také zapisovat ve tvaru F(t) = f(x)dx + C. 6.11 6.11. Riemannův integrál. Pro definici integrálu využijeme přímo intuitivní úvahy, kterou jsme v minulém odstavci odůvodňovali souvislost Newtonova inte- grálu s velikostí plochy. Uvažme reálnou funkci f definovanou na intervalu [a, b] a zvolme dělení (6.2) tohoto intervalu, spolu s výběrem reprezentantů i jednotlivých částí, tj. a = x0 < x1 < < xn = b a zároveň i [xi-1, xi], i = 1, . . . , n. Normou takového dělení nazýváme číslo min{xi - xi-1}. Riemannův součet odpovídající zvolenému dělení = (x0, . . . , xn) a reprezentantům je dán výrazem S, = n i=1 f(i) (xi - xi-1) Řekneme, že Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b] existuje, jestliže pro každou posloupnost dělení s reprezentanty (k, k) s normou dělení jdoucí k nule existuje limita lim k Sk,k = S, jejíž hodnota navíc nezávisí na volbě posloupnosti dělení a reprezentantů. Píšeme v takovém případě opět S = b a f(x)dx. Tato definice nevypadá příliš prakticky, nicméně nám dovolí sformulovat a do- kázat některé jednoduché vlastnosti Riemannova integrálu. Věta. (1) Je-li f omezená reálná funkce definovaná na reálném intervalu [a, b] a c [a, b] nějaký vnitřní bod, potom integrál b a f(x)dx existuje tehdy a jen tehdy když existují oba integrály c a f(x)dx a b c f(x)dx. V takovém případě pak také platí b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx. (2) Jsou-li f a g dvě reálné funkce definované na intervalu [a, b], a existují-li integrály b a f(x)dx a b a g(x)dx, pak existuje také integrál jejich součtu a platí b a (f(x) + g(x))dx = b a f(x)dx + b a g(x)dx. 2. INTEGROVÁNÍ 181 (3) Je-li f reálná funkce definovaná na intervalu [a, b], C R konstanta a existuje-li integrál b a f(x)dx, pak existuje také integrál b a C f(x)dx a platí b a C f(x)dx = C b a f(x)dx. Důkaz. (1) Předpokládejme nejprve, že existuje integrál přes celý interval. Jistě se lze při jeho výpočtu omezit na limity Riemannových součtů, jejichž dělení mají bod c mezi svými dělícími body. Každý takový součet dostaneme jako součet dvou dílčích Riemannových součtů. Pokud by tyto dílčí součty v limitě závisely na zvolených rozděleních a reprezentantech, pak by celkové součty nemohly být v limitě na volbách nezávislé (stačí ponechat jednu posloupnost dělení podintervalu stejnou a druhou měnit tak, aby se limita změnila). Naopak, jestliže existují Riemannovy integrály na obou podintervalech, jsou libovolně přesně aproximovatelné Riemannovými součty a to navíc nezávisle na je- jich volbě. Pokud do libovolné posloupnosti Riemannových součtů přes celý interval [a, b] přidáme jeden dělící bod c navíc, změníme hodnotu celého součtu i částečných součtů přes intervaly patřící do [a, c] a [c, b] nejvýše o násobek normy dělení a mož- ných rozdílů omezené funkce f na celém [a, b]. To je číslo jdoucí libovolně blízko k nule při zmenšující se normě dělení. Proto nutně i částečné Riemannovy součty nutně konvergují k limitám, jejichž součtem je Riemannův integrál přes [a, b]. (2) V každém Riemannově součtu se součet funkcí projeví jako součet hodnot ve vybraných reprezentantech. Protože je násobení reálných čísel distributivní, vyplývá odtud právě dokazované tvrzení. (3) Stejná úvaha jako v předchozím případě. 6.12 6.12. Věta. Pro každou spojitou funkci f na konečném intervalu [a, b] existuje její Riemannův integrál b a f(x)dx. Navíc, je funkce F(t) zadaná na intervalu [a, b] pomocí Riemannova integrálu F(t) = t a f(x)dx antiderivací funkce f na tomto intervalu. Důkaz. Pro důkaz existence použijeme alternativní definici, která nahrazuje výběr reprezentatů a příslušné hodnoty f(i) pomocí suprem hodnot f(x) v přísluš- ném podintervalu, resp. pomocí infim f(x) tamtéž. Hovoříme o horních Riemanno- vých součtech, resp. dolních Riemannových součtech (někdy také o tzv. Darbouxově integrálu). Protože je naše funkce spojitá, je jistě i omezená na uzavřeném inter- valu a proto jsou všechna výše uvažovaná suprema i infima konečná. Je tedy horní součet příslušný dělení zadán výrazem S,sup = n i=1 sup xi-1xi f() (xi - xi-1) Zatímco dolní Riemannův součet je S,inf = n i=1 inf xi-1xi f() (xi - xi-1). 182 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Protože zjevně pro každé dělení s reprezentanty (, ) platí S,inf S, S,sup a infima i suprema lze libovolně přesně aproximovat skutečnými hodnotami, bude Riemannův integrál existovat právě když bude existovat pro libovolné posloupnosti dělení s normou jdoucí k nule limita horních i dolních součtů a tyto si budou rovny. Dokážeme, že tomu tak skutečně musí být. Tvrzení. Nechť je funkce f omezená na uzavřeném intervalu [a, b]. Pak Ssup = inf S,sup, Sinf = sup S,inf jsou limity všech posloupností horních, resp. dolních, součtů s normou jdoucí k nule. Důkaz. Pokud zjemníme nějaké rozdělení 1 na 2 přidáním dalších bodů, zřejmě bude S1,sup S2,sup, S1,inf S2,inf . Každá dvě dělení mají společné zjemnění, jsou tedy hodnoty Ssup = inf S,sup, Sinf = sup S,inf dobrými kandidáty na limity horních a dolních součtů. Skutečně, pokud existuje společná limita horních součtů S nezávislá na zvolené posloupnosti dělení, musí to být právě Ssup, a podobně pro dolní součty. Naopak, uvažme nějaké pevně zvolené dělení s n vnitřními dělícími body intervalu [a, b], a jiné dělení 1, jehož norma je hodně malé číslo . Ve společném zjemnění 2 bude jen n intervalů, které budou do součtu Ssup přispívat případně menším příspěvkem než je tomu v 1. Protože je f omezená funkce na [a, b], bude každý z těchto příspěvků ohraničený univerzální konstantou krát velikost intervalu. Při zvolení dostatečně malého tedy nebude vzdálenost S1,sup od Ssup více než dvakrát vzdálenost S,sup od Ssup. Právě jsme ukázali, že pro libovolné číslo > 0 umíme najít takové > 0, že pro všechna dělení s normou nejvýše bude |S,sup -S| < . To je přesné tvrzení, že číslo Ssup je limitou všech posloupností horních součtů s normami dělení jdoucími k nule. Úplně stejně se dokáže i tvrzení pro součty dolní. Prozatím jsme ze spojitosti naší funkce f využili pouze to, že každá taková funkce je na konečném uzavřeném intervalu omezená. Zbývá nám ale ukázat, že pro spojité funkce je Ssup = Sinf . Ze definice spojitosti víme, že pro každý pevně zvolený bod x [a, b] a každé okolí O (f(x)) existuje okolí O(x) takové, že f(O(x)) O (f(x)). Toto tvrzení lze přepsat takto: jsou-li y, z O(x), tzn. mimo jiné platí |y - z| < 2, je také f(y), f(z) O (f(x)), tzn. mimo jiné platí |f(y) - f(z)| < 2 . Budeme potřebovat globální variantu takového tvrzení: Tvrzení. Nechť je f spojitá funkce na uzavřeném konečném intervalu [a, b]. Pak pro každé číslo > 0 existuje takové číslo > 0, že pro všechny z, y [a, b] splňující |y - z| < platí |f(y) - f(z)| < . 2. INTEGROVÁNÍ 183 Důkaz. Protože je každý konečný uzavřený interval kompaktní, umíme jej celý po- krýt konečně mnoha okolími O(x)(x) zmiňovanými v souvislosti se spojitostí výše, přičemž jejich poloměr (x) závisí na středu x zatímco čísla budeme uvažovat pořád stejná. Zvo- líme konečně za minimum ze všech (konečně mnoha) (x). Naše spojitá funkce f tedy má požadovanou vlastnost (pouze zaměňujeme čísla a za jejich dvojnásobky). Nyní již snadno dokončíme celý důkaz existence Riemannova integrálu. Zvolme si a jako v posledním tvrzení a uvažujme jakékoliv dělení s n intervaly a normou nejvýš . Pak n i=1 sup xi-1xi f() (xi - xi-1) - n i=1 inf xi-1xi f() (xi - xi-1) n i=1 sup xi-1xi f() - inf xi-1xi f() (xi - xi-1) (b - a). Vidíme tedy, že se zmenšující se normou dělení jsou k sobě horní a dolní součty libovolně blízké. Proto infima a suprema splývají. To jsme potřebovali ukázat. Víme již, že pro spojitou funkci f na intervalu [a, b] existuje pro každé t [a, b] integrál t a f(x)dx. Zvolme jako výše k pevnému malému > 0 číslo > 0 tak, aby |f(x + x) - f(x)| < pro všechna 0 x < . Potom ovšem při použití dostatečně jemného dělení intervalu [a, t + t] dostaneme 1 t t+t a f(x)dx - t a f(t)dt - f(t) < . Skutečně, přiblížením integrálů kterýmkoliv Riemannovým součtem s dělením , v němž je t jedním z vnitřních bodů, dostaneme sčítance f(i)(xi - xi-1) s i [t, t + t] (ostatní se vyruší v rozdílu). Všechny hodnoty f(i) jsou ale k f(t) blíže než o . To ovšem znamená, že existuje v bodě t derivace funkce F(t) zprava a je rovna f(t). Stejně dokážeme výsledek pro derivaci zleva a celá věta je dokázaná. Důležité poznámky. (1) Předchozí dvě věty nám říkají, že integrál je lineární zobrazení : C[a, b] R vektorového prostoru spojitých funkcí na intervalu [a, b] do reálných čísel (tj. line- ární forma). (2) Dokázali jsme, že každá spojitá funkce je derivací nějaké funkce. Newtonův a Riemannův integrál tedy jako koncepty pro spojité funkce splývají. Riemannův integrál spojitých funkcí lze proto spočíst pomocí rozdílu hodnot F(b) - F(a) an- tiderivace F. (3) V prvním pomocném tvrzení v důkazu předchozí věty jsme dokázali důležité tvrzení, že pro omezenou funkci f na intervalu [a, b] vždy existují limity horních součtů i dolních součtů. Říká se jim také horní Riemannův integrál a dolní Rie- mannův integrál. Takto lze pro omezené funkce ekvivalentně definovat i Riemannův integrál (jak jsme konečně v důkazu i činili). (4) V dalším tvrzení v důkazu jsme odvodili důležitou vlastnost spojitých funkcí, které se říká stejnoměrná spojitost na uzavřeném intervalu [a, b]. Zjevně 184 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET je každá stejnoměrně spojitá funkce také spojitá, naopak to ale na otevřených in- tervalech platit nemusí. (5) Uvažme funkci f na intervalu [a, b], která je pouze po částech spojitá. To znamená, že je spojitá ve všech bodech c [a, b] kromě konečně mnoha bodů ne- spojitosti ci, a < ci < b. Vzhledem k aditivnosti integrálu vůči intervalu přes který se integruje, viz 6.11(1), existuje podle poslední věty v takovém případě integrál F(t) = t a f(x)dx pro všechna t [a, b] a derivace funkce F(t) existuje ve všech bodech t, ve kterých je f spojitá. Navíc se snadno ověří, že ve zbývajících bodech je funkce F(t) spojitá, je to tedy spojitá funkce na celém intervalu [a, b]. Při výpočtu integrálu pomocí antiderivací je zapotřebí volit její jednotlivé části tak, aby na sebe navazovaly. Pak bude i celý integrál vyčíslen jako rozdíl v krajních hodnotách. 6.13 6.13. Integrace ,,po paměti . Neurčitý integrál nám formálně dovoluje spočíst Riemannův integrál pro každou spojitou funkci. Nicméně prakticky bývá zejména použitelný tam, kde v integrované funkci umíme derivaci přímo uvidět. K tomu v jednoduchých případech stačí číst tabulky pro derivace funkcí v našem zvěřinci naopak. Dostáváme tak např. následující tvrzení pro všechna a R a n Z, n = -1: a dx = ax + C axn dx = a n + 1 xn+1 + C eax dx = 1 a eax +C a x dx = a ln x + C a cos bx dx = a b sin bx + C a sin bx dx = - a b cos bx + C a cos bx sinn bx dx = a b(n + 1) sinn+1 bx + C a sin bx cosn bx dx = - a b(n + 1) cosn+1 bx + C a tg bx dx = - a b ln(cos bx) + C a a2 + x2 dx = arctg x a + C -1 a2 - x2 dx = arccos x a + C 1 a2 - x2 dx = arcsin x a + C 2. INTEGROVÁNÍ 185 kde ve všech případech je zapotřebí zvážit definiční obor, na kterém je neurčitý integrál dobře definován. K takovýmto tabulkovým hodnotám lze relativně snadno dodávat další jedno- duchými pozorováními vhodné struktury integrovaných funkcí. Např. f (x) f(x) dx = ln f(x) + C. 6.13 6.14. Integrace per partes a substitucí. Výpočet integrálu pomocí antideri- vace (neurčitého integrálu), spolu s pravidlem (F G) (t) = F (t) G(t) + F(t) G (t) pro derivaci součinu funkcí, dává následující formuli pro neurčitý integrál F(x) G(x) + C = F (x)G(x) dx + F(x)G (x) dx. Tato formule se většinou používá v případě, že jeden z integrálů napravo máme počítat, zatímco druhý umíme počítat lépe. Uveďme si nějaké příklady. Nejprve spočteme I = x sin x dx. V tomto případě pomůže volba F(x) = x, G (x) = sin x. Odtud G(x) = - cos x, proto také I = -x cos x - - cos x dx = -x cos x + sin x + C. Obvyklým trikem je také použít tento postup s F (x) = 1: ln x dx = 1 ln x dx = x ln x - 1 x x dx = x ln x - x + C. Další užitečný vzorec je odvozen z derivování složených funkcí. Je-li F (y) = f(y) a y = (x), potom dF((x)) dx = F (y) (x) a tedy F(y) + C = f(y) dy lze spočíst jako F((x)) + C = f((x)) (x) dx. Dosazením x = -1 (y) pak dostaneme původně požadovanou antiderivaci. Častěji zapisujeme tuto skutečnost takto: f(y) dy = f((x)) (x) dx a hovoříme o substituci za proměnnou y. Přímo na úrovni Riemannových součtů je možné substituci porozumět snadno tak, že přírůstky v proměnné y a v x jsou vzájemně ve vztahu popsaném formálně jako dy = (x) dx který odpovídá vztahu dy dx = (x) a snadno jej spočítáme výpočtem derivace. Jako příklad ověříme touto metodou předposlední integrál v seznamu v 6.12. Pro integrál I = 1 1 - x2 dx 186 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET zvolíme substituci x = sin t. Odtud dx = cos t dt a dostáváme I = 1 1 - sin2 t cos t dt = 1 cos2 t cos t dt = dt = t + C. Zpětným dosazením t = acrsin x dopočítáme již známý vzorec I = arcsin x + C. Při substitucích je třeba dát pozor na skutečnou existenci inverzní funkce k y = (x) a při výpočtu určitého integrálu je třeba řádně přepočítávat i meze. 6.15 6.15. Příklad. Často vede použití substitucí a metody per partes k rekurentním vztahům, ze kterých teprve lze dopočíst hledané integrály. Spočtěme si alespoň jeden příklad. Metodou per partes počítáme Im = cosm x dx = cosm-1 x cos x dx = cosm-1 x sin x - (m - 1) cosm-2 x(- sin x) sin x dx = cosm-1 x sin x + (m - 1) cosm-2 x sin2 x dx. Odtud díky vztahu sin2 x = 1 - cos2 x dostáváme mIm = cosm-1 x sin x + (m - 1)Im-2 a počáteční hodnoty jsou I0 = x, I1 = sin x. K těmto typům integrálů se substitucí x = tg t často převádí integrály, kde integrovaná funkce závisí na výrazech tvaru (x2 + 1). Skutečně, např. pro Jk = dx (x2 + 1)k dostáváme touto substitucí dx = cos-2 t dt Jk = dt cos2 t sin2 t cos2 t + 1 k = cos2k-2 t dt. Pro k = 2 je výsledkem J2 = 1 2 (cos t sin t + t) = 1 2 tg t 1 + tg2 t + t a proto také po zpětné substituci t = arctg x J2 = 1 2 x 1 + x2 + arctg x + C. Při počítání určitých integrálů je možné celou rekurenci rovnou počítat po vyčíslení v zadaných mezích. Tak například je okamžitě vidět, že při integraci přes 2. INTEGROVÁNÍ 187 interval [0, 2] je I0 = 2 0 dx = [x]2 0 = 2 I1 = 2 0 cos x dx = [sin x]2 0 = 0 Im = 2 0 cosm x dx = 0 pro sudá m m-1 m Im-2 pro lichá m . Pro sudé m = 2n tedy dostáváme přímo výsledek 2 0 cos2n x dx = (2n - 1)(2n - 3) . . . 3 1 2n(2n - 2) . . . 2 2, zatímco u lichých m je to vždy nula (jak bylo možné přímo uhádnout z grafu funkce cos x). Příklad.1. Vypočtěte: (1) x cos x dx (2) ln x dx Řešení. V obou případech řešíme metodou per partes. (1) x sin x + cos x (2) x ln x - x Příklad.2. Vypočtěte: (1) 2 0 sin x sin 2x dx (2) sin2 x sin 2x dx Řešení. (1) 2 3 (2) 1 2 sin4 x Příklad.3. Dokažte, že 1 2 sin4 x = - 1 4 cos(2x) + 1 16 cos(4x) + 3 16 . Řešení. Funkce na pravé a levé straně rovnosti mají shodné derivace, tudíž se liší o reálnou konstantu. Tuto konstantu určíme porovnáním funkčních hodnot v jednom bodě, například bodě 0. Hodnota obou funkcí je v nule nulová, jsou si tedy rovny. 6.16 6.16. Integrace racionálních funkcí lomených. U racionálních funkcí lome- ných si můžeme při integraci pomoci několika zjednodušeními. Zejména v případě, že je stupeň polynomu f v čitateli větší nebo roven stupni polynomu g v jmenova- teli, je rozumné hned z kraje dělením se zbytkem převést integraci na součet dvou 188 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET integrálů. První pak bude integrací polynomu a druhý integrací výrazu f/g se stup- něm g ostře větším, než je stupeň f. Toho skutečně dosáhneme prostým vydělením polynomů: f = q g + h, f g = q + h g . Můžeme tedy zrovna předpokládat, že stupeň g je ostře větší než stupeň f. Další postup si ukažme na jednoduchém příkladě. Zkusme si rozebrat, jak se dostaneme k výsledku f(x) g(x) = 4x + 2 x2 + 3x + 2 = -2 x + 1 + 6 x + 2 , který již umíme integrovat přímo: 4x + 2 x2 + 3x + 2 dx = -2 ln |x + 1| + 6 ln |x + 2| + C. Především převedením součtu zlomků na společného jmenovatele tuto rovnost snadno ověříme. Pokud naopak víme, že lze náš výraz rozepsat ve tvaru 4x + 2 x2 + 3x + 2 = A x + 1 + B x + 2 a jde nám pouze o výpočet koeficientů A a B, můžeme pro ně získat rovnice po- mocí roznásobení obou stran polynomem x2 + 3x + 2 ze jmenovatele a porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin x ve výsledných polynomech napravo i nalevo: 4x + 2 = A(x + 2) + B(x + 1) = 2A + B = 2, A + B = 4. Odtud již přímo vychází náš rozklad. Říká se mu rozklad na parciální zlomky. Zkusme nyní zobecnit naše pozorování. Předpokládejme, že jmenovatel g(x) naší racionální funkce lomené má právě n různých reálných kořenů a1, . . . , an a předpokládejme, že naopak čitatel f(x) ani jedno z těchto čísel jako kořen nemá. Pak jsou body a1, . . . an právě všechny body nespojitosti funkce f(x)/g(x) a nabízí se tedy jako co nejjednodušší sčítance v součtu s podobnou vlastností výrazy tvaru p(x) (x - ai)ni . Chceme úspěšně použít stejný postup pro výpočet jako v předchozím jednoduchém příkladě. Musíme si proto hlídat, abychom po roznásobení uměli dosazením vhod- ných hodnot za volné koeficienty v polynomech p(x) dostat napravo i nalevo stejné polynomy. Podbízí se tedy hledat sčítance, kde ni bude násobnost kořene ai, za- tímco p(x) bude polynom stupně ni - 1. Ověřte si, že taková volba naplňuje právě sformulovaný záměr. Např. lze snadno spočíst, že x - 4 (x + 1)(x - 2)2 = -5 9(x + 1) + 5x - 16 9(x - 2)2 . Takto to skutečně projde vždy, kdy má polynom g(x) v čitateli právě tolik reálných kořenů včetně násobnosti, kolik je jeho stupeň. Opět už umíme integrovat výsledné sčítance. První typ jsme už viděli. Druhý typ rozdělíme na součet dvou zlomků: 5x - 16 9(x - 2)2 = 5 9 x - 2 (x - 2)2 - 6 9 1 (x - 2)2 = 5 9 1 x - 2 - 6 9 1 (x - 2)2 . 2. INTEGROVÁNÍ 189 tyto už opět integrovat umíme. Mohli jsme samozřejmě již rovnou hledat původní rozklad na parciální zlomky ve tvaru x - 4 (x + 1)(x - 2)2 = A x + 1 + B x - 2 + C (x - 2)2 . Obdobně můžeme vždy spočíst rozklad na parciální zlomky u mocniny stupně n ­ bude v něm n sčítanců s konstantou v čitateli a postupně narůstajícími mocninami příslušného lineárního faktoru ve jmenovateli. Zbývá ošetřit ještě případ, kdy reálných kořenů není dostatek. Vždycky ale existuje rozklad g(x) na lineární a kvadratické faktory (ty kvadratické odpovídají dvojicím komplexně sdružených kořenů). Každý takový kvadratický faktor lze upra- vit na součet čtverců (x-a)2 +b2 , budeme pro zjednodušení rovnou počítat s x2 +b2 . Opět stejný požadavek na počet volných koeficientů a stupně nám naznačuje, že bude možné hledat příslušné sčítance ve tvaru Bx + C (x - a)2 + b2 . Obdobně jako v případě násobných kořenů se i v případě mocniny (x2 + b2 )n ta- kového faktoru druhého řádu vždy podaří najít odpovídající rozklad na parciální zlomky tvaru A1x + B1 (x - a)2 + b2 + + Anx + Bn ((x - a)2 + b2)n . Konkrétní výsledky lze také snadno ozkoušet v Maplu pomocí volání procedury ,,convert(h, parfrac, x) , které rozloží výraz h v proměnné x na parciální zlomky. Všechny výše uvedené parciální zlomky už umíme integrovat. Připoměňme, že ty poslední zmíněné vedou mimo jiné na integrály diskutované v Příkladu 6.15. Celkově můžeme shrnout, že racionální funkce f(x)/g(x) lze poměrně snadno integrovat, pokud se podaří najít příslušný rozklad polynomu ve jmenovateli g(x). Při výpočtu určitých integrálů jsou ale problematické body nespojitosti racionálních funkcí lomených, v jejichž okolí jsou tyto funkce neohraničené. Tomuto problému se budeme obecně věnovat v následujícím odstavci. 6.17 6.17. Nevlastní a nekonečné integrály. Jak jsme právě viděli, občas musíme pracovat s určitými integrály přes intervaly, v nichž jsou i body, kde integrovaná funkce f(x) má nevlastní (jednostranné) limity. V takovém případě není integrovaná funkce ani spojitá ani omezená a proto pro ni nemusí platit námi odvozené výsledky. Hovoříme o ,,nevlastním integrálu . Jednoduchým východiskem je diskutovat v takovém případě určité integrály na menších intervalech s hranicí blížící se problematickému bodu a zkoumat, zda existuje limitní hodnota takovýchto určitých integrálů. Pokud existuje, řekneme, že příslušný nevlastní integrál existuje a je roven této limitě. Uvedeme postup na jednoduchém příkladě: I = 2 0 dx 4 2 - x je nevlastní integrál, protože je má funkce f(x) = (2 - x)-1/4 v bodě b = 2 limitu zleva rovnou . V ostatních bodech je integrovaná funkce spojitá. Zajímáme se proto o integrály I = 2- 0 dx 4 2 - x = 2 y-1/4 dy = - 4 3 y3/4 2 = 4 3 23/4 - 4 3 3/4 . 190 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Všimněme si, že jsme ve výpočtu substitucí dostali integrál s přepočtenou horní mezí a dolní mezí 2. Otočením mezí do obvyklé polohy jsme do výrazu přidali jedno znaménko - navíc. Limita pro 0 zprava zjevně existuje a spočítali jsme tedy nevlastní určitý integrál I = 2 0 dx 4 2 - x = 4 3 23/4 . Stejně budeme postupovat, pokud je zadáno integrování přes neohraničený in- terval. Hovoříme o nekonečných integrálech. Obecně tedy např. pro a R I = a f(x) dx = lim b b a f(x) dx, pokud limita vpravo existuje. Obdobně můžeme mít horní mez integrování konečnou a druhou nekonečnou. Pokud jsou nekonečné obě, počítáme integrál jako součet dvou integrálů s libovolně pevně zvolenou pevnou mezí uprostřed, tj. - f(x) dx = a - f(x) dx + a f(x) dx Existence ani hodnota nezávisí na volbě takové meze, protože její změnou pouze o stejnou konečnou hodnotu měníme oba sčítance, ovšem s opačným znaménkem. Naopak limita při které by stejně rychle šla horní i dolní mez do může vést k odlišným výsledkům! Např. a -a x dx = [ 1 2 x2 ]a -a = 0, přestože hodnoty integrálů a x dx s jednou pevnou mezí utečou rychle k nekon- čených hodnotám. Ukažme si opět výpočet nekonečného integrálu na příkladě (jeden z typů par- ciálních zlomků, integrál vyřešíme snadno substitucí x2 + a2 = t, 2x dx = dt) 0 x (x2 + a2)2 dx = lim b -1 2(x2 + a2) b 0 = lim b - 1 2b2 + 2a2 + 1 2a2 = 1 2a2 . Při výpočtu určitého integrálu z racionální funkce lomené musíme pečlivě rozdě- lit zadaný interval podle bodů nespojitosti integrované funkce a spočítat jednotlivé nevlastní integrály každý zvlášť. Navíc je nutné rozdělit celý interval tak, abychom vždy integrovali funkci neohraničenou pouze v okolí jednoho z krajních bodů. Příklad. Určete plochu ležící napravo od přímky x = 3 a dále ohraničenou grafem funkce y = 1 x3-1 a osou x. 2. INTEGROVÁNÍ 191 Řešení. Plocha je dána nevlastním integrálem 1 1 x3-1 dx. Vypočteme jej meto- dou rozkladu na parciální zlomky: 1 x3 - 1 = Ax + B x2 + x + 1 + C x - 1 1 = (Ax + B)(x - 1) + C(x2 + x + 1) x = 1 = C = 1 3 x0 : 1 = C - B = B = - 2 3 x2 : 0 = A + C = A = - 1 3 a můžeme psát 1 1 x3 - 1 dx = 1 3 1 1 (x - 1) - x + 2 x2 + x + 1 dx Nyní určíme zvlášť neurčitý integrál x+2 x2+x+1 dx: x + 2 x2 + x + 1 dx = = x + 1 2 (x + 1 2 )2 + 3 4 dx + 3 2 1 (x + 1 2 )2 + 3 4 dx = substituce u prvního integrálu t = x2 + x + 1 dt = 2(x + 1 2 ) dx = 1 2 1 t dt + 3 2 1 (x + 1 2 )2 + 3 4 = substituce u prvního integrálu s = x + 1 2 ds = dx = 1 2 ln(x2 + x + 1) + 3 2 1 s2 + 3 4 ds = = 1 2 ln((x2 + x + 1) + 3 2 4 3 1 2 3 s 2 + 1 ds = substituce u druhého integrálu u = 2 3 s du = 2 3 s ds = 1 2 ln(x2 + x + 1) + 2 3 2 1 u2 + 1 du = = 1 2 ln(x2 + x + 1) + 3 arctan(u) = 1 2 ln(x2 + x + 1) + 3 arctan 2x + 1 3 . Celkem pak pro nevlastní integrál můžeme psát: 1 1 x3 - 1 dx = 1 3 lim ln |x - 1| - 1 2 ln(x2 + x + 1) - 3 arctan 2x + 1 3 3 = = 1 3 lim 1 3 ln | - 1| - 1 2 ln(2 + + 1) - 3 arctan 2 + 1 3 - - 1 3 ln(2) + 1 6 ln(13) + 3 3 arctan 7 3 = = 1 6 ln(13) - 1 3 ln(2) + 3 3 arctan 7 3 - 192 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET - 1 3 lim ln x - 1 x2 + x + 1 - 1 3 lim 3 arctan 2 + 1 3 = = 1 6 ln(13) + 1 3 arctan 7 3 - 1 3 ln(2) - 3 6 6.18 6.18. Příklady užití integrálu. Sama definice Riemanova integrálu byla odvo- zena od představy velikosti plochy v rovině se souřadnicemi x a y ohraničené osou x, hodnotami funkce y = f(x) a hraničními přímkami x = a, x = b. Přitom je plocha nad osou x dána s kladným znaménkem zatímco hodnoty pod osou vedou ke znaménku zápornému. Ve skutečnosti víme pouze, co je to plocha rovnoběžnos- těnu určeného dvěma vektory, obecněji ve vektorovém prostoru Rn víme, co je to objem rovnoběžnostěnu. Plochy jiných podmnožin je teprve třeba definovat. Pro některé jednoduché objekty jako třeba mnohoúhelníky je definice dána přirozeně předpokládanými vlastnostmi. Námi vybudovaný koncept Riemannova integrálu je možné zatím přímo použít pouze k měření ,,objemu jednorozměrných podmnožin. O podmnožině A R řekneme, že je (Riemannovsky) měřitelná, jestliže je funkce : R R A(x) = 1 jestliže je x A 0 jestliže je x / A Riemannovsky integrovatelná, tj. existuje integrál (ať už s konečnou nebo nekoneč- nou hodnotou) m(A) = A(x) dx. Funkci A říkáme charakteristická funkce množiny A. Všimněme si, že pro interval A = [a, b] jde vlastně o hodnotu A(x) dx = b a dx = b - a, přesně jak jsme očekávali. Zároveň má takováto definice ,,velikosti očekávanou vlastnost, že míra sjednocení dvou Riemannovsky měřitelných disjunktních mno- žin vyjde jako součet (detailně tu ani nebudeme dokazovat). Pokud ale vezmeme spočetné sjednocení, taková vlastnost již neplatí. Např. stačí vzít množinu Q všech racionálních čísel jakožto sjednocení jednoprvkových podmnožin. Zatímco každá množina o konečně mnoha bodech má podle naší definice míru nulovou, charakte- ristická funkce Q není Riemannovsky integrovatelná. Pro definici plochy (objemu) ve vícerozměrných prostorech budeme umět po- užít koncept Riemannova integrálu, až jej zobecníme do vícerozměrného případu. Nicméně je dobré si už teď povšimnout, že skutečně původní představa o ploše rovin- ného útvaru uzavřeného výše uvedeným způsobem grafem funkce bude bezezbytku naplněna. Střední hodnota funkce f(x) na intervalu (konečném nebo nekonečném) [a, b] je definována výrazem m = 1 b - a b a f(x) dx. Z definice je m výška obdélníka (s orientací podle znaménka) nad intervalem [a, b], který má stejnou plochu jako je plocha mezi osou x a grafem funkce f(x). 2. INTEGROVÁNÍ 193 Námi vybudovaný integrál jde také dobře použít pro výpočet délky křivky ve vícerozměrném vektorovém prostoru Rn . Pro jednoduchost si to předvedeme na případu křivky v rovině R2 se souřadnicemi x, y. Mějme tedy parametrický popis křivky F : R R2 , F(t) = [g(t), f(t)] a představme si ji jako dráhu pohybu. Derivací tohoto zobrazení dostaneme hod- noty, které budou odpovídat rychlosti pohybu po takovéto dráze. Proto celková délka křivky (tj. dráha uražená za dobu mezi hodnotami t = a, t = b) bude dána integrálem přes interval [a, b], kde integrovanou funkcí h(t) budou právě velikosti vektorů F (t). Chceme tedy spočíst délku s rovnou s = b a h(t) dt = b a (f (t))2 + (g (t))2 dt. Ve speciálním případě, kdy křivka je grafem funkce y = f(x) mezi body a < b obdžíme pro její délku s = b a 1 + (f (x))2 dx Tentýž výsledek lze intuitivně vidět jako důsledek Pythagorovy věty: pro lineární přírůstek délky křivky s odpovídající přírůstku x proměnné x spočteme totiž právě s = x2 + y2 a to při pohledu přímo na naši definici integrálu znamená s = b a 1 + dy dx 2 dx. Jako snadný příklad spočteme délku jednotkové kružnice jako dvojnásobek integrálu funkce y = 1 - x2 v mezích [-1, 1]. Víme již, že musí vyjít číslo 2, protože jsme takto číslo definovali. s = 2 1 -1 1 + (y )2 dx = 2 1 -1 1 + x2 1 - x2 dx = 2 1 -1 1 1 - x2 dx = 2[arcsin x]1 -1 = 2. Jestliže v předchozím výpočtu budeme počítat s y = r2 - x2 = r 1 - (x/r)2 a meze budou [-r, r], dostaneme substitucí x = rt déku kružnice o poloměru r: s(r) = 2 r -r 1 + (x/r)2 1 - (x/r)2 dx = 2 1 -1 r 1 - t2 dt = 2r[arcsin x]1 -1 = 2r, tzn. že je skutečně délka kružnice lineárně závislá na jejím poloměru. Podobně plochu takové kružnice spočteme substitucí x = r sin t, dx = r cos t dt (s využitím výsledku pro I2 v 6.15) a(r) = 2 r -r r2 - x2 dx = 2r2 /2 -/2 cos2 t dt = 2r2 2 [cos t sin t + t] /2 -/2 = r2 . Další obdobou téhož principu je výpočet povrchu nebo objemu rotačního tělesa. Pokud vznikne těleso rotací grafu funkce f kolem osy x v intervalu [a, b], vzniká při 194 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET přírůstku x nárůst plochy o násobek s délky křivky zadané grafem funkce f a velikosti kružnice o poloměru f(x). Plocha se proto spočte formulí A(f) = 2 b a f(x) ds = 2 b a f(x) 1 + (f (x))2 dx, kde ds = dx2 + dy2 je dán přírůstkem délky křivky y = f(x). Objem stejného tělesa naroste při změně x o násobek tohoto přírůstku a plochy kružnice o poloměru f(x). Proto je dán formulí V (f) = b a (f(x))2 dx. Jako příklad užití posledních dvou vzorců odvodíme známé formule pro plochu jednotkové sféry a objem jednotkové koule. Ar = 2 r -r r 1 - (x/r)2 1 1 - (x/r)2 dt = 2r r -r dt = 4r2 Vr = r -r r2 - x2 dx = 2rr2 - 1 3 x3 r -r = 4 3 r3 . Příklad. Odvoďte vzorec pro výpočet povrchu a objemu kužele. Pomocí nevlastního integrálu také umíme rozhodnout o konvegenci širší třídy nekonečných řad než doposud: 6.19. Věta. Integrální kriterium konvergence řad. Buď n=1 f(n) řada ta- ková, že funkce f : R R je kladná a nerostoucí na intervalu 1, ). Pak tato řada konverguje právě tehdy, když konverguje intergrál 1 f(x) dx. Důkaz. Pokud interpretujeme integrál, jako plochu pod křivkou, je kriterium zřejmé. Pokud daná řada diverguje, pak diverguje i řada n=2 f(n). Pro libovolné k N máme pro k-tý částečný součet sk (řady bez prvního člene) nerovnost sk = k n=2 f(n) < k 1 f(x) dx, neboť sk je dolním součtem Riemannova integrálu k 1 f(x) dx. Pak ale je 1 f(x) dx = lim k k 1 f(x) dx > lim k sk = , a uvažovaný integrál diverguje. Předpokládeme nyní, že daný integrál konverguje a označme k-tý částečný sou- čet dané řady jako sk. Potom máme nerovnosti 1 f(x) dx = lim k k 1 f(x) dx < lim k sk < , neboť sk je horním součtem Riemannova integrálu k 1 f(x) dx a předpokádáme, že daná řada konverguje. Příklad.3. Rozhodněte, zda následující sumy konvergují či divergují: 3. NEKONEČNÉ ŘADY 195 a) n=1 1 n ln n , b) n=1 1 n2 . Řešení. Všimněme si nejprve, že ani u jedné z uvažovaných řad neumíme o její konvergenci rozhodnout na základě podílového či odmocninového kriteria (všechny limity lim n |an+1 an | i lim n n an jsou rovny 1). Pomocí integrálního kriteria pro kon- vergenci řad pak dostáváme: a) 1 1 x ln(x) dx = 0 1 t dt = lim [ln(t)] 0 = , daná řada tedy diverguje. b) 1 1 x2 dx = lim - 1 x 1 = 1, a daná řada tedy konverguje. 3. Nekonečné řady Již jsme se při budování našeho zvířetníku funkcí setkali s mocninnými řadami, které přirozeným způsobem rozšiřují skupinu všech polynomů, viz 5.27. Zároveň jsme si říkali, že takto získáme třídu analytických funkcí, ale nedokazovali jsme tehdy ani to, že jsou mocninné řady spojitými funkcemi. Snadno nyní ukážeme, že tomu tak je a že skutečně umíme mocninné řady i diferencovat a integrovat po jednotlivých sčítancích. Právě proto ale také uvidíme, že není možné pomocí moc- ninných řad získat dostatečně širokou třídu funkcí. Např. nikdy tak nedostaneme jen po částech spojisté periodické funkce, které jsou tak důležité pro modelování a zpracování audio a video signálů. 6.19 6.20. Jak ochočené jsou řady funkcí? Vraťme se nyní k diskusi limit posloup- ností funkcí a součtu řad funkcí z pohledu uplatnění postupů diferenciálního a integrálního počtu. Uvažujme tedy konvergentní řadu funkcí S(x) = n=1 fn(x) na intervalu [a, b]. Přirozené dotazy jsou: ˇ Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité v nějakém bodě x0 [a, b], je spojitá i funkce S(x) v bodě x0? ˇ Jsou-li všechny funkce fn(x) diferencovatelné v a [a, b], je v něm diferenco- vatelná i funkce S(x) a platí vztah S (x) = n=1 fn(x)? ˇ Jsou-li všechny funkce fn(x) integrovatelné na intervalu [a, b], je integrovatelná i funkce S(x) a platí vztah S (x) = n=1 fn(x)? Ukážeme si nejprve na příkladech, že odpovědi na všechny tři takto kladené otázky jsou ,,NE! . Poté ale najdeme jednoduché dodatečné podmínky na kon- vergenci řady, které naopak platnosti všech tří tvrzení zajistí. Řady funkcí tedy obecně moc zvladatelné nejsou, nicméně si umíme vybrat velikou třídu takových, 196 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET se kterými se už pracuje velmi dobře. Mezi ně samozřejmě budou patřit mocninné řady. Uvažme funkce fn(x) = (sin x)n na intervalu [0, ]. Hodnoty těchto funkcí budou ve všech bodech 0 x nezáporné a menší než jedna, kromě x = 2 , kde je hodnota 1. Proto lim n fn(x) = 0 pro všechna x = 2 1 pro x = 2 . Zjevně tedy je limita posloupnosti funkcí fn nespojitou funkcí. Tentýž jev umíme na- jít i pro řady funkcí, protože součet je limitou částečných součtů. Stačí tedy v před- chozím příkladě vyjádřit fn jako n-tý částečný součet. Např. f1(x) = sin x, f2(x) = (sin x)2 - sin x, atd. Levý obrázek vykresluje funkce fn3 (x) pro n = 1, . . . , 10. x 32,5 0,2 1 0,5 0,4 1 20 0,6 1,5 0,8 0 -0,5 0,4 0,2 x 1 -0,4 -0,2 0 0-1 0,5 Obrázek na pravo vykresluje fn(x) = x(1-x2 )n na intervalu [-1, 1] pro hodnoty n = m2 , m = 1, . . . , 10. Na první pohled je zjevné, že lim n fn(x) = 0, všechny funkce fn(x) jsou hladké, ale v bodě x = 0 je jejich derivace fn(0) = (1 - x2 )n - 2nx2 (1 - x2 )n-1 |x=0 = 1 nezávisle na n. Limitní funkce pro posloupnost fn přitom má samozřejmě všude derivaci nulovou! Protipříklad k třetímu tvrzení jsme už viděli. Charakteristickou funkci Q ra- cionálních čísel můžeme vyjádřit jakou součet spočetně mnoha funkcí, které budou očíslovány právě racionálními čísly a budou vždy všude nulové, kromě množiny bodů, podle které jsou pojmenovány, kde jsou rovny 1. Riemannovy integrály všech takových funkcí budou nulové, jejich součet ale není Riemannovsky inegrovatelnou funkcí. 6.20 6.21. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí. Zjevným dů- vodem neúspěchu ve všech třech předchozích příkladech je skutečnost, že rychlost bodové konvergence hodnot fn(x) f(x) se bod od bodu velice liší. Přirozenou 3. NEKONEČNÉ ŘADY 197 myšlenkou tedy je omezit se na takové případy, kdy bude naopak konvergence pro- bíhat přibližně podobně rychle po celém intervalu. Říkáme, že posloupnost funkcí fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b] k limitě f(x), jestliže pro každé kladné (malé) číslo existuje (velké) přirozené číslo N N takové, že pro všechna n N a všechna x [a, b] platí |fn(x) - f(x)| < . Graficky si definici můžeme představit tak, že do pásu vzniklého posunutím limitní funkce f(x) na f(x) pro libovolně malé, ale pevně zvolené kladné , vždy padnou všechny funkce fn(x), až na konečně mnoho z nich. Tuto vlastnost zjevně neměl první a poslední z předchozích příkladů, u druhého ji postrádala posloupnost deri- vací fn. O řadě funkcí řekneme, že konverguje stejnoměrně na intervalu, jestliže stejno- měrně konverguje posloupnost jejích částečných součtů. Následující tři věty lze stručně shrnout tvrzením, že všechna tři obecně ne- platná tvrzení v 6.20 platí pro stejnoměrnou konvergenci (pozor ale na jemnosti u derivování). 6.21 6.22. Věta. Nechť fn(x) je posloupnost funkcí spojitých na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Pak je také f(x) spojitá funkce na intervalu [a, b]. Důkaz. Chceme ukázat, že pro libovolný pevný bod x0 [a, b] a jakékoliv pevně zvolené malé > 0 bude |f(x) - f(x0)| < pro všechna x dostatečně blízká k x0. Z definice stejnoměrné spojitosti je pro naše > 0 |fn(x) - f(x)| < pro všechna x [a, b] a všechna dostatečně velká n. Zvolme si tedy nějaké takové n a uvažme > 0 tak, aby |fn(x) - fn(x0)| < pro všechna x z -okolí x0 (to je možné, protože všechny fn(x) jsou spojité). Pak |f(x) - f(x0)| < |f(x) - fn(x)| + |fn(x) - fn(x0)| + |fn(x0) - f(x0)| < 3 pro všechna x z námi zvoleného -okolí bodu x0. 6.22 6.23. Věta. Nechť fn(x) je posloupnost Riemannovsky integrovatelných funkcí na konečném intervalu [a, b], které stejnoměrně konvergují k funkci f(x). Pak také f(x) je integrovatelná a platí lim n b a fn(x) dx = b a ( lim n fn(x)) dx = b a f(x) dx. Důkaz. Důkaz se opírá o zobecnění vlastností Cauchyovských posloupností čísel na stejnoměrnou konvergenci funkcí. Tímto způsobem umíme pracovat s exis- tencí limity posloupnosti integrálů, aniž bychom ji potřebovali znát. Řekneme, že posloupnost funkcí fn(x) na intervalu [a, b] je stejnoměrně Cau- chyovská, jestliže pro každé (malé) kladné číslo existuje (velké) přirozené číslo N takové, že pro všechna x [a, b] a všechna n N platí |fn(x) - fm(x)| < . Zřejmě je každá stejnoměrně konvergentní posloupnost funkcí na intervalu [a, b] také stejnoměrně Cauchyovská na témže intervalu. Toto pozorování nám už stačí k důkazu naší věty, zastavíme se ale napřed u užitečného obráceného tvrzení: 198 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Tvrzení. Každá stejnoměrně Cauchyovská posloupnost funkcí fn(x) na intervalu [a, b] stejnoměrně konverguje k nějaké funkci f na tomto intervalu. Důkaz. Z podmínky Cauchyovskosti posloupnosti funkcí okamžitě vyplývá, že také pro každý bod x [a, b] je posloupnost hodnot fn(x) Cauchyovskou po- sloupností reálných (případně komplexních) čísel. Bodově tedy nutně konverguje posloupnost funkcí fn(x) k nějaké funkci f(x). Ukážeme, že ve skutečnosti konverguje posloupnost fn(x) ke své limitě stejno- měrně. Zvolme N tak velké, aby |fn(x) - fm(x)| < pro nějaké předem zvolené malé kladné a všechna n N, x [a, b]. Nyní zvolíme pevně jedno takové n a odhadneme |fn(x) - f(x)| = lim m |fn(x) - fm(x)| pro všechna x [a, b]. Konečně se vrátíme ke snadnému důkazu věty: Připomeňme, že každá stej- noměrně konvergentní posloupnost funkcí je také stejnoměrně Cauchyovská a že Riemannovy součty pro jednotlivé členy naší posloupnosti konvergují k b a fn(x) dx nezávisle na výběru dělení a reprezentantů. Proto jestliže platí |fn(x) - fm(x)| < pro všechna x [a, b], pak také b a fn(x) dx - b a fm(x) dx |b - a|. Je tedy posloupnost čísel b a fn(x) dx Cauchyovská a proto konvergentní. Současně ale také díky stejnoměrné konvergenci posloupnosti fn(x) platí pro limitní funkci f(x) ze stejného důvodu, že její Riemannovy součty jsou libovolně blízké Rieman- nových součtům pro funkce fn s dostatečně velkým n a limitní funkce f(x) bude tedy opět integrovatelná. Zároveň b a fn(x) dx - b a f(x) dx |b - a|. a musí proto jít o správnou limitní hodnotu. Pro příslušný výsledek o derivacích je třeba zvýšené pozornosti ohledně před- pokladů: 6.23 6.24. Věta. Nechť fn(x) je posloupnost funkcí diferencovatelných na intervalu [a, b], která na tomto intervalu stejnoměrně konverguje k funkci f(x). Dále nechť jsou všechny derivace gn(x) = fn(x) spojité a nechť konvergují na témže intervalu stejnoměrně k funkci g(x). Pak je také funkce f(x) diferencovatelná na intervalu [a, b] a platí zde f (x) = g(x). Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že všechny naše funkce splňují fn(a) = 0 (v opačném případě je pozměníme o konstanty a na výsledku úvah se nic nezmění). Pak ovšem můžeme psát pro všechny x [a, b] fn(x) = x a gn(t) dt. 3. NEKONEČNÉ ŘADY 199 Protože ale funkce gn stejnoměrně konvergují k funkci g na celém [a, b], tedy tím spíše na intervalech [a, x], kde a x b, platí také f(x) = x a g(t) dt. Protože je funkce g coby stejnoměrná limita spojitých funkcí opět spojitou funkcí, dokázali jsme vše potřebné, viz Věta 6.11 o Riemannově integrálu a antiderivaci. 6.24 6.25. Důsledek. Pro nekonečné řady můžeme předchozí výsledky shrnout takto: Uvažme funkce fn(x) na intervalu I = [a, b]. (1) Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I a řada S(x) = n=1 fn(x) kon- verguje stejnoměrně k funkci S(x), je i funkce S(x) spojitá na I. (2) Jsou-li všechny funkce fn(x) spojitě diferencovatelné na I, a obě řady S(x) = n=1 fn(x), T(x) = n=1 fn(x) konvergují stejnoměrně, pak je také funkce S(x) spojitě diferencovatelná a platí S (x) = T(x), tj. n=1 fn(x) = n=1 fn(x). (3) Jsou-li všechny funkce fn(x) Riemannovsky integrovatelné na I a řada S(x) = n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně k funkci S(x) na I, je tamtéž inte- grovatelná i funkce S(x) a platí vztah b a n=1 fn(x) dx = n=1 b a fn(x) dx. 6.25 6.26. Test pro stejnoměrnou konvergenci. Nejjednodušším způsobem pro zjiš- tění stejnoměrné konvergence funkcí je porovnání s absolutní konvergencí vhodné posloupnosti. Říkává se tomu často Weierstrassův test. Předpokládejme tedy, že máme řadu funkcí fn(x) na intervalu I = [a, b] a že navíc známe odhad |fn(x)| an R pro vhodné reálné konstanty an a všechna x [a, b]. Okamžitě můžeme odhadnout rozdíly částečných součtů sk(x) = k n=1 fn(x) pro různé indexy k. Pro k > m dostáváme |sk(x) - sm(x)| k n=m+1 fn(x) k n=m+1 |fn(x)| k n=m+1 ak. Pokud je řada (kladných) konstant n=1 an konvergentní, pak bude samozřejmě posloupnost jejích částečných součtů Caychyovská. Právě jsme ale spočetli, že v takovém případě bude posloupnost částečných součtů sn(x) stejnoměrně Caychy- ovská. Díky tvrzení dokázanému před chvílí v 6.23 jsme tedy právě dokázali násle- dující Tvrzení. Nechť fn(x) je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I = [a, b] a platí |fn(x)| an R. Je-li řada čísel n=1 an konvergentní, pak řada S(x) = n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně. 200 6. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET 6.26 6.27. Důsledky pro mocninné řady. Weistrassův testu je velice užitečný pro diskusi mocninných řad S(x) = n=1 an(x - x0)n se středem v bodě x0. Při našem prvním setkání s mocninnými řadami jsme uká- zali v 5.29, že každá taková řada konverguje na (x0 - , x0 + ), kde tzv. poloměr konvergence 0 může být také nula nebo . (viz také 5.32). Zejména jsme v důkazu věty 5.29 pro ověření konvergence řady S(x) používali srovnání s vhodnou geometrickou posloupností. Podle Weistrassova testu je proto řada S(x) stejno- měrně konvergentní na každém kompaktním (tj. konečném) intervalu [a,b] uvnitř intervalu (x0 - , x0 + ). Dokázali jsme tedy Důsledek. Každá mocninná řada S(x) je ve všech bodech uvnitř svého intervalu konvergence spojitá a spojitě diferencovatelná. Funkce S(x) je také integrovatelná a derivování i integrování lze provádět člen po členu. Ve skutečnosti platí také tzv. Abelova věta, která říká, že mocninné řady jsou spojité i v hraničních bodech svého definičního oboru (včetně případných nekoneč- ných limit). Tu zde nedokazujeme. Právě dokázané příjemné vlastnosti mocninných řad zároveň poukazují na hra- nice jejich použitelnosti při modelování závislostí nějakých praktických jevů nebo procesů. Zejména není možné pomocí mocninných řad dobře modelovat po částech spojité funkce. Jak uvidíme v zápětí, je možné pro konkrétněji vymezené potřeby nacházet lepší sady funkcí fn(x) než jsou hodnoty fn(x) = xn . Nejznámějšími pří- klady jsou Fourierovy řady a tzv. wawelety, které přibolížíme v další kapitole. Příklad. Sečtěte řadu n=1 1 n2n . Nápověda: 2 dx xn+1 = 1 n2n . Řešení. Zaměnou sumace s integrací dostaneme integrál 2 n=1 1 xn+1 dx = ln 2. KAPITOLA 7 Spojité modely jak šikovně zachytit nelinární změny? ­ pořádně si je lineárně přibližme... V této kapitole se budeme snažit podat stručné náznaky, jak lze relativně jedno- duše používat nástroje diferenciálního a integrálního počtu. V jistém smyslu půjde o postupy a nástroje podobné, jako jsme již viděli v kapitole třetí. Jen místo ko- nečně rozměrných vektorů budou naše objekty nebo jejich stavy často prezentovány pomocí funkcí. 1. Fourierovy řady 7.1 7.1. Vzdálenosti funkcí. Zvolme si pevně nějaký interval I = [a, b], konečný nebo nekonečný. Koncept integrování můžeme velice intuitivním způsobem využít pro vyjádření vzdálenosti funkcí definované na I: Pro každé dvě (reálné nebo kom- plexní) funkce f, g na I zkusíme definovat jejich vzdálenost f - g jako plochu oblasti vymezené mezi jejich grafy, tj. f - g 2 = b a |f(x) - g(x)|2 dx. Samozřejmě je třeba předpokládat, že tento Riemannův integrál existuje. Velikost f funkce f je pak její vzdálenost od funkce nulové, tj. f 2 = b a |f(x)|2 dx. Pro jednoduchost budeme pracovat s množinou S = S[a, b] omezených a po částech spojitých reálných funkcí na I, ale úvahy lze rozšiřovat podle potřeby (často ale za cenu značné technické námahy). Z námi již dokázaných vlastností integrování je okamžitě vidět, že S je vekto- rový prostor a že námi právě uvažovaná velikost je odvozena z dobře definovaného symetrického bilineárního zobrazení f, g = b a f(x)g(x) dx, které má všechny vlastnosti skalárního součinu. V konečněrozměrném případě jsme takto definovali velikost vektorů v odstavci 2.37. Nyní je to naprosto stejné a pokud zúžíme naši definici na vektorový prostor generovaný nad reálnými čísly jen konečně mnoha funkcemi f1, . . . , fk, dostaneme opět dobře definovaný skalární součin na tomto konečněrozměrném vektorovém podprostoru. Jako příklad uvažme funkce fi = xi , i = 0, . . . , k. Jimi je v S generován (k+1)­ rozměrný vektorový podprostor Rk[x] všech polynomů stupně nejvýše k. Skalární 201 202 7. SPOJITÉ MODELY součin dvou takových polynomů je dán integrálem. Každý polynom stupně nejvýše k je vyjádřen jednoznačným způsobem jako lineární kombinace generátorů f0, . . . , fk. Pokud by navíc naše generátory měly tu vlastnost, že e7.1 (7.1) fi, fj = 0 pro i = j 1 pro i = j jde o tzv. ortonormální bázi. Připomeňme si v této souvislosti proceduru Grammovy­ Schmidtovy ortogonalizace, viz 2.46, která z libovolného systému generátorů fi vy- tvoří nové ortogonální generátory gi téhož prostoru, tj. gi, gj = 0 pro všechny i = j. Spočteme je přitom postupně jako g1 = f1 a formulemi g +1 = f +1 + a1g1 + + a g , ai = - f +1, gi gi 2 pro > 1. Aplikujme tuto proceduru na první tři polynomy 1, x, x2 na intervalu [-1, 1]. Dostaneme g1 = 1, g2 = x - 1 g1 2 1 -1 x 1 dx 1 = x - 0 = x g3 = x2 - 1 g1 2 1 -1 x2 1 dx 1 - 1 g2 2 1 -1 x2 x dx x = x2 - 1 3 . Příslušná ortogonální báze prostoru R2[x] na intervalu [-1, 1] je tedy 1, x, x2 - 3. Normalizací, tj. vhodným násobením skalárem tak, aby prvky v bázi měly velikost jedna dostaneme ortonormální bázi h1 = 1 2 , h2 = 3 2 x, h3 = 1 2 5 2 (3x2 - 1). Takovým ortonormálním generátorům Rk[x] se říká Legendreovy polynomy. 7.2 7.2. Ortogonální systémy funkcí. Připomeňme si výhody, které ortonormální báze podprostorů měly pro konečněrozměrné vektorové prostory. Můžeme pokra- čovat v předchozím příkladu polynomů a uvažovat třeba V = Rk[x] pro libovolné k > 2. Pro libovolnou funkci h V bude funkce H = h, h1 h1 + h, h2 h2 + h, h3 h3 jednoznačně určenou funkcí, která minimalizuje vzdálenost h - H mezi všemi funkcemi v R2[x]. Koeficienty pro nejlepší aproximaci zadané funkce pomocí funkce z vybraného podprostoru je možné tedy získat prostě integrací. Uvedený příklad podbízí následující zobecnění: Když provedeme proceduru Grammovy­Schmidtovy ortogonalizace pro všechny monomy 1, x, x2 , . . . , tj. pro spočetný systém generátorů, co z toho vznikne? Nebo ještě obecněji ­ co se stane, když zvolíme úplně libovolný spočetný systém lineárně nezávislých funkcí v S ta- kový, že každé dvě různé z nich mají nulový skalární součin? Takovému systému funkcí na intervalu I říkáme ortogonální systém funkcí. Jestliže jsou všechny funkce fn v posloupnosti po dvou ortogonální a zároveň je pro všechna n velikost fn = 1 normovaná, hovoříme o ortonormálním systému funkcí. 1. FOURIEROVY ŘADY 203 Nechť tedy tvoří posloupnost funcí fn ortogonální systém po částech spojitých funkcí na intervalu I = [a, b] a předpokládejme, že pro konstanty cn konverguje řada F(x) = n=1 cnfn stejnoměrně na I. Pak snadno vyjádříme skalární součin F, fn po jednotlivých sčítancích (viz Důsledek 6.25) a dostaneme F, fn = m=1 cm b a fm(x)fn(x) dx = cn fn 2 . Máme tedy tušení, v jakou přibližně odpověď je možné doufat, a docela přehledně nám ji skutečně dává následující věta: 7.3 7.3. Věta. Nechť fn, n = 1, 2, . . . , je ortogonální posloupnost funkcí Riemannov- sky integrovatelných na I = [a, b] a nechť g je libovolná funkce Riemannovsky inte- grovatelná na I. Označme cn = fn -2 b a fn(x)g(x) dx. (1) Pro libovolné pevné n N má ze všech lineárních kombinací funkcí f1, . . . , fn nejmenší vzdálenost od g výraz hn = n i=1 cifi(x). (2) Řada čísel n=1 c2 n fn 2 vždy konverguje a platí n=1 c2 n fn 2 g 2 . (3) Vzdálenost g od částečných součtů sk = k n=1 cnfn jde v limitě k nule, tj. lim k g - sk 2 = 0, tehdy a jen tehdy, když n=1 c2 n fn 2 = g 2 . Ještě než se pustíme do důkazu, zkusíme lépe porozumět významu jednotli- vých tvrzení této věty. Protože pracujeme s úplně libovolně zvoleným ortogonálním systémem funcí, nemůžeme očekávat, že lze dobře aproximovat jakoukoliv funkci pomocí lineárních kombinací funkcí fi. Např. když se omezíme u ortogonálních po- lynomů pouze na sudé stupně, určitě budeme dobře aproximovat pouze sudé funkce. Nicméně hned první tvrzení nám říká, že vždycky budeme dosahovat nejlepší možné aproximace částečnými součty. Druhé a třetí tvrzení pak můžeme vnímat jako analo- gii ke komým průmětům do podprostorů vyjádřených pomocí souřadnic. Skutečně, že pokud k dané funkci g bodově konverguje řada F(x) = n=1 cnfn, pak je funkce F(x) kolmým průmětem g do vektorového podprostoru všech takovýchto řad. Na druhé straně ale naše věta neříká, že by částečné součty uvažované řady musely bodově konvergovat k nějaké funkci. Tj. řada F(x) nemusí být obecně kon- vergentní ani v případě, kdy nastane rovnost v (3). Pokud ale např. existuje konečná 204 7. SPOJITÉ MODELY hodnota n=1 |ci| a všechny funkce fn jsou stejnoměrně omezené na I, pak zřejmě řada F(x) konverguje v každém x. Důkaz. Zvolme libovolnou lineární kombinaci f = k n=1 anfn a spočtěme její vzdálenost od g. Dostáváme g - k n=1 anfn 2 = b a g - k n=1 anfn 2 dx = b a g2 dx - 2 b a k n=1 anfng dx + b a k n=1 anfn 2 dx = g 2 - 2 k n=1 ancn + k n=1 a2 n fn 2 = g 2 + k n=1 fn 2 ((cn - an)2 - c2 n). Evidentně lze poslední výraz minimalizovat právě volbou an = cn a tím je první tvrzení dokázáno. Dosazením této volby dostáváme tzv. Besselovu identitu g - k n=1 cnfn 2 = g 2 - k n=1 c2 n fn 2 , ze které okamžitě díky nezápornosti levé strany vyplývá tzv. Besselova nerovnost k n=1 c2 n fn 2 g 2 . Tím je dokázáno druhé tvrzení, protože každá neklesající a shora omezená po- sloupnost reálných čísel má limitu (a je jí supremum celé množiny hodnot prvků posloupnosti). Jestliže v Besselově nerovnosti nastane rovnost, hovoříme o tzv. Parsevalově rovnosti. Přímo z definic vyplývá nyní tvrzení (3). Ortonogonální systém funkcí nazveme úplný ortogonální systém na intervalu I = [a, b], jetliže platí Parsevalova rovnost pro každou funkci g s konečnou velikostí g na tomto intervalu. 7.4 7.4. Fourierovy řady. Předchozí věta naznačuje, že umíme se spočetnými orto- gonálními systémy fn funkcí pracovat velice podobně jako s konečnými ortogonál- ními bazemi vektorových prostorů, jsou tu ale zásadní rozdíly: ˇ Není snadné říci, jak vypadá celý prostor konvergentních nebo stejnoměrně konvergentních řad F(x) = n=1 cnfn. ˇ Pro danou integrovatelnou funkci umíme najít jen nejlepší možné přiblížení takovou řadou F(x). V případě, že místo ortonogonálního systému fn máme systém ortonormální, jsou formulky ve větě o něco jednodušší, žádné další zlepšení ale nenastane. Jako pěkný příklad na integrování lze elementárními metodami ověřit, že systém funkcí 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . . . , sin nx, cos nx, . . . 1. FOURIEROVY ŘADY 205 je ortogonální systém na intervalu [-, ] (a také na kterémkoliv jiném intervalu o délce 2). Řady z předchozí věty odpovídající tomuto systému nazýváme Fou- rierovy řady. I v obecném případě diskutovaném výše se někdy hovoří o obecných Fourierových řadách vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí fn. Koeficienty cn se pak nazývají Fourierovy koeficienty funkce f. Na intervalu [-, ] jsou velikosti všech funkcí kromě první vždy , první má velikost 2. Lze dokázat, že náš systém funkcí je úplným ortogonálním systémem, nebudeme to zde ale dokazovat. Ve smyslu vzdálenosti funkcí definované pomocí našeho skalárního součinu proto budou částečné součty Fourierovy řady F(x) pro libovolnou funkci g(x) s konečným integrálem b a g(x)2 dx, tj. F(x) = a0 2 + n=1 (an cos(nx) + bn sin(nx)) s koeficienty an = 1 - g(x) cos(nx) dx, bn = 1 - g(x) sin(nx) dx, vždy konvergovat k funkci g(x). Z obecnějších úvah lze dovodit, že z konvergence v tomto smyslu vždy vyplývá bodová konvergence částečných součtů ve skoro všech bodech x I. Nebudeme zde ale ani vysvětlovat, co znamená ,,skoro všechny , ani nebudeme takový výsledek dokazovat. Jako příklad Fourierovy řady si uvedeme Fourierovu řadu pro periodickou funkci vzniklou z Heavisideovy funkce zúžením na jednu periodu. Tj. naše funkce g bude na intervalu [-, 0] rovna -1 a na intervalu [0, ] bude rovna 1. Protože jde o funkci lichou, jistě budou všechny koeficienty u funkcí cos(nx) nulové, a pro coeficienty u funkcí sin(nx) spočteme bn = 1 - g(x) sin(nx) dx = 2 0 sin(nx) dx = 2 n (1 - (-1)n ). Výsledná Fourierova řada je tedy tvaru g(x) = 4 sin(x) + 1 3 sin(3x) + 1 5 sin(5x) + . . . a součet jejích prvních pěti a prvních padesáti členů je na následujících dvou ob- rázcích. Všimněme si, že se zvyšujícím se počtem členů řady se výrazně spřesňuje apro- ximace s výjimkou stále se zmenšujícího okolí bodu nespojitosti, na němž je ale maximum odchylky stále zhruba stejné. Je to obecná vlastnost Fourierových řad, které se říká Gibbsův jev. Povšimněme si také, že v samotném bodě nespojitosti je hodnota aproximující funkce právě v polovině mezi limitami zprava a zleva pro Heavisideovu funkci. 206 7. SPOJITÉ MODELY -1 0 2 x 0 -2 -0,5 0,5 -4 1 4 t=2. -1 0 2 x 4-2 -0,5 0 -4 1 0,5 t=24. Samozřejmě nelze očekávat, že by konvergence Fourierových řad pro funkce g s body nespojitosti mohla být stejnoměrná (to by totiž g musela být coby stejnoměrná limita spojitých funkcí sama spojitá!). Bez podrobného důkazu si uvedeme následující větu podávající ucelený obrázek o bodové konvergenci Fourierových řad. Nejde o nutné podmínky konvergence a v literatuře lze najít řadu jiných formulací. Tato je ale jednoduchá a postihuje velké množství užitečných případů. Věta. Nechť g je po částech spojitá a po částech monotonní funkce na intervalu [-, ]. Pak její Fourierova řada F(x) konverguje na [-, ] a její součet je ˇ roven hodnotě g(x0) v každém bodě x0 [-, ], ve kterém je funkce g(x) spojitá, ˇ v každém bodě nespojitosti x0 funkce g(x) roven 1 2 lim xx+ 0 g(x) + lim xx- 0 g(x) , ˇ v krajních bodech intervalu [-, ] je roven 1 2 lim x-+ g(x) + lim x- g(x) . Pokud navíc je funkce g(x) spojitá, periodická s periodou 2 a všude existuje její po částech spojitá derivace, pak konverguje její Fourierova řada stejnoměrně. 7.5 7.5. Wavelety. Fourierovy řady a další z nich vycházející nástroje jsou využívány ke zpracování různých signálů, obrázků apod. Povaha použitých periodických goni- ometrických funkcí a jejich prosté škálování pomocí zvětšující se frekvence zároveň omezují jejich použitelnost. V mnoha oborech proto vyvstala přirozená potřeba nalézt šikovnější úplné ortogonální systémy funkcí, které budou vycházet z předpo- kládané povahy dat a které bude možné efektivněji zpracovávat. Takový systém se lze například vytvořit volbou vhodné spojité funkce s kompaktním nosičem, ze které sestrojíme spočetně mnoho funkcí ij, j, k Z, pomocí dyadických translací a dilatací: jk(x) = 2j/2 (2j x - k). 2. INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE 207 Pokud tvar mateřské funkce dobře vystihuje možné chování dat, a zároveň její potomci jk tvoří úplný ortogonální systém, pak se zpravidla dobře daří konkrétní zpracovávaný signál aproximovat pomocí jen několika málo funkcí. Nebudeme zde zacházet do podrobností, jde o mimořádně živý směr výzkumu i základ komerčních aplikací. Zájemce snadno najde spoustu literatury. Na obrázku je ilustrována tzv. Daubechies mateřská wavelet D4(x) a její dcera D4(2-3 x - 1). 1,2 2 0,8 0,4 1 0 0-1 t 3 4 t 252015 0 1,2 0 5 30 0,8 10 0,4 2. Integrální transformace 7.6 7.6. Integrální operátory. V případě konečněrozměrných vektorových prostorů jsme mohli vnímat vektory jako zobrazení z konečné množiny pevně zvolených gene- rátorů do prostoru souřadnic. Nejjednodušší lineární zobrazení zobrazovala vektory do skalárů (tzv. lineární formy) a byla definována pomocí jednořádkových matic jako součet součinů těchto souřadnic s pevně zvolenými hodnotami na generáto- rech. Složitější zobrazení s hodnotami opět v tom samém prostoru pak byla ob- dobně zadána maticemi. Velice podobně umíme přistoupit k lineárním operacím na prostorech funkcí. V případě vektorového prostoru S všech po částech spojitých funkcí na inter- valu I = [a, b] se lineární zobrazení S R nazývají (reálné) lineární funkcionály. Jednoduše je můžeme zadat dvěma způsoby ­ pomocí vyčíslení funkce (případně jejích derivací) v jednotlivých bodech nebo pomocí integrování. Příkladem funkci- onálu L tedy může být vyčíslení v jediném pevném bodě x0 I L(f) = f(x0) integrální funkcionál pak je zadán pomocí pevně zvolené funkce g(x) L(f) = b a f(x)g(x) dx. Funkce g(x) zde hraje roli váhy, se kterou při definici Riemannova integrálu bereme jednotlivé hodnoty reprezentující funkci f(x). Nejjednodušším příkladem takového funkcionálu je samozřejmě Riemannův integrál samotný, tj. případ s g(x) = 1 pro 208 7. SPOJITÉ MODELY všechny body x. Dobrou představu dává také volba g(x) = 0 je-li |x| a e 1 x2-a2 + 1 a2 je-li |x| < a. To je funkce hladká na celém R s kompaktním nosičem v intervalu (-a, a), viz 6.8. V bodě x = 0 má přitom hodnotu jedna. Integrální funkcionál Ly(f) = b a f(x)g(y - x) dx je možné vnímat jako ,,rozmlžené zprůměrování hodnot funkce f kolem bodu x = y (obrázek funkce g je v 6.8 ­ ve svém středu má hodnotu jedna a hladkým mono- tonním způsobem se plynule přimkne k nule ve vzdálenosti a na obě strany). Ještě lepší volbou je z tohoto pohledu libovolná funkce g jejíž integrál přes celou reálnou osu je jednička. 7.7 7.7. Konvoluce funkcí. Pohled na integrální funkcionál Ly jako na zprůměro- vané chování funkce f v okolí daného bodu je názornější pro případ nevlastních mezí integrálu a = -, b = . Místo prostoru S všech po částech spojitých funkcí na R budeme uvažovat po částech spojité a v absolutní hodnotě integrovatelné funkce f v roli argumentu pro náš funkcionál. Volný parametr y může být vnímán jako nová nezávislá proměnná a naše operace tedy ve skutečnosti zobrazuje funkce opět na funkce f ~f: ~f(y) = Ly(f) = f(x)g(y - x) dx. Této operaci se říká konvoluce funkcí f a g, značíme ji f g. Většinou se konvoluce definuje pro reálné nebo komplexní funkce s kompaktním nosičem na celém R. Pomocí transformace t = z - x se snadno spočte (f g)(z) = - f(x)g(z - x) dx = - - f(z - t)g(t) dt = (g f)(z), je tedy konvoluce coby binární operace na dvojicích funkcí s kompaktními nosiči komutativní. Konvoluce je mimořádně užitečný nástroj pro modelování způsobu, jak mů- žeme pozorovat experiment nebo jak se projevuje prostředí při přenosu informací (např. analogový audio nebo video signál ovlivňovaný šumy apod.). Argument f je přenášenou informací, funkce g je volena tak, aby co nejlépe vystihovala vlivy prostředí či zvoleného technického postupu. Konvoluce jsou jedním z mnoha případů obecných integrálních operátorů na prostorech funkcí K(f)(y) = b a f(x)k(y, x) dx s jádrem daným funkcí dvou proměnných k : R2 R. Definiční obor takových funkcionálů je nutné vždy volit s ohledem na vlastnosti jádra tak, aby vždy existoval použitý integrál. 2. INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE 209 7.8 7.8. Fourierova transformace. Teorie integrálních operátorů s jádry a rovnic, které je obsahují je velice užitečná a zajímavá zároveň, bohužel pro ni zde teď ale nemáme dost prostoru. Zaměříme teď alespoň na jeden mimořádně důležitý případ, tzv. Fourierovu transformaci F, která úzce souvisí s Fourierovými řadami. Připomeňme si základní formuli pro parametrizaci jednotkové kružnice v komplexní rovině s rychlostí obíhání = 2/T, kde T je čas jednoho oběhu: eit = cos t + i sin t. Pro (reálnou nebo komplexní) funkci f(t) můžeme spočíst její tzv. komplexní Fourierovy ko- eficienty jako komplexní čísla cn = 1 T Z T/2 -T/2 f(t) e-int dt. Přitom platí vztahy mezi koeficienty an a bn Fourierových řad (po přepočtu formulí pro tyto koeficienty pro funkce s obecnou periodou délky T) a těmito čísly cn cn = 1 2 (an - ibn), c-n = 1 2 (an + ibn) a při reálném f jsou samozřejmě cn a c-n komplexně konjugované. Označíme-li n = n, bude tedy původní funkce f(t) s konvergující Fourierovou řadou rovna f(t) = X n=- cn eint . Při pevně zvoleném T vyjadřuje výraz = 2/T právě změnu ve frekvenci způsobenou nárustem n o jedničku. Je to tedy právě diskrétní krok, se kterým při výpočtu koeficientů Fourierovy řady měníme frekvence. Koeficient 1/T u formule pro cn je pak roven /2, takže můžeme řadu pro f(t) přepsat jako f(t) = X n=- 1 2 ,, Z T/2 -T/2 f(x) e-inx dx eint . Představme si nyní hodnoty n pro všechna n Z jako vybrané reprezentanty pro malé intervaly [n, n+1] o délce . Pak náš výraz ve vnitřní velké závorce v poslední formuli pro f(t) ve skutečnosti vyjadřuje sčítance Riemannových součtů pro nevlastní integrál 1 2 Z - g() eit d kde g() je funkce nabývající v bodech n hodnoty g(n) = Z T/2 -T/2 f(x) e-inx dx. Předpokládejme, že naše funkce f je integrovatelná v absolutní hodnotě přes celé R. Pak můžeme limitně přejít T a dojde ke zejmňování normy našich intervalů. Zároveň se dostaneme v posledním výrazu k integrálu g() = Z - f(x) e-ix dx. Můžeme tedy položit pro (každou v absolutní hodnotě Riemannovsky integrovatelnou) funkci f na R F(f)() = ~f() = 1 2 Z - f(t) e-it dt. Této funkci ~f říkáme Fourierova trasnformace funkce f. Přechozí úvahy pak ukazují, že pro ,,rozumné funkce f(t) bude také platit f(t) = F-1 ( ~f)(t) = 1 2 Z - ~f() eit d. 210 7. SPOJITÉ MODELY Tím říkáme, že existuje k právě definované Fourierově transformaci F inverzní operace F-1 , které říkáme inverzní Fourierova transformace. Všimněme si, že Fourierova transformace a její inverze jsou integrální operátory se skoro shodným jádrem k(, t) = eit . 7.9 7.9. Vlastnosti Fourierovy transformace. Fourierova transformace zajímavým způso- bem převrací lokální a globální chování funkcí. Začněme jednoduchým příkladem, ve kterém najdeme funkci f(t), která se ztransformuje na charateristickou funkci intervalu [-, ], tj. ~f() = 0 pro || > a ~f = 1 pro || . Inverzní transformace F-1 nám dává f(t) = 1 2 Z - eit d = 1 2 1 it eit ­ - = 2 2t 1 2i (eit - e-it ) = 2 2t sin(t). Přímým výpočtem limity v nule (L'Hospitalovo pravidlo) spočteme, že f(0) = 2(2)-1/2 , nejbližší nulové body jsou v t = / a funkce poměrně rychle klesá k nule mimo počátek x = 0. Na obrázku je tato funkce znázorněná zelenou křivkou pro = 20. Zároveň je vynesena červenou křivkou oblast, ve které se s rostoucím naše funkce f(t) stále rychleji ,,vlní . t 32 y 1 20 0 15 10 -1 5 0 -2 -5 -3 Omega=20.000 V dalším příkladu spočtěme Fourierovu transformaci derivace f (t) pro nějakou funkci f. Pro jednoduchost předpokládejme, že f má kompaktní nosič, tj, zejména F(f ) i F(f) skutečně existují a počítejme metodou per partes: F(f )() = 1 2 Z f (t) e-it dt = 1 2 [e -itf(t)] - + i 2 Z - f(t) e-it dt = iF(f)() Vidíme tedy, že Fourierova transformace převádí (infinitesimální) operaci derivování na (alge- braickou) operaci prostého násobení proměnnou. Samozřejmě můžeme tento vzorec iterovat, tj. F(f )() = -2 F(f), . . . , F(f(n) ) = in n F(f). Další mimořádně důležitou vlastností je vztah mezi konvolucemi a Fourierovou transfor- mací. Spočtěme, jak dopadne transformace konvoluce h = f g, kde opět pro jednoduchost předpokládáme, že funkce mají kompaktní nosiče. Při výpočtu prohodíme pořadí integrova- nání, což je krok, který ověříme teprve v diferenciálním a integrálním počtu později, viz ??. V 2. INTEGRÁLNÍ TRANSFORMACE 211 dalším krůčku pak zavedeme substituci t - x = u. F(h)() = 1 2 Z - ,,Z - f(x)g(t - x) dx e-it dt = 1 2 Z - f(x) ,,Z - g(t - x) e-it dt dx = 1 2 Z - f(x) ,,Z - g(u) e-i(u+x) du dx = 1 2 ,,Z - f(x) e-ix dx ,,Z - g(u) e-iu) du = 2F(f) F(g) Podobný výpočet ukazuje i obrácené tvrzení, že Fourierova transformace součinu je, až na konstantu, konvoluce transformací. F(f g) = 1 2 F(f) F(g). Jak jsme si uváděli výše, konvoluce f g velice často modeluje proces našeho pozorování nějaké sledované veličiny f. Pomocí Fourierovy transformace a její inverze nyní můžeme snadno rozpoznat původní hodnoty této veličiny, pokud známe konvoluční jádro g. Prostě spočteme F(f g) a podělíme obrazem F(g). Hovoříme o dekonvoluci. Vraťme se nyní ještě k prvnímu příkladu s inverzní transformací k charakteristické funkci f intervalu [-, ]. Zkusme provést limitní přechod pro jdoucí k nekonečnu a označme 2(t) kýženou limitní ,,funkci pro F-1 (f)(t). Pro součin s libovolným obrazem F(g) platí F-1 (f F(g))(z) = 1 2 Z - g(t)F-1 (f)(z - t) dt. Při přejde výraz nalevo k F-1 (F(g))(z) = g(z), zatímco napravo dostáváme g(z) = Z - g(t)(z - t) dt. Naše hledaná (t) tedy vypadá na ,,funkci , která je všude nulová, kromě jediného bodu t = 0, kde je tak ,,nekonečná , že integrováním jejího součinu s libovolnou integrovatelnou funkcí g dostaneme právě hodnotu g v bodě t = 0. Není to samozřejmě funkce v našem smyslu, nicméně jde o objekt často používaný. Říká se jí Diracova funkce a korektně ji lze popsat jako tzv. distribuci. Z nedostatku času nebudeme distribuce podrobněji rozebírat a omezíme se na konstatování, že si lze dobře Diracovo představit jako jednotkový impulz v jediném bodě. Fourierova transformace jej pak přetransformuje na konstantní funkci F()() = 1 2 . Naopak mnohé funkce, které nejsou integrovatelné v absolutní hodnotě na R transformuje Fourierova transformace na výrazy s Diracovým . Např. F(cos(nt))() = r 2 ((n - ) + (n + )). 7.10 7.10. Poznámky o dalších transformacích. Pokud použijeme Fourierovu transformaci na lichou funkci f(t), tj. f(-t) = -f(t), příspěvek integrace součinu f(t) a funkce cos t se pro kladná a záporná t vyruší. Dostaneme proto přímým výpočtem F(f)() = -2i 2 Z 0 f(t) sin t dt. Výsledná funkce je opět lichá, proto ze stejného důvodu i inverzní transformaci lze spočíst ob- dobně. Vynecháním imaginární jednotky i dostáváme vzájemně inverzní transformace, kterým se říká Fourierova sinusová transformace pro liché funkce: ~fs() = r 2 Z 0 f(t) sin t dt, f(t) = r 2 Z 0 ~fs(t) sin t dt. 212 7. SPOJITÉ MODELY Obdobně se definuje Fourierova cosinová transformace pro sudé funkce. Fourierovu transformaci nelze dobře využít pro funkce, které nejsou integrovatelné v ab- solutní hodnotě přes celé R (minimálně nedostáváme opravdové funkce). Laplaceova transfor- mace se chová docela podobně jako Fourierova a tuto vadu nemá: L(f)(s) = f(s) = Z 0 f(t) e-st dt. Integrální operátor L má velice rychle se zmenšující jádro, proto bude existovat L(p(t)) na- příklad pro každý polynom p a všechna kladná s. Obdobně jako pro Fourierovu transformaci dostaneme prostým výpočtem per partes vztah pro Laplaceovu transformaci derivované funkce při s > 0: L(f (t))(s) = Z 0 f (t) e-st dt = [f(t) e-st ] 0 + s Z 0 f(t) e-st dt = -f(0) + sL(f)(s). Vlastnosti Laplaceovy transformace a řadu dalších zejména v technické praxi používaných transformací je možné snadno dohledat v literatuře. 3. Diferenciální rovnice 7.11 7.11. Lineární a nelineární modely. Pojem derivace jsme zavedli, abychom mohli pracovat s okamžitými změnami studovaných veličin. Ze stejných důvodů jsme kdysi v úvodní kapitole zaváděli diference a právě vztahy mezi hodnotami veličin a změnami těch samých nebo jiných veličin vedly k rovnicím. Nejjednodušším modelem bylo úročení vkladů nebo půjček (a totéž pro tzv. Malthusiánský model populace). Přírůstek byl úměrný hodnotě, viz 1.12. V rámci spojitého modelování by stejný požadavek vedl na rovnici vztahující derivaci funkce y (x) s její hodnotou e7.20 (7.2) y (x) = r y(x) s konstantou úměrnosti r. Je snadné uhodnout řešení této rovnosti y(x) = C erx s libovolnou konstantou C. Tuto konstantu určíme jednoznačně volbou tzv. počá- teční hodnoty y0 = y(x0) v nějakém bodě x0. Pokud by část růstu v našem modelu byla dána konstatním působením nezávislém na hodnotě y nebo x, mohli bychom použít rovnici s konstantou s na pravé straně e7.21 (7.3) y (x) = r y(x) + s. Zjevně bude řešením této rovnice funkce y(x) = C erx -s r . K tomuto závěru je velice lehké dojít, pokud si uvědomíme, že množinou věech řešení rovnice (7.2) je jednorozměrný vektorový prostor, zatímco řešení rovnice (7.3) se obdrží přičte- ním kteréhokoliv jednoho jejího řešení ke všem řešením předchozí rovnice. Lze pak snadno najít konstantní řešení y(x) = k pro k = -s r . Podobně se nám v odstavci 1.19 podařilo vytvořit model populačního růstu založený na předpokladu, že závislost poměru změny velikosti populace p(n + 1) - p(n) a její velikosti p(n) je v afinní závislosti na samotné velikosti populace. Nyní bychom tentýž vztah pro spojitý model patrně formulovali pro populaci p(t) závislou na čase t jako e7.22 (7.4) p (t) = p(t) - r K p(t) + r , 3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 213 tj. při hodnotě p(t) = K pro velkou konstantu K je přírůstek nulový, zatímco pro p(t) blízké nule je poměr rychlosti růstu populace k její velikosti blízký r, což je malé číslo v řádu setin vyjadřující rychlost růstu populace za dobrých podmínek. Není jistě snadné vyřešit bez znalostí teorie takovou rovnici, nicméně jako cvi- čení lze jistě ověřit, že následující funkce řešením pro každou konstantu C je p(t) = K 1 + CK e-rt . y 100 80 60 40 20 t 0 200150100500 Srovnáním červeného grafu této funkce s volbou K = 100, r = 0, 05 a C = 1 (první dvě jsme takto použili v 1.19, poslední odpovídá přibližně počáteční hodnotě p(0) = 1) s obrázkem v 1.19 vidíme, že skutečně oba přístupy k modelování populací dávají docela podobné výsledky. Pro srovnání výstupu je také do obrázku zeleně vkreslen graf řešení rovnice (7.2) s touž konstantou r a počáteční podmínkou. 7.12 7.12. Diferenciální rovnice prvního řádu. Obecně rozumíme (obyčejnou) di- ferenciální rovnicí prvního řádu vztah mezi derivací funkce y (x) v proměnné x, její hodnotou y(x) a samotnou proměnnou, který lze zapsat jako F(y (x), y(x), x) = 0 nějakou pevnou funkci F, která každé trojici reálných čísel přiřadí jedno reálné číslo. Na tuto obecnost nejsme zatím připraveni a budeme diskutovat jen speciální případy rovnic. Pokud je alespoň rovnice explicitně vyřešena vzhledem k derivaci, tj. y (x) = f(x, y(x)), můžeme si dobře graficky představit, co taková rovnice zadává. Pro každou hodnotu (x, y) v rovině si totiž můžeme představit šipku udávající vektor (1, f(x, y)), tj. rychlost se kterou nám rovnice grafu řešení přikazuje pohybovat se rovinou. Např. pro rovnici (7.4) dostaneme takovýto obrázek (i s vyneseným řešením pro počáteční hodnotu jako výše). 214 7. SPOJITÉ MODELY 0 x 200150100500 y(x) 100 80 60 40 20 Intuitivně lze na základě takových obrázků očekávat, že pro každou počáteční podmínku bude existovat právě jedno řešení naší rovnice. Takové tvrzení skutečně platí pro všechny rozumné funkce f, např. hladké. Nebudeme je tu dokazovat. Užitečným typem rovnic, pro který máme elementární postup k řešení jsou tzv. rovnice se separovanými proměnnými: 7.23 (7.5) y (x) = f(x) g(y(x)) pro dvě dostatečně hladké funkce jedné reálné proměnné f a g. Obecné řešení tu lze získat integrací, tj. nalezením primitivních funkcí G(y) = dy g(y) , F(x) = f(x)dx. Pak totiž spočtením funkce y(x) ze vztahu F(x) + C = G(y) s libovolnou konstan- tou C vede k řešení, protože derivováním této rovnosti (s použitím pravidla pro derivování složené funkce G(y(x)) dostaneme skutečně 1 g(y) y (x) = f(x). Jako příklad najděme řešení rovnice y (x) = x y(x). Přímým výpočtem dostaneme ln |y(x)| = 1 2 x2 + C. Odtud to vypadá (alespoň pro kladná y) na y(x) = e 1 2 x2 +C = D e 1 2 x2 , kde D je nyní libovolná kladná konstanta. Zastavme se ale pozorněji u výsledné formule a znamének. Konstantní řešení y(x) = 0 vyhovuje naší rovnici také a pro záporná y můžeme použít stejné řešení s zápornými konstantami D. Ve skutečnosti může být konstanta D jakákoliv a našli jsme řešení vyhovující jakékoliv počáteční hodnotě. Zkuste si stejným postupem vyřešit nelineární model z předchozího odstavce, jde o docela přímočaře řešitelný postup tohoto typu. 7.13 7.13. Lineární diferenciální rovnice. Již jsme přemýšleli o operaci derivování jako o lineárním zobrazení z (dostatečně) hladkých funkcí do funkcí. Pokud derivace 3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 215 ( d dx )j jednotlivých řádů j vynásobíme pevnými funkcemi aj(x) a výrazy sečteme, dostaneme tzv. lineární diferenciální operátor: y(x) D(y)(x) = ak(x)y(k) (x) + + a1(x)y (x) + a0y(x). Řešit příslušnou homogenní lineární diferenciální rovnici pak znamená najít funkci y splňující D(y) = 0, tj. obrazem je identicky nulová funkce. Ze samotné definice je zřejmé, že součet dvou řešení bude opět řešením, protože pro libovolné funkce y1 a y2 platí D(y1 + y2)(x) = D(y1)(x) + D(y2)(x). Obdobně je také konstantní násobek řešení opět řešením. Celá mmnožina všech řešení lineární diferenciální rovnice k-tého řádu je tedy vektorovým prostorem. Byť nemáme teď prostředky na jeho důkaz, platí tvrzení, že tento vektorový prostor je vždy dimenze k. Proto můžeme vždy řešení zadat jednoznačně počátečními pod- mínkami na hodnotu prvních (k-1) derivací a samotné hodnoty funkce y v jednom bodě x0. To vše jistě připomíná situaci s homogenními lineárními diferenčními rovnicemi, se kterými jsme se potýkali v odstavci 3.6 třetí kapitoly. Analogie jde i dále v okamžiku, kdy jsou všechny koeficienty aj diferenciálního operátoru D konstantní. Už jsme viděli u takové rovnice prvního řádu (7.2), že řešením je exponenciála s vhodnou konstantou u argumentu. Stejně jako u diferenčních rovnic se podbízí vyzkoušet, zda takový tvar řešení y(x) = ex s neznámým parametrem může splnit rovnici k­tého řádu. Dosazením dostaneme D(ex ) = akk + ak-1k-1 + + a1 + a0(x) ex . Parametr tedy vede na řešení lineární diferenciální rovnice s konstantními ko- eficienty tehdy a jen tehdy, když je kořenem tzv. charakteristického polynomu akk + + a1 + a0. Pokud má tento polynom k různých kořenů, dostáváme bázi celého vektorového prostoru řešení. Pokud je násobný kořen, přímým výpočtem s využitím toho, že je pak také kořenem derivace charakteristického polynomu, do- staneme, že je řešením i funkce x ex . Podobně pak pro vyšší násobnost dostáváme různých řešení e , x ex , . . . , x ex . U obecné lineární diferenciální rovnice předepisujeme nenulovou hodnotu dife- renciálního operátoru D. Opět úplně analogicky k úvahám o systémech lineárních rovnic nebo u lineárních diferenčních rovnic přímo vidíme, že obecné řešení takovéto (nehomogenní) rovnice D(y)(x) = b(x) pro nějakou pevně zadanou funkci b(x) je součtem jednoho jakéhokoliv řešení této rovnice a množiny všech monžých řešení příslušné homogenní rovnice D(y)(x) = 0. Celý prostor řešení je tedy opět pěkný konečněrozměrný afinní prostor, byť ukrytý v obrovském prostoru funkcí. K diferenciálním rovnicím se vrátíme později, až budeme mít k dispozici další nástroje. Literatura Došlá-Kuben [1] Zuzana Došlá, Jaromír Kuben, Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno, 2003, 215 s., ISBN 80-210-3121-2. Došlá-Plch-Sojka [2] Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s pro- gramem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. Horák [3] Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta. Horová-Zelinka [4] Ivana Horová, Jiří Zelinka, Numerické metody, MU Brno, 2. rozšířené vydání, 2004, 294 s., ISBN 80-210-3317-7. RHB [5] Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Šik [6] František Šik, Lineární algebra zaměřená na numerickou analýzu, MU, 1998, 176 s. ISBN 80-210-1996-2. Slovák [7] Jan Slovák, Lineární algebra. učební texty, Masarykova univerzita, elektronicky dostupné na www.math.muni.cz/~slovak Zlatoš [8] Pavol Zlatoš, Lineárna algebra a geometria, skripta MFF Univerzity komenského v Brati- slavě. 227