MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ P ŘÍRODOV ĚDECK Á FAKULTA
JAROSLAV MICH ÁLEK
ZUZANA HRDLI ČKOV Á
DAVID HAMPEL
SBÍRKA ÚLOH
Z PRAVDĚPODOBNOSTI
A STATISTIKY
PRO DISTAN ČNÍ STUDIUM
BRNO 2004 preprint

Obsah
1 Kombinatorika 3
2 Klasická pravděpodobnost 8
3 Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost 14
4 Geometrická pravděpodobnost 18
5 Náhodné veličiny 20
6 Číselné charakteristiky 28
7 Náhodné vektory 38
8 Marginální a podmíněná rozdělení 42
9 Charakteristická funkce 44
10 Zákon velkých čísel 46
11 Statistika 48
1

Označení
Dále budeme značit
N(, 2
) normální rozdělení s parametry  a 
Ro(a, b) rovnoměrné rozdělení na intervalu (a, b), tj. s parametry a, b
Ex() exponenciální rozdělení s parametrem 
2
(n) Pearsonovo 2
rozdělení o n stupních volnosti
t(n) Studentovo t rozdělení o n stupních volnosti
F(n1, n2) Fisher-Snedecorovo F rozdělení o n1 a n2 stupních volnosti
A() alternativní rozdělení s parametrem 
Bi(n, ) binomické rozdělení s parametry n a 
Po() Poissonovo rozdělení s parametrem 
G() geometrické rozdělení s parametrem 
Zb(n, ) záporně binomické rozdělení s parametry n a 
N = {1, 2, . . .} množina všech přirozených čísel
N0 = {0, 1, 2, . . .} množina všech přirozených čísel včetně nuly
Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .} množina všech celých čísel
R = (-, ) množina všech reálných čísel
Ostatní značení odpovídají zápisům běžně užívaných v literatuře.
2

Kapitola 1
Kombinatorika
Nejdříve připomeneme základní pojmy.
Počet uspořádaných dvojic: Ze dvou konečných množin A = {a1, . . . , am},
B = {b1, . . . , bn} vybíráme uspořádané dvojice typu [al, bk], kde al  A, bl  B.
Všechny možné dvojice sestavíme do tabulky tak, že dvojice [al, bk] bude v l-tém
řádku a k-tém sloupci. Každá dvojice bude v tabulce zapsána právě jednou, tedy
počet uspořádaných dvojic z m a n prvkových množin je mn.
Počet uspořádaných k-tic: Nyní přejděme ke k množinám A, B . . . , X, je-
jich počet prvků bude po řadě n1, . . . , nk. Z těchto množin vybíráme uspořádanou
k-tici prvků [ai, bj, . . . , xl] tak, že ai  A, bj  B, . . . , xl  X. Pokud bychom
uvažovali pouze 3 množiny, vezmeme všechny uspořádané dvojice z prvních dvou
množin za prvky nové množiny. Z předchozího víme, že má tato množina n1n2
prvků. Nyní tedy můžeme pohlížet na trojici [a, b, c] jako na dvojici [[a, b], c].
Zřejmě má n1n2n3 prvků. Matematickou indukcí pak zjistíme, že z k množin,
kde i-tá má ni prvků, i = 1, . . . , k, můžeme vytvořit n1 ×    × nk uspořádaných
k-tic.
Variace: Je dán n prvkový základní soubor A = {a1, . . . , an}. Libovolnou us-
pořádanou k-tici [aj1 , . . . , ajk
], aj1  A, . . . , ajk
 A budeme nazývat uspořádaný
výběr rozsahu k ze základního souboru. Počet všech takových výběrů bude zřejmě
záležet na tom, zda se prvky v k-tici mohou, nebo nemohou opakovat. Když se
prvky v uspořádaném výběru nemohou opakovat, tvoří tento uspořádaný výběr va-
riaci bez opakování k-té třídy z n prvků. Když se mohou opakovat, tvoří uspořádaný
výběr variaci s opakováním k-té třídy z n prvků.
Počet variací bez opakování: Předpokládejme, že n  k. Pak první prvek
výběru může být vybrán z n možných prvků základního souboru, druhý už pouze
z n-1 prvků atd. Variace bez opakování tedy odpovídá uspořádané k-tici vybrané
postupně z množin rozsahu n1 = n, n2 = n - 1, . . . , nk = n - k + 1. Tedy počet
variací bez opakování je (n)k = n(n - 1)    (n - k + 1). Zřejmě (n)k = 0 pro
k > n. Pro x  R klademe (x)k = x(x - 1) ×    × (x - k + 1).
3

Počet permutací bez opakování Pokud n = k udávají variace bez opakování
počet všech uspořádání n prvkové množiny a nazývají se permutace. Počet per-
mutací je (n)n = n(n - 1)    1 = n!. Klademe 0! = 1.
Počet variací s opakováním: Jak bylo řečeno, pokud se prvky ze základního
souboru mohou v uspořádaném výběru opakovat, mluvíme o variaci s opakováním
(uspořádaném výběru s opakováním). Každý prvek výběru rozsahu k volíme z n
prvků základního souboru. Variace s opakováním tedy odpovídá uspořádané k-
tici, když n1 = . . . = nk = n. Proto je počet variací s opakováním k-té třídy z n
prvků roven nk
.
Kombinace: Nyní budeme před předpokládat, že z n prvkového základního
souboru A = {a1, . . . , an} vybíráme k-prvkový soubor, přičemž na uspořádání
prvků ve výběru nezáleží. Libovolný takový vybraný soubor nazýváme kombinací
k-té třídy z n prvků. Pokud se prvky v kombinaci nemohou opakovat, mluvíme o
kombinaci bez opakování, v opačném případě o kombinaci s opakováním. Kom-
binace k-té třídy z n prvků tedy odpovídají neuspořádanému výběru rozsahu k z
n prvkového základního souboru.
Počet kombinací bez opakování: Předpokládejme nejdříve, že se prvky v ne-
uspořádaném výběru nemohou opakovat. Prvky každého takového výběru mohou
být uspořádány k! způsoby. Z předchozího víme, že počet všech variací bez opa-
kování je (n)k. Tedy pokud počet všech kombinací bez opakování rozsahu k z n
prvků označíme x, pak xk! = (n)k. Odtud x = (n)k
k!
= n!
(n-k)!k!
=
n
k
p
ro k  r.
Klademe
n
k
=
0 pro k > n a
x
k
= (x)k
k!
pro x  R.
Počet kombinací s opakováním: Kombinací s opakováním rozumíme neu-
spořádaný výběr k prvků, které vybíráme z n-prvkové základní množiny tak, že
se vybírané prvky mohou opakovat (a na pořadí vybraných prvků nezáleží). Je-
jich počet odpovídá počtu všech rozkladů čísla k na součet k1 + k2 +    + kn,
kde ki  0 je počet výskytů i-tého prvku základního souboru ve vybraném sou-
boru, i = 1, . . . , n. Libovolnou kombinaci s opakováním můžeme zapsat po-
mocí posloupnosti
"
" a
"
|". Např. kombinace s opakováním ze základní množiny
M = {a1, a2, a3} může být tvořena prvky a1, a3, a1, a1. Tuto kombinaci z opa-
kováním, kdy prvek a1 byl vybrán třikrát, prvek a2 nebyl vybrán a prvek a3
byl vybrán právě jednou, lze znázornit pomocí posloupnosti symbolů
"
" a
"
|"
typu |    ||  |. Přičemž počet
"
" mezi sousedními prvky typu
"
|" chápeme
jako počet prvků v přihrádce, vymezené dvěma následnými symboly
"
|" (tzv.
hranice přihrádek). Když v dané posloupnosti uvedených symbolů nepočítáme
pevné krajní hranice přihrádek, je délka takové posloupnosti k + (n - 1) (k-
krát je obsažena
"
" a (n - 1)-krát je obsažena hranice přihrádky
"
|"). Protože
umístěním hranic přihrádek
"
|" na místa této posloupnosti jednoznačně určíme
jednu z možných kombinací s opakováním, odpovídá počet kombinací s opa-
kováním počtu všech rozmístění (n-1) hranic přihrádek
"
|" na vybraná místa po-
4

sloupnosti délky k + (n - 1). Rozmístění tedy můžeme popsat jako neuspořádaný
výběr rozsahu n - 1 hranic přihrádek
"
|" z množiny n + k - 1 pozic. Tedy počet
všech kombinací s opakováním je roven
n+k-1
n-1
.
Počet permutací s opakováním: Nyní hledáme počet způsobů, jakými může
být rozděleno n prvků základní množiny do k množin, kde první má n1, druhá n2
a poslední nk prvků. Předpokládáme, že má být rozděleno všech n prvků základní
množiny, tj. n = n1 +    + nk. Nejprve vybereme do první množiny n1 prvků ze
základní množiny, n2 prvků pro druhou množinu vybíráme už pouze ze zbylých
n - n1 prvků základní množiny, atd. Po výběru do (k - 1)-vé množiny už zbývá
pouze nk prvků pro výběr do k-té množiny. Tedy počet všech těchto rozmístění je
n
n1
n
- n1
n2
n
- n1 - n2
n3

 
n
- n1 -    - n(k-1)
nk
.
Po rozepsání kombinačních čísel a úpravě dostáváme, že počet těchto rozmístění
je
n!
n1!n2! . . . nk!
.
Toto číslo udává počet uspořádání n prvkové množiny, kde je n1 stejných prvků
typu 1, . . ., nk stejných prvků typu k. Taková uspořádání se nazývají permutace s
opakováním.
Příklad 1.1. Dokažte, že pro libovolné x  R a libovolné r  N platí
x
r - 1
+ x
r
= x
+ 1
r
.
(1.1)
Příklad 1.2. Dokažte, že pro libovolné celé číslo a a libovolné t  (-1, 1) platí
(1 + t)a
= 1 +
a
1
t
+
a
2
t
2
+
a
3
t
3
+ . . . . (1.2)
Příklad 1.3. Dokažte, že pro přirozené n  2 platí
1 -
n
1
+ n
2
-
. . . = 0,
n
1
+
2
n
2
+
3
n
3
+
. . . = n2n-1
,
n
1
-
2
n
2
+
3
n
3
-
. . . = 0,
2  1
n
2
+
3  2
n
3
+
4  3
n
4
+
. . . = n(n - 1)2n-2
.
[V důkaze použijte rovnost 1.2.]
5

Příklad 1.4. Dokažte, že pro libovolná n  N, k  N platí
n
0
n
k
- n
1
n
- 1
k - 1
+ n
2
n
- 2
k - 2
-
. . . + (-1)k
n
k
n
- k
0
=
0.
Tento vztah je zvláštním případem obecnější rovnosti
k
=0
n

n
- 
k - 
t

=
n
k
(
1 + t)k
.
Příklad 1.5. Pro libovolné a > 0
-
a
k
=
(-1)k
a
+ k - 1
k
.
[Při důkazu využijte vlastnost geometrické řady:
k
=0
xk
= (1 - x)-1
, pro x 
(-1, 1).]
Příklad 1.6. Dokažte, že
2
n
n
2
2n
= (-1)n
-
1/2
n
.
Příklad 1.7. Dokažte, že pro nezáporná celá čísla n a r a libovolné reálné číslo a
platí
n
=0
a
- 
r
= a
+ 1
r + 1
- a
- n
r + 1
.
[Při důkazu využijte rovnost (1.1). Dokazovaný vztah je často užíván při n = a.]
Příklad 1.8. Dokažte, že pro libovolné a a přirozené n  0 platí
n
=0
(-1)
a

=
(-1)n
a
- 1
n
.
(1.3)
[Při důkazu využijte rovnost 1.1.]
Příklad 1.9. Pro přirozená čísla r a k platí
r
=0

+ k - 1
k - 1
= r
+ k
k
.
a) Dokažte toto tvrzení pomocí rovnosti 1.1.
6

b) Dokažte, že toto tvrzení je zvláštním případem 1.3.
Příklad 1.10. Matematickou indukcí dokažte, že pro přirozená čísla a, b a n platí
a
0
b
n
+ a
1
b
n - 1
+
. . . +
a
n
b
0
= a
+ b
n
.
(1.4)
[Tvrzení nejprve dokažte pro a = 1 a b libovolné.]
Příklad 1.11. Pomocí rovnosti (1.4) dokažte, že
n
0
2
+
n
1
2
+
n
3
2
+ . . . +
n
n
2
=
2
n
n
.
Příklad 1.12. Kolik iniciál je možno vytvořit, pokud každý člověk má jednu ro-
dinu a
a) právě dvě jména,
b) ne více jak dvě jména,
c) ne více jak tři jména?
[ Česká abeceda má 34 písmen.]
Příklad 1.13. Kolika způsoby mohou být postaveny na šachovnici dvě věže různé
barvy tak, aby jedna mohla vzít druhou?
Příklad 1.14. V Morseově abecedě zastupují písmena posloupnosti symbolů čárek
a teček s různým počtem opakování. Kolik takových písmen tvořených posloup-
ností těchto dvou symbolů délky nejvýše 10 je možno vytvořit?
Příklad 1.15. Každá kostka domina je označena dvěma čísly. Kostky jsou sy-
metrické, tak že čísla ve dvojicích nejsou uspořádána. Kolik je možno vytvořit
různých kostek používajících čísla 1, 2, . . . , n?
7

Kapitola 2
Klasická pravděpodobnost
Příklad 2.1. Čísla 1, 2, . . . , n jsou náhodně uspořádána. Určete pravděpodobnost
toho, že čísla a) 1 a 2, b) 1, 2 a 3 jsou uspořádána hned vedle sebe v uvedeném
pořádku.
Příklad 2.2. Určete pravděpodobnost toho, že ve výběru s opakováním mezi třemi
náhodně vybranými číslicemi
a) všechny 3 číslice budou shodné,
b) právě 2 číslice budou shodné,
c) žádné 2 číslice nebudou shodné.
Řešte podobnou úlohu pro výběr čtyř cifer.
Příklad 2.3. Hráč A háže šesti hracími kostkami a vyhraje, pokud padne alespoň
jedna jednička. Hráč B háže dvěmi hracími kostkami a vyhrává, pokud padnou
alespoň dvě jedničky. Kdo má větší pravděpodobnost výhry?
Příklad 2.4. Najděte pravděpodobnost toho, že mezi k náhodně vybranými čísli-
cemi nebudou žádné dvě stejné.
Příklad 2.5. Jaká je pravděpodobnost toho, že mezi k náhodně vybranými čísli-
cemi
a) se nevyskytne 0,
b) se nevyskytne 1,
c) se nevyskytne 0 ani 1,
d) se nevyskytne jedna ze dvou číslic 0 a 1?
Necht' A a B značí jevy v a) a v b). Vyjádřete ostatní jevy pomocí A a B.
8

Příklad 2.6. Určete pravděpodobnost toho, že při náhodném rozmístění n koulí
do n přihrádek bude právě jedna přihrádka prázdná.
Příklad 2.7. Na parkovišti je vedle sebe v jedné řadě 12 míst. Někdo poznamenal,
že na parkovišti se nachází osm automobilů a že čtyři volná místa jsou vedle sebe.
Odpovídá takové rozdělení čtyř volných míst náhodnému obsazování míst?
Příklad 2.8. Osoba dostala n klíčů, z nichž právě jeden patřil k jejím dveřím.
Zkouší je postupně. Nalezněte pravděpodobnost, že správný klíč najde teprve při
k-tém pokusu, k = 1, 2, . . . , n. Ukažte, že tato pravděpodobnost nezávisí na k a je
rovna 1
n
.
Příklad 2.9. Každá z n tyčí je rozlomena na dvě části - dlouhou a krátkou. Pak se
2n získaných dílů spojí v n párů tvořících nové
"
tyče". Jaká je pravděpodobnost,
a) že se všechny díly spojí v počátečním pořádku,
b) že všechny dlouhé díly se spojí s krátkými?
Příklad 2.10. Jeden profesor Cornellovy univerzity dostal dvanáctkrát pokutu
za nezákonné noční parkování auta, přičemž všechna pokutování proběhla bud'
v úterý nebo ve čtvrtek. Najděte pravděpodobnost tohoto jevu. Je předpoklad, že
policie kontroluje parkování vždy jeden náhodně vybraný den v týdnu, reálný?
Příklad 2.11. Pokračování příkladu 2.10. Ani jednu pokutu z dvanácti profesor
nedostal v neděli. Odpovídá to hypotéze náhodnosti?
Příklad 2.12. Bedna obsahuje 90 dobrých a 10 vadných součástek. Určete prav-
děpodobnost toho, že mezi 10 vybranými součástkami není žádná vadná.
Příklad 2.13. Ze souboru pěti symbolů a, b, c, d, e se provede uspořádaný výběr
s opakováním rozsahu 25. Stanovte pravděpodobnost toho, že tento výběru bude
obsahovat pět symbolů každého druhu.
Příklad 2.14. Ve výtahu, který zastavuje v n poschodích, n  k, je na začátku k
osob. Jaká je pravděpodobnost p toho, že žádné dvě osoby nevystoupí ve stejném
poschodí, když předpokládáme, že osoba volí poschodí, v němž vystoupí náhodně
a nezávisle na ostatních osobách.
Příklad 2.15. Narozeniny k lidí představují výběr s opakováním rozsahu k ze sou-
boru všech dnů v roce. Roky nemají stejnou délku, a víme, že porodnost během
roku nezůstává stálá. Nicméně v prvním přiblížení je možné předpokládat, že
v roce je 365 dnů a uvažovat náhodný výběr lidí místo náhodného výběru dnů
narozenin. Při těchto předpokladech určete pravděpodobnost toho, že všech k dnů
narozenin je v různých dnech.
9

Příklad 2.16. Při bridži obdrží hráč 13, při pokru 5 z 52 hracích karet. Určete
pravděpodobnost toho, že hráč a) bridže b) pokru dostane karty různých hodnot
(barvy karet se mohou shodovat).
Příklad 2.17. Uvažujme rozmístění k koulí do n osudí. Určete pravděpodobnost
toho, že předem vybrané osudí obsahuje právě r koulí.
Příklad 2.18. Při bridži je všech 52 hracích karet rozděleno čtyřem hráčům. Sta-
novte pravděpodobnost, že každý hráč dostane jedno eso.
Příklad 2.19. (Odhad velikosti populace) Předpokládejme, že z rybníku bylo vy-
loveno tisíc ryb, které byly následně označeny barvou a vypuštěny zpět. Při dalším
odlovu tisíce ryb se ukázalo, že sto z nich bylo označených. Z pozorovaného
výsledku odhadněte nejpravděpodobnější velikost populace ryb v rybníku.
Příklad 2.20. Z 52 hracích karet náhodně vybereme 13 karet. Stanovte pravděpo-
dobnost, že mezi těmito kartami bude 5 , 4 , 3  a 1 .
Příklad 2.21. Z osudí obsahující koule s čísly 1, 2, . . . , N k-krát vytáhneme kouli
a pokaždé ji
a) vrátíme zpět,
b) nevrátíme zpět.
Najděte pravděpodobnost toho, že čísla vytažených koulí tvoří rostoucí posloup-
nost.
Příklad 2.22. Technická kontrola prověřuje výrobky ze sady skládající se z m
výrobků prvního druhu a n výrobků druhého druhu. Zkouška prvních b výrobků
(b < n) náhodně vybraných ze sady ukázala, že všechny byly druhého druhu.
Určete pravděpodobnost toho, že mezi dalšími dvěma výrobky vybranými z dosud
neprověřených nejvýše jeden výrobek bude druhého druhu.
Příklad 2.23. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 6 karet. Určete pravděpo-
dobnost toho, že mezi těmito kartami budou zástupci všech čtyřech barev.
Příklad 2.24. Skupina se skládá z 5 mužů a 10 žen. Určete pravděpodobnost toho,
že při jejich náhodném rozdělení do 5 skupin po třech lidech bude v každé skupině
muž.
Příklad 2.25. Je dána posloupnost čísel 1, 2, . . . , n a pevně dané číslo z množiny
{1, 2, . . . , n}. Určete pravděpodobnost toho, že mezi dvěma čísly vybranými ná-
hodně z této posloupnosti bude jedno menší a druhé větší než k.
10

Příklad 2.26. Dvacet lidí, mezi kterými je 10 mužů a 10 žen, je náhodně sesku-
peno do dvojic. Určete pravděpodobnost toho, že každou z 10 dvojic tvoří osoby
opačného pohlaví.
Příklad 2.27. Házíme n hracích kostek. Určete pravděpodobnost toho, že padne
n1 jedniček, . . ., n6 šestek, n1 + n2 + . . . + n6 = n.
Příklad 2.28. Devět cestujících náhodně nastoupí do tří vagónů. Každý cestující
zvolí vagón náhodně a nezávisle na ostatních cestujících. Jaká je pravděpodobnost
toho, že
a) v každém vagóně sedí 3 cestující,
b) v jednom vagóně sedí 4, v druhém 3 a ve třetím 2 cestující?
Příklad 2.29. Házíme n hracích kostek. Určete pravděpodobnost toho, že získaný
součet ok je roven a) n, b) n + 1, c) danému číslu s.
Příklad 2.30. Z posloupnosti čísel 1, 2, . . . , n náhodně vybereme k čísel. Určete
pravděpodobnost, že
a) všechna vybraná čísla budou dělitelná daným číslem q,
b) každé z těchto čísel bude dělitelné právě jedním ze dvou nesoudělných čísel
q1, q2.
Příklad 2.31. Posloupnost čísel 1, 2, . . . , 4n náhodně rozdělíme na dvě stejné
množiny. Určete pravděpodobnost toho, že
a) v každé množině bude stejný počet sudých a lichých čísel,
b) všechna čísla dělitelná n budou v jedné množině,
c) čísla dělitelná n budou rovnoměrně rozdělena do obou skupin.
Příklad 2.32. Co pravděpodobněji vybereme z osudí s n koulemi, sudý nebo lichý
počet koulí, když každý výběr k koulí je stejně možný?
Příklad 2.33. V nádobě je N lístků s různými čísly. Z nádoby vybereme m krát
po n lístcích a pokaždé je vrátíme zpět. Určete pravděpodobnost toho, že
a) k lístků se ve výběru nevyskytne,
b) všechny lístky se ve výběru vyskytnou.
Příklad 2.34. Z posloupnosti čísel 1, 2, . . . , n je náhodně vybráno k čísel:
x1 < x2 < . . . < xk. Jaká je pravděpodobnost, že xm = M?
11

Příklad 2.35. Soubor se skládá z N výrobků, ze nichž n je podrobeno zkoušce
kvality. Soubor je přijat, pokud mezi těmito n výrobky bude odhaleno méně než
m vadných. Určete pravděpodobnost toho, že soubor bude přijat, pokud počet
vadných výrobků v celém souboru je M.
Příklad 2.36. Z osudí obsahujícího koule s čísly 1, 2, . . . , N je postupně vytaženo
n koulí. Po každém tahu je vybraná koule vrácena zpět. Čísla vybraných koulí jsou
zapsána v neklesajícím pořadí. Určete pravděpodobnost toho, že číslo xm, které
je na m-té vybrané kouli, je rovno číslu M.
Příklad 2.37. Kolikrát musíme házet hrací kostkou, aby první padnutí
"
šestky"
mělo pravděpodobnost a) větší než 0,5 b) větší než 0,8 c) větší než 0,9?
Příklad 2.38. Pravděpodobnost zásahu terče při jednom výstřelu je rovna 0,7.
Na terč vystřeleno 7-krát nezávisle. Jaká je pravděpodobnost, že terč bude právě
jednou zasažen?
Příklad 2.39. Kolikrát musíme házet dvěma hracími kostkami, abychom s prav-
děpodobností větší než 1/2 očekávali, že aspoň jednou padne součet ok rovný 12?
Příklad 2.40. Hodíme zároveň dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že
součin padlých ok bude sudé číslo?
Příklad 2.41. Hodíme třikrát jednou mincí. Určete pravděpodobnost, že
a) padne dvakrát líc a jednou rub,
b) padne třikrát líc,
c) padne třikrát rub,
d) padne jednou líc a dvakrát rub.
Příklad 2.42. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Vytáhneme dvakrát po
sobě vždy po jedné kouli, přičemž první kouli nevrátíme zpět. Určete pravděpo-
dobnost, že
a) obě vytažené koule jsou bílé,
b) první koule je bílá a druhá černá,
c) první koule je černá a druhá bílá,
d) jedna koule bude černá a druhá bíla, přičemž nezáleží na jejich pořadí,
e) druhá vytažená koule je bílá.
Příklad 2.43. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Vytáhneme k-krát po
sobě vždy po jedné kouli, přičemž po žádném tahu kouli nevrátíme zpět. Určete
pravděpodobnost, že poslední vytažená koule je bílá.
12

Příklad 2.44. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Jedním tahem vytáh-
neme ( + ) koulí. Určete pravděpodobnost, že vytáhneme právě  bílých a 
černých koulí.
Příklad 2.45. V osudí je n lístků očíslovaných čísly 1, 2, . . . , n. Vytáhneme na-
jednou m lístků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vytaženými lístky bude k lístků
označeno předem danými čísly?
Příklad 2.46. Hodíme n-krát po sobě jednou hrací kostkou. Jaká je pravděpodob-
nost, že alespoň v jednom hodu padne
"
šestka"?
Příklad 2.47. V osudí je r koulí očíslovaných čísly 1, 2, . . . , r. Táhneme n-krát
po sobě po jedné kouli, přičemž každou vytaženou kouli vracíme zpět. Jaká je
pravděpodobnost, že součet čísel, jimiž jsou vytažené koule očíslovány, je roven
číslu s? (n  s  nr) [Spočtěte koeficient u mocniny xs
v polynomu (x + x2
+
. . . + xr
)n
]
Příklad 2.48. V osudí je n koulí očíslovaných čísly 1, 2, . . . , n. Vytáhneme n-
krát po sobě po jedné kouli, přičemž vytažené koule nevracíme zpět. Osudí tedy
vyprázdníme. Řekneme, že pro kouli s číslem i nastane setkání, pokud ji vytáhne-
me právě v i-tém tahu. Určete pravděpodobnost, že
a) pro kouli s číslem i nenastane setkání,
b) ani pro kouli s čísle i ani pro kouli s číslem k nenastane setkání, i = k.
Příklad 2.49. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Koule postupně vyta-
hujeme z osudí, přičemž vytažené koule nevracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost
toho, že poprvé vytáhneme černou kouli při k-tém tahu?
Příklad 2.50. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Koule postupně vytahu-
jeme z osudí, přičemž vytažené koule nevracíme zpět. Jaká je pravděpodobnost,
že nastane okamžik, kdy počet dosud tažených bílých a černých koulí bude stejný?
Příklad 2.51. Banach byl silný kuřák. Aby měl u sebe stále zápalky, nosil ve
dvou kapsách po jedné krabičce zápalek. Zápalky si bral náhodně z jedné nebo
druhé krabičky s pravděpodobností 1/2. Jednou si dal do každé kapsy novou
krabičku; v každé z obou krabiček bylo n zápalek. Spočtěte pravděpodobnost,
že v okamžiku, kdy jednu krabičku shledal prázdnou bylo v druhé krabičce právě
k zápalek. Pro jaké k je sledovaná pravděpodobnost maximální?
13

Kapitola 3
Podmíněná pravděpodobnost
a nezávislost
Příklad 3.1. Kolikrát nezávisle musíme opakovat pokus, abychom s pravděpo-
dobností alespoň r tvrdili, že právě jednou nastane jev A, jehož pravděpodobnost
je v každém pokusu rovna p?
Příklad 3.2. Střílíme opakovaně a nezávisle na balón. Abychom jej sestřelili, stačí
se do balónu trefit právě jednou. Pravděpodobnost zásahu při jednom výstřelu je
rovna 0,05. Kolikrát musíme vystřelit, abychom shodili balón s pravděpodobností
větší než 0,8?
Příklad 3.3. Jsou dána tři osudí s bílými a černými koulemi. Pravděpodobnost
volby i-tého osudí je pi, i = 1, 2, 3. Pravděpodobnost vytažení bílé koule z i-
tého osudí je qi, i = 1, 2, 3. Zvolíme náhodně jedno z daných osudí, vytáhneme
z něj jednu kouli a zjistíme, že tato koule je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že tato
vytažená koule pochází z prvního osudí?
Příklad 3.4. Jsou dána tři osudí, pravděpodobnost volby každého osudí je stejná.
První osudí obsahuje 1 bílou, 2 černé a 3 červené koule. Druhé osudí obsahuje
2 bílé koule, 1 černou a 1 červenou koulí. Třetí osudí obsahuje 4 bílé koule, 5
černých koulí a 3 červené. Náhodně zvolíme jedno osudí a vytáhneme z něj dvě
koule a zjistíme, že jedna z těchto vytažených koulí je bíla a druhá červená. Jaká
je pravděpodobnost, že tyto koule pocházejí
a) z prvního osudí,
b) z druhého osudí,
c) ze třetího osudí?
14

Příklad 3.5. Osudí obsahuje celkem 10 koulí, z nichž některé jsou bílé a některé
černé. Počet bílých koulí a černých koulí však není přesně znám. Víme jenom, že
osudí bylo naplněno tímto způsobem: 10-krát po sobě bylo hozeno jednou mincí
a pokud padl rub, byla do osudí vložena bílá koule, pokud padl líc, byla do osudí
vložena černá koule. Z takto naplněného osudí bylo vytaženo m-krát po sobě po
jedné kouli, přičemž po každém tahu byla vytažená koule vrácena zpět do osudí.
Po provedení těchto m tahů bylo zjištěno, že všech m koulí bylo bílých. Stanovte
pravděpodobnost, že
a) dané osudí obsahovalo pouze bílé koule, tj. 10 bílých a žádné černé koule.
b) dané osudí obsahovalo jednu bílou a devět černých koulí.
Příklad 3.6. Z osudí, které obsahuje 5 bílých a 5 černých koulí, bylo vytaženo
5 koulí a vloženo do jiného prázdného osudí. Z tohoto osudí byly vytaženy 3
koule a vloženy do třetího prázdného osudí. Z tohoto třetího osudí byla vytažena
jedna koule a bylo zjištěno, že je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že všech 5 koulí,
vytažených z prvního osudí, bylo bílých?
Příklad 3.7. Jsou dána tři osudí s bílými a černými koulemi. Pravděpodobnost
volby i-tého osudí je pi, i = 1, 2, 3. Pravděpodobnost vytažení bílé koule z i-tého
osudí je qi, i = 1, 2, 3. Zvolíme náhodně jedno z daných osudí, vytáhneme z něj
jednu kouli a zjistíme, že tato koule je bílá. Aniž bychom tuto kouli vrátili zpět do
osudí, vytáhneme ze stejného osudí ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že
tato druhá vytažená koule je bílá? Přitom necht' pravděpodobnost, že vytáhneme
z i-tého osudí ve druhém tahu bílou kouli, za předpokladu, že jsme vytáhli v prvním
tahu bílou kouli, je qi
, i = 1, 2, 3.
Příklad 3.8. Jsou dána tři osudí, pravděpodobnost volby každého osudí je stejná.
V prvním osudí je 1 bílá koule a 2 černé koule. Ve druhém osudí jsou 2 bílé
koule a 1 černá koule. Třetí osudí obsahuje 2 bílé koule a 2 černé koule. Náhodně
zvolíme jedno osudí a vytáhneme z něj jednu kouli a zjistíme, že je bílá. Vytaženou
kouli nevrátíme zpět do osudí a vytáhneme ze stejného osudí ještě jednu kouli.
Jaká je pravděpodobnost, že i tato druhá koule je bílá?
Příklad 3.9. Dané osudí obsahuje 3 bílé a 5 černých koulí. Z tohoto osudí vybe-
reme najednou 4 koule a vložíme je do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého
osudí pak vytáhneme jedním tahem 2 koule a zjistíme, že obě jsou bílé. Dále pak
z tohoto druhého osudí vytáhneme ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že
tato poslední vytažená koule je bílá, jestliže jsme první dvojici vytažených koulí
a) vrátili před dalším tahem zpět do osudí?
b) zpět do osudí nevrátili?
15

Příklad 3.10. Osudí obsahuje 5 bílých a 5 černých koulí. Vytáhneme z něj 5
koulí a vložíme je do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí vytáhneme
jednu kouli a zjistíme, že je černá. Tuto kouli nevrátíme po tahu zpět do osudí
a vytáhneme z tohoto osudí ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že tato
druhá vytažená koule je bílá?
Příklad 3.11. Hodíme dvěmi hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padla
alespoň jedna šestka, když víme, že součet ok padlých na 1. a 2. kostce je 8?
Příklad 3.12. Z osudí, ve kterém je m bílých a n černých koulí, postupně bez
vracení vytáhneme dvě koule. Zjistili jsme, že první vytažená koule je bílá. Jaká
je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude také bílá?
Příklad 3.13. Zjistili jsme, že při hodu deseti hracími kostkami padla aspoň jedna
jednička. Jaká je pravděpodobnost, že padly 2 anebo více jedniček?
Příklad 3.14. Dokažte, že jsou-li A a B neslučitelné jevy a P(A  B) = 0, pak
P(A|A  B) =
P(A)
P(A) + P(B)
.
Příklad 3.15. Necht' P(A|B) = 0, 7, P(A|B) = 0, 3, P(B|A) = 0, 6. Vypočtěte
P(A).
Příklad 3.16. Hodíme dvěmi hracími kostkami. Označme náhodné jevy A1 na
první kostce padne sudé číslo, A2 na druhé kostce padne liché číslo, A3 součet ok,
které padly na 1. a 2. kostce, je liché číslo. Dokažte, že každé dva z jevů A1, A2, A3
jsou nezávislé, ale jevy A1, A2, A3 nejsou nezávislé.
Příklad 3.17. Necht' jevy A a B1 jsou nezávislé a také jevy A a B2 jsou nezávislé,
přičemž B1 a B2 jsou neslučitelné. Dokažte, že jevy A a B1  B2 jsou nezávislé.
Příklad 3.18. Necht' P(A) > 0 a P(B|A) = P(B|A). Dokažte, že jevy A a B
jsou nezávislé.
Příklad 3.19. Osudí obsahuje n koulí. Všechny možné počty bílých koulí v osudí
jsou stejně pravděpodobné. Zjistili jsme, že koule náhodně vybraná z osudí je bílá.
Stanovte pravděpodobnost všech možných původních počtů bílých koulí v osudí.
Jaký je nejpravděpodobnější původní počet bílých koulí v osudí?
Příklad 3.20. Každé z N + 1 osudí obsahuje N koulí. Osudí s číslem k obsahuje
k červených a N -k bílých koulí, k = 0, 1, . . . , N. Z náhodně zvoleného osudí n-
krát vybereme kouli, přičemž vybranou kouli po tahu ihned vrátíme zpět. Stanovte
a) pravděpodobnost, že jsou všechny vybrané koule červené.
16

b) podmíněnou pravděpodobnost, že rovněž (n + 1)-ní koule bude červená, za
podmínky, že všechny předchozí koule byly červené.
Příklad 3.21. Tři myslivci současně vystřelili na medvěda. Medvěda zastřelili
jednou kulí. Jaká je pravděpodobnost, že medvěda zastřelil první, resp. druhý,
resp. třetí myslivec, když mají pravděpodobnost zásahu postupně p1 = 0, 2; p2 =
0, 4; p3 = 0, 6?
Příklad 3.22. Z osudí, které obsahuje m bílých (m > 3) a n černých koulí, se
ztratila jedna koule. Proto, abychom určili obsah osudí, vybereme z osudí dvě
koule. Zjistili jsme, že jsou bílé. Jaká je pravděpodobnost, že ztracená koule je
bílá?
Příklad 3.23. Z osudí, které obsahuje 3 bílé a 2 černé koule, byly naráz vybrány
dvě koule. Ty byly vloženy do druhého osudí, které předtím obsahovalo 4 bílé
a 4 černé koule. Jaká je pravděpodobnost, že po tomto přemístění bude z druhého
osudí vytažena bílá koule?
Příklad 3.24. Hodíme 5-krát hrací kostkou. Určete pravděpodobnost, že právě
dvakrát padne násobek 3.
Příklad 3.25. 20-krát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při jednom vý-
střelu je 0,7. Určete
a) pravděpodobnost, že cíl bude alespoň jedenkrát zasažen,
b) pravděpodobnost, že cíl nebude zasažen více než dvakrát,
c) nepravděpodobnější počet zásahů.
Příklad 3.26. Baterie 14-krát vystřelila na objekt. Pravděpodobnost zásahu při
libovolném z výstřelů je rovna 0,2. Určete
a) nejpravděpodobnější počet zásahů a jeho pravděpodobnost,
b) pravděpodobnost zničení objektu, pokud pro je pro jeho zničení potřeba
alespoň čtyř zásahů.
Příklad 3.27. Určete pravděpodobnost
a) padnutí alespoň jedné šestky při hodu 6 hracími kostkami,
b) padnutí alespoň dvou šestek při hodu 12 hracími kostkami,
c) padnutí alespoň tří šestek při hodu 18 hracími kostkami.
Příklad 3.28. Co je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem 4 partie
z 8 nebo 3 partie z 5?
Příklad 3.29. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu 12 hracími kostkami padne
každá stěna dvakrát?
17

Kapitola 4
Geometrická pravděpodobnost
Příklad 4.1. Na jedné stopě magnetofonové pásky dlouhé 200 m je nahrána zpráva
na intervalu délky 20m. Na druhé stopě je podobná zpráva. Určete pravděpodob-
nost toho, že v intervalu od 60 do 85 m nebude na pásce místo, které by neobsaho-
valo nahrávku, jestliže počátky obou nahrávek jsou stejně možné v každém bodu
od 0 do 180 m.
Příklad 4.2. V každém okamžiku časového intervalu délky T je stejně možné,
že přijímač přijme některý ze dvou signálů. Přijímač je zablokován, jestliže rozdíl
mezi okamžiky příjmu signálu je menší než . Určete pravděpodobnost toho, že
přijímač bude zablokován.
Příklad 4.3. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených klad-
ných čísel, z nichž žádné není větší než jedna, bude nejvýše roven jedné a jejich
součin nebude větší než 2
9
?
Příklad 4.4. V kruhu o poloměru r se v daném směru vedou tětivy. Všechny
průsečíky tětiv s průměrem kolmým k danému směru jsou stejně možné. Jaká je
pravděpodobnost, že délka náhodně zvolené tětivy je nejvýše r?
Příklad 4.5. Na úsečce o délce l se náhodně zvolí dva body. Jaká je pravděpo-
dobnost toho, že jejich vzdálenost bude menší než kl, kde 0 < k < 1.
Příklad 4.6. Na úsečce AB o délce l jsou náhodně umístěny dva body L a M.
Určete pravděpodobnost toho, že bod L je blíže k bodu M než k bodu A.
Příklad 4.7. Na úsečce o délce l se náhodně umístí dva body tak, že se úsečka
rozdělí na tři části. Určete pravděpodobnost toho, že z tří vzniklých úseček lze
sestavit trojúhelník.
Příklad 4.8. Na kružnici o poloměru r jsou náhodně umístěny tři body A, B, C.
Jaká je pravděpodobnost toho, že trojúhelník ABC bude ostroúhlý?
18

Příklad 4.9. Jaká je pravděpodobnost toho, že z tří náhodně zvolených úseček,
dlouhých nejvýše l, bude možno sestrojit trojúhelník?
Příklad 4.10. Na úsečce AB o délce l jsou náhodně umístěny dva body M a N.
Určete pravděpodobnost toho, že délky tří vzniklých úseček nepřekročí danou
hodnotu a (l  a  l/3).
Příklad 4.11. Na autobusovou stanici přijíždí každé čtyři minuty autobus linky
A a každých šest minut autobus linky B. Délka časového intervalu mezi příjezdy
autobusu linky A a nejbližšího následujícího autobusu linky B může být se stejnou
pravděpodobností jakákoliv v mezích od 0 do 4 minut. Určete pravděpodobnost
toho, že
a) první autobus, který přijede, bude autobus linky A,
b) během dvou minut přijede nějaký autobus.
Příklad 4.12. Dva parníky musí přirazit k témuž přístavišti. Příjezdy obou parníků
jsou nezávislé a stejně možné během celého dne. Určete pravděpodobnost toho,
že jeden z parníků bude muset čekat na uvolnění přístaviště, jestliže první parník
stojí v přístavišti jednu hodinu a druhý dvě hodiny.
Příklad 4.13. Dvě osoby mají stejnou pravděpodobnost toho, že přijdou na do-
hodnuté místo v libovolném okamžiku časového intervalu délky T. Určete prav-
děpodobnost toho, že jeden člověk na druhého bude čekat nejvýše po dobu t.
Příklad 4.14. (Buffonova úloha) V rovině jsou narýsovány rovnoběžky, jejichž
vzdálenost je L. Určete pravděpodobnost, že náhodně vržená jehla délky l (l < L)
protne kteroukoliv přímku.
Příklad 4.15. Určete pravděpodobnost toho, že kořeny
a) kvadratické rovnice x2
+ 2ax + b = 0 jsou reálné,
b) kvadratické rovnice x2
+ 2ax + b = 0 jsou kladné,
c) kubické rovnice x3
+ 3ax + 2b = 0 jsou reálné,
jsou-li stejně možné hodnoty koeficientů v obdélníku |a|  n, |b|  m.
19

Kapitola 5
Náhodné veličiny
Příklad 5.1. Dvakrát házíme mincí. Popište prostor elementárních jevů . Necht'
náhodná veličina X udává počet padlých líců. Určete rozdělení náhodné veličiny
X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete jejich grafy.
Příklad 5.2. Dvakrát házíme hrací kostkou. Popište prostor elementárních jevů
. Necht' náhodná veličina X udává součet hodnot, které padnou v 1. a 2. hodu.
Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci.
Nakreslete jejich grafy.
Příklad 5.3. Házíme mincí, dokud nepadne líc. Popište prostor elementárních
jevů . Necht' náhodná veličina X udává počet provedených hodů. Určete rozdě-
lení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete
jejich grafy.
Příklad 5.4. Střílíme na cíl do prvního zásahu. Zásahy při různých výstřelech jsou
nezávislé jevy, pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p. Popište prostor
elementárních jevů . Necht' náhodná veličina X udává celkový počet výstřelů.
Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci.
Nakreslete jejich grafy.
Příklad 5.5. Která z dále uvedených funkcí je pravděpodobnostní funkce diskrétní
náhodné veličiny
a) px
q2
, q = 1 - p, 0 < p  1, x = 1, 2, . . .,
b) px-n
q2
, q = 1 - p, 0 < p  1, n > 0, x = n, n + 1, . . .,
c) 1
x(x+1)
, x  R,
d)
x+1x
f(t)dt, x = 0, 1, . . ., kde
0
f(t)dt = 1, f je nezáporná funkce,
20

e) 2x
x!
e-2
, x = 0, 1, . . .?
Příklad 5.6. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 0 1
p 1
3
1
3
1
3
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci a) náhodné veličiny Y = |X|,
b) náhodné veličiny Y = X2
. Nakreslete grafy těchto funkcí.
Příklad 5.7. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 0 1 2
p 0,2 0,1 0,3 0,4
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny Y = 2X
. Na-
kreslete jejich grafy.
Příklad 5.8. Necht' X je náhodná veličina s rozdělením
x -1 1
p 1
2
1
2
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny Y = sin(X).
Nakreslete jejich grafy.
Příklad 5.9. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 -0,5 -0,1 0 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2
p 0,005 0,012 0,074 0,102 0,148 0,231 0,171 0,16 0,081 0,016
Vypočtěte P
|
X|  1
2
.
Příklad 5.10. Házíme dvěma hracími kostkami. Popište prostor elementárních
jevů . Necht' náhodná veličina X udává počet šestek, které padly na první kostce,
náhodná veličina Y udává počet šestek, které padly na druhé kostce. Určete si-
multánní rozdělení X a Y . Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé.
Příklad 5.11. Házíme dvěma hracími kostkami. Popište prostor elementárních
jevů . Necht' náhodná veličina X je počet ok padlých na první kostce, náhodná
veličina Y udává počet ok padlých na druhé kostce. Určete simultánní rozdělení
X a Y . Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé.
21

Příklad 5.12. Házíme dvěma hracími kostkami. Necht' náhodná veličina X je
počet ok, které padly na první kostce, náhodná veličina Y udává maximum z počtu
ok na obou kostkách. Určete simultánní rozdělení X a Y .
Příklad 5.13. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 0 1 2
p 0,2 0,1 0,3 0,4
Dokažte, že X a Y = 2X
jsou nezávislé náhodné veličiny.
Příklad 5.14. Necht' X nabývá hodnot 1, 2, každou s pravděpodobností 1
4
,
a Y = X2
. a) Určete simultánní rozdělení X a Y . b) Dokažte, že jsou veličiny X
a Y nezávislé.
Příklad 5.15. n-krát střílíme na cíl. Zásahy při jednotlivých výstřelech jsou ne-
závislé jevy. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je rovna p. Necht' X
udává počet zásahů při n výstřelech. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci
náhodné veličiny X a nakreslete jejich grafy.
Příklad 5.16. Náhodné veličiny X1 a X2 jsou nezávislé a mají stejné geometrické
rozdělení (qx
p, x = 0, 1, . . .). Dokažte, že
P (X1 = x|X1 + X2 = n) =
1
n + 1
, x = 0, 1, . . . n
Je opačné tvrzení pravdivé?
Příklad 5.17. Náhodné veličiny X1 a X2 jsou nezávislé a mají stejné geomet-
rické rozdělení (qx
p, x = 0, 1, . . .). Necht' Y = max(X1, X2). Určete rozdělení
náhodné veličiny Y a simultánní rozdělení veličin Y a X1.
Příklad 5.18. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a mají Poissonovo
rozdělení X1  Po(1) a X2  Po(2).
a) Dokažte, že náhodná veličina Y = X1 + X2 má Poissonovo rozdělení s pa-
rametrem 1 + 2.
b) Dokažte, že podmíněné rozdělení veličiny X1 za podmínky X1 + X2 = n
je binomické rozdělení s parametry n a p = 1
1+2
, tj.
P (X1 = x|X1 + X2 = n) =
n
x

1
1 + 2
x 1
-
1
1 + 2
n-x
,
pro x = 0, 1, . . . n.
22

Příklad 5.19. Necht' X je náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru
(, A, P) a F(x) je distribuční funkce této náhodné veličiny.
a) Dokažte, že množiny
{ : X() < x}, { : X() = x},
{ : a < X()  b}, { : a  X()  b}
jsou náhodné jevy.
a) Dokažte, že
P{ : X() < x} = lim
tx-
F(t),
P{ : X() = x} = F(x) - lim
tx-
F(t),
P{ : a < X()  b} = F(b) - F(a),
P{ : a  X()  b} = F(b) - lim
ta-
F(t).
Příklad 5.20. Necht' X je náhodná veličina na pravděpodobnostním prostoru
(, A, P) s distribuční funkcí F(x).
a) Dokažte, že pro libovolné c  R množiny { : X() > c} a { : X() 
c} jsou náhodnými jevy.
b) Vyjádřete pravděpodobnosti těchto jevů pomocí distribuční funkce F(x).
Příklad 5.21. Necht' A je náhodný jev. Dokažte, že funkce
IA() =
1
,   A,
0,  / A
je náhodná veličina.
Příklad 5.22. Necht' X je náhodná veličina. Dokažte, že funkce a) Y1 = aX, b)
Y2 = |X|, c) Y3 = X2
jsou také náhodné veličiny.
Příklad 5.23. Necht' Y = X2
je náhodná veličina. Můžeme říci, že a) X je
náhodná veličina, b) |X| je náhodná veličina?
Příklad 5.24. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou náhodné veličiny. Dokažte, že
Y1 = max{Xi, 1  i  n},
Y2 = min{Xi, 1  i  n}
jsou náhodné veličiny a odvod'te jejich rozdělení.
23

Příklad 5.25. Která z dále uvedených funkcí je distribuční funkce
a) F(x) = 3
4
+ 1
2
arctan x,
b) F(x) =



0, x  0,
[x]
2
, 0 < x  2,
1, x  2,
kde [x] značí celou část čísla x.
c) F(x) =
0
, x  0,
x
1+x
, x > 0
,
d) F(x) = exp{- exp{-x}},
e) F(x) =
0
, x  0,
1 - 1-e-x
x
, x > 0?
Příklad 5.26. Hustota náhodné veličiny X je rovna f(x) = ae-|x|
, x  R, ( >
0). Určete a) koeficient a, b) distribuční funkci náhodné veličiny X, c) nakreslete
grafy hustoty a distribuční funkce.
Příklad 5.27. Určete za jakých předpokladů jsou následující funkce hustotami
(a, b, c, d, k, ,  jsou vhodná reálná čísla.).
a) f(x) =
c
, x  [a, b],
0, x / [a, b],
, (a < b),
b) f(x) =
k
|x - a|, c  x  d,
0, x / [c, d],
,
c) f(x) =
c
ax+b
, d  x < ,
0, x < d,
,
d) f(x) =
a
x2
+ bx + c, ax2
+ bx + c  0,
0, ax2
+ bx + c < 0,
,
e) f(x) =
c
x
e-x
, x < 0,
0, x  0,
,
f) f(x) = ce(x-b)2
,
g) f(x) = d
a+bx+cx2 .
Příklad 5.28. Náhodná veličina X má hustotu f(x) = 1

1
1+x2 (Cauchyovo rozdě-
lení). Určete pravděpodobnosti
24

a) P (X  1),
b) P (|X|  1).
Příklad 5.29. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem
 = 1
3
. Určete pravděpodobnosti
a) P (X > 3),
b) P (X > 6|X > 3),
c) P (X > t + 3|X > t).
Příklad 5.30. Necht' F(x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Určete dis-
tribuční funkci a hustotu náhodné veličiny Y = eX
.
Příklad 5.31. Necht' F(x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Určete dis-
tribuční funkci Y = -X.
Příklad 5.32. Náhodná veličina X se nazývá symetrická, pokud jsou distribuční
funkce náhodných veličin X a -X totožné. Zformulujte podmínku symetričnosti
náhodných veličin
a) pomocí distribuční funkce,
b) pomocí hustoty.
Příklad 5.33. Necht' F(x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Určete dis-
tribuční funkci náhodné veličiny Y = sign(X).
Příklad 5.34. Náhodná veličina X má distribuční funkci F(x). Určete distribuční
funkci náhodné veličiny
a) aX + b, kde a a b jsou libovolná pevná čísla, b) X2
,
c) g(X), kde g(x) je monotónní funkce, d) |X|,
e) sin(X), f) tan(X).
Příklad 5.35. Hustota náhodné veličiny X je f(x). Určete hustotu náhodné veli-
činy
a) aX + b, (a = 0), b) |X|,
c) X2
, d) sin(X),
e) g(X), kde g(x) je monotónní diferencovatelná funkce,
f) g(X), kde g(x) je po částech monotónní diferencovatelná funkce.
Příklad 5.36. Necht' náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na [-1, 1].
Určete rozdělení náhodné veličiny Y = |X|.
25

Příklad 5.37. Necht' náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu
[0, 1]. Určete hustotu náhodné veličiny a) Y = X2
, b) Y = 1
X
, c) Y = eX
.
Nakreslete jejich grafy.
Příklad 5.38. Náhodná veličina X má hustotu f(x) = 1

1
1+x2 . Určete rozdělení
náhodné veličiny Y = arctan(X).
Příklad 5.39. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ 0, 2].
Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = |X - 1|.
Příklad 5.40. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ 0, 2].
Určete distribuční funkci náhodné veličiny Y = |X|.
Příklad 5.41. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametrem .
Určete hustotu náhodné veličiny Y = X2
.
Příklad 5.42. Náhodná veličina X má hustotu
f(x) =
1

2
x-2
e-1/2x2
, x = 0.
Určete hustotu náhodné veličiny Y = 1/X.
Příklad 5.43. Náhodná veličina X má hustotu
f(x) =
1

1
1 + x2
.
Určete hustotu náhodné veličiny Y = X2
.
Příklad 5.44. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ -
2
, 
2
].
Určete hustotu náhodné veličiny Y = sin X.
Příklad 5.45. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ 0, 4].
Určete distribuční funkci a hustotu náhodné veličiny Y = sin X.
Příklad 5.46. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu [ -
2
, 
2
].
Určete hustotu náhodné veličiny Y = | sin X|.
Příklad 5.47. Náhodná veličina X má Cauchyovo rozdělení s hustotou
f(x) =
1

1
1 + x2
.
Určete hustotu náhodné veličiny Y = 1/X.
Příklad 5.48. Necht' X je náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí F(x)
a Y = F(X). Určete distribuční funkci Y .
26

Příklad 5.49. Necht' F(x) je distribuční funkce, přičemž F(0) = 0. Dokažte, že
funkce
G(x) =
F
(x) - F(1
x
), x  1
0, x < 1
je distribuční funkcí.
27

Kapitola 6
Číselné charakteristiky
Příklad 6.1. Náhodná veličina X má rozdělení
x 10 20 30 40 50 60
p 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1 0,05
a) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku .
b) Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce p(x).
c) Označte v grafu hodnotu  a interval   2. Jaká je pravděpodobnost, že
X padne do intervalu   2?
Příklad 6.2. Náhodná veličina X má rozdělení
x 1 2 3 4 5
p 0,05 0,3 0,35 0,2 0,1
a) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku .
b) Nakreslete graf p(x).
c) Označte v grafu hodnotu  a interval   . Jaká je pravděpodobnost, že X
padne do intervalu   ?
d) Označte v grafu hodnotu  a interval   3. Jaká je pravděpodobnost, že
X padne do tohoto intervalu?
Příklad 6.3. Náhodná veličina X má rozdělení
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p 0,02 0,07 0,1 0,15 0,3 0,18 0,1 0,06 0,02
28

a) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku .
b) Nakreslete graf p(x). Označte v grafu hodnotu ,  - 2 a  + 2.
c) Jaká je pravděpodobnost, že X padne do intervalu   2?
Příklad 6.4. Ve velkém městě byl proveden průzkum veřejného mínění u 20-ti
voličů. Účelem je zjistit pozorování náhodné veličiny X, která je rovna počtu
hlasů ve prospěch určitého kandidáta na starostu. Předpokládejme, že ve skuteč-
nosti nám neznámých 60% voličů ve městě upřednostňuje tohoto kandidáta.
a) Vypočtěte střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X.
b) Určete pravděpodobnost P (X  10).
c) Určete pravděpodobnost P (X > 12).
d) Určete pravděpodobnost P (X = 11).
e) Nakreslete pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X a označte v něm
hodnoty ,  - 2 a  + 2.
Příklad 6.5. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
p(x) =
2
x
e-2
/x!, x = 0, 1, . . .
0, jinak.
a) Je X diskrétní nebo spojitá náhodná veličina?
b) Jak se nazývá toto rozdělení?
c) Nakreslete pravděpodobnostní funkci.
d) Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X.
Příklad 6.6. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem 2.
a) Nakreslete pravděpodobnostní funkci pro x = 0, 1, . . . , 9.
b) Určete střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny X
a zakreslete interval [ - ,  + ] do grafu.
c) Jaká je pravděpodobnost, že X leží v intervalu [ - ,  + ]?
Příklad 6.7. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou
1,5. Vypočtěte pravděpodobnost a) P (X  2), b) P (X  2), c) P (X = 2), d)
P (X = 0), e) P (X > 0), f) P (X > 5).
29

Příklad 6.8. Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n = 20
a p = 0, 7. a) Vypočtěte P (X = 14). b) Vypočtěte P (X  10). c) Vypočtěte
P (X > 10). d) Vypočtěte P (8  X  17). e) Vypočtěte P (8 < X < 17). f) Vy-
počtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X. g) Jaká je pravděpodobnost, že X padne do intervalu [ - 2,  + 2]?
Příklad 6.9. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení s parametry a = 20,
b = 45.
a) Určete hustotu f(x).
b) Vypočtěte střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X.
c) Nakreslete graf hustoty f(x), vyznačte hodnotu  spolu s intervalem [ -
2, +2]. Všimněte si, že náhodná veličina X leží v intervalu [-2, +
2] s pravděpodobností 1.
Vypočtěte: d) P (20  X  35) , e) P (20 < X < 35),
f) P (X  35), g) P (X  20),
h) P (X  25), i) P (10  X  40),
j) P (X  36), k) P (X  35, 5),
l) P (20, 2  X  35, 5), m) P (X < 20, 5).
Příklad 6.10. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení s parametry a = 2,
b = 4.
a) Určete hustotu f(x).
b) Vypočtěte střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X.
Vypočtěte: c) P ( -   X   + ) , d) P (X > 2, 78),
e) P (2, 4  X  3, 7), f) P (X < 2).
Příklad 6.11. Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry  = 45,
 = 10. Určete:
a) P (X  50) , b) P (X  35, 6), c) P (40, 7  X  65, 8),
d) P (22, 9  X  33, 2), e) P (X  25, 3), f) P (X  25, 3).
Příklad 6.12. Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry  = 30,
 = 8. Určete konstantu x0 tak, aby
a) P (X  x0) = 0, 5, b) P (X < x0) = 0, 025,
c) P (X > x0) = 0, 1, d) P (X > x0) = 0, 95,
30

e) 10% hodnot X bylo menších než x0,
f) 80% hodnot X bylo menších než x0,
g) 1% hodnot X bylo větších než x0.
Příklad 6.13. Náhodná veličina X má normální rozdělení se střední hodnotou
100 a směrodatnou odchylkou 8. Načrtněte graf hustoty náhodné veličiny X. Do
grafu zakreslete hodnotu  a interval   2. Určete pravděpodobnost
a) P ( - 2  X   + 2) , b) P (X   + 2) ,
c) P (X  92), d) P (92  X  116) ,
e) P (92  X  96) , f) P (76  X  124) .
Příklad 6.14. Náhodná veličina X má normální rozdělení se směrodatnou od-
chylkou 25. Víme, že pravděpodobnost, že X bude větší než 150 je 0,9. Určete
střední hodnotu  náhodné veličiny X.
Příklad 6.15. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, která má
rozdělení
a) alternativní A(), b) binomické Bi(n, ),
c) Poissonovo Po(), d) geometrické G(),
e) záporně binomické Zb(n, ), f) rovnoměrné R(, ),
g) exponenciální Ex(), h) normální N(, 2
),
i) Pearsonovo 2
(), j) Studentovo t(),
k) Fisher-Snedecorovo F(1, 2).
Příklad 6.16. Městská rada se skládá ze čtyř liberálů a čtyř konzervativců. Tři
členové rady jsou náhodně vybráni do komise. Necht' X udává počet vybraných
liberálů. Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X a spočtěte střední
hodnotu.
Příklad 6.17. Náhodně bez opakování zvolíme tři čísla z 1, 2, . . . , 9. Necht' X
udává největší z těchto tří čísel. Určete střední hodnotu E(X).
Příklad 6.18. Předpokládejme, že v určité populaci má náhodná veličina X udá-
vající počet telefonů v jedné domácnosti pravděpodobnostní funkci p zadanou
následující tabulkou.
x 1 2 3 4 5
p 0,35 0,45 0,15 0,04 0,01
Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X.
31

Příklad 6.19. Necht' X a Y mají simultánní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí
zavedenou v následující tabulce.
y 1 2 3
x
1 0 0 1/2 1/2
2 0 1/3 0 1/3
3 1/6 0 0 1/6
1/6 1/3 1/2 1
Určete kovarianci C(X, Y ) a korelační koeficient . Rozhodněte, zda X a Y jsou
nezávislé náhodné veličiny.
Příklad 6.20. Hodnoty pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a Y jsou
zapsány v následující tabulce.
x 0 1 2 3 4
pX(x) 0,6 0,3 0,1 0 0
pY (x) 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2
Vypočtěte EX, EY , DX a DY
Příklad 6.21. Necht' E(X2
) = 65 a E(X) = 7. Určete směrodatnou odchylku
náhodné veličiny X.
Příklad 6.22. Necht' E(X) = 3 a E[X(X - 1)] = 6. Určete rozptyl D(X).
Příklad 6.23. Jedenkrát hodíme osmi kostkami. Vypočtěte střední hodnotu a smě-
rodatnou odchylku součtu ok padlých na všech osmi kostkách.
Příklad 6.24. Osoba má čtyři podobné klíče, z nichž pouze jedním může otevřít
dveře své kanceláře. Náhodně, bez opakování zkouší tyto klíče. Necht' náhodná
veličina X udává počet klíčů, které osoba musela vyzkoušet, než odemkla svou
kancelář (včetně klíče, kterým kancelář odemkla).
a) Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte střední hodnou a směrodatnou odchylku X.
c) Stanovte pravděpodobnostní funkci X za předpokladu, že osoba vybírá klíče
náhodně, s opakováním.
Příklad 6.25. V osudí jsou 3 bílé a 6 černých koulí. Naráz náhodně vybereme
čtyři koule. Necht' X udává počet takto vytažených bílých koulí. Vypočtěte střední
hodnou a rozptyl náhodné veličiny X.
32

Příklad 6.26. Necht' X a Y mají simultánní rozdělení definované následující ta-
bulkou hodnot pravděpodobnostní funkce.
y 0 1 2
x
1 0,2 0,1 0,3
2 0 0,2 0,2
Vypočtěte kovarianci C(X, Y ) a rozptyl D(X + Y ). Rozhodněte, zda X a Y jsou
nezávislé.
Příklad 6.27. Necht' D(X) = D(Y ) = C(X, Y ) = 1. Vypočtěte
a) D(3 - X), b) C(X, X),
c) D(2X + 4), d) C(X, X + Y ),
e) D(X - Y ), f) D(4X + Y - 7),
Příklad 6.28. Necht' X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s X = Y = 1.
Vypočtěte
a) D(2X + Y ), b) C(2X + Y, X - Y ),
c) X,Y , d) U,V , kde U = 2X + Y , V = X - Y .
Příklad 6.29. Necht' náhodné veličiny X a Y mají simultánní pravděpodobnostní
funkci
a) p(x, y) = 1
3
, (x, y)  {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}, jinak je p(x, y) = 0.
b) p(x, y) = 1
3
, (x, y)  {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}, jinak je p(x, y) = 0.
c) p(x, y) = 1
3
, (x, y)  {(0, 0), (1, 1), (2, 0)}, jinak je p(x, y) = 0.
Vypočtěte korelační koeficient X a Y . Dále ověřte, zda X a Y jsou nezávislé
náhodné veličiny.
Příklad 6.30. Simultánní pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a Y je
zadána následující tabulkou.
(x, y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
p(x, y) 2/15 4/15 3/15 1/15 1/15 4/15
Jinak je funkce p(x, y) = 0. Nalezněte korelační koeficient . Ověřte, zda X a Y
jsou nezávislé.
33

Příklad 6.31. Necht' korelační koeficient  náhodných veličin X a Y existuje.
Ukažte, že -1    1. [Vezměte v úvahu diskriminant nezáporné kvadratické
funkce g(v) = E {[(X - 1) + v(Y - 2)]2
}, kde reálné číslo v není funkcí X
ani Y .]
Příklad 6.32. Necht' X1, X2 a X jsou nezávislé náhodné veličiny, pro které platí
EX1 = 1, EX2 = 2, EX = 3, DX1 = 4, DX2 = 5, DX = 6. Položme Y =
X1 + X, Z = X2 - X. Vypočtěte korelační koeficient Y,Z, parciální korelační
koeficient Y,Z.X a koeficient mnohonásobné korelace X,(Y,Z).
Příklad 6.33. Necht' pro náhodné veličiny Y a Z platí P(Y = 0, Z = 0) =
0, 1; P(Y = 0, Z = 1) = 0, 2; P(Y = 1, Z = 0) = 0, 3; P(Y = 1, Z = 1) =
0, 4. Vypočtěte korelační koeficient Y,Z.
Příklad 6.34. Necht' náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu
f(x, y) =



1, (x, y)  (0, 1
2
) × (1
2
, 1)  (1
2
, 1) × (0, 1
2
),
2, (x, y)  (1
2
, 1) × (1
2
, 1),
0, jinak.
Vypočtěte korelační koeficient X,Y . (Doplňující úloha: takto zadanou hustotu
načrtněte a ověřte, zda skutečně má vlastnosti, které má hustota mít. Ověřte tyto
vlastnosti i u spočtených marginálních hustot.)
Příklad 6.35. Necht' X1, X2 a X3 jsou náhodné veličiny s konečnými druhými
momenty a s kladnými rozptyly. Označme ij korelační koeficient mezi Xi a Xj,
(i,j=1,2,3). Dokažte, že platí
1213 - [(1 - 2
12)(1 - 2
13)]1/2
 23  1213 + [(1 - 2
12)(1 - 2
13)]1/2
.
Příklad 6.36. Necht' náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu
f(x, y) =

-1
, x2
+ y2
 1,
0, jinak.
Vypočtěte marginální hustoty veličin X a Y , dále vypočtěte EX, EY, DX, DY
a X,Y .
Příklad 6.37. Dokažte, že pro koeficient mnohonásobné korelace platí
2
Y,X =
det(var(Y, X1, . . . , Xn) )
det(var(X1, . . . , Xn) )
,
za předpokladu, že varianční matice var(Y, X1, . . . , Xn) j
e regulární, přičemž
X = (X1, . . . , Xn) .
34

Příklad 6.38. Necht' X a Y jsou náhodné vektory o rozměrech m × 1 a n × 1, a
a b jsou reálné vektory o rozměrech m × 1 a n × 1. Dokažte, že pro kovarianční
matici platí
cov(X - a, Y - b) = cov(X, Y ).
Příklad 6.39. Dokažte, že cov(X, Y ) = E(XY )
- (EX)(EY ) .
Příklad 6.40. Necht' X = (X1, X2, . . . , Xn) j
e náhodný vektor a uvažujme
náhodné veličiny Y1 = X1, Yi = Xi - Xi-1, i = 2, 3, . . . , n. Najděte varianční
matici var(X) = var(X1, X2, . . . , Xn) z
a předpokladu, že náhodné veličiny Yi
jsou navzájem nezávislé a každá z nich má stejný rozptyl 2
.
Příklad 6.41. Necht' X = (X1, X2, . . . , Xn) j
e náhodný vektor a uvažujme
náhodné veličiny Y1 = X1, Yi = Xi - Xi-1, i = 2, 3, . . . , n. Najděte varianční
matici var(Y ) = var(Y1, Y2, . . . , Yn) z
a předpokladu, že náhodné veličiny Xi
jsou navzájem nezávislé a každá z nich má stejný rozptyl 2
.
Příklad 6.42. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou náhodné veličiny, které mají stejný roz-
ptyl 2
. Položme Z1 = X1 a Zi+1 = Zi + a pro i = 1, 2, . . . , n - 1, kde a a 
jsou reálná čísla. Najděte varianční matici var(Z) = var(Z1, Z2, . . . , Zn) .
Příklad 6.43. Necht' A je symetrická matice a X je náhodný vektor. Dokažte, že
E(X A
X) = tr[AE(XX )
], kde tr(A) značí stopu matice A.
Příklad 6.44. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny se stejnými středními hodnotami  a rozptyly 2
1, 2
2, . . . , 2
n, X je jejich
průměr. Spočtěte D(X).
Příklad 6.45. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny se stejnými středními hodnotami  a rozptyly 2
1, 2
2, . . . , 2
n. Dokažte,
že
n
i=1(Xi - X)2
/[n(n - 1)] je nestranným odhadem D(X).
Příklad 6.46. Necht' náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn mají stejné střední hod-
noty , stejné rozptyly 2
a korelace libovolného páru těchto různých náhodných
veličin je rovna konstantě . Najděte D(X) a ukažte odtud, že -1
n-1
   1.
Příklad 6.47. Necht' X0, X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny s rozdělením N(, 2
). Položme
S2
=
1
n - 1
ni
=1
(Xi - X)2
.
Dokažte, že S2
je nestranným odhadem 2
.
35

Příklad 6.48. Necht' X0, X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny s rozdělením N(, 2
). Položme
S2
=
1
n - 1
ni
=1
(Xi - X)2
,
Q =
1
2(n - 1)
n-1i
=1
(Xi-1 - Xi)2
.
a) Dokažte, že var(S2
) = 24
n-1
.
b) Dokažte, že Q je nestranný odhad parametru 2
.
Příklad 6.49. Necht' náhodné veličiny X a Y mají stejný rozptyl. Dokažte, že
C(X + Y, X - Y ) = 0. Najděte protipříklad, kterým ukážete, že z nulovosti této
kovariance neplyne nezávislost těchto náhodných veličin.
Příklad 6.50. Necht' každá z náhodných veličin X a Y nabývá pouze hodnot 0
a 1, přičemž P(X = i, Y = j) = pij, i = 0, 1, j = 0, 1. Dokažte, že tyto veličiny
jsou nezávislé právě tehdy, když C(X, Y ) = 0.
Příklad 6.51. Necht' náhodná veličina X má symetrickou hustotu (f(-x) =
f(x)) a nulové střední hodnoty. Předpokládejme navíc, že existují její 3. momenty.
Dokažte, že C(X, X2
) = 0.
Příklad 6.52. Necht' hustota náhodných veličin X, Y a Z má tvar
f(x, y, z) = 1
8
(1 + xyz), -1  x, y, z  1.
Dokažte, že tyto veličiny jsou po dvou nezávislé, ale nejsou vzájemně nezávislé.
Příklad 6.53. Necht' náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn mají stejné střední hod-
noty  a jsou stochasticky nezávislé. Položme
Q1 =
ni
=1
(Xi - X)2
,
Q2 = (X1 - X2)2
+ (X2 - X3)2
+    + (Xn-1 - Xn)2
+ (Xn - X1)2
.
Dokažte, že
E
3
Q1 - Q2
n(n - 3)
=
var(X).
36

Příklad 6.54. Necht' X je náhodný vektor o rozměrech 3 × 1,
var(X) =



5 2 3
2 3 0
3 0 2


 .
a) Položme Z = X1 - 2X2 + X3. Najděte D(Z)
b) Najděte varianční matici var(Y ) = var(Y1, Y2) ,
když Y1 = X1 +X2 a Y2 =
X1 + X2 + X3.
Příklad 6.55. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným
rozdělením N(0, 2
) a A a B jsou symetrické reálné matice o rozměrech n × n,
X = (X1, X2, . . . , Xn) j
e náhodný vektor. Dokažte, že cov(X A
X, X B
X) =
24
tr(AB).
37

Kapitola 7
Náhodné vektory
Příklad 7.1. Náhodný vektor (X, Y ) m
á rovnoměrné rozdělení na kružnici o rov-
nici x2
+ y2
= 1.
a) Nalezněte marginální hustoty náhodné veličiny X a náhodné veličiny Y .
b) Vypočtěte EX, EY, DX, DY .
c) Rozhodněte, zda jsou X a Y nezávislé.
Příklad 7.2. Náhodný vektor (X, Y ) m
á rovnoměrné rozdělení na oblasti:
x2
a2 + y2
b2 = 1.
a) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny X.
b) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny Y .
c) Vypočtěte EX, EY .
d) Vypočtěte C(X, Y ). Přesvědčte se, že náhodné veličiny X a Y jsou neko-
relované, ale závislé.
Příklad 7.3. Náhodný vektor (X, Y, Z) m
á hustotu f(x, y, z) rovnou konstantě
c, když x2
+ y2
+ z2
 1. Jinak je hustota (X, Y, Z) r
ovna 0.
a) Stanovte konstantu c.
b) Nalezněte marginální hustoty náhodných veličin X, Y , Z.
c) Nalezněte marginální hustoty vektorů (X, Y ) a
(X, Z) .
d) Vypočtěte EX, EY, EZ, DX, DY, DZ, C(X, Y ) a
var(X, Y, Z) .
Příklad 7.4. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) j
e tvaru
f(x, y) =
[
(1 + ax)(1 + ay) - a] e-x-y-axy
, x > 0, y > 0,
0, jinak,
kde 0 < a < 1. Určete
38

a) marginální hustoty náhodných veličin X, Y .
b) distribuční funkci (X, Y ) .
c) střední hodnoty EX, EY , rozptyly DX, DY a kovarianci C(X, Y ).
Příklad 7.5. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) j
e tvaru
f(x, y) =
2
4x2
y(1 - x), 0 < x < 1, 0 < y < 1,
0, jinak.
a) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny X.
b) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny Y .
c) Dokažte, že jsou X a Y nezávislé.
Příklad 7.6. Necht' fX(x) a fY (y) jsou hustoty, FX(x) a FY (y) příslušné dis-
tribuční funkce, |a| < 1. Dokažte, že
a) f(x, y) = fX(x)fY (y) {1 + a [2FX(x) - 1] [2FY (y) - 1]} je hustota ná-
hodné vektoru (X, Y ).
b) hustota náhodné veličiny X, resp. Y je rovna fX(x), resp. fY (x)
Příklad 7.7. Necht' X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s normálním rozděle-
ním N(0,1). Vypočtěte P (X2
+ Y 2
 r2
).
Příklad 7.8. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) j
e rovna
f(x, y) =
2
4xy(1 - x2
), 0  x  1, 0  y  1,
0, jinak.
Dokažte, že jsou X a Y nezávislé.
Příklad 7.9. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) j
e rovna
f(x, y) =
x
e-x(1+y)
, x > 0, y > 0,
0, jinak.
Najděte marginální hustoty náhodných veličin X a Y .
Příklad 7.10. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) j
e rovna
f(x, y) =
xp-1(y-x)q-1e-y
(p)(q)
, 0 < x < y,
0, jinak.
Najděte marginální hustoty náhodných veličin X a Y .
39

Příklad 7.11. Náhodné veličiny X1 a X2 jsou nezávislé a Xi  Ro(0,1), i = 1, 2.
Stanovte distribuční funkci náhodné veličiny
Y =
X1
X1 + X2
.
Příklad 7.12. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a Xi  N(0, 2
),
i = 1, 2. Vypočtěte hustotu náhodné veličiny Y = max(|X1|, |X2|).
Příklad 7.13. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a Xi  Ro(-1
2
, 1
2
),
i = 1, 2. Najděte hustotu náhodné veličiny Y = X1 + X2.
Příklad 7.14. Necht' X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s hustotami
fX(x) =
1


1-x2 , |x| < 1,
0, |x|  1,
fY (x) =
0
, x  0
xe-x2/2
, x > 0.
Dokažte, že náhodná veličina XY má normální rozdělení.
Příklad 7.15. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a Xi  N(0, 2
),
i = 1, 2. Dokažte, že náhodná veličina Y = X1/X2 má Cauchovo rozdělení.
Příklad 7.16. Náhodné veličiny X1 a X2 jsou nezávislé a stejně rozdělené s hus-
totou f1(x) = f2(x) = c
1+x4 . Určete
a) konstantu c.
b) hustotu náhodné veličiny Y = X1/X2.
Příklad 7.17. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a Xi  Ex(i),
i = 1, 2, 1 = 2. Dokažte, že hustota náhodné veličiny Y = X1 + X2 je rovna
fY (y) =

12
e-1y-e-2y
1-2
, y > 0
0, y  0.
Nalezněte hustotu Y pro případ 1 = 2.
Příklad 7.18. Necht' náhodný vektor (X1, X2) má hustotu f(X1,X2)(x, y). Vypočtěte
hustotu součinu X1X2 a hustotu podílu X1/X2.
Příklad 7.19. Hustota náhodného vektoru (X1, X2) je rovna
f(x1, x2) =
x
1 + x2, 0  x1  1, 0  x2  1,
0, jinak.
Vypočtěte hustotu náhodné veličiny Y = X1 + X2.
40

Příklad 7.20. Necht' (X1, X2)  N2(0, 0, 2
1, 2
2, ), 2
1 = 2
2, Y1 = X1 cos  +
X2 sin , Y2 = -X1 sin  + X2 cos , kde  je daná reálná konstanta.
a) Nalezněte hustotu (Y1, Y2).
b) Dokažte, že když tan2
 = 212
2
1-2
2
, jsou náhodné veličiny Y1 a Y2 nezávislé.
Příklad 7.21. Necht' (X1, X2)  N2(0, 0, 2
1, 2
2, ). Odvod'te hustotu náhodné
veličiny Y = X1/X2.
Příklad 7.22. Necht' náhodný vektor (X, Y ) má dvourozměrné normální rozdělení,
přičemž EX = EY = 0, EX2
= EY 2
= 1 a EXY = . Dokažte, že
E(max{X, Y }) =

1 - 

.
41

Kapitola 8
Marginální a podmíněná rozdělení
Příklad 8.1. Necht' náhodné veličiny X1, X2 mají simultánní hustotu f(x1, x2) =
x1 + x2, 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 jinak. Nalezněte podmíněnou střední hodnotu
a podmíněný rozptyl X2 za podmínky X1 = x1, 0 < x1 < 1.
Příklad 8.2. Necht' f(x1|x2) = c1x1/x2
2, 0 < x1 < x2, 0 < x2 < 1 a f(x1|x2) =
0 jinak, resp. f2(x2) = c2x4
2, 0 < x2 < 1 a f(x2) = 0 jinak, značí podmíněnou
hustotu X1 za podmínky X2 = x2, resp. marginální hustotu X2. Stanovte
a) konstanty c1 a c2,
b) simultánní hustotu X1 a X2,
c) P
1
4
< X1 < 1
2
| X2 = 5
8
,
d) P
1
4
< X1 < 1
2
.
Příklad 8.3. Necht' f(x1, x2) = 21x2
1x2
2, 0 < x1 < x2 < 1 a f(x1, x2) = 0 jinak,
je simultánní hustota X1 a X2. Vypočtěte podmíněnou střední hodnotu a rozptyl
X1 za podmínky X2 = x2, 0 < x2 < 1.
Příklad 8.4. Necht' X1 a X2 jsou diskrétní náhodné veličiny se simultánní prav-
děpodobnostní funkcí
p(x1, x2) = (x1 + 2x2)/18, (x1, x2)  {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Nalezněte podmíněnou střední hodnotu a podmíněný rozptyl X2 za podmínky
X1 = x1, x1  {1, 2}.
Příklad 8.5. Z balíčku bridžových karet je náhodně bez vracení vytaženo 5 ka-
ret. Necht' X1, X2 a X3 označují počet , resp. počet , resp. počet  v takto
vytažených 5 kartách.
a) Určete simultánní pravděpodobnostní funkci X1, X2 a X3.
42

b) Nalezněte marginální pravděpodobnostní funkce X1, X2 a X3.
c) Jaká je simultánní podmíněné rozdělení X2 a X3 za podmínky X1 = 3?
Příklad 8.6. Simultánní pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X1 a X2
je zadána následující tabulkou.
(x, y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
f(x, y) 1/18 3/18 4/18 3/18 6/18 1/18
Jinak je funkce f(x, y) = 0. Nalezněte marginální pravděpodobnostní funkce
a obě podmíněné střední hodnoty.
Příklad 8.7. Necht' f(x), resp. F(x), značí hustotu, resp. distribuční funkci, ná-
hodné veličiny X. Podmíněná hustota X za podmínky X > x0, kde x0 je dané
reálné číslo, je definovaná jako f(x| X > x0) = f(x)/[1 - F(x0)], x0 < x a 0
jinak. Tato podmíněná hustota je často užívána pro popis času do úmrtí, pokud
víme, že jedinec přežil až do času x0.
a) Ukažte, že f(x| X > x0) je hustota.
b) Necht' f(x) = e-x
, 0 < x < ) a f(x) = 0 jinak. Vypočtěte pravděpodob-
nost P (X > 2| X > 1).
Příklad 8.8. Necht' f(x, y) = 2, 0 < x < y, 0 < y < 1 a f(x, y) = 0 jinak, je
simultánní hustota náhodných veličin X a Y .
a) Vypočtěte podmíněné střední hodnoty náhodných veličin X a Y
b) Ukažte, že korelační koeficient X a Y je  = 1/2.
c) Vypočtěte rozptyl podmíněného rozdělení Y za podmínky X = x a rozptyl
podmíněného rozdělení X za podmínky Y = y.
Příklad 8.9. Předpokládejme, že osoba odchází do práce ráno mezi 8:00 a 8:30
a do své kanceláře se z domu dopraví za 40 až 50 minut. Označme X dobu od-
chodu a Y dobu cesty. Předpokládejme, že jsou tyto náhodné veličiny nezávislé
a mají rovnoměrné rozdělení. Určete pravděpodobnost, že osoba přijde do kan-
celáře před 9:00.
43

Kapitola 9
Charakteristická funkce
Příklad 9.1. Necht' náhodná veličina X nabývá hodnot 1 a -1, každé s pravděpo-
dobností 1/2. Určete charakteristickou funkci X.
Příklad 9.2. Dokažte, že funkce (t) = cos2
t je charakteristickou funkcí a určete
příslušné rozdělení pravděpodobnosti.
Příklad 9.3. Necht' náhodná veličina X nabývá hodnot -1, 0, 1, každou s pravdě-
podobností 1/3. Určete charakteristickou funkci X.
Příklad 9.4. Vypočtěte charakteristickou funkci rozdělení Ro(0, 1), Ro(, ),
N(0, 1), N(, 2
), Ex(), 2
(), A(), Bi(n, ), Po().
Příklad 9.5. Necht' X1, . . . , Xn jsou nezávislé náhodné veličiny, přičemž každá
z nich nabývá hodnot 1 a -1 s pravděpodobnostmi 1/2. Vypočtěte charakteristic-
kou funkci náhodné veličiny Sn = X1 + . . . + Xn.
Příklad 9.6. Dokažte, že pro každé přirozené n je (t) = cosn
t charakteristickou
funkcí.
Příklad 9.7. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny
s charakteristickou funkcí (t). Určete charakteristickou funkci náhodné veličiny
X1 - X2.
Příklad 9.8. Dokažte, že je-li (t) charakteristická funkce, pak |(t)|2
je také
charakteristickou funkcí.
Příklad 9.9. Dokažte, že pokud je charakteristická funkce (t) náhodné veličiny
X absolutně integrovatelná, tj.

-
|(t)|dt < ,
44

pak náhodná veličina X má hustotu f(x), přičemž
f(x) =
1
2

-
e-itx
(t)dt.
Příklad 9.10. Uved'te příklad závislých náhodných veličin X a Y , pro které je
charakteristická funkce součtu X + Y shodná se součinem charakteristických
funkcí veličin X a Y .
45

Kapitola 10
Zákon velkých čísel
Příklad 10.1. Náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) = 1 a směrodatnou
odchylku  = 0, 2. Pomocí Čebyševovy nerovnosti odhadněte pravděpodobnost,
že 0, 5 < X < 1, 5.
Příklad 10.2. (Pravidlo
"
tří ") Odhadněte pravděpodobnost toho, že odchylka
libovolné náhodné veličiny od její střední hodnoty nebude větší než tři směrodatné
odchylky této veličiny.
Příklad 10.3. Směrodatná odchylka chyby měření kurzu letadla je  = 2
. Před-
pokládejme, že střední hodnota chyby měření je rovna nule. Odhadněte pravděpo-
dobnost toho, že chyba při daném měření kurzu letadla bude větší než 56
.
Příklad 10.4. Pomocí Čebyševovy nerovnosti určete pravděpodobnost, že re-
lativní četnost padnutí líce při stech hodech mincí se liší od pravděpodobnosti
padnutí líce nejvýše o 0,1. Výsledek porovnejte s pravděpodobností získanou
využitím Moivre-Laplaceovy věty.
Příklad 10.5. Pravděpodobnost jevu A v každém pokuse z n nezávislých pokusů
je p = 1/3.
a) Pomocí Čebyševovy nerovnosti odhadněte pravděpodobnost, že odchylka
relativní četnosti jevu A od jeho pravděpodobnosti je v případě, že bylo pro-
vedeno n = 9000 pokusů, v absolutní hodnotě nejvýše 0,01. Získaný odhad
porovnejte s výsledkem vypočteným pomocí Moivre-Laplaceovy věty.
b) Řešte úlohu a) pro n = 75000 pokusů.
c) Pomocí Čebyševovy nerovnosti stanovte nejmenší počet pokusů, při kterém
bude s pravděpodobností alespoň 0,99 odchylka relativní četnosti jevu A od
jeho pravděpodobnosti p nejvýše 0,01.
d) Úlohu c) řešte pomocí Moivre-Laplaceovy věty.
46

e) Pomocí Čebyševovy nerovnosti stanovte maximální absolutní hodnotu od-
chylky relativní četnosti jevu A od jeho pravděpodobnosti, kterou je možné
očekávat s pravděpodobností alespoň 0,99, když bylo provedeno 12100 po-
kusů.
f) Úlohu e) řešte pomocí Moivre-Laplaceovy věty.
Příklad 10.6. Rozptyl každé z 2500 nezávislých náhodných veličin je nejvýše 5.
Odhadněte pravděpodobnost, že odchylka aritmetického průměru těchto náhod-
ných veličin od aritmetického průměru jejich středních hodnot nebude větší než
0,4.
Příklad 10.7. Technická kontrola prověřuje soubor přístrojů. S pravděpodobností
0,01 může mít každý přístroj vadu A a nezávisle na tom s pravděpodobností 0,02
může mít vadu B. V jaký mezích bude prakticky jistě stanoven počet vadných
výrobků v souboru o tisíci kusech, pokud za dostatečnou pravděpodobnost bereme
0,997?
Příklad 10.8. Dokažte následující zobecnění Čebyševovy nerovnosti.
a) Diskrétní náhodná veličina X nabývá nezáporných hodnot. Potom pro libo-
volná kladná čísla a a  platí nerovnost
P (X  a) 
E(X
)
a
, pokud E(X
) existuje.
b) Rozšiřte předchozí zobecnění na libovolné spojité nezáporné náhodné veli-
činy.
Příklad 10.9. Dokažte, že pokud je f(x) nezáporná funkce nabývající při x  a
hodnot alespoň b  0 a pokud existuje E(f(X)), pak
P (X  a) 
E(f(X))
b
.
Příklad 10.10. Dokažte, že pokud existuje E(eaX
), kde a je konstanta, pak
P (X  ) 
E(eaX
)
ea
.
Příklad 10.11. Dokažte, že pro libovolnou náhodnou veličinu X při libovolném
a > 0 platí následující odhady shora i zdola pro P (|X|  a).
a) P (|X|  a)  E(f(X))
f(a)
, pokud f(x) je nezáporná a pro a  0 neklesající
funkce.
b) P (|X|  a)  E(f(X))-f(a)
k
, pokud f(x) je sudá nezáporná a pro kladné x
neklesající ohraničená funkce, f(x)  k.
c) P (|X|  a)  E(f(X))-f(a)
f(M)
, pokud je podmínka ohraničenosti funkce f(x)
nahrazena podmínkou ohraničenosti X, |X|  M.
47

Kapitola 11
Statistika
Příklad 11.1. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení s hus-
totou f(x; ) = 1

e-x/
, 0 < x < , 0 <  < , 0 jinak. Ukažte, že X je
nestranným odhadem  a má rozptyl 2
/n.
Příklad 11.2. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr rozsahu n z normálního roz-
dělení N(0, ), 0 <  < . Ukažte, že
n
i=1
1
n
X2
i je nestranným odhadem  a má
rozptyl 22
/n.
Příklad 11.3. Necht' Y1 a Y2 jsou nezávislé nestranné odhady . Předpokládejme,
že rozptyl Y1 je dvojnásobkem rozptylu Y2. Stanovte konstanty k1 a k2 tak, aby
k1Y1 + k2Y2 byl nestranným odhadem s nejmenším možným rozptylem.
Příklad 11.4. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení s hus-
totou
a) f(x; ) = x
e-
/x!, x = 1, 2, . . . , 0   < , 0 jinak, přičemž
f(0; 0) = 1.
b) f(x; ) = x-1
, 0 < x < 1, 0 <  < , 0 jinak.
c) f(x; ) = (1/)e-x/
, 0 < x < , 0 <  < , 0 jinak.
d) f(x; ) = 1
2
e-|x-|
, - <  < .
e) f(x; ) = e-(x-)
,   x < , - <  < , 0 jinak.
Nalezněte maximálně věrohodný odhad ^ parametru .
Příklad 11.5. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr z rozdělení s hustotou
f(x; 1, 2) = (1/2)e-(x-1)/2
, 1  x < , - < 1 < , 0 < 2 < ,
f(x; 1, 2) = 0 jinak. Nalezněte maximálně věrohodné odhady parametrů 1, 2.
48

Příklad 11.6. Paretovo rozdělení se často užívá pro modelování příjmů a má dis-
tribuční funkci F(x; 1, 2) = 1 - (1/x)2
, 1  x, 0 jinak, kde 0 < 1 a 0 < 2.
Označuje-li X1, . . . , Xn náhodný výběr z tohoto rozdělení, nalezněte maximálně
věrohodné odhady parametrů 1, 2.
Příklad 11.7. Necht' Yn je statistika taková, že lim
n
E(Yn) =  a lim
n
D(Yn) = 0.
Dokažte, že Yn je konzistentní odhad .
Příklad 11.8. Pro každé rozdělení z příkladu 11.4 nalezněte metodou momentů
odhad parametru  a ukažte, že je konzistentní.
Příklad 11.9. Necht' pozorování průměru X náhodného výběru rozsahu 20 z roz-
dělení N(, 80) je 81,2. Stanovte 95%-ní interval spolehlivosti pro .
Příklad 11.10. Necht' X je aritmetický průměr náhodného výběru rozsahu n
z rozdělení N(, 9). Nalezněte n takové, aby přibližně platilo
P
X
- 1 <  < X + 1
=
0, 9.
Příklad 11.11. Z realizace náhodného výběru rozsahu 17 z rozdělení N(, 2
)
bylo vypočteno x = 4, 7 a s2
= 5, 76. Určete 90%-ní interval spolehlivosti pro .
Příklad 11.12. Necht' X1, . . . , X9 je náhodný výběr rozsahu 9 z rozdělení N(, 2
).
a) Je-li  známé, nalezněte délku 95%-ního intervalu spolehlivosti pro  zalo-
ženého na náhodné veličině

9(X - )/.
b) Je-li  neznámé, vypočtěte střední hodnotu délky 95%-ního intervalu spo-
lehlivosti pro  založeného na náhodné veličině

8(X - )/S.
c) Porovnejte obě tyto odpovědi. [Rozepište E(S) = (/

n)E(
n
S2/2).]
Příklad 11.13. Necht' X1, . . . , Xn, Xn+1 je náhodný výběr rozsahu n + 1, n > 1,
z rozdělení N(, 2
). Necht' X = 1
n
n
i=1 Xi a S2
= 1
n
n
i=1(Xi - X)2
. Určete
konstantu c tak, aby měla statistika c(X - Xn+1)/S Studentovo t rozdělení. Pro
n = 8 určete k tak, aby P
X
- kS < X9 < X + kS
=
0, 8. Pozorovaný inter-
val (x - ks, x + ks) se často nazývá 80%-ní predikční interval pro X9.
Příklad 11.14. Necht' Y  Bi(300, p). Je-li y = 75 pozorovaní náhodné veličiny
Y , stanovte přibližný 90%-ní interval spolehlivosti pro p.
Příklad 11.15. Uvažujme dva nezávislé náhodné výběry rozsahu 10, z rozdělení
postupně N(1, 2
) a N(2, 2
). Z jejich realizací bylo vypočteno x = 4, 8, s2
1 =
8, 64, y = 5, 6, s2
2 = 7, 88. Stanovte 95%-ní interval spolehlivosti pro 1 - 2.
49

Příklad 11.16. Necht' Y1, Y2 jsou nezávislé náhodné veličiny a Y  Bi(100, p1),
Y  Bi(100, p2). Jejich pozorování jsou y1 = 50 a y2 = 40. Stanovte přibližný
90%-ní interval spolehlivosti pro p1 - p2.
Příklad 11.17. Necht' X a Y jsou aritmetické průměry dvou nezávislých náhod-
ných výběrů rozsahu n z rozdělení postupně N(1, 2
) a N(2, 2
), přičemž roz-
ptyl 2
je známý. Nalezněte n takové, že
P
X
- Y - /5 < 1 - 2 < X - Y + /5
=
0, 9.
Příklad 11.18. Necht' 8,6; 7,9; 8,3; 6,4; 8,4; 9,8; 7,2; 7,8; 7,5 je realizace náhodné-
ho výběru rozsahu 9 z rozdělení N(8, 2
). Stanovte 90%-ní interval spolehlivosti
pro 2
.
Příklad 11.19. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr rozsahu n z normálního
rozdělení N(, 2
). Necht' 0 < a < b. Ukažte, že střední hodnota délky náhodného
intervalu 1
b
ni
=1
(Xi - )2
,
1
a
ni
=1
(Xi - )2
j
e (b - a)n2
ab
.
Příklad 11.20. Z realizace náhodného výběru rozsahu 15 z rozdělení N(, 2
)
bylo vypočteno x = 3, 2 a s2
= 4, 24. Stanovte 90%-ní interval spolehlivosti pro
2
.
Příklad 11.21. Z realizace dvou nezávislých náhodných výběrů rozsahu n1 = 16,
resp. n2 = 10, z rozdělení N(1, 2
1), resp. N(2, 2
2), byly vypočteny hodnoty
x = 3, 6 a s2
1 = 4, 14, y = 13, 6 a s2
2 = 7, 26. Stanovte 90%-ní interval spolehli-
vosti pro 2
2/2
1, jsou-li parametry 1 a 2 neznámé.
Příklad 11.22. Rozeberte problém stanovení intervalu spolehlivosti pro podíl roz-
ptylů 2
2/2
1 dvou neznámých rozptylů dvou nezávislých normálních rozdělení,
jsou-li parametry 1 a 2 známé.
Příklad 11.23. Necht' S2
1 , resp. S2
2 , značí výběrový rozptyl výběru rozsahu n,
resp. m, z dvou nezávislých normálních rozdělení N(1, 2
), resp. N(2, 2
).
Využijte toho, že
(nS2
1 + mS2
2 )/2
 2
(n + m - 2),
pro nalezení intervalu spolehlivosti pro neznámý rozptyl 2
.
Příklad 11.24. Necht' X1, . . . , X10 je náhodný výběr rozsahu 10 z normálního
rozdělení N(0, 2
). Nalezněte nejlepší kritický obor rozsahu  = 0, 05 pro tes-
tování H0: 2
= 1 proti H1: 2
= 2. Je tento obor i oborem pro testování H0:
2
= 1 proti H1: 2
= 4? Proti H1: 2
= 2
1 > 1?
50

Příklad 11.25. Necht' X1, . . . , X10 je náhodný výběr rozsahu 10 z normálního
rozdělení N(1, 2). Nalezněte nejlepší test jednoduché hypotézy H0: 1 = 1
=
0, 2 = 2
= 1 proti jednoduché alternativě H1: 1 = 1
= 1, 2 = 2
= 4.
Příklad 11.26. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr z rozdělení N(, 100). Ukažte,
že C = {(x1, . . . , xn)| c  x = 1
n
n
i=1 xi} je nejlepší kritický obor pro testování
H0:  = 75 proti H1:  = 78. Stanovte n a c tak, aby přibližně platilo
P {(X1, . . . , Xn)  C| H0} = P
X
 c| H0
=
0, 05,
P {(X1, . . . , Xn)  C| H1} = P
X
 c| H1
=
0, 9.
Příklad 11.27. Uvažujme rozdělení N(, 4). Jednoduchou hypotézu H0:  = 0
zamítáme a alternativu H1:  > 0 nezamítáme právě tehdy, když pozorovaná hod-
nota výběrového průměru x výběru rozsahu 25 je větší nebo rovna 3/5. Stanovte
silofunkci (), 0  , tohoto testu.
Příklad 11.28. Uvažujme dvě nezávislá rozdělení N(1, 400), N(2, 225). Ne-
cht'  = 1 - 2. Necht' x a y značí pozorované hodnoty výběrových průměrů
dvou nezávislých výběrů, rozsahu n z těchto dvou rozdělení. Hypotézu H0:  = 0
zamítáme a alternativu H1:  > 0 nezamítáme právě tehdy, když x - y  c. Je-li
() silofunkce tohoto testu, stanovte n a c tak, aby přibližně platilo (0) = 0, 05
a (10) = 0, 9.
Příklad 11.29. Necht' X1, . . . , X25 je náhodný výběr rozsahu 25 z normálního
rozdělení N(, 100). Nalezněte stejnoměrně nejsilnější kritický obor rozsahu  =
0, 1 pro testování H0:  = 75 proti H1:  > 75.
Příklad 11.30. Necht' X1, . . . , Xn je náhodný výběr z rozdělení N(, 16). Na-
lezněte rozsah výběru n a stejnoměrně nejsilnější test hypotézy H0:  = 25 proti
alternativě H1:  < 25 se silofunkci () takovou, že přibližně platí (25) = 0, 1
a (23) = 0, 9.
Příklad 11.31. Necht' X1, . . . , Xn a Y1, . . . , Yn jsou náhodné výběry z nezávislých
rozdělení N(1, 3), resp. N(2, 4).
a) Ukažte, že věrohodnostní poměr pro testování H0: 1 = 2, 3 = 4 proti
všem alternativám je tvaru
n
i
=1
(xi - x)2
/n
n/2 m
i
=1
(yi - y)2
/m
m/2
n
i
=1
(xi - u)2 +
mi
=1
(yi - u)2
(
m + n)
(n+m)/2
,
kde u = (nx + my)/(n + m).
51

b) Ukažte, že test poměrem věrohodnosti pro testování H0: 3 = 4, bez pod-
mínky pro 1 a 2, proti H1: 3 = 4, bez podmínky pro 1 a 2, může být
založen na náhodné veličině
F =
ni
=1
(Xi - X)2
/(n - 1)
ni
=1
(Yi - Y )2/(m - 1)
.
Příklad 11.32. V osudí se nachází velký počet černých a bílých kuliček, které
jsou hmatem nerozlišitelné. Předpokládáme, že počet černých a bílých kuliček je
stejný. Tuto hypotézu přijmeme, jestliže při vytáhnutí 80 kuliček mezi nimi bude
30­40 černých kuliček. Jaká je pravděpodobnost chyby 1. druhu?
Příklad 11.33. K ověření neutrální reakce vody bylo odebráno 9 vzorků. Na Ph-
metru byly zjištěny hodnoty 7,2 7,09 6,92 7,18 6,79 6,98 6,86 7,18 7,16. Kolísání
zjištěných hodnot můžeme vysvětlit jednak nehomogenitou vody, z níž bereme
vzorky (jiných 9 vzorků by nejspíš dalo jiných 9 hodnot) a také nepřesností přís-
troje. Základní soubor představuje všechny možné vzorky vyšetřovaného vodního
zdroje kombinované se všemi možnými náhodnými chybami měření.
Testujte hypotézu, že střední hodnota měřené veličiny je rovna hodnotě 0 = 7
(reakce je skutečně neutrální a přístroj nemá systematickou chybu) proti obou-
stranné alternativě.
Příklad 11.34. U 12 pacientů byl zjištěn krevní tlak vždy před podáním (Y ) a dvě
hodiny po podání (Z) farmaka. Zajímá nás, zda léčivo skutečně způsobuje snížení
krevního tlaku. O veličině X = Y - Z můžeme předpokládat, že má normální
rozdělení N(, 2
). Získané výsledky pokusu jsou uvedeny dále. Užijte hladinu
významnosti  = 0, 05 a testujte hypotézu H0:   0 proti alternativě H1:  > 0.
Y 125 126 138 117 143 128 146 133 127 135 126 131
Z 120 124 130 118 140 128 140 135 126 130 126 127
X 5 2 8 -1 3 0 6 -2 1 5 0 4
Příklad 11.35. Sestrojte 95% oboustranný interval spolehlivosti pro rozptyl nor-
málně rozdělené náhodné veličiny na základě údajů z náhodného výběru 42, 48,
60, 43, 36, 50, 52, 38, 56, 45.
Příklad 11.36. Náhodný vektor X spojitých náhodných veličin X1, X2, X3 má
simultánní hustotu pravděpodobnosti
f(x) =
2
27
x3(x1 + x2) 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 2, 0 < x3 < 3,
0 jinak.
Určete kovarianční matici cov(X).
52

Příklad 11.37. Velkoobchod dostává balíčky sušenek, o jejichž hmotnosti může-
me předpokládat, že má normální rozdělení s neznámou střední hodnotou a smě-
rodatnou odchylkou  = 5[g]. Z velké dodávky, která má být kontrolována, bylo
náhodně vybráno 30 balíčků, u nichž byla zjištěna průměrná hmotnost X =
150, 4[g]. Určete, v jakých mezích lze očekávat střední hmotnost balíčku, jestliže
požadovaná spolehlivost odhadu je 0,95.
Příklad 11.38. Hmotnost výrobku má normální rozdělení. Přesným měřením byl
kontrolován údaj o hmotnosti na obalu výrobku. Výsledky (skutečná váha minus
udaná váha v gramech):
a) -2,-4, -3, -6, -5;
b) -2, -4, -3, -6, -20.
Svědčí výsledky o tom, že udaná hmotnost je zkreslena v neprospěch odběratele
( = 0, 05)? Vysvětlete případný rozdíl mezi výsledky obou variant příkladu.
Příklad 11.39. 11 stejně starých selat bylo náhodně rozděleno do dvou skupin.
Do první skupiny jich připadlo 6 a tato selata byla krmena dietou A, ve druhé
skupině jich bylo 5 a byla krmena dietou B. Po šesti měsících byly vypočteny
průměrné denní přírůstky v dkg. Byly získány tyto výsledky: Dieta A: 62, 54, 55,
60, 53, 58; dieta B: 52, 56, 49, 50, 51. Je třeba zjistit, zda jsou obě diety stejně
efektivní.
53

Literatura
[1] Anděl, J.: Matematická statistika. SNTL, Praha, 1987.
[2] Berry, D. A., Lindgren, B. W.: Statistics: Theory and Methods. Brooks/Cole
Publishing company, Pacific Grove, California, 1990.
[3] Dorogovcev, A. J., Silvestrov, D. S., Skorochod, A. V., Jadrenko, M. I.: Teo-
rija věrojatnostěj. Višča škola, Kijev, 1980.
[4] Feller, V.: An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vo-
lume I. Ruský překlad: Izdatelstvo Mir, Moskva, 1967.
[5] Hogg, R. V., Craig, A. T.: Introduction to Mathematical Statistics. Macmillan
Publishing Co., Inc., New York, 1978.
[6] Jemeljanov, G. V., Skitovič, V. P.: Zadačnik po teorii věrojatnostěj i ma-
tematičeskoj statistike. Izdatelstvo Leningradskovo universitěta, Leningrad,
1967.
[7] McClave, J. T., Dietrich, F. H.: Statistics. Macmillan Publishing Co., Inc.,
New York, 1991.
[8] Rényi, A.: Teorie pravděpodobnosti. Academia, Praha, 1972.
[9] Seber, G. A. F.: Linear Regression Analysis. Ruský překlad: Izdatelstvo Mir,
Moskva, 1980.
[10] Seitz, J.: Úvod do počtu pravděpodobnosti. UK, Praha, 1968.
[11] Svešnikov, A. A.: Sbírka úloh z teorie pravděpodobnosti matematické statis-
tiky a teorie náhodných funkcí. SNTL, Praha, 1971.
54