Link: OLE-Object-Data 3. Teorie produkce Teorie produkce, jako další z typických oblastí, v níž matematické nástroje slouží k formalizaci mikroekonomické teorie, analyzuje chování typického výrobního ekonomického subjektu (firmy), který usiluje o racionální fungování výrobního procesu v tržním prostředí, kde ceny výrobních faktorů, popř. i výrobků jsou specifikovány mimo vůli výrobce, jsou tedy považovány za exogenní veličiny. Soubor výrobních faktorů v rámci uvažované technologie (souborů výrobních postupů, zkušeností, informací, know-how) vede k dosažení určité úrovně výroby (výstupu, outputu). Výrobce usiluje o maximalizaci ziskové stránky výroby tzn. maximalizuje rozdíl mezi objemem tržeb z prodaných výrobků na jedné straně a s výrobou souvisejícími výrobními náklady tj. náklady na pořízení výrobních faktorů nezbytných pro zajištění výroby. V prvé části teoretické analýzy výrobního procesu ponecháme stranou cenová hlediska a soustředíme se toliko na "technologickou" stránku výrobního procesu. Popíšeme - pomocí několika pro tento účel vhodných matematických funkcí - elementární vlastnosti, které charakterizují abstraktně chápaný výrobní vztah, jímž se transformují výrobní faktory v rámci dané technologie do hodnoty celkové produkce. Tento vztah se nazývá produkční funkcí. Teprve později k tomuto připojíme analýzu cenově-nákladové stránky výroby, abychom mohli blíže zkoumat zákonitosti, které v uvedeném prostředí platí mezi uvažovanými ekonomickými kategoriemi. Jak uvidíme, určitá jejich část představuje obdobu ekonomických funkcí, se kterými jsme se setkali v prostředí analýzy spotřebitelské poptávky. 1.1 Produkční množiny, produkční funkce V této části zavedeme základní pojmový aparát umožňující na základě množinových kategorií (tzv. produkčních množin vstupů a produkčních množin výstupů) zavést pojem produkční funkce. Pojem vystihuje výrobní vztahy v naturálním pojetí, bez nutnosti zavedení cenových vektorů (výrobních činitelů, resp. výrobků). Produkční funkce, kterou zde zavedeme, tedy nemusí být výchozím fundamentálním pojmem. případě vícerozměrných vektorů výstupů (případ tzv. sdružené produkce joint production) by však bylo zapotřebí uplatnit složitější analytický aparát ( tzv. produkční korespondence, či produkční relace) který překračuje rámec aktuální potřeby výkladu. Níže uvedené pojmy poprvé důkladně vyšetřoval počátkem 50.let americký matematický ekonom prof. Ronald W.Shephard, který při teoretické analýze elementárních vlastností produkčních vztahů dospěl k možnosti axiomaticky popsat strukturu vlastností produkčních množin. Definice 1 Uvažujeme-li konkrétní hodnotu velikosti produkce , pak pro danou technologii je příslušná produkční množina vstupů definována jako množina kombinací všech výrobních faktorů, s nimiž lze v dané technologii dosáhnout produkce . Jestliže této technologii odpovídá konkrétní produkční funkce , lze vyjádřit jako: (1.1) Protože však v produkční množině vstupů budou, jak patrno, obsaženy i neefektivní kombinace vstupních výrobních faktorů (ty jsou přítomny ve větších množstvích, než je nezbytně nutné k dosažení produkce ) , je účelné se v některých směrech analýzy zaměřit pouze na hraniční body množiny nebo její část. Proto zavedeme následující definice : Definice 2 Izokvanta (na hladině produkce ^ ) produkční množiny vstupů je definována jako: (1.2) pro skalární Jde tedy o množinu hraničních bodů produkční množiny vstupů, vymezující takové kombinace výrobních faktorů, které jsou v níže uvedeném smyslu právě postačující pro dosažení produkce na úrovni . Izokvantu lze ve vztahu k produkční funkci chápat jako obdobu indiferenční křivky vůči užitkové funkci z předchozí části. Jinak se ale produkční funkce vzhledem k objektivní možnosti měřit velikost produkce (peněžně i naturálně) od užitkové funkce liší právě svým kardinálním vymezením. Definice 3 Účinná (efektivní) podmnožina produkční množiny vstupů je množina vymezená definicí (1.3) avšak Je patrné, že účinná podmnožina reprezentuje takové varianty nasazení výrobních faktorů, při kterých jsou tyto faktory vynakládány právě v minimálních nutných množstvích. Abychom si lépe uvědomili rozdíl mezi izokvantou a účinnou podmnožinou (téže produkční množiny vstupů ), všimněme si, že bod (tzn. kombinace výrobních faktorů) leží na izokvantě právě tehdy, neexistuje-li žádný jiný bod , který by byl jeho proporčním zmenšením (ležel by tedy na polopřímce spojující počátek souřadnic s bodem nacházejícím se na izokvantě) a který by rovněž na této izokvantě ležel. Naproti tomu bod účinné podmnožiny produkční množiny vstupů nemůže být "zmenšen" v žádném směru rovnoběžném s osami souřadnic (aby tímto zmenšením získaný jiný bod ještě ležel v účinné podmnožině). Je očividné, že bod účinné podmnožiny musí být nutně bodem izokvanty, pokud jsou produkční množiny vstupů konvexní útvary.Opačně tomu tak být nemusí. Jako příklad může sloužit [ obrázek č. 3.1A , v němž se pro možnost grafického vyjádření omezíme na dva výrobní faktory : práci L zobrazenou na vodorovné ose a kapitál K na svislé ose. Množiny bodů (výrobních faktorů) odpovídajících hodnotám produkce o velikosti y^o, y^1, y^2, nám vytvářejí soustavu izokvant I[1], I[2], I[3] ..... Na obrázku 3.1B, lze zřejmě v bodě A dosáhnout úspory nákladů snížením množství výrobního faktoru K (čímž se dostaneme do až bodu A´ ležícího na téže izokvantě y^1), zatímco téhož nelze docílit v bodě účinné B podmnožiny E(y^1), kde pohyb jakýmkoliv "úsporným" směrem (při snížení kteréhokoliv z výrobních faktorů K nebo L) nutně vede k opuštění účinné podmnožiny na hladině y^1. Jiným příkladem jsou body C a D izokvanty tzv. Leontiefovy produkční funkce obrázku 3D: zatímco v bodě C lze snadno zmenšením množství faktoru K o DK dosáhnout úspornější (méně nákladné) faktorové kombinace, nelze téhož dosáhnout v bodě D, v němž se současně nabývá minima pro oba výrobní faktory (při daných pevných technologických koeficientech určujících sklon polopřímky OD ). Jak je patrné, v bodě D k témuž cíli nevede ani snížení faktoru L (Bod D zde představuje jednoprvkovou účinnou podmnožinu na hladině produkce y^1). Jednou z typických vlastností produkční množiny vstupů je její konvexnost, která vyjadřuje možnost připuštění technologií dělitelných v čase. Jestliže dva různé body , náleží do , pak lze produkce dosáhnout tak, že po dobu používáme faktory v kombinaci a po zbývající časový úsek v kombinaci . Stejně jako vymezuje vztahem (1.1) produkční funkce soustavu produkčních množin vstupů, lze také obráceně pomocí posloupnosti produkčních množin vstupů s vhodnými vlastnostmi definovat produkční funkci vztahem (1.4) Produkční funkce je takto definována jako maximální dosažitelný výstup pro danou množinu výrobních faktorů . K vlastnostem, které musí množinový systém L( y ^j ), j = 1, 2, .... , ... splňovat , patří mj. jejich uzavřenost, konvexnost pro každou úroveň produkce y^j , prázdný průnik těchto množin při (tj. při neomezeně rostoucí produkci) j (r) YEN 1.2 Vlastnosti obecné produkční funkce Jednotlivé axiomy R.W.Shephardem zavedené soustavy pro produkční funkci jsou: (P1) ; tj. hodnototvorný výrobní proces může být realizován pouze s kladnými hodnotami (alespoň některých) výrobních faktorů. (P2) je konečná reálná a nezáporná funkce proměnných při jakýchkoliv konečných hodnotách výrobních faktorů vzatých z nezáporných definičních oborů pro všechna . (P3) je neklesající funkce v každé své proměnné. Přidáním množství kteréhokoliv výrobního faktoru nemůže dojít k poklesu produkce. Připouští se však, že mezní produktivita určitého faktoru v dané výrobní situaci může být nulová, tzn. že ne ve všech případech musí vést zvýšení množství výrobního faktoru k růstu produkce. (P4) Existuje-li taková kombinace výrobních faktorů nebo , že pro nějaké skalární , pak Předpoklad charakterizuje vlastnost neomezeného růstu produkce, jestliže proporčním způsobem zvětšujeme množství faktorů v kombinaci, která poskytuje nenulový výnos. To např. vylučuje uplatnění (jako produkčních) funkcí, které jsou rostoucí, avšak jejichž degresívní růst je limitován shora asymptotou y = konst. (jako je např. v jednorozměrném případě funkce F(x) = arctg (x) ). (P5) je shora polospojitá funkce v celém definičním oboru. Vzhledem k předpokladu (P3) lze ekvivalentně mluvit o polospojitosti zprava. Vlastnost upřesníme definicí z matematické analýzy : Funkce je polospojitá shora (tj. je-li neklesající, zprava) v bodě , jestliže pro každé existuje okolí taková, že pro všechna platí . Pro uvažované výrobní situace to znamená, že za určitých okolností může dojít ke skokovitému růstu produkce (při přidání "nepatrně malého" množství některého z výrobních činitelů). Vlastnost koresponduje s připuštěním "kvalitativních změn v technologii" majících příčinu např. v technických inovacích (spíše tedy půjde o změny na straně výrobních faktorů charakteru kapitálu či technického pokroku než na straně práce či surovin). (P6) je kvazikonkávní funkce v celém definičním oboru. Formálně vyjádřeno platí nerovnost (1.5) pro libovolnou dvojici bodů , z definičního oboru produkční funkce a pro libovolné z intervalu . Tato vlastnost je přímým důsledkem konvexnosti produkčních množin vstupů a garantuje udržení produkce v bodech při přechodu mezi dvěma faktorovými kombinacemi , alespoň v té výši, která odpovídá méně produktivní faktorové kombinaci. Vlastnost připouští racionální využití "technologií dělitelných v čase" , kdy během časového intervalu délky jsou faktory nasazeny v kombinaci po dobu a po zbývající dobu jsou nasazeny v množstvích . Pokud tyto kombinace vedou k hodnotám produkce resp. , je zaručeno, že během časového intervalu délky 1 produkce neklesne pod menší z hodnot v krajních bodech. Konečně poslední vlastností, která se váže nikoliv přímo k produkční funkci, nýbrž k účinné podmnožině , je tzv. asymetrický Shephardův axiom: (P7*) Účinná podmnožina produkční množiny vstupů je ohraničená pro jakoukoliv hodnotu produkce . Znamená to, že množiny jako účinné části izokvant jsou ohraničené křivky. Uvedený axiom se nazývá asymetrický mj. proto, že jeho platnost není vyžadována pro analogicky k zkonstruované produkční množiny výstupů reprezentující takové kombinace výrobků, které jsou variantně dosažitelné pomocí pevné kombinace výrobních faktorů x^0 . Jak však uvidíme dále, dost podstatná část analytických funkčních tvarů užívaných k popisu produkčních vztahů jako produkční funkce, tento asymetrický axiom nesplňuje. Na obrázcích 3B, 3C, 3D jsou, jak patrno účinné podmnožiny omezené křivky (u 3D jde o body, tedy o jednoprvkové množiny), zatímco na obrázku 3A účinné podmnožiny ohraničené nejsou (k souřadnicovým osám se izokvanty a tedy i účinné podmnožiny blíží pouze asymptoticky, aniž se jich v konečných hodnotách druhého faktoru dotknou.).