Link: OLE-Object-Data 2 Dvoufaktorová diferencovatelná produkční funkce a její charakteristiky V dalším úseku výkladu o produkčních funkcích záměrně učiníme dva dočasné předpoklady: Jednak budeme předpokládat - z důvodu matematické výhodnosti umožňující operovat s alespoň prvními dvěma parciálními derivacemi produkční funkce , že : (a) Produkční funkce je dvakrát spojitě diferencovatelná, tzn. pro její analytický tvar existují všechny spojité parciální derivace aspoň do druhého řádu včetně, jednak se (b) Omezíme na analýzu produkční funkce, která má pouze dva výrobní faktory/argumenty : v definicích i při značení uplatníme dva typické výrobní faktory, a to práci a kapitál . Řekněme hned v úvodu, že dvojí spojitá diferencovatelnost produkční funkce nevyplývá bezprostředně z žádných elementárních vlastností produkčních množin (vstupů ani výstupů) a že pro některé z dále definovaných pojmů (např. pro mezní produktivity) by bylo možno rovnocenně zavést jejich "konečně malé " ekvivalenty. V takovémto případě bude tedy mít (dvakrát spojitě diferencovatelná) produkční funkce obecný tvar , kde vyjadřuje kapitál, práci a písmena řecké abecedy (počínaje ) příslušné parametry produkční funkce. Počet i umístění těchto parametrů bude záviset na tvaru konkrétní nelinearity, kterou použijeme k popisu technologie odpovídající produkční funkci . Definice 5 První parciální derivace produkční funkce podle každého výrobního faktoru vyčíslená v některém pevném bodě faktorového prostoru je nazývána mezní (marginální) produktivita výrobního faktoru (tj. práce nebo kapitálu) v tomto bodě. Mezní produktivity budeme značit (2.1) Přirozeně, každá mezní produktivita může být podstatnou měrou závislá na faktorové kombinaci , v níž je vyčíslována. Podle předpokladu o neklesající produkční funkci v obou faktorech je mezní produktivita každého výrobního faktoru vždy nezáporná. Připouští se tedy možnost dosažení určité saturační úrovně "užitečnosti" některého výrobního faktoru, po jejímž překročení se produkce již dále nezvyšuje. Z mikroekonomické reality lze zajisté jmenovat případy, kdy po nabytí jisté optimální úrovně určitého výrobního faktoru mezní užitek neroste či dokonce klesá. Takovéto případy (související zpravidla s technickou, nikoliv ekonomickou stránkou výrobního procesu) však zde nepřipouštíme . Definice 6 Součin mezní produktivity výrobního faktoru a velikosti tohoto faktoru nazýváme účast faktoru na produkci (zkráceně jen účast) a značíme [ ]. Formálním zápisem tedy (2.2) Účast lze považovat - obrazně řečeno -- za hodnotový příspěvek příslušného faktoru k hodnotě produkce. Je přímo úměrná jednak nasazenému množství faktoru, jednak mezní produktivitě faktoru. Pojem účasti faktoru na produkci -- jak níže ukážeme -- nabývá zásadní důležitosti v souvislosti s lineární homogenitou produkční funkce. Pokud je produkční funkce lineárně homogenní, lze na základě platnosti Eulerovy věty hodnotu produkce (uvažujeme-li pouze dva výrobní faktory) zapsat jako (2.3) nebo také stručněji (2.3A ) V tomto případě lze provést úplný aditivní rozklad funkční hodnoty na jednotlivé faktorové účasti. Význam obou těchto veličin je patrný přímo z jejich definice : veličina nám podává informaci o tom, o kolik % se zvýší produkce, jestliže se množství rozklad produkce na účasti jednotlivých výrobních faktorů. Zobecnění (2.3A) pro vícefaktorovou produkční funkci je zřejmé. Definice 7 Podíl relativní změny produkce a relativní změny některého výrobního činitele nazýváme koeficient pružnosti (elasticity) produkce vzhledem k práci resp. kapitálu. V zápise tedy (2.4) použitého kapitálu zvýší o 1%. Totéž platí, mutatis mutandis, pro koeficient pružnosti . Oba koeficienty pružnosti jsou bezrozměrné veličiny, které popisují citlivost celkové produkce vůči individuálnímu přínosu každého z obou výrobních faktorů. Uvažujme dále, že u dvoufaktorové produkční funkce budeme proporčně zvyšovat množství dosazovaných výrobních faktorů, tj. každý z argumentů vynásobíme hodnotou . Potom podle charakteru vývoje produkce při této proporční změně rozlišíme tři základní možnosti : Definice 8 Jestliže pro libovolná a bude platit nerovnost a) , kde , řekneme, že produkční funkce vykazuje klesající výnosy z rozsahu výroby. V případě, že platí b) , při , řekneme, že jde o produkční funkci s konstantními výnosy z rozsahu výroby. Pokud c) , kde , řekneme, že produkční funkce se vyznačuje rostoucími výnosy z rozsahu výroby. Poznámka 1 Empirické prověření, zda v reálné výrobní situaci platí případ a), b) nebo c), je omezeno na určité rozmezí hodnot . Je-li produkční funkce popsána analytickým funkčním tvarem (např. dvoufaktorovou mocninnou funkcí), předpokládá se tímto zpravidla zařazení této produkční funkce mezi některý z uvedených tří případů pro libovolné , což s předchozím nemusí korespondovat. Poznámka 2 Specifičtějším indikátorem vyšetřování závislosti růstu produkce na proporčním zvyšování výrobních faktorů je homogenita produkční funkce, která ovšem předpokládá přesněji vymezený typ závislosti růstu produkce na zvětšování . Pouze v případě konstantních výnosů z rozsahu produkce, tj. případ b) , se tato situace kryje s dále zavedeným pojmem lineární homogenity (též homogenity 1. stupně). Definice 9 Produkční funkci nazveme homogenní -tého stupně, jestliže pro libovolná dosazení výrobních faktorů z faktorového prostoru a libovolné kladné platí (2.5) pro nějakou konstantu , jejíž přípustný rozsah je zpravidla zdola omezen hodnotou . V případě, že , mluvíme o lineárně homogenní (produkční) funkci. Homogenní funkce tvoří důležitou třídu mezi produkčními funkcemi. Jednou z vlastností lineárně homogenní funkce je např. ta, že vedeme-li polopřímku (paprsek) z počátku souřadnic napříč faktorovým prostorem, pak tečny k izokvantám vedené v bodech, kde tento paprsek protíná jednotlivé izokvanty, jsou navzájem rovnoběžné. Definice 10 Podíl dvou mezních produktivit , v některém bodě faktorového prostoru se nazývá mezní (marginální) míra substituce mezi prací a kapitálem . Budeme ji značit ( 2.6) Jak je z definice 10 patrno, mezní míra substituce je ve vztahu k pořadí výrobních faktorů reciproká, tzn. obrátíme-li postavení práce a kapitálu v substitučním vztahu, obdržíme převrácenou hodnotu původní . Podotkněme, že hodnota mezní míry substituce může silně záviset na tom, ve kterém bodě faktorového prostoru ji vyčíslujeme. Pro mezní míru substituce platí stejně jako v případě užitkové funkce vztah : ( 2.6A) , jehož vyvození je taktéž zcela shodné se zmíněným případem :. Předpokládejme, že máme přírůstek produkce aditivně rozdělen do dvou dílčích vlivů. V souladu s přijatým rozkladem totálního diferenciálu pišme : přičemž pro zkrácení notace pišme obě parciální derivace jako resp. . Při pohybu po izokvantě nedochází ke změně velikosti produkce, platí tedy . Odtud tedy : Zde tedy vidíme, že mezní míru substituce můžeme formulovat v pojmech parciálních derivací stejně dobře jako v pojmech konečných přírůstků (úbytků) výrobních faktorů při pohybu po izokvantě. Definiční výraz (2.6) může sloužit k přímému výpočtu mezní míry substituce, známe-li analytický tvar produkční funkce, zatímco přednost vyjádření (2.6A) spočívá v možnosti přiblížit charakteristiku graficky v prostředí izokvant produkční funkce. Záporné znaménko v (2.6A) vystihuje skutečnost, že substituce (s udržením na téže izokvantě) znamená zvýšení množství K jako nutnou kompenzaci při snížení L resp. vice versa. Poznámka 1 Definování mezní míry substituce jako podílu [ ]je - co do vyjádření, která mezní produktivita má být v čitateli a která ve jmenovateli výrazu- věcí konvence. Stejně dobře bychom mohli užít i "reciproké" definice . Podobně je to i se znaménkem, kdy se někdy přisuzuje výrazu [ ]záporná hodnota, a naopak podíl je brán jako kladné číslo. Zde preferujeme kladnost a zápornost podílu diferenciálů -- při pohybu po izokvantě jde vždy o přírůstek jednoho a úbytek druhého výrobního faktoru (jsou-li jen dva). Poznámka 2 V případě faktorové produkční funkce bychom mohli analogickým způsobem zavést všech "mezních měr" substituce. Polovina z nich by ovšem byla reciprokou hodnotou příslušného protějšku. Mezní míra substituce je - jak už bylo zmíněno - veličinou, která je velmi citlivá na to, ve kterém bodě faktorového prostoru ji vyčíslujeme. Jestliže se podíváme na obrázek č.[ . ] , zaznamenáme, že v bodě (s velkou hodnotou a malou , tzn. s malým podílem ) je velikost [ ]malá. Naproti tomu v bodě charakterizovaném vysokou hodnotou faktoru a malou faktoru bude situace přesně opačná, tzn. bude mít vysokou hodnotu. Mezní míra substituce je tedy nevhodná jako globální kvantitativní charakteristika pro vyjádření substitučnosti dvou faktorů u produkční funkce. Její hodnota - třeba i při pohybu po izokvantě konstantní produkce - se velmi znatelně mění, přičemž silně závisí na proporci použití obou výrobních faktorů . V souvislosti s tímto problémem si lze položit otázku, zda je možné, aby při pohybu po izokvantě odpovídající nějaké pevné hodnotě produkce zůstala mezní míra substituce stále stejná. Odpověď na ni je snadná (a kladná), pokud uvážíme, že bude konstantní při konstantních mezních produktivitách výrobních faktorů (touto vlastností se ovšem vyznačuje právě lineární produkční funkce). Lineární produkční funkce vystihuje tedy "perfektní substitučnost" mezi výrobními faktory. Toto chápání "dokonalosti" však nesmíme zaměňovat s perfektností ve smyslu úplné nahraditelnosti jednoho výrobního faktoru druhým. I touto vlastností, která souvisí s tzv. podstatností výrobního faktoru -- viz část [4] - se totiž lineární produkční funkce (zdaleka ne ovšem sama) vyznačuje. S ohledem na výše řečené bude tedy pro vyjádření substitučnosti mezi výrobními faktory zajisté užitečné mít k dispozici dokonalejší charakteristiku, která by potlačila vysokou závislost mezní míry substituce na poloze uvažovaného bodu ve faktorovém prostoru, resp. na hodnotě podílu . Takovou vhodnou míru zavedeme následující definicí : Definice 11 Pružností (elasticitou) substituce nazýváme relativní změnu podílu faktorů vůči relativní změně mezní míry substituce . Vyjádřeno formálně tedy : (2.7) Jestliže použijeme stručnějšího vyjádření, např. , pak lze [ ]psát jako (2.7A) Tato charakteristika tedy vyjadřuje substituční vztah mezi dvěma faktory "nezávisle" na tom, na jakém místě izokvanty se vyšetřovaný bod (faktorová kombinace) nachází. I zde má smysl uvažovat otázku, zda existuje nějaká třída produkčních funkčních tvarů, pro které platí, že pružnost substituce je během pohybu po celé izokvantě konstantní. Odpověď na tuto otázku je kladná. Produkční funkce s touto vlastností se nazývají CES-produkční funkce (převzato z anglického "Constant Elasticity of Substitution " ) a lze je vymezit konkrétním analytickým tvarem. Seznámíme se s nimi v části [ 3 ] . Pružnost substituce je zajímavou vlastností, která charakterizuje snadnost, se kterou lze jeden výrobní faktor nahradit druhým (v našem případě práci kapitálem), aniž se změní hodnota dosažené produkce (v technologickém prostředí představovaném produkční funkcí ). Poznámka 3 Pružnost substituce, tak jak je zavedena definicí (2.7), není vhodná pro výpočetní účely, neboť z ní není zřejmé, jak lze určit z analytického tvaru produkční funkce (např. dvakrát spojitě diferencovatelné). Někdy, jako např. u Cobb-Douglasovy [3.1] nebo ACMS-funkce [3.3] , lze k výpočtu využít vhodných účelových obratů, které však nejsou proveditelné u jiných funkčních tvarů. Proto uvedeme vzorec, který umožňuje pružnost substituce vypočítat pro libovolnou (dvakrát spojitě diferencovatelnou) dvoufaktorovou produkční funkci. VĚTA 1 Má-li dvoufaktorová produkční funkce s výrobními faktory práce a kapitál všechny parciální derivace spojité až do druhého řádu včetně, pak lze pružnost substituce mezi oběma těmito faktory vyjádřit vzorcem (2.8) , kde , , , , Důkaz: provedeme přímým odvozením tohoto vzorce z definičního vztahu (2.7) ve třech krocích: 1) Ve výrazu (2.7) nejprve vyjádříme diferenciální člen na základě pravidla o rozkladu diferenciálu podílu : (2.9) Výpočtem obou parciálních derivací v souladu s pravidly o derivování zlomků dospějeme k výrazům : . Celý výraz v čitateli (2.7) je tedy roven a po jeho vydělení tedy dostáváme Zde jsme opětovně využili vztahu 2) Nyní přistoupíme k obdobným úpravám u jmenovatele ve výrazu (2.7). Nejdříve rozložíme diferenciál podílu na dva členy, z nichž každý je součinem parciální derivace podle, resp. a diferenciálu příslušného argumentu (výrobního faktoru) . Dostaneme (2.10) Nyní vyčíslíme hodnoty obou parciálních derivací na pravé straně a dosadíme do (2.10) . Dostaneme (2.11) a následně Dalšími úpravami pravé strany výrazu (2.11) dostáváme : [ ] , kde jsme opět čitatele i jmenovatele pravé strany vydělili a využili vztahu . Navazující úpravy pak postupně vedou k výrazům 3) Souhrnně lze tedy výraz pro pružnost substituce zapsat ve tvaru což po dalších úpravách (křížovém zkrácení a ) vede k cílovému výrazu (2.12) Toto vyjádření obsahuje - vedle dosazovaných množství výrobních faktorů a - toliko parciální derivace produkční funkce a může být tedy vypočtena pro libovolnou produkční funkci. y . Poznámka 4 Jak patrno, znaménko výrazu (2.12) určuje -- při kladnosti všech ostatních -- jmenovatel druhého zlomku, tj. výraz . Obdobně jako u užitkové funkce lze tento výraz zapsat jako kvadratickou formu (v "proměnných" ) s maticí koeficientů obsahující druhé parciální derivace produkční funkce Z tohoto vyjádření je zřejmé, že zápornou hodnotu zmíněný výraz ( podmiňující kladnou velikost ) nabude tehdy, jestliže matice kvadratické formy bude negativně definitní. Kvazikonkávnost produkční funkce je tedy opět vlastností, která zajišťuje, že pružnost substituce mezi výrobními faktory je (při kladných mezních produktivitách) kladná hodnota. Poznámka 5 V pracích některých autorů se lze setkat s "reciprokou" definicí pružnosti substituce, tzn. [ ]je pojímána jako podíl relativní změny mezní míry substituce a relativní změny faktorového podílu . V tomto případě bude výraz pro [ ]převrácenou hodnotou ( 2.7) . Výraz (2.12) pro lze vyjádřit ve více ekvivalentních tvarech . Jeden z užívaných uvádí následující Lemma 1 Vzorec (2.12) lze vyjádřit ve tvaru (2.13) Ověření: Definiční výraz (2.12) upravíme tím způsobem, že jeho čitatel i jmenovatel vydělíme výrazem . Dostaneme Hledaný výraz již okamžitě dostaneme úpravami znamének ve jmenovateli. * . Pro tři a více výrobních faktorů již není jednoznačné vodítko, jak "přirozeně" definovat pružnost substituce mezi každými dvěma z nich. Nejčastěji se lze setkat s "přímou" pružností substituce [McFadden 1963] označovanou DES a s Allenovou parciální pružností substituce [Allen 1938] značenou AES. Přímá pružnost substituce mezi j-tým a k-tým faktorem je přímým zobecněním dvoufaktorové pružnosti substituce (nemění-li se množství ostatních faktorů), tedy (2.14) ( opět 0 < < YEN ) Allenova parciální pružnost substituce měří změnu v poptávce firmy po tém výrobním faktoru při dané změně ceny faktoru ( opět za podmínky ceteris paribus tj. při konstantních cenách všech ostatních faktorů). Kontext jejího užití tedy vyžaduje vzetí do úvah cenových aspektů (byť ceny definice přímo neobsahuje) : ( 2.15) kde je determinant a [ ]je algebraický doplněk k prvku ležícímu na průsečíku tého řádku a tého sloupce matice vytvořené (stejně jako matice v teorii užitku) z prvních a druhých parciálních derivací (tentokrát) produkční funkce . Hodnota [ ]může být -- na rozdíl od -- také libovolně záporná. S ohledem na definici prvků v této matici bude i matice pružností mezi jednotlivými faktory symetrická : [ ]. VĚTA 2 ( Eulerova ) Nechť je lineárně homogenní (produkční) funkce proměnných. Potom lze tuto funkci zapsat ve tvaru : ( 2.16) , kde je první parciální derivace v bodě . důkaz: Z homogenity funkce vyplývá pro libovolné platnost vztahu : Derivujme nyní levou stranu tohoto vztahu podle . Dostaneme (podle pravidla o derivaci složené funkce) ( 2.16A) Pravá strana po analogické derivaci nabude tvar ( 2.16B) Nyní porovnáme pravé strany (2.16A) a (2.16B) a uplatníme vlastnost lineární homogenity: Vzhledem k tomu, že totožnost obou těchto pravých stran platí (dle předpokladu o lineární homogenitě ) pro libovolné , položíme ve výrazu ( 2.16A) . Obdržíme tak z čehož plyne platnost dokazovaného tvrzení. y . Uvedená věta, užívaná též v řadě jiných oblastí matematických aplikací, je velmi důležitá. Ukazuje, že za předpokladu lineární homogenity je možné přesně rozložit funkční hodnotu do členů (součinů množství faktoru a příslušné mezní produktivity), tzn. vyjádřit tuto funkční hodnotu aditivně jako součet faktorových účastí. Jak dále uvidíme, řada funkcí užívaných v teorii produkce (např. Cobb-Douglasova funkce s jedničkovým součtem mocninných parametrů), má vlastnost lineární homogenity, takže je taková dekompozice proveditelná. U funkcí nesplňujících tuto vlastnost je takový rozklad uvažovatelný nanejvýš přibližně. Další věta ukáže, že hodnotu pružnosti substituce lze u produkčních funkčních tvarů, které jsou homogenní 1.stupně, vyjádřit podstatně jednodušeji než vzorcem uvedeným ve větě 1 : VĚTA 3 Nechť je dvoufaktorová produkční funkce lineárně homogenní. Pak lze pružnost substituce mezi výrobními faktory vyjádřit u této funkce vztahem (2.17) důkaz: Vyjdeme z obecného vztahu pro pružnost substituce (2.12) mezi faktory práce a kapitál. (2.12) Z Eulerovy věty vyplývá pro lineárně homogenní (produkční) funkci platnost vztahu Jestliže tento aditivní rozklad zderivujeme podle obou argumentů, dostaneme Poněvadž dále a , obdržíme po eliminaci na obou stranách zjednodušení (2.18) Zcela analogicky ( jako parciální derivaci podle ) obdržíme Ze stejných důvodů jako dříve získáme po eliminaci na levé i pravé straně (2.19) Nyní z (2.17),(2.18) vyjádříme druhé parciální derivace , pomocí : a podobně a obojí dosadíme do výrazu pro (2.12) Úpravou jmenovatele (vynásobením a vytknutím ) a po zkrácení dále dostaneme (2.20) Dále si všimněme, že druhá mocnina výrazu pro dává podle Eulerovy věty vztah , tedy výraz obsažený v závorce jmenovatele. Odtud už snadno - krácením - dostaneme dokazovaný tvar (2.17) y . Dva jednoduché příklady Příklad 1 Dvoufaktorová lineární produkční funkce tvaru ( 2.21) (při , ) , je-li užita jako produkční, nemůže obsahovat konstantní člen (jinak by zřejmě neplatilo ). Odtud vyplývá restrikce . Tato funkce má a) mezní produktivity přímo rovny parametrům, tj. [ ]a b) koeficienty pružnosti produkce vzhledem ke kapitálu a vzhledem k práci. Koeficienty pružnosti se tedy mění (přímo úměrně) s růstem každého výrobního faktoru. c) účast kapitálu na produkci , podobně účast práce na produkci d) výnosy z rozsahu výroby konstantní (lineární funkce je homogenní stupně ) při . e) mezní míru substituce mezi výrobními faktory rovnou podílu "sklonových" parametrů, tj. a tedy konstantní během celého pohybu po izokvantě konstantní úrovně . f) pružnost substituce neomezeně velkou ( , popř.) Toto konstatování ověříme následovně : Z definice plyne : . Jelikož však ve jmenovateli uvažujeme malou změnu výrazu, který je (i po logaritmování) při pohybu po izokvantě konstantní, má jmenovatel ("přírůstek" konstanty) nulovou hodnotu. Výraz v čitateli má konečnou velikost (je kladný pro , kde podíl a logaritmus je tudíž kladný resp. záporný v opačném případě ), a plynule klesá podél uvažované izokvanty. Též vzhledem k této vlastnosti se lineární funkce k modelování výrobních procesů téměř nepoužívá. Empirické výzkumy totiž ukázaly, že substituce mezi výrobními faktory (a to nejen mezi prací a kapitálem) probíhá obtížněji, než jak by odpovídalo konstantní hodnotě mezní míry substituce u lineární funkce. Příklad 2 Dvoufaktorová ryze kvadratická produkční funkce tvaru (2.22) (při , a opět vynucené restrikci ) má a) mezní produktivity resp. , a tedy závislé na množstvích použitých výrobních faktorů, b) koeficienty pružnosti produkce vzhledem ke kapitálu a vzhledem k práci obdobně . Obě veličiny jsou tedy nelineární funkcí výrobních faktorů (a to i faktoru k danému koeficientu nepříslušejícímu). c) účasti na produkci u kapitálu , podobně u práce d) charakter výnosů z rozsahu výroby vyšetříme velmi snadno : ( 2.23) Pro výsledek představuje (jinak spíše vzácnou) vlastnost rostoucích výnosů z rozsahu výroby. Vztah (2.20) zřejmě prokazuje homogenitu 2.stupně kvadratické produkční funkce. e) mezní míru substituce rovnou podílu (2.24) , po drobné úpravě , kde opět w = K/L . f) pro výpočet pružnosti substituce , kde nelze uplatnit stejný obrat jako u lineární produkční funkce, musíme postupovat dosazením do výpočtového vzorce (2.8 ) : Nejprve dostaneme : , následně po běžných algebraických úpravách dospějeme k výrazu (2.25) Také v tomto případě tedy závisí pružnost substituce na poloze bodu, ve kterém tuto charakteristiku vyčíslujeme (kombinaci faktorů a ). [ ]Kvadratická produkční funkce je s ohledem na některé zmíněné nedostatky používána zřídka. Vedle již zmíněné restrikce nutné k zajištění (P1) totiž nastává problém také s udržením nezápornosti (P2) a s tím, že vzhledem k požadavku daném axiomem ( P3) je akceptovatelná vždy jen část definičního oboru: Navíc pro , není funkce kvazikonkávní.