ESF- PMMAT2 - příklady k procvičení -1- 1. Zobrazte v rovině definiční obory funkcí a)z = ^\-xz-4yz b) z = II- í 2 2\ X V v9 4y c) z = ln(x + y) d) z = 4x-/ ln(l-x2-/) )z = Vl-(^2+^)2 2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí a) z = ln(x + ^x2 + J2 j b) z = In tg — c) z = arctg4x] d) z = (sin x) ^ /—y .x e) z = x. J j + ^7= f) z = arcsin x 2 , 2 x +y 3. Vypočtěte a)/, r 0,0. ;r je-li /(x,y,z) = V (sinx)2 + (siny)2 + (sinzý b) /x(1,2) + /v (1,2), je-li /(x, j) = In x + — V 2xJ c) fx+fy+fz v bodě (1,1,1), je-li /(x,j,z) = ln(l + x + /+z3) 4. Vypočítejte parciální derivace 1. a 2.řádu funkcí a) z = ——- b) z = ln(x + j2) c) z = In^x2 + y2 d) z = y cos x y e) z = In 2 , 2 x +y -x 2 2 x +y +x 5. Určete totální diferenciál funkce f(x,y) v bodě (x0,y0) a) f(x,y) = <*rctg?-,(xo>yo) = (-l-l) x b) f(x,y) = ^jx2+y2 ,(x0, y0)= (3,4), je-li dx = 0,02 ,# = 0,01 X (7Ľ $ f(x,y) = tg— Áxo,yo)= -,2 .ľ U 7 ESF- PMMAT2 - příklady k procvičení________________________-_2^ 6. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně 0,48 a)A/(l,02)3+(l,97)3 b) arcsin^ c) O^"1'02 7. Určete Taylorův polynom 2.stupně se středem v bodě (x0,y0) pro funkci f(x,y), je-li a) f{x,y) = arctg¥-, (x0,y0) = (l,l) x b) f(x,y) = \n^jx2+y2 ,(x0,j;0) = (l,l) 8. Užitím Taylorova polynomu 2.stupně vhodné funkce dvou proměnných ve vhodném bodě vypočtěte přibližně 1,04 1,01 _x n> n02 , A f\cl a) arctgj— b) l,0rlul c) V2,982 +4,05' 0,9o 9. Najděte lokální extrémy funkce z = f(x,y) 2 2 ux 50 20 a) z = x +y -xy-2x + y b) z = xy H------1----- x y c) z = xy. ln(x2 + y2) d) z = e2x+3y (Sx2 - 6xy + 3y2) e)z = -x --x + 4xy + v 4 3 10. Najděte globální extrémy funkce z = f(x,y) a) z = 2x2 + 4y2 v kruhu x2 + y2 < 9 b) z = x2 + 2xy-4x + 8y v obdélníku x=0, y=0, x=1, y=2. 11. Vypočtěte x rl + cos2x . , r cos2x , x r(x + l) a) -----------dx b) —--------z— dx c) Jl + cos2x Jsin xcos x J Jv "T" Jv dx 12. Metodou per partes vypočtěte x f • j ■ x f j x rarcsinx , a) are sin x dx b) \x.arctgxdx c) —, dx d) ľcos(lnx)dx e) \arctg ^J2x -l dx f) \x3e2x dx ESF - PMMAT2 - příklady k procvičení________________________-_3^ 13. Vypočtěte 2 , c„ , a /• c „2 a) ^-z n=\ __________________ UA X ^ \^'1)- r-n n(n + l)(n + 2) ^(ntf n=\ v ' °>2 n=\ n \ 2n + ly n d) oo Z n )n g) n=\ oo Zl n=\ n=\ 2y \n oo 0 2^(« + l)ln2(« + l) v« K arctgn oo n_x (2n + l)2n 19. Rozhodněte, zda následující řady a) konvergují, 0) konvergují absolutně. Výsledek zdůvodněte. a) c) oo Z n — 2 oo bjYí-ir1»1 «=3 oo , „ n+\ n=\ Z w=l (-O \Yl n=\ (2n)\ 20. Najděte všechna řešení diferenciální rovnice a) y=lOx+y b) x + xy + y'(x + y) = 0 c) xy' = y\n y X d) y=2x-y + 3 21. Řešte danou diferenciální rovnici. Najděte #) všechna řešení, ß) řešení vyhovující dané počáteční podmínce. a) / + xy2e2x = 0, y(tí) = ~^— b) y' = x + 2y,y(0) = ESF - PMMAT2 - příklady k procvičení- výsledky -5- Výsledky N------------ S= V ^ zv = y •^2 2 Í2 2 -2x jsin 2x ' zy y 2 • 2x y sin — C)*x = yMx ,^ ^ln 2x(l + x y , Zy = xy m x 2(1 + x y ESF - PMMAT2 - příklady k procvičení- výsledky -6- d)*x = y (sin x)^ cos x , zy = (sin x)^ ln sin x e) zx = j— y x 1 f) zx~- .y - _ -^ * +y y[x2+y2) 3. 2 , b, i ,c,| 4. a) zxx - 0 z ="! z =2x b) zxx -1 -2y 2(x -/) (xVf" M" (xVľ C) zxx 2 2 o 2 2 y -x -2xy x -y iŕ+tf-v (xwr>y (*wľ d) zxx 2 sin x2+4x2 cos x2 2xsinx2 2 cos x2 — ' ^xy ~ 2 ' "yy ~ 3 e) zxx z 2x 2j/ -2x(x +2y j "/o 9Y3/2 ' "*ľ ~ / 9 9p/2'"»'_ 9/ o 9Y3/2 5. a) —dx-2 1 K - — dy , b) 0,02 , c) dx-----dy 6. a) 2,95 b) --0,03 .a/3 , c) 1,01 6 7.a)^-I(x-l)+i(y-l)+I(x-l)2-i(y-l)2 b) lnV2 + I(x-l)+i(y-l)-i(x-l)(>-l) 8.a,J + 0,0297 = 0,8060982 , b, 0,99, c, 5,0282116 9. a) vlastní lokálni minimum v bodě (l,0) b) vlastní lokálni minimum v bodě (5,2) c) sedlové body (0,l),(0,-l),(l,0),(-l,0) , ESF- PMMAT2 - příklady k procvičení- výsledky -7- í vlastní lokální minima v bodech 1 1 v r vlastní lokální maxima v bodech 2e V2ď 1 -1 r -1 -1 v 2e V2ď r 2e V2ď -1 1 2e ~j2e í 1 1 d) vlastní lokální minimum v bodě (0,0) , sedlový bod ^ 2J 4 y e) vlastní lokální minima v bodech (4,-8), (-2,4), sedlový bod (0,0) 10. a) globální maximum /(0,3) = /(0,-3) = 36 , globální minimum /(o,o)=0 b) globální maximum /(l,2) = 17 , globální minimum /(l,0) = -3 11.8) \tgX+\X + C , b)-ctgX-tgX + C , c)ln\X\ + 2arctgX+C 12. a) x.arcsinx + Vl-x2 +C , b) — (x2 +1 jarctgx— x + C x c)2A/l + xarcsinx + 4.A/l-x +C , d) — [cos(lnx) + sin(lnx)] + C x e) xarctg^Jlx-1—a/2x-1 + C f) O 3_3 2 3 _3} Jv Jv "T" Jv v2 4 4 8y e2x+C 13. a) -ln|x-l|--ln(x2 +x + l)+^= ar ctg 2x + l + C 5, x2+l b) -ln 6 x2+4 + arctgx + C c)—In x —lnx-2H-----lnx-3+C 6 2 3 (\\ _3 -1 _ 3 14. a) cos - +C , b) —t—^----\ + C , c) —e x +C U J 2(x2+l) 3 • 3 -5 ■x ^ / / i / i \ ^t » sin x sin x „ d) 2^1 x arctg^l x-m{x + l) +C , e)-------------------\-C ESF- PMMAT2 - příklady k procvičení- výsledky -8- *x tg2* 1 f) —— + ln cos x + C g) 2\n[tg2x-2tgx + 5)+-arctg—— + C h) x-tg- + C , i) tg--In l + tg2- Z 2 v ^ ) + C mx -sin x 1, J) Ö-----^ + Iln 2 cos x 4 1-sinx 1 + sinx + C 1 K K 15. a) 471 , b) —, c) arctge-----, d) — 16 4 6 32 16. a) — , b) 12 , c) 81n2 1 1 3a/3 17. a) 1 , b) — , c)----- , d) In------ , e) diverguje , f) 12 2 In 3 4 18. a) konv. , b) konv. , c) konv. , d) konv. , e) č/zv. , f) ätow. , g) div. , h) í/ž v. 19. a) konv.neabs. , b) konv.neabs. , c) konv.abs. , d) konv.abs. 20.a)10x+10"-v=C , b)cex+-y=(l + x)(l + .y) CX + I _l\ .. y^r -X c) y = xe d) j = CčTx+2x + l 21. a a) _y = 2xe2x-e2x+C , a P) y = 2xe2x-e2x+4e + 2 ba)y = Ce2x----2 4 , „v 3 2x X 1 4 2 4