Řešení písemné části zkoušky z matematiky B (KMMATB) 17.6.2005 1. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce f (x) = —----- x +1 Řešení: v bodě T = [l,?]. f (1) = - w 2 f'(x) = - 2x (x2+l)2 f'd)=4 tečna t: y — = —(x-lj 2 2V ' y =----x + 1 2 normála n: y----= 2Íx-l) 2 v ' n 3 y = 2x----- 2. Vypočítejte limitu lim —:---------; x^\xsinx x" Řešení: 1 1 i ,. x-sinx ,. 1-cosx = lim—--------= lim---------- = lim- sinx lim . ..... . ..... . ..... . . x^°lxsinx x J x^° x sinx x^°2x-sinx + x cos x x^° 2sinx + 4x-cosx-x sin x = lim- cosx 1 >° 2cosx + 4cosx -4x- sinx -2x- sinx -x cos x 6 3. Vyšetřete průběh funkce f (x) =-------- J X. Řešení: D(f) = R-{-VŠ,Vš} Funkce j e lichá. f(0) = 0 interval (---Vš) (-VŠ,o) (o, VŠ) (Vš,-) f(x) + - + - ,, , 3x2(3-x2)-x3 -(-2x) _ 9x2 -x4 _ x2(9-x2) _ x2(3-x)(3 + x) (3-x2): (3-x2)2 (3-x2)2 (3-x2)2 interval (—-3) (-3,-VŠ) (-Vš,Vš) (A3) (3,-) f'(x) - + + + - f(x) klesá roste roste roste klesá — 27 9 f(-3) =------= — je lokálni minimum -6 2 f (3): 27 9 . -6 je lokálni maximum f'(X) = (l8x-4x3)(3-x2)2-(9x2-x4)-2(3-x2)(-2x) (3-x2)4 Řešení písemky 17.6.2005 - str. 2 _ 54x-12x3 -18x3 +4x5 +36x3 -4x5 _ 6x3 +54x _ 6x(9 + x2) (3-x2)3 (3-x2)3 (VŠ-x)3(V3 + x)3 interval (-~,-VŠ) (-V3,0) (o,VŠ) (V3,~) r(x) + - + - f(x) konvexní konkávni konvexní konkávni Inflexníbodje f(0) = 0 . Asymptoty bez směrnice jsou přímky x = -VŠ a x = VŠ , neboť x lim -»-VT 3-x' lim ------; ->-VT3-x' lim >S~3-x' lim ------; i^S+ 3-x >±~-2x Asymptota se směrnicí je přímka y = -x , neboť . f (x) x2 2x , A = hm —^- = hm-------- = hm------= -1 x^±00 x x^±~3_x2 B= lim(f(x)-Ax)= lim X—>+oo X—>+«: Graf: ' x3 A 3-x: + x = lim x3 +3x-x" x^+oo 3_x- = lim------ x^+oo _ 2x = 0 f(x) = 35 3 Řešení písemky 17.6.2005 - str. 3 4. Vypočítejte a) x3e~x dx metodou per partes b)k dx ÍWT) substitucí x = t2 , pro t > 0 Řešení: xVx dx = a) J, u = x v = e / o 2 u = 3x v = -e í: 2 -x. = -xVx+ 3xVxdx = u = 3x2 v' = e"x u' = 6x v = -e~x = -xVx -3xVx + 6xe"xdx = u = 6x v' = e u = 6 v = -e : -xVx -3xVx - 6xe"x + I 6e"xdx = = -x3e"x -3x2e"x - 6xe"x -6e"x + C í' í' b)h dx x = t2, t>0 dx = 2tdt (ÍWľ)' = V^-ln(l + Vx)+C f 2t , ft + 1-1 , f , f dt , i . ^ \—,-----rdt= ---------dt= dt- -----= t-lnt + l+C J 2(1 +1) J t +1 J J t +1 ' ' S w w • f dx , . , Vypočítejte \-.-------. , substituci x = tgt ■j (l + x2)Vl + x2 Řešení: S k dx J (l + x2)Vl^ dx x = tg t t = arctg x dt = 1 + x x = l x = V3 t = t = r • i% -TT .71 [sin t Ji/ = sin----sin — =----------- JJl + tg2t l = cos t dt = 6. Vypočítejte lokální extrémy funkce f (x, y) = x2 + y2 - xy - 2x + y Řešení: fx(x,y) = 2x-y-2 f „ = 2 fy(x,y) = 2y-x + l 2x - y - 2 = 0 <^>3y = 0 a x = l -x + 2y + l = 0 Stacionárni bod je bod [1,0] . D = f f -f2 =2-2-(-l)2 =3>0 tedy extrém nastane a f =2>0. xx yy xy \ / j xx -■ takže funkce f(x,y) má v bodě [1,0] vlastní lokálni minimum f (l,0) = -1 . Řešení písemné části zkoušky z matematiky B (KMMATB) 15.5.2005 1. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce f (x) = Řešení: f(l) = 0 , T = [l,0] Vx-1 x" + l v bodě T = [1,?] f'(X): U^+i)-(^-iU i4x~ i4x~ > f/d)4 1 1 tečna t: y = —x---- 4 4 (V^ + l)2 ' W 4 normála n: y = -4x + 4 (COS X 1 -------------- sinx x Řešení: .. fcosx O ,. xcosx-sinx ,. cosx-x-sinx-cosx ,. -xsinx lim-----------| = lim------------------= lim---------------------------= hm- ^\sinx xj x^° x sin x ■sinx-x-cosx x^° sinx+ x-cosx x^° sinx + x- cosx = lim-x^° cos x + COS+ -x • sin x = 0 3. Vyšetřete průběh funkce f (x) Řešení: D(f) = R-{-l,l} Funkce j e lichá. Můžeme určit znaménko funkce: x2-l interval (-~,-l) (-1,0) (0,1) (1,00) f(x) - + - + f'(x) = x2-l-2x2 2 , 1 X +1 (x'--lľ (*'-!? interval (—,-1) (-1,1) (1,00) f'(x) - - - f(x) klesá klesá klesá f,,, = 2x(x2-l)2-4x(x2+l)(x2-l) = 2x(x2+3) (x'-l) (x! -lľ interval (—,-1) (-1,0) (0,1) (1,00) f"(x) - + - + f(x) konkávni konvexní konkávni konvexní f(0) = 0 jeinfl exní bod Řešení písemky 15.5.2005 - str. 2 Asymptoty bez směrnice jsou přímky x = -1 a x = 1 , x lim x^-rxz -1 lim x x lim x^rxz -1 ' x^-rx2-l x lim x^i+xz-l Asymptota se směrnicí je přímka y = 0 , neboť lim —— = lim — = 0 X^+oo X —1 X^+oo 2X Graf: 4. Vypočítejte a) x • In x dx užitím metody per partes b) p?" J sii Řešení písemky 15.5.2005 - str.3 COS X sin2 x dx užitím substituce sinx = t Řešení: a) J x • In x dx u = x v = lnx 2 i X , 1 u = — v = — 2 x •lnx -w 2 2 x dx =-----lnx-------h C cos" x , f cos" x , fl-sin x -dx =-----—cosxdx =-----------cosxdx b)f^dx=f J sin x J sin2 x í: sin2 x sin x = t cos x dx = dt n dt í—dt- ľdt =------t + C =----------sinx + C J t J t sin x z 5. Vypočítejte —^-^-dx užitím substituce ex = t J 1 + e Řešení: í 1 + e 2x t = l x 2 <^> t = e 2 T dt r 1e2 2 1 2 =------- = [arctg t J, = arctg e - arctgl = arctg e J 1 + t K 6. Užitím totálního diferenciálu vhodné funkce dvou proměnných ve vhodném bodě vypočítejte přibližnou hodnotu výrazu V^023 +1,973 . Řešení: Volíme f(x,y) = Vx3+y3 , [x0,y0] = [l,2] , dx = 0,02 , dy =-0,03 f, = 3x' X ^ x3+y3 3y2 f(l,2)= VÍT8" = 3 fx(l,2) = 3 1 2V9 2 f'(U)=H=2 df (1,2) = - • 0,02 + 2 • (- 0,03) = -0,05 Vl,023+1,973 =3-0,05 = 2,95