KMMATB- řešené příklady - diferenciální počet funkci více proměnných_________________- 47 - Řešené příklady z diferenciálního počtu funkcí více proměnných. Pojem funkce více proměnných. Reálná funkce jedné proměnné je zobrazení z R do R. Zobecněním tohoto pojmu je zobrazení z Rn (n > 2) do R, které se nazývá funkce více proměnných. Definice. Nechť McRn,n>l,M^0. Zobrazení f : M —» R se nazývá reálná funkce n reálných | proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se D(f) .______________| Z definice funkce více proměnných vyplývá, že tato funkce je jednoznačně určena udáním jejího definičního oboru D(f) a předpisem, kterým je každému bodu x = [x15x2v..,xn]e D(f) přiřazena funkční hodnota f(x). Pokud je předpis dán vzorcem a není udaný definiční obor, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů x g Rn, pro něž má tento vzorec smysl. Příklady. 1. Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce a) f(x,y) = Vl-x2+Vy2-l , b) f(x,y) = ln[xln(y-x)] c) f(x,y)-J(l-x2-y2^ + y2-2y Řešení: a)f(x,y) = Vl-x2+Vy2-l l-x2>0 a y2-l>0 |x| < 1 a |y| > 1 -1l) D(f) je znázorněn na vedlejším obrázku KMMATB- řešené příklady - diferenciální vočet funkcí více vroměnnych 48 - b) f(x,y)=]n[xln(y-x)] y-x>0 a xln(y-x)>0 y>x a (x > O a y-x>l)v(x<0 Ay-x0 Ay>x + l)v(x<0 a x0 a — + (y-1)2 > 1 X2+y2l nebo l-x2-y2<0 a — + (y-1)2 < 1 X2+y2>l A ^ + (y-l)22. Grafem funkce f nazýváme množinu bodů G(f)={[x,y]eRn+1:x = = k,. „xJeM ,y = f(x)| Pro funkci dvou proměnných, tj. pro n = 2 je grafem funkce množina bodů v trojrozměrném prostoru. V příkladech, se kterými se zde setkáme to bude vždy trojrozměrná plocha. Pro získání názorné představy, jaký je tvar a průběh této plochy nám pomohou řezy rovinami z = 0, y = 0 a x = 0 (tj. řezy souřadnými rovinami čili půdorysnou, nárysnou a bokorysnou) a rovinami rovnoběžnými s rovinou z = 0 (vrstevnice). Definice. Nechť M <=R2 a f :M^Rj fc={[x e funkce dvou proměnných definovaná na ,y]eM:f(x,y) = c} M, CG R . Množina se nazývá vrstevnice funkce f na úrovni c. KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných Příklady. 2. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami y = O a x = 0 znázorněte graf následujících funkcí: 2 2 x x y a) z = — + — 4 3 2 2 x 2 x y e) z = — + — 3 5 Řešení: 2 2 2 2 2 2 , b) z = — -?- , c)z2= —+ ^-1 , d)z2= —+ ^ + 1 4 3 3 5 3 5 2 2 a) z = — + — 4 3 z = 0: ^ + Y = ° <=> ky] = [0,0] x2 y2 z = o 0 :-----1-----= 1... elipsa 4c 3c x = 0:z = y = 0: z y parabola parabola jedná se o eliptický paraboloid b) z = z = 0 = 0 <=> 2 V3 V, 2 V3 = 0 2 2 z = c*0:^-^ = l 4c 3c dvojice přímek hyperbola x = 0: z = y = 0: z = y 2 parabola parabola jedná se o hyperbolický paraboloid KMMATB - řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných -50 - c) z 2 2 2 x _ y + -----1 3 5 z = c e R : —r—.----r + —A,----* = \ ... elipsa 3(c2+l) 5(c2+l) y2 2 x = O :-----z = 1... hyperbola y = 0: x' z2 = 1 hyperbola jedná se o jednodílný hyperboloid d) z 2 2 2 x _ y — + ^ + 1 3 5 z = ±l: Y + y = 0 <=> [x,y] =[0,0] z = c, c > 1: x + y 3(?rí] Š(?^í] = 1 elipsa 2 y x = 0:z-----= 1 ... hyperbola 2 X2 y = 0 : z-----= 1 ... hyperbola jedná se o dvojdílný hyperboloid e) z 2 2 2 x _ y + • 3 5 z = 0: Y + y = 0 o [x,y] = [0,0] 2 2 z = c : —- h------ = 1 ... elipsa 3c2 5c2 2 y2 í x = 0: z2-— = 0 o z-5 l y z + y Vš A Vš dvojice přímek = 0 y = 0: z: x 0 o x z + - x v V5 A V5, dvojice přímek jedná se o eliptický kužel KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných -51 - Pro lepší představu uvedeme ještě grafy dvou složitějších ploch vykreslené počítačem. KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných_________________- 52 — Důležité pojmy jsou okolí bodu, vnitřní bod, hromadný bod a hraniční bod množiny, otevřená množina, uzavřená množina. Viz DSO str. 262 - 264. Zde pouze upozorňuji, že podle výběru metriky, kterou použijeme v definici okolí, dostáváme různé typy okolí. Např. v R2 při volbě euklidovské metriky dostaneme kruhové okolí, při volbě maximové metriky dostaneme čtvercové okolí. Podstatná je ekvivalentnost těchto metrik, to znamená že existence (neexistence) limity nezáleží na tom, kterou z metrik zvolíme. Limita a spojitost. Dalšími důležitými pojmy jsou pojem limity a pojem spojitosti funkce více proměnných -viz DSO str.264 - 276. Zde uveďme pouze následující definici limity funkce dvou proměnných.. Definice (vlastní limity Řekneme, že funkce f : ve vlastním bodě). R2^Rmávbodě [x 0,y0]e R2 limitu L e R jestliže ke každému e > 0 existuje takové okolí Ug bodu [x 0,y0],žepro |f(x,y)-L všechny body [x <£ . ,y]e u5 , [x,y] *[*0 ,y0] platí Píšeme lim f(x (x,y)->(x0,y0) ,y) = L. Poznámka. Vidíme, že definice limity funkce dvou proměnných je formálně stejná jako definice limity funkce jedné proměnné. I věty o vlastnostech limity funkce více proměnných mají formálně stejné znění jako věty o vlastnostech limity funkce jedné proměnné. Podstatný rozdíl spočívá v „dimenzi" okolí limitního bodu. U funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po jediné přímce to buď zleva nebo zprava.. U funkce více proměnných se můžeme k limitnímu bodu blížit z různých směrů např. po přímkách, parabolách či jakýchkoliv jiných křivkách. Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k tomuto bodu blížíme. Příklad. xy Pokusíme se spočítat lim —- . Blíží-li se bod [x,y] k bodu [0,0] po přímce y = kx, k ^ 0 (x,y)^(0,0)x2 +yZ kx2 k dostaneme lim —------—- =------- . Vidíme, že výsledek závisí na konstantě k, tedy na tom, po jaké «°x tkx 1+k přímce se k bodu [0,0] blížíme. Daná limita proto neexistuje. Metodami výpočtů limit funkcí více proměnných se nebudeme zabývat. Parciální derivace. Definice. Nechť funkce f : R2 —» R je definována v bodě [x0, y0 ] a nějakém jeho okolí. Položme cp(x) = f (x, y0). Má-li funkce cp(x) derivaci v bodě x0 , nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle "Yp proměnné x v bodě [x0,y0] a označujeme ji fx(x0,y0) nebo —(x0,y0) . dx KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných_________________- 53 — Poznámky. 1. Podobně se definuje parciální derivace podle y. Analogicky se definují parciální derivace funkce n proměnných. 2. Protože parciální derivace fx funkce n proměnných je definována jako „obyčejná" derivace podle proměnné x; , platí pro počítání parciálních derivací obvyklá pravidla pro derivování. 3.Parciální derivace podle proměnné x; počítáme tak, že všechny ostatní proměnné považujeme za za konstanty a „obyčejně" derivujeme podle x; . Má-li funkce z = f(x,y) parciální derivace podle x a podle y ve všech bodech nějaké množiny N e D(f), jsou tyto parciální derivace funkcemi proměnných x a y. Označujeme je fx (x, y) ,f (x, y) nebo "Yp "Yp — (x, y), — (x, y) . Může se stát, že tyto parciální derivace lze znovu parciálně derivovat podle x dx dy a podle y. Tím se dostáváme k pojmu parciálních derivací druhého řádu. Parciální derivace vyšších řádů. Definice. Nechť [x0,y0]e D(fx). Existuj e-li parciální derivace funkce fx(x,y) podle proměnné x v bodě[x0,y0], nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu podle x funkce fvbodě [x0,y0]a značíme j i fxx(xo,y0) nebo T-r(xo,y0) • dx Existuje-li parciální derivace funkce fx (x,y) podle proměnné y v bodě[x0,y0], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu podle y funkce f v bodě [x0,y0] a značíme d2f ji fxy(xo,yo) nebo ^-(xo,y0) • Poznámka. Podobně se definují parciální derivace f a f . Věta (Schwarzova). Nechť má funkce f'v okolí bodu [x0, y 0] parciální derivace fx , f a smíšenou parciální derivaci f , která je v bodě [x0,y0] spojitá. Pak existuje také smíšená parciální derivace f (x0,y0) a platí fxy(X0,yo)=fyx(X0,yo) • Poznámka. Analogicky jako parciální derivace 2. řádu se dají zavést parciální derivace vyšších řádů. Tvrzení Schwarzovy věty lze rozšířit na smíšené parciální derivace řádu n. Tedy, pokud jsou smíšené parciální derivace spojité, nezáleží na tom, v jakém pořadí derivujeme, ale pouze na tom, kolikrát derivujeme podle které proměnné. Poznámka. Pro funkci jedné proměnné platí, že z existence první derivace v daném bodě vyplývá spojitost funkce v tomto bodě. Pro funkce více proměnných analogické tvrzení neplatí. - řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných Příklady. 1. Vypočítejte parciální derivace 1. a 2.řádu následujících funkcí v obecném bodě. a) z = 3x5-7x2y2+3xy2-2y2+l b) z = x-sin (x + y) c) z = ln(x + y2) d)z = artcg— e) z=(l + x2)y x Řešení: a) z = 3x5-7x2y2+3xy2-2y2+l zx =15x4-14xy2+3y2 Zxx = 60x3 -14y2 Zxy=-28xy + 6y Zy =-14x2y + 6xy-4y zw =-14x2+6x-4 zyx=-28xy + 6y Vidíme, že smíšené parciální derivace jsou si rovny. V dalších příkladech již budeme počítat jen jednu z nich. b) z = x-sin (x + y) zx = sin(x + y)+ x • cos(x + y) zy = x-cos(x + y) z^ = cos(x + y) + cos(x + y)-x-sin(x + y) = 2-cos(x + y)-x • sin(x + y) zw = -x-sin(x + y) z = cos(x + y)-x-sin(x + y) = z c) z = ln(x + y2) 1 1 -2y Z., =------------ Z.,., =---------------—— Z.„, =-;-----------r— = Z. x + y2 ™ (x + y2)2 * (i + x*J _ 2y _2(x + y2)-2y2y_2(x-y2) x + y2 W (x + y2)2 (x + y2)2 ,2 yx y d) z = artcg— x i f — y i y 2xy 1+ 2 X 22 2,2 xx / , , \2 LU J x+y (x +y ) 1 1 _ x _ 2xy ^Z'x"^T7 Zyy""(xŇvľ 2 X Zxy = 2 . 2 o 2 2 2 _x +y -2y _ x -y " (x2+y2)2 =V^1 e) z=(l + x2)y zx = y • (l + x2 )y_1 • 2x = 2xy(l + x2} zy=(l + x2)y-ln(l + x2) y-l - řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných \y-2 Zxx = 2y(l + x2 )y_1 + 2xy(y -l)(l + x2 J~2 ■ 2x = 2y(l + x2 + 2x2y -2x2 )(l + x2) = 2y(l-x2+2x2y)(l + x2): zyy=(l + x2)yln2(l + x2) Zxy = 2x(l + x2 )y_1 + 2xy(l + x2 )y_1 • ln(l + x2) = 2x(l + y • ln(l + x2 ))• (l + x2) ,y-i 2. Vypočítejte parciální derivace prvního řádu v daném bodě. a) z = y2 +y-Vl + x2 v bodě [2,5] zx=y-Ul + x2)~2.2x xy VT + x' 2y + Vl + x' y b) z = ln X + -M v bodě [1,2] c) z = arctg(x - y) v bodě [3,1] d) z = x • tgy Řešení: a) z = y2 +y-Vl + x2 v bodě [2,5] v bodě 10 zx(2,5) = -= = 2VŠ zy(2,5) = 10 + VŠ 71 b) z = lnx + ^- v bodě [1,2] funkci upravíme na tvar z = ln 2x2+y 2x který je výhodnější pro derivování vnější složky složené funkce. Pro derivování vnitřní složky je naopak výhodnější původní tvar. z = 2x íi y ]= 2x2~y x 2x2+y L 2x2J x(2x2+y) 2x 1 1 z.. = 2x2+y 2x 2x2+y c) z = arctg(x-y) v bodě [3,1] zx(l,2) = 0 zv (1,2) = 0,25 r _ 2(x-y) ""i + (x-y)4 _ -2(x-y) y"i + (x-y)4 Zx(3,l) = zv(3,l) 2-2 4 1 + 24 17 -2-2 4 1 + 24 17 d) z = x • tgy zx =tgy v bodě 71 í i n 1 TU , y 2 cox y -'•i 1 'VT v2y = 2 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných_________________- 56 Totální diferenciál. Definice. Nechť z = f(x,y) je funkce definovaná v nějakém okolí bodu [x0, y0] a nechť má v bodě [x0, y0] spojité parciální derivace prvního řádu. Potom funkci df(x0,y0,h,k) = fx(x0,y0)-h + fy(x0,y0)-k nazýváme totálním diferenciálem funkce f(x,y) v bodě [x0,y0] . Poznámky. 1. Podobně jako při zavedení diferenciálu funkce jedné proměnné znamenají h, k přírůstky neodvisle proměnných x,y a často je značíme dx, dy. Totální diferenciál je lineární funkcí přírůstků neodvisle proměnných. 2. Označíme-li Af(x0,y0,h,k) = f(x0 +h, y0 +k)-f(x0,y0) přírůstek funkce při přechodu z bodu [x0, y0] do bodu [x0 + h, y0 + k] , platí pro dostatečně malé hodnoty |h|, |k| přibližný vztah Af(x0,y0h,k) = df(x0,y0,h,k) Toho využíváme při přibližném výpočtu funkčních hodnot některých funkcí. Příklady. 1. Vypočtěte totální diferenciál fukce f(x,y) v daném bodě při daných přírůstcích neodvisle proměnných: a) f(x,y) = xy + - , [x0,y0] = [l,l] , dx = 0,1 , dy = 0,2 y b) f (x, y) = -yjx2 + y2 , [x0,y0] = [3,4] při obecných přírůstcích neodvisle proměnných c) f (x, y) = arctg^- , [x0, y 0 ] = [VŠ ,l] , dx = -0,1 , dy = 0,4 1-xy Řešení: a) f(x,y) = xy + - , [x0,y0] = [l,l] , dx = 0,1 , dy = 0,2 y fx=y+1 fx(U) = 2 y fy=x-4 fy (1,1) = 0 y2 df = 2 • dx + 0 • dy = 2 • 0,1 = 0,2 b) f (x, y) = -yjx2 + y2 , [x0,y0] = [3,4] při obecných přírůstcích neodvisle proměnných f*=-řr=Ť f*(3'4) = f Vx +y 5 y í x2+y2 ^-5 df = 0,6 • dx + 0,8 • dy KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných_________________- 57 — c) f (x, y) = arctg^- , [x0, y 0 ] = [VŠ,l] , dx = -0,1 , dy = 0,4 1-xy f., = 1_____ l.(l-xy)-(x + y)(-y)_ 1 + y2 __________1 + y2 (x + y)2 (l-xy)2 (l-xy)2+(x + y)2 l-2xy+ x2y2+x2+2xy+ y2 + (Txyf 1 + y2 = 1 + y2 1 l + y2+x2(l + y2)~ (l + y^l + x2)"!^ 2 X vzhledem k „symetričnosti" funkce dostaneme parciální derivaci podle y prostou záměnou proměnných, tedy df = -• (-0,1) + -- 0,04 = -0,025 + 0,02 = -0,005 4 2 2. Pomocí totálního diferenciálu vhodné funkce ve vhodném bodě vypočtěte přibližně: a) 1,042'02 b) V(2,98)2+(4,05)2 Řešení: a) 1,04202 K výpočtu použijeme diferenciál funkce f (x,y) = xy v bodě [x0,y0] = [l,2] při přírůstcích neodvisle proměnných dx = 0,04 , dy=0,02. f^yx"-1 fx(l,2) = 2 fy=xy-lnx fy(l,2) = 0 df (1,2) = 2 • dx + 0 • dy = 2.0,04 = 0,08 1,04202 = f (1,04;2,02) = f (1,2) + df (1,2) = 1 + 0,08 = 1,08 b) V(2,98)2+(4,05)2 K výpočtu použijeme diferenciál funkce f (x, y) = yjx2 + y2 v bodě [x0, y0 ] = [3,4] při přírůstcích neodvisle proměnných dx =-0,02 , dy=0,05. fx(3,4)4 fv = / / 2 fy(3'4) = ^ Vx2+y2 5 J^+y df (3,4) = - • (- 0,02) + - • 0,05 = 0,028 V(2,98)2+(4,05)2 = f(3,4) + df(3,4) = 5 + 0,028 = 5,028 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných 58 - Taylorova věta. Podobně jako u funkce jedné proměnné umožňuje Taylorova věta nahradit s jistou přesností v okolí určitého bodu danou funkci n proměnných polynomem n proměnných. Formulace věty viz DSO str. 290 - 293. Zde uvedeme Taylorovu větu pro funkci dvou proměnných. Taylorova věta. Nechť funkce f(x,y) má v bodě [x 0, y 0 ] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n+1 včetně. Pak pro každý bod tohoto okolí platí ?( \ ?( \ ■ df(xo>yo)í ^ , df(xo,y0)í \ f(x,y) = f(x0,yj +------------(x-xj+------------(y-y[ o) [Y Yo) ' kde £, leží mezi x0 a x , r| leží mezi y0 a y. Poznámky. 1. Při vyjádření funkce polynomem z předchozí věty mluvíme též o aproximaci funkce Taylorovým polynomem o středu [x 0, y 0 ]. 2. V Taylorově větě můžeme také psát x-x0=dx , y-y0=dy. Příklady. 1. Určete Taylorův polynom 2. stupně se středem v bodě [x0, y0 ] = [l,l] pro funkci f (x, y) Řešení: Nejprve spočteme všechny potřebné parciální derivace. 1 f =-— f y 2 ' xx 0 1 2x xy 2 * VY 1 y - y- y2 w y3 a jejich hodnoty v bodě [1,1] fx(l,l) = l , fy(l,l) = -l , fxx(l,l) = 0 , f^ (1,1) = -1 , fw(l,l) = 2 Pro vyjádření zbytku potřebujeme ještě třetí parciální derivace. 2 6x f =0 f =0 f =— f =-— xxx ? xxy ? xyy 3 ? yyy 4 f (x, y) = f (1,1) + fx (l,l)(x -1) + f y (l,l)(y -1) +1 [f „ (l,l)(x -1)2 + 2^ (l,l)(x - l)(y -1) + fw (l,l)(y -1)2 ]+ R2 l + (x-l)-(y-l)-(x-l)(y-l)+(y-l)2+R2(x,y) R2(x,y) = 1 Tť (x-i)(y-i)2-4(y-i)3l = ^(x-i)(y-i)2-^(y-i)3 , TI kde T TI ^ leží mezi lax, r| leží mezi lay KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných - 59 104 2. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně vypočtěte přibližně arctg—— . Řešení: Napíšeme Taylorův polynom 2. stupně pro funkci f(x, y) = arctg— , [x0,y0] = [l,l] , y x-x0=dx = 0,04 , y-y0=dy = -0,02. Nejprve spočteme potřebné parciální derivace. Tvar zbytku vyjadřovat nebudeme. f(x,y) = arctg - y r. ( . 1 1 y 1 -x x fx(x,y) =------t — = , , , fv(x,y)- 2 2,2 y v ' ■> ' 2 2 2,2 , x y x +y , x y x +y 1 + —r 1 + —r 2 2 y y Ux,y) = -r^, C(x.y)= 2xy / 2 , 2 \2 yy\ >JJ I \2 (x +y j lx +y j 2 , ..2 .. o». „2 .2 1,1 r\ 1 x +y -y-2y x -y fxy(x,y) = (x»+r)J (x»+r)J Nyní vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodě [1,1] . fai)=arctgi=^ fx (i,i)=^ fyai)=~ f„ai)=~ fxy(U)=o fwcu)=! Podle Taylorovy věty dostáváme: arctg—= — + — dx----dy — (dx) + —(dy) y 4 2 2 4 4 arctg—= - + 0,02 +0,01-0,0004 +0,0001 = - + 0,0297 = 0,815098 0,98 4 4 3.Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně vypočtěte přibližně e~01tg(0,0l) . Řešení: Volíme f(x,y) = extgy , [x0,y0] = [0,0] , dx =-0,1 , dy = 0,01 Spočteme potřebné parciální derivace : p p ex p x. p ex 2ex sin y fx =e tgy , f =-----— , f^ =e tgy , f =-----— , f =-------— cos y cos y cos y f(0,0) = 0 , fx(0,0) = 0 , fy(0,0) = l , ^(0^ = 0 , ^(0^ = 1 , fw(0,0) = 0 f(x,y) = f(x0,y0) + fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy + -[fxx(x0,y0)(dx)2+2fxy(x0,y0)dxdy + fyy(x0 a dosazením dostaneme e"01tg(0,0l) = 10,01 + -- 2- l(-0,l)- 0,01 = 0,009 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných -60 - Lokální a globální extrémy. Vyšetřování extrémů je jednou z nejdůležitějších částí diferenciálního počtu. Je tomu tak proto, že v každodenním životě se setkáváme s řešením extremálních úloh. Např. ekonomická rozhodování se řídí pravidlem minimalizace nákladů a maximalizace zisku. Uvedeme zde jen definici a nejdůležitější věty o extrémech. Podrobněji viz DSO str. 293-298. Definice. Řekneme, že funkce f: Rn —> R nabývá v bodě x* e Rn lokálního maxima [ respektive lokálního minima ], jestliže existuje okolí U bodu x* takové, že pro každé x e U platí f (x) < f (x* J [respektive f (x) > f (x* J. Jsou-li nerovnosti v těchto vztazích pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech nebo též o vlastních lokálních maximech a minimech. Společný název pro lokální maxima a minima je lokální extrémy. Definice. Nechť je dána funkce f:R° —» R. Řekneme , že bod x* e Rn je stacionární bod funkce f jestliže v bodě x* existují všechny parciální derivace prvního řádu a platí af-(x*) = 0 , i = 1,2,...,n . 3x; Věta. Nechť funkce f: Rn —» R má v bodě x* e Rn lokální extrém. Pak všechny parciální derivace, které v tomto bodě existují, jsou rovny nule. Poznámka. Funkce může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna parciální derivace neexistuje. Stacionární bod může, ale nemusí být bodem lokálního extrému. Na vedlejším obrázku je znázorněn graf funkce, která má v bodě [x0, y0 ] stacionární bod, avšak lokální extrém zde nemá. Takový bod se nazývá sedlo. x KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných_________________- 61 — Věta. Nechť funkce f: R2 —> R má v bodě [x0,y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [x 0, y 0 ] je její stacionární bod. Jestliže A(x0,y0) = fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)-[fxy(x0,y0)f >0 , pak má funkce f v bodě [x0, y0 ] ostrý lokální extrém. Je-li přitom f^ (x0, y0) > O jde o minimum, j e-li f^ (x0, y0) < O , jde o maximum. Jestliže A(x0,y0)<0, pak v bodě [x 0, y 0 ] lokální extrém nenastává. Je-li A(x0 , y 0) = O, nelze touto metodou o existenci lokálního extrému rozhodnout. Poznámka. Věta , udávající postačující podmínku pro existenci lokálního extrému funkce n proměnných, n > 3 viz DSO str. 297. Zde příslušnou větu zformulujeme pro funkci tří proměnných. Věta. Nechť funkce f(x,y, z) je definována na oblasti Q. a nechť bod [x 0, y 0, z 0 ] je stacionárním bodem funkce f Nechť v jistém okolí bodu [x 0, y 0, z 0 ] má funkce f spojité všechny parciální derivace druhého řádu. fxx(x,y,z) fxy(x,y,z) fxy(X,y>Z) fyy(X>y>Z) ' Položme D1(x,y,z) = fxx(x,y,z) , D2(x,y,z) " xy v * J ' / yy D3(x,y,z) fxx(x,y,z) fxy(x,y,z) fxz(x,y,z) xy fxy(X,y,Z) fyy(x,y,z) fyz (x, y, z) fxz(x,y,z) fyz(x,y,z) fzz(x,y,z) Je-li Dj(x0,y0,z0)>0 , D2(x0,y0,z0) > 0 , D3(x0,y0,z0) > 0 máfunkce f v bodě [x0,y0,z0] ostré lokální minimum. Je-li Dj(x0,y0,z0)<0 , D2(x0,y0,z0) > 0 , D3(x0,y0,z0) < 0 máfunkce f v bodě [x0,y0,z0] ostré lokální maximum. Definice. Nechť je dána funkce f: Rn —> R , M e D(f) Řekneme , že bod x* e M je bodem absolutního maxima [ respektive absolutního minima ] funkce f na množině M, jestliže pro každé x e M platí f (x*) < f (x) [respektive f (x*) > f (x)]. Jsou-li tyto nerovnosti pro x ^ x* ostré, mluvíme o ostrých absolutních extrémech. Místo termínu absolutní extrém se též používá termín globální extrém. Věta. Nechť McRn je uzavřená a ohraničená množina a funkce f : M —> R je spojitá na M. Pak f nabývá svých absolutních extrémů (na množině M) buď v bodech lokálního extrému, které leží uvnitř M nebo v některém hraničním bodě množiny M. Poznámka. Při vyšetřování absolutních extrému tedy nejprve vyšetříme lokální extrémy, vybereme z nich ty, které lží uvnitř množiny M. Potom vyšetříme chování funkce v hraničních bodech . V případě funkce dvou proměnných je často hranice tvořena grafem nějakých funkcí jedné proměnné a vyšetřit funkci na hranici znamená dosadit do funkce rovnici křivky, která tvoří část hranice. Tím je hledání extrémů na hranici množiny M převedeno na hledání extrémů funkce jedné proměnné. - řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných Příklady. 1. Určete lokální extrémy funkce a) f(x,y) = -x4--x3+4xy + y2 b) f(x,y) = x2 +xy + y2 -41nx-101ny c) f(x,y,z) = x3+y2+z2+12xy + 2z Řešení: Nejprve spočítáme první parciální derivace a najdeme stacionární body: fx =x3-2x2+4y = 0 fy = 4x + 2y = 0 => y = -2x a dosazením do první rovnice dostaneme: x3 - 2x2 - 8x = 0 x(x2-2x-8)=0 x(x-4)(x + 2) = 0 Stacionární body j sou [0,0], [4,-8] , [-2,4] . Nyní spočítáme druhé parciální derivace: fxx=3x2-4x fw=2 ^=4 a zjistíme, ve kterých stacionárních bodech nastanou lokální extrémy a jaké [o,o] [4,-8] [-2,4] fxx 0 32 20 fw 2 2 2 fxy 4 4 4 A -4 48 24 V bodě [0,0] funkce nemá lokální extrém - je zde sedlový bod. f (4,-8) = 128 20 je ostré lokální minimum f (-2,4) =-----je ostré lokální minimum b) f(x,y) = x2 +xy + y2 -41nx-101ny Definiční obor je x > 0 , y > 0 Nyní spočítáme první parciální derivace a najdeme stacionární body 4 fx=2x + y-- = 0 x 4 n 4-2x2 y =-----2x =---------- x x a dosazením do druhé rovnice f =x + 2y- 10 0 dostaneme 4x2-2x4+2(4-2x2)2 =10x2 -6x2-2x4+32-32x2+8x4 =0 3x4-19x2+16 = 0 x + - ;-4x/ 10x 4-2x' •x(4-2x2)^0 (xu f 19±a/361-192 16 x2 = 1 a za podmínek x > 0 , y > 0 odtud 5 H r~ ö dostáváme Xj = —j= a odtud y: = V3 —1= = —j= < 0 - nevyhovuje podmínce y > 0 V3 V3 V3 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných -63 a dále x2 = 1 a odtud y2 =4-2 = 2 Jediný stacionární bod je bod [1,2]. Spočítáme druhé parciální derivace a zjistíme, zda ve stacionárním bodě nastane lokální extrém. f =2 + A f =2 + ^ yy y2 fxy=l fxx(l,2) = 6>0 fw (1,2) = 4,5 ^0,2) = ! A(l,2) = 6-4,5-l2 =26>0 f (1,2) = 7 -10 • In 2 je ostré lokální minimum c) f(x,y,z) = x3+y2+z2+12xy + 2z Nejprve spočítáme první parciální derivace a určíme stacionární body: fx =3x2+12y = 0 fy =2y + 12x = 0 f z = 2z + 2 = 0 z = -1 , y = -6x , 3x2 -72x = 0 3x(x-24) = 0 Xj =0 Stacionární body j sou [0,0,-l] a [24,-144,-l] Druhé parciální derivace jsou f =0 xz f =0 yz f =2 fxx = 6x fxy = 12 f..„ = 0 fxy = 12 fW = 2 fyZ = 0 x2=24 y1=0 , y2=-144 Di(x,y,z) = 6x D2(x,y,z) = 6x 12 12 2 = 12x-144 D3(x,y,z): 6x 12 0 12 2 0 0 0 2 24X-288 [0,0,-1] [24,-144,-1] D: 0 144 D2 -144 144 D3 -288 288 V bodě [0,0,-1] nemá funkce lokální extrém. V bodě [24,-144,-1] má funkce ostré lokální minimum. - řešené příklady - diferenciální počet funkcí více proměnných________________ 2. Určete absolutní extrémy funkce a) f(x,y) = x2-y2 v kruhu x2+y2<4 b) f(x,y) = x2+2xy-4x + 8y v obdélníku x = 0,y = 0,x=l,y = 2. Řešení: a) f(x,y) = x2-y2 v kruhu x2+y2<4 Nejprve určíme lokální extrémy: fx = 2x = 0 f = -2y = 0 jediný stacionární bod [0,0] leží v daném kruhu Druhé parciální derivace jsou: f^ =2 , f =-2 , f =0 A(x, y) = 2 • (- 2) - O2 = -4 < 0 a ve stacionárním bodě lokální extrém nenastane. Absolutní extrémy nastanou na hranici. Hranice je kružnice x2 + y2 = 4, tedy y2 = 4 - x2 a dosazením do f(x,y) obdržíme funkci jedné proměnné: g(x) =x2-4 + x2=2x2-4, xe< -2,2 > a hledáme nejprve lokální extrémy funkce g(x) g'(x) = 4x = 0 , g"(x) = 4 > 0 a funkce g(x) má v bodě 0 lokální minimum g(0) = - 4 v krajních bodech intervalu dostáváme g(-2) = g(2) = 4 Je-li x = 0, je y = + 2 . Je-li x = + 2 , je y = 0. Tedy celkem f (2,0) = f (-2,0) = 4 jsou absolutní maxima, f(0,-2) = f(0,2) =-4 jsou absolutní minima. b) f(x,y) = x2+2xy-4x + 8y v obdélníku x = 0,y = 0,x=l,y = 2. Nejprve určíme lokální extrémy: f x = 2x + 2y - 4 = 0 fy = 2x + 8 = 0 x = - 4 , y = 6 Jediný stacionární bod [-4,6] neleží v daném obdélníku. Absolutní extrémy nastanou na hranici. a) x = 0 , y e < 0,2 > f(0,y) = g(y) = 8y , g'(y) = 8^0 funkce nemá lokální extrém, g(0) = f(0,0) = 0 , g(2) = f(0,2) = 16 jsou hodnoty v krajních bodech intervalu ß) y = 0, xe(0,l> f(x,0) = g(x)= x2-4x , g'(x) = 2x -4 <=> x = 2e (0,1 > g(l) = f(l,0) = - 3 je hodnota v krajním bodě intervalu 7) x=l , y e (0,2 > f(l,y) = g(y) = 10y- 3 , g'(y) = 10*0 lok. extrém není g(2) = f(l,2) = 17 je hodnota v krajním bodě intervalu 8) y = 2 , x e (0,1) f(x,2) = g(x) = x2 +16 , g'(x) = 2x = 0 což je krajní bod intervalu - viz a) Ze všech zjištěných hodnot najdeme nejmenší a největší a zjistíme, že f(l,2) = 17 je absolutní maximum , f(l,0) = -3 je absolutní minimum