Informace o písemné části zkoušky. platí pro skupinu tútora RNDr. Mikoláše témata na písemku: limity funkce jedné reálné proměnné - tečny a normály ke grafu funkce jedné reálné proměnné průběh funkce jedné reálné proměnné diferenciál funkce jedné proměnné a jeho použití neurčitý integrál, metoda per partes a substituce - určitý integrál a nevlastní integrál definiční obor funkce dvou proměnných extrémy funkce dvou proměnných - totální diferenciál funkce dvou proměnných a jeho použití Písemka bude trvat 90 minut a bude mít šest příkladů. Každý příklad bude hodnocen maximálně 10 body. Od bodového zisku se bude odvíjet návrh známky takto: <0,30) <30,35) <35,40) <40,45) <45,50) <50,60> F E D C B A Ústní zkouškou je možno si navrženou klasifikaci zlepšit, ale i zhoršit. Minimální počet bodů, nutný k vykonání ústní zkoušky je 25. KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné -21- Diferenciál funkce. Definice. Nechť funkce f(x) je spojitá v okolí U bodu x0 z i nechť existuje derivace f '(x o)- Potom výraz df(x0) = f'(x0)-h , kde he R je proměnná nazýváme diferenciálem funkce f(x) v bodě x0 . Poznámka. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu df (x0). Diferenciál je tedy funkcí proměnné h. Jestliže místo pevného bodu x0 uvažujeme obecný bod x, v němž existuje derivace f'(x), závisí df(x) nejen na h, ale také na x. Zvolme f(x) = x. Pak je df(x) =l.h, tedy dx = h. Proto můžeme h, což je přírůstek neodvisle proměnné považovat za diferenciál dx proměnné x. Vzhledem k tomu píšeme obvykle diferenciál funkce y = f{x} v obecném bodě ve tvaru df(x)= dy= f'(x)-dx dy Odtud plyne f'(x) = dx Proto můžeme derivaci f '(x) považovat za podíl diferenciálu funkce f(x) a diferenciálu neodvisle proměnné x. Geometrický význam diferenciálu. Rovnice tečny ke grafu funkce y = f{x) v bodě T=[x0,f(x0)] má tvar y-f(x0) = f'(x0)(x-x0). Položíme-li x-x0=h , dostaneme odtud y - f (x0) = f '(x0 )• h = df (x0). Diferenciál je tedy přírůstek na tečně, sestrojené v bodě T při přechodu z bodu x0 do bodu x0 + h . KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné__________________- 22 — Označíme-li Af(x0) = f (x0+h)-f (x0) přírůstek fukce v bodě x0 a df(x0) diferenciál funkce f(x) v bodě x0, je lim^o)-limf(xo+h)-f(x0)_^_limf(x0+h)-f(x0)_^_ -odf(x0) -o hf'(Xo) f'(x0)-o h f'(xJ ^ Proto můžeme pro dostatečně malá |h| klást Af (x0) = df (x0). Platí tedy f(x0 +h) = f(x0) + Af(x0) = f(x0) + df(x0). Tohoto vztahu využíváme k přibližnému výpočtu funkčních hodnot funkce f(x). Příklady. 1. Vypočtěte diferenciál funkce f(x) = —j=- v bodě x0 =1 při přírůstku neodvisle proměnné dx = Vx 0,01. Nejprve vypočteme derivaci funkce f(x): 1 r i ! 1 -•Vx-lnx-—= i—inx f '(x) =-----------------------=----^-j=— a její hodnotu v bodě x0 = 1 x xVx f'(l)=l Poté spočítáme diferenciál df(l) = f'(l)- dx = 1 • 0,01 = 0,01 2. Vypočítejte diferenciál funkce f(x) = ln tg — - — | v obecném bodě. í K X \2~4 f'(x)=^i i r n i i , K X^] J Tí x\ { A j 4 . (k x\ (k x\ n . f x^ te-------cos------- sin-------cos------- 2 sin tu---- \2 A) U A) U A) U A) L 2y 2sin X 2) df(x) =--------^^^x 2sin[iJ 3. Pomoci diferenciálu vypočtěte přibližně cos61° . K výpočtu zvolíme funkci f (x) = cosx a její diferenciál v bodě x0 = 60° = — Uhly musíme při výpočtech vyjadřovat v obloukové míře. Tí Přírůstek neodvisle proměnné je dx = 1° =-----. 180 f(xj = -sinx , f — =-sin —=------, cosol =cos60 - ßj 3 2 2 180 0,5 - 0,866602 • 0,01745 = 0,484877795 KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné 23- 4. Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně |(2,037)2-3 (2,037)2+5 Pro výpočet zvolíme funkci f (x); (x2-3 x2+5 přírůstku neodvisle proměnné dx = 0,37 . Nejprve spočteme funkční hodnotu f(2) a její diferenciál v bodě x0 = 2 při \— = — a potom derivaci f'(x) = ^x2-3V2 x2+5 J f(2) = = -# = w 81 VI 1 ŕ „2 l\ x2 +5 2x(x2+5)-2x(x2-3)_ 8x [x2+5 (x2+5)2 (x2+5) 2A,x2-3 16 19 16 27 1 fry AOT]^ O 11/í '■^-----V^ = .f(2,037) =f(2)+df(2)= - + — -0,037 = 0,333333 + 0,021925 = 0,355259 (2,037)2+5 " "" 3 27 Poznámka. Použití diferenciálu na řešení podobných úloh je sice v dnešní době archaismem, použitý vzorec ovšem neztrácí smysl, pokud neznáme analytické vyjádření funkce f(x) a hodnoty f (x0) a f'(x0) jsme získali například měřením. Taylorova věta. Užitím následující věty lze vyjádřit přírůstek funkce přesněji, než užitím diferenciálu. Věta (Taylorova) Nechť funkce f(x) má v okolí bodu x0 derivace až do řádu n+1, kde n e N. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí: f(x) = f(xJ + ^(x-xJ + ^(x-xJ2+... + í^(x-x0r+Rn(x), 1! 2! n! kde Rn (x) =------Li(x - x0 )n+1 , (n + 1)! přičemž ů je vhodné číslo, ležící mezi x0 a x . Chyba Rn (x) se nazývá zbytek a vzorec uvedený v této větě se nazývá Taylorův vzorec. Poznámka. Je-li v předchozí větě x0 = 0, nazývá se vzorec Maclaurinův a má tvar f(x)=f(o)+£^lx+£3^x^+...+íílx«+Rn(x) , kde R„(x) = -7—^xn+1 , kde i} je vhodné číslo mezi 0 nV ' (n + l)! a x KMMA TB — řešené příklady - diferenciální počet funkcí jedné proměnné________________- 24 — Příklady. 1. Napište rozvoj funkce f (x) = Vx podle mocnin (x - 1) do třetího stupně a vyjádřete zbytek. V tomto případě x0 =1 n = 3. Spočítáme hodnotu funkce a jejích prvních tří derivací v bodě 1. Pro tvar zbytku budeme potřebovat čtvrtou derivaci. 1 f(x) = Vx=x2 f(1) = 1 f/(x) = -x"i 2 f'(l) = ± w 2 f'(x) = --x"2 4 f"(l) = -I w 4 r(x)=-x_i 8 r(i)=-w 8 f(4)(x) = --x? 16 16 *, n r~ , x —1 (x —1) (x —1) „ / \ f(x) = Vx=l +--------^------'- + s------^- + R,(x) ,kde 2 8 16 5 zZ R3(x) =-------ů2 (x-1)4 , přičemž ů je vhodné číslo ležící mezi lax. 2. Rozvojem vhodné funkce f(x) podle mocnin x až do pátého stupně vypočtěte přibližnou hodnotu Ve". V tomto případě použijeme Maclaurinův rozvoj funkce f (x) = ex, n = 5, x0 = 0 . f(x) = f'(x) = r(x) = r(x) = f(4)(x) = f(5)(x) = f(6)(x) = ex f (0) = f'(0) = f "(0) = f "(0) = f (4)(0) = f(5) (0) = e° = 1, f (6)(#) = e* v „ X X X X X ^ / \ e =1 + —+ — + — + — + — + Rs(x), 1! 2! 3! 4! 5! kde R5 (x) = —e* , kde ů je vhodné číslo mezi 0 a x. 6! Dosazením x = 0,5 dostaneme o 52 o 53 o 54 o 55 Ve" = e0,5 =1 + 0,5 + ^— + ^ + ^—+ ^ + R,(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,02083+ - , ft 2 6 24 120 Cislo ů + 0,00260 + 0,00026 + R5 (0,5) = 1,64869 + R5 (0,5) leží mezi 0 a x = 0,5. Proto můžeme zbytek odhadnout takto: R (0>5) = Mle*^MleW K ]. Definice (vlastní limity). Říkáme, že posloupnost {an} má limitu a a píšeme lim an = a právě když ke každému e > 0 existuje číslo n0 e N tak, že pro všechna n > n0 platí |an -oc| < e. Definice (nevlastní limity). Říkáme, že posloupnost {an} má nevlastní limitu rovnou °° [respektive - -°°L píšeme lim an =oo [ respektive lim an = -°° ] právě když ke každému číslu A existuje číslo n0 eN tak, že pro všechna n>n0platí an > A [respektive an < A]]. Definice. Nechť {an} je taková posloupnost reálných čísel,že platí a: < a2 < ... ^an < [respektive a, a2 > ...> an > [respektive a, >a2 > ... > an >... ] . Potom říkáme že posloupnost {an} j e nerostoucí [respektive klesajícící]. KMMATB— řešené příklady -posloupnosti__________________________________________-26 — Pro limity posloupností platí řada tvrzení, z nichž zde připomeneme následující: 1. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. 2. Má-li posloupnost vlastní limitu, pak je ohraničená. 3. Každá neklesající, shora ohraničená posloupnost má vlastní limitu. 4. Každá nerostoucí, zdola ohraničená posloupnost má vlastní limitu. 5. Nechť lim an = a , lim bn = ß . Pak platí lim(an±bn)=a±ß , lim(anbn) = aß aje-li b ^ 0 pro všechna n e N platí lim —^- = — . n^~bn ß ( iY 6. lim \l-\— = e . »-H n J Ze střední školy znáte aritmetickou a geometrickou posloupnost. Nyní je připomeneme. Definice (aritmetické posloupnosti). Číselnou posloupnost {an} nazýváme aritmetickou, jestliže existuje takové číslo d, zvané diference, že an+1-an =d pro n = 1,2,... . Poznámky. 1. Aritmetická posloupnost je určena např. prvním členem a: a diferencí d. 2. Pro součet sn prvních n členů aritmetické posloupnosti platí sn= —-------n. 3. Platí an = aj + (n -l)d . 4. Platí ar = as+(r-s)d, kde ar , as jsou libovolné členy posloupnosti {an} . 5. Pro n * 1 platí an = a""1+a"+1 . 2 Definice (geometrické posloupnosti). Číselnou posloupnost {an} nazýváme geometrickou, jestliže existuje takové číslo q, zvané kvocient, že _______________an+1 =an-q pro n =1,2,... ._______________________________________________ Poznámky. 1. Geometrická posloupnost je určena např. prvním členem a: a kvocientem q. 2. Pro součet sn prvních n členů geometrické posloupnosti platí l-q pro q /1 3. an =a1qn"1 4. Platí ar =asqrs , kde ar , as jsou libovolné členy posloupnosti {an}. 5. Pro n ž 1 platí |an | = A/an_1an+1 . KMMATB— řešené příklady -posloupnosti________________________________________- 27 — Příklady. 1. V aritmetické posloupnosti je dáno a4 = 0 , a6 =-4 , sn =12. Určete n. Řešení: Ze vztahu ar = as + (r - s)d dostáváme a6 = a4 + 2d to je -4 = 2d a tedy d = -2. Dále platí sn = —------- • n a an = a: + (n - l)d . Odtud dostaneme sn=|.[2a1+(n-l)d] a: vypočítáme ze vztahu a4 = a: + 3d . Dosazením Z3 3,4 3 d dostaneme 0 = aj +3-(-2) tedy aj = 6 Dosazením do vztahu pro sn dostaneme 12 = -(2-6-2n + 2) <=> 24 = 12n -2n2 +2n <=> 2n2 -14n + 24 = 0 2 Řešením této rovnice vyjde 7±a/49-48 n12=---------------- , n1=4,n2=3 2. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, je-li ai _a2 a, a2 + a3 — 1 j a a4 är Tä^- — 1.ZU Užitím vztahu an=ajqn~ dostáváme aj -a^ + a^2 =15 a a:q3-a:q4+ajq5 =120 a!(l-q + q2)=15 a a^^l-q + q2^ 120 a odtud a,q3(l-q + q2) 120 3 n „ , , . ,, , /v---------r-r^ =----- <^> q=8 <^> q = 2 a dosazeni do první rovnice dava a,[l-q + q J 15 15 , i1(l-2 + 22) = 15 <^> a, = — 1 3 3. Připočteme-li k číslům 2,7,17 totéž číslo, vzniknou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete je, Řešení: Přičtené číslo označme x. Hledané členy geometrické posloupnosti jsou 2+x, 7+x, 17+x.. Platí 17 + x 7 + x 7+x 2+x ,(2 + x)(7 + x) (l7 + x)(2 + x)=(7 + x)2 <=> x2+19x + 34 = x2+14x + 49 <=> 5x = 15 <=> x = 3 KMMATB— řešené příklady -posloupnosti_________________________________________-28 — 4. Spočtěte limitu posloupnosti {an}~=1 , kde an = n2 -n + 2 3n2+2n-4 Řešení: 1-1 — n2-n + 2 ,. n + n2 1-0 + 0 1 lim —------------= lim------—J— =----------= - n^-3n2+2n-4 n^°°^,^__4_ 3 + 0-0 3 2 n n 5. Spočtěte limitu posloupnosti {an}~=1 , kde an = (V n +1 - Vn j . Řešení: lim(VnTT-Vn-)=lim^±^£Í^±^ = -- n + 1~n Vn + 1 + Vn" n^°° Vn + 1 + Vn" lim-==----= n^°°Vn + l+Vn 6. Spočtěte limitu posloupnosti {an}~=1 , kde an = — + — + ... + - 2 2 ..... 2 vn n n J Řešení: 1 2 n-1 1 /, n i ,» 1 l + (n-l) / ,\ n-1 — + — + - + — = — l + 2 + ...+ n-l =— V '.n-l =—-n n n n n 2 2n ,. íi 2 n-ri ,. i n-i i,, r n i hm — + — + ...+—— = hm---------= -hm 1— =- »Hn n2 n2 J »-*» 2 n 2«^v n J 2 „ ™ • •• , • r i- , , 10 11 n + 9 /.Zkoumejte monotonii a ohraničenost posloupnosti |an jn=1 , kde an =---------...-------- Řešení: Posloupnost je rostoucí právě tehdy když platí —^- > 1. 10 11 n + 9 n + 10 an+i 1 3 2n-l 2n + l =n + 10 an 10 11 n + 9 2n + l 1 3 " 2n-l n + 10 , ,„ >1 <^> n + 10>2n + l <^> n<9 2n + l Posloupnostje pro n< 9 rostoucí, pro n > 9 klesající. Shora je ohraničena číslem a9 , zdola je ohraničena číslem 0 (neboť součin kladných čísel je vždy kladný). KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné____________________- 29 — Neurčitý integrál. Definice. Buď I otevřený interval a buďte F(x), f(x) dvě funkce, definované v intervalu I. Nechť pro každé x e I platí F'(x) = f (x) . Pak říkáme, že funkce F(x) je v intervalu 1 primitivní k funkci W______________________________________ Věta. Pro primitivní funkci platí: 1. Buď F(x) funkce primitivní k funkci f(x) v intervalu I a nechť c je libovolně číslo. Pak funkce F(x) + c je také primitivní k funkci f(x) v intervalu I. 2. Buďte F(x), G(x) dvě funkce primitivní k funkci f(x) v intervalu U. Pak existuje číslo c tak, že G(x) = F(x) + c . 3. Buď f (x) funkce spojitá v intervalu I. Pak k ní v intervalu I existuje funkce primitivní. Definice. Množinu všech funkcí primitivních v intervalu I k funkci f(x) nazýváme neurčitý integrál funkce f(x) v intervalu I a značíme I f (x)dx . Píšeme |*f(x)dx = F(x) + c , xel Poznámka. Funkci f(x) nazývame integrandem, symbol | integrálním znakem, konstantu c integrální konstantou. Výkon, kterým určujeme neurčitý integrál F(x) + c k dané funkci f(x) nazýváme integrováním (integrací) funkce f(x) Věta. Buď I otevřený interval a nechť v něm existují neurčité integrály funkcí fj(x),f2(x),...,fn(x). Buďte Cj,c2,...,cn čísla. Pak v intervalu I existuje také neurčitý integrál k funkci c1f1(x) + c2f2(x) + ... + cnfn(x) a platí j[c1f1(x) + c2f2(x) + ... + cnfn(x) ]dx = = c1Jf1(x)dx + c2Jf2(x)dx + ... + cnJfn(x)dx + c . Na následující straně uvedeme v tabulce přehled vzorců, které plynou ze základních vzorců pro derivace. Zde pro úsporu místa uvedeme větu o integraci per partes.. Věta (o integraci per partes) Nechť funkce u(x), v(x) mají v otevřeném intervalu I spojité derivace u(x), v'(x). Potom v intervalu I platí: I u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - I u'(x)v(x)dx . Poznámka. Věta o integraci per partes plyne přímo z věty o derivaci součinu dvou funkcí. KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné 30- exdx = ex + c sinxdx = -cosx + c cosxdx = sinx + c dx = tgx + c Odx = c pro x e (-°°, °°) xndx =-------xn+1 + c pro n ž -1 a x e (-«=,<»), n > 0 celé J n + 1 nebo xe(0,oo)5 n<0 celé nebo xe(-oo50), n<0 celé nebo xe(0,oo)5 n necelé r dx I — = ln|x| + c pro xe (-°o,0) nebo xg (O,») J x exdx = ex + c pro x e (-oo^oo) í í í í í í ------dx = lnlf (x)| + c pro x, pro která existuje f'(x) a pro něž je f (x) ž 0 J f (x) , dx = 2A/f(x) + c pro x, pro která existuje f'(x) a pro něž je f (x) > 0 J Vf(x) ľf(x)dx = F(x) + c => ľf(ax + b)dx=-F(ax + b) + c Následující dva neurčité integrály se v dalším naučíme počítat, aleje velmi užitečné znát výsledek zpaměti: í í cos x dx —— = -cotgx + c sin x dx 1 pro x e (-co, oo) pro xe (-oo^oo) pro x, pro něž je cosx ^ 0 pro x, pro něž je sin x ^ 0 x +a a • arctg—h c pro x e (-°°,») dx Va2 -x f'(x) = arcsin —h c pro x e (-a,a) = ln dx sinx dx Vx2+k tg: In - c pro x, pro která je sin x ^ 0 x + vx2+k +c pro x, pro která je (x2+kj>0 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné 31- Příklady. V následujících příkladech vypočtěte neurčité integrály. l.J(x'+^-COSX + l)dx=|xMx + |x^X-JcOSxdx + | 1 5 2 í cosxdx+I dx =—x + —x2-sinx + x + c 5 3 2 2 f í 3 5 x\ 3 x 5, . . x -------- +------e px = -arctg—+ -lnx-e +c J^4 + x 2x x-1 3' ^^Wdx = $y^dx = -ľ(x _1)'dx = ^T(x _1)'+1 +c = ^x-^+c = 3^I^+l (x-l)l dx - + 1 3 r dx r dx r____ Jx2+2x + 3 J(x + l)2+2 J(x + i dx 1 x + 1 ar ctg—j=- + c + 2X + 3 J(x + l)2+2 J(x + i)2+(V^)2 4Í 4Í f 2 . fan x . f 1 - cos x , f dx f , I tg x dx =-----—dx =------------dx =----------dx = J J cos x J cos x J cos x J tg x - x + c í—=/- J sin x J srn2 — + cos2 — o • (A íx 2 srn — cos — • (A {* srn — cos — íidx=ir^íidx+if^dx Í^S\ cos i COSlf 2j . í x srn — 12 cos — u. -dx + + j! srn srn — U, -dx = -ln cos i + ln srn + c = ln srn cos i + c = ln tg 'U, + c Jl + cos(2x) Jl 1 + cos x + COS2 x-sin2 x dx = ri + cos2xdx=ir^x_+irdx=i J 2 cos x 2 J cos x 2 J 2 tgxH------hc 2 2 í 3x + 5 x2 +2x + 5 3 dx 2FX + 2,+ 2 . 3 f(x'+2x + 5) f dx=- 1^------------Mx + 2 x2+2x + 5 2 | x2+2x + 5 l(x + l)+22 ŕ dx -In x2 +2x + 5 x + 1 x + 1 í x + 3 V5 + 4x -: rdx 2 X + 1 j, / 2 „ r\ X + 1 + —arctg-------hc = —lnx +2x + 5+artcg--------h c 2 2 2 v ' 2 1 2 f a/5 + 4x - -dx = — -dx + 5 dx (-2x + 4) + 5 1 f(5 + 4x-x2) 2 J a/5 + 4x-x2 "~ ' ^ JA/9-(x-2)2 x í; /T h ľ r • x-2 -\/5 + 4x-x +5arcsin--------h c 3 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné 32- Následující příklady vypočtěte metodou per partes. í 10. lnxdx = u = In x v' = 1 , 1 u = — v = x x í = x • In x - | — dx = x • In x x jdx = x • In - x + c r | u = arctgx v' = l 11. arctgx dx = , 1 J u =----- 1 + x' v = x r x j i r 2x j = x • artcgx - -------dx = x • arctgx--------------dx = Jl + x2 2J1 + X2 x arctgx- 1 f(l + x2) , 1, /, 2\ — I-------r^-dx = xarctgx—ln^l + x J+c 2 J 1+x 2 12. rin|x) dx u = ln(2x) v' = — x / 2 -1 u = — v = — 2x x ln(2x) fdx _ ln(2x) 1 _ l + ln(2x) ■ + ----+ c = — + c x x 13. j: x Vxdx = u = x2 v' = e4x ií- u'= 2x v = 1 1 4 + - |e4xdx=-x2e4x--xe4x+ —e4x +c 1 r 2 J , / 4x u = x v =e 2 4x L I 4x j I = —x e — Ixe dx = , , e 4 2 J lu =1 v = ' 2 4s J- 4x . =—x e —xe + 4 32 14. J, u = e2x v' = sin 3x 2x e2x sin3xdx u = e2x v' = cos3x ]_ 3 1 u = 2e v = —cos3x 3 — e2xcos3x + — |e2xcos3xdx í- u' = 2e2x v = —sin3x -e2xcos3x + -e2xsin3x-- |e2xsin3xdx 3 9 9 h porovnáním levé a pravé strany odtud dostaneme — e2xsin3xdx = —e2x cos3x + —e2x sin3x a tedy 9 J 3 9 r 3 2 e2x sin3xdx =-----e2x cos3x + —e2x sin3x + J 13 13 15. x-arctgxdx = u = x v = arctgx X , 1 u = — v = 1 + x' x2 1 f x2 = — arctgx-- -—-2 2 J 1 + x x2 1 fx2+l-l , dx =—arctgx---------------;—dx 2 2J 1 + x2 = —arctgx 2 2 1 h+i í- 2 J 2 Jl dx x: =—arctgx------h —arctgx + c + x 2 x 1 —+ -2 2 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné 33- Nyní přejdeme k výpočtu neurčitého integrálu metodou substituce. Přesné znění vět o substituci viz DSO str. 183 - 187. Nám se zde stačí omezit na dva způsoby, kterými obvykle větu o substituci používáme. A. Substituce typu 2, který má reálné kořeny s násobnostmi k1,k2,...,kr a dvojice komplexně sdružených kořenů a1 ±ib1,a2±ib2,...,as ±ibs s násobnostmi lj,l2,...,ls. Potom platí: f(x) = an(x-al)k'...(x-ajk> [(x-a,)2 +b21]l'...[(x-as)2 +b2s]\ Toto vyjádření se nazývá rozklad na kořenové činitele. Definice (racionální funkce lomené). P (x) Buďte P (x) , Q (x) polynomy. Funkce R(x) = —------ se nazývá racionální funkce Qm(x) lomená. Je-li m > n, nazývá se funkce R(x) ryze lomená, je-li m < n nazývá se R(x) neryze lomená. Poznámky. 1. Obvykle budeme předpokládat, že polynomy v čitateli a ve jmenovateli nemají společné kořeny. 2. Každá neryze lomená racionální funkce se dá vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce (provedením dělení). 3. Abychom dokázali racionální funkci lomenou integrovat, musíme ji převést tvar, který je pro integraci jednodušší. Jedná se o rozklad parciální zlomky. Úplné znění věty o rozkladu racionální fukce lomené v parciální zlomky viz DSO str. 197-198. KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -35- Je-li dána ryze lomená racionální funkce R(x) P„(x) , rozložíme nejprve jmenovatele Qm(x) Qm (x) v kořenové činitele. V rozkladu funkce R(x) na parciální zlomky odpovídá r-násob-nému reálnému kořeni jmenovatele ai součet r parciálních zlomků A, - + - A, - + ... + - A, x-a; (x-ocj2 (x-ocj a každé dvojici s-násobných komplexně sdružených kořenů jmenovatele at ± ib i odpovídá součet s parciálních zlomků: BjX + Cj B2x + C2 B.x + C. (x-a^+b.^Kx-a^+břr^Kx-a^+b?) Koeficienty A1,...,Ar,B1,C1,...,Bs,Cs jsou jednoznačně určeny a spočteme je metodou neurčitých koeficientů, kterou vysvětlíme na následujících příkladech. Příklady. V následujících příkladech rozložte racionální funkci lomenou v parciální zlomky. 2x 21. R(X)=?------rp------rp------r (x + l)(x + 2)(x + 3) Řešení: jmenovatel má pouze jednonásobné reálné kořeny, rozklad na parciální zlomky má proto tvar 2x A + - B C - + - (x + l)(x + 2)(x + 3) x + 1 x + 2 x + 3 •(x + l)(x + 2)(x + 3) 2x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + l)(x + 3) + C(x + l)(x + 2) Dostali jsme rovnost dvou polynomů. Ta musí být splněna pro všechna čísla x, tedy i pro kořeny jmenovatele, což jsou čísla -1, -2, -3. Dosazením kořenů jmenovatele do předchozí rovnosti obdržíme: x = -l: -2 = 2A <=> A = -l x = -2: -4 = -B <=> B = 4 x = -3: -6 = 2C <=> C = -3 a rozklad funkce R(x) na parciální zlomky je 1 4 3 R(x) = —- + x+1 x+2 x+3 22. R(x) 2x3 +6x2 +X-2 x3(x-2) Řešení: jmenovatel má jednonásobný reálný kořen 2 a trojnásobný reálný kořen 0. Rozklad na parciální zlomky má proto tvar 2x + 6x + x - 2 !(x-2) A B C D ------+ ^ + ^ + — x-2 x3 x2 x '(x-2) KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné___________________- 36 — 2x3 + 6x2 + x - 2 = Ax3 + B(x - 2) + Cx(x - 2) + Dx2 (x - 2) = = Ax3 +Bx-2B + Cx2 -2Cx + Dx3 -2Dx2 dosazením kořenů jmenovatele dostaneme: x = 0: -2 = -2B ^ B = l x = 2: 40 = 8A ^ A = 5 protože jmenovatel nemá více kořenů, budeme dále postupovat meodou porovnání koeficientů u stejných mocnin x u x3 : 2 = A + D => D = 2-A = 2-5 = -3 u x2 : 6 = C-2D => C = 6 + 2D = 6-6 = 0 a rozklad R(x) na parciální zlomky je 5 1 3 ----+ — x-2 x3 R00 = —~ + 3 23. R(x)= (\---------r (x-l)(x +X + 1J Řešení: jmenovatel má jednonásobný reálný kořen 1. Kvadratický troj člen x2 + x +1 nemá reálné kořeny a odpovídá v rozkladu jmenovatele na kořenové činitele dvojici jednonásobných komplexně sdružených kořenů. Rozklad R(x) na parciální zlomky má tvar: 1 A Bx + C (x-l)(x2+x + l)~x-l x2+x + l •(x-l)(x2+x + l) 1 = a(x2+x + i)+(Bx + C)(x-1) = Ax2+Ax + A + Bx2 -Bx + Cx-C dosazením reálného kořene jmenovatele obdržíme x = l: 1 = 3A <=> A = - 3 a dále porovnáme koeficienty u stejných mocnin x: 1. 3 x° : 1 = A-C ^> C = A-1 = -- 3 a rozklad R(x) na parciální zlomky je 1 1 1 x+2 x2 : 0 = A + B ^> B = -A= l R(x) = 3 x-1 3 x2+x + l A. Integrace racionální funkce lomené. Racionální funkci neryze lomenou nejprve převedeme na součet polynomu a racionální funkce ryze lomené. Z věty o rozkladu ryze lomené racionální funkce je vidět, že půjde o integrály následujících typů: KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -37- r_dx_ J (x - oc)r (x-a)1' 1-r - + c pro r ž 1 lnlx -al + c pro r = 1 „.J Mx + N [(x-a)2+b2 dx x - a = bt dx = bdt Poslední integrál vede na dva typy '.2 J(x2+l)n |2xdx = dt| J2tn 2. Integrál K =--------— . J(l + x2)n v „ f dx i dt At + B dt pro n=l je zřejmě + x' = ar ctg x + c pro n > 1 lze odvodit rekurentní vzorec x 2n-l Kn+1=- - + - K. 2n(l + x2)n 2n V následujícím příkladu si předvedeme odvození rekurentního vzorce pro případ n = 2. Příklady. 24. Vypočtěte K; -Ji dx (i+*>ř Víme, že K, dx = =arctgx a budeme počítat K, metodou per partes: Jl + x K -íl dx + x/ u = 1 + x2 ■2x v' = l V = X + 2 f dx _ f_ dx Jl + x2 Jfi 1 + x' + 2 d x , x dx &+*') 1 + x „ fx^+l-l , 1 + x2 ' Jl + x2 J(l + x2)2 1 + x Porovnáním levé a pravé strany dostáváme -+2K1-2K2 2K2 = 1 + x K, = r + Ki i 2(l+ x2) 2 + —arctgx + c KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné_________________- 38 — 25 f 2x dx J(x + l)(x + 2)(x + 3) Jedná se o integrál z ryze lomené racionální funkce, jejíž rozklad na parciální zlomky jsme odvodili v př. 21 na str. 35. Tedy t------ň7-------ň7------šdx=---------+----------------dx = -ln|x + l| + 41n|x + 2|-31n|x + 3| + c J (x + l)(x + 2)(x + 3) JI x + 1 x + 2 x + 3j ...... , (x + 2)4 ln------------------+ c (x + l)(x + 3)3 fix i" DX i-X — Z , 26. -------—(------;-----dx *2x3 +6x2 +X-2 xJ(x-2) Jedná se o integrál z ryze lomené racionální funkce, jejíž rozklad na parciální zlomky jsme odvodili v př. 22 na str. 35-36. Tedy f2x3+6x2+x-2 , íf 5 1 3V rí | , 1 „, | | -------77------x-----dx= ------+ —------dx = 51nx-2--------31nx +c = J x3(x-2) JU-2 x3 xj ' ' 2x2 ' ' X 3(x- 2) 1 2x2 r + ln 1 x -X 2|5 3 + c Jedná se o integrál z ryze lomené racionální funkce, jejíž rozklad na parciální zlomky jsme odvodili v př. 23 na str. 36. Tedy \( v 3 f 1 a fí1 l l x + 2 \ !. I íl l h[ )+2A 7------^T^---------\dx= ------------------9--------- dx = -lnx-l------------------dx J(x-l)(x2+x + l) J^3 x-1 3 x2+x + lj 3 ' ' 3 J x2+x + l 1 f 2x + l . 1 f dx 1, i ,i l,r 2 ,\ 1 - I—:---------dx-- I----------------= -lnx-l--ln(x +X + 1I--P 6 Jx2+x + l 2 Jí \Y 3 3 ' ' 6 v ' V3 B. Integrály obsahující goniometrické funkce. Poznámka. Racionální funkcí lomenou R(u,v) dvou proměnných budeme rozumět funkci s touto vlastností: považujeme-li v za konstantu, je tato funkce racionální lomenou funkcí proměnné u a považujeme-li u za konstantu, je tato funkce racionální lomenou funkcí proměnné v. KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné________________-39 — a) cosm x • sinn x dx , m, n > O jsou celá čísla 1. Je-li (m+n) sudé, užijeme vzorců l-cos(2x) 2 l + cos(2x) . 1 . / n ---------—- , cos x=---------—- , sinxcosx =—sin(2x) sin2x= , ------- , ------------- 2 2 2 2. Je-li (m+n) liché, užijeme substituce a) pro m liché sin x = t ß) pro n liché cosx = t b) jR(sinx,cosx)dx, kde R je racionální funkce lomená dvou proměnných Je-li 1. R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx) použijeme substituci cosx = t. 2. R(sin x,-cosx) = -R(sin x, cosx) použijeme substituci sin x = t 3. R(-sin x,-cosx) = R(sinx,cosx) použijeme substituci tgx = t t 1 j 1 sin x = —= , cosx =—; , dx 2 Vi+t2" ' Vi+t2" ' 1+t v 4. v ostatních případech použijeme substituci tg—= t 2t 1-t2 , 2dt sinx=------- , cosx =------- , dx c 1 + t2 ' 1 + t2 ' 1 + t2 Příklady. 28. sin2 x • cos2 x dx s odkazem na a)l. užijeme uvedených vzorců a obdržíme sin2 x cos2 xdx = — sin2Í2x)dx = — (l-cos(4x))dx =--------sin(4x)+ J 4 J 8 J 8 32 29. cos4 x dx opět s odkazem na a)l. užijeme uvedených vzorců a obdržíme ícos4xdxí(cos2x)2dx= í —^LZi dx =-í(l + 2cos(2x) + cos2(2x))dx = —+ -sin(2x) + - (l + cos(4x))dx = —+ -sin(2x) + —+ — sin(4x)+c = 4 4 8 J 44 8 32 = — + —sin 2x) + — srn 4x +c 8 4 32 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -40- 30. sin5 x dx s odkazem na a)2.ß) užijeme substituce cosx = t I sin5 x dx = I sin 4 x • sin x dx = I (l - cos2 x) sin x dx = cosx = t ■ sin x dx = dt = J-(l-t2)2dt = r 21 2i = - (1 - 2ť + ť) dt = -t + -13 — t5 + c = - cos t + - cos31 — cos51 + c J 3 5 3 5 f sin3 x , f 31. -----— dx = J cos x J (1-cos2 x) sin x cos2 x dx = cosx = t sin x dx = dt -Fŕ*-J(-i9*-í + c = 1 : cos x H---------h c , kde jsme použili substituce podle b)l. cosx 32. ÍT dx + 3 cos2 x s odkazem na b)3. a užijeme substituce tgx = t 1 í dx l + 3cos x tgx = t cosx Vi + ť dx = dt 1 + ť Jl + A Jt2+4 J 1 + t2 1 tgx — arctg------h c 2 2 dt 1 t ,-----= -arctg-+c 2+4 2 2 ÍT 33. I^^dx + COSX s odkazem na b)4. užijeme substituce tg— = t íl cosx ■dx + COSX x . 2t tg—= t sinx =------ 2 1 + t2 2dt 1-t2 dx =------- cosx = 1 + ť 1 + ť í i-ť 2 1 + t2 1 + t2 1 + 1-ť 1 + ť dt »1-t2 2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 +1 —t" -dt 1 + ť = ľ-----rdt = - ľ— , dt = - ľ 1--------- dt = -t - 2arctgt + c J 1 + t2 J 1 + t2 Jl l + t2J X f X i x -tg--2arctg tg- +c = x-tg- + c KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné 41 C. Některé další typy integrálů. a) r(x, Va2 - x2 jdx řešíme substitucí x = a • sin t b) r(x, Va2 + x2 jdx řešíme substitucí x = a • tgt c) r(x,Vx2 -a2 jdx řešíme substitucí x =----- J sin t d) j*R(ex)dx řešíme substitucí ex = t Příklady. 34 x2dx x = v 3 sin t dx = VŠ costdt :JV3-3sin2tV3 costdt = J a/3 cos21 V3" cost dt x 3 = 3 cos21 dt = - (l + cos(2t))dt = -t + -sin(2t)+c = -arcsin^= + J 2 J 2 4 2 JŠ í 35. í dx M x = 2tgt 2dt dx = cos21 ■í 2dt (4tg2t + 4J3 cos21 f VŠ 4 dt sin 2 arcsin v V3" + c ^sin2t V vcos t j cos21 í dt ŕc\„1 2+V sin t + cos t v cos21 j cos21 1 f cos31 , 1 f 1 . — I—p=--------dt =— lcostdt = —si 4 J Vť cos21 4 J 4 sin t + c 1 • í A — arcsin arctg— + c 4 l 2) 36. J; dx !V^T i x =----- sin t cost , dx =------— dt sin t <• -cost | sin21 rdt: sin21 V sin21 I -cost _ j* J li-sin21 J sintdt = = cost + c = cos arcsin — + c 37. ľ ex j ex = t f dt I—:------dx = = —:-----= artcgt + c = arctge +c Je2x+1 exdx = dt Jť+1 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné________________- 42 — Určitý integrál. b V DSO na straně 218 - 236 je přesně definován Riemanův určitý integrál ff(x)dx. a Zde uvedeme jenom nejzákladnější poznatky a budeme se zabývat výpočtem určitého integrálu. Poznámka. b Exis.uje-li Riemanüv integrál \((x)dx , říkáme, že funkce fW je integrovatelná a v intervalu . Věta. Nechť a, b e R, a < b. Nechť f (x) je funkce spojitá na a nechť F(x) je funkce primitivní k funkci f(x) na a nechť je zde spojitá. Pro určitý integrál z funkce f(x) od a do b platí b Jf(x)dx = F(b)-F(a) = [F(x)I a Poznámky. 1. Nechť funkce f(x) je omezená na intervalu a je na něm spojitá s výjimkou konečného počtu bodů nespojitosti. Potom je na integrovatelná. 2. Nechť cl3...,cn+1 e< a,b > takováčísla, že a = Cj < c2 <...< cn < cn+1 =b anechť f(x)je omezená na a spojitá v každém intervalu (ci3ci+1), i= l,2,...,n. Nechť F;(x) je primitivní k funkci f(x) na(ci3ci+1), i = l,2,...,n a nechť je spojitá na . Potom f f (x)dx = V (F; (ci+1) - F; (c,)). 1=1 a ab 3. Klademe f(x)dx = 0 aje-li a , potom P obsah obrazce, ohraničeného osou x, přímkami x = a ax = b a grafem funkce y = f(x) je roven b P= ffOOdx Jf(x), Věta (o integraci per partes). Nechť funkce u(x), v(x) mají na intervalu spojité derivace u'(x),v'(x). Potom platí b b I u'(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]ha - I u(x)v'(x)dx . KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -43- Věta (I. věta o substituci), Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu (A,B). Nechť'funkce x = (p(t) má na intervalu (oc,ß) spojitou derivaci a nechť pro t e (a, ß) je (p(ř)e (A,B) a p/(/)dt= J/(x)(b a p(a) Věta (IL věta o substituci). Nechť funkce x = cp(ŕ) má na intervalu (a,$) spojitou derivaci a nechť k ní existuje inverzní funkce p/(0*- a a Poznámka. Tvrzení obou vět o substituci lze jednoduše shrnout takto: Pokud při výpočtu určitého integrálu použijeme substituci, můžeme transformovat meze, v nichž integrujeme a nemusíme se po výpočtu příslušné primitivní funkce vracet k původní proměnné. Příklady. 5 í dx 1, 13 -[ln|3x-2|ľ =-(lnl3-ln4) = -ln- 3x-2 3 ' l2 3 3 4 2.fji±ldx=ir4^dx+3f^=l[,„(x«+4)í + J x2+4 2J x!+4 J x2+4 2 ^ ' 0 0 0 3 13 + — (arctgl - arctgO) = — ln 2 + - % 2V ' 2 8 ar ctg: = -(ln8-ln4) + 2V ' 2 í dx x2+5x + 9 í dx ,2 5 1 11 x + — + — i v V 4 2 T 9 7 ^ artcg—1= - artcg—p= Vil Vlij x + - arctg- 2 2x + 5 arctg- 1 2 ! 2 ! ! 4. —:-----dx = —-------dx = dx - —-----= [x - arctgx]!, =1---- J x2+l J x2+l J J x2+l ° 4 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -44- \ 5. I x2 ln2 xdx u' = x2 x3 u = — 3 v = In2 x , 21nx X e^_2 3 3 -lnx -ln2x 2f 2j e3 2 e3 2 + - x dx =--------------+ - 9J 3 9 3 9 e -fí x2 lnxdx u = x v = In x i = e^+2e^____ 9 27 27 2 5e3-2 27 27C 6. x2 cosxdx u = x2 v' = cosx u' = 2x v = sin x 27C [x2sinxj0 -2 x sin xdx u = x v = sin x u'= 1 v = -cosx 2.% = 2[x cos xf0K - 2 cos x dx = 4rc - 2[sin xf0K = 4rc J(l-lnx)2 dx u' = l v = (l-lnx) /_2(l-lnx) U = X v e e = [x(l - In x)í + 2 ľ (l - In x)dx = -1 + 2[xle - 2 ľln x = u' = 1 v = In x , 1 u = x v = — e = -1 + 2e - 2 - 2[x ln x dxj + 2 ľdx = -3 + 2e - 2e + 2[x\l -3 + 2e-2 = 2e-5 í 8. sin x cosxdx = sin x = t x = 0 <=> cosxdx = dt t = 0 X =— <^> t =----- 4 2 V2 2 = ]ŕát=l-W = I _i-_L 4 16 ~ 16 r____dx_ J x-Vl^I ■ln2x i dx , ln x = t — = dt x x = l <=> t = 0 x = e <ří> t = 1 f dt r "Íl K = , = arcsin t L = — 10. F 2-x2 dx = x = v 2 sin t x = 1 <ří> x = V2 <^ dx = V2 costdt 71 t = t 2 2 = [-^2(1-sin2 t)V2 costdt = Í2cos2tdt = : ľ(l + cos(2t))dt t + -sin(2t) 2 2 _ K K 1 _ ^ 1 t ~ 2 4 2 ~ 4 2 KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -45- 3- - 2 tg X J fl + tl J(l + tgx)2 dx tg x = t x = arctgt dx Ti dt 4 X = <^> <^> 1 + ť t = l t = Vš -x/3 , V3 f 1 + ť dt f dt J(ütf' TTť~J(í7^ 1 + t V5 i i _ i i-Vš _i i-VŠ _ Vš 2 1 + VŠ~2 (l + VŠ Xl - VŠ) ~ 2 -2 2 -x/3 -x/3 dx f dx (i+x2)3 •!(i+x2)Vi7^ . .if V3-V2 x = tgt t = artcgx dt = dx x = l x = VŠ t = t = 1 + x' 71 4 71 - f dt - J Vi+tg2t costdt = [sint]^ 4 13. ítg3xdx = tgx = t x = arctgt dx x = 0 <=> TU x =— <=> dt 1 + t2 t = 0 t = l = f-£-dt = í^^dt = ft(t2+l)-tdt = Jt2+1 J t2+l J ť+1 = ftdt—\——dt = J 2Jť+l 1 ln2 |kr + .)l = 2 2 Nevlastní integrál. V definici určitého integrálu jsme předpokládali, že integrační meze jsou konečná čísla a integrovaná funkce je omezená. Nyní pojem integrálu rozšíříme i na neomezené intervaly a na neohraničené funkce. Definice. t Neclrf funkce «x) je definovaná v intervalu < a,~) a „eclrf pro každé t > a existuje integral Jf(x)dx. a Potom řekneme, že nevlastní integrál I f (x)dx existuje (konverguje) právě tehdy, když existuje vlastní limita lim f(x)dx a definujeme f(x)dx = lim f(x)dx . Jestliže tato limita neexistuje nebo t^oo J J t^oo J a a a nevlastní, řekneme že nevlastní integrál neexistuje (diverguje). je KMMA TB — řešené příklady - integrální počet funkcí jedné proměnné -46- b b Poznámka. Analogicky se definuje nevlastní integrál I f(x)dx = lim ff(x)dx. -oo t Definice. Nechť f(x) je funkce integrovatelná v každém omezeném intervalu (a,b) a nechť c je reálné číslo. Řekneme, že nevlastní integrál I f(x)dx konverguje právě tehdy, když existují oba nevlastní integrály f(x)dx i f(x)dx . Potom definujeme f(x)dx= f (x) dx + f (x) dx . V opačném případě -oo c -oo -oo c řekneme, že nevlastní integrál I f (x) dx neexistuje (diverguje). Poznámka. Dá se ukázat, že existence ani hodnota výše definovaného nevlastního integrálu nezávisí na čísle c. Definice. Nechť f(x) je funkce integrovatelná v intervalu pro každé x e (a, b) a neohraničená v bodě b. x Nechť existuje vlastní limita lim I f (t) dt. Pak definujeme nevlastní integrál (vlivem horní meze) x—>tr J a b x vztahem if (t) dt = lim if (t) dt. J x—>b J a a Poznámka. b b Analogicky se definuje nevlastní integrál (vlivem dolní meze) jako f (t) dt = lim f (t) dt . J x—>a+ J a x Příklady. 14. f * lim f x 5 dx = lim ľ^ -1 t 5 f 4 A -x3 = —hm t.3 -1 4 4 1 t^oo v J oo t 15. fxe"x2 dx = lim f xe x dx = x =y dx dy x = 0 <=> y = 0 x = t <=> y = t2 = lim I —e ydy = lim 1 _t2 1 -e +- ]_ 2 c c viz př. 10 r mí \ In t 16. I lnxdx = lim I lnxdx = = lim xlnx-xľ = ľim(-l + t-tlnt) = -1 + lim—- = -1 J t^o+J str. 32 t^o+ t^o+v t^o+ 1/