Příklady na integrování racionálních lomených funkcí s proměnou x a s proměnou sin(x) a cos(x), které se substitucí převedopu na předchozí případ, pro cvičení s obecnými poznámkami v úvodu.
Poznámka: komentáře k příkladům byly generovány algoritmicky s použitím programu Maple. Někde se například najde výpočet / Odx, ktrý není třeba podrobně studovat ani provádět pomocí substituce uvedené v komentáři. Maple rovněž používá při výpočtech funkce arcus tangens hyperbolický, který my nepoužíváme a rozepisujeme jej pomocí logaritmů. Mocninu funkce, kterou obvykle značíme fn(x) značí maple f(x)n. Maple také nepíe u primitiovních funkcí integrační konstanty. Já jsme je v tomto textu nedoplääoval, ale vy je, prosím důsledně pište, není dobré je zapomínat, jak ukazují rozdílné tvary výsledku hned v prvním integrálu.
Prostudování následujících příkladů je dosti dobrou průpravou ke zkoušce. Pokud je však vyřešíéte sami a pouze si zkontrolujete výsledky, příp. výpočty, je to průpravou ke zkoušce mnohem lepší.
Tyto příklady vám přenechávámk samostudiu. Ve cvičeních se pak budeme podrobněji zabývat jen těmi příklady u jejichž výpočtů budete mít nejasnosti.
■ dx
(x — a)r substituce := x — a
*<-"> dx
bx + c                  1      [            2x — 2u                       f        bu + c
■ dx =  — b   /  ——:-------------------------------—— dx +    /  —-----------—--------;rr— dt
((x — u)2 + v2)n           2    J (x2 — 2ux + u2 + v2)n          J  ((x — u)2 + v2)
1  ,   f            2x-2u
— b     —-r----------------------—— dx
2    J  (x2 -2ux + u2 +v2)n
substituce := x2 — 2ux + u2 + v2 = t
*(-"> dt
bu + c
dt
převede výpočet na integrál:
((x — u)2 + v2y
substituce := x — u = v t
ddt
(ť2 + 1)' pro který máme odvozený rekurentní vztah:
1                                              l(n — l)t
K(n) = - (2 n - 3) (n - 1) K(n - 1) + - (^+    ^_1}, K(l) = arctg(t)
tedy
K(l) = arctg(ŕ) K(2) = l arctg(t)
2        ÖW      2 t2 + 1 K(3) = -aictg(í) + -
2
2        ÖW      2 t2 +1      (t2 +1)
T,.,,      45          M     45     í          15        t            3        t
K(4) = — arctg(t) + — --— + — —-—- + -
4        bW      4 ť2 + 1       2   (t2 + l)2      2 (t2 + 1) K(5) = ^ arctg(í) + ^ -±- + 105 -^— + 21 ■      '
3
2   " " bW  '     2   t2 + 1            (t2 + l)2          (t2 + l)3        (t2 + l)4
1
(x   — l)      dx
(x2 -íy1 = 1/2 (x - íy1 - 1/2 (x + íy1 [j (x2 - íy1 dx = /1/2 (x - 1y1 -1/2 (x + 1y1 dx =
f 1/2 {x-iy1 dx+l-l/2 {x + iy1 dx,$l/2 {x-iy1 dx, '   substituce:     ' ,t = 2x-2, f 1/2t^dt =| l/2 1n(ŕ) = l/2 1n(2x-2),/-l/2 (x + l)_1dx, '   substituce:     ' ,t = 2x+2, J-1/2^dt = -1/2 ln(ŕ) =| -l/2 1n(2x + 2)]
(x2 - l)_1 dx = 1/2 ln(x + 1) + 1/2 ln(l - x)
Pozn.: ln(2x + 2) = ln(2(x + 1)) = ln(x + 1) + ln(2) a / f(x)dx = F (x) + c, takže ln(2) lze zahrnout do integrační konstantz a funkce x i—> ln(2x + 2)axn ln(x + 1) jsou primitivní k téže funkci, což lze ověřit derivováním.
[x   — 2 x + l)      dx
(x2 -2x + l)_1 = (x- l)~2[/(x- l)~2dx, '   substituce:     ' ,t = x-1, Jt-'2dt = -t"1 = - (x - l)-1 ,resi]|
(x   — 2 x + l)      dx = — (x — 1)
/(x'-^ + lO^-lOx' + .x-l)-*
(x5-5x4 + 10x3-10x2 + 5x-l)   ^(x-1)   5[/(x-l)   5dx, '   substituce:     ' ,t = x-1, Jt~5dt =| -l/4t-4 = -1/4 (x - l)-4 , resi]
(x5 -5x4 + 10x3 -10x2 + 5x-l)_1dx = -1/4 (x - 1)~4 (x' + l)      dx
(x2 + l)   X = (x2 + l)   1[/(x2 + l)   X dx = jOdx + j(x2 + l)   X dx, '----',/Odx,   '   substituce:     '
;í = x2 + l,/0dt = 0 = 0, '----' ,f(x2+ iyX dx, '   substituce  ' ,x = t, j (t2 + l)_1 dt = arctan(í) =
arctan(x)]
V + ir^arcWx) (x4+2x2 + l)_1dx
(x4 + 2x2 + l)_1 = (x2+ iy'2[j(x2 + iy2dx = j'0dx +j(x2+ iy'2dx,  '- -'   J'Odx,    '   substi
tuce:     ' ,t = x2 + l,j0dt = 0 = 0, '----' , |(x2 + l)~2 dx, '   substituce   ' ,x = t, j (t2 + l)_2 dt ■
I/2 t4r + 1/2 arctan(í) = 1/2 -J^ + 1/2 arctan(x), resi]
(x4 + 2x2 + iyX dx = 1/2 -^-— + 1/2 arctan(x)
xz + 1
(x  + 4 x + 5)     dx
(x2 +4x + 5)_1 = (x2 +4x + 5)_1 [|(x2 +4x + 5)_1dx = |0dx + /(x2 +4x + 5)_1 dx, '----' , jOdx,
'   substituce: '  ,t = x2 + 4x + 5, JOdt  = 0 = 0,'--' , |(x2 + 4x + 5)~ dx, '   substituce '
; x = t — 2, J (t2 + l)     dt = arctan(t) = arctan(x + 2), resi]
(x2 + 4 x + 5)     dx = arctan(x + 2)
r2 + 4 x + 5
dx
£2+4 a+5
'   substituce
-dx
substituce
Jl/2^^r5dx+J-2(x'+4x + 5)-1dx/- -<Jl/2^|^_dxJ í = x2+4x+5,/l/2,r1dí = l/2 1n(ŕ) = 1/2 ln(x2+4x+5), '- -' ,/-2 (x2+4a
úl
u íc2+4 íc+5
,í = x2+4x+5,/l/2,r1dí = 1/
t - 2, /-2 (t2 + l)_1 dt = -2 arctan(ŕ) = -2 arctan(x + 2), resjj
/ —----y-------dx = 1/2 ln(x2 + 4 x + 5) - 2 arctan(x + 2)
/ x2 + 4 x + 5
+ 5)     dx,|
-4x + 5
dx
a2+i
—4—4 a;
^a;2+4i+5U a2+4 a+5 '
[I"
substituce
-4-4 a;    j„, _ ta;
,2
a2 + l       J     _   r-i,__-4-4 a    j     _    C-,1     ,    f    -4-4 a     t        ľ-,   ,     _        f    -4-4 a
í-t^to             í-t^to«  a2+4a+5"x ~~ J 1Ťŕ+4i+5ux ~~ J 1UJ-^J a;2+4;I,+5«x, j i(u — x, j ŕ+4l+5
J-2 aa2+4+x+5dx + J4 (x2 + 4x + 5)-1 dx, '- -' J-2jj+*+sdx, <   substituce:     <   - - ~2  ' 5,J-2t-1dt = -2 1n(ŕ) = -2 1n(x2 +4x + 5), '- -'  ,/4 (x2 + 4x + 5)"1 dx   ' í - 2, /4 (t2 + l)_1 dt = 4 arctan(ŕ) = 4 arctan(x + 2)]
dx = 4x
X   :
1
-4x + 5
dx
■ - 2 ln(x2 + 4 x + 5) + 4 arctan(x + 2)
■xz
-4x + 5
-dx
+4 a+5  — X      ^+a2+4a+5U a2+4a+5^X — JX      ^ + a2+4 a+5 ^X ~ J X(^X + J     %dx + J x2+ix^5dx, J xdx —
"   9   ľ   "'          "      ľ   1fi^    '        ľ"'"    2^á   dx+/2(x2+4x + 5)"1dx,'- -Mľ^^^ft^dxJ
a2+4 a+5        "       ~   '   a^+4 a+5 <-J  a^+4 a+5 "~        J ~       ~   '   a
l/2x2,/-3dx = -Sx^^+^gdx = /7/2 ^^"t+s^-rj ^  V*-    Ti^-ro,       ^,    --     .ji/í ŕ+4j.+5'      _
'   substituce:     ' ,t = x2+4 x+5, j7/2t~1dt = 7/2 In (ŕ) = 7/2 ln(x2+4x+5), '- -< , |2 (x2 + 4x + 5)"1 dx,| '   substituce  ' , x = t - 2, /2 (t2 + l)~   dt = 2 arctan(í) = 2 arctan(x + 2)]
/x3 -\- x2 + 1 —-------------dx = 1/2              + 7/2 ln(x2 + 4 x + 5) + 2 arctan(x + 2)
f x3 -9x2 + 27x-27
x-
-4x + 4
dx
^"^-tx+r27  = ^M* - 2)_2+3 (^ - 2r' [J^'a'-la+r27^ = /*-5-(* - 2)-2+3  (X - 2)-1 dx =|
Jxdx + J—5dx + J—(x — 2) dx +/3 (x — 2) dx, Jxdx = 1/2 x2, J"—5dx = — 5 x, J"— (x — 2) dx, ' substituce: ' ,t = x — 2, J—t~2dt = t~ľ = (x — 2) , J3 (x — 2) dx, ' substituce: ' ,t = x-2,j3t~1dt = 3 ln(ŕ) =3 ln(x - 2)]
—----9f2 +27X     27dx = 1/2 x2 - 5 x + (x - 2)'1 + 3 ln(x - 2)
x2 - 4 x + 4                  '                     v         '               y         '
- 6 x2 + 12 x —
-dx
y    x4 - 2 x2 +1
z3j-2tí+r8 = -1/4 (x -1)-2 + (x -1)-1 - f (x+1)-2 [r3jľ22tí+r8^ = /-1/4 (x -
(x - 1)_1-f (x + 1)~2 dx = /-I/4 (x - 1)~2 dx+J(x - íy1 dx+J-'f (x + 1)~2 dx, /-1/4 ( ;uce:     <   ,t  =   2x - 2, J-l/2t-'2dt   =   1/2-r1   =   1/2 (2 x - 2)_1 , J (x - l)-1 dx,
/         ,                            -l        ľ,-1     7,              i      /,\              1      I               1\        ľ        27     /         ,     -i\—2     ,              ,                     .    .   .
substituce:     '   ,í  =   2x — 2, J"—1/í stituce:     '   ,t = x — l,/í_1dř = ln(í)  = In (x — 1),/ —^ (x + 1)     dx,     '   substituce:
x - 1)   2 + x — 1)     dxM
2x
-2,/-f t-2dt
27 .-1
2
t"
f (2X + 2)-1]
/"x3 -6x2 + 12x-8 ,       AIA.       _,,_!     w       _      27.       ^-i
/------4     o   2,i-----dx = l/4   x-1    1+]n(x-l) + — (x + 1)
y        x4 — 2 x2 + 1                                                            4
'   sub-
/(X-+2X + 2)-
dx
(x2 + 2x + 2)   1 = (x2 + 2x + 2)   1[/(x2 + 2x + 2)   * dx = fOdx + J(x2 + 2x + 2)   X dx, '- -' , /Odx,
'   substituce:     '   ,t = x2 + 2x + 2,/Odí = 0 = 0,'----'   , |(x2 + 2x + 2)~   dx,  '   substituce  '
, x = t — 1, /(t2 + l)     dt = arctan(t) = arctan(x + 1), resi]
/ (x2 + 2 x + 2)     dx = arctan(x + 1)
(x4 + 4 x3 + 8 x2 + 8 x + 4)     dx
(x4 + 4x3 + 8x2 + 8x + 4) = (x2 + 2x + 2) [J(x2 +2x + 2) dx = JOdx + J(x2 + 2 x + 2) dx, '- -' ,/0dx, ' substituce: ' ,í = x2 + 2x + 2,/0dt = 0 = 0,'--' , |(x2 + 2x + 2)~2 dx, ' substituce  '  ,x = t - 1, |(t2 + l)~2 dt = 1/2 ^ + 1/2 arctan(t) = 1/2    ^+í+1 + 1/2 arctan(x +
l),resi]
/-i                      2x + 2 (x4 + 4 x3 + 8 x2 + 8 x + 4)     dx = 1/4 —------------- + 1/2 arctan(x + 1)
Cvičeni:
x/(x4 + 1)
Lépe substitucí x2 = t než rozkladem na parciální zlomky. Porovnejte oba postupy.
Příklady na racionální lomené funkce R v proměnníé sin a cos:
R(x, —y) = —R(x,y) substituce: sin(x) = t
R(—x,y) = —R(x,y) substituce: cos(x) = t
R(—x,—y)   =  R(x,y)   =  R2(x/y,y'2),  i?(sin(x),cos(x))   =   i?2(tg(x), 1/(1 + tg2(x)))  substituce: tg(x) = t
Univerzální substituce: tg(x/2) = t neboť pro x ^ (2k + l)ir je cos2(x/2) = ,±     Lxt2))i cos(x) =
cos2(x/2)-sin2(x/2) = 2cos2(x/2)-l = ^1^%) > sin(x) = 2sin(x/2) cos(x/2) = 2tg(x/2) cos2(x/2) =
l+tg2(a;/2)'  1/2cos2(a;/2)^X = "'t'
• /-----— dx, : •
J cos (x)
, substituce :, sin (x) = t,      ------— dx =   /-------- dt,
J cos (x)          JI- t2
■ dx =     /  — —------- + —------- dx =  /  — —------- dx +  / —------- dx) ,   / — —------- dx,
1-x2           \J       2x-l      2x + l          J       2x-l          J 2 x + 1     J    J       2x-l
substituce: t = 2 x — 2,   /-------dt = i — In (t) = — In (2 x — 2) I ,   /----------dx,   substituce:
J       2 t          \   2     w         2     v           J)    J 2 x + 1
t = 2 x + 2,   /----dt = [ - In (t) = - In (2 x + 2) J ,   /-------- dx = arctanh (x) =
1/2 In (x + 1) - 1/2 In (1 - x)
1       .       .    /1 + sin (x) ■ dx = m '
cos (x)               \   cos (x)
Pozn.: In (2x + 2) = In (2 (x + 1)) = In (x + 1) + In (2) a / / (x) dx = F (x) + c, takže In (2) lze zahrnout do integrační konstantz a funkce x i—> In (2x + 2) a x i—> In (x + 1) jsou primitivní k téže funkci, což lze ověřit derivováním.
fsm(x) + cos(x)    ,
• /-----------—-------dx, : •
J          cos (x)
4
/sin (x) + cos (x)2            ft + l-t2
, substituce :, sin x   = t,     ------------—-------dx =  /----------— at,
'J          cos (x)                  J     I-ť2
x + i-x2 ,     /r    i   i      ii,      r ,      /•    i   i    ,      ľ   i   i    ,
-----------— dx =     / 1---------------------------ax =  / 1 ax +  /-------------ax +  /-------------ax
1-x2              Vi        2x-l      2x + l          J            J       2 x - 1          J       2x + l
1 dx = x,   /-------------dx,   substituce: t = 2 x — 2,   /-------dt = í — In (t) = — In (2 x — 2) ) ,
/              jLi   Ju          J.                                                                                              /              iL   V                     \       Zj                                  Zj
/ ----------- dx,   substituce: t = 2 x + 2,   / - - - dt = [ —- In (ŕ) = —- In (2 x + 2)
J       2 x +1                                              J       2 t          \2                 2
x + l-x2              1                           1                     /" sin (x) + cos (x)                          ...       .
dx = — m (x — 1J + x-----m (x + 1),   /-----------——-------dx = —In (cos (xJJ + srn (x)
1 — x2                 2                           2                   j          cos (x)
cos (x)
sin (x) + cos (x)
dx, : •
2 ""*''
f         cos (x)                    /"l               /"l
, substituce :, sin (x) = t,     ---------------------^ dx =  /------------ dt,   /------------------- dx,
W         i sin (x) + cos (x)2          J t + 1 - t2     'j       -x - 1 + x2
substituce: t = V—x — 1 + x2, CS^  : dt =ŕ-?V5 arctanh ŕ     ^     ^ ~-- -    2-^......- ŕ          ^
(,           =    csgn (t) = — - V5 arctanh    -
V5 + 4í2y                      5                    v-
' tV5 + 4t2          \    5                    l V5 + 4Í2 /                      5                    l Vl-4x + 4
/x + l1-^dc = |V5arotaDh(l ("1 + 2X) ^)'/^
cos (x)
■ dx
(x) + cos (x)
2
-í-HH-(H-MH-)
2
- Vo In    tan í - x J   + tan í - x J + v5 tan í - x ) + 1
arctanh (x) = 1/2 In (x + 1) — 1/2 In (1 — x), csgn=signum.
."sin (x) cos (x)   , 1 + sin (x)
sin (x) cos (x)            ľ    t
i + sin (x)4   x"yTTt4
...                      /    Dili  \^J    V^*_»D  \^J       .                 IT
substituce :, sm (x) = t,   j —------;—-—— dx =  j 1   | M dt,
x
dx = I / -A —-----^---------\ —-----^------dx = %2 + %11 , %2 =  / Odx + %2,
1 + x4           y4x2-xv/2 + l      4x2+xy/2 + l
-\ -,/0dx,substituce:í = 4x2-4xV2 + 4,(/0dí = 0)=0,-\
/T   F) ---------------------=-------dt = ( 8t2 - 12 It y/2- 10
- ^ I\n (20 + 16ŕ - 8t V2) +iarctan(i Í4ŕ - V2) V^J + ^ /In (20 + 16í2 + 8í V2) ^arctan(i (4í + Vž) Vŕj = -*Jln (20-4 f-x + 2v^V-2 (-x+ 2^2) V^V^ + - arctan ( - ((-x+ 2 VŽ) yf^l - \p2\ V2 + -/ln f 20-4 f-x + 2v/2N)   + 2 (-x + 2 V2) y/^4 V2
- i arctan (1 ((-x + 2 V^j y^ + ^2)^2), %1 =   í O dx + %1, -\
-,/<>*,  substituce: « = 4*> + 4*,/ž + 4. (/o* = o) =0.-\
—, %1,   substituce , x = v^4r — 2 V2, /-----------------7=-------dt = (
J 8ť2 + 12ItV2-10
^ I\n (20 + 16t2 - 8t VÍ) + i arctan í i Ut - Vt\ V^J - ^Jln f20 + 1612 + 8 í V2
-i arctan (i Ut + V2) Vŕj = ^ Jln (20 - 4 (-x-2v^V -2 f-x - 2 Vž) v^V^
+ - arctan ŕ - í í-x - 2 VŽ) V^é - VŽ) \Í2
--/In (2O-4 Í-X-2V2)   + 2 (-x - 2 V^) V73? V2
- - arctan í - ŕ ŕ -x - 2 V2 J V^4 + \Fž\ V2j ,   /          4 dx = - arctan (x2) ,
"sin (x) cos (x)           1             /                 2
--------------— dx = — arctan 11 — cos (x)
1 + sin (x)              2             V
%1 :=   í - I         ^  -----dx
J       4x2+xV2 + l
%2:=   Í]-—^L----dx
J 4. x2 -X-J2 + I
2 dx, : •
1 + 3 cos (x)
1                  •          ť2 , substituce :, tg (x) = t, cos (x)   = —-----, sin (x)   = —-----, dx = cos (t)   dt,
1                     f     1            ľ     1                ľ             ľ     1
--------t; dx =     —------dt,   / —r------dx =  / 0 dx +  / —t------dx, — \
2                   I   +2 j_ A       '    I   t-2   t   A                   I                       I   ~2   1   a        '       \
i + 3cos(x)2      y t2+ 4  'y x2+ 4      y       y x2+ 4
0 dx,   substituce: t = x2 + 4, ( / 0 dt = 0 j = 0, -\
y x2+4                                       y 2t2 + 2         V2                   2           V4
1   ,    i       n  i
■ dx = — arctan    — x    ,
x2+4         2           V2
/----------------TT dx = — arctan í 2 tan í - x I — V3 I + - arctan í 2 tan í - x I + V3
y l + 3cos(x)2           2             V         V2   J          J      2             V         V2   J
f 2 — sin (x)
• / ----------—— dx, : •
J 2 + cos (x)
1   \               ,  N            t             ,  N      1 -12    ,             dt
substituce :, tg I — x    = t, sin (x) = 2 —-----, cos (x) = —-----, dx = 2
2   )       '       w        t2 + ľ       w      t2 + ľ             t2 + ľ
2-sin (x)            /•        t2 + l-t
dx =   / 4 —------——;------- dt,
2 + cos (x)          y     (í2 + 3) (t2 + 1)     '
x2 + 1 — x                f f    x + 2             x                /"<-, x + 2   7        /"     ^      x
4 TT-r------.   .------- dx =     / 2 —r---------2 —r------dx =     2 —-----ax +  /  — 2 —r------dx
(x2 + 3) (x2 + 1)           \J    x2 + 3        x2 + 1          y    x2 + 3          y         x2 + 1
x + 2   ,         /"„x       7        f     4
2 —r------dx =   / 2 —-----dx +     —------dx, —\
x2 + 3           /    x2 + 3          / x2 + 3          x
x2+3
dx,   substituce: t = x2 + 3, í / - dt = In (t) J = In (x2 + 3) , —\
dx,   substituce , x = v 31,
x2+3
f - arctan (t) V3 = - arctan f - x V3 I V3 3í2 + 3          V3                           3             V3          '
4^-dt
dx
x2 + 1
dx +  / O dx, —\
— dx,   substituce: t = x2 + 1, í /-----dt = —In (t) J = —In (x2 + l) , —\
x   + 1 — x
.   . „       . dx = In (x2 + 3) H— arctan f - x V3 I V3 — In (x2 + l) , (x2 +3) (x2 + 1)              v          '      3             V3         /
P -Sin (X)     ,       ,       /       íl      V       \      4       r-            íl        íl      \        r-\     ,       /       /l
/----------—^ dx = In   tan    - x      + 3    + - v 3 arctan    - tan    - x    v 3    — m    tan    - x
Í2 + cos(x)               y       \2   J         J      3                  \3        \2   J       J          \       \2
■ dx, : •
J 1 + cos (xY
1                  •           ť2
, substituce :, tg (x) = t, cos (x)   = —------, sin (x)    = —------, dx = cos (t)   dt,
t2 + 1                      t2 + 1
■ dx
■ dt.
1 + cos (x)2 ~      J ť2 + 2     ' J x2 + 2 —,   / Odx,   substituce: t = x'2 +
V2
dx =  / 0 dx +
2, í Í0dt = 0j =0,-\
—r------dx,   substituce , x = t y 2
x2 + 2
2      ■ dt = ( - arctan (t) \/2 = - arctan í - x V2 ) \Í2
/ —------dx = - arctan f - x V2 ] V2, /--------------ô dx = - V21n x2+2           2              \2         J       \J l + cos(x)2           8
'tan fix j   +%l + r
V
tan ( - x
U + l
7
- - V^ arctan (%1 + 1) + - V2 arctan (%1 - 1) + - V^ln
'tan(^x)   -%i + r
ól + l
tan ( - x
%1 :=tan (-xjVŽ
1-x2
dx
x + 2 1-x2
sin (x) 2 + cos (x)
dx, : •
7                     /n           /"sin (x)
, substituce :, cos (x) = t,     ------------—— dx
w          7 2 + cos (x)
dx =   / — x dx +  / 2 dx +
-x + 2
x + 2
•1-t2
ŕ + 2
3
dt,
x + 2   r                      2
x + 2
dx,   substituce : , t = x +
2,   í - - dt = (-3 In (t) = -3 In (x + 2))
x + 2
dx = —x2 + 2x -3In (x+ 2),
r   sin(x)3     ,        /       /        íl   \2       \         íl
----------—— dx =    3 m   tan    - x      +3    tan    - x
2 +cos (x)           l        l       V2   Z         )        V2
7
+ 6 In I tan ( - x J   +3    tan í - x J   + 3 In   tan í - x J   +31 — 3 In í tan í - x J   +1    tan í - x
■ 6 In | tan ( - x J   + 1 J tan í - x J   — 3 In í tan í - x )   + 1 ) — 6 tan
,'l + sin(x) • / --------—— dx, : •
H -4/(tan(r) +1)
cos (x)
.   ,  ,          ľ l + sin (x)2   7        fŕ + 1  7
, substituce :, srn (x) = t,     --------—— dx =-------- at,
w         J      cos (x)              J 1 - t2
-------- dx =     /  — 1------------1---------dx =   /  — ldx +  /----------dx +  / -------dx) ,      —ldx= —x,
l-x2           \J             x-lx + 1          J                 J       x-l          J x + 1     J ' J
1                                                 ľ      1                                                 ľ    1
—-dx,   substituce: t = x — 1,   /-----dí = (— In (t) = — In (x — 1)),   /------- dx,   substituce:
- 1                                            J       t                                                J x + 1
íl                                            í x2 + 1
t = x + 1,   / - dí = (In (t) = In (x + 1)),   /-------- dx = —x — In (x — 1) + In (x + 1),
J  t                                                  J  1 - x2
l + sin(x)2                 /l + sin(x)\       .
--------—— dx = 2 In-----------—    - sin (x)
cos (x)                     \   cos (x)    J