INTEGRÁLNI POČET
Tabulka  základních  v zo r c ů pro  integrály
(Integrační konstantu C, není-li uvedena, nutno pŕipo&íst.)
Jo dx    « C
K ** -   fry , k A -1
J adn x dx ■ - cos x
.A;----=5—  dX      a   -   COtgX
' Ȓ n   v
»     dx    » x
sm x
jex dx ■ ex
jsinh x dx  b cos h x
(    dx            1«—.«.-x
J "Z----2"   "  äarctgä
/ x   ♦ a
j 1 dx
J i dx    « lnlxl,    x A 0
( cos x dx    « sinx
( —ij_ dx s tgx ' cos x
J8xdx =I^    ,    a>0 j cos h x dx    s    sin h x
/TT?   * iln íH • x*a»a>0
f7=l.    = ln|x+ fx2+b  ,  b A 0     f
.jjÚJEi dx s in|f(x)| /   f (x)
dx
ía^
» arc sin ~ ,    x A a,    a>0
Jf(ax+ b) dx    * j F(ax+ b)
Důležité      integrály
dx
ax  + bx + c
' 2ax+ b    »
,lln2ax.b-g VĎ"       2ax+ b-»- YD
-p=:   arctg       —
D s b - 4ac * 0
D >  0
2ax+ b
D < 0
ŕ         dx
) fax2* bx +
A ln|2ax+ b+ 2la(ax2 + bx+ c)
\JL
arcsin-2J!x.-b    ,
,         »>   0
D > 0, a <  0
56
©:
1»J Dokažte,že dané funkce jsou primitivní ke stejné funkci, jestliže
a) f(x) ■ 2arctg x, g(x) » arcsin —2x-9-  x£(-ljl)
■■ -  1 + TT
b) f(x) a ex.sinh x, g(x) « ex.cosh x
lešení : a) Budeme vycházet přímo z definice primitivní funkce: f '(x) =«2. —i—y ,
1 + xc
»•(■*\        2(1 + x2) - 2x.2x . , /,   4x2
(1 + x2)2        V   (I + x2)2
» 2(1 - **)   , (1 + x2)2
x4 + 2x2 +1 - 4x2 (1 + x*)2
2-i^T ' ŕ1 " Í?5
d + x2)2    hi + x2)2
—«—? i f *(x) » g'(x) 2 + x&  —
b) Využijeme věty, která říká, že dvě funkce primitivní ke stejné funkci se liší
x        ••x        2x
nanejvýš o konstantu: f (x) « ex« -—* e ■   = ft   »**.....*    « *e2x -   i
g(x) - ex. ** j »"*
e2x + 1 _ 1 _2x
+ *ř *  g(x) « f(x) + 1.
^ x" t x~  dx-
2 + _-2
f 2^ Úpravou integrandu a použitím integračních vzorců vypočtěte: -jtl+x-5) dx-lnlxl- ^
b) ( VTT? + CT? ta t r      vTT?       +       l/TT?       i b)>-      VT^?te"Hv<i+V)<i-^) + TaT^KľT^Jte
■  \    y.        ar   +    .. '''  ■■» di * arcsin x + ln|x + /l + jr|
c)   5 e*a* dx - J (ea)x dx - (ea)x. j^j . 1«^t a       a^O
d)   öfjLÖifc.  J22^2j,2y02žte.í(f+2,   £)dx
6x                               3x#2x                      v    3x              2x
■   j ||)X + 2 +   $>X]te a <§)V-ig>    + 2X +   (|)X.  -i-» ; sin^x.
IxKl
e) f)
T
»COB   Z
dx_____ m   ^ sin x + cos x   ^
4"2------T
sin x.cos x
V + -4
cos x         sin x
dX   m   tg  X  -   COtg X
dx -   \ C=5k dx - ( <ggf; x?' & . lni arcsin x t
|xKl, x t o
arcsin x
dx    =        "(c°fx ?      dx    »-lncosx   + C  ;.
C08X                               C03X                                                             '
sinx
arcsin x. ]ji - yŕ g)      tgx dx
h)      coa2x dx =     1*|gB2x   dx    «   |É x+ J- sin2x ) ♦ C ; i)      sin2x dx «      l-coa2x   dx    =   | í x-| sin2x ) + C  ;
57
« (ah -ír=í
sin2x-+cos2x
ý              -,  ( siny              ,  /■ cosf
,    .   x        x"   dx - f J ----1" dx + J J ----T d* » m tgf     ;
2 sin^cos^               * '   cosž              Á '   »iní             —'     2 '    »
dx      _
coax a sin ( x+ 4 )
j j              ~ '   sinj
m|tgíf + $> I;
»J
1)    jsinax cosbx dx =    sin« cos/2 » \ ( sin (oc+/3 ) + sin (<*-/3 ))  = -\ (ees (a+b)x*
Některé      typy      integrálů řešitelných       metodou     per     partes
+ cos (a-b) x)
Je-li P(x) polynom, potom u integrálů
jp(x) lnx dx          "\                               lnx                *   .          .     „,   .
'                                  I                             I                    u    je racionální,  resp. ira-
JP(x) are tg x dx   S   klademe    u = - arc tg x      ciemálaí funkee  í tedy již.
■jp(x) arcainx dx J                            ^aresinx    ne *"»B»«eadeatní )
cosx dx
Jp(x)
JP(x) sinx dx          S klademe    a =   P(x)
Jp(x) ax dx    J
a metodu opakujeme tolikrát, jaký je stupeň polynomu
©V*
Výpočty integrálů metodou
a) \(ax + b)sin kx dx
al
per partes:
u » ax + d   u' s a
v'o sin kx    ▼ ■ - g c08 kx
ax + b „__ ,_  . — , I'm   ,cos kx +
+   č\cos kx dx ■ -b)   jx3
'e3x dx -
** t b   °os kx +   -0 sin kx
*_____________k^
u?«3x2
v'a e3x   v
1 a3x
-ý«3*-   \x2e3xdx»
u
x2    ví m 2x
„)    Ä3x _,     l_3x v' «s e     v ■ »e
-|- e3x - -f- e3x +   |     xU3x dx
U   a   X       U'
vN - e3x v
+   | x e3x -   | \ e3x dx m -f«*- Ox3 - 9x2 + 6x - 2)
ie3x J e
^ e3x . x2 e3x +
c)   l In x dx
í «í
ATT
e    cos bx dx »
u ■  In x      u1 »    i
x        »x
v' « 1            v * x
u ■ cos bx     uN « -b.sin bx
.In x - \ x. *
dx «= x. In x - x
J>     «ax v a e
u = sin bx     u s b.cos bx v
«>■    «ax
v « e
1    ax ae
■*       1 «.ax v ■   — e a
■ — e    cos bx + —
- | .-co. b* ♦ I   \.«.ln « d,
i e^sin bx -   ^ \eaxcos bx dx
■ i e^cos a
2 /" bx + -^ e^sin bx - -ng \  e^eos bx dx. Až na multiplikativní konstan-a                             a /
I JBX-
tu jsme dostali opět původní integrál. Máme tedy: I ■ ± e^cos bx + —2 e sin bx
- -£ ♦ I. Odtud I + -^.1 e i e cos tox + -2#e sin bx, tedy
a                                     a                                         a
58
a? + b2 _    1 .ax.
b    _ax_
T2
1
„2      .      y2
a   + b
[
a.e^cos bx + b. eaxsin bx
I
'>Swf&-±\i7^«-$\fr£r*
I2 \  (a2 + x2)-ldX-   ?   H
a^TT?
dx
U   a X
V   a
X______
.2  .  _2»n
(ac + xc)x
u' a 1
V   a
1   í        2x           ,,„       1
^ )77T77ndx-?
(a* /x2)""1 ,rrT
"2   ) (aü + x2}n-l ** -
2a2(n-l)'(a2 + x2)n_1
-x                  .      1        (          dx
Kn-D.ia2^)11-1   + ^^   ) (a2 + x2)»"1.
♦ J*«1 - 2TS=I7) $ (a2 Tx2)"-1 ' TakŽe' označírae-:Li j (a2^ x2}n  - V
odvodili jsme rekurentní vzorec K_ a i .*£££-,. , K_ , 4  ■     -»»---X<v  i *
"a  a2 2TS=I)  ^"1  2a2(n-l) (a2 + x2)n_1
^  2a2(n-l)
(2n-5)K_ , +---n* »  ■
n-1 t (aü+xa)a-i
ln(tg x) dx a
U a ln(tg X)   U> a
Tg"x #
cos X
v"1 = sin x
= -cos x.ln(tg x) +
\ sin x.
\ $T %' .    g  »COS X dX a -COS X.ln(tg X) + \ Bj^-'m dx a -cos x.ln(tg x) +
V a -COS X
( sin2 $ + cos2 f                                             C sin2 §
\—i—f ...------ dx « -cos.ln(tg x) + \-----* ■  ±—- GT-cos x.ln(tg x) +
J        sin2.*
+ cos *• <**
2sin|,
'. cos §
w sin y    \  # —  _
■£-----e. te + ^ £-----£_ ^ _cos x.int-fcg x) - ln cos *• + ln sin *• ■
cos I
COS «/ d*.
sin
a -cos x» ln tg x + ln tg %  « Poznamenejme, že integrál \ ^vf-1  lze najít i ji-
ným způsobem, jak si ukážeme dále.
\ sin
a)
Pomocí vhodně zvolené
3X = t
substituce
najděte integrály:
—  arcsin 3X
"153
b) \\  .sin |
c)
) (1 - x)
2?
dx
dx
3*ln 3 dx - dt
X"1 a t
-2
-x dx « dt
1 - X a t
-dx a dt
= Tn-j ^TTrV -Trjarcsint
sin t dt a COS t a cos _•

t3" ?if+ ?t - x dt
59