INTEGRÁLNI POČET Tabulka základních v zo r c ů pro integrály (Integrační konstantu C, není-li uvedena, nutno pŕipo&íst.) Jo dx « C K ** - fry , k A -1 J adn x dx ■ - cos x .A;----=5— dX a - COtgX ' »í n v » dx » x sm x jex dx ■ ex jsinh x dx b cos h x ( dx 1«—.«.-x J "Z----2" " äarctgä / x ♦ a j 1 dx J i dx « lnlxl, x A 0 ( cos x dx « sinx ( —ij_ dx s tgx ' cos x J8xdx =I^ , a>0 j cos h x dx s sin h x /TT? * iln íH • x*a»a>0 f7=l. = ln|x+ fx2+b , b A 0 f .jjÚJEi dx s in|f(x)| / f (x) dx ía^ » arc sin ~ , x A a, a>0 Jf(ax+ b) dx * j F(ax+ b) Důležité integrály dx ax + bx + c ' 2ax+ b » ,lln2ax.b-g VĎ" 2ax+ b-»- YD -p=: arctg — D s b - 4ac * 0 D > 0 2ax+ b D < 0 ŕ dx ) fax2* bx + A ln|2ax+ b+ 2la(ax2 + bx+ c) \JL arcsin-2J!x.-b , , »> 0 D > 0, a < 0 56 ©: 1»J Dokažte,že dané funkce jsou primitivní ke stejné funkci, jestliže a) f(x) ■ 2arctg x, g(x) » arcsin —2x-9- x£(-ljl) ■■ - 1 + TT b) f(x) a ex.sinh x, g(x) « ex.cosh x lešení : a) Budeme vycházet přímo z definice primitivní funkce: f '(x) =«2. —i—y , 1 + xc »•(■*\ 2(1 + x2) - 2x.2x . , /, 4x2 (1 + x2)2 V (I + x2)2 » 2(1 - **) , (1 + x2)2 x4 + 2x2 +1 - 4x2 (1 + x*)2 2-i^T ' ŕ1 " Í?5 d + x2)2 hi + x2)2 —«—? i f *(x) » g'(x) 2 + x& — b) Využijeme věty, která říká, že dvě funkce primitivní ke stejné funkci se liší x ••x 2x nanejvýš o konstantu: f (x) « ex« -—* e ■ = ft »**.....* « *e2x - i g(x) - ex. ** j »"* e2x + 1 _ 1 _2x + *ř * g(x) « f(x) + 1. ^ x" t x~ dx- 2 + _-2 f 2^ Úpravou integrandu a použitím integračních vzorců vypočtěte: -jtl+x-5) dx-lnlxl- ^ b) ( VTT? + CT? ta t r vTT? + l/TT? i b)>- VT^?te"HvX]te a <§)V-ig> + 2X + (|)X. -i-» ; sin^x. IxKl e) f) T »COB Z dx_____ m ^ sin x + cos x ^ 4"2------T sin x.cos x V + -4 cos x sin x dX m tg X - COtg X dx - \ C=5k dx - ( I; »J 1) jsinax cosbx dx = sin« cos/2 » \ ( sin (oc+/3 ) + sin (<*-/3 )) = -\ (ees (a+b)x* Některé typy integrálů řešitelných metodou per partes + cos (a-b) x) Je-li P(x) polynom, potom u integrálů jp(x) lnx dx "\ lnx * . . „, . ' I I u je racionální, resp. ira- JP(x) are tg x dx S klademe u = - arc tg x ciemálaí funkee í tedy již. ■jp(x) arcainx dx J ^aresinx ne *"»B»«eadeatní ) cosx dx Jp(x) JP(x) sinx dx S klademe a = P(x) Jp(x) ax dx J a metodu opakujeme tolikrát, jaký je stupeň polynomu ©V* Výpočty integrálů metodou a) \(ax + b)sin kx dx al per partes: u » ax + d u' s a v'o sin kx ▼ ■ - g c08 kx ax + b „__ ,_ . — , I'm ,cos kx + + č\cos kx dx ■ -b) jx3 'e3x dx - ** t b °os kx + -0 sin kx *_____________k^ u?«3x2 v'a e3x v 1 a3x -ý«3*- \x2e3xdx» u x2 ví m 2x „) Ä3x _, l_3x v' «s e v ■ »e -|- e3x - -f- e3x + | xU3x dx U a X U' vN - e3x v + | x e3x - | \ e3x dx m -f«*- Ox3 - 9x2 + 6x - 2) ie3x J e ^ e3x . x2 e3x + c) l In x dx í «í ATT e cos bx dx » u ■ In x u1 » i x »x v' « 1 v * x u ■ cos bx uN « -b.sin bx .In x - \ x. * dx «= x. In x - x J> «ax v a e u = sin bx u s b.cos bx v «>■ «ax v « e 1 ax ae ■* 1 «.ax v ■ — e a ■ — e cos bx + — - | .-co. b* ♦ I \.«.ln « d, i e^sin bx - ^ \eaxcos bx dx ■ i e^cos a 2 /" bx + -^ e^sin bx - -ng \ e^eos bx dx. Až na multiplikativní konstan-a a / I JBX- tu jsme dostali opět původní integrál. Máme tedy: I ■ ± e^cos bx + —2 e sin bx - -£ ♦ I. Odtud I + -^.1 e i e cos tox + -2#e sin bx, tedy a a a 58 a? + b2 _ 1 .ax. b _ax_ T2 1 „2 . y2 a + b [ a.e^cos bx + b. eaxsin bx I '>Swf&-±\i7^«-$\fr£r* I2 \ (a2 + x2)-ldX- ? H a^TT? dx U a X V a X______ .2 . _2»n (ac + xc)x u' a 1 V a 1 í 2x ,,„ 1 ^ )77T77ndx-? (a* /x2)""1 ,rrT "2 ) (aü + x2}n-l ** - 2a2(n-l)'(a2 + x2)n_1 -x . 1 ( dx Kn-D.ia2^)11-1 + ^^ ) (a2 + x2)»"1. ♦ J*«1 - 2TS=I7) $ (a2 Tx2)"-1 ' TakŽe' označírae-:Li j (a2^ x2}n - V odvodili jsme rekurentní vzorec K_ a i .*£££-,. , K_ , 4 ■ -»»---X a Tg"x # cos X v"1 = sin x = -cos x.ln(tg x) + \ sin x. \ $T %' . g »COS X dX a -COS X.ln(tg X) + \ Bj^-'m dx a -cos x.ln(tg x) + V a -COS X ( sin2 $ + cos2 f C sin2 § \—i—f ...------ dx « -cos.ln(tg x) + \-----* ■ ±—- GT-cos x.ln(tg x) + J sin2.* + cos *• <** 2sin|, '. cos § w sin y \ # — _ ■£-----e. te + ^ £-----£_ ^ _cos x.int-fcg x) - ln cos *• + ln sin *• ■ cos I COS «/ d*. sin a -cos x» ln tg x + ln tg % « Poznamenejme, že integrál \ ^vf-1 lze najít i ji- ným způsobem, jak si ukážeme dále. \ sin a) Pomocí vhodně zvolené 3X = t substituce najděte integrály: — arcsin 3X "153 b) \\ .sin | c) ) (1 - x) 2? dx dx 3*ln 3 dx - dt X"1 a t -2 -x dx « dt 1 - X a t -dx a dt = Tn-j ^TTrV -Trjarcsint sin t dt a COS t a cos _• t3" ?if+ ?t - x dt 59