Rozklad na parcialni zlomky

   Parcialní zlomky jsou:

   kde  je v  ireducibilní, tj. . Rozložit racionální lomenou funkci na parcilní zlomky znamená
   napsat ji jako součet polynomu a parciálních zlomků. Příklady:

   > restart;

   PF:=proc(f)

   expand(numer(f))/expand(denom(f))=convert(f,parfrac,x);

   end;

   > PF(2/(x^2-1));

   PF(2*x/(x^2-1));

   PF(2*x^2/(x^2-1));

   PF(2*x^3/(x^2-1));

Příklad výpočtu parciálních zlomků:

   > f:=simplify(2*x^2+(x^5-x^3+x)/expand((x-1)^2*(x+1)*(x^2+1)));

   

   krok 1.: nejprve  najdeme ryzi lomenou cast funkce deleni ciytatele jmenovatelem se zbytkem:

   > F:=f=quo(numer(f),denom(f),x)+rem(numer(f),denom(f),x)/denom(f);

    `dale se zabyvame ryzi racionalni lomenou funkci:`;

   g[1]:=op(nops(rhs(F)),rhs(F));

   krok 2.: najdeme (ad hoc) koreny jmenovatele. Zkusime treba doszovat delitele absolutniho
   clene, tj 1 a -1

   > g[2]:=g[1]=numer(g[1])/factor(denom(g[1]));

   Koreny:=solve(denom(rhs(g[2]))=0,x);

   

   Máme  dvojnásobny a jednoduchy reálny kořeny kořeny a druhou mocninu ireducibilního
   kvadratického polynomu. Predpokládáme rozklad na parciální zlomky ve tvaru:

   > g[3]:=rhs(g[2])=A[1]/(x-1)+A[2]/(x-1)^2+

   A[3]/(x+1)#+A[4]/(x+1)^2

   +(A[4]*x+A[5])/(x^2+1)#+(A[7]*x+A[8])/(x^2+1)^2

   ;

   Vynasobime obe strany rovnice jmenovatelem leve:

   > i:='i':

   g[4]:=lhs(g[3]*denom(lhs(g[3])))=

   >

   add(simplify(op(i,rhs(g[3]))*denom(lhs(g[3]))),

   i=1..nops(rhs(g[3])))

   ;

   krok 3.: hledame koeficienty  tak, aby se oba polynomy rovnaly. Nejprve porovname jejich
   hodnoty v bodech 1 a -1:

   > r[1]:=subs(x=1,g[4]);

   r[2]:=subs(x=-1,g[4]);

   Potom porovnáme koeficienty u stejných mocnin:

   > g[5]:=sort(collect(g[4],x));

   r[3]:=subs(x=0,g[5]);

   for i from 1 to degree (rhs(g[4]),x) do

   r[i+3]:=coeff(lhs(g[5]),x^i)=coeff(rhs(g[5]),x^i);

   od;

   k:=i+2:

   Vybereme si  ovsem pouze 4 rovnic, 7 je zbytecne mnoho. ty vyresime:

   > i:='i':

   koef:=op(solve({r[i] $i=1..k}));

   >

   a mame:

   > subs(koef,g[3]);

   a tedy:

   >

   > PF(f);

CVICENI:

   >

   >

   

   > f:=x^12/expand((x^2-1)^1*(x^2+1)^1);

   > ParcFrac(f);