MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ EKONOMICKO-SPR ÁVNÍ FAKULTA
AUTO ŘI
SBÍRKA ÚLOH
Z PRAVDĚPODOBNOSTI
A STATISTIKY
BRNO 2004 preprint
1. Množiny
Příklad 0.1. Bud'te A = {1, 2, 5, 7}, B = {1, 5, 8, 9, 10} množiny. Na základní
množině M = {0, 1, . . . , 10} určete:
a) A  B
b) A  B
c) A  B
d) A - B
e) B - A
f) A  B
g) A - B
h) B - A
i) A  B
j) A  B
k) A  B
l) A  B
Příklad 0.2. Bud'te A = {0, 1, 3, 4, 9}, B = {1, 2, 3, 5, 8, 9, 10}, C = {1, 3, 5, 11}
množiny. Na základní množině M = {0, 1, . . . , 11} určete:
a) (A  B)  C
b) (A  B)  C
c) (A  C)  (B  C)
d) (A  C)  (B  C)
e) A  (B  C)
f) A  (B  C)
g) (A  B)  (A  C)
h) (A  B)  (A  C)
i) (A  B)  (A  C)
j) (A  C)  (A  B  C)
Příklad 0.3. Pro konečné množiny A, B znázorněte pomocí Vennova diagramu
de Morganova pravidla.
Příklad 0.4. Uvažujeme 100 vybraných firem v ČR. Označme
A1={firmy, které v roce 2003 exportovaly}
A2={firmy, které měly v roce 2003 více jak 100 zaměstnanců}
A3={firmy, které dosáhly v roce 2003 zisku}.
2
a) Znázorněte množiny A1, A2, A3 pomocí Vennova diagramu (předpokládáme,
že všechny možné kombinace zmíněných vlastností firem jsou zastoupeny).
b) Znázorněte a slovně popište následující množiny:
A1, A1  A2, A2  A3,
3
i=1
Ai,
3
i=1
Ai, A1 - A2
c) Ověřte de Morganova pravidla (slovně i graficky).
Příklad 0.5. Necht' A, B, C jsou množiny. Na základní množině M znázorněte
pomocí Vennova diagramu:
a) A  B
b) A  B
c) A - B
d) A ÷ B
e) A
f) B  C
g) A  B
h) A  B  C
i) A  B  C
j) A  B  C
Příklad 0.6. Určete všechny možné podmnožiny množiny M = {3, -4, 5}.
Příklad 0.7. Necht' A, B, C jsou množiny. Na základní množině M zjednodušte:
a) (A  B)  (B  A)
b) (A  B)  (B  A)
c) (A  B)  [(B  C)  (B  C)]
d) (A  B  C)  [B  (A  C)]
3
Příklad 0.8. Necht' A, B, C jsou množiny. Na základní množině M zjednodušte:
a) A  (B  A)
b) (A  B)  (A  B)
c) [A  [B  (A  B)]]  [(B  C)  (B  C)]
d) (A  B)  (A  B)  (A  B)
Příklad 0.9. Necht' A, B, C, D jsou množiny. Na základní množině M ověřte
rovnost:
a) A  (A  B) = A
b) A  B  C  D = (A  B  D)  (C  D)
c) (A  B)  C = (C  D)  (B  A  C)
d) A - (B  C) = (A - B)  (A - C)
4
2. Integrál
Příklad 0.1. Vypočtěte obsah jednotkového kruhu.
Příklad 0.2. Vypočtěte obsah plochy omezené křivkou y = e-x
, osami x, y a
přímkou x = 1.
Příklad 0.3. Určete obsah plochy pod křivkou y = 
2
e-|x|
,  > 0 na intervalu
-2, 5 .
Příklad 0.4. Vypočtěte obsah plochy omezené křivkami
x2
+ y2
= 8 a y = x2
2
.
2 + 4
3
Příklad 0.5. Vypočtěte obsah plochy omezené křivkami
y2
= 2x + 1, x - y - 1 = 0 a y = 0.
16
3
Příklad 0.6. Pro 1 > 0, 2 > 0 vypočtěte:
5
0
1e-1x
. 2e-2(5-x)
dx.
12
1-2
(e-52 - e-51 )
Příklad 0.7. Vypočtěte:

0
x .
1
3
. e-x2
2 dx.
1
6

2
Příklad 0.8. Je dána množina
M = {[x, y]  R2
: y  e-2x+1
, x  (0, 1), y  0}.
Vypočtěte obsah této množiny.
e2-1
2e
5
Příklad 0.9. Vypočtěte:
x5
lnx dx.
x6
6 (ln x - 1
6 ) + c
Příklad 0.10. Je dána funkce
(x) =
e-x
pro x > 3
0 pro x  3
Pro  > 0 vypočtěte:

-3
(x) dx.
e-3
Příklad 0.11. Je dána funkce
g(x) =



x2
pro -4  x < -2
-3x + 2 pro -2  x < 0
e-2x
pro 0  x < 2
x-2
pro 2  x  5
0 jinak
Vypočtěte:

-5
g(x)dx.
442
15 - 1
2e4
Příklad 0.12. Vypočtěte objem útvaru vymezeného funkcí
f(x, y) =
2 pro 0  x  1, 0  y  1
0 jinak
a předpisem x + y  1.
Příklad 0.13. Je dána množina
M = {(x1, x2)  R2
: x1.x2  k, 0 < xi  1, i = 1, 2}.
Pro 0 < k < 1 vypočtěte:
M
dx1dx2.
[k - k ln k]
6
Příklad 0.14. Vypočtěte
G
2x1x2 dx1dx2,
kde
G = {(x1, x2)  R2
: x1 + x2  1, 0  xi < 1, i = 1, 2}.
1
12
7
1. Kombinatorika
Variace k-té třídy z n prvků nazýváme uspořádané skupiny po k prvcích z daných
n prvků, prvky se nemohou opakovat
Vn|k = n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1) =
n!
(n - k)!
Variace k-té třídy s opakováním jsou uspořádané skupiny po k prvcích z daných
n prvků, v nichž se každý prvek může opakovat až k-krát
V n|k = n.n . . . n = nk
Permutace ­ uspořádaná n-tice utvořená z daných n různých prvků
Pn = n(n - 1)(n - 2)(n - 3) . . . 3.2.1 = n!
Permutace s opakováním ­ jestliže se mezi n prvky vyskytne 1. prvek n1-krát,
2. prvek n2-krát, 3. prvek n3-krát, atd., pak počet permutací je
P n =
n!
n1! n2! n3! . . .
Kombinace k-té třídy z n různých prvků nazýváme skupiny po k prvcích z daných
n prvků bez zřetele k pořadí ve skupině
Ck
n =
n
k
=
n (n - 1) (n - 2) . . . (n - k + 1)
k!
=
n!
k! (n - k)!
Kombinace k-té třídy s opakováním ­ skupiny po k prvcích z daných n prvků
(bez zřetele k pořadí ve skupině), v nichž se každý prvek může opakovat až k-krát
C
k
n =
n - 1 + k
k
Vlastnosti kombinačních čísel
n
k
=
n
n - k
n
1
=
n
n - 1
= n
n
n
=
n
0
= 1
8
Pascalův trojúhelník
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
...
...
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4
...
Binomická věta
(x + y)n
=
n
k=0
n
k
xk
yn-k
=
=
n
0
x0
yn
+
n
1
x1
yn-1
+
n
2
x2
yn-2
+ . . . +
n
n
xn
y0
(1 + 1)n
= 2n
=
n
k=0
n
k
... počet všech podmnožin n-prvkové množiny
n
k
... počet k-prvkových podmnožin n-prvkové množiny
9
Příklad 1.1. Zjistěte, čemu je rovno n
k
+ n
k+1
n+1
k+1
Příklad 1.2. Zjistěte, čemu je rovno
a) 4
4
+ 5
4
+ 6
4
+ 7
4
+ 8
4
b) 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ . . . + 20
2
9
5
21
3
Příklad 1.3. Ověřte, že platí vztah
n
k=0
a
k
b
n-k
= a+b
n
pro a = 3, b = 4, n = 5.
[21]
Příklad 1.4. Řešte následující rovnice:
a) x
x-2
- x+1
x
= 4
b) x+1
1
3
+ 6 x+1
2
- 6 x
3
= 9x2
- 25
[ a) x = 5, (x = -2 nevyh.), b) ?]
Příklad 1.5. Sečtěte vybraný řádek Pascalova trojúhelníka.
[2n]
Příklad 1.6. Ukažte, že platí:
a) n
0
- n
1
+ n
2
- n
3
+ . . . + (-1)n n
n
= 0
b) n
0
+ 2 n
1
+ 22 n
2
+ 23 n
3
+ . . . + 2n n
n
= 3n
Příklad 1.7. Zjistěte,
a) kolik přirozených pěticiferných čísel lze utvořit z číslic 1, 5, 6, 8, 9.
b) Dále zjistěte počet přirozených čtyřciferných čísel, která lze utvořit z číslic
1, 5, 6, 8, 9, v případě, že se číslice nesmějí opakovat a
c) také v případě, že se číslice opakovat mohou.
a) 5!, b) 120, c) 54
Příklad 1.8. Kolika způsoby lze rozesadit 5 žen a 5 mužů kolem kulatého stolu
tak, aby žádné dvě osoby téhož pohlaví neseděly vedle sebe?
[2  5!  5!]
10
Příklad 1.9. Kolik přirozených čísel menších než 5000 lze vytvořit z číslic 0, 3,
4, 5, jestliže se žádná číslice neopakuje?
[42]
Příklad 1.10. Vojenskou kolonu budou tvořit dva terénní vozy UAZ, tři auta Praga
V3S a čtyři Tatry 138. Kolika způsoby lze kolonu seřadit, jestliže
a) stejná vozidla mají jet za sebou
b) stejná vozidla mají jet za sebou a přitom terénní vozy UAZ musí být před
vozy Tatra 138
c) na pořadí vozidel nejsou kladeny žádné podmínky
[ a) 3!, b) 3, c) 1260]
Příklad 1.11. Při výrobě určité součástky je třeba provést čtyři operace A, B, C,
D, pro které platí následující podmínky:
1. Operace B nesmí být první a operace A nesmí být poslední.
2. Operaci C musíme provést dříve než operaci D.
Kolik různých postupů existuje při výrobě této součástky?
[7]
Příklad 1.12. Tři muži a dvě ženy hledají místo. Ve městě jsou tři závody, kde
berou jen muže, dva, kde berou jen ženy a dva, kde berou muže i ženy. Kolika
způsoby se může pětice lidí rozmístit do těchto závodů?
[2000]
Příklad 1.13. Je dáno k předmětů, které se mají rozmístit do n rozlišitelných
přihrádek. Kolika způsoby to lze provést, jsou-li předměty
a) rozlišitelné,
b*) nerozlišitelné.
a) nk, b) n-1+k
k
Příklad 1.14. Je dáno k předmětů, které se mají rozmístit do n rozlišitelných
přihrádek tak, aby v každé přihrádce byl alespoň jeden předmět. Kolika způsoby
to lze provést, jsou-li předměty nerozlišitelné.
k-1
k-n
11
Příklad 1.15. Je dáno k předmětů a n rozlišitelných přihrádek. Kolik existuje
způsobů rozmístění předmětů do přihrádek, když v předem dané přihrádce má být
právě r předmětů, jsou-li předměty
a) rozlišitelné,
b*) nerozlišitelné.
a) k
r (n - 1)k-r, b) n-2+k-r
k-r
Příklad 1.16. Kolika způsoby lze rozmístit k předmětů do n rozlišitelných přihrádek,
má-li být právě m přihrádek prázdných (0  m  n), jsou-li předměty ne-
rozlišitelné.
n
m
k-1
k-n+m
Příklad 1.17. Je dáno n přihrádek. Do první přihrádky máme umístit k1 předmětů,
atd., až do n-té přihrádky kn předmětů. Předměty jsou rozlišitelné a jejich celkový
počet je k = k1 + k2 + . . . + kn. Kolika způsoby lze rozmístění provést?
k!
k1!k2!...kn!
Příklad 1.18. * Existují čtyři krevní skupiny, které označujeme A, B, AB, 0.
Určete počet všech možností rozdělení deseti osob podle uvedených krevních sku-
pin.
[286]
Příklad 1.19. * Kolika způsoby lze rozmístit do devíti přihrádek sedm bílých a
dvě černé koule?
10
2
15
7
Příklad 1.20. * Kolika způsoby si mohou 4 děti rozdělit 10 modrých, 15 červených
a 8 zelených kuliček, jestliže každé dítě musí dostat alespoň 1 kuličku každého
druhu?
9
3
14
3
7
3
Příklad 1.21. * Ve výzkumném ústavu pracuje 67 lidí. Z nich 47 ovládá an-
gličtinu, 35 němčinu, 20 francouzštinu, 23 němčinu a angličtinu, 12 angličtinu
a francouzštinu, 11 němčinu a francouzštinu a 5 lidí všechny tři jazyky. Kolik
pracovníků ústavu neovládá žádný z těchto jazyků?
[6]
Příklad 1.22. * Do výtahu pětiposchod'ové budovy nastoupilo 8 osob. Kolika
způsoby se mohou rozmístit do jednotlivých poschodí, když v každém poschodí
vystoupí alespoň jedna osoba?
[126000]
12
2. Pravděpodobnost
Klasická pravděpodobnost
P(A) =
m(A)
m()
P(
n
i=1
Ai) =
n
i=1
P(Ai) -
n-1
i=1
n
j=i+1
P(Ai  Aj) +
n-2
i=1
n-1
j=i+1
n
k=j+1
P(Ai  Aj  Ak)-
+ . . . + (-1)n-1
P(A1  A2  . . .  An)
Geometrická pravděpodobnost
Q(B) =
mes(B)
mes(G)
Podmíněná pravděpodobnost
P(A|H) =
P(A  H)
P(H)
P(
n
i=1
Ai) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) . . . P(An|A1  A2 . . .An)
P(A) =
iI
P(Hi)  P(A|Hi)
P(Hk|A) =
P(Hk)  P(A|Hk)
iI
P(Hi)  P(A|Hi)
13
2.1 Klasická pravděpodobnost
Příklad 2.1. Při hodu 2 kostkami budeme sledovat součet ok na obou kostkách. S
jakou pravděpodobností dostaneme součet
a) roven 6,
b) větší než 7?
[ a) 0, 139; b) 0, 417.]
Příklad 2.2. Při hodu 3 kostkami budeme sledovat součet ok na všech třech
kostkách.
a) S jakou pravděpodobností dostaneme součet 8?
b) Který součet je pravděpodobnější, 9 nebo 10?
[ a) 0, 097; b) 10.]
Příklad 2.3. Paradox Chevaliera de Méré. Ch. de Méré pozoroval, že při házení
třemi kostkami padá součet 11 častěji než součet 12, i když podle jeho názoru (ne-
správného) mají oba součty stejnou pravděpodobnost. Stanovte pravděpodobnost
obou jevů.
[ a) 0.125, b) 0.1157.]
Příklad 2.4. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami bude
a) součin
b) součet
ok sudé číslo.
[0.75; 0.5.]
Příklad 2.5. Hodíme třikrát jednou mincí. Určete pravděpodobnost, že
a) padne dvakrát líc a jednou rub,
b) padne třikrát líc,
c) padne třikrát rub,
d) padne jednou líc a dvakrát rub.
a) p = 3/23, b) p = 1/23, c) p = 1/23, d) p = 3/23.
14
Příklad 2.6. Hodíme pětkrát mincí. Jaká je pravděpdobnost, že líc padne právě
třikrát?
[0.3125.]
Příklad 2.7. Hodíme n-krát mincí. Jaká je pravděpdobnost, že líc padne právě
k-krát?
n
k /2n.
Příklad 2.8. Z úplné hry 32 karet vytáhneme dvakráte po sobě po jedné kartě, při
čemž první kartu nevracíme zpět do hry. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené
karty jsou esa?
[3/248.]
Příklad 2.9. Z úplné hry karet vytáhneme 2-krát po sobě po jedné kartě, při čemž
první kartu vrátíme zpět do hry. Jaká je pravděpodobnost, že obě vytažené karty
jsou téže barvy?
[1/4.]
Příklad 2.10. Určete pravděpodobnost toho, že lze sestrojit trojúhelník ze třech
úseček, které náhodně vybereme
a) ze 4 úseček o délkách 4, 6, 8 a 10,
b) z 5 úseček o délkách 5, 8, 10, 13 a 15.
[ a) 3/4; b) 7/10.]
Příklad 2.11. Čísla 1, 2, . . . , n jsou náhodně uspořádána. Určete pravděpodobnost
toho, že čísla a) 1 a 2, b) 1, 2 a 3 jsou uspořádána hned vedle sebe v uvedeném
pořádku.
a) n-1, b) 1/(n(n - 1)).
Příklad 2.12. Hráč A háže šesti hracími kostkami a vyhraje, pokud padne alespoň
jedna jednička. Hráč B háže dvanácti hracími kostkami a vyhrává, pokud padnou
alespoň dvě jedničky. Kdo má větší pravděpodobnost výhry?
Příklad 2.13. Najděte pravděpodobnost toho, že mezi k náhodně vybranými čís-
licemi nebudou žádné dvě stejné.
pk = 10!
(10-k)!10-k.
Příklad 2.14. Ve výtahu, který zastavuje v n poschodích, n  k, je na začátku k
osob. Jaká je pravděpodobnost p toho, že žádné dvě osoby nevystoupí ve stejném
poschodí, když předpokládáme, že osoba volí poschodí, v němž vystoupí náhodně
a nezávisle na ostatních osobách.
p = n-kn!/(n - k)!.
15
Příklad 2.15. Házíme n hracích kostek. Určete pravděpodobnost toho, že padne
n1 jedniček, . . ., n6 šestek, n1 + n2 + . . . + n6 = n.
[p = n!/(n1!n2! . . . n6!  6n).]
Příklad 2.16. Určete pravděpodobnost toho, že ve výběru s opakováním mezi
třemi náhodně vybranými číslicemi
a) všechny 3 číslice budou shodné,
b) právě 2 číslice budou shodné,
c) žádné 2 číslice nebudou shodné.
Řešte podobnou úlohu pro výběr čtyř cifer.
[ a) p1 = 0, 01, p2 = 0, 27, p3 = 0, 72, b) p1 = 0, 001, p2 = 0, 063, p3 = 0, 432,
p4 = 0, 504.]
Příklad 2.17. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Vytáhneme dvakrát po
sobě vždy po jedné kouli, přičemž první kouli nevrátíme zpět. Určete pravděpo-
dobnost, že
a) obě vytažené koule jsou bílé,
b) první koule je bílá a druhá černá,
c) první koule je černá a druhá bílá,
d) jedna koule bude černá a druhá bíla, přičemž nezáleží na jejich pořadí,
e) druhá vytažená koule je bílá.
a) p = a(a-1)
(a+b)(a+b-1), b) p = ab
(a+b)(a+b-1), c) p = ab
(a+b)(a+b-1) , d) p = 2ab
(a+b)(a+b-1),
e) p = a(a+b-1)
(a+b)(a+b-1) = a
(a+b).
Příklad 2.18. V osudí jsou 3 koule bílé a 5 koulí černých. Vytáhneme dvakráte po
sobě vždy po jedné kouli a první kouli nevrátíme zpět. Jaká je pravděpodobnost,
že druhá vytažená koule je bílá?
[3/8.]
Příklad 2.19. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Vytáhneme k-krát po
sobě vždy po jedné kouli, přičemž po žádném tahu kouli nevrátíme zpět. Určete
pravděpodobnost, že poslední vytažená koule je bílá.
p = a(a+b-1)(a+b-2)...(a+b-k+1)
(a+b)(a+b-1)(a+b-2)...(a+b-k+1) = a
(a+b) .
16
Příklad 2.20. Narozeniny k lidí představují výběr s opakováním rozsahu k ze sou-
boru všech dnů v roce. Roky nemají stejnou délku, a víme, že porodnost během
roku nezůstává stálá. Nicméně v prvním přiblížení je možné předpokládat, že
v roce je 365 dnů a uvažovat náhodný výběr lidí místo náhodného výběru dnů
narozenin. Při těchto předpokladech určete pravděpodobnost toho, že všech k dnů
narozenin je v různých dnech.
p = 365-k365!/(365 - k)!.
Příklad 2.21. Předpokládejme, že se 3 lidé setkali zcela náhodně. Určete pravdě-
podobnost, že
a) nemají narozeniny společně v 1 den (každý má narozeniny v jiný den v
roce),
b) alespoň 2 osoby z těchto 3 mají narozeniny společně v 1 den,
c) právě 2 osoby z těchto 3 mají narozeniny společně v 1 den.
Pozn.: přestupný rok neuvažujte.
a) 0, 9918; b) 0, 0082; c) 8, 197  10-3.
Příklad 2.22. Jaká je pravděpodobnost, že při současném hodu šesti kostkami
padne
a) na každé kostce jiné číslo,
b) samé jedničky,
c) právě pět jedniček,
d) právě čtyři jedničky,
e) alespoň čtyři jedničky,
f) samá lichá čísla,
g) všechna čísla stejná,
h) právě k jedniček.
a) 6!
66 , b) 1
66 , c) 5
65 , d) 375
66 , e) 406
66 , f) 1
26 , g) 1
65 , h) 6
k 56-k.
Příklad 2.23. Ve skupině studentů je 7 mužů a 4 ženy. Jaká je pravděpodobnost,
že v sestaveném šestičlenném volejbalovém týmu budou alespoň dvě ženy?
[0.803.]
17
Příklad 2.24. Pepík dostal sáček s deseti bonony, z nichž bylo pět ovocných a pět
mentolových. Ze sáčku náhodně vybral šest bonbonů, které rozdělil kamarádům.
Jaká je pravděpodobnost, že mezi nimi byly dva mentolové?
5
21.
Příklad 2.25. V urně je 6 červených, 3 modré a 3 bílé koule. Vytáhneme 4 koule.
Určete pravděpodobnost, že
a) všechny 4 koule budou červené,
b) 3 koule budou červené a 1 modrá,
c) 2 koule budou červené, 1 modrá a 1 bílá.
[ a) 0, 030; b) 0, 121; c) 0, 273.]
Příklad 2.26. Z 52 hracích karet náhodně vybereme 13 karet. Stanovte pravděpo-
dobnost, že mezi těmito kartami bude 5 , 4 , 3  a 1 .
13
5
13
4
13
3
13
1 / 52
13 .
Příklad 2.27. Při bridži obdrží hráč 13, při pokru 5 z 52 hracích karet. Určete
pravděpodobnost toho, že hráč a) bridže b) pokru dostane karty různých hodnot
(barvy karet se mohou shodovat).
a) 413/ 52
13
.
= 0, 0001057, b) 45 13
5 / 52
5
.
= 0, 5071.
Příklad 2.28. V osudí je a koulí bílých a b koulí černých. Jedním tahem vytáh-
neme ( + ) koulí. Určete pravděpodobnost, že vytáhneme právě  bílých a 
černých koulí.
p = a

b

a+b
+ .
Příklad 2.29. V osudí je n lístků očíslovaných čísly 1, 2, . . . , n. Vytáhneme na-
jednou m lístků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vytaženými lístky bude k lístků
označeno předem danými čísly?
p = k
k
n-k
m-k
n
m .
Příklad 2.30. Úplná sada 32 karet je rozdána mezi 4 hráče. Jaká je pravděpodobnost,
že jeden určitý hráč má
a) všechna 4 esa,
b) 2 esa a 1 krále,
c) 3 zelené a 2 červené karty?
[ a) 0, 002; b) 0, 097; c) 0, 083.]
18
Příklad 2.31. Pokud se naučíte ke zkoušce z 50 otázek pouze 25, jakou máte
pravděpodobnost, že ze tří vytažených otázek budete znát
a) všechny 3,
b) právě 2?
[ a) 0, 117; b) 0, 383.]
Příklad 2.32. V tombole na plesu bylo prodáno 960 losů a je připraveno 20
věcných cen. Pokud jste zakoupili 5 losů, s jakou pravděpodobností vyhrajete
a) 1 cenu,
b) alespoň 1 cenu?
c) Vysvětlete, proč je pravděbodobnost pod a) menší než pod b).
[ a) 0, 096; b) 0, 100.]
Příklad 2.33. Ve Sportce se z osudí obsahujícího 49 čísel losuje bez vracení 6
čísel. Sázející označí na sázence 6 čísel. Jaká je pravděpodobnost
a) výhry v 1. pořadí (uhádnutí všech 6 vylosovaných čísel),
b) výhry v 5. pořadí (uhádnutí 3 vylosovaných čísel),
c) že sázející neuhádne žádné vylosované číslo?
a) 7, 151  10-8; b) 1, 765  10-2; c) 0, 436.
Příklad 2.34. V dodávce 100 kusů stolních ventilátorů je 5 vadných. Ke kont-
role této dodávky vybereme náhodně 4 kusy. Jaká je pravděpodobnost, že mezi
kontrolovanými ventilátory
a) nebude žádný vadný,
b) bude 1 vadný,
c) bude alespoň 1 vadný?
[ a) 0, 812; b) 0, 176; c) 0, 188.]
Příklad 2.35. Bedna obsahuje 90 dobrých a 10 vadných součástek. Určete prav-
děpodobnost toho, že mezi 10 vybranými součástkami není žádná vadná.
90!
80!
100!
90!
.
= 0, 330476.
19
Příklad 2.36. (Odhad velikosti populace) Předpokládejme, že z rybníku bylo vy-
loveno tisíc ryb, které byly následně označeny barvou a vypuštěny zpět. Při dalším
odlovu tisíce ryb se ukázalo, že sto z nich bylo označených. Z pozorovaného
výsledku odhadněte nejpravděpodobnější velikost populace ryb v rybníku.
[ Označme n neznámý počet ryb
v rybníku. Ze zadání je zřejmé, že n  1900. Pravděpodobnost, že v druhém výlovu bylo
100 označených ryb je p100(n) = 1000
100
n-1000
900 / n
1000 . Nejpravděpodobnější počet ryb
v rybníku zjistíme maximalizací pravděpodobnosti p100(n). Hledáme největší n pro které
poměr p100(n)/p100(n - 1) = (n - 1000)2n-1(n - 1900)-1  1. Tedy sledovaný jev
má největší pravděpodobnost pro n = 10000.]
Příklad 2.37. Technická kontrola prověřuje výrobky ze sady skládající se z m
výrobků prvního druhu a n výrobků druhého druhu. Zkouška prvních b výrobků
(b < n) náhodně vybraných ze sady ukázala, že všechny byly druhého druhu.
Určete pravděpodobnost toho, že mezi dalšími dvěma výrobky vybranými z dosud
neprověřených nejvýše jeden výrobek bude druhého druhu.
1 - m
2 / m+n-b
2 . Odečítaný výraz je pravděpodobností, že oba výrobky jsou prvního
druhu.
Příklad 2.38. Hodíme n-krát po sobě jednou hrací kostkou. Jaká je pravděpodob-
nost, že alespoň v jednom hodu padne
"
šestka"?
p = 1 - 5
6
n
.
Příklad 2.39. Házíme n-krát po sobě dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost,
že alespoň při jednom hodu padne součet 12?
p = 1 - 35
36
n
.
Příklad 2.40. Kolikrát musíme házet hrací kostkou, aby první padnutí
"
šestky"
mělo pravděpodobnost a) větší než 0,5 b) větší než 0,8 c) větší než 0,9?
a) 1 - 5
6
n
> 0.5, n  4, b) n  9, c) n  13.
Příklad 2.41. Kolikrát musíme házet dvěma hracími kostkami, abychom s prav-
děpodobností větší než 1/2 očekávali, že aspoň jednou padne součet ok rovný 12?
1 - 35
36
n
 0.5, n  25.
Příklad 2.42. Kolika způsoby můžeme čtyřem dětem rozdat 10 různých duhových
kuliček tak, aby Jirka dostal právě 3 kuličky?
10
3 4-10(3)7.
Příklad 2.43. Uvažujme rozmístění k koulí do n osudí. Určete pravděpodobnost
toho, že předem vybrané osudí obsahuje právě r koulí.
k
r n-k(n - 1)k-r.
20
Příklad 2.44. Při bridži je všech 52 hracích karet rozděleno čtyřem hráčům. Sta-
novte pravděpodobnost, že každý hráč dostane jedno eso.
4! 48!
(12!)4
52!
(13!)4 = 0, 105.
Příklad 2.45. Skupina se skládá z 5 mužů a 10 žen. Určete pravděpodobnost toho,
že při jejich náhodném rozdělení do 5 skupin po třech lidech bude v každé skupině
muž.
[ Při rozdělování 15 lidí do 5 trojic je možno
první trojici vybrat 15
3 způsoby, druhou 12
3 , atd... Tedy všech uskupení do 5 trojic je
15
3
12
3
9
3
6
3
3
3 = 15!/(3!)5. Podobnou úvahou zjistíme, že existuje 10
2
8
2
6
2
4
2
2
2
seskupení 10 žen do 5 dvojic, přičemž ke každému seskupení je možno přidat libovolnou
z permutací 5 mužů, tj. p = 10!5!(3!)5/(2515!) = 81/1001.
Příklad 2.46. Devět cestujících náhodně nastoupí do tří vagónů. Každý cestující
zvolí vagón náhodně a nezávisle na ostatních cestujících. Jaká je pravděpodobnost
toho, že
a) v každém vagóně sedí 3 cestující,
b) v jednom vagóně sedí 4, v druhém 3 a ve třetím 2 cestující?
a) p = 9!
(3!)339 , b) 9!
4!3!2!39 .
Příklad 2.47. Čtyři studenti si na stůl položili čtyři sklenice s vínem. Po chvíli se
ke stolu vrátili a sklenice si vzali náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň
jeden z nich si vzal svoji sklenici?
[0.625.]
Příklad 2.48. V osudí je r koulí očíslovaných čísly 1, 2, . . . , r. Táhneme n-krát
po sobě po jedné kouli, přičemž každou vytaženou kouli vracíme zpět. Jaká je
pravděpodobnost, že součet čísel, jimiž jsou vytažené koule očíslovány, je roven
číslu s? (n  s  nr) [Spočtěte koeficient u mocniny xs
v polynomu (x + x2
+
. . . + xr
)n
]
p = 1
rn
k
i=0
n
i
s-ir-1
n-1 (-1)i, kde k = [s-n
r ].
Příklad 2.49. V osudí je n koulí očíslovaných čísly 1, 2, . . . , n. Vytáhneme n-
krát po sobě po jedné kouli, přičemž vytažené koule nevracíme zpět. Osudí tedy
vyprázdníme. Řekneme, že pro kouli s číslem i nastane setkání, pokud ji vytáhne-
me právě v i-tém tahu. Určete pravděpodobnost, že
a) pro kouli s číslem i nenastane setkání,
b) ani pro kouli s čísle i ani pro kouli s číslem k nenastane setkání, i = k.
21
a) p = n!-(n-1)!
n! = 1 - 1
n, b) p = n!-2(n-1)!+(n-2)!
n! = 1 - 2
n + 1
n(n-1).
Příklad 2.50. Z balíčku 52 karet náhodně vybereme 6 karet. Určete pravděpo-
dobnost toho, že mezi těmito kartami budou zástupci všech čtyřech barev.
[ Pravděpodobnost, že mezi 6 kartami nejsou ani jednou , je rovna 39
6 / 52
6 . To
je pravděpodobnost nepřítomnosti karet jedné libovolné barvy. Tedy pravděpodobnost,
že mezi 6 kartami není nějaká barva, je rovna 4 39
6 / 52
6 . Pravděpodobnost, že nejsou
zastoupeny dvě dané barvy, je 26
6 / 52
6 , že nejsou zastoupeny tři dané barvy je 13
6 / 52
6 .
Celkem p = 1 - 4 39
6 / 52
6 + 6 26
6 / 52
6 - 4 13
6 / 52
6 .
2.2 Geometrická pravděpodobnost
Příklad 2.51. Hodiny, které je třeba natahovat, se zastavily. Jaká je pravděpodobnost,
že se velká ručička
a) zastavila mezi šestkou a osmičkou
b) nezastavila mezi trojkou a pětkou
c) zastavila přesně na dvanácti
[ a) 1/6, b) 5/6, c) 0.]
Příklad 2.52. Proti síti se čtvercovými oky o straně 8 cm je kolmo hozen míček
o průměru 5 cm. Jaká je pravděpodobnost, že míček proletí sítí?
[0.141.]
Příklad 2.53. V obdélníku o rozměrech 10 x 15 je zakreslena kružnice o poloměru
4 a čtverec o straně 4. V obdélníku zvolíme náhodně bod N. Určete pravděpodobnost
toho, že tento bod
a) leží uvnitř kružnice,
b) neleží uvnitř čtverce.
[ a) 0, 335, b) 0, 893.]
Příklad 2.54. Výskyt náhodných čísel lze simulovat na počítačích pomocí tzv.
generátoru pseudonáhodných čísel (jedná se o umělou tvorbu náhodných čísel).
Předpokládejme, že necháme vygenerovat pseudonáhodná čísla rovnoměrně roz-
ložená do intervalu (0;1); výskyt každého čísla z tohoto intervalu je tedy stejně
možný. Jaká je pravděpodobnost, že poslední číslo z 50 vygenerovaných čísel
a) bude z intervalu (0,3; 0,5),
22
b) bude větší než 0,7?
[ a) 0, 2, b) 0, 3.]
Příklad 2.55. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených klad-
ných čísel, z nichž žádné není větší než jedna, bude nejvýše roven jedné a jejich
součin nebude větší než 2
9
?
 = {[x, y]| 0  x  1, 0  y  1}, A = {[x, y]| [x, y]  , x + y  1, xy  2
9 },
p
.
= 0, 487.]
Příklad 2.56. V kruhu o poloměru r se v daném směru vedou tětivy. Všechny
průsečíky tětiv s průměrem kolmým k danému směru jsou stejně možné. Jaká je
pravděpodobnost, že délka náhodně zvolené tětivy je nejvýše r?
p = 1 - 1
2

3
.
= 0, 134.
Příklad 2.57. Mezi dvěma stanovištěmi, vzdálenými od sebe 600 metrů, je natažený
telefonní kabel. Určete pravděpodobnost, že bod, ve kterém došlo k přerušení ka-
belu, bude od prvního stanoviště vzdálen
a) více než 75 metrů
b) nejvýše 100 metrů
[ a) 0.875, b) 0.167.]
Příklad 2.58. Nákladní auto vozí několikrát denně cement z cementárny na 20km
vzdálené staveniště. Jaká je pravděpodobnost, že v případě poruchy zůstane auto
stát
a) nejdále 4 km od cementárny nebo staveniště
b) více než 8 km od cementárny nebo staveniště
[ a) 0.4, b) 0.2.]
Příklad 2.59. Na úsečce o délce l se náhodně umístí dva body tak, že se úsečka
rozdělí na tři části. Určete pravděpodobnost toho, že z tří vzniklých úseček lze
sestavit trojúhelník.
[Označme x, y délky dvou úseček.  = {[x, y]| 0  x + y  l},
A = {[x, y]| [x, y]  , x  l/2, y  l/2, x + y  l/2}, p = 0, 25.]
Příklad 2.60. Jaká je pravděpodobnost toho, že z tří náhodně zvolených úseček,
dlouhých nejvýše l, bude možno sestrojit trojúhelník?
[Označme x, y, z délky úseček.  = {[x, y, z]| 0  x  l, 0  y  l, 0  z  l},
A = {[x, y, z]| [x, y, z]  , x + y  z, x + z  y, y + z  x}, p = 0, 5.]
23
Příklad 2.61. Dva parníky musí přirazit k témuž přístavišti. Příjezdy obou parníků
jsou nezávislé a stejně možné během celého dne. Určete pravděpodobnost toho,
že jeden z parníků bude muset čekat na uvolnění přístaviště, jestliže první parník
stojí v přístavišti jednu hodinu a druhý dvě hodiny.
[Označme x, y doby příjezdu parníků.  = {[x, y]| 0  x  24, 0  y  24},
A = {[x, y]| [x, y]  , y - x  1, x - y  2}. p = 0, 121.]
Příklad 2.62. Na železniční trati se provádí opravy, takže vlaky můžou jezdit
pouze po jedné koleji. Dva vlaky jedoucí v opačném směru, mohou tímto úsekem
projet v průběhu třiceti minut v kteroukoli dobu se stejnou pravděpodobností.
Určete pravděpodobnost, že jeden vlak nebude muset čekat na druhý, potřebuje-li
první vlak na projetí celého úseku pět minut a druhý vlak tři minuty.
[0.752.]
Příklad 2.63. Dvě osoby se dohodly, že se setkají na stanoveném místě mezi 17. a
18. hodinou. Ten, kdo přijde jako první, počká na toho druhého 15 minut a potom
odejde. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají, je-li příchod obou v libovolném
okamžiku dohodnutého intervalu stejně možný?
[7/16.]
Příklad 2.64. Dvě osoby mají stejnou pravděpodobnost, že přijdou nezávisle na
sobě na dohodnuté místo v libovolném okamžiku časového intervalu T. Jaká je
pravděpodobnost, že jeden člověk bude čekat na druhého nejvýše po dobu t?
1 - (T-t
T )2.
Příklad 2.65. Na zastávku přijíždí autobus linky A každých 15 min. a autobus
linky B každých 20 min. Určete pravděpodobnost, že od okamžiku, kdy cestující
přijde na tuto zastávku, přijede
a) autobus A dříve než autobus B,
b) autobus A nebo autobus B do 5 minut.
[ a) 5/8, b) 1/2.]
Příklad 2.66. (Buffonova úloha) V rovině jsou narýsovány rovnoběžky, jejichž
vzdálenost je L. Určete pravděpodobnost, že náhodně vržená jehla délky l (l < L)
protne kteroukoliv přímku.
[Označme x vzdálenost jehly od nejbližší přímky,
 úhel, který svírá jehla s touto přímkou.  = {[x, ]| 0  x  L/2, 0    },
A = {[x, ]| [x, ]  , x  (l/2) sin }, p = 2l
L .
24
2.3 Podmíněná pravděpodobnost
Příklad 2.67. Hodíme dvěmi hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padla
alespoň jedna šestka, když víme, že součet ok padlých na 1. a 2. kostce je 8?
[2/5]
Příklad 2.68. Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padly dvě
pětky, je-li známo, že součet ok je dělitelný pěti?
[1/7]
Příklad 2.69. Z osudí, ve kterém je m bílých a n černých koulí, vytáhneme po-
stupně bez vracení dvě koule. Zjistili jsme, že první vytažená koule je bílá. Jaká
je pravděpodobnost, že druhá vytažená koule bude také bílá?
m-1
m+n-1
Příklad 2.70. Zjistili jsme, že při hodu deseti hracími kostkami padla aspoň jedna
jednička. Jaká je pravděpodobnost, že padly 2 anebo více jedniček?
610-3510
610-510
.
= 0, 615
Příklad 2.71. Dokažte, že jsou-li A a B neslučitelné jevy a P(A  B) = 0, pak
P(A|A  B) =
P(A)
P(A) + P(B)
.
Příklad 2.72. Necht' P(A|B) = 0, 7, P(A|B) = 0, 3, P(B|A) = 0, 6. Vypočtěte
P(A).
[21/46]
Příklad 2.73. Firma odebírá stejné výrobky od dvou dodavatelů. Od prvního do-
davatele odebírá měsíčně 8000 výrobků, ze kterých je 10% vadných. Od druhého
dodavatele odebírá měsíčně 2000 výrobků, ze kterých je 5% vadných. Jaká je
pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek z měsíční dodávky je vadný a
pochází
a) od prvního dodavatele,
b) od druhého dodavetele.
[ a) 0.08, b) 0.01]
Příklad 2.74. Ze sedmi výrobků jsou tři vadné. Náhodně vybereme dva výrobky.
Jaká je pravděpodobnost, že jsou
a) oba kvalitní,
b) právě jeden vadný,
25
c) oba vadné?
[ a) 2/7, b) 4/7, c) 1/7]
Příklad 2.75. V osudí je deset koulí očíslovaných čísly 0, 1, . . . , 9. Náhodně vy-
bereme jednu kouli, poznamenáme její číslo a kouli nevrátíme zpět. Stejným
způsobem vybereme i druhou a třetí kouli. Jaká je pravděpodobnost, že dosta-
neme číslo 253?
[1/720]
Příklad 2.76. Z osudí, ve kterém je 6 bílých a 4 černé koule, vybereme třikrát
bez vracení po jedné kouli. Označme A1 jev:
"
1. vybraná koule je černá", A2
jev:
"
2. vybraná koule je bílá", A3 jev:
"
3. vybraná koule je černá". Vypočtěte
pravděpodobnost společného nastoupení jevů A1, A2, A3.
[0.1]
Příklad 2.77. Z karetní hry o 32 kartách vytahujeme postupně 6 krát po sobě
bez vracení po jedné kartě. Jaká je pravděpodobnost, že desítka bude tažena až v
posledním tahu?
[0.0723]
Příklad 2.78. Ke kulatému stolu, kde je 2n míst, si náhodně posedá n mužů a n
žen. Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět
vedle sebe?
2(n!)2
(2n)!
Příklad 2.79. V krabici je n levých a n pravých rukavic stejného druhu. Postupně
vybíráme vždy dvě rukavice a nevracíme je zpět. Jaká je pravděpodobnost, že ve
všech takto vytažených párech bude levá i pravá rukavice?
2n(n!)2
(2n)!
Příklad 2.80. Jsou dána tři osudí, pravděpodobnost volby každého osudí je stejná.
První osudí obsahuje 1 bílou, 2 modré a 3 červené koule. Druhé osudí obsahuje
2 bílé koule, 1 modrou a 1 červenou koulí. Třetí osudí obsahuje 4 bílé koule, 3
modré koulí a 3 červené. Náhodně zvolíme jedno osudí a vytáhneme z něj dvě
koule a zjistíme, že jedna z těchto vytažených koulí je bíla a druhá červená. Jaká
je pravděpodobnost, že tyto koule pocházejí
a) z prvního osudí,
b) z druhého osudí,
c) ze třetího osudí?
[ a) 1/4, b) 5/12, c) 1/3]
26
Příklad 2.81. Z osudí, které obsahuje m bílých (m > 3) a n černých koulí, se
ztratila jedna koule. Proto, abychom určili obsah osudí, vybereme z osudí dvě
koule. Zjistili jsme, že jsou bílé. Jaká je pravděpodobnost, že ztracená koule je
bílá?
m-2
m+n-2
Příklad 2.82. Z osudí, které obsahuje 3 bílé a 2 černé koule, byly naráz vybrány
dvě koule. Ty byly vloženy do druhého osudí, které předtím obsahovalo 4 bílé
a 4 černé koule. Jaká je pravděpodobnost, že po tomto přemístění bude z druhého
osudí vytažena bílá koule?
[0.52]
Příklad 2.83. Osudí obsahuje n koulí. Všechny možné počty bílých koulí v osudí
jsou stejně pravděpodobné. Zjistili jsme, že koule náhodně vybraná z osudí je bílá.
Stanovte pravděpodobnost všech možných původních počtů bílých koulí v osudí.
Jaký je nejpravděpodobnější původní počet bílých koulí v osudí?
P(Hi) = 1
n+1 , P(Hi|B) = 2i
n(n+1), nejpravděpodobnější je n koulí v osudí
Příklad 2.84. Osudí obsahuje celkem 10 koulí, z nichž některé jsou bílé a některé
černé. Počet bílých koulí a černých koulí však není přesně znám. Víme jenom, že
osudí bylo naplněno tímto způsobem: 10-krát po sobě bylo hozeno jednou mincí
a pokud padl rub, byla do osudí vložena bílá koule, pokud padl líc, byla do osudí
vložena černá koule. Z takto naplněného osudí bylo vytaženo m-krát po sobě po
jedné kouli, přičemž po každém tahu byla vytažená koule vrácena zpět do osudí.
Po provedení těchto m tahů bylo zjištěno, že všech m koulí bylo bílých. Stanovte
pravděpodobnost, že
a) dané osudí obsahovalo pouze bílé koule, tj. 10 bílých a žádné černé koule.
b) dané osudí obsahovalo jednu bílou a devět černých koulí.
a) P(H10|A) = 10m
10
i=1 (10
i )im
, b) P(H1|A) = 10
10
i=1 (10
i )im
Příklad 2.85. Pojištovací společnost rozlišuje při pojišt'ování tři skupiny řidičů -
A, B, C. Pravděpodobnost toho, že řidič patřící do skupiny A bude mít během roku
nehodu, je 0.02, zatímco u řidiče ze skupiny B je to 0.07 a u řidiče ze skupiny C je
to 0.11. Z dlouhodobého sledování společnost odhadla, že 50% pojistných smluv
je uzavřeno s řidiči ze skupiny A, 30% s řidiči ze skupiny B a 20% s řidiči ze
skupiny C. Jaká je pravděpodobnost, že řidič, který měl nehodu, patří do skupiny
a) A, b) B, c) C?
[ a) 1/53, b) 21/53, c) 22/53]
27
Příklad 2.86. Jsou dána tři stejná osudí. První osudí obsahuje 2 bílé, 1 mod-
rou a 3 červené koule. V druhém osudí jsou 4 bílé, 3 modré a 2 červené koule.
Třetí osudí obsahuje 1 bílou, 2 modré a 1 červenou kouli. Náhodně zvolíme osudí
a z toho vytáhneme postupně dvě koule, přičemž žádnou vytaženou kouli ne-
vracíme zpět. Ukázalo se, byla vytažena jedna modrá a jedna červená koule. Jaká
je pravděpodobnost, že koule byly vybrány z
a) z prvního osudí,
b) z druhého osudí,
c) ze třetího osudí?
[ a) 2/7, b) 5/21, c) 10/21]
Příklad 2.87. Z osudí, které obsahuje 5 bílých a 5 černých koulí, bylo vytaženo
5 koulí a vloženo do jiného prázdného osudí. Z tohoto osudí byly vytaženy 3
koule a vloženy do třetího prázdného osudí. Z tohoto třetího osudí byla vytažena
jedna koule a bylo zjištěno, že je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že všech 5 koulí,
vytažených z prvního osudí, bylo bílých?
[P(H5|A) = 1/126]
Příklad 2.88. ( Úloha Chevailera de Méré) a) Hodíme n krát jednou kostkou.
Označme A jev:
"
šestka padne alespoň jednou." Jaké musí být minimální n, aby
pravděpodobnost, že nastane jev A byla alespoň 0.6? b) Hodíme n krát po sobě
dvěma kostkami. Označme B jev:
"
součet 12 padne alespoň jednou". Jaké musí
být minimální n, aby jev B nastal alespoň s pravděpodobností 0.6?
[ a) 6, b) 19]
Příklad 2.89. Každé z N + 1 osudí obsahuje N koulí. Osudí s číslem k obsahuje
k červených a N -k bílých koulí, k = 0, 1, . . . , N. Z náhodně zvoleného osudí n-
krát vybereme kouli, přičemž vybranou kouli po tahu ihned vrátíme zpět. Stanovte
pravděpodobnost, že jsou všechny vybrané koule červené.
N
i=1
1
N+1
i
N
n
Příklad 2.90. V první sadě výrobků je 8 výrobků, z toho 2 vadné. Ve druhé sadě
výrobků je 14 výrobků, z toho 1 vadný. Z první sady náhodně vybereme výrobek a
přemístíme jej do druhé sady. Poté náhodně vybereme z druhé sady jeden výrobek.
Jaká je pravděpodobnost, že je tento výrobek vadný?
[1/12]
Příklad 2.91. Na zkoušku z matematiky se dostavilo 25 studentů. Pravděpodobnost
složení zkoušky je pro 12 studentů 0.75, pro 8 studentů 0.5 a pro 5 studentů 0.4.
Stanovte pravděpodobnost, že náhodně zvolený student tuto zkoušku složí.
[3/5]
28
Příklad 2.92. Osudí obsahuje 6 bílých a 5 černých koulí. Vytáhneme z něj 4 koule
a vložíme je do jiného prázdného osudí. Z tohoto druhého osudí vytáhneme jednu
kouli a nevrátíme je zpět.
a) Jaká je pravděpodobnost, že je vytažená koule černá?
b) Z druhého osudí vytáheneme ještě jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že
je tato koule bílá, za předpokladu, že první tažená koule byla také bílá?
[ a) 5/11, b) 31/74]
Příklad 2.93. Jsou dána tři osudí, pravděpodobnost volby každého osudí je stejná.
V prvním osudí je 1 bílá koule a 2 černé koule. Ve druhém osudí jsou 2 bílé
koule a 1 černá koule. Třetí osudí obsahuje 2 bílé koule a 2 černé koule. Náhodně
zvolíme jedno osudí a vytáhneme z něj jednu kouli a zjistíme, že je bílá. Vytaženou
kouli nevrátíme zpět do osudí a vytáhneme ze stejného osudí ještě jednu kouli.
Jaká je pravděpodobnost, že i tato druhá koule je bílá?
[1/3]
Příklad 2.94. Zákazník si náhodně vybírá jeden z 12 obrazů, mezi nimiž jsou 3
kopie. Výběru je přítomen odborník, který pozná originál s pravděpodobností 3/8.
a) Jestliže odborník považuje obraz za originál, jaká je pravděpodobnost, že
skutečně jde o originál?
b) Odborník soudí, že zákazníkem zvolený obraz je kopie. Zákazník proto ob-
raz odloží a volí náhodně jeden ze zbývajících obrazů. Jaká je nyní pravdě-
podobnost, že zákazník zvolí originál?
[ a) 9/13, b) 41/44]
Příklad 2.95. Hodíme n krát kostkou. Když padne liché číslo, vložíme do osudí
bílou kouli, když padne sudé, vložíme do osudí černou kouli. Z takto naplněného
osudí vytáhneme náhodně jednu kouli a nevrátím ji zpět. Ukázalo se, že je černá.
Jaká je pravděpodobnost, že další vytažená koule bude bílá?
1
n-1
n-1
i=1 (n
i )i(n-i)
n-1
i=1 (n
i )(n-i)
29
2.4 Stochasticky nezávislé jevy
Příklad 2.96. Hodíme dvěmi hracími kostkami. Označme náhodné jevy A1 na
první kostce padne sudé číslo, A2 na druhé kostce padne liché číslo, A3 součet ok,
které padly na 1. a 2. kostce, je liché číslo. Dokažte, že každé dva z jevů A1, A2, A3
jsou nezávislé, ale jevy A1, A2, A3 nejsou nezávislé.
Příklad 2.97. Necht' jevy A a B1 jsou nezávislé a také jevy A a B2 jsou nezávislé,
přičemž B1 a B2 jsou neslučitelné. Dokažte, že jevy A a B1  B2 jsou nezávislé.
Příklad 2.98. Necht' P(A) > 0 a P(B|A) = P(B|A). Dokažte, že jevy A a B
jsou nezávislé.
Příklad 2.99. Čtyři osoby vyplňovaly dotazník průzkumu veřejného mínění se
třemi otázkami, na které bylo možno odpovědět pouze
"
ano"(1) nebo
"
ne"(0).
Odpovědi dotazovaných byly 111, 001, 010, 100. Označme Ai jev:
"
náhodně zvo-
lená osoba z těchto čtyř dotazovaných odpověděla kladně na i-tou otázku". Jsou
jevy A1, A2, A3 stochasticky nezávislé.
[ne]
Příklad 2.100. Tři myslivci současně vystřelili na medvěda. Medvěda zastřelili
jednou kulí. Jaká je pravděpodobnost, že medvěda zastřelil a) první, b) druhý, c)
třetí myslivec, když mají pravděpodobnost zásahu postupně p1 = 0, 2; p2 = 0, 4;
p3 = 0, 6?
[ a) 0.048, b) 0.128, c) 0.288]
Příklad 2.101. Střelec střílí třikrát nezávisle na sobě do terče. Pravděpodobnosti
zásahu při první, druhém a třetím výstřelu jsou postupně 0.3, 0.5 a 0.6. Jaká je
pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl
a) právě jednou,
b) alespoň jednou,
b) právě dvakrát?
[ a) 0.41, b) 0.86, c) 0.36]
Příklad 2.102. Jevy A1, A2, A3 jsou stochasticky nezávislé, P(A1) = 0.4, P(A2) =
0.4, P(A3) = 0.25. Vypočtěte pravděpodobnost nastoupení alespoň jednoho z
jevů A1, A2, A3.
[0.73]
Příklad 2.103. Pravděpodobnost, že investice firmě přinese zisk je 0.3. Jaká je
pravděpodobnost, že se z šesti (nezávislých) investic firmě vyplatí alespoň jedna?
[0.8824]
30
Příklad 2.104. Patnáctkrát nezávisle na sobě házíme čtyřmi mincemi. Jaká je
pravděpodobnost, že alespoň v jednom hodu padnou čtyři líce?
[0.6202]
Příklad 2.105. Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie
ze čtyř nebo pět pratií z osmi, když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky
jsou nezávislé?
[P(A) = 0.25, P(B) = 0.21875]
Příklad 2.106. Osmkrát nezávisle na sobě házíme třemi kostkami. Jaká je prav-
dě-podobnost, že právě dvakrát padnou tři šestky?
[0.00058]
31
Kapitola 3
Diskrétní náhodné veličiny
Příklad 2.107. Dvakrát házíme mincí. Popište prostor elementárních jevů . Ne-
cht' náhodná veličina X udává počet padlých líců. Určete rozdělení náhodné veličiny
X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete jejich grafy.








 = {[R, R], [R, L], [L, R], [L, L]},
p(x) =



1/4, x = 0, 2,
1/2, x = 1,
0 jinak,
, F(x) =



0, x < 0,
1/4, x < 0, 1),
3/4, x < 1, 2),
1 x  2,









Příklad 2.108. Dvakrát házíme hrací kostkou. Popište prostor elementárních jevů
. Necht' náhodná veličina X udává součet hodnot, které padnou v 1. a 2. hodu.
Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci.
Nakreslete jejich grafy.





 = {[1, 1], . . . , [1, 6], [2, 6], . . . , [6, 6]},
p(x) =
6-|x-7|
36 , x = 2, . . . , 12,
0 jinak,
, F(x) =



min{x,12}
i=2
6-|i-7|
36 , x  2,
0, x < 2.






Příklad 2.109. Házíme mincí, dokud nepadne líc. Popište prostor elementárních
jevů . Necht' náhodná veličina X udává počet provedených hodů. Určete rozdě-
lení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční funkci. Nakreslete
jejich grafy. 




 = {[L], [R, L], [R, R, L], . . .},
p(x) =
1
2x , x = 1, 2, . . . ,
0 jinak,
, F(x) =



x
i=1
1
2i , x  1,
0, x < 1.





32
Příklad 2.110. Střílíme na cíl do prvního zásahu. Zásahy při různých výstřelech
jsou nezávislé jevy, pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p. Popište
prostor elementárních jevů . Necht' náhodná veličina X udává celkový počet
výstřelů. Určete rozdělení náhodné veličiny X, její pravděpodobnostní a distribuční
funkci. Nakreslete jejich grafy.



 = {[Z], [M, Z], [M, M, Z], . . .},
p(x) =
(1 - p)x-1p, x = 1, 2, . . . ,
0 jinak,
, F(x) =
0, x < 1,
1 - (1 - p)[x], x  1,




Příklad 2.111. Střelec n-krát vystřelí na cíl. Předpokládejme, že zásahy při jed-
notlivých výstřelech jsou nezávislé jevy a označme p pravděpodobnost zásahu při
každém výstřelu. Necht' náhodná veličina X udává počet zásahů při n výstřelech.
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny X a nakreslete
jejich grafy. 









p(x) =
n
x (1 - p)xpn-x, x = 0, . . . , n,
0 jinak,
,
F(x) =



0, x < 0,
[x]
i=1
n
i (1 - p)ipn-i, 0  x < n,
1, x  n.










Příklad 2.112. Studentovi je předložen test, který obsahuje 10 otázek a ke každé
z nich 4 možné odpovědi, z nichž jediná je správná; tu má student podtrhnout.
a) Stanovte rozdělení náhodné veličiny X, která udává počet správně zod-
povězených otázek, jestliže látku student nezná a volí odpovědí náhodně.
b) Jaká je pravděpodobnost, že student zodpoví správně alespoň 5 otázek?
a) p(x) =
n
x 0.25x0.75n-x, x = 0, . . . , n,
0 jinak,
, b) 0.0781
Příklad 2.113. Dva hráči košíkové střídavě házejí na koš tak dlouho, dokud je-
den z nich nezasáhne. První hráč zasáhne koš s pravděpodobností p1, druhá s
pravděpodobností p2. Určete rozdělení pravděpodobností počtu hod;, které pro-
vede každý z nich.







pX1 (x) =
(1 - p1)x-1(1 - p2)x-1p1 + (1 - p1)x(1 - p2)x-1p2, x = 1, . . . ,
0 jinak,
pX2 (x) =



p1, x = 0,
(1 - p1)x(1 - p2)xp1 + (1 - p1)x(1 - p2)x-1p2, x = 1, . . . ,
0 jinak.








33
Příklad 2.114. Která z dále uvedených funkcí je pravděpodobnostní funkce diskrétní
náhodné veličiny
a) px
q2
, q = 1 - p, 0 < p  1, x = 1, 2, . . .,
b) px-n
q, q = 1 - p, 0 < p  1, n > 0, x = n, n + 1, . . .,
c) 1
x(x+1)
, x  R,
d)
x+1
x
f(t)dt, x = 0, 1, . . ., kde

0
f(t)dt = 1, f je nezáporná funkce,
e) 2x
x!
e-2
, x = 0, 1, . . .?
[ b) , d) , e) ]
Příklad 2.115. Je dána funkce
p(x) =
c0.4x
x = 1, 2, . . .
0 jinak,
a) Stanovte konstantu c  R tak, aby p(x) byla pravděpodobnostní funkcí
diskrétní náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte pravděpodobnost P(X < 4).
c) Vypočtěte pravděpodobnost P(X  5).
d) Vypočtěte pravděpodobnost P(-1 < X  2).
[ a) 3/2, b) 0, 936, c) 0, 0256, d) 0.84.]
Příklad 2.116. Diskrétní náhodná veličina X má distribuční funkci tvaru
F(x) =



0 x < 2,
0.2 x < 2, 3),
0.4 x < 3, 5),
0.7 x < 5, 6),
1 x  6.
a) Stanovte pravděpodobnostní funkci p(x) náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte P(2, 3 < X  5, 5) jak z distribuční funkce F(x), tak z pravdě-
podobnostní funkce p(x).


 a) p(x) =



0.2 x = 2, 3
0.3 x = 5, 6
0 jinak,
, b) 0.5



34
Příklad 2.117. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 0 1
p 1
3
1
3
1
3
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci a) náhodné veličiny Y = |X|,
b) náhodné veličiny Y = X2
. Nakreslete grafy těchto funkcí.

 a) p(y) =



1/3 y = 0,
2/3 y = 1,
0 jinak,
F(y) =



0, y < 0,
1/3, y < 0, 1),
1, y  1,
b) stejné jak v a)



Příklad 2.118. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 0 1 2
p 0,2 0,1 0,3 0,4
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny Y = 2X
. Na-
kreslete jejich grafy. 







p(y) =



0, 2 y = 1/2,
0, 1 y = 1,
0, 3 y = 2,
0, 4 y = 4,
0 jinak,
F(y) =



0, y < 1/2,
0, 2, y < 1/2, 1),
0, 3, y < 1, 2),
0, 6, y < 2, 4),
1, y  4.








Příklad 2.119. Necht' X je náhodná veličina s rozdělením
x -1 1
p 1
2
1
2
Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci náhodné veličiny Y = sin(X).
Nakreslete jejich grafy.
p(y) =
1, y = 0,
0, jinak,
F(y) =
0, y < 0,
1, y  0.
Příklad 2.120. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci p(x) = x/16
pro x = 1, 3, 5, 7, p(x) = 0 jinak. Vypočtěte
a) P(X = 1  X = 3),
b) P(5/2 < X < 11/2),
c) P(5  X  7.3),
35
[ a) 1/4, b) 1/2, c) 3/4]
Příklad 2.121. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 -0,5 -0,1 0 0,1 0,2 0,5 1 1,5 2
p 0,005 0,012 0,074 0,102 0,148 0,231 0,171 0,16 0,081 0,016
Vypočtěte a) P(X  -0, 05), b) P(X > 1), c) P |X|  1
2
, d) P(|X| > 1, 5).
[ a) 0, 091, b) 0, 257, c) 0, 738, d) 0, 097]
Příklad 2.122. Házíme dvěma hracími kostkami. Popište prostor elementárních
jevů . Necht' náhodná veličina X udává počet šestek, které padly na první kostce,
náhodná veličina Y udává počet šestek, které padly na druhé kostce. Určete sdružené
rozdělení X a Y . Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé.








 = {[1, 1], . . . , [1, 6], [2, 6], . . . , [6, 6]},
p(X,Y )(x, y) =



25
36, [x, y] = [0, 0],
5
36, [x, y]  {[0, 1], [1, 0]}
1
36, [x, y] = [1, 1],
0 jinak,
, pX(x) = pY (x) =



5
6 , x = 0,
1
6 , x = 1,
0 jinak,









Příklad 2.123. Házíme dvěma hracími kostkami. Popište prostor elementárních
jevů . Necht' náhodná veličina X je počet ok padlých na první kostce, náhodná
veličina Y udává počet ok padlých na druhé kostce. Určete sdružené rozdělení X
a Y . Dokažte, že jsou veličiny X a Y nezávislé.



 = {[1, 1], . . . , [1, 6], [2, 6], . . . , [6, 6]}
p(X,Y )(x, y) =
1
36, [x, y]  
0 jinak,
, pX(x) = pY (x) =
1
6, x = 1, . . . , 6
0 jinak,




Příklad 2.124. Házíme dvěma hracími kostkami. Necht' náhodná veličina X je
počet ok, které padly na první kostce, náhodná veličina Y udává maximum z počtu
ok na obou kostkách. Určete sdružené rozdělení X a Y .
[Sdruženou pravděpodobnostní funkci lze zadat maticí 6 × 6 s hlavní diagonálou
1/36, 2/36, . . . , 6/36. Pod diagonálou jsou všechny členy nulové, nad ní 1/36.]
Příklad 2.125. V zásilce 10 výrobků je 8 kvalitních a 2 nekvalitní. Mezi kva-
litními je 5 první jakosti a 3 druhé jakosti. Ze zásilky náhodně vybereme 2 výrobky,
přičemž vybrané výrobky nevracíme zpět. Počet kvalitních kusů se výběru je
náhodná veličina X a počet vybraných výrobků první jakosti je náhodná veličina
Y . Určete sdružené rozdělení náhodných veličin X a Y a zjistěte, zda jsou náhodné
veličiny X a Y nezávislé.
36























p(X,Y )(x, y) =



1
45, [x, y] = [0, 0],
6
45, [x, y] = [1, 0],
3
45, [x, y] = [2, 0],
10
45, [x, y]  {[1, 1], [2, 2]},
15
45, [x, y] = [2, 1],
0 jinak,
pX(x) =



1
45, x = 0,
16
45, x = 1,
28
45, x = 2,
0 jinak,
, pY (y) =



10
45, y = 0,
16
45, y = 1,
28
45, y = 2,
0 jinak,
Náhodné veličiny X a Y nejsou nezávislé.























Příklad 2.126. Náhodná veličina X má rozdělení
x -1 0 1 2
p 0,2 0,1 0,3 0,4
Zjistěte, zda jsou náhodné veličiny X a Y = 2X
nezávislé.










p(X,Y )(x, y) =



0, 2 [x, y] = [-1, 1/2],
0, 1 [x, y] = [0, 1],
0, 3 [x, y] = [1, 2],
0, 4 [x, y] = 2, 4,
0 jinak,
, p(y) =



0, 2 y = 1/2,
0, 1 y = 1,
0, 3 y = 2,
0, 4 y = 4,
0 jinak,
Náhodné veličiny X a Y nejsou nezávislé.











Příklad 2.127. Necht' X nabývá hodnot 1, 2, každou s pravděpodobností 1
4
,
a Y = X2
. a) Určete sdružené rozdělení X a Y . b) Zjistěte, zda jsou veličiny X
a Y nezávislé.





a) p(X,Y )(x, y) =
1
4 , [x, y]  {[1, 1], [-1, 1], [2, 4], [-2, 4]}
0 jinak,
,
b) pY (y) =
1
2, y = 1, 4
0 jinak,
, tedy náhodné veličiny X a Y nejsou nezávislé.






Příklad 2.128. Náhodné veličiny X1 a X2 jsou nezávislé a mají stejné geome-
trické rozdělení (p(x) = qx
p, x = 0, 1, . . . , p > 0, q = 1 - p). Necht' Y =
max(X1, X2). Určete rozdělení náhodné veličiny Y a sdružené rozdělení veličin
Y a X1.
37








pY (y) =
2qyp - q2yp - q2y+1p, y = 0, 1, . . .
0 jinak,
,
p(Y,X1)(y, x) =



qx+yp2, y > x, x, y = 0, 1, . . . ,
(1 - qy+1)qyp, y = x = 0, 1 . . . ,
0 jinak.








Příklad 2.129. Necht' X1 a X2 jsou nezávislé náhodné veličiny a mají Poissonovo
rozdělení X1  Po(1) a X2  Po(2). Dokažte, že náhodná veličina Y =
X1 + X2 má Poissonovo rozdělení s parametrem 1 + 2.
38
3. Číselné charakteristiky
náhodných veličin
Střední hodnota
E(X) =

x=-
x  p(x) respektive E(X) =

x=-
x  f(x)dx
E(Y ) =

x=-
g(x)  p(x) respektive E(Y ) =

x=-
g(x)  f(x)dx
pro Y = g(X) kde g je borelovská funkce.
Necht' a,b jsou reálná čísla, X, X1, . . . , Xn, náhodné veličiny. Pak:
ˇ E(a) = a; E(a + bX) = a + bE(X); E(X - E(X)) = 0
ˇ E(
n
i=1
Xi) =
n
i=1
E(Xi); E(
n
i=1
Xi) =
n
i=1
E(Xi) jsou-li Xi stoch. nez.
Rozptyl
D(X) = E([X - E(X)]2
) = E(X2
) - [E(X)]2
Necht' a,b jsou reálná čísla, X, X1, . . . , Xn, náhodné veličiny. Pak:
ˇ D(a) = 0; D(a + bX) = b2
D(X)
ˇ D(
n
i=1
Xi) =
n
i=1
D(Xi) + 2
n-1
i=1
n
j=1+1
C(Xi, Xj)
ˇ směrodatná odchylka x = D(X)
39
Šikmost
A3(X) =
E([X - E(X)]3
)
D(X)
3
Špičatost
A4(X) =
E([X - E(X)]4
)
D(X)
4 - 3
Kovariance
C(X1, X2) = E([X1 - E(X1)][X2 - E(X2)]) = E(X1X2) - E(X1)E(X2)
Necht' a1, a2, b1, b2 jsou reálná čísla, X, X1, . . . , Xn, Y, Y1, . . . , Ym náhodné
veličiny. Pak
ˇ C(a1, X2) = C(X1, a2) = C(a1, a2) = 0
ˇ C(a1 + b1X1, a2 + b2X2) = b1b2C(X1, X2)
ˇ C(X, X) = D(X)
ˇ C(X1, X2) = C(X2, X1)
ˇ C(
n
i=1
Xi,
m
j=1
Yj) =
n
i=1
m
j=1
C(Xi, Yj)
Korelace
R(X1, X2) = E
X1 - E(X1)
D(X1)

X2 - E(X2)
D(X2)
=
C(X1, X2)
x1 x2
Necht' a1, a2, b1, b2 jsou reálná čísla, X, X1, X2, náhodné veličiny. Pak
ˇ R(a1, X2) = R(X1, a2) = R(a1, a2) = 0
ˇ R(a1 + b1X1, a2 + b2X2) = sgn(b1b2)R(X1, X2)
ˇ R(X, X) = 1
ˇ R(X1, X2) = R(X2, X1)
40
Regresní přímka
Y na X (jak Y závisí na X)
Y = E(Y ) +  
y
x
(X - E(X))
X na Y (jak X závisí na Y)
Y = E(Y ) +
1


y
x
(X - E(X))
-kvantil K(X) -kvantil K(X)náhodné veličiny X je minimální číslo x0 ta-
kové, že
F(x0)  
Ve spojitém případě:
 = F(K(X)) =
K(X)
-
f(x)dx
ˇ u = u1-
ˇ t = t1-
ˇ F(n1, n2) = 1
F1-(n2,n1)
Příklad 3.1. Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny, která má
rozdělení
a) alternativní A(), b) binomické Bi(n, ),
c) Poissonovo Po(), d) geometrické G(),
e) záporně binomické Zb(n, ), f) rovnoměrné R(, ),
g) exponenciální Ex(), h) normální N(, 2
),
i) Pearsonovo 2
(), j) Studentovo t(),
k) Fisher-Snedecorovo F(1, 2).






a) ; (1-), b) n; n(1-), c) ; , d) (1-)/; (1-)/2 e) n(1-)/; n(1-
)/2 f) a+b
2 ; (b-a)2
12 g) 1
 ; 1
2 h) ; 2 i) ; 2 j) 0 pro   2, pro  = 1 neexistuje;
/( - 2)pro   3, pro  = 1, 2 neexistuje, k) 2/(2 - 2) pro 2  3, pro 2 = 1, 2
neexistuje; 22
2(1 + 2 - 2)/[1(2 - 2)2(2 - 4)] pro 2  5, pro 2 = 1, 2, 3, 4
neexistuje;






41
Příklad 3.2. Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem 2.
a) Nakreslete pravděpodobnostní funkci pro x = 0, 1, . . . , 9.
b) Určete střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny X
a zakreslete interval [ - ,  + ] do grafu.
c) Jaká je pravděpodobnost, že X leží v intervalu [ - ,  + ]?
b) E(X) = 2, D(X)
.
= 1, 414.
Příklad 3.3. Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n = 20
a p = 0, 7.
a) Vypočtěte P (X = 14).
b) Vypočtěte P (X  10).
c) Vypočtěte P (X > 10).
d) Vypočtěte P (8  X  17).
e) Vypočtěte P (8 < X < 17).
f) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku  náhodné
veličiny X.
g) Jaká je pravděpodobnost, že X padne do intervalu [ - 2,  + 2]?
Příklad 3.4. Náhodná veličina X má rozdělení
x 10 20 30 40 50 60
p 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1 0,05
a) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku .
b) Nakreslete graf pravděpodobnostní funkce p(x).
c) Označte v grafu hodnotu  a interval   2. Jaká je pravděpodobnost, že
X padne do intervalu   2?
[ a) 31; 169; 13, b) 0.95]
Příklad 3.5. Náhodná veličina X má rozdělení
x 1 2 3 4 5
p 0,05 0,3 0,35 0,2 0,1
42
a) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku .
b) Nakreslete graf p(x).
c) Označte v grafu hodnotu  a interval   . Jaká je pravděpodobnost, že X
padne do intervalu   ?
d) Označte v grafu hodnotu  a interval   3. Jaká je pravděpodobnost, že
X padne do tohoto intervalu?
Příklad 3.6. Náhodná veličina X má rozdělení
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
p 0,02 0,07 0,1 0,15 0,3 0,18 0,1 0,06 0,02
a) Vypočtěte střední hodnotu , rozptyl 2
a směrodatnou odchylku .
b) Nakreslete graf p(x). Označte v grafu hodnotu ,  - 2 a  + 2.
c) Jaká je pravděpodobnost, že X padne do intervalu   2?
Příklad 3.7. Předpokládejme, že v určité populaci má náhodná veličina X udá-
vající počet telefonů v jedné domácnosti pravděpodobnostní funkci p zadanou
následující tabulkou.
x 1 2 3 4 5
p 0,35 0,45 0,15 0,04 0,01
Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku náhodné veličiny X.
E(X) = 1, 91, D(X) = 0, 86.
Příklad 3.8. Hodnoty pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a Y jsou
zapsány v následující tabulce.
x 0 1 2 3 4
pX(x) 0,6 0,3 0,1 0 0
pY (x) 0,1 0,3 0,3 0,1 0,2
Vypočtěte EX, EY , DX a DY
[EX = 0, 5, EY = 2]
Příklad 3.9. Necht' X a Y mají simultánní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí
zavedenou v následující tabulce.
43
y 1 2 3
x
1 0 0 1/2 1/2
2 0 1/3 0 1/3
3 1/6 0 0 1/6
1/6 1/3 1/2 1
Určete kovarianci C(X, Y ) a korelační koeficient . Rozhodněte, zda X a Y jsou
nezávislé náhodné veličiny.
[C(X, Y ) = -5/9,  = -1.]
Příklad 3.10. Necht' X a Y mají simultánní rozdělení definované následující ta-
bulkou hodnot pravděpodobnostní funkce.
y 0 1 2
x
1 0,2 0,1 0,3
2 0 0,2 0,2
Vypočtěte kovarianci C(X, Y ) a rozptyl D(X + Y ). Rozhodněte, zda X a Y jsou
nezávislé.
[C(X, Y ) = 0, 08, D(X + Y ) = 1, 01.]
Příklad 3.11. Simultánní pravděpodobnostní funkce náhodných veličin X a Y je
zadána následující tabulkou.
(x, y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)
p(x, y) 2/15 4/15 3/15 1/15 1/15 4/15
Jinak je funkce p(x, y) = 0. Nalezněte korelační koeficient . Ověřte, zda X a Y
jsou nezávislé.
7/

804.
Příklad 3.12. Necht' pro náhodné veličiny Y a Z platí P(Y = 0, Z = 0) =
0, 1; P(Y = 0, Z = 1) = 0, 2; P(Y = 1, Z = 0) = 0, 3; P(Y = 1, Z = 1) =
0, 4. Vypočtěte korelační koeficient Y,Z.
Y,Z = - 5
56.
Příklad 3.13. Necht' náhodné veličiny X a Y mají simultánní pravděpodobnostní
funkci
a) p(x, y) = 1
3
, (x, y)  {(0, 0), (1, 1), (2, 2)}, jinak je p(x, y) = 0.
44
b) p(x, y) = 1
3
, (x, y)  {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}, jinak je p(x, y) = 0.
c) p(x, y) = 1
3
, (x, y)  {(0, 0), (1, 1), (2, 0)}, jinak je p(x, y) = 0.
Vypočtěte korelační koeficient X a Y . Dále ověřte, zda X a Y jsou nezávislé
náhodné veličiny.
[ a) 1, b) - 1, c) 0.]
Příklad 3.14. Necht' X a Y mají sdružené rozdělení s pravděpodobnostní funkcí
p(x, y) =
1
15
(x + y + 1) x = 0, 1, 2, y = 0, 1
0 jinak
Určete kovarianci C(X, Y ) a korelační koeficient R(X, Y ).
[C(X, Y ) = -6/225, R(X, Y )
.
= -0.07]
Příklad 3.15. Necht' X a Y mají simultánní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí
p(x, y) =
x+2y
18
(x, y)  {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
0 jinak
a) Určete kovarianci a korelační koeficient.
b) Nalezněte obě regresní přímky.
c) Ověřte, zda X a Y jsou stochasticky nezávislé.
a) C(X, Y ) = - 1
162, R(X, Y ) = -0.025, b) Y = -X
40 + 33
20, Y = -77X
2 + 123
2 ,
c) nejsou
Příklad 3.16. Nalezněte šikmost a špičatost náhodné veličiny X, která má rozdělení
dané následující tabulkou.
x 0 1 2
p(x) 0.25 0.5 0.25
[0]
Příklad 3.17. Nalezněte kvantily K0.2, K0.6, K0.8 diskrétní náhodné veličiny X,
která má následující rozdělení:
x 1 2 3
p(x) 0.25 0.5 0.25
[1, 2, 3]
45
Příklad 3.18. Počet různých druhů zboží, které zákazník nakoupí při jedné ná-
vštěvě obchodního domu, je náhodná veličina X. Statisticky bylo zjištěno, že tato
veličina nabývá hodnot 0, 1, 2, 3, 4 s pravděpodobnostmi 0,25; 0,55; 0,11; 0,07;
0,02. Najděte momentové charakteristiky polohy, variability, šikmosti a špičatosti
dané veličiny.
[E(X) = 1, 06, D(X) = 0, 8164, A3 = 1, 1, A4 = 1, 33.]
Příklad 3.19. Ve velkém městě byl proveden průzkum veřejného mínění u 20-
ti voličů. Účelem je zjistit pozorování náhodné veličiny X, která je rovna počtu
hlasů ve prospěch určitého kandidáta na starostu. Předpokládejme, že ve skuteč-
nosti nám neznámých 60% voličů ve městě upřednostňuje tohoto kandidáta.
a) Vypočtěte střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X.
b) Určete pravděpodobnost P (X  10).
c) Určete pravděpodobnost P (X > 12).
d) Určete pravděpodobnost P (X = 11).
e) Nakreslete pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X a označte v něm
hodnoty ,  - 2 a  + 2.


a) Náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry n = 20 a p = 0, 6.
Tedy E(X) = np = 12, D(X) = np(1 - p) = 2, 2. b) P (X  10) = 0, 245.
c) P (X > 12) = 0, 416. d) P (X = 11) = 0, 159.


Příklad 3.20. Necht' náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Na-
lezněte její rozptyl.
35
12
Příklad 3.21. Jedenkrát hodíme osmi kostkami. Vypočtěte střední hodnotu a smě-
rodatnou odchylku součtu ok padlých na všech osmi kostkách.
Příklad 3.22. Městská rada se skládá ze čtyř liberálů a čtyř konzervativců. Tři
členové rady jsou náhodně vybráni do komise. Necht' X udává počet vybraných
liberálů. Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X a spočtěte střední
hodnotu. 

p(x) =



4
56, x = 0, 3
24
56, x = 1, 2
0, jinak
, E(X) = 1, 5.



Příklad 3.23. Náhodně bez opakování zvolíme tři čísla z 1, 2, . . . , 9. Necht' X
udává největší z těchto tří čísel. Určete střední hodnotu E(X).
[E(X) = 7, 5.]
46
Příklad 3.24. Osoba má čtyři podobné klíče, z nichž pouze jedním může otevřít
dveře své kanceláře. Náhodně, bez opakování zkouší tyto klíče. Necht' náhodná
veličina X udává počet klíčů, které osoba musela vyzkoušet, než odemkla svou
kancelář (včetně klíče, kterým kancelář odemkla).
a) Určete pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte střední hodnou a směrodatnou odchylku X.
c) Stanovte pravděpodobnostní funkci X za předpokladu, že osoba vybírá klíče
náhodně, s opakováním.
Příklad 3.25. V osudí jsou 3 bílé a 6 černých koulí. Naráz náhodně vybereme
čtyři koule. Necht' X udává počet takto vytažených bílých koulí. Vypočtěte střední
hodnou a rozptyl náhodné veličiny X.
Příklad 3.26. V sérii výrobků, která je připravena k expedici, je 8% výrobků s
vadou povrchové úpravy. Dlouhodobým statistickým pozorováním bylo zjištěno.
že pravděpodobnost reklamace výrobku s uvedenou vadou je 0,8. Bylo uvažováno
o dvou variantáchprodeje těchto výrobků: bud' zákazníkovi v případě reklamace
bude poskytnuta 50% sleva, nebo původní cena výrobku bude snížena o 5% (bez
možnosti reklamace). Předpokládaná cena výrobku je c. Která z obou variant pro-
deje je pro spotřebitele výhoddnější?
[ a) 0, 968c; b) 0, 95c Tedy pro spotřebitele je výhodnější druhá varianta.]
Příklad 3.27. Podle úmrtnostních tabulek (1960 až 1961) je pravděpodobnost
úmrtí 25 letého muže během roku rovna 0,001674. Pojišt'ovna nabízí mužům to-
hoto věku, že při ročním pojistném 100Kč vyplatí pozůstalým v případě úmrtí
pojištěnce 30 000Kč. Jaký zisk může pojišt'ovna očekávat, jestliže takovouto po-
jistku uzavře 1000 mužů uvedeného věku?
[49780.]
SPOJITÉ VELI ČINY
Příklad 3.28. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení s parametry a = 20,
b = 45.
a) Určete hustotu f(x).
b) Vypočtěte střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X.
c) Nakreslete graf hustoty f(x), vyznačte hodnotu  spolu s intervalem [ -
2, +2]. Všimněte si, že náhodná veličina X leží v intervalu [-2, +
2] s pravděpodobností 1.
47
Vypočtěte: d) P (20  X  35) , e) P (20 < X < 35),
f) P (X  35), g) P (X  20),
h) P (X  25), i) P (10  X  40),
j) P (X  36), k) P (X  35, 5),
l) P (20, 2  X  35, 5), m) P (X < 20, 5).
Příklad 3.29. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení s parametry a = 2,
b = 4.
a) Určete hustotu f(x).
b) Vypočtěte střední hodnotu  a směrodatnou odchylku  náhodné veličiny
X.
Vypočtěte: c) P ( -   X   + ) , d) P (X > 2, 78),
e) P (2, 4  X  3, 7), f) P (X < 2).
Příklad 3.30. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, a).Spočtěte
šikmost a špičatost. S použitím vlastností střední hodnoty a rozptylu určete:
a) E(2X + 3);
b) E(3X2
- 2X + 1);
c) D(2X + 3);
d) D(X2
+ 1).
a) a + 3; b) a2 - a + 1; c) a2/3; d) 4a4/45.
Příklad 3.31. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (2,6).
Vypočtěte:
a) E(2X + 3);
b) E(4X2
- 5X + 2);
c) D(6X - 7);
d) D(X2
).
[ a) 11; b) 154/3 c) 48 d) 87.]
Příklad 3.32. Nalezněte střední hodnotu, medián, dolní a horní kvartil, mezikvar-
tilové rozpětí, dolní a horní decil náhodné veličiny X, která má rovnoměrné rozdělení
na intervalu (0, 2).
[EX = 1, K0.5 = 1, K0.25 = 0.5, K0.75 = 1.5, IQR = 1, K0.1 = 0.2, K0.9 = 1.8]
48
Příklad 3.33. Nalezněte střední hodnotu, medián, dolní a horní kvartil, mezikvar-
tilové rozpětí, dolní a horní decil náhodné veličiny X, která má exponenciální
rozdělení s parametrem  = 2.
EX = 1
2 , K0.5 = 0.35, K0.25 = 0.14, K0.75 = 0.69, K0.1 = 0.05, K0.9 = 1.15
Příklad 3.34. Nalezněte střední hodnotu, medián, dolní a horní kvartil, mezikvar-
tilové rozpětí, dolní a horní decil náhodné veličiny X, která má rozdělení s husto-
tou
f(x) =



2
5
x 0  x  1
- x
10
+ 1
2
1 < x  5
0 jinak
[EX = 2, K0.5 = 1.84, K0.25 = 1.13, K0.75 = 2.76, K0.1 = 0.71, K0.9 = 3.59]
Příklad 3.35. Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry  = 45,
 = 10. Určete:
a) P (X  50) , b) P (X  35, 6), c) P (40, 7  X  65, 8),
d) P (22, 9  X  33, 2), e) P (X  25, 3), f) P (X  25, 3).
[ a) 0.69146, c) 0.98124, e) 0.97558]
Příklad 3.36. Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry  = 30,
 = 8. Určete konstantu x0 tak, aby
a) P (X  x0) = 0, 5, b) P (X < x0) = 0, 025,
c) P (X > x0) = 0, 1, d) P (X > x0) = 0, 95,
e) 10% hodnot X bylo menších než x0,
f) 80% hodnot X bylo menších než x0,
g) 1% hodnot X bylo větších než x0.
[ a) 30, c) 40.32, e) 19.75 g) 48.61]
Příklad 3.37. Náhodná veličina X má normální rozdělení se střední hodnotou
100 a směrodatnou odchylkou 8. Načrtněte graf hustoty náhodné veličiny X. Do
grafu zakreslete hodnotu  a interval   2. Určete pravděpodobnost
a) P ( - 2  X   + 2) , b) P (X   + 2) ,
c) P (X  92), d) P (92  X  116) ,
e) P (92  X  96) , f) P (76  X  124) .
[ a) 0.9545, b) 0.02275]
Příklad 3.38. Náhodná veličina X má normální rozdělení se směrodatnou od-
chylkou 25. Víme, že pravděpodobnost, že X bude větší než 150 je 0,9. Určete
střední hodnotu  náhodné veličiny X.
[182.04]
49
Příklad 3.39. Jestliže náhodná veličina X má rozdělení N(; 2
) takové, že P(X <
85) = 0, 90 a P(X < 95) = 0, 95, jaké jsou hodnoty  a 2
?
 = 49, 7; 2 = 758, 9
Příklad 3.40.
a) Necht' náhodná veličina U  N(0, 1). Nalezněte medián, dolní a horní kvar-
til a mezikvartilové rozpětí.
b) Nalezněte 2
0.025(25)
c) Nalezněte t0.99(30) a t0.05(24)
d) Nalezněte F0.975(5, 20) a F0.05(2, 10)
[ a) 0; -0.67449; 0.67449, b) 13.12, c) 2.4573; -1.7109, d) 3.2891; 0.05156]
Příklad 3.41. Necht' náhodná veličina T  t(14). Nalezněte konstantu c tak, aby
P(-c < T < c) = 0.9.
[1.7613]
Příklad 3.42. Necht' náhodná veličina X  F(5, 8). Nalezněte konstanty a a b
tak, aby P(X  a) = 0.05 a P(X  b) = 0.95.
[0.2075; 3.6875]
Příklad 3.43. Vypočtěte momentové charakteristiky náhodné veličiny X, která
má hustotu f(x) = Ae-|x|
pro -  < x < .
[A = 1/2; E(X) = 0; D(x) = 2; A3 = 0; A4 = 3.]
Příklad 3.44. Necht' (X, Y ) má hustotu pravděpodobnosti f(x, y). Nalezněte
E(X), D(X), E(Y ), D(Y ).
f(x, y) =
1 - x + y 0 < x < 1, 0 < y < 1
0 jinak
E(X) = 5
12, D(X) = 11
144, E(Y ) = 7
12, D(Y ) = 11
144
Příklad 3.45. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) je tvaru
f(x, y) =
24x2
y(1 - x), 0 < x < 1, 0 < y < 1,
0, jinak.
a) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny X.
b) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny Y .
c) Rozhodněte, zda jsou stochasticky nezávislé.
50
d) Nalezněte střední hodnotu a rozptyl veličiny X.


a) fX(x) = 12x2(1 - x) pro 0 < x < 1, 0 jinak,
b) fY (y) = 2y pro 0 < y < 1, 0 jinak, c) nejsou,
d) E(X) = 3/5, D(X) = 1/25


Příklad 3.46. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) je rovna
f(x, y) =
24xy(1 - x2
), 0  x  1, 0  y  1,
0, jinak.
Dokažte, že jsou X a Y nezávislé. A nalezněte střední hodnotu a rozptyl veličin
X a Y .
Příklad 3.47. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) je rovna
f(x, y) =
xe-x(1+y)
, x > 0, y > 0,
0, jinak.
Najděte marginální hustoty náhodných veličin X a Y . Spočtěte korelaci veličin
X, Y .
fX(x) = e-x, pro x > 0, 0 jinak.fY (y) = (1 + y)-2, pro y > 0, 0 jinak.
Příklad 3.48. Necht' X a Y mají rovnoměrné rozdělení na níže uvedené množině
G. Určete kovarianci a korelační koeficient.
G = {(X, Y )  R2
: 0  x < 1, 0  y < 1, x + y  1}
[C(X, Y ) = -1/36, R(X, Y ) = -1/2]
Příklad 3.49. Necht' X a Y mají rovnoměrné rozdělení na níže uvedené množině
G.
G = {(X, Y )  R2
: 0 < x < y < 1}
a) Určete kovarianci a korelační koeficient.
b) Nalezněte obě regresní přímky.
c) Ověřte, zda X a Y jsou stochasticky nezávislé.
[ a) C(X, Y ) = 1/36, R(X, Y ) = -1/2, b) Y = (X + 1)/2, X = Y/2, c) nejsou]
51
Příklad 3.50. Necht' náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu
f(x, y) =



1, (x, y)  (0, 1
2
) × (1
2
, 1)  (1
2
, 1) × (0, 1
2
),
2, (x, y)  (1
2
, 1) × (1
2
, 1),
0, jinak.
Vypočtěte korelační koeficient X,Y . (Doplňující úloha: takto zadanou hustotu
načrtněte a ověřte, zda skutečně má vlastnosti, které má hustota mít. Ověřte tyto
vlastnosti i u spočtených marginálních hustot.)
X,Y = - 3
13.
Příklad 3.51. Necht' náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu
f(x, y) =
-1
, x2
+ y2
 1,
0, jinak.
Vypočtěte marginální hustoty veličin X a Y , dále vypočtěte EX, EY, DX, DY
a X,Y .
EX = 0, EY = 0, DX = 1
4 , DY = 1
4 , X,Y = 0.
Příklad 3.52. Náhodný vektor (X, Y ) má rovnoměrné rozdělení na kružnici
o rovnici x2
+ y2
= 1.
a) Nalezněte marginální hustoty náhodné veličiny X a náhodné veličiny Y .
b) Vypočtěte EX, EY, DX, DY .
c) Rozhodněte, zda jsou X a Y nezávislé.
a) fX(x) = fY (x) = 2


1-x2
, pro - 1 < x < 1, 0 jinak. b) EX = EY = 0
Příklad 3.53. Náhodný vektor (X, Y ) má rovnoměrné rozdělení na oblasti:
x2
a2 + y2
b2 = 1.
a) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny X.
b) Nalezněte marginální hustotu náhodné veličiny Y .
c) Vypočtěte EX, EY .
d) Vypočtěte C(X, Y ). Přesvědčte se, že náhodné veličiny X a Y jsou neko-
relované, ale závislé.


a) fX(x) = 2
a 1 - x2
a2 pro |x| < a, 0 jinak.
b) fY (y) = 2
b 1 - y2
b2 pro |y| < b, 0 jinak.


52
Příklad 3.54. Náhodný vektor (X, Y, Z) má hustotu f(x, y, z) rovnou konstantě
c, když x2
+ y2
+ z2
 1. Jinak je hustota (X, Y, Z) rovna 0.
a) Stanovte konstantu c.
b) Nalezněte marginální hustoty náhodných veličin X, Y , Z.
c) Nalezněte marginální hustoty vektorů (X, Y ) a (X, Z) .
d) Vypočtěte EX, EY, EZ, DX, DY, DZ, C(X, Y ) a var(X, Y, Z) .
Příklad 3.55. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) je tvaru
f(x, y) =
[(1 + ax)(1 + ay) - a] e-x-y-axy
, x > 0, y > 0,
0, jinak,
kde 0 < a < 1. Určete
a) marginální hustoty náhodných veličin X, Y .
b) distribuční funkci (X, Y ) .
c) střední hodnoty EX, EY , rozptyly DX, DY a kovarianci C(X, Y ).



a) fX(x) = fY (x) = e-x pro x > 0, 0 jinak,
b) F(x, y) =
1 + e-x-y-axy - e-x - e-y, x > 0, y > 0,
0, jinak.



Příklad 3.56. Hustota náhodného vektoru (X, Y ) je rovna
f(x, y) =
xp-1(y-x)q-1e-y
(p)(q)
, 0 < x < y,
0, jinak.
Najděte marginální hustoty náhodných veličin X a Y .
fX(x) = e-x, pro x > 0, 0 jinak.fY (y) = (1 + y)-2, pro y > 0, 0 jinak.
Příklad 3.57. Hustota náhodného vektoru (X1, X2) je rovna
f(x1, x2) =
x1 + x2, 0  x1  1, 0  x2  1,
0, jinak.
Vypočtěte hustotu náhodné veličiny Y = X1 + X2. Spočtěte D(Y ).

fY (z) =



z2, 0 < z  1,
z(2 - z), 1 < z  2,
0, jinak.



53
Příklad 3.58. Trolejbusy městské dopravy odjíždějíze stanice v pětiminutových
intervalech. Cestující může přijít na stanici v libovolném okamžiku. Jaká je střední
hodnota a směrodatná odchylka doby jeho čekání na odjezd ze stanice?
[E(X) = 2, 5; D(X) = 2, 08.]
Příklad 3.59. Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 2000 hodin.
Předpokládejme, že "doba čekání" na poruchu je náhodná veličina s exponenci-
álním rozdělením. Stanovte hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude
pracovat delší dobu než t, byla 0,99.
[20, 5]
Příklad 3.60. Životnost určitého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se
střední hodnotou 3 roky. Jak dlouhou záruční dobu poskytne výrobce zákazníkům,
jestliže žádá, aby relativní četnost výrobků, které během záruční doby přestanou
plnit svou funkci, byla v průměru 0,1?
[0, 32]
Úpravy
Příklad 3.61. Necht' E(X2
) = 65 a E(X) = 7. Určete směrodatnou odchylku
náhodné veličiny X.
D(X) = 4.
Příklad 3.62. Necht' E(X) = 3 a E[X(X - 1)] = 6. Určete rozptyl D(X).
Příklad 3.63. Necht' D(X) = D(Y ) = C(X, Y ) = 1. Vypočtěte
a) D(3 - X), b) C(X, X),
c) D(2X + 4), d) C(X, X + Y ),
e) D(X - Y ), f) D(4X + Y - 7),
[ a) 1, b) 1, c) 4, d) 2, e) 0, f) 25.]
Příklad 3.64. Uvažujme náhodnou veličinu X se střední hodnotou E(X) = -1,
rozptylem D(X) = 4 a náhodnou veličinu Y = 2 - 3X. Vypočtěte střední hod-
notu a rozptyl veličiny Y , kovarianci a koeficient korelace veličin X,Y .
[E(Y ) = 5; D(Y ) = 36; C(X, Y ) = -12; R(X, Y ) = -1.]
Příklad 3.65. Necht' X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s X = Y = 1.
Vypočtěte
a) D(2X + Y ), b) C(2X + Y, X - Y ),
c) X,Y , d) U,V , kde U = 2X + Y , V = X - Y .
a) 5, b) 1, c) 0, d) 1
10
54
Příklad 3.66. Necht' náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) =  a rozptyl
D(X) = 2
. Určete
a) E(Y ) a D(Y ), kde Y = X - E(X)
b) E(U) a D(U), kde U = X-

a) E(Y ) = 0, D(Y ) = 2, b) E(U) = 0, D(U) = 1
Příklad 3.67. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny se stejnými středními hodnotami  a rozptyly 2
1, 2
2, . . . , 2
n, X je jejich
průměr. Spočtěte D(X).
D(X) = 1
n2
n
i=1 2
i .
Příklad 3.68. Určete střední hodnotu veličiny Z = 3X2
- 2XY + Y 2
- 3, je-li
známo, že E(X) = -2, E(Y ) = 4, D(X) = 4, D(Y ) = 9, R(X, Y ) = -0.5.
[68]
Příklad 3.69. Necht' X1, X2 a X jsou nezávislé náhodné veličiny, pro které platí
EX1 = 1, EX2 = 2, EX = 3, DX1 = 4, DX2 = 5, DX = 6. Položme Y =
X1 + X, Z = X2 - X. Vypočtěte korelační koeficient Y,Z, parciální korelační
koeficient Y,Z.X a koeficient mnohonásobné korelace X,(Y,Z).
Y,Z = - 6
110
, Y,X = 0, X,(Y,Z) = 9
111
.
Příklad 3.70. Necht' X je náhodný vektor o rozměrech 3 × 1,
var(X) =


5 2 3
2 3 0
3 0 2

 .
a) Položme Z = X1 - 2X2 + X3. Najděte D(Z)
b) Najděte varianční matici var(Y ) = var(Y1, Y2) , když Y1 = X1 +X2 a Y2 =
X1 + X2 + X3.
D(Z) = 17, var(Y ) =
12 15
15 20
.
Příklad 3.71. Nekorelované náhodné veličiny X a Y mají rozptyly D(X) = k a
D(Y ) = 2. Čemu je rovno k, jestliže rozptyl náhodné veličiny Z = 3Y - X je
D(Z) = 25?
[k = 7.]
55
Příklad 3.72. Nekorelované náhodné veličiny X1, X2, X3, X4 mají identický zákon
rozdělení s hustotou
f(xi) =
2xi, 0 < xi < 1, i = 1, 2, 3, 4
0, jinak
Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Y = 2X1 +X2 -X3 +X4.
[E(Y ) = 2; D(Y ) = 7/18.]
Příklad 3.73. Najděte korelační matici náhodného vektoru X = [X1, X2, X3] ,
jehož kovarianční matice je
C =


16 -14 12
-14 49 -21
12 -21 36

 .

R =


1 -0, 5 0, 5
-0, 5 1 -0, 5
0, 5 -0, 5 1

 .


Příklad 3.74. Necht' X = (X1, X2, . . . , Xn) je náhodný vektor a uvažujme
náhodné veličiny Y1 = X1, Yi = Xi - Xi-1, i = 2, 3, . . . , n. Najděte varianční
matici var(X) = var(X1, X2, . . . , Xn) za předpokladu, že náhodné veličiny Yi
jsou navzájem nezávislé a každá z nich má stejný rozptyl 2
.
C(Xi, Xj) =
i2, i  j,
j2, i > j.
Příklad 3.75. Necht' X = (X1, X2, . . . , Xn) je náhodný vektor a uvažujme
náhodné veličiny Y1 = X1, Yi = Xi - Xi-1, i = 2, 3, . . . , n. Najděte varianční
matici var(Y ) = var(Y1, Y2, . . . , Yn) za předpokladu, že náhodné veličiny Xi
jsou navzájem nezávislé a každá z nich má stejný rozptyl 2
.














var(Y ) =














2 -2 0    0
-2 22 -2 ...
...
0 -2 22 ... 0
...
...
...
... -2
0    0 -2 22




























Příklad 3.76. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou náhodné veličiny, které mají stejný roz-
ptyl 2
. Položme Z1 = X1 a Zi+1 = Zi + a pro i = 1, 2, . . . , n - 1, kde a a 
jsou reálná čísla. Najděte varianční matici var(Z) = var(Z1, Z2, . . . , Zn) .
C(Zi, Zj) = i+j-22.
56
Důkazy
Příklad 3.77. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny se stejnými středními hodnotami  a rozptyly 2
1, 2
2, . . . , 2
n. Dokažte,
že n
i=1(Xi - X)2
/[n(n - 1)] je nestranným odhadem D(X).
Příklad 3.78. Necht' náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn mají stejné střední hod-
noty , stejné rozptyly 2
a korelace libovolného páru těchto různých náhodných
veličin je rovna konstantě . Najděte D(X) a ukažte odtud, že -1
n-1
   1.
D(X) = 2
n (1 + (n - 1)).
Příklad 3.79. Necht' X0, X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny s rozdělením N(, 2
). Položme
S2
=
1
n - 1
n
i=1
(Xi - X)2
.
Dokažte, že S2
je nestranným odhadem 2
.
Příklad 3.80. Necht' X0, X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné
veličiny s rozdělením N(, 2
). Položme
S2
=
1
n - 1
n
i=1
(Xi - X)2
,
Q =
1
2(n - 1)
n-1
i=1
(Xi-1 - Xi)2
.
a) Dokažte, že var(S2
) = 24
n-1
.
b) Dokažte, že Q je nestranný odhad parametru 2
.
Příklad 3.81. Necht' náhodné veličiny X a Y mají stejný rozptyl. Dokažte, že
C(X + Y, X - Y ) = 0. Najděte protipříklad, kterým ukážete, že z nulovosti této
kovariance neplyne nezávislost těchto náhodných veličin.
Protipříklad: X = Z1 + Z3, Y = Z1 + Z2, kde Zi jsou nezávislé náhodné veličiny se
stejným rozptylem 2 > 0.
Příklad 3.82. Necht' každá z náhodných veličin X a Y nabývá pouze hodnot 0
a 1, přičemž P(X = i, Y = j) = pij, i = 0, 1, j = 0, 1. Dokažte, že tyto veličiny
jsou nezávislé právě tehdy, když C(X, Y ) = 0.
Příklad 3.83. Necht' náhodná veličina X má symetrickou hustotu (f(-x) =
f(x)) a nulové střední hodnoty. Předpokládejme navíc, že existují její 3. momenty.
Dokažte, že C(X, X2
) = 0.
57
Příklad 3.84. Necht' hustota náhodných veličin X, Y a Z má tvar
f(x, y, z) =
1
8
(1 + xyz) -1  x, y, z  1,
0, jinak.
Dokažte, že tyto veličiny jsou po dvou nezávislé, ale nejsou vzájemně nezávislé.
Příklad 3.85. Necht' náhodné veličiny X1, X2, . . . , Xn mají stejné střední hod-
noty  a jsou stochasticky nezávislé. Položme
Q1 =
n
i=1
(Xi - X)2
,
Q2 = (X1 - X2)2
+ (X2 - X3)2
+    + (Xn-1 - Xn)2
+ (Xn - X1)2
.
Dokažte, že
E
3Q1 - Q2
n(n - 3)
= var(X).
Příklad 3.86. Necht' korelační koeficient  náhodných veličin X a Y existuje.
Ukažte, že -1    1. [Vezměte v úvahu diskriminant nezáporné kvadratické
funkce g(v) = E {[(X - 1) + v(Y - 2)]2
}, kde reálné číslo v není funkcí X
ani Y .]
Příklad 3.87. Necht' X a Y jsou náhodné vektory o rozměrech m × 1 a n × 1, a
a b jsou reálné vektory o rozměrech m × 1 a n × 1. Dokažte, že pro kovarianční
matici platí
cov(X - a, Y - b) = cov(X, Y ).
Příklad 3.88. Dokažte, že cov(X, Y ) = E(XY ) - (EX)(EY ) .
Příklad 3.89. Necht' A je symetrická matice a X je náhodný vektor. Dokažte, že
E(X AX) = tr[AE(XX )], kde tr(A) značí stopu matice A.
Příklad 3.90. Necht' X1, X2, . . . , Xn jsou nezávislé náhodné veličiny se stejným
rozdělením N(0, 2
) a A a B jsou symetrické reálné matice o rozměrech n × n,
X = (X1, X2, . . . , Xn) je náhodný vektor. Dokažte, že cov(X AX, X BX) =
24
tr(AB).
58
4. Náhodné veličiny
4.1 Distribuční funkce
F(x) = P(X  x)
Vlastnosti distribuční funkce:
ˇ F(x) je neklesající, tj.:  x1, x2  R : F(x1)  F(x2)
ˇ F(x) je zprava spojitá, tj.: lim
xx+
0
F(x) = F(x0)
ˇ F(x) je normovaná, tj.: lim
x-
F(x) = 0, lim
x+
F(x) = 1
ˇ  a, b  R : P(a < X  b) = F(b) - F(a)
ˇ P(X = x0) = F(x0) - lim
xx-
0
F(x)
Příklad 4.1. Rozhodněte, zda funkce F(x) je distribuční funkcí.
F(x) =
0 x < 0
x
x+1
x  0
[ano]
Příklad 4.2. Určete konstanty k1 a k2 tak, aby funkce F(x) byla distribuční funkcí
náhodné veličiny X. Vypočtěte pravděpodobnost, že náhodná veličina X se bude
realizovat v intervalu (-a
2
, a
2
>.
F(x) =



0 x < -a
k1 + k2 arcsin x
a
-a  x < a
1 x  a
k1 = 1
2 , k2 = 1
pi; 1
3
59
Příklad 4.3. Určete konstanty a a b tak, aby funkce F(x) = a + b arctan x byla
distribuční funkcí náhodné veličiny X.
a = 1
2; b = 1

4.2 Diskrétní náhodná veličina
Pravděpodobnostní funkce p(x) a její vlastnosti
ˇ F(x) =
tx
p(t)
ˇ p(x)  0
ˇ

x=-
p(x) = 1
ˇ p(x0) = P(X = x0)
ˇ p(x1, x2) = P(X1 = x1  X2 = x2)
ˇ p1(x1) =

x2=-
p(x1, x2), p2(x2) =

x1=-
p(x1, x2)
ˇ p12(x1, x2) =

x3=-
p(x1, x2, x3)
ˇ p1(x1) =

x2=-

x3=-
p(x1, x2, x3)
Příklad 4.4. Hodíme čtyřikrát mincí. Náhodná veličina X udává počet padlých
líců v těchto čtyřech hodech. Nalezněte pravděpodobnostní funkci náhodné veli-
činy X a také její distribuční funkci.
p(0) = 1
16, p(1) = 1
4 , p(2) = 3
8 , p(3) = 1
4 , p(4) = 1
16
Příklad 4.5. Hodíme dvěma kostkami. Náhodná veličina X udává počet ok na
první kostce, náhodná veličina Y udává počet ok na druhé kostce. Označme Z =
X + Y . Nalezněte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny Z a také její dis-
tribuční funkci.
p(2; 12) = 1
36, p(3; 11) = 2
36, p(4; 10) = 3
36, p(5; 9) = 4
36, p(6; 8) = 5
36, p(7) = 6
36
60
Příklad 4.6. Postupně je zkoušeno pět přístrojů. Další přístroj se zkouší, pokud je
předchozí přístroj spolehlivý. Každý z přístrojů vydrží zkoušku s pravděpodobností
0.9. Náhodná veličina X udává počet zkoušených přístrojů. Určete pravděpodob-
nostní funkci náhodné veličiny X.
[p(0) = 0.1, p(1) = 0.09, p(2) = 0.081, p(3) = 0.0729, p(4) = 0.6561]
Příklad 4.7. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě čtyři náboje.
Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu 0.6. Náhodná veličina X udává
počet nespotřebovaných nábojů. Stanovte pravděpodobnostní funkci náhodné ve-
ličiny X.
[p(0) = 0.064, p(1) = 0.096, p(2) = 0.24, p(3) = 0.6]
Příklad 4.8. Rodiče plánují mít tři děti. Předpokládejme, že pravděpodobnost
narození chlapce i dívky je stejná. Náhodná veličina X udává počet dětí stejného
pohlaví, které se narodily za sebou (např pro HDD je X = 2). Určete pravděpo-
dobnostní funkci náhodné veličiny X.
[p(1) = 0.25, p(2) = 0.5, p(3) = 0.25]
Příklad 4.9. Auto musí projet čtyři křižovatky řízené nezávislými semafory. Na
každém semaforu svítí zelená nebo červená s pravděpodobností 0.5. Náhodná
veličina X udává počet projetých křižovatek do první křižovatky, kdy auto musí
zastavit. Nalezněte pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X.
[p(0) = 0.5, p(1) = 0.25, p(2) = 0.125, p(3) = 0.0625, p(4) = 0.0625]
Příklad 4.10. Může být níže uvedená funkce p(x) při vhodné konstantě c prav-
děpodobnostní funkcí?
p(x) =
c(1 - )x
x = 0, 1, 2, . . .   (0, 1)
0 jinak
[c = ]
Příklad 4.11. Je dána funkce p(x). Určete konstantu k tak, aby p(x) byla prav-
děpodobnostní funkcí diskrétní náhodné veličiny X. Vypočtěte pravděpodobnost,
že náhodná veličina X nabude hodnoty větší než 4.
p(x) =
k 0.7x
pro x = 1, 2, . . .
0 jinak
k = 3
7; 0.24
Příklad 4.12. Necht' je dán systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že
i-tý blok správně funguje je i, i = 1, 2; 0 < i < 1. Pravděpodobnost, že
správně fungují oba bloky je 12, 0 < 12 < 1. Náhodná veličina Xi nabývá
hodnoty 1, když i-tý blok funguje správně a Xi = 0 když nefunguje. Vyjádřete
pravděpodobnostní funkci p(x1, x2) a obě marginální pravděpodobnostní funkce
p(x1), p(x2).
61
Příklad 4.13. Určete konstantu k tak, aby funkce p(x1, x2, x3) byla pravděpodobnostní
funkcí. p(x1, x2, x3) =
kx1x2x2
3 x1  {0, 1}, x2  {0, 1}, x3  {0, 1, 2, 3}
0 jinak
1
14
4.3 Spojitá náhodná veličina
Hustota pravděpodobnosti f(x) a její vlastnosti
ˇ F(x) =
x
-
f(t)dt
ˇ f(x)  0
ˇ

-
f(x) = 1
ˇ P(x0 < X < x0 + h) =
x0+h
x0
f(x)dx
ˇ P(X = x0) = 0
ˇ f(x) = F(x)
x
ve všech bodech spojitosti f(x)
ˇ f12(x1, x2) =

-
f(x1, x2, x3) dx3
ˇ f1(x1) =

-

-
f(x1, x2, x3) dx2dx3
Příklad 4.14. Spojitá náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f(x).
Určete konstantu a. Vypočtěte pravděpodobnost, že se náhodná veličina X bude
realizovat v intervalu (1/3; 2/3).
f(x) =
ax 0  x < 1
0 jinak
[2; 1/3]
62
Příklad 4.15. Spojitá náhodná veličina X má distribuční funkci F(x). Určete hus-
totu f(x). Vypočtěte pravděpodobnost, že se náhodná veličina X bude realizovat
v intervalu (-2; 2) pomocí hustoty i pomocí distribuční funkce.
F(x) =



0 x < -5
x+5
7
-5  x < 2
1 x  2
f(x) = 1
7 x < -5; 2); 4
7
Příklad 4.16. Je dána funkce F(x). Určete konstanty a a b tak, aby F(x) byla dis-
tribuční funkcí spojité náhodné veličiny X. Určete také hustotu náhodné veličiny
X.
F(x) =



0 x < 0
a + b sin x 0  x < 
2
1 x  
2
a = 0; b = 1; f(x) = cos x 0  x < 
2
Příklad 4.17. Na automatické lince se plní krabice mlékem, každá krabice má ob-
sahovat přesně 1000 ml mléka, avšak působením náhodných vlivů kolísá množství
mléka v intervalu (980 ml, 1020 ml). Každé množštví mléka v tomto intervalu
považujeme za stejně možné. Náhodná veličina X udává množství mléka v ná-
hodně vybrané krabici. Najděte hustotu f(x), distribuční funkci F(x), nakreslete
grafy těchto funkcí a vypočtěte pravděpodobnost, že X > 990 ml.
f(x) = 1
40, x  (980, 1020); F(x) = 1
40(x - 980), x  (980, 1020); 0.75
Příklad 4.18. Je dána funkce
f(x1, x2, x3) =
kx1x2x2
3 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 < x3 < 3
0 jinak
a) Určete konstantu k tak, aby funkce f(x1, x2, x3) byla hustotou pravděpo-
dobnosti spojitého náhodného vektoru (X1, X2, X3).
b) Najděte všechny marginální hustoty.
c) Vypočtěte pravděpodobnost P(0 < x1 < 1
2
 1
3
< x2 < 2
3
 1 < x3 < 2).
[ a) 4
9
, b) f(x1, x2) = 4x1x2, f(xi, x3) = 2
9
xix2
3, i = 1, 2;]
[ f(xi) = 2xi, i = 1, 2; f(x3) =
x2
3
9
, c) 7
324
]
Příklad 4.19. Vypočtěte pravděpodobnost P((X1, X2)  G), kde
G = {(x1, x2)  R2
, 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1}, je-li známo, že
f(x1, x2) = 1
2(1+x2
1)(1+x2
2)
0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 < x3 < 3
1
16
63
Příklad 4.20. Necht' (X1, X2) má spojité rovnoměrné rozdělení soustředěné na
a) G = {(x1, x2)  R2
, 0  x1 < 1, 0  x2 < 1}
b) G = {(x1, x2)  R2
, 0  x1 < 1, 0  x2 < 1 - x1}
V obou případech určete sdružené a marginální hustoty.
[ a) f(x1, x2) = 1, f1(x1) = 1, f2(x2) = 1]
[ b) f(x1, x2) = 2, f1(x1) = 2(1 - x1), f2(x2) = 2(1 - x2)]
64
Obsah
1. Množiny 2
2. Integrál 5
1. Kombinatorika 8
2. Pravděpodobnost 13
2.1 Klasická pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Geometrická pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Podmíněná pravděpodobnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Stochasticky nezávislé jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Diskrétní náhodné veličiny 32
3. Číselné charakteristiky náhodných veličin 39
4. Náhodné veličiny 59
4.1 Distribuční funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Diskrétní náhodná veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Spojitá náhodná veličina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
65
Literatura
[1] Feller, V.: An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vo-
lume I. Ruský překlad: Izdatelstvo Mir, Moskva, 1967.
[2] Jemeljanov, G. V., Skitovič, V. P.: Zadačnik po teorii věrojatnostěj i ma-
tematičeskoj statistike. Izdatelstvo Leningradskovo universitěta, Leningrad,
1967.
[3] Seitz, J.: Úvod do počtu pravděpodobnosti. UK, Praha, 1968.
[4] Svešnikov, A. A.: Sbírka úloh z teorie pravděpodobnosti matematické statis-
tiky a teorie náhodných funkcí. SNTL, Praha, 1971.
[5] Dupač V., Hušková M.: Pravděpodobnost a matematická statistika, Karoli-
num, Praha, 2001.
[6] Hebák P., Kahounová J.: Počet pravdeěpodobnosti v příkladech, SNTL,
Praha, 1988.
[7] Kříž, O.: Sbírka úloh ze statistiky I. VVŠ PV Vyškov, 1999.
[8] Budíková, M.; Mikoláš, Š.; Osecký, P.: Teorie pravděpodobnosti a matema-
tická statistika. Brno, 2002.
[9] Bušek, I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky. SPN, Praha, 1988.
[10] Calda, E.; Dupač, V.: Matematika pro gymnázia - Kombinatorika,
pravděpodobnost a statistika. Prometheus, Praha, 1994.
66