Cviceni k predmetu PMMAT2
Cviceni 11 - diferencialni rovnice
Priklad: Najdete vsechna reseni diferencialni rovnice a dale konkreteni reseni vyhovujici pod-
mince.
a)y = x2y2 sin x  dy
y2dx
= x2 sin x  dy
y2 = x2 sin xdx  dy
y2 = x2 sin xdx  -1
y =
x2 sin xdx| prava strana per partes |  -1
y = -x2 cos(x) + 2 cos(x) + 2x sin(x) + C  y =
1
x2 cos(x)-2 cos(x)-2x sin(x)-C
skutecne, pokud spocteme y = x2 sin(x)
(x2 cos(x)-2 cos(x)-2x sin(x)-C)2 a vy-
delime to y2 = 1
(x2 cos(x)-2 cos(x)-2x sin(x)-C)2 , tak dostaneme x2 sin x.
Dale konkretni reseni za podminky y(0) = 1 znamena urcit konstantu po dosazeni cisel
x = 0 a y = 1 do reseni, tedy mame 1 = 1
02 cos(0)-2 cos(0)-20 sin(0)-C
 C = -3  y =
1
x2 cos(x)-2 cos(x)-2x sin(x)+3
.
b)y - x2exy2 = 0  dy
y2dx
= x2ex  dy
y2 = x2exdx  dy
y2 = x2exdx  -1
y = x2exdx
| prava strana per partes |  -1
y = (2 - 2x + x2)ex + C  y = - 1
(2-2x+x2)ex+C
skutecne,
pokud spocteme y = exx2
((2-2x+x2)ex+C)2 a vydelime to y2 = 1
((2-2x+x2)ex+C)2 , tak dostaneme
x2ex.
Dale konkretni reseni za podminky y(0) = 1 znamena urcit konstantu po dosazeni cisel x = 0
a y = 1 do reseni, tedy mame 1 = - 1
(2-20+02)e0+C
 C = -3  y = 1
(2-2x+x2)ex-3
.
c)y = yx  dy
ydx = 1
x  dy
y = dx
x  dy
y = dx
x  ln(y) = ln(x) + C  ln(y) =
ln(x)+ln(C1)  y = C1x skutecne, pokud spocteme y = C1 a vynasobime to x, tak dostaneme
y.
Dale konkretni reseni za podminky y(0) = 0 znamena urcit konstantu po dosazeni cisel x = 0
a y = 0 do reseni, tedy mame 0 = C1  0  C1 = 0  y = 0.
d)Najdete dve ruzne reseni rovnice y = 2xy cos(2x)e-2x a u kazdeho uvedte pocatecni pod-
minku, kterou splnuje.
y = 2xy cos(2x)e-2x  dy
ydx = 2x cos(2x)e-2x  dy
y = 2x cos(2x)e-2xdx  dy
y = 2x cos(2x)e-2xdx 
ln(y) = 2x cos(2x)e-2xdx| Resit integral na prave strane je ponekud komplikovane, ale jde
to. Nejdrive dejte substituci 2x = t, at se co nejvice zjednodusi nasledne per partes, ktere
bych zvolil t = u, 1 = u, v = cos(t)e-t, v = cos(t)e-tdt|. Integral v se potom resi stan-
dardni per partes. |  ln(y) = -1
2x cos(2x)e-2x + 1
2x sin(2x)e-2x + 1
4 sin(2x)e-2x + C  y =
e- 1
2
x cos(2x)e-2x+ 1
2
x sin(2x)e-2x+ 1
4
sin(2x)e-2x+C
 y = eCe- 1
2
x cos(2x)e-2x+ 1
2
x sin(2x)e-2x+ 1
4
sin(2x)e-2x

y = C1e- 1
2
x cos(2x)e-2x+ 1
2
x sin(2x)e-2x+ 1
4
sin(2x)e-2x
.
Dale pro zjisteni konkretnich reseni se vetsinou dosazuji nejake 'hezke' body, v tomto pripade
bych asi zvolil bod [x, y] = [0, 0] a [x, y] = [0, 1]. Konstanty urcime dosazenim cisel za x a y
do reseni, tedy mame pro [0, 0], C1 = 0 a [0, 1], C1 = 1.
Poznamka: Opet je mozne vse pocitat v programu MAPLE, napr. c) by se zapsalo dsolve(x*diff(y(x),x)
= y(x));
1