6. Vyšetřování průběhu funkce
Cílem tohoto textu je podat ucelený přehled charakteristik, které se obvykle zjišťují u
funkcí (křivek) o zadaném analytickém vyjádření a systematicky popsat postup je-
jich zjišťování. V textu se vyskytují odkazy do skript autorů Z. Došlá, J. Kuben:
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, MU Brno 2003. Odkazy jsou ve tvaru
[DoKu:č.# s.#].
V dalším I := I(a, b) značí interval reálných čísel s krajními hodnotami a < b libo-
volného typu (a, b), [a, b), (a, b] nebo [a, b]. Pokud je interval zleva či zprava otevřený,
tj. a nebo b neleží v I, pak připouštíme a = -, případně b = .
I. Cílem vyšetřování průběhu analyticky zadané funkce y = f(x) je zejména určení:
1. Význačných bodů: body xi  R
, kde
a) do výpočtu f(xi) vstupují neurčité výrazy [DoKu: s.106];
b) xi  D(f) je izolovaným bodem definičního oboru funkce f, tj. existuje
ryzí okolí O
(xi) nenáležející do definičního oboru D(f);
c) f není spojitá: stanovíme typ nespojitosti [DoKu:odst.4.5 s.80-82], po-
dobně pro nespojitost zleva nebo zprava v krajním bodě intervalu;
d) f(xi) = 0 . . . tzv. nulové body funkce f;
e) f (xi) = 0 . . . tzv. stacionární body funkce f [DoKu:Pozn.6.9 s.116];
f) f(xi) nabývá lokálního nebo globálního extrému a stanovení jeho typu
(minimum, maximum) [DoKu:def.6.6,6.16 s.115,118];
g) f má inflexi [DoKu:def.6.29 s.127].
2. Význačných intervalů: maximální intervaly Ik := I(ak, bk), kde
a) f je definována: definiční obor D(f) [DoKu:def.1.21 s.10] je obvykle
sjednocením všech takových intervalů a jednobodových množin tvořených
izolovanými body xi ad 1b), tj. D(f) = k Ik  i{xi};
b) f nabývá svých hodnot: obor hodnot H(f) [DoKu:def.1.21 s.10] je v
takovém případě sjednocením obrazů f(Ik) všech intervalů Ik ad a) a jed-
nobodových množin tvořených funkčními hodnotami v izolovaných bodech,
tj. H(f) = k f(Ik)  i{f(xi)};
c) f je kladná a kde je záporná;
d) f je spojitá [DoKu:def.4.32 s.76];
e) f je monotonní (rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí), případně kon-
stantní [DoKu:def.1.35 s.16];
f) f je (ostře) konvexní nebo konkávní [DoKu:odst.6.3 s.120-127], pří-
padně lineární.
3. Asymptot: [DoKu:odst.6.4 s.128-130]
a) bez směrnice: bod x0  R, který je bodem nespojitosti 2. druhu ad 1c),
kde platí limxx+
0
f(x) =  nebo limxx-
0
f(x) = ;
b) se směrnicí: přímka ax + b, pro niž limx(f(x) - ax - b) = 0.
4. Dalších charakteristik:
a) symetrie f [DoKu:Def.1.30 s.13]: určení středu symetrie xs vůči němuž
je f sudá nebo lichá funkce, neboli f(x+xs) je sudá nebo lichá (vzhledem
k počátku), tj. f(-x+xs) = f(x+xs) nebo f(-x+xs) = -f(x+xs) platí
pro každé x  D(f);
b) periodicita f [DoKu:Def.1.32 s.15]: určení nejmenší periody, tj. mini-
mální hodnoty T > 0, pro niž platí f(x) = f(x + T) pro každé x  D(f).
c) (ne)ohraničenost funkce f zdola a shora [DoKu:def.1.29 s.12];
1
II. Doporučený systematický postup vyšetřování průběhu zadané funkce y = f(x):
(viz též [DoKu:odst.6.5 s.131-133])
1. Určení význačných bodů ad I.1a)-d):
a) Spočteme limity (oboustranné, případně jednostranné) všech neurčitých
výrazů [DoKu: s.106] vznikajících během výpočtu f(xi) ve všech rele-
vantních bodech xi ad I.1a): f(x) musí být definována v nějakém alespoň
ryzím oboustranném nebo jednostranném okolí každého takového bodu xi.
Obvykle v takových případech užíváme pro výpočet L'Hospitalova pravidla
[DoKu:odst.5.5 s.102-104]. Pro nalezení takových bodů můžeme také
využít postup dále popsaný v d) v případech, kdy tyto body jsou nulo-
vými body nějaké funkce, která je jmenovatelem nějakého nezkratitelného
zlomku vystupujícího v analytickém vyjádření f(x).
b) Rozborem analytického vyjádření f(x) určíme izolované body definičního
oboru.
c) Ve všech bodech xi (včetně bodů dopočtených v a)), kde f není spojitá,
spočteme potřebné limity zleva či zprava a určíme typ této nespojitosti.
d) Hledáme nulové body
­ přímým výpočtem, pokud je to možné, tj. známe příslušné analy-
tické řešení (například v případě polynomů nižších stupňů, které se
snažíme rozložit na součin kořenových činitelů [DoKu: s.39]);
­ numerickým výpočtem, kdy nejprve spočteme f(ai) pro dostatečně
mnoho hodnot ai  D(f), a1 < a2 <    < an. Separujeme kořeny
určením subintervalů [aj, aj+1], kde f je spojitá a nabývá hodnot
opačného znaménka na okrajích, tj. f(aj)f(aj+1) < 0. Každý takový
interval postupně zužujeme (například půlením) tak dlouho, dokud v
něm nenalezneme nulový bod x0  [aj, aj+1] přesně a nebo s chybou
menší než , jakmile aj+1 -aj < . Protože funkce f je na takovémto
uzavřeném a ohraničeném intervalu spojitá, musí v některém jeho
bodě nabýt nulové hodnoty podle Bolzanovy věty a jejího důsledku
[DoKu:4.35-36 s.77]. Tyto výpočty můžeme snadno provádět na-
příklad v MATLABu.
2. Určení definičního oboru D(f):
Je-li f(x) elementární funkcí, pak D(f) je známý a jsme hotovi. V opačném
případě je třeba f(x) rozložit na posloupnost elementárních operací (unárních
i binárních). Definiční obor operace vyhodnocované jako poslední v pořadí zú-
žíme na průnik s oborem hodnot předposlední operace. Její takto zúžený obor
hodnot opět vynucuje odpovídající zúžení i jejího definičního oboru, kde opět
uděláme průnik tohoto zúžení s oborem hodnot další operace v pořadí, atd. Tak
postupně zužujeme definiční obory jednotlivých operací v opačném pořadí jejich
provádění. Dosažené zúžení definičního oboru první prováděné operace je hle-
daným definičním oborem D(f). Viz [DoKu:odst.1.3 s.18] a také ilustrační
obrázek k [DoKu:Def.1.40 s.10-20] z přednášky. Při konstrukci definičního
oboru binárních operací bereme v úvahu hodnoty neurčitých výrazů spočtené
v kroku 1.
3. Určení oboru hodnot H(f):
H(f) = f(D(f)) konstruujeme postupně z D(f) v pořadí provádění elementár-
ních operací.
2
4. Vyšetření symetrie:
Existenci a polohu středu symetrie xs můžeme nalézt buď rozborem analytic-
kého vyjádření f(x) nebo ji odhadneme z grafického vyjádření až v posledním
kroku 20 (např. užitím MATLABu). Pak dosadíme x + xs místo x, a vhod-
nou úpravou obou výrazů f(x + xs) a f(-x + xs) ověříme platnost příslušné
identity f(-x + xs) = f(x + xs) nebo f(-x + xs) = -f(x + xs) pro každé
x  D(f). V dalším stačí vyšetřovat chování f pouze pro x  xs, přesněji pro
x  D(f)  [xs, ).
5. Vyšetření periodicity:
Postupujeme analogicky jako v předchozím kroku s tím rozdílem, že místo xs
rozborem buď přímo určíme nebo z grafu odhadneme periodu T a poté ověříme
platnost identity f(x + T) = f(x) pro každé x  D(f). V dalším stačí pak
vyšetřovat chování f pouze na vhodně zvoleném intervalu délky T, přesněji pro
x  D(f)  [a, a + T).
6. Určení hodnot x  D(f), kde f je spojitá:
Odstraníme-li z D(f) všechny izolované body a body nespojitosti, získáme mno-
žinu všech bodů spojitosti. Ta je ve většině případů disjunktním sjednocením
vhodných intervalů.
7. Určení hodnot x  D(f), kde f je kladná a kde záporná:
Funkci f vyhodnotíme nejprve ve všech izolovaných bodech. Z množiny bodů
spojitosti nalezené v předchozím kroku odstraníme všechny nulové body. Je-li
takto získaná množina disjunktním sjednocením intervalů, pak f na žádném z
nich nemění znaménko. Stačí tedy z každého takového podintervalu vybrat po
jednom bodu a v něm spočítat funkční hodnotu. Obvykle volíme body, kde je
vyhodnocení snadné: 0, 1, 2, . . . .
8. Kroky 1 až 7 zopakujeme pro f :
Určování D(f ) je přitom usnadněno skutečností, že každý bod D(f ) musí být
bodem spojitosti funkce f dle [DoKu:věta 5.7 s.91]. Zejména tedy D(f )
nemůže obsahovat izolované body.
9. Určení stacionárních bodů ad I.1e):
Stacionárními body f jsou právě všechny nulové body derivace f .
10. Určení hodnot x  D(f), kde f je rostoucí:
f je rostoucí (neklesající) na každém intervalu, kde f > 0 (f  0),
podrobněji viz [DoKu:odst.6.1 s.113-115].
11. Určení hodnot x  D(f), kde f je klesající:
f je klesající (nerostoucí) na každém intervalu, kde f < 0 (f  0),
podrobněji viz [DoKu:odst.6.1 s.113-115].
12. Určení lokálních extrémů [DoKu:odst.6.2 s.115-120]:
Funkce f může mít lokální extrém pouze v těchto případech:
(i) v bodě x0, kde f (x0) neexistuje; f má v takovém bodě ostré lokální mini-
mum (maximum), jestliže je zde spojitá a existuje ryzí okolí O
(x0)  D(f )
takové, že f (x) < 0 (f (x) > 0) v levé části tohoto okolí a současně
f (x) > 0 (f (x) < 0) v pravé části tohoto okolí [DoKu:věta 6.10 s.117];
neboli když f v levé části tohoto okolí klesá (roste) a v pravé části okolí
roste (klesá) -- viz kroky 10 a 11.
(ii) v bodě x0, který je stacionární (f (x0) = 0) [DoKu:věta 6.8 s.116]; x0
je dle [DoKu:věta 6.14, pozn.6.15 s.118] ostrým lokálním minimem
(maximem), pokud navíc pro nějaké k  1 je f(2k)
(x0) > 0 (f(2k)
(x0) < 0)
a f(m)
(x0) = 0 pro každé 1  m < 2k.
3
13. Kroky 1 až 7 zopakujeme pro f :
Určování D(f ) je opět usnadněno skutečností, že každý bod D(f ) musí být
bodem spojitosti funkce f dle [DoKu:věta 5.7 s.91]. Zejména tedy D(f )
nemůže obsahovat izolované body.
14. Určení hodnot x  D(f), kde f je konvexní:
f je (ostře) konvexní na každém intervalu, kde f  0 (f > 0),
podrobněji viz [DoKu:odst.6.3 s.120-126].
15. Určení hodnot x  D(f), kde f je konkávní:
f je (ostře) konkávní na každém intervalu, kde f  0 (f < 0),
podrobněji viz [DoKu:odst.6.3 s.120-126].
16. Určení inflexních bodů ad I.1g) [DoKu:odst.6.3 s.127-128]:
Funkce f může mít inflexní bod pouze v těchto případech:
(i) v bodě x0, kde f (x0) neexistuje; f má v takovém bodě inflexi, jestliže f
je zde spojitá a existuje ryzí okolí O
(x0)  D(f ) takové, že f (x) < 0
(f (x) > 0) v levé části tohoto okolí a současně f (x) > 0 (f (x) < 0)
v pravé části tohoto okolí [DoKu:věta 6.10 s.117]; neboli když f je v
levé části tohoto okolí ostře konkávní (ostře konvexní) a v pravé části okolí
ostře konvexní (ostře konkávní) -- viz kroky 14 a 15.
(ii) v bodě x0, kde f existuje, přičemž pro nějaké k  1 je f(2k+1)
(x0) = 0 a
f(m)
(x0) = 0 pro každé 2  m < 2k + 1.
17. Vyšetření (ne)ohraničenosti funkce f a globální extrémy:
Funkce je neohraničená zdola (shora), jestliže existuje x0  R
, takové, že
limxx
0
= - (limxx
0
= ). Takovými body x0 jsou buď  nebo body
nespojitosti 2. druhu. Pokud je funkce zdola (shora) ohraničená, pak globální1
minimum (maximum) může (ale nemusí) funkce f nabýt pouze ve stacionárním
bodech nebo v bodech, kde nemá derivaci [DoKu:pozn.6.17 s.118-9]. Pokud
máme zjištěno, že existuje globální minimum (maximum), vyplývá z předcho-
zího následující postup jejich nalezení:
ˇ Najdeme stacionární body a body, v nichž neexistuje první derivace (včetně
izolovaných bodů a bodů D(f), které jsou krajními body nějakého intervalu
spojitosti).
ˇ Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech.
ˇ Ze všech takto získaných funkčních hodnot (obvykle je jich konečný počet)
vybereme nejmenší (největší). To bude hledané globální minimum (maxi-
mum).
18. Určení asymptot funkce f [DoKu:odst.6.4 s.128-130]:
a) bez směrnice: mezi body nespojitosti 2. druhu nalezneme všechny body
x0  R, kde limxx-
0
f(x) =  nebo limxx+
0
f(x) = . V každém
takovém bodě je x = x0 rovnicí hledané asymptoty bez směrnice (přímka
rovnoběžná s osou y a procházející bodem x0).
b) se směrnicí [DoKu:věta 6.34 s.129]:
Přímka y = ax + b je asymptotou f pro x   právě když
lim
x
f(x)
x
= a a lim
x
(f(x) - ax) = b.
Analogicky pro x  -.
19. Tabelace funkčních a limitních hodnot ve význačných bodech:
Tabelujeme funkční hodnoty spočtené ve význačných bodech.
1nebo též absolutní
4
20. Nakreslení grafu funkce na celém definičním oboru:
Do grafu nejprve vyneseme jako izolované body hodnoty tabelované v kroku 19.
Pak na každém intervalu spojitosti (a, b) nalezeném v kroku 6 zvolíme vhodnou
dostatečně bohatou množinu bodů x1 <    < xn, v nichž vyhodnotíme funkční
hodnoty f(xi), i = 1, . . . , n, přidáme je do grafu z kroku 19 a pak spojíme
lomenou čarou nebo jinak vhodně interpolujeme. V MATLABu můžeme pro
tento účel užít například příkazy: x=linspace(a,b); plot(x,f(x)).
5