Souhrnné cenové indexy
6
6. Souhrnné cenové indexy
Cíl kapitoly
Tato kapitola by Vás měla uvést do možností, jež jsou ve statické praxi
užívány pro srovnávání ukazatelů jakožto základních charakteristik ekono-
miky každé země. K tomuto účelu slouží zejména veličiny označované jako
indexy, které jsou obvykle užívány pro popis míry meziroční (měsíční, čtvrt-
letní) změny sledovaného ukazatele během předem stanoveného období.
Časová zátěž
6 hodin (2. týden v dubnu)
Úvod
Ukazatel Veličina, která kvantitativně popisuje určitou sociálně-ekonomickou skuteč-
nost, je nazývána ukazatelem. Vypovídací hodnota každého ukazatele vý-
razně roste především jeho srovnáním s hodnotou stejně vymezeného uka-
zatele v jiné srovnatelné situaci. Toto srovnání je možno provést dvěma
základními způsoby ­ v čase a v prostoru. Teprve na základě tohoto srovnání
můžeme formulovat závěr o vývoji skutečnosti, již daný ukazatel popisuje
(růst, pokles či stagnace).
Ukazatele můžeme členit podle několika kritérií. Pokud vycházíme z kritéria
jejich zjišt'ování dostáváme ukazatele
primární ­ přímo zjišt'ované, neodvozené (počet pracovníků, výrobků,
k určitému datu)
sekundární ­ odvozené, obvykle jako rozdíl, součet, podíl primárních
ukazatelů (časové průměry, růst, pokles ukazatele apod.)
Mezi sekundární ukazatele patří i řada ukazatelů, jež jsou obvykle považovány
za základní informace o vývoji ekonomiky. Sekundárním ukazatelem je na-
příklad míra inflace či míra nezaměstnanosti.
Další členění ukazatelů jsou následující
1. Podle typu vyjádření
ˇ absolutní ­ vyjadřují velikost jevu bez vztahu k jinému jevu (ob-
vykle jsou to především primární, ale patří sem i některé časové
sekundární ukazatele)
ˇ relativní ­ velikost ukazatele na měrnou jednotku (vždy sekundár-
ní ve formě podílu absolutních ukazatelů)
2. Podle intentzity
ˇ extenzitní (ukazatele množství) ­ především ukazatele absolutní
ˇ intenzitní (ukazatele úrovně) nepokrývají všechny relativní uka-
zatele, ale jen ty, které vyjadřují intenzitu nějakého jevu (např.
cenu)
3. Podle způsobu shrnování v čase
ˇ okamžikové
ˇ intervalové
84
V praxi však obvykle nepracujeme s jednotlivými izolovanými hodnotami
určitého ukazatele, ale snažíme se zjistit, zda hodnotou ukazatele vyjádřená
ekonomická skutečnost znamená určitou změnu oproti téže skutečnosti v mi-
nulém období či v jiné územní či organizační jednotce. Jinými slovy nás
nezajímá jenom jedna hodnota daného ukazatele, ale i její relativní, resp.
absolutní velikost ve vztahu k hodnotě téhož ukazatele v jiné situaci.
Zajímá-li nás kolikrát (o kolik procent) je jedna hodnota vyšší (nižší) než
jiná, srovnáme příslušné hodnoty ukazatele podílem. Chceme-li vědět, o ko-
lik jednotek je jedna hodnota ukazatele větší (menší) než jiná, srovnáme je
rozdílem. V prvním případě nazýváme vypočítaný ukazatel (podíl) index,
ve druhém případě rozdíl.
Závěry, které platí pro indexy, platí bez větších omezení i pro rozdíly ukaza-
telů. Jelikož je použití rozdílů ve statistické praxi méně obvyklé, další text se
zaměřuje pouze na popis indexů. Některé vztahy, které platí pro rozdíly uvádí
například učebnice Segera, Hindlse a Hronové Statistika v hospodářství na
stranách 462­466.
Index
časový ­ srovnání v rámci jednoho podniku mezi dvěma časovými ob-
dobími
prostorový ­ např. dva podniky v témže roce
druhový ­ dva výrobky v témže roce a podniku.
Jelikož jsou nejčastěji využívány časové indexy, je další text věnován přede-
vším právě jim. Analogie pro prostorové či druhové indexy v podobě záměny
faktoru času za prostorové či druhové jednotky jsou poměrně triviální.
Základní tři typy indexů používané v teorii jsou označovány písmeny p, q a
Q. Platí mezi nimi následující vztah:
p =
Q
q
,
kde:
p. . . intenzitní ukazatel (cena)
q. . . extenzitní ukazatel (množství)
Q. . . extenzitní ukazatel (např. tržba)
Pro praktické využití indexů je nutno zajistit některé nezbytné podmínky
pro jejich statistickou kvalitu. Tyto požadavky jsou shrnuty do tzv. axiomů.
Jejich výčet a smysl je vysvětlen v učebnici Seger, Hindls Statistické metody
v tržním hospodářství na stranách 236­245.
Jednoduché
indexy
Jednoduché indexy
bezprostředně srovnávají dvě hodnoty téhož ukazatele, jehož hodnoty
nejsou nijak členěny ani shrnovány
Jednoduchý index vypočítáme srovnáním hodnoty ukazatele v čase 1 (běžné
období) a hodnoty v čase 0 (základní období).
85
6. Souhrnné cenové indexy
a) pro intenzitní veličinu (cenu) dostáváme jednoduchý časový index
Ip =
p1
p0
b) pro extenzitní veličinu (množství) dostáváme jednoduchý index
Iq =
q1
q0
Příklad 6.1
Jednoduchým indexem je například možno srovnat počet nezaměstnaných
osob v České republice v letech 2000 a 2001. Víme-li že v roce 2000 bylo v ČR
457 369 nezaměstnaných osob a v roce 2001 činil počet nezaměstnaných již
461 923 osob, můžeme určit jednoduchý index vývoje počtu nezaměstnaných
osob následovně
Iq =
461923
457369
= 1,010
Po vynásobení stem dostáváme index vyjádřený v procentech, tj. 101,0%.
Lze konstatovat, že počet nezaměstnaných osob vzrostl ze 100% v roce 2000
na 101% v roce 2001.
Užívání procentního vyjádření indexů je ve statické praxi obvyklejší a proto
se jej bude dále držet i další text.
Časové individuální jednoduché indexy Ip je možno sdružovat do časových
řad. V těchto časových řadách je poté s indexy možno dále pracovat jako
s údaji v klasické časové řadě, jak je uvedeno v předchozí kapitole. Pro indexy
sdružené v časových řadách je také možno využít dalších dvou typů indexů
­ bazických a řetězových.
Bazické
indexy
Bazické indexy
indexy, jež jsou počítány ke stále stejnému základu (základnímu ob-
dobí)
Iq =
q1
q0
, Iq =
q2
q0
, Iq =
q3
q0
Bazické indexy udávají vývoj zkoumaného ukazatele vzhledem k pevně zvo-
lenému období.
Řetězové
indexy
Řetězové indexy
indexy počítané vždy vzhledem k předchozímu období
Iq =
q1
q0
, Iq =
q2
q1
, Iq =
q3
q2
Řetězové indexy udávají vývoj zkoumaného ukazatele vzhledem k předchozí-
mu období. Jsou tedy informací kolikrát se zvýšila/snížila hodnota ukazatele
proti předchozímu období (roku, čtvrtletí, měsíci).
86
Jak jsme již uvedli oba typy indexů jsou obvykle udávány v procentním
vyjádření ­ tedy jako násobek 100. Hodnota řetězového indexu potom hovoří
o tom, kolik procent předchozího ukazatele tvoří současná hodnota.
Vztahy mezi bazickými a řetězovými indexy
a) Vynásobíme-li dva řetězové indexy dostaneme příslušný bazický index.
"
řetězový index × řetězový index = bazický index"
¨¨
¨¨
q2
q1

q3
q2
=
q3
q1
b) Podělíme-li dva bazické indexy dostaneme odpovídající řetězový index.
"
bazický index / bazický index = řetězový index"
¨¨
¨¨
q3
q1
q2
q1
=
q3
q2
Příklad 6.2
HDP se v ČR vyvíjel v letech 1993­2001 (časová řada) vyvíjel jak je uvedeno
v následující tabulce. Vypočítejte řetězové a bazické indexy (základ roku
1993) a ověřte výše uvedené vztahy mezi nimi.
1993 1994 1995 1996 1997
HDP b.c. 1 020,3 1 182,8 1 381,0 1 567,0 1 679,9
1998 1999 2000 2001
HDP b.c. 1 839,1 1 902,3 1 984,8 2 157,8
Tabulka 6.1: Vývoj HDP v běžných cenách 1993­2001
Řešení:
řetězové indexy
rok 1993 ­ nelze spočítat (neznáme údaj za rok 1992)
rok 1994 = HDP1994/HDP1993 × 100 = 1182,8/1020,3 × 100 = 115,9
rok 1995 = HDP1995/HDP1994 × 100 = 1381,0/1182,8 × 100 = 116,8 atd.
bazické indexy
rok 1993 = HDP1993/HDP1993 × 100 = 1020,3/1020,3 × 100 = 100,0
rok 1994 = HDP1994/HDP1993 × 100 = 1182,3/1020,3 × 100 = 115,9
rok 1995 = HDP1995/HDP1993 × 100 = 1381,0/1020,3 × 100 = 135,4 atd.
Kompletní výsledky:
1993 1994 1995 1996 1997
HDP b.c. 1 020,3 1 182,8 1 381,0 1 567,0 1 679,9
Řetězové 115,9 116,8 113,5 107,2
Bazické 100,0 115,9 135,4 153,6 164,6
87
6. Souhrnné cenové indexy
1998 1999 2000 2001
HDP b.c. 1 839,1 1 902,3 1 984,8 2 157,8
Řetězové 109,5 103,4 104,3 108,7
Bazické 180,3 186,4 194,5 211,5
Pro rok 1993 není možno řetězový index spočítat, nebot' bychom museli znát
hodnotu ukazatele v roce 1992. Všimněte si také, že pro rok 1994 se ba-
zický a řetězový index shodují. V dalším období se již výsledky začínají lišit.
V případě rostoucích hodnot sledovaného ukazatele jsou bazické indexy vždy
vyšší než řetězové.
Ověření vztahu mezi indexy:
řetězový × řetězový = I1994 × I1995 = (115,9 × 116,8)/100 = 135,4 = bazický
bazický / bazický= I1995/I1994 = 135,4/115,9 × 100 = 116, 8
Složené
indexy Složené (individuální indexy)
používáme je v případě, že hodnoty daného ukazatele jsou členěny na
dílčí. V rámci výpočtu indexu provádíme shrnutí těchto dílčích indexů.
příkladem použití složených indexů je výpočet indexu růstu produkce
stejného výrobku, který je vyráběn v několika oddělených provozech
stejného podniku
Složený index je možno vypočítat pomocí následujícího vztahu:
I x = i
q1i
i
q0i
Složené indexy je možno řetězit podobně jako je tomu u jednoduchých indexů.
Výpočet složených indexů najdete například v učebnici Seger, Hindls,
Hronová: Statistika v hospodářství na stranách 464­472.
Souhrnné indexy
Souhrnné
indexy
míry, jejichž úkolem je charakterizovat změnu nestejnorodého ukaza-
tele (změnu objemu/ceny různorodé produkce)
od individuálních indexů se souhrnné liší v tom, že mohou počítat i
změny nestejnorodých ukazatelů (např. různé výrobky v produkci, které
nejsou ve stejných jednotkách).
jsou obvykle počítány jako průměr jednoduchých indexů, přičemž se
používá aritmetického, geometrického i harmonického průměru, včetně
jejich vážených variant.
V dalším textu se zaměříme pouze na indexy úrovně (cenové), analogické
závěry je možno vyvodit i pro množstevní indexy.
88
Rozlišujeme tři generace souhrnných indexů.
1. generace ­
prosté
průměry
1. generace ­ prosté průměry
a) aritmetický průměr
I(1)
p =
n
i=1
Ipi
n
=
n
i=1
p1,i
p0,i
n
b) harmonický průměr
I(2)
p =
n
n
i=1
1
Ipi
=
n
n
i=1
p0,i
p1,i
c) geometrický průměr
I(3)
p = n
n
i=1
Ipi = n
n
i=1
p1,i
p0,i
Souhrnné indexy zařazované do první generace indexů nenašly v praxi příliš
velké uplatnění. Jejich výhodou je poměrně jednoduchý výpočet, který však
přináší některá omezení. V rámci výpočtu souhrnných indexů 1. generace
dochází ke sčítání relativních veličin (jednoduché indexy jsou relativními
veličinami ­ udávají procentní nárůst sledovaného ukazatele mezi dvěma ob-
dobími ­ jak jsme uvedli v části věnované jednoduchým indexům).
Z těchto důvodů takto konstruované souhrnné cenové indexy nezachycují
závažnost změny významnějších složek zahrnutých do indexu oproti těm
méně významným.
Lze předpokládat, že všechny položky nemají v indexu stejnou váhu. Počítá-
me-li souhrnný index měřící růst cen vybraného okruhu zboží ­ např. typické
spotřeby vybraného typu domácnosti, je možno předpokládat, že nakupované
komodity jsou spotřebiteli (sledovanou domácností) oceňovány různě. Jinak
bude domácnost reagovat na 10% nárůst ceny masa a 50% nárůst ceny soli,
oproti situaci, kdy dojde k 50% nárůstu ceny masa a 10% nárůstu ceny soli.
V obou případech však vychází souhrnný cenový index 1. generace stejně.
2. generace ­
vážené
průměry
2. generace ­ vážené průměry
Druhá generace souhrnných cenových indexů odstraňuje výše zmíněné nedo-
statky souhrnných indexů první generace. Aby byla zdůrazněna významnost
jednotlivých složek zahrnutých do souhrnného indexu, je do metody výpočtu
zaveden princip vážených průměrů. Váha kvantifikuje významnost jednot-
livých složek a je obvykle vyjádřena pomocí extenzivního ukazatele ­ nejčas-
těji Q (celková hodnota produkce).
Za váhy je možno zvolit
a) váhy vzhledem k základnímu období
w0,i =
Q0,i
n
i=1
Q0,i
=
p0,iq0,i
n
i=1
p0,iq0,i
89
6. Souhrnné cenové indexy
p0,iq0,i ­ hodnota i-té komodity v základním období (0)
n
i=1
p0,iq0,i ­ hodnota produkce v základním období (0)
b) váhy vzhledem k běžnému období
w1,i =
Q1,i
n
i=1
Q1,i
=
p1,iq1,i
n
i=1
p1,iq1,i
p1,iq1,i ­ hodnota i-té komodity v běžném období (1)
n
i=1
p1,iq1,i ­ hodnota produkce v běžném období (1)
Souhrnné indexy na základě těchto vah poté lze konstruovat jako
vážené aritmetické
vážené harmonické
vážené geometrické
Z těchto šesti možných variant indexů jsou pro praktické výpočty využívány
zejména následující dva typy ­ Laspayresův a Paascheho.
a) Laspayresův index ­ aritmetický průměr s vahami w0,i
¨¨
¨¨
I(L)
p =
n
i=1
Ipi w0,i =
n
i=1
p0,iq0,iIpi
n
i=1
p0,iq0,i
=
n
i=1
p0,iq0,i
p1,i
p0,i
n
i=1
p0,iq0,i
=
n
i=1
p1,iq0,i
n
i=1
p0,iq0,i
b) Paascheho index ­ harmonický průměr s vahami w1,i
¨¨
¨¨
I(P)
p =
1
n
i=1
w1,i
Ipi
=
n
i=1
p1,iq1,i
n
i=1
p1,iq1,i
p1,i
p0,i
=
n
i=1
p1,iq1,i
n
i=1
p0,iq1,i
Indexy se liší použitými vahami ­ srovnávají růst cenové hladiny (v případě
cenových indexů) proti úrovni spotřeby z různého období. Laspayresův index
používá vah w0,i a vztahuje tedy růst cenové hladiny k struktuře spotřeby
v základním období (období 0). Paascheho index vychází z vah w1,i a sle-
duje růst cenové hladiny vzhledem k současné struktuře spotřeby (spotřeby
v běžném období ­ 1).
Pokud bychom se opět vrátili k modelové domácnosti a jejímu typickému
spotřebnímu koši ­ můžeme jej charakterizovat jako modelový nákupní košík
­ je možno oba indexy zobrazit následovně:
Laspayresův index vychází ze struktury spotřeby v základním období ­ tedy
srovnává kolik by za nákupní košík, který domácnost nakupovala v základním
období, zaplatila tehdy (v základním období) a nyní (v běžném období).
90
Paascheho index naopak vychází ze struktury spotřeby v běžném období ­
srovnává kolik by za nákupní košík, který domácnost nakupuje v běžném ob-
dobí, zaplatila v předchozím období (v základním období) a nyní (v běžném
období).
3. generace
3. generace
indexů
Jak je zjevné je velmi obtížné rozhodnout, kdy je možno použít Paascheho
a kdy Laspayresova souhrnného cenového indexu. Oba mají srovnatelnou
vypovídací hodnotu, nicméně udávají různé výsledky. Tyto výsledky jsou
závislé na zvolených vahách, což je také jednou ze základních nevýhod těchto
indexů. Z těchto důvodů byly vytvořeny indexy třetí generace, které se snaží
tento nedostatek odstranit.
Je to možno provést dvěma způsoby:
a) průměrováním vah, příp. volbou období vah uprostřed mezi základním
a běžným obdobím
b) průměrováním indexů 2. generace
ad a) Edgeworthův index
Edgeworthův index je příkladem indexu počítaným pomocí průměrných vah.
Průměrné váhy jsou v tomto indexu počítány jako jejich aritmetický průměr.
ad b) Fisherův index
Fisherův index vychází ze dvou základních indexů druhé generace Laspayre-
sova a Paascheho. Jeho hodnotu spočítáme jako geometrický průměr těchto
indexů.
I(F )
p = I
(L)
p × I
(P)
p
Indexy třetí generace tedy odstraňují některé nevýhody indexů předchozích
generací. Přes tuto skutečnost nenašly v praktických aplikacích takové míry
využití jako Laspayresův, či Paascheho index. Volba
"
objektivnějších" vah u
třetí generace souhrnných indexů totiž přináší výrazné problémy do ekono-
mické interpretace obdržených výsledků.
I(E)
p =
n
i=1
p1,i(q0,i + q1,i)
n
i=1
p0,i(q0,i + q1,i)
Uvedené příklady souhrnných indexů nejsou pochopitelně jejich vyčerpá-
vajícím přehledem. V současné době existuje poměrně vyvinutá struktura
těchto souhrnných indexů, která vychází ze míry splnění (či nesplnění) již
zmíněných axiomů, stanovujících parametry
"
dokonalého indexu". Některé
příklady těchto indexů naleznete v učebnici Segera, Hindlse a Hronová:
Statistika v hospodářství na stranách 473­497.
91
6. Souhrnné cenové indexy
Příklad 6.3
Vypočítejte nárůst výdajů domácnosti, pokud předpokládáme, že domácnost
utrácí pouze za následující tři komodity ­ chléb, cigarety a přezůvky. Struk-
tura jejich spotřeby je uvedena v následující tabulce spolu s cenami komodity
ve sledovaném období.
nakupované množství cena
III.01 III.02 III.01 III.02
chléb 32 33 18,5 19,1
cigarety 8 6 48 56
přezůvky 4 7 85 130
Vypočítejte:
K jakému procentnímu růstu cenové hladiny těchto vybraných komodit došlo
ve sledovaném období (od března 2001 do března 2002)?
K výpočtu použijte
a) Laspayresova
b) Paascheho indexu a výsledky porovnejte. Určete o kolik se zvýšily/sní-
žily výdaje domácností ve sledovaném období (v Kč).
c) Výsledky porovnejte s výsledky získanými využitím některého z indexů
třetí generace.
Řešení:
Nejprve označíme příslušné hodnoty v souladu s uvedeným označením pro-
měnných. Nakupované množství v březnu 2001 budeme považovat za spotře-
bu v základním období (q0), množství v březnu 2002 za spotřebu v běžném
období (q1). Obdobně cena v základním období bude cena v březnu 2001 (p0)
a ceny v běžném období ceny v březnu 2002 (p1). Pro výpočet výše zmíněných
cenových indexů je dále možno vytvořit příslušné součiny a mezisoučty.
Výsledky uvádí tabulka:
nak. množství cena mezisoučty
III.01 III.02 III.01 III.02 p0q0 p1q0 p0q1 p1q1
q0 q1 p0 p1
chléb 32 33 18,5 19,1 592 611,2 610,5 630,3
cigarety 8 6 48 56 384 448 288 336
přezůvky 4 7 85 130 340 520 595 910
1316 1579,2 1493,5 1876,3
a) Laspayresův index
I(L)
p =
n
i=1
p1,iq0,i
n
i=1
p0,iq0,i
=
19, 1 × 32 + 56 × 8 + 130 × 4
18, 5 × 32 + 48 × 8 + 85 × 4
=
1579, 2
1316, 0
= 1, 20
růst cenové hladiny:  = (I
(L)
p - 1) × 100% = (1, 20 - 1) × 100% = 20%
92
Domácnost by za zboží, které nakupovala v březnu roku 2001 zaplatila o rok
později o dvacet procent více, což činí 263,20 Kč.
b) Paascheho index
I(P)
p =
n
i=1
p1,iq1,i
n
i=1
p0,iq1,i
=
19, 1 × 33 + 56 × 6 + 130 × 7
18, 5 × 33 + 48 × 6 + 85 × 7
=
1876, 3
1493, 5
= 1, 26
růst cenové hladiny:  = (I
(P)
p - 1) × 100% = (1, 26 - 1) × 100% = 26%
Domácnost by za zboží, které nakupovala v březnu roku 2002 zaplatila o rok
dříve o dvacet šest procent více, což činí 282,80 Kč.
c) Fisherův index (index 3. generace)
I(F )
p = I
(L)
p × I
(P)
p = 1, 20 × 1, 26 = 1, 23
růst cenové hladiny:  = (I
(F )
p - 1) × 100% = (1, 23 - 1) × 100% = 23%
Průměrný růst cenové hladiny dané domácnosti ve sledovaném období, mě-
řený Fisherovým indexem, činí 23%.
Shrnutí kapitoly
Pro praktické statistické aplikace je velmi obvyklé, že využíváme různých
metod srovnání ukazatelů v čase. Kapitola představila nejznámější metodu
tohoto srovnávání využívající metody indexů. Je zde prezentováno, jakým
způsobem je možno tyto srovnávací veličiny vypočítat a jaké je jejich využití
ve statistické praxi.
Největšího praktického využití mají v současné statistické praxi souhrnné
indexy, zejména konstruované pro cenové ukazatele. Nejznámějším reprezen-
tantem tohoto typu indexů je index spotřebitelských cen (CPI), který ve
základním údajem pro měření růstu cenové hladiny v každé zemi.
Otázky k zamyšlení
1 Pokuste se nalézt alespoň dva primární a sekundární ukazatele užívané
k běžnému popisu ekonomického vývoje země.
2 Na základě níže uvedené tabulky určete řetězové a bazické indexy pro
vývoj počtu nezaměstnaných osob v letech 1993­99. Pro bazické indexy
uvažujte jako základní rok 1995.
Rok 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
Počet neza-
městnaných
osob
185216 166480 153041 186339 268902 386918 487623
93
6. Souhrnné cenové indexy
3 Pokuste se vysvětlit proč platí, že pro výpočet bazických indexů stačí
znát indexy řetězové. Navrhněte jakým způsobem je to možno provést.
Vysvětlete nevýhody využívání souhrnných indexů první generace pro
měření cenové hladiny.
4 Pokuste se zdůvodnit proč je pro praktické účely dávána přednost sou-
hrnným cenovým indexům druhé generace před indexy třetí generace.
5 Pokuste se ověřit výsledky příkladu uvedeného v této kapitole v pro-
středí MS Excel.
94