Zobecnění Koňusových kvantových indexních čísel. Základní poznatky přinesli v tomto směru R.G.D.Allen, P.Samuelson, R.Pollak, S.Swamy a E.Diewert. Některé navržené konstrukty nesou příslušná autorská pojmenování: Pollakův, Malmquistův a Allenův kvantový ( též množstevní nebo objemový ) index. Koňusova kvantová indexní čísla definovaná v (5.5) a (5.6) jsou vesměs jejich speciálními příklady nebo jsou použita v konstrukci těchto složitějších indexů. Nejprve uvedeme Pollakův-Koňusův kvantový (objemový) index, jehož obsahem je podíl objemu výdajů běžného a základního období a Koňusova cenového indexního čísla Definice 5.5 Pollakův-Koňusův kvantový (objemový) index [Pollak 1971] je definován jako (5.39) , V poslední z těchto definičních forem je užita notace s výdajovou funkci . Označení v argumentech cenového a množstevního vektoru zastupuje příslušnost k období, v němž jsou měřeny ceny či kvantity; toto období však nemusí být nutně jen základní nebo běžné. Je patrné, že definice závisí na referenčním vektoru , který se v ní vyskytuje. Zavedení Pollakova-Koňusova kvantového indexu vychází z analogie z jednokomoditního případu, kdy je možné psát objemový index pomocí cenového jako (5.40A) Pro obecnou komoditní situaci tak obdobně dostaneme (5.40B) , přičemž jednoznačnost bude dána až po konkrétní volbě cenového indexu . Konkretizujeme-li volbu období v cenovém indexu tak, že vezmeme základní, resp. běžné období, získáme – pro případ cen - Koňusův-Paascheho kvantový index - pro případ vzetí dostaneme Koňusův-Laspeyresův kvantový index Oba tyto indexy však mohou být zobecněny i jiným způsobem, než je Pollakův návrh. K formulaci dalšího zobecňujícího indexu, Malmquistova kvantového indexu, je nutné zavést pojem distanční (někdy též deflační) funkce[1]. Deflační funkce definovaná ve vztahu k užitkové funkci a k danému (referenčnímu) komoditnímu vektoru je dána takovou hodnotou konstanty , kterou je třeba vynásobit (tj. proporčně zvětšit nebo zmenšit) daný referenční vektor , aby hodnota spadla přesně na indiferenční křivku odpovídající hladině užitku . Vyslovme definici Definice 5.6 Distanční (deflační) funkce [R.W.Shephard 1953/1971] Mějme pevně dánu hladinu užitku a (přímou) užitkovou funkci , v níž jsou hodnoty komoditního vektoru získány v čase . Pak definujeme (5.41) Deflační funkce definovaná ve vztahu k užitkové funkci a danému (referenčnímu) komoditnímu vektoru je dána takovou hodnotou konstanty , kterou je třeba vynásobit (tj. proporčně zvětšit nebo zmenšit) daný referenční vektor , aby spadl přesně na indiferenční křivku odpovídající hladině užitku . Poznámka 5.3 Hodnota distanční funkce, jak patrno z definice (5.41) informuje o tom, zda je uvažovaný komoditní vektor zapotřebí proporcionálně zvětšit – při - nebo naopak je ho možno proporcionálně zmenšit – při , abychom s ním dosáhli právě velikost užitku . V případě neutrální (jedničkové) hodnoty distanční funkce je tento vektor právě tak „postačující“ k získání hladiny užitku . To ovšem neznamená, že by byly všechny statky využity právě v minimálních nutných množstvích (jde o proporční změnu ). Hodnoty distanční funkce tedy leží v rozmezí , přičemž hodnoty větší než 1 znamenají, že komodity jsou nasazeny ve „zbytečně velkých množstvích“, zatímco hodnoty menší než 1 indikují „nedostatečná“ množství statků pro dosažení požadované úrovně . V takto zavedeném kontextu je pak Definice 5.7 Malmquistův kvantový (objemový) index [S. Malmquist 1953] definován jako (5.42) , kde je deflační/distanční funkce, která odpovídá užitkové funkci . Znamená to tedy, že Výraz znamená nejvyšší hodnotu , kterou je třeba deflovat vektor kvantit , aby se dostal na hranici užitkové množiny vstupů [2] odpovídající referenčnímu vektoru kvantit , Výraz znamená nejvyšší hodnotu , kterou je třeba deflovat vektor kvantit , aby spadl na hranici užitkové množiny vstupů odpovídající referenčnímu vektoru kvantit . Malmquistův index je definován jako podíl obou těchto hodnot. Jeho nevýhodou je tedy, podobně jako u jiných funkcionálních indexních čísel, závislost na nepozorovatelné užitkové funkci . Diewert v [6] ukázal, že také pro tento kvantový index je možné odvodit dolní a horní hranici podobně jako pro Koňusova indexní čísla a že tento objemový index splňuje podmínky obdobné testu střední hodnoty (F10) formulovaného pro množstevní indexní čísla. Platí totiž nerovnosti[3] (5.43) Předpoklad o výdajově minimalizujícím chování spotřebitele není nezbytný ani k definici samotného Malmquistova kvantového indexu ani k zajištění platnosti omezení (5.43). Abychom však mohli dále stanovit hranice těsněji vymezující hodnoty Malmquistova kvantového indexu, potřebujeme již předpokládat, že spotřebitel minimalizuje své výdaje ve vztahu k dosahovanému užitku a současně musíme doplnit předpoklad o tom, že vektor (jinak určený obecným obdobím ) musí být buď nebo . Za těchto podmínek platí: (5.44) a také tzn. hodnota kvantového Malmquistova indexu je zdola omezená Paascheho a shora Laspeyresovým množstevním indexem. Diewert rovněž ukázal, že platí-li hypotéza o výdajově minimalizačním chování spotřebitele, existuje takové, že leží mezi a . Tím je řečeno, že Paascheho, resp. Laspeyresovo kvantové indexní číslo vymezují Malmquistův index do intervalu pro nějakou indiferenční hladinu indexovanou množstevním vektorem , který je váženým průměrem s vahami a dvou pozorovatelných vektorů resp. . Definice 5.8 Allenův kvantový (objemový) index [Allen 1949] je definován v kontextu přímé užitkové funkce a k ní příslušné výdajové funkce jako (5.45) , kde je výdajová funkce odpovídající užitkové funkci s komoditními množstvími a podobně je hodnota výdajové funkce příslušná k užitkové funkci s komoditami v množstvích [4]. Index je tedy definován jako podíl dvou výdajových funkcí, z nichž v jedné se uplatňují množství statků nakoupená v běžném období, ve druhé množství statků nakoupená v základním období. Vše uvažujeme v situacích, kdy se spotřebitel změnami nákupů přizpůsobuje cenovým změnám. Definice Allenova indexu je tedy spojena s trojicí vektorů , přičemž určení cenového vektoru není blíže specifikováno. Poznámka 5.4 Jestliže do Allenova kvantového indexu (5.45) dosadíme za cenový vektor , obdržíme Koňusovo-Paascheho kvantové indexní číslo ; podobně jestliže vezmeme , obdržíme Koňusův-Laspeyresův kvantový index. . Je totiž bezprostředně vidět, že po těchto dosazeních budeme mít (5.46A) , a analogicky (5.46B) , „Neutrální“ hodnota Allenova indexu (5.45) je zřejmě 1 – bude jí dosaženo právě tehdy, jestliže oba množstevní vektory poskytnou stejný užitek. Za této situace a vzhledem k ryzí monotónnosti přímé užitkové funkce i výdajové funkce v užitku [5] bude platit . Jestliže , pak je dle (5.45) hodnota Allenova indexu větší než 1, naopak při dává tento index hodnotu menší než 1. Hodnota Allenova indexu tak přímo indikuje, zda je komoditní kombinace více či méně „užitkotvorná“ než komoditní kombinace . Za zmínku dále stojí, že Allenův kvantový index splňuje „kvantový protějšek“ testu záměny faktorů (F3) , tj. platí pro něj vztah (5.47) , . Z (5.46A-B), jakož i z obou dříve uvedených Koňusových nerovností vyslovených pro kvantová indexní čísla (5.9) a (5.10),dále plyne, že (5.48A) a podobně (5.48B) Také pro Allenův kvantový index (při dosazeních , resp. ) tedy existují hranice omezující jeho hodnotu zdola a shora. Toto zjištění má svůj význam, neboť hodnota (jinak nepozorovatelné veličiny závisející na volbě užitkové funkce ) je takto aspoň jednostranně omezena (z pozorování určitelnými) hodnotami, které na tvaru užitkové funkce nezávisí. Diewert [1981] s využitím dřívějších výsledků Pollaka [1971] a Samuelsona-Swamyho [1974] dále ukázal, že jestliže je užitková funkce neoklasická[6] , pak pro všechny kladné vektory cen a kladné vektory kvantit platí vztahy (4.49) Jestliže je užitková funkce neoklasická, pak se Allenův kvantový index rovná (pro všechny cenové referenční vektory ) Pollakovu-Koňusovu kvantovému indexu (pro všechny referenční vektory kvantit ) a oba se současně rovnají podílu . Navíc jsou v takovémto případě jak Allenův, tak Pollakův-Koňusův index zdola omezeny Paascheho kvantovým indexem a shora omezeny Laspeyresovým kvantovým indexem . V obecném případě (není-li užitková funkce neoklasická), ukázal Diewert, že existuje takové, že leží mezi a a existuje též (obecně jiné) takové, že, též leží mezi a . Znamená to tedy, že (prosté) Paascheho a Laspeyresův kvantové indexy, ( které jsou na rozdíl od , a založeny na pozorovatelných veličinách ), ohraničují zdola i shora Koňusovy kvantové indexy i Allenův index, pokud volíme příslušné referenční vektory vhodně mezi a , resp. mezi a . V (5.30) jsme již ukázali, že oba Koňusovy cenové indexy , vyhovují podmínce Fisherova testu proporčnosti (F7): jestliže , pak . Je to dáno tím, že výdajová funkce je lineárně homogenní v cenách. Obdobnou podmínku však nelze uplatnit ve vztahu ke kvantitám: Ani Polakův-Koňusův kvantový index (5.39) ani Allenův kvantový index ( 5.45) nejsou lineárně homogenní, nelze tedy obecně psát (při s kladným skalárem ) , ani To je mj. důvodem pro vyvození Malmquistova indexu, který tuto vlastnost má. ________________________________ [1] Pojem distanční funkce zavedl (v kontextu dalších pojmů teorie produkce) R.W.Shephard v Theory of Cost and Production Functions 1953/1970. [2] V angličtině jde o „utility input set“ jako obdoby „production input set“ v produkčním kontextu. [3] Jde o obdobnou nerovnost – vyjádřenou pro poměry množství – jako je podmínka testu střední hodnoty (F10). [4] V případě, že se ceny změní z na , dosazujeme , v opačném případě – při změně cen zna - dosazujeme , [5] Výdajová funkce je rostoucí v užitku, tzn. pro platí [6] O užitkové funkci řekneme, že je neoklasická, jestliže je kladná, spojitá a lineárně homogenní.