W. GREEN, strana 711, příklad 6


Máme specifikován následující model

(1)

(2)                                                  .

Všechny proměnné jsou měřeny jako odchylky od svých průměrů. Vzorek 25 pozorování poskytl
následující matici součtů čtverců a křížových součinů (proměnných) :

                                                                    (   y[1]      y[2]     x[1]
x[2]     x[3   )]

(3)

Úlohy k řešení :

A)  Odhadněte obě rovnice metodou OLS.

B) Odhadněte parametry obou rovnic metodou 2SLS. Odhadněte také asymptotickou kovarianční matici
2SLS-odhadové funkce.

C)  Získejte LIML odhady parametrů první rovnice.

D)  Odhadněte obě rovnice pomocí 3SLS.

E) Odhadněte matici koeficientů redukovaného tvaru pomocí OLS a nepřímo s použitím strukturních
odhadů z části B).



















A1)  Odhad parametrů 1. rovnice metodou OLS

(1)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou OLS pro danou situaci:

(4)       , kde   , , .

konkrétně



Po dosazení do výpočetního vzorce (4) dostaneme:


A2)  Odhad parametrů 2. rovnice metodou OLS

(2)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou OLS pro danou situaci:

(5)    , kde   , , .



Po dosazení do výpočetního vzorce  (5) dostaneme:


              ,

protože


B1) Odhad parametrů 1.rovnice metodou 2SLS


(1)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou 2SLS pro danou situaci:

(6)           , kde

                                                     ,



Po dosazení do výpočetního vzorce  (6) dostaneme:


                                         , takže máme

 , protože


B2) Odhad parametrů 2.rovnice metodou 2SLS

(2)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou 2SLS pro danou situaci:

, kde






A po vyčíslení tedy









Kovarianční matice OLS-odhadové funkce parametrů 2. regresní rovnice


Nyní opět  využijeme platnost vztahu  neboli  po dosazení

  Vyčíslíme:

  , z čehož plyne


pro porovnání















B3)   Asymptotická kovarianční matice 2SLS-odhadové funkce parametrů

1. regresní rovnice

má tvar

                    ,

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou 2SLS pro danou situaci:

                                                           , kde

a


V našem případě tedy  využijeme platnost vztahu

                             neboli





B4)  Asymptotická kovarianční matice 2SLS-odhadové funkce parametrů

2. regresní rovnice

                                                                                    , kde














Pro doplnění:

                                                                                           0,054603

                                                                                             0,2345

                                                                                           0,012804


                                                                                             0,4934

                                                                                           0,164984

                                                                                           0,081403

                                                                                           -0,00317

                                                                                             0,2345

                                                                                           -0,00074


                                                                                            -0,0287

                                                                                           0,164984

                                                                                           -0,00474

                                                                                           -0,01651

                                                                                             0,2345

                                                                                           -0,00387


                                                                                            -0,1492

                                                                                           0,164984

                                                                                           -0,02462

                                                                                           0,174603

                                                                                             0,2345

                                                                                           0,040944


                                                                                             0,1761

                                                                                           0,164984

                                                                                           0,029054

                                                                                           -0,09206

                                                                                             0,2345

                                                                                           -0,02159


                                                                                            -0,0844

                                                                                           0,164984

                                                                                           -0,01392

                                                                                            0,12127

                                                                                             0,2345

                                                                                           0,028438


                                                                                             0,1614

                                                                                           0,164984

                                                                                           0,026628



E) Odhad matice parametrů redukovaného tvaru

Odhad (OLS) matice parametrů redukovaného tvaru:



Vypočteme inverzi k    :




                                                                                            0,68085

                                                                                            0,32979

                                                                                            0,01064

                                                                                            0,37234

                                                                                            0,19149

                                                                                            0,20213











D) Simultánní odhad parametrů 1. a 2. rovnice metodou 3SLS


Příslušný estimátor má tvar , resp.rozvedeno do detailní podoby


     ,  kde






Začneme-li postupně naplňovat tento výraz číselnými hodnotami, dostaneme:

Po dosazení za jednotlivé jednoduché momenty:

Po dosazení hodnot inverze momentové matice X’X

                      , budou výrazy

 =






Po dosazení jednotlivých momentů do matice (   ). Dostaneme [1]:

(*)


Závěrečným krokem pak bude dosazení prvků 2SLS- kovarianční matice reziduí do (*)  a následné
vyčíslení této matice :

.kde


neboť





      Takže výsledný 3SLS-odhad parametrů celé pětice parametrů je (bez záruky) :

     ,  zatímco  a
________________________________

[1] Tato  matice je rozměrů [5x5] , dimenze odpovídá počtu všech odhadovaných parametrů modelu.