REDUKOVANÝ TVAR EKONOMETRICKÉHO MODELU REDUKOVANÝ TVAR modelu je taková forma ekonometrického modelu, v níž každá rovnice popisuje závislost jediné běžné endogenní proměnné toliko na predeterminovaných proměnných a na náhodných složkách modelu. Koeficienty, které tento tvar obsahuje, vyjadřují přímo kvantitativní závislosti vysvětlovaných běžných endogenních proměnných na vysvětlujících predeterminovaných proměnných. Matematický zápis redukovaného tvaru závisí na tom, zda výchozí strukturní tvar zapíšeme v „symbolickém tvaru“ nebo v zápise „s pozorováními“ a rovněž na tom, který ze zápisů strukturního tvaru užijeme. 1. Redukovaný tvar odvozený ze strukturního zapsaného „symbolicky“ Vezmeme-li strukturní tvar v podobě (1) , potom dospějeme k redukovanému tvaru převedením matice běžných endogenních proměnných nalevo a násobením vzniklého vztahu zleva maticí , o níž jsme dříve předpokládali, že je regulární: Dostaneme (2) , v němž jednotlivé výrazy jsou sloupcovými vektory, jak je patrné z dimenzí jednotlivých výrazů Redukovaný tvar zapsaný „symbolicky“ lze zapsat typičtěji jako (3) , v němž (4A) je matice parametrů redukovaného tvaru rozměrů [m;q] . (4B) je vektor náhodných složek reduk. tvaru rozměrů [m;1]. Poznámka 2. Redukovaný tvar odvozený ze strukturního zapsaného „v pozorováních“ Vyjdeme-li ze strukturního tvaru modelu zapsaného „v pozorováních“ jako : (11) , kde je matice T pozorování m b.endogenních proměnných soustavy je matice T pozorování q predeterminovaných proměnných soustavy je matice koeficientů příslušných běžným endogenním proměnným je matice koeficientů příslušných predeterminovaným proměnným je matice „pozorování“ m náhodných složek ( poruch) soustavy , pak získáme redukovaný tvar převedením běžných endogenních proměnných nalevo a násobením vzniklého vztahu zprava regulární maticí : (12) (13) Ve světle předchozího značení je matice maticí transponovanou k . O významu prvků této matice často nazývaných multiplikátory byla řeč již dříve. ********************************************************************************************************************************************************************** Redukovaný tvar zápise „s pozorováními“ (13) zapíšeme ve vyjádření (13a) je matice parametrů redukovaného tvaru rozměrů [q;m] . je matice náhodných složek redukovaného tvaru rozměrů [T;m]. Přirozenou otázkou, máme-li redukovaný tvar zapsán v pozorováních, je, jak je možno z pozorovaných hodnot obsažených v maticích pořídit nějaký odhad matice ?[1] Odhad matice koeficientů redukovaného tvaru získáme nejsnáze pomocí prosté/obyčejné metody nejmenších čtverců OLS jako tzn. pomocí OLS-regrese všech m běžných endogenních proměnných na všech q predeterminovaných proměnných. ( Matice mají shodný význam jako dříve) Kovarianční matici náhodných složek redukovaného tvaru označíme . Má tvar , protože platí Jiný možný zápis redukovaného tvaru vychází ze zápisu strukturního tvaru ( zápis přes všech m rovnic pro pevné pozorování t ) : neboli po úpravě , kde nyní zapíšeme Vektor náhodných složek redukovaného tvaru definovaný (pro pevné t ) jako má tyto vlastnosti : a) , protože b) protože c) , protože pro Parametry matice redukovaného tvaru, kterých je dohromady m.q (včetně případných nulových hodnot parametrů) označíme . Lze je vyjádřit jako , kde je prvek k-tého řádku a j-tého sloupce matice Poznámka 1 Vztah mezi parametry strukturního tvaru (matice B,C) a parametry redukovaného tvaru (matice ) není rovnocenný : Z prvků matic B,C lze jednoznačně určit prvky matice , protože matice (I-B) je nesingulární. Naproti tomu z prvků matice není možné jednoznačně určit prvky obou matic B,C) : Porovnání počet parametrů strukturního tvaru je celkem m.(m-1) + m.q počet parametrů redukovaného tvaru celkem jen m.q . Ve schématickém vyjádření : Matice parametrů redukovaného tvaru je obecná matice. Zatímco matice B a C budou mít zpravidla větší počet nulových prvků, počet nulových prvků matice bude relativně malý. Příklad: ilustrující postup výpočtu je maximálně zjednodušen[2] Uvažujme jednoduchý třírovnicový makroekonomický model se dvěma rovnicemi chování a jednou identitou ve tvaru - lineární spotřební funkce (1) [ ] [ ]- lineární investiční funkce (2) [ ]- bilanční identita důchodu (3) Význam jednotlivých proměnných : .... spotřeba domácností v čase t .... investice do soukromého sektoru v čase t .... národní důchod v čase t jsou 3 běžné endogenní proměnné (m* = 3)[3] ..... jedničkový vektor ... národní důchod v (předcházejícím) čase t-1 ..... veřejné (vládní) výdaje v čase t jsou 3 predeterminované proměnné (q = 3) [ ] ...... náhodná složka 1. rovnice [ ] ...... náhodná složka 2. rovnice jsou 2 náhodné složky dvou stochastických rovnic Lineární spotřební funkce (1) vyjadřuje závislost aktuální spotřeby na aktuální úrovni důchodu (už ne na zpožděných hodnotách důchodu a spotřeby). Lineární investiční funkce (2) vyjadřuje závislost aktuálních investic na současné a o jedno období zpožděné hodnotě důchodu. Zanedbán je možný vliv důchodu zpožděného o více období. Bilanční identita důchodu(3) propojuje důchod s investicemi, spotřebou a objemem veřejných výdajů při zanedbání salda zahraničních vztahů(export-import) (obchodních, peněžních) a bilance mimořádných výnosů/ztrát. Redukovaná forma modelu je takové vyjádření, ve kterém jsou běžné endogenní proměnné popsány jen pomocí predeterminovaných proměnných , , a náhodných složek , [ ]. V důsledku přítomnosti identity půjde vždy pouze o 2 běžné endogenní proměnné. Postup výpočtu redukované formy modelu V úvahu přichází výpočet buď prostým dosazováním (postupnou eliminací) nebo maticovými operacemi. Přitom musíme nejprve zvolit, které 2 ze 3 přítomných běžných endogenních proměnných necháme v redukované formě : 3. běžná endogenní proměnná se vyloučí při eliminaci identity. Zvolme postup s eliminací proměnné I[t] : substituujeme (2) a dosadíme rovnice do (3). První modelová rovnice zůstane ve tvaru (1a) Druhá modelová rovnice tak přejde na tvar (2-3) Nyní obě rovnice (1a) a (2-3) přepíšeme do maticového tvaru : (4) (4a) Nyní musíme osamostatnit výraz pro každou z obou zbývajících běžných endogenních proměnných, tj. pro a : Učiníme to invertováním matice a vynásobením matic a na pravé straně maticí : Protože determinant matice je roven a inverzní matice k má tvar dostaneme: a dále roznásobením Odtud vyvodíme následující tvar pro obě rovnice redukovaného tvaru : (5a) (5b) Matice parametrů redukovaného tvaru modelu , která má obecný tvar (6a) s tímto vyjádřením vztahů mezi parametry strukturního a redukovaného tvaru (6b) Zde máme celkem 5 parametrů (omezeného) strukturního tvaru a celkem 6 nenulových parametrů (omezeného) redukovaného tvaru . Všimněme si ještě rozdílu mezi počty parametrů strukturního a redukovaného tvaru, jestliže bereme v úvahu omezení položená na parametry modelu : Neomezený strukturní tvar modelu (1), (2-3) má celkem 2.1+2.3 = 8 parametrů Neomezený redukovaný tvar modelu má celkem jen 2.3 = 6 parametrů Omezený strukturní tvar modelu má celkem jen 5 parametrů zatímco Omezený redukovaný tvar modelu má celkem 6 parametrů Poznámka 2 Zaznamenejme, že inverzi v () lze provést jen tehdy, jestliže platí Parametr přitom pochází z rovnice spotřeby, zatímco parametr z na ní nezávislé rovnice investic. Zmíněné omezení tedy nemá ekonomickou příčinu. Poznámka 3 Zatímco každé omezení položené na parametry strukturního tvaru znamená snížení počtu odhadovaných parametrů strukturního tvaru o 1, neplatí zdaleka obdobná relace pro parametry redukovaného tvaru: protože jsou parametry určeny vztahem (6b), jen zřídkakdy nabude parametr omezeného redukovaného tvaru hodnotu 0. V předchozím případě jsme postupovali tak, že jsme se zaměřili na vyloučení běžné endogenní proměnné investice. Mohli jsme však také postupovat tak, že bychom pomocí identity vyloučili např. proměnnou spotřeba ( nebo důchod ). Ukážeme, že při odvození redukované formy nezáleží na tom, kterou z běžných endogenních veličin na počátku vylučujeme, jinými slovy, že ta část (ten řádek) redukované formy, která je společná oběma postupům (zde tvar rovnice pro důchod) zůstane beze změn. (6b) Poznámka 4 Poněkud předběhneme, uvedeme-li, že klíčovou záležitostí pro možnost odhadu parametrů modelu je kladná odpověď na otázku, zda lze ze znalosti matice získat jednoznačně všechny strukturní parametry. V našem případě to možné je, protože např. zřejmě dále: z Protože , máme dále Postup 2 Eliminujeme nyní spotřebu z identity (3), kde dostaneme a dosadíme do první rovnice , načež ji upravíme do tvaru Současně ve druhé rovnici převedeme běžné endogenní [ ]proměnné nalevo a vytvoříme maticovou podobu strukturního tvaru s těmito dvěma běžnými endogenními proměnnými: (7) (Nejprve jsme zapsali rovnici pro investice, potom rovnici pro důchod). Dále již postupujeme obvyklým způsobem: Invertujeme matici a dostaneme (determinant je opět roven ) = a po vynásobením matic a na pravé straně maticí máme (8) Odtud vyvodíme následující tvar pro obě rovnice redukovaného tvaru : (9a-b) Konečně ukážeme, že i třetí postup (s vyloučením důchodu ) vede k získání rovnic redukovaného tvaru pro investice a spotřebu : Postup 3 Do obou rovnic (1), (2) dosadíme za důchod z identity (3). Máme soustavu (1*) (2*) , kterou opět přepíšeme do maticové podoby (10) Opět invertujeme matici a dostaneme (determinant je i zde roven hodnotě ) = , takže dostaneme Odtud již snadno vyvodíme následující tvar pro obě rovnice redukovaného tvaru : (11a-b) I v tomto případě jsme se tedy dopracovali k tvarům shodným s předchozími výsledky. Srovnej (11a) s (5a) , resp. (11b) s (9a). Poznámka 4 Povšimněme-si, že omezení na parametry modelu , podmiňující vyvození redukovaného tvaru modelu, je nezávisle na tom, který ze tří postup jsme pro odvození redukovaného tvaru přijali. ------------------------------- [1] Obecně řečeno, je statistický odhad matice vždy jednodušší, než odhad strukturních parametrů matic B,C. Intuitivně i proto, že je jich počtem zřetelně méně a dostupná informace obsažená v maticích X,Y je pro oba případy shodná: . [2] Ve spotřební funkci např. chybí zpožděná hodnota spotřeby C[t-1], v investiční funkci nevystupuje úroková míra, identita důchodu je „ochuzena„ o čistý export, přírůstek zásob, saldo ztrát atd. [3] Větší význam pro operace s modelem (při kvantifikaci parametrů) má však nikoliv celkový počet rovnic (zde označený m*), ale počet stochastických rovnic m (získaných po vyloučení identity).