Modely s rozloženými zpožděními I Modely s rozloženými zpožděními (též „modely rozdělených zpoždění“) tvoří důležitou (a dosti rozsáhlou) oblast regresních schémat využívaných v ekonometrii. Všechny se vyznačují přítomností zpožděných proměnných (a to jak vysvětlujících proměnných, tak někdy i vysvětlované proměnné) mezi ostatními (nezpožděnými) veličinami regresní rovnice. Tyto modely současně znamenají začlenění dynamických prvků do modelů analyzovaných ekonometrickými metodami. Lze je klasifikovat několika způsoby, jedno z možných rozdělení je toto: A) modely s konečnou délkou zpoždění (modely s konečným zpožděním) B) modely se zpožděním o nekonečné délce (modely s nekonečným zpožděním) S uplatněním modelů rozložených zpoždění se pojí dvě základní otázky : a) jaká maximální délka (hloubka) zpoždění je ještě únosná pro zařazení veličiny s tímto zpožděním do modelu? Je zřejmé, že připuštění zpoždění o značné délce (např. 10) mluví ve prospěch obecnosti modelu, na druhé straně může silně znesnadnit výpočet parametrů (nejsou-li tyto jinak specifikovány) u zpožděných veličin (s ohledem jednak na značnou pravděpodobnost výskytu přibližné kolinearity zpožděných veličin, jednak na malou hodnotu rozdílu T-k, jestliže je počet pozorování relativně malý a počet vysvětlujících proměnných naopak relativně velký) s obtížemi při testování jejich statistické významnosti. b) Jaká „váhová struktura“má být přiřazena jednotlivým zpožděným veličinám? Jen v málo případech je rozumné uvažovat stejnou sílu vlivu jednotlivých zahrnutých zpožděných vysvětlujících proměnných (v podstatě jde o rovnoměrné rozdělení vah) na závisle proměnnou. Daleko častější jsou situace, kdy k s rostoucí hloubkou zpoždění síla vlivu (značně) zpožděných veličin postupně klesá. Poznámka I když v principu je model s nekonečnou délkou zpoždění nepříliš realistický, může být výpočet jeho parametrů (při konkrétně specifikované váhové struktuře) snadnější než komplikovaný model s konečně rozloženým zpožděním. Obecný tvar modelu s konečnou délkou zpoždění () je (při absenci konstantního členu regresní rovnice) (1) neboli (1a) Každý z koeficientů představuje váhu (též koeficient reakce) j-té zpožděné veličiny na aktuální hodnotu proměnné . O se předpokládají obvyklé vlastnosti náhodné složky lineárního regresního modelu. Některá konkrétní schémata modelů s konečným rozloženým zpožděním 1) Model s lineárně rozloženými zpožděními Předpokládá se, že váhy (označené zde , neboť jde o regresní koeficienty) u jednotlivých zpožděných vysvětlujících proměnných lineárně klesají od „nezpožděné“ veličiny (nebo od se zpožděním 1) k veličině s maximálním přípustným zpožděním . To odpovídá předpokladu, že zpožděné proměnné vykazují slábnoucí vliv s konstantními úbytky. Poznámka Ne nutně musí být součet přijatých vah roven 1 (normování na hodnotu 1 lze ostatně vždy zajistit), váhy však zpravidla budou všechny kladné. Znamená to, že váhovou strukturu lze popsat následovně: (1.1a) (1.1b) Dosazením do základní rovnice 1a) dostaneme vztah (1.2) jehož jediný neznámý parametr může být snadno odhadnut MNČ jako[1] (1.3) Z něj pak již snadno odvodíme odhady pro (nenulová) jednotlivá jako (1.4) 2) Model s dvojlineárně rozloženými (střechovitými) zpožděními Toto váhové schéma přikládá největší váhu hodnotě proměnné s určitým pevně zvoleným zpožděním (např. ), od něhož ve směru do přítomnosti i do minulosti váhy lineárně klesají. Předpokládáme-li, že , pak při sudém k můžeme strukturu zpoždění popsat těmito vztahy[2]: (2.1a) (2.1b) Dosazením do základního modelu dostaneme regresní vztah (2.2) jehož opět jediný neznámý parametr lze odhadnut metodou OLS stejným způsobem jako v předchozím případě. Veličina je však zde definována odlišně Odhady původních parametrů získáme analogicky jako u lineárního modelu, tentokrát přirozeně však místo (1.4) jako (2.3a) (2.3b) 3) Polynomický model Almonové [1965] je příkladem modelu s konečnými rozdělenými zpožděními, u kterých je původní (početná) množina parametrů převedena na (počtem skromnější) množinu jiných parametrů, přičemž příslušné transformační vztahy mezi parametry jsou předepsány maticovým schématem. Původní parametry se takto vyjádří jako lineární kombinace parametrů „nových“ s maticovým zápisem (3.1) (původních k+1 parametrů s označením , nových r+1 parametrů se značením , transformační matice ) Konkrétně se v modelu Almonové předpokládá závislost polynomiálního tvaru, v němž je transformační vztah mezi parametry a popsán jako mnohočlen určitého (nevelkého) stupně s formálním zápisem (3.2a) , Váhový vektor zde můžeme vyjádřit kompaktněji maticovým zápisem: (3.2b) Původní regresní model tvaru lze při transformaci parametrů přepsat do tvaru , takže původních váhových koeficientů je převedeno na menší počet parametrů. V transformovaném modelu spočteme MNČ odhad , načež vektor vah zpoždění získáme dosazením do vztahu . Příklad se specifikací transformace v podobě polynomu 2.stupně: (3.3) Dosazení do regresního váhového schématu 1a) vede k vyjádření (3.4a) (3.4b) Aplikujeme-li MNČ na tento model, spočteme odhady koeficientů a po jejich dosazení do původního modelu získáme odhady výchozích váhových koeficientů . V případě, že zvolíme maximální délku zpoždění např. , získáme po úpravě (přeskupení proměnných dle příslušnosti ke koeficientům ) pro vysvětlení závisle proměnné rovnici: Poznámka Počet parametrů je o 1 větší než stupeň polynomu, zatímco počet parametrů je o 1 větší než volená hodnota maximálního zpoždění . K tomu, abychom počet parametrů ještě případně dále omezili, můžeme využít „okrajových“ podmínek , což vede k relacím: (3.5a) (3.5b) Z nich dostaneme (v závislosti na , které musí být záporné ) : (3.6) , Po substituci za pomocí lze takto konkretizovaný model psát jako , tedy (3.7a) , neboli (3.7b) kde Pro náš konkrétní případ dostaneme: Výraz je pro roven , přičemž koeficienty u jednotlivých zpožděných proměnných jsou tyto ( při záporném ) resp. Odhady parametrů získané tímto postupem jsou vydatnější než odhady získané přímo metodou OLS. Nevýhodou postupu je, že zpravidla nemáme vodítka po určení maximální délky zpoždění. Doporučuje se použít pro zvolený polynom nízkého řádu (max.3-4) různé délky max. zpoždění a vybrat tu, u které je hodnota korigovaného největší. Určení stupně polynomu je nicméně obvykle subjektivní záležitostí. Při určení maximální délky zpoždění bude hrát roli mj. též povaha vzorku časových řad: u čtvrtletních či měsíčních bude mít maximální zpoždění větší hodnotu než v případě odhadu modelu z ročních časových řad. 4) Koyckův model - Koyckova transformace je (naopak) příkladem modelu s rozloženým zpožděním o nekonečné délce. Má-li být zachována možnost statisticky odhadnout parametry takovýchto modelů, musí být dáno nějaké pravidlo o souvislostech mezi nimi. V případě modelu navrženého Koyckem klesají váhy u jednotlivých vysvětlujících zpožděných proměnných podle schématu popsaného geometrickou posloupností. Zapíšeme-li rovnici modelu s nekonečně rozloženým zpožděním ve tvaru (4.1a) neboli ve zkráceném zápisu (4.1b) , je ihned patrné, že takto obecně vyjádřený model nelze prakticky použít (nelze odhadnout nekonečný počet parametrů). Dle Koyckem navržené konkretizace přijímají parametry tuto apriorní váhovou strukturu: (4.2a) váhy/koeficienty jsou prvky geometrické posloupnosti (4.2b) která je pro danou hodnotu kvocientu klesající. Tímto způsobem lze převést původně nekonečný počet parametrů pouze na dva parametry , přičemž v konečné podobě model nabude tvar (4.3a) který lze upravit na tvar (4.3b) který je nazýván autoregresním tvarem Koyckova modelu (nekonečného) rozloženého zpoždění. Všimněme si zde zejména dvou věcí: a) do modelu se na pravou stranu dostala (jediná) zpožděná závisle proměnná (se zpožděním o 1 krok) . b) náhodné složky modelu již (bohužel) nebudou vzájemně nekorelované, a to ani tehdy ne, jestliže byla předpokládána nekorelovanost původních náhodných složek . Příčinou toho je skutečnost, že „nová“ vysvětlující proměnná není nekorelovaná s náhodnými složkami . Platí totiž vztahy: (4.4) kde je rozptyl náhodných složek (stejný pro všechna . Oproti klasickému lineárnímu regresnímu modelu tedy zde zřejmě nejsou splněny dva předpoklady: - vysvětlující proměnná není nekorelovaná s náhodnou složkou . - vysvětlující proměnná není nestochastická (její součástí je náhodná složka ), což je hned vidět, zapíšeme-li model se zpožděním o 1 krok. Model (4.3b) je regresní model se dvěma regresory a bez úrovňové konstanty, který však postrádá základní vlastnost LRM: nekorelovanost náhodných složek s vysvětlujícími proměnnými, takže odhad parametrů provedený metodou OLS nebude konzistentní. Pokud bychom (ony dva) parametry takto odhadovali, dostaneme regresí hodnoty parametrů , ; pak odtud dopočteme jako podíl . Z uvedených důvodů nebudou mít odhady parametrů (provedené obyčejnou metodou nejmenších čtverců) uspokojivé vlastnosti, nemusí být dokonce ani konzistentní. Literatura uvádí pro tuto a podobné situace některé speciální odhadové postupy (vedoucí ke konzistentním, případně i vydatným odhadům parametrů). Předpoklady o chování náhodných složek podmiňující nasazení těchto postupů jsou však obvykle málo realistické . S ohledem na vlastnosti geometrického rozdělení přijatého v Koyckově modelu činí průměrná délka zpoždění a rozptyl hodnotu (4.5a) 4.5b) Při bude Při bude Při bude Interpretačně to znamená, že agregovaný účinek všech v modelu uvažovaných zpožděných vysvětlujících veličin (jichž je nekonečně mnoho) se projeví zhruba stejně jako jediná zpožděná vysvětlující proměnná, která bude mít zpoždění 0,5 roku resp. 1 rok, resp. 2 roky. Poznámka: odvození vztahu (4.3): Model (4.1a) zapíšeme s konkretizacemi vah (4.2a) (4.2b) (4.6) resp. pro současnou a bezprostředně minulou hodnotu závisle proměnné: Na levé straně vyjádříme „zobecněnou diferenci“ závisle proměnné přičemž se na pravé straně členy se stejnými zpožděnými hodnotami proměnné vzájemně vyruší, zůstane pouze nezpožděný člen . Převodem členu napravo dostaneme (4.3b) , kde □ . ------------------------------- [1] Ve skutečnosti však nejde o „čistý“ odhad MNČ, ale o odhad metodou OLS-AI, neboť je využívána dodatečná informace (1.1) o vztazích mezi parametry modelu [2] alternativně též b[j] = (j+1) . b pro j = 0, 1, 2, … , k/2 b[j] = (k-j+1) .b pro j = k/2, k/2+1,…. , k