Link: OLE-Object-Data

   Stanovení chyby předpovědi

   

   Uvažujme opět standardní normální lineární regresní model, u kterého jsme již předtím ověřili
   jeho způsobilost k prognózování minimálně ve smyslu ověření stability modelové struktury.

   Budeme pracovat s modelem v zápisu (pro predikované období o délce )

   (1)                                                                                 
                            

          je [m-členný] sloupcový vektor hodnot vysvětlované (endogenní) proměnné, kterých nabude
   v predikovaném období

   

         je [m x k– rozměrná] matice hodnot vysvětlujících (exogenních)       

                           proměnných  realizovaných v predikovaném období

   

           je [ k-členný ] sloupcový vektor regresních parametrů ( hodnoty parametrů  přejímáme
   beze změn z pozorovaného období)

   

          je [ m-členný ] sloupcový vektor náhodných složek predikovaného období

   Předpokládáme přitom, že

   a)                      ,     , 

   tzn. že náhodné složky s nulovou střední hodnotou   v pozorovaném období

   zůstanou centrované i v předpovídaném období.

   

   b)                     , ;

   tzn. že rozptyly náhodných složek pozorovaného i predikovaného období jsou shodné (rovné ).

   

   c)                      , ; 

   tzn. že náhodné složky predikovaného  období jsou nekorelované navzájem i s náhodnými složkami
   pozorovaného období.  Souhrnná  kovarianční matice   má tedy tvar                   

   d)                     Náhodné složky jsou nekorelované s vysvětlujícími proměnnými  v
   pozorovaném i v predikovaném období, tj.   pro

    pro .

   

                        Model můžeme přehledněji znázornit maticovým zápisem

             

   Bodovou předpověď   m-členného vektoru závisle proměnné získáme pomocí

   predikční funkce[1]   tvaru     

   (2)                                                       ,  kde

     je [ Txk –rozměrná ] matice pozorovaných hodnot  vysvětlujících proměnných.

   Predikční funkce 2), jež je zřejmě lineární funkcí  , je nestrannou funkcí vektoru předpovědí
     v tom smyslu, že pro ni platí

   (3)                                

                                                   [ X[p] je nestochastická ]     [ b je
   nestranný odhad  ]

   To znamená, že  střední hodnota predikční funkce je rovna střední hodnotě [2]

   Poznámka  Neznamená to však , že [3]

   Tvrzení: Lze ukázat, že predikční funkce 2) má ze všech nestranných predikčních funkcí
   (lineárními v ) nejmenší v maticovém smyslu  kovarianční matici vektoru reziduí v období
   předpovědi, tj. následujícího vektoru

   Vektor chyb  definujeme jako odchylku (chybu)  předpovídané hodnoty   od skutečné :

   (4)                                           

   Všimněme si, že zdrojem chyb předpovědi vektoru skutečných hodnot  je jednak variabilita
   náhodné složky , jednak výběrová chyba odhadové funkce  zpravidla pořízené  metodou nejmenších
   čtverců OLS :

   Střední chyba vektoru chyb predikčního vektoru  v  (4)  je nulová, protože platí



   Před odvozením kovarianční matice tohoto vektoru upravíme    do tvaru

                               

   (5)

                      

   Poznámka  Vektor reziduí předpovídaných hodnot závisí tedy na náhodných složkách pozorovaného
   i náhodných složkách predikovaného období.

   Za přijatých předpokladů  a) – d)  lze pro kovarianční matici náhodného predikčního vektoru 
   (5)  psát :

                                                 [4]

                                         [nekorelovanost ]

                                           []         []

   Poznámka  Speciální případ jediné  predikované hodnoty tzn. případ :

   V tomto případě jsou  a  skalární hodnoty a matice  se redukuje na řádkový vektor   o 
    složkách.

   Standardní chybu (směrodatnou odchylku) bodové předpovědi skutečné hodnoty vysvětlované
   proměnné dostaneme nahrazením rozptylu  jeho nestranným odhadem   získaným například metodou
   OLS.  Pak

                                                [5]

   Lze ukázat, že vyhovuje-li model předpokladu normality, pak bodová predikční funkce založená
   na odhadu  metodou OLS má též normální rozdělení, tedy:

   (6)                                           

   Protože, jak již jsme dokázali výše  v (3)                                  

                                  

   (3*)                                     a  dále

                                                                           [ Cov(b)= s^2. (X’X)^-1
                                ]                   [s^2 je skalár]

   -------------------------------

   [1]  Predikční funkce je náhodný vektor o m  složkách.

   [2]  Jde o totožnost středních hodnot stejnolehlých složek příslušných náhodných vektorů.

   [3]  Podle 1)  je   a  náhodnost vektoru  pramení z náhodnosti , zatímco v případě  vyplývá
   náhodnost tohoto vektoru z náhodnosti  (a přeneseně tudíž pochází z ).

   [4] Bereme v úvahu nekorelovanost  a  .

   [5] Pokud  m=1, pak  je vektor a veličina   je skalár , pokud m >1, pak se vezme diagonální
   prvek matice   pořadím příslušný dané složce vektoru parametrů .