Příklady k procvičení
Příklad 1: Rozhodněte, zda jsou nekonečné řady geometrické, pokud ano, stanovte jejich součet:
\ v-^°°      i b) E£i 7(f)"
C)  2-^n=l 2n3n"1
^   Z^n=l   (_3)"+l
Příklad 2: Rozhodněte, zda nekonečné řady konvergují:
\ v-^°°        i
aJ  l^n=l (2n+l)! W  Z^n=lV2n+l-
n2
Příklad 3: Rozhodněte o absolutní konvergenci řad
aJ  2^n=l
n2
b) E~ !(-l)"f
c) E£i(-i)n$í
oo    f     -]\n+ln±2 n+1
d) Eľ=i(-1
e) Eľ=i
-2n
n
=lV3n+l
Řešení úloh:
Příklad 1: Rozhodněte, zda jsou nekonečné řady geometrické, pokud ano, stanovte jejich součet:
a)  q = an+i/an = \^k ^ konst., není konvergentní
b)  q = 3/5, oi = 7.3/5, £ľ=i 7(f)" = (7.3/5
5j           yl.u/uj1_3ß
21/2
c)q= 1/6, ai = 1/2, YZ=i ž4^ = (V2)-!^ = 3/5 d)(/ = 3/2>l, E^=i5(^r) = oo
e) q = -1/3, ai = 2/9, £ľ=i j^ = (2/9).TZ^W) 1/6
Příklad 2: Rozhodněte, zda nekonečné řady konvergují:
\                /        __   (2n+l)!   __   _______1_______     /   -i   lr\r\     v-^°°            1
aj  an+i/ an -  (2n+3)\ ~ (2n+3)(2n+2)  — i/ZU'  2^n=l (2n+l)\
konverguje
DJ lim^^oo CLn+l/ ďn       niHn—>oo 2n+1(n+l)        *-lĽln^.00 2(n-\-\)
1A Z)£Li 2^ konverguje
r\  lirn            n/7T~   __   lim              n       __    1 /9      V^°°    (    n    \n
L.J iiiii^^oo yc%          11111^^002^^^           1/z,5    / ^n—1\ 2n+l'
konverguje
d)  an = ^r = \ + ^ > \,  Y,n=ii diverguje, tedy T,n=i ^ diverguje
e)  Imwa^K = Hm™ ^S^ = ^„(n + l)/5 = oo, J27=i #ft diverguje
Příklad 3: Rozhodněte o absolutní konvergenci řad
a)  \an\ = l/n2, J27=i h konverguje, tedy J27=i ^f konv-abs.
b)  \an\ = f^lim^oolŕ^+il/lŕ^l =lim^00^T = O, Y.n=i(-lY^ konv. abs.
c)  \an\ = ^šy, viz 3d) Y,n=\{-l)nj^ nekonv. abs., ale lim^oo ^2y = O, tedy konv. rel.
d)  lim^oo \an\ = lim^oogf = l,tedy E^=i(-l)n+1gr diverguje
p\   \n   I    _    (J2n_\n     i:rn            n/L   I    _    i;™              2n      _
2/3 < 1, tedy Eľ=i(áŤ)" konv- abs-