Cviceni k predmetu PMMAT2
Cviceni 5 - Neurcity integral
Neurcity integral vlastne vyjadruje hledani funkce F(x) (tzv. primitivni funkce) k funkci f(x)
takove, ze plati F(x) = f(x). Tuto rovnici vsak zapisujeme prostrednictvim intergralu, tedy
f(x)dx = F(x). Integraly elementarnich funkci jsou zapsany v souboru Integral.pdf.
Zakladni vztahy
Plati: c  f(x)dx = c f(x)dx, (f(x)  g(x))dx = f(x)dx  g(x)dx. Bohuzel pro integraly
neplati podobne vztahy jako pro derivace soucinu a podilu funkci, tedy neplati (f(x) 
g(x))dx = f(x)dx  g(x)dx, tam je nutne jiz uzit nekterou z integracnich metod.
Metody integrovani jsou dvojiho druhu tzv. metoda per partes a substitucni metoda. Substitucni
metoda spociva v nahrazeni slozitejsi funkce nejakou jednodussi tak, abychom prislusny
integral zjednodusili az na integral elementarni funkce. Mejme tento jednoduchy priklad:
ecxdx, kde c je nejaka konstanta. Nahradime funkci cx funkci t, tedy cx = t. Dale je treba
vzdy prepocitat diferencial zderivovanim obou stran podle danych promennych, tedy cdx = dt.
Pote dostavame ecxdx = |cx = t, cdx = dt| = et dt
c = 1
c et = 1
c et = 1
c ecx.
Metoda per partes se da shrnout do nasledujici formulky: u(t)v(t)dt = u(t)v(t)- u(t)v(t).
Tuto metodu uzijeme, pokud je mozne nekterou funkci u(t) nebo v(t) derivovat tak dlouho,
az je nulova.
Priklad: Vypoctete x2e4xdx.
Pocitame primo podle vzorce, tedy x2e4xdx = |u = x2, v = e4x, u = 2x, v = 1
4e4x| =
x2 1
4 e4x - 1
2 xe4xdx = |u = x, v = e4x, u = 1, v = 1
4e4x| = x2 1
4e4x - 1
2(x1
4 e4x - 11
4 e4xdx) =
x2 1
4 e4x - 1
2(x1
4 e4x - 1
16 e4x) = 1
4e4x(x2 - x
2 + 1
8 ).
Priklady 4.1.1.
(1- 1
3

x
)2dx[jen roznasobit], e2x sin 3xdx[p.p dvakrat], log 2x
x2 dx[p.p obracene nebo log 2x =
u]
Priklady 4.1.2.
1 + 2xdx[subst. 1 + 2x = t], 3x
(x2+1)2 dx[subst. 1 + x2 = t], 7
(1+2x)3 dx[subst. 1 + 2x =
t], xex2
dx[subst. x2 = t], ex
ex+1dx[vzorec nebo subst. ex = t],
sin 1
x
x2 dx[subst. 1
x = t],
x2
ex3 dx[subst. x3 = t], ecos x sin xdx[subst. cos x = t].
Cviceni 6 - Integrovani racionalnich lomennych funkci a funkci goniometrickych
Priklady 4.2.1.
nutny rozklad na parcialni zlomky, pote integrovani podle vzorcu, viz. oskenovana ucebnice
1
(x-1)2(x2+1)2 = A
(x-1)2 + B
x-1 + Cx+D
(x2+1)2 + Ex+F
x2+1
, 2x2+x-21
x3-4x2-x+4
= A
x-4 + B
x-1 + C
x+1, x
(x-1)(x2+x+1)
=
A
x-1 + Bx+C
x2+x+1
, x2+5x+4
x4+5x2+4
= Ax+B
x2+4
+ Cx+D
x2+1
Obecne tedy potrebujeme vypocitat dva druhy integralu:
A
(ax+b)n dx =
A
a(1-n)  1
(ax+b)n-1 pro n = 1
A
a  ln|ax + b| pro n = 1
a Ax+B
(ax2+bx+c)n dx =
Ax+B
(ax2+bx+c)
dx log a arctan
Ax+B
(ax2+bx+c)n dx subst a p.p.
1
Napr: x-1
(x2+4x+5)2 dx = 1
2
2x-2
(x2+4x+5)2 dx = 1
2
(2x+4)-6
(x2+4x+5)2 dx = 1
2
(2x+4)
(x2+4x+5)2 dx-3 1
(x2+4x+5)2 dx.
Prvni integral se resi substituci t = x2 + 4x + 5, druhy per partes. Pohodlnejsi je vsak si zapamatovat
vzorec:
1
((x-m)2+p2)n dx = 1
2(n-1)p2 ((2n-3) 1
((x-m)2+p2)n-1 dx+ x-m
((x-m)2+p2)n-1 ), kde se vyuzije fakt,
ze 1
(x-m)2+p2 dx = 1
|p| arctan x-m
|p| .
Priklady 4.2.1.a
Nejprve se musi overit, ze nejvyssi exponent v citaleli je nizsi nez nejvyssi exponent ve jmenovateli.
Pokud ne museli bychom polynomy vydelit. Dale vidime, ze prvni clen soucinu ve
jmenovateli ma realne koreny, druhy komplexni, proto obecne bude rozklad vypadat jako
1
(x-1)2(x2+1)2 = A
(x-1)2 + B
x-1 + Cx+D
(x2+1)2 + Ex+F
x2+1 . Roznasobenim dostaneme
1 = A(x2 + 1)2 + B(x2 + 1)2(x - 1) + (Cx + D)(x - 1)2 + (Ex + F)(x2 + 1)(x - 1)2 az nakonec
1 = Ax4 +2Ax2 +A+Bx5 -Bx4 +2Bx3 -2Bx2 +Bx-B +Cx3 -2Cx2 +Cx+Dx2 -2Dx+
D + Ex5 - 2Ex4 + 2Ex3 - 2Ex2 + Ex + Fx4 - 2Fx3 + 2Fx2 - 2Fx + F, coz se porovnanim
koeficientu u jednotlivych mocnin da zapsat maticove








x5
x4
x3
x2
x1
x0








. . .








0 1 0 0 1 0
1 -1 0 0 -2 1
0 2 1 0 2 -2
2 -2 -2 1 -2 2
0 1 1 -2 1 -2
1 -1 0 1 0 1
















A
B
C
D
E
F








=








0
0
0
0
0
1








Vyresenim tohoto systemu dostavame A = 1
4, B = -1
2, C = 1
2 , D = 0, E = 1
2 , F = 1
4.
Integraly 1
4
1
(x-1)2 ,-1
2
1
x-1 vyresime podle vzorcu. Zbyva resit
1
2
x+ 1
4
x2+1
dx = 1
4
2x+1
x2+1
dx =
1
4
2x
x2+1
dx+1
4
1
x2+1
dx = 1
4 ln|x2+1|+1
4arctan(x) a jeste integral
1
2
x
(x2+1)2 dx = 1
4
2x
(x2+1)2 dx =
|subst. t = x2 + 1, dt = 2xdx| = 1
4
2x
t2
dt
2x = -1
4
1
t = -1
4
1
x2+1
.
Cviceni 7 - Integrovani funkci goniometrickych
Pri integrovani goniometrickych funkci se ridime nasledujicimi pravidly:
1. pokud mame cosm x sinn
xdx, kde m, n jsou cela cisla, pricemz aspon jedno je liche,
pak dame do substituci tu funkci, ktera je v mocnine suda
2. pokud je integral racionalni lomenna funkce funkci sin x a cos x takova, ze R(cos x,sin x)
= R(- cos x,- sin x), uzivame substituci tan x = t, kde dale plati, ze sin x = t
1+t2
a cos x =
1
1+t2
.
3. v ostatnich pripadech uzivame substituci tan x
2 = t. Dale si uvedomme, ze plati sin x
2 =
t
1+t2
, cos x
2 = 1
1+t2
, sin x = 2 t
1+t2 ,cos x = 1-t2
1+t2 . Vetsinou tyto substituce vedou na integraly
racionalnich lomennych funkci, proto, pokud muzeme, volime vzdy nejjednodussi moznost.
Priklady 4.2.2.
sin5
x cos5 xdx[subst. sin x = t nebo cos x = t], 1
cos3 x
dx[subst. sin x = t], tan5 xdx
2
[subst. tan x = t], sin x
1+sin2 x
dx[subst. cos x = t], sin x-cos x
sin x+2 cos x dx[delit kazdy clen cos x subst. tan x =
t], 1
2 sin x-cos x+5dx[ subst. tan x
2 = t], 1-sin x
1+cos xdx[ subst. tan x
2 = t], tan3 x
sin x dx[ subst. sin x =
t], tan2 xdx[ jen vzorec sin2
x = 1-cos2], 2cos3 x
sin2 x
dx[ subst. sin x = t], 3sin5 x
cos4 x
dx[ subst. cos x =
t]
Cviceni 8 - Urcity integral, nevlastni integraly a opakovani
Reseni urcitych integralu spociva v dosazeni mezi, jen se nesmi zapomenout u substituce tyto
meze prepocitat. U metody per partes se meze na druhem integralu zachovavaji. Integrovani v
nevlastnich bodech se provadi postupne, nejdriv obycejne zintegrujeme (pokud nevlastni bod
lezi uprostred intervalu, je treba integrovat dvakrat), a pote pocitame limity. Viz. cviceni.
1
2
0
1
x ln2
x
dx = |subst. t = ln x, dt = 1
xdx, th = ln 1
2, td = ln 0 = -| =
ln 1
2
-
1
t2x
xdt =
[-1
t ]- ln 2
- = ( 1
ln 2) - limr-
1
t = 1
ln 2.
1
0 ln xdx = | p.p ln x = u, 1
x = u, 1 = v, x = v| = [x ln x]1
0 -
1
0 x1
x dx = 0 - limx0 x ln x -
[x]1
0 = -1.

1
1
x2+xdx = | rozklad na parc. zlomky | =

1 (- 1
x+1+1
x)dx = [ln( x
x+1)]
1 = limx ln( x
x+1)-
ln(1
2) = - ln(1
2 ) = ln(2).
Kazdy sam si spocitejte nasledujici priklady (nejdrive nepouzivejte pomucky a snazte se na
reseni prijit sami).
Priklady 5.1.
ex - 1dx[subst. ex-1 = t2], (x log x)2dx[p.p. obracene], x sin xdx[p.p.], x2 cos xdx[p.p.]
Priklady z ucebnice
sin2
xdx[vzorec sin2
x = 1-cos 2x
2 ], cos2 xdx[vzorec cos2 x = 1+cos 2x
2 ], tan xdx[vzorec tan x =
sin x
cos x ], cotgxdx[vzorec cotgx = cos x
sin x ],

x
1-

x
dx[subst. x = t2],

a2 - x2xdx[subst. x =
a sin t], 1
x ln2
x
dx[subst. t = ln x],

ex - 1dx[subst. t = ex - 1], sin x
cos3 x dx[subst. t = sin x],
sin2
x cos3 xdx[subst. t = sin x], ln xdx[p.p.], ln x
x dx[subst. t = ln x], eax cos bxdx[p.p]
3