Symetrická nekonečná jednorozměrná náhodná procházka [Karlin-Taylor] Jedná se o Markovův řetězec, jehož stavy tvoří množina celých čísel a platí: . Jedná se o nerozložitelný řetězec s periodou 2. Pro prsti přechodu platí[1] , . Výpočet založíme na tomto postupu: Užijeme Stirlingův vzorec , takže odtud Máme pro . Odtud plyne jednak, že a současně, že Všechny stavy nesymetrické nekonečné náhodné procházky jsou tedy trvalé nulové. Nesymetrická nekonečná náhodná procházka Jedná se o Markovův řetězec, jehož stavy tvoří množina celých čísel a platí: . . Jedná se o nerozložitelný řetězec s periodou 2. Pro prsti přechodu platí[2] , . S využitím Stirlingova vzorce , resp. máme pro Maximum výrazu pro je -jak známo- nastává v bodě . Hodnota výrazu proto nemůže být větší než 1. Platí tedy a z toho plyne Zbývá vyšetřit, zda platí nebo k prokázání, zda stavy jsou trvalé nulové nebo přechodné. Ukázali jsme, že v případě jsou všechny stavy trvalé nulové. Pro jde o vyšetření konvergence řady pro . Užijeme d´Alembertovo podílové kritérium: Odtud , protože . Řada má tedy konečný součet, což znamená, že všechny stavy Markovova řetězce představujícího nesymetrickou nekonečnou náhodnou procházku jsou přechodné. □. Symetrická nekonečná dvourozměrná náhodná procházka Uvažujme tentokrát nekonečnou náhodnou procházku „po celých číslech“ ve dvoudimenzním prostoru. Částice, jejíž pohyb sledujeme, se může pohybovat kromě směrů “doprava“ a “doleva“ také ve směrech “nahoru“ a “dolů“. Předpokládáme (jde-li o symetrickou procházku), že pohyb do všech čtyř směrů je stejně pravděpodobný. Vyšetřování tohoto řetězce (stav je dán celočíselnou souřadnicí ve dvourozměrném prostoru) můžeme začít (pro jednoduchost) v počátku. Při stanovení pravděpodobnosti uvažujeme veškeré možnosti návratu do výchozího stavu (počátku). Návrat do něho je možný vždy tehdy, jestliže učiníme stejný počet kroků doleva jako doprava (řekněme ) a stejný počet kroků nahoru jako dolů (řekněme ). Budeme tedy analyzovat počet kroků . Zřejmě platí , protože po lichém počtu kroků návrat do výchozího stavu zaznamenat nemůžeme. Spočteme tedy prvky posloupnosti , kde Číslo (složené z faktoriálů) v sumaci nám udává počet všech možných cest, kterými je možné provést pohyb posunů doleva a doprava a současně posunů nahoru a dolů. Pravděpodobnost každého takového kroku je (stejná) . Schéma odpovídá tvaru pravděpodobnostní funkce multinomického rozdělení. Vynásobením čitatele i jmenovatele výrazem dostaneme . Přitom platí , takže máme S využitím Stirlingova vzorce pak dostaneme . Odtud je zřejmé, že platí jednak , jednak [3], z čehož plyne, že a stav 0 řetězce (stejně jako kterýkoliv jiný stav řetězce se všemi souslednými stavy) je trvalý, nenulový. Symetrická nekonečná trojrozměrná náhodná procházka Tentokrát rozšíříme uvažování na třírozměrnou nekonečnou náhodnou procházku „po celých číslech“. Částice, jejíž pohyb sledujeme, se může pohybovat kromě směrů “doprava“ a “doleva“ a “nahoru“ a “dolů“ ještě ve směrech „dopředu“ a „dozadu“. Opět předpokládáme (jde-li o symetrickou procházku), že pohyb do všech šesti směrů je stejně pravděpodobný. Vyšetřování tohoto řetězce (stav je dán celočíselnou souřadnicí ve třírozměrném prostoru) začneme opět v počátku. Vzhledem k nemožnosti návratu do výchozího stavu po lichém počtu kroků i v tomto případě platí , zatímco Pravděpodobnost návratu do počátku po sudém počtu kroků je rovna . Z každého počtu kroků učiníme kroků doprava, kroků nahoru, kroků dopředu, kroků doleva, kroků dolů, kroků dozadu. Všechny kroky činíme se stejnou pravděpodobností . Příslušný výraz v sumaci udává počet všech možných takovýchto kombinací. Výpočet této pravděpodobnosti je tentokrát dost obtížný a lze jej nalézt v knize Karlin-Taylor na str. 68-69. Mj. se v průběhu odvození využívá přepisu (násobením čitatele a jmenovatele a „odfaktorizování“ členu ) . Následně se využije skutečnosti, že platí . (jde o součet všech členů třírozměrného multinomického rozdělení), přičemž hodnota se dá shora omezit výrazem , v němž se člen určí jako Další výpočty vedou k omezení hodnoty levé strany shora výrazem . Uplatněním Stirlingova vzorce lze ukázat, že pravá strana této nerovnosti je asymptoticky ekvivalentní výrazu Odtud je zřejmé, že sice opět platí ,ale především , protože součet výsledné nekonečné řady je evidentně konečný. Znamená to tedy, že v případě třírozměrné symetrické náhodné procházky je (na rozdíl od jedno a dvourozměrné) sledovaný stav (ostatně stejně jako všechny ostatní) přechodný. ________________________________ [1] Návrat do daného stavu je možný vždy jen po sudém počtu kroků (2n), přičemž musíme učinit právě n kroků doprava a n kroků doleva. Počet takovýchto možností je dán právě kombinačním číslem [2] Návrat do daného stavu je možný vždy jen po sudém počtu kroků (2n), přičemž musíme učinit právě n kroků doprava a n kroků doleva. Počet takovýchto možností je dán právě kombinačním číslem [3] Chování řady je až na konstantu rovnocenné chování harmonické řady , která diverguje.