P11 – Kolmogorovovy rovnice

2.6  – Chapman-Kolmogorovovy rovnice pro spojité MP

Rozdělení pravděpodobnosti spojitého Markovova procesu je určeno počátečním rozdělením a
pravděpodobnostmi přechodu. Zapišme pro množinu časových okamžiků   a konečnou množinu stavů

(2.51)

kde jsme označili vektor absolutních pravděpodobností

Tvrzení 1   Chapman-Kolmogorovovy rovnice pro pravděpodobnosti přechodu

(2.52A)                 pro   /

ověření:

Zapíšeme-li matici pravděpodobností přechodu jako

                                                ,

můžeme   Chapman-Kolmogorovovy rovnice psát ve tvaru

(2.52B)

Dále přijměme následující předpoklady:

Předpoklad A. Vztah mezi pravděpodobnostmi a intenzitami přechodu:

Funkce  jsou spojitými funkcemi . Platí

(2.53A)       ,             ( intenzita setrvání )

(2.53B)            ( intenzita přechodu )

lokálně stejnoměrně v .

Předpoklad B Platí

(2.54)

Platnost (2.54) znamená možnost záměny limity a sumace v rovnosti

(2.55)                 ,

a je proto vždy splněno, pokud  je konečná množina.

Poznámky:

a) Pro Poissonův proces  s konstantní intenzitou  máme


b) Pro ústřednu s nekonečným počtem linek máme

      ,  ,  ,  , pokud

     (k  je počet obsazených linek, q je konstanta udávající intenzitu příchodu nového hovoru,

      r je konstanta udávající intenzitu ukončení hovoru) .

Z předpokladu lokální stejnoměrné konvergence v (2.51),(2.52) vzhledem k t plyne rovněž soustava
„levostranných derivací“

(2.56A)      ,

(2.56B)       ,lokálně stejnoměrně v .













2.7  – Kolmogorovovy diferenciální rovnice pro spojité MP

Tvrzení 1   Kolmogorovova retrospektivní soustava rovnic

Za předpokladů A a B  platí pro všechna  :

(2.57A)

(2.57B)

Ověření:  Použijeme Tvrzení 1 Chapman-Kolmogorovovu rovnice: podle (2.51A)

              ,     ,  z něhož dostaneme:

(2.58)

Dále máme podle definice intenzit

(2.59)

Tento limitní přechod lze v provést za sumačním znaménkem, neboť pro  máme pro I nekonečně velké
odhad

Pravá strana při neomezeně se zmenšujícím h konverguje k výrazu

(2.60)                                                     .

Z předpokladu B plyne, že poslední výraz lze učinit libovolně malým, volíme-li n dost velké.
Limitním přechodem pro  dostáváme nalevo v (2.58) derivaci  a celkem vztah (2.57), neboť spojitá
derivace zleva je oboustrannou derivací. Podmínka (2.57B) je
zřejmá.                                                                                        □ .


K vyvození druhé soustavy Kolmogorovových rovnic potřebujeme další podmínku:


Předpoklad C

Při pevném   je limitní přechod v (2.53B) stejnoměrný vzhledem k  .


Tvrzení 2   Kolmogorovova prospektivní soustava rovnic

Za předpokladů A, B a C platí pro všechna  :

(2.60)                   .

Důkaz:

Z rovnosti

                             ,   plyne


Limitní přechod pro  lze s ohledem na Předpoklad C provést za znamením sumace. Z (53A) a (53B) tak
dostáváme (60).                                                             □ .

Použijeme-li notace  s intenzitami přechodu a  připomeneme-li, že klademe , můžeme Kolmogorovovy
diferenciální rovnice psát v maticovém zápisu:

prospektivní soustava rovnic

(2.61)             ,

retrospektivní soustava rovnic

(2.62)                ,  , kde  je jednotková matice .


Homogenní Markovovy procesy mají konstantní přechodové intenzity, protože jejich pravděpodobnosti
přechodu závisejí pouze na rozdílu časových argumentů.


Kolmogorovovy rovnice pro   jsou

(2.63A,B)

Poznámka: K vysvětlení změny znaménka v prvé soustavě – (2.61)- je třeba si uvědomit, že zde máme
 .