Cvičení z Teorie ekonometrie I    18.2.2009, 25.2.2009
•   Obsah: Základy práce s Matlabem. Ekonometrický toolbox. Lineární regrese. Metoda nejmenších čtverců.
•   Soubor forest.mat obsahuje data (vytvořená skriptem forest_data.m) procentního růstu rozlohy orné půdy mezi lety 1980 a 1990 a procentního růstu pastvin ve stejném období (pro více než sedmdesátku zemí).
—  Vytvořte a interpretujte x-y grafy těchto dvou proměnných vzhledem k proměnné vyjadřující pokles zalesnění. Existuje zde pozitivní závislost mezi poklesem zalesnění a rozšiřováním pastvin? A závislost mezi poklesem zalesnění a růstem rozlohy orné půdy?
—  Vytvořte a interpretujte popisné statistiky pro časovou řadu změny rozlohy pastvin a orné půdy.
—  Spočítejte a interpretujte korelační matici zahrnující údaje o poklesu zalesnění, hustotě obyvatelstva, změnami v rozloze pastvin a změnami v rozsahu orné půdy.
•   Simulace dat a odhad OLS Vytvořte dva vektory (vysvětlujících proměnných) X\ a X2 (využijte např. generátory náhodných čísel) o délce např. N = 100. Zvolte parametry a0, a\ a Ü2- Vygenerujte si vektor náhodných složek e z normálního rozdělení se střední hodnotou nula a nějakým rozptylem a2. Na tomto základě vygenerujte vektor vysvětlující proměnné y:
y = üq + a\X\ + ß2^2 + e
Odhadnět pomocí metody nejmenších čtverců parametry výše uvedeného modelu. Využijte funkci ols.m z ekonometrického toolboxu. Jaký vliv na přesnost odhadu bude mít velikost zvoleného vzorku NI
•  Využijte data v matlabovském datovém souboru wage2.mat k odhadu jednoduché regrese vysvětlující měsíční plat (wage) na dosaženém počtu bodů IQ (IQ). Datový soubor je nahrán a "zpracován" v m-fajlu cv_wage2.m.
—  Nalezněte průměrnou mzdu a průměrné IQ ve vzorku. Vykreslete datové vzorky (se svými průměry). Jaká je standardní odchylka IQ? (IQ je standardizováno tak, že průměr populace je 100 a standardní odchylka 15)
—  Odhadněte jednoduchý regresní model kde jednobodové zvýšení IQ změní mzdu o konstantní výši (v dolarech). Využijte tento moel k predikci zvýšení mzdy pokud by IQ vzrostlo o 15 bodů. Vysvětluje IQ většinu variability ve mzdě?
—  Odhadněte model, kde každé zvýšení IQ o jeden bod má podobný procentní efekt na mzdu. Pokud se IQ zvýší o 15 bodů, jaké bude přibližné procentní zvýšení predikované mzdy?
—  K výpočtu si zkuste vytvořit jednak svou vlastní funkci s názvem např. moje_ols .m popř. pak využijte funkci ols.m z ekonometrického toolboxu.
1
•   Regresní model s dvěma vysvětlujícími proměnnými. Pro regresní model y = a + ßx + e:
—  Ukažte,  že normální rovnice pro metodu nejmenších čtverců implikují YLi^-%  =  0 a
2_^i Xi&i       U.
—  Ukažte, že řešení pro úrovňovou konstantu je a = y — bx.
—  Ukažte, že řešení pro b je b = [J27=i(xi ~ x)(l/í ~ V)]/[^27=i(xi ~ x)2]-
—  Dokažte, že tyto dvě hodnoty jednoznažně minimalizují součet čterců. Ukažte tedy, že diagonální prvky matice druhých derivací sumy čtverců podle jednotlivých parametrů jsou oba pozitivní a že determinant je roven 4n[(^iLi %1) — rix2} = 4n\Y^=l(xi — x)2] a je kladný pokud nejsou všechny hodnoty x stejné.
•   Změna v součtu čtverců. Předpokládejme, že b je vektor parametrů získaný metodou nejmenších čtverců regresí y na X a c je jiný vektor rozměru K x 1. Dokažte, že rozdíl dvou součtů čtverců reziduí je
(y - Xc)'(y - Xc) - (y - Xb)'(y - Xb) = (c- b)'X'X{c - b)
Dokažte,že tento rozdíl je kladný.
•   Lineární transformace dat. Předpokládejme regresi metodou nejmenších čtverců y na K proměnných (s konstantním členem) X. Předpokládejme alternativní sadu regresorů Z = XP, kdy P je nesingulární matice. Každý sloupec matice Z je tedy mixem některých sloupců X. Dokažte, že vektor reziduí v regresi y na X a y na Z jsou identické. Jaký význam to má pro otázku kvality (vystižení) regrese změnou měřítek u nezávislých proměnných?
•   Frisch and Waugh. V regresi pomocí metody nejmenších čtverců y na konstantu a X můžeme spočítat regresní koeficienty i tak, že nejdříve transformujeme y na své odchylky od střední hodnoty (průměru) y a stejně tak i upravíme sloupce matice X. Po té provedeme regresi takto centrovaných hodnot na transformované hodnoty matice X (bez konstanty). Získáme stejné výsledky pokud takto budeme transformovat jen yl A co když transformujeme pouze XI Zkuste si tento postup i na empirických datech.
•   Předpokládejme, že Ed, En, Es jsou výdaje na tři kategorie zboží (consumer durables, non-durables and services). Celkový příjem (důchod) je pak dán jako Y = Ed + En + Es. Předpokládejme dále, že je dán výdajový systém:
Ed = ad + ßdY + jMPd + jdnPn + jdsPs + ed
Ľjn        Oín ~r Pn-i      \     Ind-Ld   >     inn-*n   *     Ins* s   *   ^n
Es = as + ßsY + jsdPd + %nPn + jssPs + es
—  Jestliže všechny rovnice odhadneme metodou nejmenších čtverců, dokažte, že součet důchodových koeficientů bude jednička a součet ostatních koeficientů (po sloupcích) bude nulový.
2