Teorie portfolia Durace, konvexita, imunizace dluhopisového portfolia Téma přednášky •dluhopisy •durace •konvexita •imunizace dluhopisového portfolia Dluhopisy •v případě vysoké volatility úrokových měr se snižuje poptávka po dluhopisech s pevným kuponem a roste poptávka po dluhopisech s proměnlivým kuponem •při vysokých úrokových sazbách jsou ceny dluhopisů s pevným kuponem nižší než při nízkých úrokových sazbách •dluhopisy mají především úrokové riziko •dluhopisy – bezkuponové a kuponové Měření výnosu z dluhopisu •nominální výnos (kuponový výnos) – kupon k nominálu •běžný výnos – kupon k aktuální tržní ceně •výnos do splatnosti (YTM – yield to maturity) – hlavní indikátor výnosnosti dluhopisů •výnos do doby výpovědi (YTC) •očekávaný realizovaný výnos (YTR) Cenová citlivost dluhopisu •=míra změny ceny dluhopisu při určité změně výnosu do splatnosti •většina investorů je averzní vůči riziku – dává přednost dluhopisům s menší cenovou citlivostí •pokud ale investor očekává, že bude držet dluhopis až do doby splatnosti, potom je cenová citlivost dluhopisu nedůležitá •cena dluhopisu roste, výnos do splatnosti klesá Cenová citlivost dluhopisu •při konstantní kuponové míře a konstantní době splatnosti (jedna křivka) má dluhopis s vyšším výnosem do splatnosti nižší cenovou citlivost (křivka se stává plošší) •dluhopisy s různou kuponovou mírou a s různou dobou splatnosti (dvě různé křivky) mají různou cenovou citlivost na změnu úrokové míry – jak je porovnat? • Durace •kvantifikuje cenovou citlivost dluhopisů •představuje průměrnou dobu, za kterou získáme příjmy z dluhopisu •slouží ke stanovení nové ceny dluhopisu při změně výnosu do splatnosti •pro malou změnu ceny dluhopisu platí Taylorův rozvoj: •uvažujme pouze první dva členy na pravé straně rovnice a cenu dluhopisu jako sumu diskontovaných cash flow •můžeme tedy psát: •(Macaulayovu) duraci D dluhopisu definujeme vztahem: Konvexita •je „zpřesňující člen“ Taylorova rozvoje •je definována vztahem Změna ceny dluhopisu •po dosazení durace a konvexity do vzorce pro malou změnu ceny dluhopisu dostáváme: •máme dluhopis s nominální hodnotou 1000 Kč, dvouletou splatností, kuponovou mírou 8% a s výnosem do splatnosti 9% •cena dluhopisu je •durace dluhopisu je •konvexita dluhopisu je •předpokládejme, že se výnos do splatnosti náhle sníží o 1% •pokud budeme uvažovat pouze duraci, dojde k růstu ceny o •nová cena dluhopisu tedy bude •přesný výpočet by vedl k výsledku 1000 Kč, což je absolutní chyba 0,24 Kč a odpovídající relativní chyba 0,24/982,41=0,02443% •pokud použijeme i konvexitu, dojde k růstu ceny o •nová cena dluhopisu tedy bude Modifikovaná a dolarová durace •čím větší durace, tím větší je vliv změny úrokové sazby na tržní cenu dluhopisu •vyšší kuponová sazba vede k poklesu durace Dluhopisové portfolio •pokud máme v portfoliu m dluhopisů, potom durace portfolia je dána vztahem •k ochraně portfolia před rizikem změny úrokových sazeb se používá technika tzv. imunizace portfolia Imunizace portfolia •základní myšlenka imunizace portfolia spočívá v tom, že se durace vytvořeného portfolia rovná požadované době držení portfolia •za 2 roky chceme mít 1 mil. Kč •k dispozici máme dva druhy dluhopisů •A – splatnost 1 rok, kupon jednou do roka, kuponovou míru 7%, očekávaný výnos 10% a nominální hodnotu 100 Kč – dokážeme spočítat, že durace je 1 rok a cena je 107/1,1=97,27 Kč •B – splatnost 3 roky, kupon jednou do roka, kuponovou míru 8%, očekávaný výnos 10% a nominální hodnotu 100 Kč •cena dluhopisu B je • • •durace dluhopisu B je • • •podíly jednotlivých emisí na portfoliu dostaneme řešením soustavy rovnic •po vyřešení soustavy obdržíme váhy • •abychom obdrželi za 2 roky 1 mil. Kč při úrokové míře 10%, musíme dnes investovat 1 000 000 / 1,1^2 což je přibližně 826 446 Kč •vzhledem ke spočítaným vahám budeme investovat 362 148,64 Kč do prvního dluhopisu, což je při ceně 97,27 Kč za jeden dluhopis přibližně 3723 kusů •do druhého dluhopisu budeme investovat 464 297,36 Kč, což je při ceně 95,03 Kč přibližně 4886 kusů •vývoj hodnoty portfolia v závislosti na hodnotě úrokové sazby