Analýza cenných papírů 2
Analýza dluhopisů
Výnosnost dlouhodobých dluhopisů
2
Výnosnost dlouhodobých dluhopisů
 Výnos je souhrnem veškerých příjmů, které investor získá z realizované
investice. Přestavuje odměnu investora za podstoupené riziko
a nelikviditu v souvislosti s investicí, a proto s růstem rizika
a nelikvidity požaduje racionálně jednající investor vyšší výnos.
Cílem většiny investorů je maximalizovat výnos ve vztahu
k podstoupenému riziku a likviditě. Výnos je motivem pro investování
a odměnou za realizaci investičního procesu.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
3
Dluhopisy - výnosy
 Výnosy z dluhopisů (před dobou splatnosti a při splatnosti):
- kapitálový výnos – zisk/ztráta, který/á je určen tržní cenou
dluhopisu, rozdíl mezi prodejní (resp. aktuální tržní cenou, příp.
nominální hodnotou) a nákupní (příp. emisní) cenou daného dluhopisu
– konkrétní použité typy cen záleží na situaci, za níž byl dluhopis
pořizován (resp. kdy do něj bylo investováno), a zda byl držen
do splatnosti či prodán dříve
- důchod ve formě kupónové platby
(pro uplatnění práva na výnos z dluhopisu je možné emitovat kupón –
cenný papír na doručitele, pokud to emisní podmínky nevylučují, může
být právo na výnos z dluhopisu od dluhopisu odděleno a spojeno
s kupónem jako samostatným cenným papírem, na každém kupónu
musí být uvedeno, jaké právo je s ním spojeno, kupóny mohou být
vydávány v zaknihované nebo listinné podobě, listinné kupóny
se vydávají v tzv. kupónovém archu, jeho součástí může být talón,
který není cenným papírem a který ztělesňuje právo na vydání nového
kupónového archu)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
4
 Výnos dluhopisu lze určit zejména (§ 16 zákona o dluhopisech):
- pevnou úrokovou sazbou
- rozdílem mezi jmenovitou hodnotou dluhopisu a jeho nižším
emisním kurzem
- slosovatelnou prémií nebo prémií v závislosti na lhůtě splatnosti
dluhopisu
- pohyblivou úrokovou sazbou odvozenou např. z jiných úrokových
sazeb či úrokových výnosů, pohybu měnových kurzů, finančních
indexů či cen komodit
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
5
* Alikvótní úrokový výnos – aktuální hodnota tzv. naběhlého kupónu
(úroku) od doby jeho poslední výplaty do okamžiku uzavření obchodu
v současnosti, která zvyšuje cenu dluhopisu a kterou aktuálně zaplatí
případný kupující
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
6
Výnosnost dlouhodobých dluhopisů
– základní ukazatele a jejich vypovídací hodnota
 Výnos X výnosnost
důchodový výnos X důchodová výnosnost, kapitálový výnos X
kapitálová výnosnost
 Historický X očekávaný výnos (příp. výnosnost)
 Hrubý X čistý výnos (příp. výnosnost)
 Nominální X reálný výnos (příp. výnosnost)
* Spekulační doba
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
Spekulační doba (daňový test)
– ČR – dříve 6 měsíců, nyní 3 roky !!!
z. č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů, v platném znění
§ 4 Osvobození od daně (daň z příjmu fyzických osob)
„x) příjem z úplatného převodu cenného papíru, přesáhne-li doba mezi nabytím a úplatným převodem
tohoto cenného papíru při jeho úplatném převodu dobu 3 let, a dále příjem z podílu připadající na podílový
list při zrušení podílového fondu, přesáhne-li doba mezi nabytím podílového listu a dnem vyplacení podílu
dobu 3 let; doba 3 let se zkracuje o dobu, po kterou byl tento cenný papír nebo podíl připadající na podílový
list při zrušení podílového fondu ve vlastnictví zůstavitele, v případě, že jde o úplatný převod cenného
papíru nebo podílu připadajícího na podílový list při zrušení podílového fondu nabytého děděním od
zůstavitele, který byl příbuzným v řadě přímé nebo manželem; doba 3 let mezi nabytím a úplatným
převodem cenného papíru u téhož poplatníka se nepřerušuje při sloučení nebo splynutí podílových fondů
nebo při přeměně uzavřeného podílového fondu na otevřený podílový fond; osvobození se nevztahuje na
příjem z úplatného převodu cenného papíru, který je nebo byl zahrnut do obchodního majetku, a to do 3 let
od ukončení činnosti, ze které plyne příjem ze samostatné činnosti, a na příjem z kapitálového majetku;
osvobození se nevztahuje na příjem z podílu připadajícího na podílový list při zrušení podílového fondu,
který byl nebo je zahrnut do obchodního majetku, a to do 3 let od ukončení činnosti, ze které plyne příjem ze
samostatné činnosti; při výměně akcie emitentem za jinou akcii o celkové stejné jmenovité hodnotě se doba
3 let mezi nabytím a úplatným převodem cenného papíru u téhož poplatníka nepřerušuje; obdobně se
postupuje i při výměně podílů, fúzi společností nebo rozdělení společnosti, jsou-li splněny podmínky
uvedené v § 23b nebo § 23c; osvobození se nevztahuje na příjem, který plyne poplatníkovi z budoucího
úplatného převodu cenného papíru, uskutečněného v době do 3 let od nabytí, a z budoucího úplatného
převodu cenného papíru, který je nebo byl zahrnut do obchodního majetku, a to do 3 let od ukončení
činnosti, ze které plyne příjem ze samostatné činnosti, i když kupní smlouva bude uzavřena až po 3 letech od
nabytí nebo po 3 letech od ukončení činnosti, ze které plyne příjem ze samostatné činnosti; obdobně se
postupuje u příjmu plynoucího jako protiplnění menšinovému akcionáři v důsledku nuceného přechodu
účastnických cenných papírů; jedná-li se o kmenový list, činí doba místo 3 let 5 let,“
Likvidita
VýnosRiziko
Zdanění
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
Příjmy z úplatného převodu cenných papírů do 100 000 Kč
– ČR – osvobození od daně!!!
z. č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů, v platném znění
§ 4 Osvobození od daně (daň z příjmu fyzických osob)
„w) příjmy z úplatného převodu cenných papírů a příjmy z podílů připadajících na podílové
listy při zrušení podílového fondu, pokud jejich úhrn u poplatníka nepřesáhne ve zdaňovacím
období částku 100 000 Kč; osvobození se nevztahuje na příjmy z kapitálového majetku a na
příjmy z úplatného převodu cenných papírů nebo z podílů připadajících na podílové listy při
zrušení podílového fondu, které jsou nebo byly zahrnuty do obchodního majetku, a to do 3 let
od ukončení činnosti, ze které plyne příjem ze samostatné činnosti; jedná-li se o kmenový list,
činí doba 5 let,“
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
9
Výnosnost dlouhodobých dluhopisů
- výpočet skutečné výnosnosti
 Výpočet skutečné výnosnosti jednotlivých druhů dluhopisů je odvozen
z výpočtu jejich ceny, kdy je použita skutečná cena (tržní cena, resp. kurz
dluhopisu), aby byla vypočtena skutečná výnosnost. Tzn., použijeme-li
ve vzorcích pro cenu požadovanou výnosnost, vypočteme tzv. vnitřní
hodnotu dluhopisu, zatímco použijeme-li skutečnou výnosnost,
vypočteme skutečnou tržní cenu.
Dle tohoto pravidla tedy můžeme přistoupit k následujícím úpravám
vzorců pro výpočet vnitřní hodnoty jednotlivých druhů dlouhodobých
dluhopisů (viz přednáška věnovaná analýze dlouhodobých dluhopisů).
Následně pak můžeme ze vztahů vyjádřit skutečnou výnosnost
dluhopisu r.
* Následující vztahy počítají s držbou dluhopisu do splatnosti
(s výjimkou konzoly, která splatnost nemá), tzn., že se jedná o skutečnou
výnosnost do doby splatnosti, která se obvykle označuje YTM.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
10
Diskontovaný dluhopis (dluhopis s nulovým
zúročením)
 Vnitřní hodnota diskontovaného dluhopisu se vypočítá dle vztahu:
( )T
r
NH
VH
+
=
1
kde:
VH = vnitřní hodnota dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
r = požadovaná výnosnost (tj. výnosová míra, kterou investor z investice
do daného dluhopisu požaduje)
T = doba do splatnosti
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
11
 Skutečná tržní cena diskontovaného dluhopisu se vypočítá
dle vztahu:
( )T
r
NH
C
+
=
1
kde:
C = tržní cena dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
r = skutečná výnosnost dluhopisu
T = doba do splatnosti
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
12
 Skutečná výnosnost do doby splatnosti se u diskontovaného
dluhopisu vypočítá dle vztahu:
1−= T
C
NH
r
kde:
C = tržní cena dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
r = skutečná výnosnost dluhopisu
T = doba do splatnosti
!!!POZOR: V případě ročního úrokového období je proměnná T uváděna v letech
a výnosnost vychází roční (p. a.), v případě pololetního úrokového období je proměnná
T uváděna v pololetích a výnosnost vychází rovněž pololetní (p. s.), v případě
čtvrtletního úrokového období je proměnná T uváděna ve čtvrtletích a výnosnost pak
vychází čtvrtletní (p. q.) apod.!!!
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
13
 Příklad:
Vypočítejte skutečnou výnosnost do doby splatnosti
diskontovaného dluhopisu. Nominální hodnota dluhopisu je
10 000 Kč. Do splatnosti dluhopisu zbývají čtyři roky. Aktuální
tržní kurz dluhopisu je 95 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
14
Perpetuita (konzola, věčný dluhopis)
 Vnitřní hodnota konzoly se vypočítá dle vztahu:
r
KP
VH =
kde:
VH = vnitřní hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = požadovaná výnosnost (tj. výnosová míra, kterou investor z investice
do daného dluhopisu požaduje)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
15
 Skutečná tržní cena konzoly se vypočítá dle vztahu:
r
KP
C =
kde:
C = tržní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = skutečná výnosnost dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
16
 Skutečná výnosnost konzoly se vypočítá dle vztahu:
C
KP
r =
kde:
C = tržní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = skutečná výnosnost dluhopisu
!!!POZOR: Jsou-li uvažovány roční kupónové platby, jedná se o roční výnosnost
(p. a.), pokud by se jednalo o pololetní kupónové platby, výnosnost by byla pololetní
(p. s.), pokud by se jednalo o čtvrtletní kupónové platby, výnosnost by byla čtvrtletní
(p. q.) apod.!!!
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
17
 Příklad:
Vypočítejte skutečnou výnosnost konzoly s nominální hodnotou
10 000 Kč. Kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou
vypláceny jedenkrát ročně. Aktuální tržní kurz dluhopisu je 80 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
18
Kupónový dluhopis s fixním zúročením
 Vnitřní hodnota kupónového dluhopisu s fixním zúročením
se vypočítá dle vztahu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( )
( )[ ]
( )T
T
T
T
T
T
t
tT
rr
rNHrKP
rr
rNHrKP
VH
nebo
r
NH
r
KP
r
NHKP
r
KP
r
KP
VH
+×
×+−+×
=
+×
×+−+×
=
+
+
+
=
+
+
++
+
+
+
= ∑=
1
11
1
11
111
...
11 1
21
kde:
VH = vnitřní hodnota dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = požadovaná výnosnost (tj. výnosová míra, kterou investor z investice
do daného dluhopisu požaduje)
T = doba do splatnosti
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
19
 Skutečná tržní cena kupónového dluhopisu s fixním zúročením
se vypočítá dle vztahu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( )T
T
T
T
t
tT
rr
rNHrKP
C
nebo
r
NH
r
KP
r
NHKP
r
KP
r
KP
C
+×
×+−+×
=
+
+
+
=
+
+
++
+
+
+
= ∑=
1
11
111
...
11 1
21
kde:
C = tržní cena dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = skutečná výnosnost dluhopisu
T = doba do splatnosti
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
20
 Skutečná výnosnost do doby splatnosti kupónového dluhopisu
s fixním zúročením se vypočítá ze vztahu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( )T
T
T
T
t
tT
rr
rNHrKP
C
nebo
r
NH
r
KP
r
NHKP
r
KP
r
KP
C
+×
×+−+×
=
+
+
+
=
+
+
++
+
+
+
= ∑=
1
11
111
...
11 1
21
kde:
C = tržní cena dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = skutečná výnosnost dluhopisu
T = doba do splatnosti
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
21
 Vyjádřit proměnnou r z uvedených vztahů je však bez využití
některého z kalkulátorů velmi obtížné, proto se její hodnoty
v takových případech obvykle odhadují jedním z následujících
způsobů (v závislosti na situaci):
1. Běžná výnosnost
2. Rendita (RET), nebo-li efektivní výnosnost
3. Výnosnost do doby splatnosti (YTM = yield to maturity)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
22
1. Běžná výnosnost kupónového dluhopisu – uvažujeme pouze běžné výnosy
plynoucí z držby dluhopisu, tj. kupónové platby, které investor obdrží
v pravidelných intervalech.
Použití: Vhodné použít u dluhopisů držených do splatnosti (bez uvažování
obchodování), přičemž splatnost se pohybuje v desítkách let a nominální hodnotu
jako příjem v době splatnosti není nutno uvažovat, protože její současná hodnota
je velmi nízká.
 Běžná výnosnost kupónového dluhopisu se vypočítá dle vztahu:
kde:
C = tržní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = běžná výnosnost dluhopisu
C
KP
r =
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
23
 Příklad:
Vypočítejte běžnou výnosnost kupónového dluhopisu s fixním
zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč, kupónová
úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny jedenkrát
ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá 30 let. Aktuální tržní kurz
dluhopisu je 60 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
24
2. Rendita (RET), nebo-li efektivní výnosnost kupónového dluhopisu –
uvažujeme nejen běžné výnosy plynoucí z držby dluhopisu (kupónové platby,
které investor obdrží v pravidelných intervalech), ale i obchodování dluhopisu.
 Rendita (RET), nebo-li efektivní výnosnost kupónového dluhopisu
se vypočítá dle vztahu:
kde:
CN = nákupní cena dluhopisu
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = rendita (RET)/efektivní výnosnost dluhopisu
THP = doba držby od nákupu dluhopisu do jeho prodeje
NHP
NP
N CT
CC
C
KP
RETr
×
−
+==
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
25
!!!POZOR: Opět je třeba věnovat pozornost délce úrokového období, resp.
období vyplácení kupónových plateb. Pokud jsou kupóny vypláceny ročně,
je použita roční kupónová platba a doba t je uváděna v letech a výnosnost r tak
vychází jako roční (p. a.). Pokud by byly kupóny vypláceny pololetně, použije
se pololetní kupónová platba a doba t bude uvedena v pololetích a výnosnost r
pak vyjde jako pololetní (p. s.) a v případě potřeby je třeba ji následně převést
do ročního vyjádření. Podobně se postupuje i u dalších délek úrokového
období.!!!
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
26
 Příklad:
Vypočítejte renditu kupónového dluhopisu s fixním zúročením.
Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč, kupónová úroková
míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny jedenkrát ročně.
Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Tržní kurz dluhopisu
při nákupu byl 80 %, při prodeji po dvou letech 85 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
27
3. Výnosnost do doby splatnosti (YTM) kupónového dluhopisu – uvažujeme
nejen běžné výnosy plynoucí z držby dluhopisu (kupónové platby, které investor
obdrží v pravidelných intervalech), ale i kapitálový výnos, přičemž
předpokládáme držbu dluhopisu do splatnosti (tzn., že kapitálový výnos =
nominální hodnota dluhopisu – tržní (nákupní) cena dluhopisu).
*Pro přesnost je třeba uvést, že i když se běžně v tomto případě uvádí, že se jedná
o výnosnost, která plyne z dané kupónové obligace v případě její držby
do splatnosti, mělo by být spíše uvedeno „po dobu durace“ (střední doba
splatnosti). Po dobu splatnosti by to totiž platilo u neměnících se úrokových
sazeb. Nicméně vzhledem ke skutečnosti, že doba splatnosti a durace jsou
si obvykle velmi podobné (v případě diskontovaných dluhopisů stejné), lze toto
zjednodušení připustit.
** Nejčastěji používaný způsob výpočtu výnosnosti kupónového dluhopisu, právě
tato výnosnost bývá uváděna i v kurzovních lístcích.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
28
Použití: Vhodné použít u kupónových dluhopisů držených do splatnosti
(bez uvažování obchodování), přičemž splatnost není v desítkách let, proto je
třeba do výpočtu zahrnout i nominální hodnotu (resp. rozdíl mezi nominální
hodnotou dluhopisu a tržní (nákupní) cenou dluhopisu), protože současná hodnota
tohoto příjmu není zanedbatelná (na rozdíl od situace, kdy splatnost dluhopisu je
v desítkách let).
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
29
 Výnosnost do doby splatnosti (YTM) kupónového dluhopisu se vypočítá
dle vztahu:
* AYTMF, T - přibližná (aproximovaná) výnosnost do doby splatnosti podle
Francise a Taylora
* Vztah mezi vývojem výnosu do doby splatnosti a dobou do splatnosti, resp.
splatností dluhopisů zachycují tzv. výnosové křivky.
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby splatnosti (YTM) dluhopisu (aproximovaná výnosnost
do doby splatnosti podle Francise a Taylora)
T = doba do splatnosti dluhopisu
2
,
NHC
T
CNH
KP
AYTMYTMr TF
+
−
+
===
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
30
!!!POZOR: Opět je třeba věnovat pozornost délce úrokového období, resp. období
vyplácení kupónových plateb.!!!
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
31
 Příklad:
Vypočítejte výnosnost do doby splatnosti kupónového dluhopisu
s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč,
kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny
jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Aktuální
tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
* K určení výnosnosti do doby splatnosti použijte výpočet podle
Francise a Taylora.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
32
Vztah YTM, kupónové sazby a ceny dluhopisu
 Výnosnost YTM představuje celkovou výnosnost dluhopisu, která je
dána součtem důchodové a kapitálové výnosnosti dluhopisu.
důchodová výnosnost
kapitálová výnosnost
2
NHC
KP
+
2
NHC
T
CNH
+
−
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
33
 Situace 1:
Pokud investor není spokojen s výší úročení (kupónovou sazbou
a z ní odvozenou kupónovou platbou), je ochotný takový dluhopis
koupit za nižší cenu, než je jeho nominální hodnota (která bude
vyplacená při splatnosti), aby realizoval dodatečný výnos na kurzu.
(* Úročení, resp. kupónová sazba a z ní odvozená kupónová platba
jsou v případě fixně úročeného dluhopisu neměnné.)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
34
 Situace 2
Pokud se investor spokojí s nižší celkovou výnosností YTM, než je
výše úročení dluhopisu (kupónová sazba a z ní odvozená kupónová
platba), je ochotný takový dluhopis koupit za vyšší cenu, než je jeho
nominální hodnota (která bude vyplacená při splatnosti), a částečně
tak tratit na rozdílu mezi cenou dluhopisu (nákupní, tržní cenou)
a jeho nominální hodnotou. Kapitálový zisk či ztráta je v takovém
případě rozdělena do jednotlivých období do splatnosti dluhopisu.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
35
 Alternativně je možné výnosnost do doby splatnosti (YTM) kupónového
dluhopisu vypočítat dle vztahu:
* AYTMH,V - přibližná (aproximovaná) výnosnost do doby splatnosti podle
Hawawiniho a Vory
NHC
T
CNH
KP
AYTMYTMr VH
×+×
−
+
===
4,06,0
,
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby splatnosti (YTM) dluhopisu (aproximovaná výnosnost
do doby splatnosti podle Hawawiniho a Vory)
T = doba do splatnosti dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
36
 Příklad:
Vypočítejte výnosnost do doby splatnosti kupónového dluhopisu
s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč,
kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny
jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Aktuální
tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
* K určení výnosnosti do doby splatnosti použijte výpočet podle
Hawawiniho a Vory.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
37
 Alternativně je možné výnosnost do doby splatnosti (YTM) kupónového
dluhopisu vypočítat dle vztahu:
* AYTMR - přibližná (aproximovaná) výnosnost do doby splatnosti podle
Rodriqueze
3
2 NHC
T
CNH
KP
AYTMYTMr R
+×
−
+
===
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby splatnosti (YTM) dluhopisu (aproximovaná výnosnost
do doby splatnosti podle Rodriqueze)
T = doba do splatnosti dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
38
 Příklad:
Vypočítejte výnosnost do doby splatnosti kupónového dluhopisu
s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč,
kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny
jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Aktuální
tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
* K určení výnosnosti do doby splatnosti použijte výpočet podle
Rodriqueze.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
39
 Jednotlivé způsoby výpočtu aproximované výnosnosti do doby splatnosti
nepřináší zcela shodné výsledky, nicméně odchylky jsou velmi malé,
zpravidla zanedbatelné.
 V praxi je možné se setkat i s tzv. jednoduchou výnosností do doby splatnosti
YTMsimple
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
CT
CNH
C
KP
YTMr simple
×
−
+==
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby splatnosti (YTM) dluhopisu (jednoduchá výnosnost
do doby splatnosti)
T = doba do splatnosti dluhopisu
40
 Příklad:
Vypočítejte jednoduchou výnosnost do doby splatnosti
kupónového dluhopisu s fixním zúročením. Nominální hodnota
dluhopisu je 10 000 Kč, kupónová úroková míra je 10 % p. a.
a kupóny jsou vypláceny jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu
zbývá šest let. Aktuální tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
41
 Jednoduchá výnosnost do doby splatnosti YTMsimple má vyšší vypovídací
schopnost než běžná kupónová výnosnost YCUR (viz dále), neboť vedle
kupónových plateb zohledňuje i rozdíl mezi nominální hodnotou a aktuální
cenou dluhopisu, na druhou stranu je ale méně přesná než AYTMF,T,
AYTMH,V a AYTMR, neboť nezohledňuje složené úročení, a tudíž také
možnost reinvestování vyplacených kupónů.
 * Měření výnosnosti dluhopisu pomocí výnosnosti do doby splatnosti YTM
je založeno na předpokladu konstantních úrokových sazeb po celou dobu
životnosti dluhopisu (velmi nereálné a nepravděpodobné) a na předpokladu
držby dluhopisu do splatnosti. Pokud je investorem dluhopis prodán dříve,
tj. před svou splatností, je třeba k měření výnosnosti dané investice použít
výnosnost za dobu držby YHP.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
42
Další používané ukazatele výnosnosti fixně
úročených dluhopisů
 Nominální kupónová výnosnost YCN
 Běžná kupónová výnosnost YCUR
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
43
 Nominální kupónová výnosnost YCN
KS
NH
KP
Yr CN ===
kde:
NH = nominální hodnota dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = nominální kupónová výnosnost YCN
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
44
 Je-li kupónová platba z dluhopisu stanovená jako pevná, je nominální
kupónová výnosnost daného dluhopisu konstantní, neměnná.
 Nominální kupónová výnosnost je využitelná jako prvotní informace
o výnosnosti dluhopisů, které se obchodují za nominální hodnotu nebo
za cenu, která se od ní příliš neliší.
 * Výpočet snadný a rychlý, ALE jako míra výnosnosti má řadu nedostatků –
nezohledňuje celou délku životnosti dluhopisu, příjmy v podobě nominální
hodnoty, případné kapitálové zisky, vliv úrokových měr na cenu dluhopisu,
resp. nezohledňuje kupní ani prodejní cenu dluhopisu, ani časové rozložení
výnosů, plynoucích z dluhopisu.
Informativní hodnota tohoto ukazatele je nízká.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
45
 Příklad:
Vypočítejte nominální kupónovou výnosnost kupónového
dluhopisu s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je
10 000 Kč, kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou
vypláceny jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
46
 Běžná kupónová výnosnost YCUR
kde:
C = aktuální tržní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = běžná kupónová výnosnost YCUR
C
KP
Yr CUR ==
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
47
 V praxi poměrně často používán krátkodobě orientovanými spekulanty, kteří
pozorně sledují všechny kurzové pohyby dluhopisu.
 Jako míra výnosnosti dluhopisu přesnější než nominální kupónová výnosnost
(neboť výši kupónu vztahuje k aktuální tržní ceně X nominální kupónové
výnosnosti, která používání nominální hodnotu dluhopisu), ale některé
nedostatky stále zůstávají – nezohledňuje možné kurzové pohyby během
doby živostnosti dluhopisu v důsledku pohybů úrokových měr, nepracuje
s příjmem v podobě nominální hodnoty.
 Jednoduchý, ale nepřesný způsob vyjádření míry výnosnosti dluhopisu.
 Přesnější mírou výnosnosti investice do dluhopisu je výnosnost do doby
splatnosti, kterou můžeme definovat jako výnosnost, které dosáhne investor,
kupující dluhopis, od jeho zakoupení do jeho splatnosti (jde o úrokovou
sazbu, která vyrovnává aktuální tržní cenu dluhopisu se současnou hodnotou
budoucích výnosů (vč. splacené jistiny), plynoucích z daného dluhopisu.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
48
 Příklad:
Vypočítejte běžnou kupónovou výnosnost kupónového dluhopisu
s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je
10 000 Kč, kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou
vypláceny jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let.
Aktuální tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
49
Výnosnost za dobu držby dluhopisu YHP
 použití v situaci, kdy investor nedrží dluhopis do splatnosti, ale před
splatností ho prodá (tzn., že neobdrží nominální hodnotu při splatnosti
ani kupónové platby, které budou následně ještě do doby splatnosti
dluhopisu vyplaceny)
 modifikací postupů pro výpočet výnosnosti do doby splatnosti YTM
(resp. AYTMF,T, AYTMH,V a AYTMR) lze za předpokladu konečné
doby držby dluhopisu získat vzorce pro výpočet výnosnosti za dobu
držby YHP (resp. přibližné výnosnosti za dobu držby AYHP,
tj. AYHPF,T, AYHPH,V i AYHPR)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
50
 Skutečná tržní cena kupónového dluhopisu s fixním zúročením se vypočítá
dle vztahu:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( ) HP
HP
HP
HP
HP
T
P
T
T
P
T
t
tT
P
rr
rCrKP
C
nebo
r
C
r
KP
r
CKP
r
KP
r
KP
C
+×
×+−+×
=
+
+
+
=
+
+
++
+
+
+
= ∑=
1
11
111
...
11 1
21
kde:
C = tržní cena dluhopisu
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = skutečná výnosnost dluhopisu
THP = doba držby dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
51
 Skutečná výnosnost za dobu držby kupónového dluhopisu s fixním
zúročením se vypočítá ze vztahu:
kde:
C = tržní cena dluhopisu
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = skutečná výnosnost dluhopisu
THP = doba držby dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
( ) HP
HP
HP
HP
HP
T
P
T
T
P
T
t
tT
P
rr
rCrKP
C
nebo
r
C
r
KP
r
CKP
r
KP
r
KP
C
+×
×+−+×
=
+
+
+
=
+
+
++
+
+
+
= ∑=
1
11
111
...
11 1
21
52
 Výnosnost za dobu držby (YHP) kupónového dluhopisu s fixním zúročením
se vypočítá dle vztahu:
* AYHPF, T - přibližná (aproximovaná) výnosnost za dobu držby podle
Francise a Taylora
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost za dobu držby (YHP) dluhopisu (aproximovaná výnosnost za dobu
držby podle Francise a Taylora)
THP = doba držby dluhopisu
2
,
P
HP
P
TF
CC
T
CC
KP
AYHPr
+
−
+
==
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
53
 Příklad:
Vypočítejte výnosnost za dobu držby kupónového dluhopisu
s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč,
kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny
jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Dle
předpokladů by mělo k prodeji dojít za dva roky, přičemž
očekávaná prodejní cena v okamžiku prodeje dluhopisu je
100,2 %. Aktuální tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
* K určení výnosnosti za dobu držby použijte výpočet podle
Francise a Taylora.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
54
 Alternativně je možné výnosnost za dobu držby (YHP) kupónového
dluhopisu s fixním zúročením vypočítat dle vztahu:
* AYHPH,V - přibližná (aproximovaná) výnosnost za dobu držby podle
Hawawiniho a Vory
P
HP
P
VH
CC
T
CC
KP
AYHPYHPr
×+×
−
+
===
4,06,0
,
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost za dobu držby (YHP) dluhopisu (aproximovaná výnosnost za dobu
držby podle Hawawiniho a Vory)
THP = doba držby dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
55
* AYHPR - přibližná (aproximovaná) výnosnost za dobu držby podle
Rodriqueze
3
2 P
HP
P
R
CC
T
CC
KP
AYHPYHPr
+×
−
+
===
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost za dobu držby (YHP) dluhopisu (aproximovaná výnosnost za dobu
držby podle Rodriqueze)
THP = doba držby dluhopisu
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
56
Výnosnost do doby výpovědi YTC
 používá se v případě svolatelných dluhopisu (callable bonds) –
dluhopisy s možností předčasné výpovědi ze strany emitenta, příp.
investora (méně časté)
 možnost předčasné výpovědi (splacení) dluhopisu je třeba zohlednit
při výpočtu výnosnosti
 modifikací postupů pro výpočet výnosnosti do doby splatnosti YTM
(resp. AYTMF,T, AYTMH,V a AYTMR) lze získat vzorce pro výpočet
výnosnosti do doby výpovědi YTC (resp. přibližné výnosnosti do
doby výpovědi AYTC, tj. AYTCF,T, AYTCH,V i AYTCR)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
57
 Výnosnost do doby výpovědi (YTC) kupónového dluhopisu s fixním
zúročením se vypočítá dle vztahu:
* AYTCF, T - přibližná (aproximovaná) výnosnost do doby výpovědi podle
Francise a Taylora
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
CC = očekávaná cena dluhopisu v okamžiku výpovědi
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby výpovědi (YTC) dluhopisu (aproximovaná výnosnost
do doby výpovědi podle Francise a Taylora)
TC = doba do okamžiku výpovědi
2
,
C
C
C
TF
CC
T
CC
KP
AYTCr
+
−
+
==
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
58
 Příklad:
Vypočítejte výnosnost do doby výpovědi kupónového dluhopisu
s fixním zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč,
kupónová úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny
jedenkrát ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Dle
očekávání by mělo k výpovědi dluhopisu dojít za tři roky, přičemž
očekávaná cena dluhopisu v okamžiku výpovědi je 90 %. Aktuální
tržní kurz dluhopisu je 90,90 %.
* K určení výnosnosti do doby výpovědi použijte výpočet podle
Francise a Taylora.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
59
 Alternativně je možné výnosnost do doby výpovědi (YTC) kupónového
dluhopisu s fixním zúročením vypočítat dle vztahu:
* AYTCH,V - přibližná (aproximovaná) výnosnost do doby výpovědi podle
Hawawiniho a Vory
C
C
C
VH
CC
T
CC
KP
AYTCYTCr
×+×
−
+
===
4,06,0
,
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
CC = očekávaná cena dluhopisu v okamžiku výpovědi
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby výpovědi (YTC) dluhopisu (aproximovaná výnosnost
do doby výpovědi podle Hawawiniho a Vory)
TC = doba do okamžiku výpovědi
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
60
* AYTCR - přibližná (aproximovaná) výnosnost do doby výpovědi podle
Rodriqueze
3
2 C
C
C
R
CC
T
CC
KP
AYTCYTCr
+×
−
+
===
kde:
C = tržní cena dluhopisu (nákupní cena dluhopisu)
CC = očekávaná cena dluhopisu v okamžiku výpovědi
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = výnosnost do doby výpovědi (YTC) dluhopisu (aproximovaná výnosnost
do doby výpovědi podle Rodriqueze)
TC = doba do okamžiku výpovědi
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
61
Čistá výnosnost dluhopisů
 Na rozdíl od hrubé výnosnosti zohledňuje vliv zdanění
(a příp. i transakčních nákladů) na výnosnost investice.
 Česká republika - z. č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů (aktuální
znění)
– fyzické osoby X právnické osoby
– důchodové a kapitálové výnosy
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
62
 Fyzická osoba - příklad úpravy vzorců pro výpočet výnosností
Kupónový dluhopis s fixním zúročením koupený fyzickou osobou
* Hrubá rendita (RET), nebo-li efektivní výnosnost kupónového
dluhopisu s fixním zúročením se vypočítá dle vztahu:
kde:
CN = nákupní cena dluhopisu
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
r = hrubá rendita (RET)/efektivní výnosnost dluhopisu
THP = doba držby od nákupu dluhopisu do jeho prodeje
NHP
NP
N CT
CC
C
KP
RETr
×
−
+==
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
63
 Příklad:
Vypočítejte hrubou renditu kupónového dluhopisu s fixním
zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč, kupónová
úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny jedenkrát
ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let.
a) Tržní kurz dluhopisu při nákupu byl 80 %, při prodeji po dvou
letech 85 %.
b) Tržní kurz dluhopisu při nákupu byl 80 %, při prodeji po
čtyřech letech 93 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
64
* Čistá rendita (RET), nebo-li efektivní výnosnost kupónového
dluhopisu s fixním zúročením se vypočítá dle vztahu:
- v případě nedodržení daňového testu
kde:
CN = nákupní cena dluhopisu
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
rnetto = čistá rendita (RET)/efektivní výnosnost dluhopisu
THP = doba držby od nákupu dluhopisu do jeho prodeje
dKP = sazba daně z příjmů pro kupónové platby
dΔC = sazba daně z příjmů pro kapitálový výnos
( ) ( ) ( )
NHP
CNP
N
KP
nettonetto
CT
dCC
C
dKP
RETr
×
−×−
+
−×
== ∆11
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
65
* Čistá rendita (RET), nebo-li efektivní výnosnost kupónového
dluhopisu s fixním zúročením se vypočítá dle vztahu:
- v případě dodržení daňového testu
kde:
CN = nákupní cena dluhopisu
CP = prodejní cena dluhopisu
KP = kupónová platba (kupónová sazba KS x nominální hodnota NH)
rnetto = čistá rendita (RET)/efektivní výnosnost dluhopisu
THP = doba držby od nákupu dluhopisu do jeho prodeje
dKP = sazba daně z příjmů pro kupónové platby
( )
NHP
NP
N
KP
nettonetto
CT
CC
C
dKP
RETr
×
−
+
−×
==
1
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
66
 Příklad:
Vypočítejte čistou renditu kupónového dluhopisu s fixním
zúročením. Nominální hodnota dluhopisu je 10 000 Kč, kupónová
úroková míra je 10 % p. a. a kupóny jsou vypláceny jedenkrát
ročně. Do splatnosti dluhopisu zbývá šest let. Investorem je
fyzická osoba a výnosy z dluhopisu jsou daněny dle zákona
č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů (v aktuálním znění).
a) Tržní kurz dluhopisu při nákupu byl 80 %, při prodeji po dvou
letech 85 %.
b) Tržní kurz dluhopisu při nákupu byl 80 %, při prodeji po
čtyřech letech 93 %.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
67
 Fyzická osoba - příklad úpravy vzorců pro výpočet výnosností
Diskontovaný dluhopis koupený fyzickou osobou při emisi za emisní
cenu a držený do splatnosti
* Skutečná hrubá výnosnost do doby splatnosti se u diskontovaného
dluhopisu vypočítá dle vztahu:
1−= T
EC
NH
r
kde:
CE = emisní cena dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
r = skutečná hrubá výnosnost dluhopisu
T = doba do splatnosti
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
68
* Skutečná čistá výnosnost do doby splatnosti se u diskontovaného
dluhopisu vypočítá dle vztahu:
kde:
CE = emisní cena dluhopisu
NH = nominální hodnota dluhopisu
rnetto = skutečná čistá výnosnost dluhopisu
T = doba do splatnosti
dKP = sazba daně z příjmů pro kupónové platby
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
( ) 1−
×−−
= T
E
KPE
netto
C
dCNHNH
r
69
 Příklad:
Vypočítejte hrubou a čistou výnosnost do doby splatnosti
diskontovaného dluhopisu koupeného fyzickou osobou při emisi
za emisní cenu a drženého do splatnosti. Nominální hodnota
dluhopisu je 10 000 Kč, emisní cena dluhopisu je 9 000 Kč.
Investorem je fyzická osoba a výnosy z dluhopisu jsou daněny dle
zákona č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů (v aktuálním znění).
a) Dluhopis dospěje do splatnosti za dva roky.
b) Dluhopis dospěje do splatnosti za čtyři roky.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
70
Literatura
 Šoba, O., Širůček, M.: Finanční matematika v praxi. 2., aktualizované.
a rozšířené vydání. Praha : Grada Publishing, 2017. ISBN 978-80-271-
0250-1. s. 220 – 228.
 Veselá, J.: Investování na kapitálových trzích. 2., rozšířené a
aktualizované vydání. Praha : Wolters Kluwer ČR, 2011. ISBN 978-
80-7357-647-9. s. 609 – 617.
 Radová, J., Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. 3.,
rozšířené vydání. Praha : Grada Publishing, 2001. ISBN 80-247-9015-
7. s. 206 – 211.
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2
71
 z. č. 190/2004 Sb., o dluhopisech (aktuální znění)
 z. č. 586/1992 Sb., o daních z příjmů (aktuální znění)
G.Oškrdalová: Analýza cenných papírů 2